Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve Dr. Sezgin SUCU Lisans Dersin Kredisi 3 Dersin Türü Dersin İçeriği Dersin Amacı Dersin Süresi Eğitim Dili Zorunlu Ölçülebilir kümeler, Ölçü,, ölçülebilir fonksiyonlar ve ölçülebilir fonksiyonların ölçülebilir kümeler üzerindeki integrasyonu, integral ile ilgili teoremler incelenecektir. Bu dersi alan bir öğrenci: Ölçü, ölçülebilir küme, ölçülebilir fonsiyonların temel özelliklerini açıklayabilir. Ölçülebilir fonksiyonların ölçülebilir kümeler üzerindeki integrasyonu ve integral kavramlarını açıklayabilir ve yorumlayabilir. Yarıyıl Haftada toplam 4 saat Türkçe Ön Koşul Önerilen Kaynaklar Dersin Kredisi 3 Yok. Natanson, I. P., Theory of functions of a real variable. 2. Bartle, R. G., Elements of Integration Theory 966 3. Royden H. L., Real analysis 968 4. Halmos, P.R., Measure Theory 974 5. Charalambos D. A., Principles of Real Analysis998 6. Balcı M., Reel Analiz 2009 Laboratuvar Yok

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Çalışma Planı Çalışma Takvimi Haftalar.Hafta 2.Hafta 3.Hafta 4.Hafta 5.Hafta 6.Hafta 7.Hafta 8.Hafta 9.Hafta Haftalık Konu Başlıkları Giriş Cümle dizileri, Alt ve üst limit ve yakınsaklık σ-halka ve σ-cebir Ölçülebilir cümleler Ölçü, dış ölçü Lebesgue dış ölçüsü ve ölçüsü Ölçülebilir fonksiyonlar, ölçülebilir fonksiyon sınıfları Basit fonksiyonların integralleri Pozitif fonksiyonların integrasyonu 0. Hafta İntegrallenebilen fonksiyonlar. Hafta Ara Sınav 2.Hafta Lebesgue yakınsaklık ve sınırlı yakınsaklık teoremleri 3.Hafta Lebesgue integrali ve Riemann integrali arasındaki ilişki 4. Hafta Lp Uzayları ve Temel Özellikleri

. GİRİŞ. Temel Bilgiler SORU : A n bir X kümesinin alt kümelerinin bir dizisi olsun. E 0 = olmak üzere n E n = A k, F n = A n \E n şeklinde tanımlanan E n ve F n dizileri veriliyor. a b c E n dizisinin artan F n dizisinin ayrık E n = F n = A n olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM : a E n dizisi artan n N için E n E n+. E n+ = = n+ A k n A k A n+ = E n A n+ E n olduğundan E n artandır. b m, n N m n olmak üzere F n F m = olduğunu göstermeliyiz. İki durum söz konusudur.

i m > n olsun. Bu durumda m n olur. F n = A n \E n, F m = A m \E m olduğu dikkate alınırsa F n F m = A n = = = A n A n n n A t k n A t k t A k A m A m m n m A t k A m A t k A t n t A k m k=n+ A t k ii n > m olsun. Bu durumda n m > m olur. n t m t F n F m = A n A k A m A k = = A n m A t k A t m n k=m+ A t k A m m A t k bulunur. c n E n = A k = A A A 2 A A 2 A 3... = A n 2

bulunur. F n = A n \E n = A \E 0 A 2 \E A 3 \E 2... = A A 2 \A [A 3 \ A A 2 ]... = A A 2 [A 3 \ A A 2 ]... = A A 2 A 3 [A 4 \ A A 2 A 3 ]... = A n elde edilir. SORU 2: A n bir X kümesinin alt kümelerinin artan bir dizisi olsun. A ; k = S k := A k \A k ; k > olarak tanımlansın. a S n dizisinin ayrık n b A n = S k ve A n = olduğunu gösteriniz. S n ÇÖZÜM 2: a m, n N ve m n olsun. S n S m = olduğunu göster- 3

meliyiz. S n S m = A n \A n A m \A m = A n A t n Am A t m yazılabilir. m > n olsun. m n olacağından A m A n gerçeklenir. Buradan S n S m = A n An t Am A t m A m An t Am A t m = elde edilir. Benzer olarak n > m için de S n S m = gerçeklenir. b A n kümeler dizisi artan olduğundan n n S k = S = A k=2 S k n A k \A k k=2 = A A 2 \A A 3 \A 2... A n \A n = A A 2 A 3 \A 2... A n \A n = A... A n = A n 4

