Bu testte 80 soru vardır.

Transkript

1 LYS/MAT MATEMATİK TESTİ Bu testte 80 soru vardır... işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 4 E) $ $ A) B) C) D) 4 E) işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A),4 B),6 C),8 D) E), 4 $ 5 $ 5 $ 5 6 5, A) 0 B) C) 5 D) 8 E) 0 6! ^+ 7h 4! $ 4! 6$ 5$ 4! $ 8 4! $ 4 0

2 LYS/MAT 5., ve x sayıları küçükten büyüğe doğru sıralanmış ardışık üç çift tam sayıdır. toplamı kaçtır? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6 x - y ve x ardışık çift olduğundan x x - y + x & y bulunur. ve x - y ardışık çift y olduğundan x + x - & x 8 bulunur. O halde, x + y 0 bulunur. 7. a ve b birbirinden farklı pozitif tam sayılar olmak üzere EKOK(a,b) bir asal sayıya eşittir. I. a ve b aralarında asal sayılardır. II. toplamı bir tek sayıdır. III. çarpımı bir tek sayıdır. ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 6. bölme işlemlerine göre, m pozitif tam sayısının rakamları toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 45 in m ile bölümünden kalan olduğuna göre, m pozitif tam sayısı 45-4 yi tam bölme ve m olmalıdır. Ayrıca m nin ile bölümünden kalan dir. Bu şartlara uygun tek m pozitif tam sayısı 4 tür. O halde cevap bulunur. 8. p bir asal sayı olmak üzere, EKOK(a, b) p olsun. Bu durumda a ve b farklı pozitif tam sayıları p nin bir bölenidir. Ancak p asal olduğundan pozitif bölenleri sadece ve p dir. O halde, a ve b p alınabilir. I. ve p aralarında asal olduğundan bu önerme doğrudur. II. + p toplamı tek ya da çift sayı olabilir. Bu önerme kesin doğru değildir. III. p çarpımı tek ya da çift olabilir. Bu önerme de kesin doğru değildir. ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) xz ^ + yh- y^z+ yh xx ^ - yh+ z^x- yh ^z+ yh^x-yh ^x- yh^x+ zh y+ z x+ z

3 LYS/MAT 9. a, b ve c pozitif gerçel sayıları için. Sıfırdan farklı x, y ve z gerçel sayılarının mutlak değerleri birbirinden farklı olmak üzere, eşitlikleri veriliyor. b kaçtır? A) B) C) D) E) a+ c c & ab c & ab b + b c bulunur. a a ab Ayrıca c verildiğinden & b bulunur. b b eşitlikleri sağlanmaktadır. olduğuna göre, I. II. III. ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III 0. olduğuna göre, a kaçtır? & & & a a a - a & a 9 bulunur. x 0, y! 0 ve x + y x - y olduğundan y 0 ve x y olmalıdır. y! 0, z! 0 ve y + z y + z olduğundan y ve z aynı işaretli olmalıdır. Yukarıda y 0 verildiğinden z 0 olacaktır. y ve z mutlak değerce birbirinden farklı verildiğinden kendi aralarındaki sıralamayı bilemiyoruz. I. Yukarıdaki çıkarımlara göre x 4 ve y - alınırsa bu önermenin her zaman doğru olmadığı görülür. II. y 0 ve z 0 olduğundan y y + z dir. İki tarafı da y + z negatifine bölersek eşitsizlik yön değiştirir ve < bulunur. Bu önerme doğrudur. y + z y III. Yukarıdaki çıkarımlara göre z - ve x alınırsa bu önermenin de her zaman doğru olmadığı görülür.

4 LYS/MAT. Üç basamaklı ADB, ADC, DAA, DAD doğal sayıları 4. A kümesi, kümesinin bir alt kümesi olmak üzere, eşitsizliklerini sağlamaktadır. aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) B) C) D) E) ADB DAA olduğu için A # D dir. DAD ADC olduğu için de D # A dır. Bu durumda A D olmalıdır. D yerine A yazılırsa, AAB AAA AAC olacağından B A D C bulunur. kümesinin elemanları tek sayılardır. bu koşulu sağlayan üç elemanlı kaç tane A kümesi vardır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 A kümesinde 5 ve 7 den en biri bulunmalı ve 6 bulunmamlıdır. {,,, 4, 5, 6, 7} kümesinin 6 elemanını içermeyen üç elemanlı alt küme sayısı C(6, ) 0 dir. {,,, 4, 5, 6, 7} kümesinin 5, 6, 7 elemanlarını içermeyen üç elemanlı alt küme sayısı C(4, ) 4 tür. O halde alt kümede 6 bulunmaz ve 5 ile 7 den en az biri bulunur. 5. A, B ve C kümeleri. Sıfırdan farklı x ve y gerçel sayıları için I. II. III. ve olduğuna göre, ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III y x ve x y olduğundan x ve y aynı anda pozitif olamaz. Ya y x 0 olmalıdır ya da x y olmak şartıyla y 0 x olmalıdır. I. x y çarpımı pozitif ya da negatif olabilir. Bu önerme her zaman doğru değildir. II. Her iki durumda da x + y 0 dır. Bu önerme doğrudur. III. x - ve y - için bu önerme yanlış olur. O halde doğru cevap B dir. şeklinde tanımlanıyor. ifadesinin değeri kaçtır? ve olduğuna göre, A + B kümesi için (x, x) (x, - x) olacağından x - x & x bulunur. Böylece p q elde edilir. B + C kümesi için (x, - x) (x, x + 4) olacağından - x x + 4 & x - bulunur. Böylece r - ve s 7 elde edilir. Bu değerler yerine yazılırsa istenen cevap 5 bulunur. 4

