ISSN:1306-3111 e-journal of New Worl Scences Acaemy 2008, Volume: 3, Number: 4 Artcle Number: A0108 NATURAL AND APPLIED SCIENCES MATHEMATICS APPLIED MATHEMATICS Receve: March 2008 Accepte: September 2008 2008 www.newwsa.com Mehmet Güngör Ayşegül Gökhan Yavuz Altın Yunus Bulut Unversty of Frat mgungor@frat.eu.tr Elazg-Turkye TESADÜFİ DEĞİŞKENLERLE İLGİLİ BAZI YAKINSAKLIK ÇEŞİTLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI ÖZET Bu çalışmaa, tesaüf eğşkenlern yakınsaklığı le lgl olan noktasal yakınsaklık, hemen hemen her yere yakınsaklık, ortalama-kare anlamına yakınsaklık, atksel yakınsaklık ve ağılımsal yakınsaklık kavramları ncelenmş ve aralarınak bazı lşkler verlmştr. Anahtar Kelmeler: Noktasal Yakınsaklık, Hemen Hemen Her Yere Yakınsaklık, Ortalama-Kare Anlamına Yakınsaklık, İstatksel Yakınsaklık, Dağılımsal Yakınsaklık THE COMPARISON OF SOME CONVERGENCE MODES FOR RANDOM VARIABLES ABSTRACT In ths stuy, the concepts of convergence n pontwse, almost everywhere convergence, convergence n mean-square, convergence n probablty an convergence n rbuton for ranom varables are consere an gven some relatons among them. Keywors: Convergence n Pontwse, Almost Everywhere Convergence, Convergence n Mean-Square, Convergence n Probablty, Convergence n Drbuton
e-journal of New Worl Scences Acaemy 1. GİRİŞ (INTRODUCTION) ( (w)), ( Ω, I,P) olasılık uzayı üzerne tanımlı tesaüf eğşkenlern br zs olsun. Δ I olmak üzere her br w Δ çn lm (w)= X(w) olacak şekle Δ üzerne tanımlanan br X(w) mevcut se ( (w)) zs, (noktasal) yakınsaktır enr. Yan, her ε > 0 ve her br w Δ çn br n 0 (ε,w) varır öyle k n n 0 oluğuna (w) - X(w) < ε ır. Bua, br eneyn sonucu ne olursa olsun emektr. Eğer, Δ = Ω se yakınsaklık her yerer enr. Bununla brlkte bu şeklek kuvvetl yakınsaklık, olasılık moellern hemen hemen tam olarak karakterze etmez. Örneğn, üzgün br maen para n efa atılığına tura gelmes oranı, sıfır olasılığına sahp olmayan sonsuz zlere rağmen bütün zler çn 1/2 ye yakınsamaz. O hale, sıfır olasılıklı br w cümles harç, bütün w lar çn (w), X(w) ya yakınsayacak şekle aha zayıf br yakınsaklık çeşne htyaç varır. Tesaüf eğşkenler zsnn yakınsaklığınan zyae ortalamaların yakınsaklığını oluşturacağımız bazı fzksel urumlar çn bu yakınsaklık, olukça kuvvetl br kavramır. 2. ÇALIŞMANIN ÖNEMİ (RESEARCH SIGNIFICANCE) Bu çalışmaa tesaüf eğşkenlerle lgl yakınsaklık türler araştırılıp, aralarınak lşkler verlmştr. Çalışma bulguları bunan sonra ve bu konua yapılacak çalışmalara örnek olması açısınan önem arz etmekter. 