ilk ifade elde edilir. İkinci ifade ise S n = A A n \A n olarak bulunur. n=2 = A A 2 \A A 3 \A 2... A n \A n... = A... A n... = A n dizisi SORU 3: B n bir X kümesinin alt kümelerinin azalan bir dizisi olsun. T n T n := B \B n olarak tanımlansın. a T n dizisinin artan b T n = B \ B n olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 3: a m, n N ve m > n olsun. T m T n olduğunu göstermeliyiz. B n azalan bir dizi olduğundan B m B n sağlanıp B t n B t m = B B t n B B t m = B \B n B \B m = T n T m 5

istenilen elde edilir. b T n = B \B n bulunur. = B \B B \B 2 B \B 3... = B B2 t B B3 t... = B B2 t B3 t... = B = B \ B n Bn t SORU 4: E i i I, X kümesinin alt kümelerinin bir sınıfıolsun. a X\ E i = X\E i i I i I b X\ E i = X\E i i I i I olduğunu gösteriniz. 6

ÇÖZÜM 4: a x X\ E i i I x X ve x / i I E i x X ve i I için x / E i i I için x X ve x / E i i I için x X\E i x X\E i i I olup istenilen elde edilir. b x X\ E i i I x X ve x / i I E i x X ve i 0 I için x / E i0 i 0 I için x X ve x / E i0 i 0 I için x X\E i0 x X\E i i I istenilen bulunmuş olur. 7

.2 Küme Dizilerinin Yakınsaklığı SORU : a A n artan bir dizi olsun. Bu durumda lim A n = A n n N gerçeklenir. Gösteriniz. b B n azalan bir dizi olsun. Bu durumda lim B n = B n n N gerçeklenir. Gösteriniz. ÇÖZÜM : a lim sup A n = lim inf A n = A n olduğunu göstermeliyiz. n N A n dizisi artan olduğundan lim sup A n = A n = A n = m= n=m m= ve lim inf A n = A n = A m A m+... = bulunup istenilen elde edilmiş olur. A n m= n=m m= m= A m b lim sup B n = lim inf B n = B n n N olduğunu göstermeliyiz. B n dizisi azalan olduğundan lim sup B n = B n = m= n=m m= B m

ve bulunur. lim inf B n = = = = B n m= m= m= n=m B m B m+... B B 2... B n... B n = m= B n SORU 2: A n, X kümesinin alt kümelerinin ayrık bir dizisi olsun. lim A n = olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 2: m n olmak üzere m, n N için A n A m = dır. lim sup A n = lim inf A n = olduğunu göstermeliyiz. A n dizisi ayrık olduğundan lim inf A n = A n = m= n=m sağlanır. Şimdi kabul edelim ki lim sup A n = A n olsun. m= n=m Bu durumda m N için x 0 A n vardır. Bu ise m N için m 0 N n=m m 0 m x A m0 olmasını gerektirir. Arakesit işlemini m = m 0 + için 2

başlatırsak x elemanı m 0 + ve daha sonraki indislere sahip bir kümenin elemanıolmak zorundadır. Bu ise A n dizisinin ayrık olmasıile çelişir. Dolayısıyla lim sup A n = olmak zorundadır. Sonuç olarak lim A n = elde edilir. SORU 3: Aşağıda genel terimleri verilen küme dizilerinin yakınsaklığınıinceleyiniz. a A n = [ n, n ] b B n = { n,...,, 0,,..., n} ÇÖZÜM 3: a n N için n < n+ < n+ < n olduğundan A n dizisi azalan bir dizidir. O halde olmalıdır. lim A n = A n n N A n = A... A n... = [, ] = {0} [ 2, ] [... 2 n, ]... n olup lim A n = {0} elde edilir. b n N için B n B n+ olduğundan B n artan bir dizidir. O halde lim B n = 3 B n