5 LYS/MAT 6. Gerçel sayılar kümesi üzerinde f ve g fonksiyonları 8. Gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu biçiminde tanımlanıyor. biçiminde tanımlanıyor. aralığının f fonksiyonu altındaki görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) B) C) A) B) C) 4 D) 6 E) 8 f(x) x(x - ) ve g(x + ) xx ^ - h^ x + h olur. x(x - ) xx ^ - h^ x + h & x(x - )(x - 5) 0 olur. Buna göre x değerleri 0, ve 5 tir. Toplamları da 6 olur. D) E) f fonksiyonu her x gerçek sayısı için f(-x) f(x) olacağından çift fonksiyon, dolayısıyla y eksenine göre simetrik fonksiyondur. Bu durumda [-, ) aralığının görüntüsü yerine [-, 0] aralığının görüntüsüne bakmak yeterlidir. f(0) 0 ve f(-) / olacağından görüntü kümesi < 0, F bulunur. 7. Gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu, her x gerçel sayısı için n tam sayı olmak üzere, 9. a ve b doğal sayılar olmak üzere, biçiminde tanımlanıyor. toplamı kaçtır? A) B) C) D) E)! [n, n + ) olması için n olmalıdır. Bu durumda f() - 0 olur. 7 c m! [n, n + ) olması için n olmalıdır. Bu durumda 7 7 fc m c m - olur. c m! [n, n + ) olması için n olmalıdır. Bu durumda fc m c m - olur Bu durumda toplam olur. denklikleri veriliyor. toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 7 B) 9 C) D) E) 5 Bir k tam sayısı için 4a + k dır. En küçük a doğal sayısı için k alınır ve a 6 bulunur. Bir m tam sayısı için 4b 5 + 7m dir. En küçük b doğal sayısı için m alınır ve b bulunur. Böylece a + b 9 olur. 5

6 LYS/MAT 0. Aşağıda düzgün altıgen şeklindeki hücrelerden oluşturulmuş bir düzenek verilmiştir. Beyaz hücrelerin bazıları turuncu renge boyanacaktır. A B. Pelin'in hesap makinesi, tuşuna her basıldığında bunu olasılıkla olasılıkla 4 olasılıkla 6 Her bir mavi hücrenin içerisinde yazan sayı, o mavi hücre ile ortak kenarı olan ve turuncuya boyanacak toplam hücre sayısını göstermektedir. hücreler kaç farklı biçimde boyanabilir? A) 4 B) 8 C) 0 D) E) 6 ve numaralı mavi hücreler arasında kalan A ve B hücrelerinden yalnız birinin turuncuya boyanıp boyanmamasına göre hesabımız değişir. I. A ve B boyanmazsa nolu hücrenin etrafında boyanabilecek 4 hücre; nolu hücrenin etrafında ise 4 hücreden herhangi ü boyanabilir. Buna göre farklı boyama sayısı 4 C(4, ) 6 dır. II. A ya da B boyanırsa, nolu hücre için boyama tamamlanır. Buna rağmen A ve B hariç nolu hücrenin etrafında kalan 4 hücreden si boyanmalıdır. Buna göre farklı boyama sayısı C(4, ) dir. Böylece farklı boyama yapılabilir. olarak algılamaktadır. Pelin sadece numaralı tuşu bozuk olan bu hesap makinesiyle işlemini yapacaktır. Pelin in bu işlemin sonucunu bulma olasılığı kaçtır? Verilenlere göre sayısının elde edilebilmesi için I. 4- işleminin gerçekleşmesi gerekir. Bu 6 durumda hesap makinesi, ilk tuşlamasını 4 ve ikinci tuşlamasını 6 olarak algılamalıdır. Bunun olasılığı ise $ dır. 6 II. 6- işleminin gerçekleşmesi gerekir. Bu durumda hesap makinesi, ilk tuşlamasını 6 ve ikinci tuşlamasını olarak algılamalıdır. Bunun olasılığı ise $ dir. 6 O halde istenilen olasılık + bulunur