3. BAZI YAKINSAKLIK ÇEŞİTLERİ (SOME CONVERGENCE MODES) Hemen hemen her yere yakınsaklık: Tesaüf eğşkenlern br ( (w)) zs çn w Ω \ N olmak üzere lm (w) = X(w) (sonlu) veya P{w: lm (w) = X(w)}=1 olacak şekle br sıfır ölçümlü N cümles varsa ( (w)) zsne, X(w) ya hemen hemen her yere yakınsaktır enr ve le gösterlr [1, 4, 6, 7, 8 ve 9]. Tpk br örnek olarak; s 2 örnek 2 varyansının, σ anakütle varyansına h.h. her yere yakınsaığı söyleneblr. Noktasal yakınsaklık le h.h. her yere yakınsaklığı karşılaştırırsak aşağıak faey vereblrz. ( (w)) zsnn, X(w) fonksyonuna Ω üzerne h.h. her yere yakınsak olması çn gerek ve yeter koşul, ( (w)) nın X(w) ya noktasal yakınsamaığı noktaların cümlesnn sıfır ölçümlü olmasıır. Buna göre; ( (w)), X(w) ya h.h. her yere yakınsak se ε > 0 verlğne Ω nın öyle br N alt cümles varır k P(N) = 0 ve w Ω \ N çn br n 0 (ε,w) varır öyle k n n 0 çn (w)-x(w) < ε ır [1]. Teorem 1: olması çn gerek ve yeter koşul, her br ε > 0 çn lm P{w: her n m çn (w) - X(w) ε} = 1 m veya bu faeye eşeğer olan lm P{w : bazı n m çn (w) - X(w) > ε} = 0 m olmasıır [2]. Teorem 2: ( (w)), X(w) ya noktasal yakınsak se h.h.her yere X(w) ya yakınsaktır [1]. Bu teoremn ters, oğru eğlr. Bunu, br örnekle fae eelm. 667
e-journal of New Worl Scences Acaemy Örnek 1: [0, 1] aralığına tanımlı ( (w)) = (w - w n ) zs, X(w) = w ya h.h. her yere yakınsaktır fakat, noktasal yakınsak eğlr. Çünkü, ( (w)) zs, [0, 1] üzerne noktasal yakınsaktır. İstatksel yakınsaklık: ( (w)), tesaüf eğşkenlern br zs ve w Ω olsun. Eğer, her br ε > 0 ve δ > 0 çn her n n 0 olmak üzere P{w : (w) - X(w) > ε }< δ olacak şekle br n 0 N varsa yan, her br ε > 0 çn lm P{w : (w) - X(w) > ε } = 0 se ( (w)) zs, X(w) ya atksel yakınsaktır enr ve le gösterlr [2, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9]. Teorem 3: ve Y se hemen hemen her yere, X=Y r [2]. Teorem 4: Eğer ( (w)), X(w) ya h.h.her yere yakınsak se aynı zamana, X(w) ya atksel yakınsaktır [9]. Bu teoremn ters, oğru eğlr. Bunu br örnekle gösterelm. Örnek 2: P{a w b} = b-a olmak üzere [0, 1] aralığı üzerne = 1, 2, 3,... ve j = 1, 2,..., çn ( Z j (w)) tesaüf eğşkenler zsn, Z j (w) = 1 0,, j 1 < w j se ötek hallere olarak tanımlayalım. Bu z, atksel yakınsak fakat, h.h. her yere yakınsak eğlr. Şm; bunu, gösterelm. I = {(, j ) : = 1, 2, 3,... ve j = 1, 2,..., } çn J: I N, J(, j ) = n = ( 1) + j olmak üzere Z j (w) tesaüf 2 eğşkenn, Z n (w)= (w) olarak yenen üzenleyelm. X(w) = 0 seçelm. ε 1 çn P{ w : (w) X(w) > ε } = P { φ } = 0 ve 0 < ε < 1 çn P{ w : (w) X(w) > ε} = P{w : (w) = 1 > ε} = j 1 1 < 2n 1 0 j 1 - olup, bua (w) (w) = 0 emektr. Bununla brlkte; (w), X(w) ya h.h. her yere yakınsak eğlr. Gerçektene, w (0, 1] ve herhang br n 0 çn (w) = 1 olacak şekle br n n 0 varır. Yan, P{w: lm (w) = X(w)=0} = 0 olur. Teorem 5: se k çn (k) olacak şekle ( (w)) zsnn br ((k) (w)) alt zs varır [7]. = 668
