( ) FAKTÖRĐYEL YILLAR /LYS. Örnek( 4.)

Transkript

1 YILLAR ÖSS-YGS / - / /LYS FAKTÖRĐYEL Örnek( 4) 3)!! ) )! 4 )!? den n e kadar olan sayıların çarpımına n! denir n! 34(n-)n 0!!! 3! 3 6 4! !3450 Örnek( ) 7!+4! 5!? Sayılardan en küçük olan parantezine alırsak; 4!( ) 4!06 0!7! Örnek( )? 8!9! 0!7! 9!07! 0 5 olur 8!9! 7!89! 8 4! + 0! Örnek( 3)! 0! Pay ve paydayı 0! Parantezine alırız! + 0! 0!(+ )! 0! 0!( ) 0 6 5? )! (a+ 3)! (a+ )!(a+ ) 4 )! )! (a+ 4) (a+ 3)! )! buradan gerekli sadeleştirmeler yapılırsa ) elde edilir a+ 4 ( ) 0! 68! Örnek( 5)? 56 7! 0! 68! 8!90 68! 56 7! 78 7! 8!(90 6) 78! 84 7 bulunur Örnek( 6) )! )! 3 56 ise a? 56 )! )!(a + )(a+ 3) 56 )! (a+)(a+3) 56 ardışık iki sayının çarpımı 56 ise sayılar 7 ve 8 dir a+7 a5 bulunur n Örnek( 7) 7! a 7 ise a nın en küçük doğal sayı değeri için n en fazla kaçtır? wwwglobalderscom

2 7! Açıldığında içinde kaç tane 7 çarpanı varsa n nin alacağı maksimum değer odur Bu sorunun cevabını ya 7! i açarak, yada 7 yi sürekli 7 ye bölüp bölümleri toplayarak buluruz Biz ikinci yolu tercih ediyoruz buradan 0+ bulunur Yani n en fazla olur ( ) x Örnek( 8) 5! a a,x N olmak üzere x in alabileceği değerler toplamı nedir? Örnek( 9)!+3!+5!++4! Sayısı hesaplandığında birler basamağında hangi sayı bulunur? Bir sayının birler basamağındaki sayıyı, o sayıyı 0 a bölüp kalana bakarak bulabiliriz O halde bir sayının birler basamağındaki sayı, 0 sayının 0 a bölümünden kalana eşittir 05 olduğundan, 0 ile tam bölünmek için ve 5 çarpanlarına sahip olmak gerekir Bu tür sorularda bölünmesi istenen sayının çarpanlarını barındıran ilk sayıdan sonrası 0(sıfır) kabul edilip kalanlar toplanır! + 3! + 5! + +4! kalanlar Önceki sorularda olduğu gibi bunda da 5! in içinde kaç tane çarpanı olduğu soruluyor Ancak öncekinden farklı olarak buradaki sayı bir asal sayı değil, bir bileşik sayıdır O yüzden çözüm şöyle olmalı bileşik sayısı asal çarpanlarına ayrılır 37 asal çarpanların en büyüğü olan 7 baz alınır ve 5 sayısı 7 ye sürekli bölünerek elde edilen bölümler toplanır x in maksimum değeri 8 olur Burada x in alabileceği değerler toplamı sorulduğundan 0 dan 8 e kadar olan doğal sayı değerleri toplanır bulunur o halde cevap +6 7 olur Örnek( 0) sıfır vardır? 7! Sayısının sonunda kaç Bir sayının sonundaki sıfır sayısı o sayının içindeki 0 çarpanlarının sayısına eşittir Aslında soru bir nevi 7!a0 n sorusuna benzemektedir Ve aynı şekilde çözülür o halde 5+6 tane sıfır vardır Örnek( ) 6! sayısının sonunda kaç 9 vardır? wwwglobalderscom