7 LYS/MAT. İki gerçel kökü olan kökleri toplamı denkleminin 4. denkleminin bir köküdür. a kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Kökler toplamı a dır. Bunu ikinci denklemde yerine yazarsak, a + 6a + a 0 & a 0 veya a -7 bulunur. a 0 olamaz, çünkü bu durumda ilk denklem x + 0 olur ve gerçek iki kökü olmaz. O halde a -7 dir. eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) - 8i - 4-7i bulunur. z a + bi ve z a - bi i ( + i) yerine yazılırsa, 4z - z a + 7bi elde edilir. a + 7bi 4-7i olacağından a 4 ve b - olur. O halde z 4 - i dir. Not: i ifadesinin sanal birim olduğu ifade edilmeliydi. Bu haliyle i ye farklı anlamlar katarak her şık bulunabilir. İptali söz konusu olabilir.. 5. işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) - i ( - i)( + i) - i 6 ( - i )( + i ) - i 0 ( - i 5 )( + i 5 ) ifadeleri yerine yazılıp gerekli sadeleştirmeler yapılırsa ( + i)( + i ) ( + i 5 ) ( + i)( - i)( + i) + i bulunur. Not: i ifadesinin sanal birim olduğu ifade edilmeliydi. Bu haliyle i ye farklı anlamlar katarak her şık bulunabilir. İptali eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 (x - ) x - olacağından verilen eşitsizlik x - x & x - - x & ( x - - )( x - + ) 0 & x & x - & - x - & - x 4 bulunur. Bu aralıktaki x tam sayıları -, 0,, ve olacağından toplamları 5 bulunur. söz konusu olabilir. 7

8 LYS/MAT a ve b tam sayılar olmak üzere eşitsizliğini sağlayan tüm gerçel sayıların kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 6x + ^x + h elde edilir. D) E) - 0 eşitsizliği düzenlenirse x^4 - xh 0 ^x + h Bu eşitsizlikte x 0, x 4 tek katlı ve x - çift katlı kökleri eşitsizlik tablosuna yerleştirilirse istenilen aralığın (0, 4) olacağı görülecektir. polinomları için olduğu biliniyor. polinomunun kökleri aynı zamanda polinomunun da kökleri olduğuna göre, farkı kaçtır? A) 8 B) 9 C) D) E) 4 P(-4) 0 olduğundan -4 P(x) polinomunun bir köküdür. Q(-4)! 0 olduğundan üçüncü derece P(x) polinomunun diğer kökleri -4 ten farklıdır. Bu durumda 7. Üçüncü dereceden gerçel katsayılı kökleri, ve dir. kaçtır? olduğuna göre, polinomunun li terimin katsayısı A) B) C) D) E) a sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere, P(x) a(x + )(x + )(x - ) yazılabilir. P(0) olduğundan, yerine yazılırsa a - bulunur. Buna göre P(x) -(x + )(x + )(x - ) dir. İlk iki çarpan çarpılırsa, P(x) -(x + 4x + )(x - ) olur. Bu aşamadan sonra x terimlerini veren çarpımlar yapılırsa -(-x + 4x ) -4x bulunur. Not: P(x) ax + bx + cx + d polinomunun kökler toplamı x + x + x - b dır. Buna göre çözülürse, a b & b -4 bulunur. - P(x) (x + 4)Q(x) olacaktır. Bu durumda, P(x) x -(a - 4)x - (8a - b)x + 4b olur. O halde, a - 4 a & a 4 ve 8a - b b + & b 5 bulunur. b - a 5-4 dir. 9. Katsayıları ve bir kökü sayısı kaçtır? kümesinin elemanlarından olan ikinci dereceden polinomların A) 5 B) 7 C) 8 D) 0 E) a, b, c! {0,,,..., 9} ve a! 0 olmak üzere P(x) ax + bx + c olsun. -/ polinomun kökü olduğundan yerine yazılırsa, 4a b - + c 0 & 4a - 6b + 9c 0 elde edilir. Bu 9 denklem mod te incelendiğinde a nın e tam bölünmesi gerektiği görülür. Yani, a, a 6 ya da a 9 olabilir. I. a ise, b - c 4 olur. Mod de bu denklem incelendiğinde (b, c) ikilileri (, 0), (5, ), (8, 4) bulunur. II. a 6 ise, b - c 8 olur. Mod de bu denklem incelendiğinde (b, c) ikilileri (4, 0), (7, ) bulunur. III. a 9 ise, b - c olur. Mod de bu denklem incelendiğinde (b, c) ikilileri (6, 0), (9, ) bulunur. Böylece 7 farklı (a, b, c) olduğu görülür. 8

9 LYS/MAT 0. p, q ve r önermeleri için önermesinin yanlış olduğu biliniyor. I. II. III. önermelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III (p & q) & r / 0 olması için p & q / ve r / 0 olmalıdır. I. Bu önerme her zaman doğrudur. II. q önermesinin doğruluk değeri bilinmediğinden bu önerme her zaman doğru olmaz. III. r / 0 ve 0 & p / olduğundan bu önerme de her zaman doğrudur.. Bir öğrenci, doğru olduğunu düşündüğü aşağıdaki iddiayı ispatlarken bir hata yapmıştır. İddia : sayısı e sayısına eşittir. Öğrencinin ispatı : için ve fonksiyonları ve olarak tanımlansın. I. Her için ve fonksiyonlarının türevleri birbirine eşittir. II. Dolayısıyla her için ve fonksiyonları birbirine eşittir. III. fonksiyonu bire bir ve olduğundan her için olduğu sonucuna varılır. IV. Eğer iki fonksiyon her için birbirine eşitse, bu fonksiyonların deki değerleri aynıdır. V. ve fonksiyonlarının deki değerleri aynı olduğu için olduğu sonucuna varılır. Bu öğrenci, numaralandırılmış adımların hangisinde hata yapmıştır? A) I B) II C) III D) IV E) V Türevleri birbirine eşit olan fonksiyonlar eşit olmak zorunda değildir. Örneğin kuralları x + ve x + olan fonksiyonların türevleri dir, ancak bu fonksiyonlar eşit değildir.. denklemini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? x ln4 4 lnx tir. lnx A dersek, 4 lnx A olur. Bu durumda verilen denklem A - 6A şeklinde yazılabilir. Çarpanlara ayrılırsa, (A - 4)(A - ) 0 & A 4 veya A dir. Bu durumda, lnx 4 & lnx & x e veya lnx & lnx & x e dir. Kökler çarpımı e e e olur. 9