e-journal of New Worl Scences Acaemy Ortalama-kare anlamına yakınsaklık: Eğer (w) - X(w) } = 0 se ( (w)) zsne, X(w) ya ortalama-kare anlamına yakınsaktır enr ve le gösterlr [6]. Teorem 6: Ortalama-kare anlamına yakınsaklık, atksel yakınsaklığı gerektrr. Yan; n lm E{ 2 faes yazılablr [6]. İstatksel yakınsaklık, ortalama-kare anlamına yakınsaklığı gerektrmez. Bu urum, aşağıak örnekle açıklanmaktaır. Örnek 3: P{w: (w) = 0} = 1-1/logn ve P{w: (w)= n} = 1/logn le tanımlanan ( (w)) zs, X(w)=0 a atksel yakınsak fakat, ortalama-kare anlamına yakınsak eğlr. Dağılımsal yakınsaklık: F n (X) ve F(X) sırasıyla, ve X n ağılım fonksyonlarını göstersn. F(X) n sürekl oluğu her br X noktası çn lm F n(x) = F(X) se ( ) zs, X e ağılımsal yakınsaktır enr ve le gösterlr [3], [4], [6], [7], [9]. Örnek 4: Başarılı sonuçların gelme olasılığı p olan bağımsız enemelern br sonsuz zsn üşünelm., lk n süreçtek başarılı sonuçların oranını göstersn. O zaman, n ( -p) /[ p(1 p) ] 1/ 2 N(0,1) faes yazılablr. Buraa, N(0,1); stanart normal ağılımı fae etmekter. Teorem 7: İstatksel yakınsaklık, ağılımsal yakınsaklığı gerektrr [4]. Aşağıak örnekte fae eeceğmz gb ağılımsal yakınsaklık, atksel yakınsaklığı gerektrmez. Örnek 5: X(w), stanart normal ağılımlı olsun ve ( (w)) zs, X 2k+1 (w) = X(w), k = 0, 1, 2,... X 2k (w) = -X(w), k = 1, 2,... şeklne tanımlansın. O zaman, F n (X) = F(X) oluğu kolayca görülür. Buraa zek her br tesaüf eğşken, stanart normal ağılımlıır. Böylece, F n (X) F(X) oluğu açıktır. Bununla brlkte, n =2k ( k =1,2,...) çn (w) X(w) = 2 X(w) yazılablr. Böylece, P{ w : (w) X(w) 1} = P{ w : X(w) 1/2 } 0.617 olur. Yan; söz konusu z, atksel yakınsak eğlr. Teorem 8: ( (w)), tesaüf eğşkenler zs ve c br sabt olmak üzere c olması çn gerek ve yeter koşul, olmasıır. Buraa, F(x) = 0 1, x < c, x c c 669
e-journal of New Worl Scences Acaemy şeklne fae elmekter [4]. İstatksel yakınsak zlern cümlesn, S le gösterelm. Yan, S ={( (w)) : lm P{w : (w) - X(w) > ε} = 0} olsun. S cümles, br vektör uzayıır. Gerçektene, ) ve Y n Y se + Y n + Y, ) α herhang br sabt olmak üzere, se α α X oluğu kolayca gösterleblr. Aynı şekle; noktasal yakınsak, h.h. her yere yakınsak, ortalama-kare yakınsak ve ağılımsal yakınsak zlern cümleler e, brer vektör uzayı oluşturur. 4. SONUÇ (RESULT) Sonuç olarak; buraya kaar anlatılanlaran n; noktasal yakınsaklığı göstermek üzere, aşağıak şema verleblr. n KAYNAKLAR (REFERENCES) 1. Balcı, M., (1998). Reel Analz, Ertem Matbaası, Ankara. 2. Chung, K.I., (1974). A Course Probablty Theory, Acaemc Press, New York. 3. Güngör, M. an Çalık, S., (2000). On the Orer Statcs n Samples from Fnte Populaton, Jour. of Inst. of Math. an Comp. Sc., Vol. 13, No.3, 339-342. 4. Harrs, B., (1966). Theory of Probablty, Ason - Wesley Publshng Company, Lonon. 5. Kappos, D.A., (1969). Probablty Algebras an Stochastc Spaces, Acaemc Press, New York. 6. Papouls, A., (1965). Probablty Ranom Varables an Stochastc Processes, McGraw-Hll Book Company, New York. 7. Serflng, R.J., (1980). Approxmaton Theorems of Mathematcal Statcs, John Wley an Sons, New York. 8. Whttle, P., (1970). Probablty, John Wley an Sons, Lonon. 9. Wlks, S.S., (1962). Mathematcal Statcs, John Wley an Sons, Lonon. 670