3 6! sayısının sonunda kaç sıfır varsa, 6!- sayısının sonunda o kadar 9 vardır O halde 6! Sonundaki sıfır sayısını bulmak yeterlidir 5 sayısının çarpanlarının içindeki 5 ile 5! Sayısının içindeki çarpanlarından biri birleştiğinde bir tane daha 0 çarpanı elde edildiğinden 5!5 sayısının sonunda 3+4 tane sıfır vardır denir o halde cevap +4 tane sıfır vardır Örnek( 4) 3!! Sayısı aşağıdakilerden hangisine bölünmez? A) 3 B) 5 C) 7 D) 7 E) 3 Örnek( ) 37! 7! Sayısının sonunda kaç sıfır vardır? Bu tür sorularda bakılır lerin ayrı ayrı içindeki sıfır sayıları faklı ise en küçük olanı alınır Eğer içindeki sıfır sayıları eşit ise toplam veya farktan bir veya iki sıfır gelme ihtimali olacağından, ifadeler düzenlendikten sonra işleme alınır Önce sayıyı! Parantezine alırız!(3-)!55!35 3,5 ve 7 sayıları! Đçinde olduğundan sayımız 3,5 ve 7 ye bölünür Sayımızın çarpanlarından biri 3 olduğundan sayı 3 e de bölünür O halde sayımız 7 ye tam bölünmez yani cevap D şıkkı olur Örnek( 5) 4!+! Sayısının en büyük asal çarpanı kaçtır? 37! sayısı 7! den fazla sıfır içerdiğinde sadece 7! e bakılır o halde cevap 3 olur Örnek( 3) 6! 5! Sayısının sonunda kaç sıfır var? Her iki sayının sonundaki sıfırlar eşit olduğundan, önce bu sayıları düzenlemek gerekir 6!-5! 5!(6-) 5!5 Sayımızı! Parantezine alalım!(34+)!83!36 sayımızın içinde,3,5,7,,6 asal çarpanları vardır Bunlardan en büyüğü 6 dir 7! 56! Örnek( 6)? 64! 7! 56! 6!(7 5) 64! 64! 4!56 64! 0 5! Sayısının sonundaki sıfır sayısı 3 tür wwwglobalderscom 3

4 Örnek( 7) 48! x A ise x in en büyük değeri kaçtır? sayısı asal olmadığından asal çarpanlarına ayrılır 3 x x 3 x burada ve 3 asal sayılarına bakılır tane varancak bize lerin sayısı lazım buradan x43 x, (burada x in tam kısmı alınır) yani tane var şimdi sıra 3 lerin sayısını bulmada ! x sorusu a gibi bir tamsayıya eşit olsun 5 53! a içler dışlar çarpımı yapılırsa x 5 x 53! a5 ifadesi bizim daha önce çözdüğümüz sorulara benzediğinden, aynı şekilde çözülür 5 sayısı çarpanlara ayrılırsa 5 35 büyük olan çarpana göre işlem yapılacağından olacağından x in maksimum değeri dir x in alacağı değerler toplamı ise olur Örnek( 9) 43! Sayısı 5 tabanında yazıldığında sondan kaç basamağı sıfırdır? 6+5+ x(yani tane 3 var ) sonuç olarak: sayısını elde etmek için eşit sayıda ve 3 e ihtiyaç olduğundan 3 ün tane olması bir şeyi değiştirmez yani böyle durumlarda en küçük olan kabul edilir O halde cevap olacaktır Taban aritmetiği konusu hatırlandığında bu sorunun cevabının 43! deki 5 çarpanlarının sayısına eşit olduğu anlaşılır O halde 43! deki 5 lerin sayısı; bulunur 53! Örnek( 8) Z ise x in alabileceği x 5 değerler toplamı kaçtır? 57! Örnek( 0) a b 5 7 en büyük değeri kaçtır? c N ise a+b+c nin wwwglobalderscom 4

5 a b+ 3 c 8+ 9 a+b+c bulunur Örnek( ) a ve b doğal sayı olmak üzere ( a 3)! ( b 5)! ise a b nin alabileceği farklı değerler toplamı nedir? a-3b-5 olabilir Buradan a-b - a-3 ve b-50 olabilir Buradan a4 ve b5 ve a-b bulunur a-30 ve b-5 olabilir A3 ve b6 ve a- b3-6-3 bulunur Sonuç olarak bulunur (0!! olduğu unutulmamalıdır) Örnek( ) + 4) )! ise n? wwwglobalderscom 5 + 4) )! ( + (n+ 4)) n+5 n7 bulunur Örnek( 3) a,b doğal sayı (a )!+(b )!7 ise a+b kaç farklı değer alır?!+3!7 ve 0!+3!7 olduğundan, bu değerleri (a-) ve (b-) ifadeleriyle tek tek eşleştiririz!+3!7 için a- a 3 veya a- 3 a 5 b- 3 b 4 b- b a+b 7 a+b 7 0!+3!7 için a- 0 a veya a- 3 a 5 b- 3 b 4 b- 0 b a+b 6 a+b 6 o halde farklı a+b vardır deriz Örnek( 4) 3456 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 6!! B) 6!! C) 7!! D) 7!! E) 6!! Şıklara bakıldığında bizden istenenin, sayıyı faktöriyel olarak ifade etmek olduğunu anlarız O halde bizde öyle yapacağız, den istenen sayıya kadar olan sayıların çarpımı olduğundan 3456 sayısında faktöriyel için eksik kalan! Sayısı ifade ile bir çarpılır bir de bölünürse;!3456 6! ifadesinin elde!! edildiği görülür O halde cevap E şıkkıdır