10 LYS/MAT. 5. bir aritmetik dizi olmak üzere, işleminin sonucu kaçtır? log 7 log / / dir. log 7 log / /6 dır. 5 Bu değerler yerine yazılırsa sonucuna ulaşılır. 4 eşitlikleri veriliyor. kaçtır? Aritmetik dizinin ortak farkı d olmak üzere, a 9 - a 6 d olacağından d & d bulunur. a 0 + a 7 a + 5d a + 5 olacağından a & a elde edilir. 4. olduğuna göre, değeri kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 6. n pozitif bir tam sayı olmak üzere, Verilenler denklemler taraf tarafa toplanırsa lnx 6 bulunur. Yerine yazılırsa lny bulunur. ln x Bu durumda, log y x 6/ olur. ln y eşitliği veriliyor. n kaçtır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) Toplam sembolü açılırsa, şeklinde işlemlerin devam ettiği görülür. n çift tam sayı ise bu toplamın negatif olacağı açıktır. Toplam 0 olarak verildiğinden n tek sayı olmalıdır. Bir pozitif m tam sayısı için n m + olsun. Böylece verilen toplam (m - ) - m + m + 0 şeklinde yazılabilir (m - ) - m - olduğundan m tane - vardır. O halde, m (-) + m + 0 & m 9 & n bulunur. Not: Toplam sembolünün ilgili kazanım dışında kullanımı nedeniyle müfredat dışıdır. 0

11 LYS/MAT limitinin değeri kaçtır? fonksiyonu için değeri kaçtır? sin(x - r) -sin(r - x) olduğundan limit içindeki ifade sin^r-xh^x -r h sin^r-xh^x- rh^x + rh ^x - rh ^x-rh^x-rh sin ^r- xh^x+ rh şeklinde yazılabilir. x - r lim sin ^r - xh - olduğundan, x " r x - r lim sin ^r- xh^x+ rh -(r + r) -r olur. x " r x - r + x fl^xh dir. Bu durumda x+ x + fl^h bulunur Gerçel sayılar kümesinde tanımlı f fonksiyonu her x için 40. Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı eşitsizliklerini sağlıyor. fonksiyonu için değeri kaçtır? I. vardır. II. vardır. III. vardır. ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III I. x değerleri e sağdan ve soldan yaklaşırken f in hangi değere yaklaşacağı konusunda net bir bilgi olmadığından bu önerme her zaman doğru olmaz. II. x değerleri e sağdan ve soldan yaklaşırken f in hangi değere yaklaşacağı konusunda net bir bilgi olmadığından bu önerme de her zaman doğru olmaz. III. # f(x) # olduğundan x değerleri e sağdan ve soldan yaklaşırken f(x) 0 olur. Bu durumda f(x) f(x) dir. O halde bu önermede verilen limitin değeri her zaman 0 dır. (fof)(x) sinc sinb x lm dir. Türevi alınırsa, x x ^fofhl^xh cosb lcosc sinb lm elde edilir. 4 ^fofhl^r h ^- h ^h - bulunur. 4 4

12 LYS/MAT 4. Bir ayrıtı x birim uzunluğunda olan küp şeklindeki bir kristalin üretim maliyeti hacim üzerinden birimküp başına 5 TL, satış fiyatı ise yüzey alanı üzerinden birimkare başına 0 TL olarak hesaplanmaktadır. x kaç birim olursa bu kristalin satışından elde edilen kâr en fazla olur? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4 Küpün hacmi x olacağından maliyeti 5x TL dir. Küpün yüzey alanı 6x olacağından satış fiyatı 0x TL dir. Buna göre kar fonksiyonu k(x) 0x - 5x olur. Türevi alınırsa, kl^xh 5x(6 - x) elde edilir. O halde x 6 için kar en fazla olur. 4. a bir gerçel sayı olmak üzere, fonksiyonunun düşey asimptotu fonksiyonunun da düşey asimptotudur. a kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 f fonksiyonunun düşey asimptotu x -4 doğrusudur. g fonksiyonunun düşey asimptotu ise x -a doğrusudur. Bu durumda a 4 tür. 4. a ve b gerçel sayılar olmak üzere, fonksiyonunun grafiğine noktasında çizilen teğet doğrusunun denklemi olarak veriliyor. 44. çarpımı kaçtır? (, f()) noktası aynı zamanda y - x + 0 doğrusunun da bir noktasıdır. x yerine yazılırsa y olur. O halde, f() dir. f fonksiyonunda yerine yazılırsa, b + & b - bulunur. Ayrıca doğrunun eğimi olduğundan fl^h dir. f a fonksiyonunun türevi fl^xh x a + b & a - 4 & a 6 bulunur. Böylece a b - bulunur. + bx olacağından integralinin değeri kaçtır? A) ln B) ln C) ln4 D) ln5 E) ln6 sin^xh tan(x) şeklinde yazılıp cos(x) u cos^xh dersek, sin(x)dx -du olur. r x 0 & u ve x & u olacağından, istenilen integral 6 / - # u du u du # ln u ln - ln(/) ln / / bulunur.