olmalıdır. B n = {, 0, } { 2,, 0,, 2}... = Z olup lim B n = Z gerçeklenir. SORU 4: 0, n ; n tek ise E n = [, ; n çift ise n şeklinde tanımlanan E n dizisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz. ÇÖZÜM 4: A n = B n = 0, 2n [ 2n, olmak üzere A n ve B n dizileri E n dizisinin alt dizileridir. dir. A n azalan dizi olduğundan lim A n = A n = B n artan dizi olduğundan lim B n = B n = 0, 4

olur. E n dizisinin alt dizilerinin limiti birbirlerinden farklıolduğundan E n dizisinin limiti mevcut değildir. SORU 5: A ; n çift ise E n = B ; n tek ise şeklinde tanımlanan E n dizisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz. ÇÖZÜM 5: lim sup E n = E n = E m E m+... = A B m= n=m m= ve lim inf E n = E n = E m E m+... = A B m= n=m m= olup lim sup E n lim inf E n olduğundan lim E n mevcut değildir. SORU 6: E n herhangi bir dizi ve F herhangi bir küme olsun. a F \ lim sup E n = lim inf F \E n b F \ lim inf E n = lim sup F \E n olduğunu gösteriniz. 5

ÇÖZÜM 6: a F \ lim sup E n = F \ E n m= n=m { } t = F E n m= n=m { t } = F E n = F m= n=m m= n=m = F E t n = En t m= n=m m= n=m b F \ lim inf E n = F \ E n m= n=m { } t = F E n m= n=m { } = F m= n=m = F E t n = En t m= n=m m= n=m SORU 7: Sınırlıbir x n dizisi için F E t n = lim inf F \En F E t n = lim sup F \En a lim sup x n = lim inf x n b lim inf x n = lim sup x n olduğunu gösteriniz. 6

b ÇÖZÜM 7: a lim sup x n = inf sup x n m n m = inf inf x n m n m = sup inf x n = lim inf x n m n m lim inf x n = sup inf x n m n m = sup supx n m n m = inf m supx n = lim sup x n n m SORU 8: A n, X kümesinin alt kümelerinin bir dizisi olsun. lim inf A n lim sup A n X gerçeklenir. ÇÖZÜM 8: Keyfi x lim inf A n için x lim sup A n olduğu gösterilmelidir. Ya da bu önermenin kontro pozitifi olan x / lim sup A n ise x / lim inf A n öner- 7

mesinin doğru olduğunu göstermek yeterlidir. Bu amaçla x / lim sup A n = x / A n m= n=m = m N için m 0 m m 0 N, x / = m 0 N ve n m 0 için x / A n = m 0 N x / n=m 0 A n n=m 0 A n elde edilir. m m 0 için A n A n olduğu dikkate alınırsa x / n=m n=m 0 olduğu görülür. Buradan m N için x / A n m= n=m n=m A n elde edilir. Yani x / lim inf A n olduğu görülür. SORU 9: A n dizisi A n = { k N : n n 2 + k } n n + 2 olmak üzere A n dizisinin yakınsaklık durumunu araştırınız. ÇÖZÜM 9: A = {}, A 2 = {2, 3}, A 3 = {4, 5, 6},...olup A n dizisi ayrıktır. Bundan dolayılim A n = dir. SORU 0: a < b olmak üzere A n dizisi A n = [ a, b n] olsun. Bu durumda 8

a A n b A n kümelerini bulunuz. ÇÖZÜM 0: a b A n = A n = [ a, b n] = [a, b ] [ a, b n] = [a, b 9

2. ÖLÇÜLER 2. BazıKüme Sınıfları SORU : X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir sınıfıolsun. A sınıfıx üzerinde bir σ cebir midir? ÇÖZÜM : A := {B P X : B sonlu} X / A olduğundan A sınıfıσ cebir değildir. SORU 2: X sayılamayan bir küme a A := {A X : A sayılabilir} b A 2 := {A X : A sayılabilir veya X\A sayılabilir} sınıflarıx üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 2: a X / A olduğundan A sınıfıx üzerinde σ cebir değildir. b i X t = sayılabilir olduğundan X A 2 dir. ii Keyfi A A 2 için X\A A 2 olduğunu gösterelim: A A 2 = A sayılabilir } {{ } X\A t =A X\A A 2 veya X\A sayılabilir } {{ } X\A A 2