6 Örnek( 5) değeri kaçtır? 35! x N ise x in en büyük 4 Örnek( 7)! 0! n x eşitliğinde n,x doğal sayı ise n en çok kaçtır? x x 4 olduğundan 35! deki lerin sayısını bulalım 0!(-) n x 0!0 n x 0! 5 n x önce 0!deki lerin sayısını bulalım x buradan x6 çıkar Örnek( 6) )! 4 )! kaç n tamsayısı vardır? 5 )! < 4 )! 4 )!(n ) 5 < şartına uyan + 5) < 4! n+5 < n<6 olur Bu arada negatif sayıların faktöriyeli olmayacağından n+4 0 ve n+5 0 olmalıdır buradan da n -4 ve n -5 elde edilir Sonuç olarak n için alabileceğimiz değerler n -4 ve n<6 aralığında olacağından n-4,-3,-,-,0,,,3,4,5 yani 0 tane n değeri bulunur (n-5 değeri n -4 şartına uymadığından n -5 şartını dikkate almadık) şimdi buna deki tane yi de eklersek 8+0 bulunur 5! 4! Örnek( 8) N ise en büyük n n n+ 3 + tamsayısı kaçtır? Önce ifadeyi anlaşılır bir hale getirelim 5! 4! 4!(5 ) n n+ 3 n 3 + (+ ) 4!4 n 9 4!8 n 3 soru bu hali ile önceki sorulara benzemiş durumda Yine 4!8 ifadesindeki lerin adedi sorgulanıyor (paydadaki 3 zaten pay daki 4! de var olup sadeleşebildiğinden bununla ilgili herhangi bir işlem yapmayacağız) wwwglobalderscom 6

7 bulunur Birde 8 3 olduğundan burada da 3 tane var O halde sonuç +35 olur a Örnek( 9) 63! 5 6 b x ve a,b,x doğal sayı ise en büyük a+b? Bu tür sorularda bölünmesi istenen sayıyı barındıran ilk faktöriyel ve sonrası tam bölüm, dolayısıyla 0 kalan gerçekleştirdiğinden dikkate alınmaz Sorumuzda 6! Sayısı 5 i barındıran ilk sayı olduğundan 6! ve sonrası dikkate alınmaz O halde! +4!+46 elde edilen 6 sayısının 5 ile bölümünden kalan ise dir O halde sorumuzun cevabı olur Örnek( 3) 7! 4! Sayısının sondan 5 basamağının toplamı kaçtır? (C: 40) 535 (burada 5 lerin sayısına bakılacak) 6 4 (burada da lere bakılıp bulunan lerin dörtte biri alınacak) burada a3 bulunur ! Sayısının sondan 6 basamağı sıfır olduğundan(daha önce bunun nasıl bulunduğu öğretildi) sadece son beş basamağı 0 olan bir sayıdan 4!4 sayısının farkından oluşan durumu incelemek yeterlidir son 5 basamak toplandığında bulunur Örnek( 3) A 6!+7! Đse 8! in A türünden değeri nedir? burada da b elde edilir Sonuç : a+b dir 6!+7!6!(+7)6!8 bu sayının 8! den sadece 7 si eksiktir O halde A6!8 in her iki tarafını 7 ile çarparsak 7A6!78 8!7A elde edilir Örnek( 30)!+4!+6!++7 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? wwwglobalderscom 7

8 Örnek( 33) b)! ( b + a! ( b )! 7 3)! b)! ( b 3)!( b ) + 7 a! ( b 3)! ise (a+b 3)!? b)! b)! + ( b ) 7 (9 b) a! a! E) 789 dir 8 ve 9 sayıları 9! in içinde var olduğundan tam bölünür C) 63 dir 9! de var ancak 3 çarpanı ne 9! de ne de de var O halde cevap C şıkkıdır YAZAN ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU Matematik Öğretmeni wwwglobalderscom (a+b)! a!(9-b) b3 ve a0 için (0+3)! 0!(9-3) 3! 6 o halde (a+b 3)!(3+0-3)! olur Örnek( 34) fazla kaçtır? 5 a ve n Z +, 5! n a ise n en (ÖSS-9) n +3 bulunur Örnek( 35) bölünmez? 9!+0! Sayısı AH ile tam (ÖSS-000) A) 5 B) 4 C) 6 D) 44 E) 7 9!+0! 9!(+0)9! A) 535 dir 3 ve 5 sayıları 9! in içinde var olduğundan tam bölünür B) 438 dir 3 ve 8 sayıları 9! in içinde var olduğundan tam bölünür D) 444 dir 4 ve sayıları 9! in içinde var olduğundan tam bölünür wwwglobalderscom 8