13 LYS/MAT integralinde dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir? A) B) integralinin değeri kaçtır? C) D) A) B) C) 46. E) x + e u alınırsa, e x u x e - ve dx du x + e olur. dx yalnız bırakılırsa u dx du elde edilir. O halde istenilen dönüşüm u - u altında integral # du olur. u - ln(x) u x dx du D) E) xdx dv x v # # xln x x ^ xhdx ln^xh- x < ln^xh- F + C olur. O halde, e e/ x # xln^xhdx < ln^xh- F / e + bulunur. 6 x dx integralinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) x + x + A B x - 5x+ 6 x- x- x - + dir. ^ h^ h x - Bu durumda x + A(x - ) + B(x - ) olur. x için B - ve x için A 4 bulunur. O halde, x + 4 # dx # dx - # dx x - 5x+ 6 x - x ln x- - ln x (ln - ln) - (ln - ln) 7ln - ln

14 LYS/MAT 48. Gerçel sayılar kümesi üzerinde fonksiyonu tanımlanıyor. aralığındaki gerçel sayılar için grafiği birim karelere bölünen şekildeki dik koordinat düzleminde verilmiştir 49. olmak üzere, eşitliği sağlanmaktadır. değeri kaçtır? sec x - 6 & + tan x - 6 & tanx açı olduğuna dikkat edin). 6 (x in dar Bu grafiğin böldüğü birim karelerde; grafiğin altında kalan bölgeler maviye, üstünde kalan bölgeler ise sarıya şekildeki gibi boyanmıştır. mavi bölgelerin alanları toplamının sarı bölgelerin alanları toplamına oranı kaçtır? Simetri gereği istenilen oranı [0, ] nda incelemek yeterlidir. Şekilde kırmızı ve mavi bölgelerin alanları toplamı x # x dx 9 birimkaredir. Kırmızı bölgelerin 0 0 toplamı 5 birimkare olduğundan, mavi bölgelerin alanları toplamı birimkare bulunur. Sarı, mavi ve kırmızı bölgelerin alanları toplamı ise birimkaredir. Bu durumda sarı bölgelerin alanları toplamı da birimkare bulunur. O halde istenilen oran 5 4 tir. 50. olmak üzere, denkleminin kaç farklı çözümü vardır? A) B) 6 C) 8 D) E) Soruda kaç farklı çözüm değil kaç farklı x gerçek sayısı vardır denilmek istenmiş olsa gerek. Aksi halde çözüm yarışması söz konusu olabilir :). Bu haliyle iptal edilmesi gereken bir sorudur. Sorulmak istenene göre çözüm yaparsak, cos(5x) cos(x + x) cosx cosx - sinx sinx olacağından, denklem cosx cosx - sinx sinx cosx cosx biçimini alır. Bu durumda, sinx sinx 0 dır. sinx 0 & x k veya x k (k! Z) sinx 0 & x n veya x n (n! Z) olur. x değerlerinin kümesi {0, 60, 90, 0, 80, 40, 70, 00 } olur. 4

15 LYS/MAT 5. Her x gerçel sayısı için A sayısı b şeklinde tanımlanıyor. 6 a 6 6 kaçtır? ifadesinin A türünden eşiti nedir? A) B) C) D) E) 4 / cos^kxh cos 4x+ cos6x+ cos 8x A dır. k 4 / cos ^kxh cos x+ cos x+ cos 4x B olsun. k cos4x cos x - cos6x cos x - cos8x cos 4x - denklikleri toplanırsa, A B - & B A + bulunur. A) B) C) D) E) x a + b olacağından tanx tana+ tan b - tana. tan b + elde edilir. -. O halde cotx tür. 5. a a a Not: Toplam sembolünün ilgili kazanım dışında kullanımı nedeniyle müfredat dışıdır. Yukarıdaki şekilde ve D, E, F noktaları ABC üçgeninin kenarları üzerindedir. x kaç derecedir? A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) 40 [DE] // [AB] olduğundan E ve B açıları yöndeştir. Şekle göre ABC üçgeninde 60 + a 80 & a 40 olur. DFC üçgeninde ise x + a 60 olacağından x 0 bulunur. 5