iii n N için A n A 2 olsun. A n A 2 olduğunu gösterelim. Üç durum söz konusudur: n N için A n A 2 sayılabilir olsun. Bu durumda A n sayılabilirdir. Yani A n A 2 olur. t 2 n N için A t n A 2 sayılabilir olsun. Bu durumda A t n = A n sayılabilirdir. Dolayısıyla A n A 2. 3 B = {A n : A n sayılabilir} C = { A n : A t n sayılabilir } olarak tanımlayalım. olarak yazılabilir. A n = t A n = t A n }{{} B A n }{{} B t A n }{{} C A n }{{} C t A n }{{} C gerçeklenir. C sınıfına ait olan A n kümelerinin A t n tümleyenleri sayılabilir olduğundan A t n sayılabilirdir. Sayılabilir bir kümenin her alt kümeside sayılabilir ola- t cağından A n sayılabilirdir. Dolayısıyla 2 A n A 2 sağlanır.

Sonuç olarak A 2 sınıfıx üzerinde σ cebirdir. SORU 3: A, X kümesi üzerinde bir cebir ve B n de A daki elemanların ayrık dizisi olsun. B n A ise A sınıfıx üzerinde σ cebirdir. Gösteriniz. ÇÖZÜM 3: n N için A n A olmak üzere A n A olduğunu göstermeliyiz. E 0 : =, E n := B n : = A n \E n n A k kümelerini tanımlayalım. Bu durumda B n dizisi ayrık olup A n = B n gerçeklenir. Hipotezden B n A olduğundan sınıfıx üzerinde σ cebirdir. A n A dır. Dolayısıyla A SORU 4: X kümesi üzerindeki σ cebirlerin birleşimi de X üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 4: A : = {, N, {2n : n N}, {2n + : n N}} B : =, N, {3n : n N}, {3n + : n N}, {3n + 2 : n N}, A B, A C, B C } {{ } } {{ } } {{ } =A =B =C 3

A ve B sınıfların üzerinde σ cebirdir. A B = {, N, {2n : n N}, {2n + : n N}, A, B, C, A B, A C, B C} olur. {2n : n N} A / A B olduğundan A B sınıfı N üzerinde σ cebir değildir. SORU 5: Her tipten aralık, ışın ve tek nokta kümelerinin Borel cebirinin elemanıolduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 5: a, b] = [a, b] = b, =, a = a, b + n B R a, b + n n B R b, b + n B R a n, a B R, a] =, a 2 [ a 2, a] B R [b, = [b, 2b] 2b, B R {a} = a n n B R SORU 6: f : X Y bir fonksiyon ve B sınıfıda Y üzerinde σ cebir olsun. A := {A X : f A B} sınıfıx üzerinde σ cebir midir? 4

ÇÖZÜM 6: i X A olduğunu göstermeliyiz. Eğer f fonksiyonu örten ise f X = Y B olup X A dır. ii Keyfi A A için A t A olduğunu göstermeliyiz. f fonksiyonu ve örten ise A A f A B = [f A] t B = f A t B = A t A elde edilir. iii n N için A n A olsun. B nin Y üzerinde σ cebir olduğu kullanılırsa = bulunur. A n A f A n B = f A n B = f A n B A n A Sonuç olarak f fonksiyonu ve örten ise A sınıfıx üzerinde σ cebirdir. SORU 7: f : X Y bir fonksiyon ve A sınıfıda X üzerinde σ cebir olsun. B := { B Y : f B A } 5

sınıfıy üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 7: i f Y = X A olduğundan Y B dir. ii Keyfi B B olsun. A sınıfının X üzerinde σ cebir olduğu dikkate alınırsa B B f B A = [f B] t A = f B t A = B t B elde edilir. iii n N için B n B olsun. B B f B n A = f B n A = f B n A = B n B gerçeklenir. Dolayısıyla B sınıfıy üzerinde σ cebirdir. üzere SORU 8: X ve A sınıfıx üzerinde σ cebir olsun. B A olmak E := {A X : A = B C, C A} sınıfıb kümesi üzerinde σ cebir midir? 6

ÇÖZÜM 8: i B = B X veya B = B B olduğundan X, B A olması dikkate alınırsa B E elde edilir. ii Keyfi A E için B\A E olduğu gösterilmelidir. A E = A = B C, C A = B\A = B\ B C = B\A = B B C t = B\A = B B t C t = B\A = B B t B C t = B\A = B C t gerçeklenir. C t A olduğu dikkate alınırsa B\A E elde edilir. iii n N için A n E olsun. A n E = A n = B C n, C n A = A n = B C n = A n = B C n olur. C n A olduğu dikkate alınırsa E sınıfının tanımından edilir. A n E elde Dolayısıyla E sınıfıb kümesi üzerinde σ cebirdir. 7