16 LYS/MAT a ABC bir dik üçgen x a 0 60 x kaç derecedir? A) 5 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5 [DB] çizilirse DBC üçgeninin eşkenar ve ADB üçgeninin ikizkenar olacağı görülür. Ayrıca ADC üçgeni de ikizkenar olduğundan m^cad \ h m^\ ACDh x olur. Buna göre ABC üçgeninde x & x 0 bulunur ABC üçgeninde D ve E sırasıyla AB ve BC kenarları üzerindedir. ABC üçgeninin alanı BDE üçgeninin alanının 6 katı olduğuna göre, kaç birimdir? A) B) C) D) E) 6 A(ABC) 6S olsun. Bu durumda A(BDE) S olur. [AD] çizilirse, A(ADC) A(CDB) S elde edilir. Böylece A(CDE) S - S S dir. Demek ki BE a ise CE a olmalıdır. Öte yandan, DBE üçgeni ile BCA üçgeni benzerdir. a & a 6 dır. ABC üçgeninde pisagor uygulanırsa, x + 6 9a & x 8 & x birim olur. 6 a 9 H Yukarıdaki verilere göre, x kaç birimdir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 ABC ikizkenar üçgeninin tepe köşesine ait [CH] yüksekliği çizilirse AH HB birim olur. Dikkat edilirse ABE üçgeni ile CBH üçgeni benzerdir. Bu BE 6 durumda & BE birim olur. 9 O halde, x 9-7 birimdir. BFH üçgeninin alanı kaç birimkaredir? ABC ve BDE eşkenar üçgenler olduğundan ABD, DBF ve FBE açılarının ölçüleri 0 olur. Bu durumda ABD, DBF ve BFE üçgenleridir. ABD üçgeninde BD 8 birim; DBF üçgeninde BF birim ve BFH üçgeninde FH 6 birim, HB 6 birim olur. 6$ 6 O halde A(BFH) 8 birimkaredir. 6

17 LYS/MAT F ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir? AHF üçgeninde [DG] // [AF] ve AD DH olduğundan HG GF birim olur. DCE üçgeninde [HG] // [CE] ve DH HC olduğundan DG GE 4 birim olur. Ayrıca paralellik gereği H açısı dik açıdır. Bu durumda DH birim elde edilir. Böylece, ACB üçgeninde de AC 6 birim ve CB 6 birim olacaktır. O halde A(ABC) 8 birimkaredir. Aşağıda kenar uzunlukları sırasıyla, ve birim olan ABCD, BLPR ve KLMN kareleri verilmiştir. Yukarıda verilen ABCD karesi eşit alanlı dört dikdörtgene bölünmüştür. oranı kaçtır? k bir pozitif gerçek sayı olmak üzere, DC k olsun. Bu durumda karenin alanı 44k olur. Her bir dörtgenin alanı 6k olacağından, CF k & BF 9k & EB 4k & AE 8k bulunur. AE 8k O halde, tür. AD k 6. T S 4 Şekilde verilen A, B, K ve L noktaları doğrusaldır. DNP üçgeninin alanı kaç birimkaredir? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 8. yol: İstenilen bölgenin alanını bulmak için ADPL yamuğunun alanından ADNK ve NKLP yamuklarının alanları toplamı çıkarılabilir. Bu durumda + + A(DNP) $ 5 - c $ $ m birimkare bulunur.. yol: Şekildeki gibi [NP] na paralel ve D noktasından geçen doğru ile NM doğrusu T noktasında kesişsin. PNM ikizkenar dik üçgen olduğundan TSD de ikizkenar dik üçgen olur. [NP] // [TD] olduğundan A(DNP) A(TPN) TN PM / 6 / birimkare bulunur. ABCE dik yamuğunun alanı kaç birimkaredir? DEF ile BAF üçgenleri benzer ve benzerlik oranı 4 olduğundan DE birim olur. DBC açısının ölçüsü 0 olduğundan DBC dik üçgeninde DC 4 birim ve BC 4 birimdir. Ayrıca, EC 4 - birim olur. O halde A(ABCE) (8 + ) 4 / 0 birimkaredir. 7

18 LYS/MAT Şekilde ABCD deltoidinin alanı 60 birimkaredir. ABCD deltoidinin çevresi kaç birimdir? 60 AC DB / & DB 0 birim olur. BE 4 ED verildiğinden BE 6 birim ve ED 4 birimdir. Bu durumda pisagor gereği AD DC 4 5 birim ve AB BC 8 5 birim olur. O halde Ç(ABCD) 4 5 birimdir Yukarıdaki şekilde [AC] ve [BE], O merkezli çemberin çaplarıdır. x kaç derecedir? A) 75 B) 80 C) 90 D) 05 E) 0 [AC] // [ED] olduğundan BOC ve BED açıları yöndeş açılardır. Böylece m^oed \ h 60 olur. OE OD olduğundan OED üçgeninde m^ode \ h 60 olur. Bu durumda bu üçgen eşkenardır. m^eod \ h m^fob \ h m^\ AOFh 60 olur. AO OB olduğundan AOB ikizkenar üçgeninin taban açı ölçüleri 0 bulunur. Böylece OFB üçgeninde x 90 elde edilir. Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir? A) 5 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55 m^\ ABCh ve m^cbe \ h 60 dir. Ayrıca, ABCD eşkenar dörtgen ve BEC eşkenar üçgen olduğundan AB BE dir. Böylece ABE üçgeni tepe açısının ölçüsü 60 olan ikizkenar üçgen olur. Taban açı ölçüleri 0 bulunur. O halde x olur. Yukarıdaki şekilde verilen [AD], [BD] ve [CD] çaplı yarım çemberler D noktasında birbirine teğettir. Yeşil ve mavi ile boyalı bölgelerin alanları birbirine eşit olduğuna göre, x kaç birimdir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 r x [AD] çaplı yarım dairenin alanı + 0 c m r x [BD] çaplı yarım dairenin alanı + 6 c m r x [CD] çaplı yarım dairenin alanı b l Bu durumda, r x + 0 x + 6 ( c m - r x + 6 c m ) x ( c m - b l ) olacağından gerekli sadeleştirmeler yapılıp denklem çözülürse x 7 bulunur. 8

19 LYS/MAT C C A B A D T O B Yarıçapları birim olan çember ile bunları çevreleyen büyük çember, değme noktalarında birbirlerine şekildeki gibi teğettir. boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) B) C) Bir taban ayrıtı 5 birim olan kare dik prizma ile özdeş 4 üçgen dik prizma şekildeki gibi bir araya getirilerek bir ayrıtı 7 birim olan aşağıdaki gibi bir küp oluşturuluyor. C 7-x A x 5 B 7 D) E) Şekildeki gibi çizim yapılırsa, büyük çemberin merkezi O ve çapı [AB] dir. DC CO birim ve CT birim olduğundan DO birim olur. Böylece büyük çemberin yarıçapı AO + birim olur. [AB] çaplı dairenin alanı r( + ) r(4 + ) birimkare bulunur. Küçük dairelerin alanları toplamı ise r birimkaredir. O halde mavi bölgenin alanı 4 r birimkaredir. bir üçgen dik prizmanın yüzey alanı kaç birimkaredir? A) 7 B) 75 C) 80 D) 90 E) 96 Şekildeki gibi ABC dik üçgeninde AB x & AC 7-x olur. BC 5 birim olduğundan x veya x 4 olacaktır. Her iki durumda da A(ABC) 4 / 6 birimkaredir. O halde dik üçgen prizmanın yüzey alanı (Taban çevresi) Yükseklik + (Taban Alanı) ( ) birimkaredir. 9

20 LYS/MAT 68. Taban yarıçapı 5, yüksekliği birim olan Şekil deki dik dairesel koni, tepe noktasından geçen tabana dik bir düzlem boyunca kesilerek özdeş iki parçaya ayrılıyor. 69. C B Bu iki eş parça döndürülüp Şekil deki gibi yarım çemberler boyunca birbirine yapıştırılarak bir cisim oluşturuluyor ve bu cisim Şekil teki gibi düz bir masa üzerine konuluyor. Dik koordinat düzleminde, kısa kenarı birim, uzun kenarı birim olan 9 eş dikdörtgenden oluşan şekil çizilmiştir. Sonra, A(, 0) noktasından geçen d doğrusu ile bu şekil eşit alanlı iki bölgeye ayrılmıştır. d doğrusunun eğimi kaçtır? bu cismin içine sığabilecek küre biçimindeki en büyük topun yarıçapı kaç birimdir? Her bir dikdörtgenin alanı birimkare olduğundan toplam alan 8 birimkaredir. Bu durumda d doğrusu 9 birimkarelik iki alan oluşturmuştur. Şekilde ve nolu dikdörtgenler birbirini ikame edecek şekilde düşünülürse, ABC üçgeninin alanı (9 + küçük mavi karenin alanı) dır. O halde A(ABC) 0 birimkaredir. AB & BC 0/ olur. Bu durumda d doğrusunun eğimi m - AB / BC -9/0 dir. 70. Dik koordinat düzleminde orijinden geçen, doğruları ile doğrusunun sınırladığı kapalı bölge bir eşkenar üçgendir. bu eşkenar üçgenin alanı kaç birimkaredir? Yerleştirilebilecek en büyük küre biçimindeki top şekildeki gibi olacaktır. Topun merkezi O ve top [AC] ye H de teğettir. BC 5 birim ve AB birim olduğundan AC birim, AH birim ve HC birim olur. ABC ile OHC benzer olduğundan x & x birim bulunur. 5 5 İstenilen bölge şekildeki OAB eşkenar üçgenidir. [OC] yüksekliği çizilirse, OC birim olacağından eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu 6 birim olur. Bu durumda alanı 6 birimkare olarak hesaplanır. 0

21 LYS/MAT 7. Dik koordinat düzleminde çember x-eksenine noktasından geçen bir noktasında teğettir. bu çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 8 B) 0 C) D) 5 E) 0 Şekilden de görüleceği üzere BDC üçgeninde pisagor uygulanırsa r 5 birim bulunur. 7. Düzlemde sıfırdan farklı ve vektörlerinin toplamı sıfır vektörüne eşit olduğuna göre, I. II. ise dir. III. ile arasındaki açı 80 derecedir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) II ve III 7. p pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, denklemiyle verilen elipsin odak noktaları arasındaki uzaklık birimdir. bu elipsin asal eksen uzunluğu kaç birimdir? A) 4 B) 5 C) 8 D) 0 E) 4 Pozitif odak apsisi c olsun. Bu durumda (p - ) + c (p + ) & c p bulunur. Odaklar arası uzaklık c & c 6 & p 9 elde edilir. Elipsin x eksenini kestiği apsis p + 0 ve asal ekseni x ekseni üzerinde olduğundan, asal eksen uzunluğu 0 0 birimdir. Sıfırdan farklı iki vektörün toplamı 0 vektörü ise bu vektörler zıt yönlü ve eşit uzunlukta vektörlerdir. Yani u - v dir. Buna göre I. u - v - v - v - v olacağından bu önerme doğru değildir. II. u + v u - u - u (, -4) olacağından u (-, ) olur. Bu önerme doğrudur. III. Vektörler zıt yönlü olduklarından aralarındaki açının ölçüsü 80 dir. Bu önerme de doğrudur. Not: III. nolu önermede "açı 80 derecedir" yazmaktadır. Kavramsal bakıldığında bu önerme yanlıştır. Çünkü açı bir kümedir ve 80 gibi bir sayıya eşit olamaz. Bu nedenle sorunun doğru cevabı Yalnız II olmalıdır. Ancak şıklarda bu yer almadığından ve genel alışkanlık gereği açının ölçüsünün kast edildiği anlaşıldığından sorunun iptali gerekmez.

22 LYS/MAT 74. Not: Soru müfredat dışıdır. 75. Uzayda, doğruları dik kesişmektedir. c kaçtır? Dik koordinat düzleminde A(,), B(8,6) ve C(7,9) olmak üzere, vektörünün vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü vektörünün vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü olduğu bilinmektedir. vektörü aşağıdakilerden hangisidir? A) (,) B) (,0) C) (0,4) D) (,) E) (4,) AB (5, 5) ve AC (4, 8) olacaktır. Buna göre AD AB $ AC $ AC 80 AC $ ^48, h ^6, h AE AB $ AC $ AB 50 AB $ ^55, h ^66, h bulunur. AE - AD DE olduğundan, DE (6, 6) - (, 6) (, 0) bulunur. Not: Sentetik olarak şekil üzerinden benzer dik üçgenler kullanılarak soru daha kısa sürede çözülebilmektedir. d doğrusunun doğrultu vektörü u (,, ) ve d doğrusunun doğrultu vektörü v (a, b, a) dır. Doğrular dik olduğundan vektörler de diktir. Bu durumda iç çarpımları 0 olmalıdır. O halde, a + b + a 0 & b -a olur. a alınırsa, v (, -, ) olur. k! R olmak üzere d denklemi parametrik yazılıp d de yerine yazılırsa, k - k - 9 k - c & c bulunur a ve b gerçel sayılar olmak üzere, uzayda (,, ) noktasından geçen düzlemi, düzlemine diktir. toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 (,, ) noktası düzlemde yerine yazılırsa a + a + b + a - b 6 & a bulunur. Birinci düzlemin normal vektörü N (, + b, - b) ve ikinci düzlemin normak vektörü N (,, -8) dir. Düzlemler dik olduğunan normal vektörleri de diktir. Bu nedenle iç çarpımları 0 olmalıdır. O halde, b b 0 & b bulunur. Böylece a + b + tür. Not: Soru müfredat dışıdır.

23 LYS/MAT A sıfırdan farklı bir rakam olmak üzere, Şekilde A, B ve C noktaları E düzlemi üzerindedir. uzunluğu kaç birimdir? A) B) 8 C) D) E) [PB] çizilirse, üç dikme teoremi gereği [PB] BC dir. PB PA + AB ve PC PB + BC olduğundan PC PA + AB + BC & PC 5 birim bulunur soruların cevabını, cevap kâğıdınızdaki ilgili alana sola dayalı olarak yazıp kodlayınız. sayılarının toplamının 9 ile bölümünden kalan tür. A nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? Sayıların rakamları toplamının toplamı A + A + A A 5 5A dır. 5 5A / 7 6A / 4A / 6A (mod 9) ve soruda verilen kalan olduğundan 6A / (mod 9) olmalıdır. Bir m tam sayısı için 6A + 9m & A + m dir. A sıfırdan farklı bir rakam olacak biçimde m & A m & A 5 m 5 & A 8 olur. Böylece A değerlerinin toplamı 5 bulunur. 78. x x 80. F gerçel sayılar kümesinde türevlenebilir bir fonksiyon ve f gerçel sayılar kümesinde sürekli bir fonksiyon olmak üzere, her x gerçel sayısı için a eşitliği sağlanıyor. a a ve olduğuna göre, Yukarıda verilen şekilde A, D ve B noktaları doğrusaldır. x kaç derecedir? ABC üçgeninde, a + x CDE üçgeninde x + a olur. Bu denklemler ortak çözülürse x 4 elde edilir. integralinin değeri kaçtır? F(x) u seçilirse, f(x)dx du olur. x için u F() 7 x için u F() olacağından 7 # Fxfxdx ()() # udu u bulunur. TEST BİTTİ. CEVAPLARINIZI KONTROL EDİNİZ.

24 07 LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI- (Matematik) 07-LYS MATEMATİK TESTİ. C. E. C 4. A 5. B 6. C 7. A 8. B 9. A 0. D. B. D. B 4. C 5. E 6. D 7. A 8. E 9. B 0. B. B. E. D 4. E 5. D 6. C 7. A 8. C 9. B 0. D. B. C. C 4. B 5. E 6. B 7. A 8. C 9. A 40. B 4. A 4. C 4. E 44. A 45. E 46. E MATEMATİK TESTİ 48. C 49. D 50. C 5. E 5. B 5. A 54. B 55. D 56. B 57. C 58. D 59. A 60. A 6. E 6. B 6. D 64. C 65. D 66. E 67. E 68. D 69. D 70. C 7. D 7. D 7. E 74. B 75. A 76. A 77. D