SORU 9: B herhangi bir küme olmak üzere A := {A X : A B X} sınıfıx üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 9: i B = X alınırsa A sınıfının tanımından X A dır. ii Keyfi A A kümesini dikkate alalım. B = X alınırsa A t X X gerçeklenir. O halde A t A sağlanır. iii n N için A n A olsun. A n A = A n B X, B X = A n B X olup A n A sağlanır. O halde A sınıfıx üzerinde σ cebirdir. SORU 0: A sabitlenmiş bir küme olmak üzere A := { B X : A B X veya A B t X } sınıfıx üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 0: i X A olduğu tanımdan açıktır. ii Keyfi B A olsun. Bu durumda A B X veya A B t X olacağından B t A gerçeklenir. 8

iii n N için B n A olsun. Buradan A B n X veya A Bn t X olacağından A B n X veya A Bn t X sağlanır. Yani, B n A dır. Dolayısıyla A sınıfıx kümesi üzerinde σ cebirdir. 9

2.2 Ölçüler SORU : En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P X kuvvet kümesi veriliyor. P X üzerinde 0 ; A = µ A := ; A şeklinde tanımlanan µ dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM : i Tanımdan µ = 0. ii A P X için µ A 0 dır. iii n N için A n, P X deki ayrık kümelerin bir dizisi olsun. Üç durum söz konusudur: n N için A n = ise µ A n = µ A n gerçeklenir. 2 n 0 N olmak üzere n n 0 için A n =, m, n n 0 için A n, A m ve A n A m = olsun. A n = A n n=n 0 + olup µ A n = dir. Diğer yandan µ A n = µ A n = + +... = + n=n 0 +

olduğu dikkate alınırsa µ A n µ A n olduğu görülür. Üçüncü duruma bakmaya gerek yoktur. Dolayısıyla µ fonksiyonu P X üzerinde bir ölçü değildir. SORU 2: A sınıfıx üzerinde σ cebir, µ dönüşümü A σ cebiri üzerinde ölçü ve A A sabitlenmiş bir küme olsun. E A için ν E := µ E\A olarak tanımlanan ν dönüşümü A üzerinde ölçü müdür? ÇÖZÜM 2: i ν := µ \A = µ = 0. ii µ, A üzerinde bir ölçü olduğundan ν E = µ E\A 0 gerçeklenir. iii n N için E n, A daki ayrık kümelerin bir dizisi olsun. Bu durumda m n olmak üzere E n \A E m \A = olup E n \A dizisi A daki ayrık kümelerin bir dizisidir. Dolayısıyla µ dönüşümü 2

A üzerinde ölçü olduğundan ν E n = µ E n \A = µ E n \A = µ E n \A = ν E n sağlanır. Sonuç olarak ν dönüşümü A σ cebiri üzerinde ölçüdür. SORU 3: µ,..., µ n ; A σ cebiri üzerinde ölçü ve a,..., a n negatif olmayan reel sayıise A üzerinde ν E := n a k µ k E ile tanımlıν dönüşümü ölçü müdür? n ÇÖZÜM 3: i ν = a k µ k = 0. ii µ,..., µ n ölçü olduğundan E A için ν E = n a k µ k E 0. iii E m, A daki ayrık kümelerin bir dizisi olsun. k n için µ k dönüşüm- 3

leri ölçü olduğundan ν E m m= olup istenilen elde edilir. = = = = n a k µ k E m m= [ n ] a k µ k E m n m= m= a k µ k E m n a k µ k E m = m= m= ν E m Dolayısıyla ν dönüşümü A σ cebiri üzerinde ölçüdür. SORU 4: X, A ölçülebilir uzay ve µ n ölçü dizisi için µ n X = n N 2 olsun. A üzerinde tanımlı β E := dönüşümü ölçü müdür? Ayrıca β X =? n 2 µ 3 n E ÇÖZÜM 4: i β = 2 n µn = 0. 3 ii Keyfi E A ve n N için µ n E 0 olduğundan gerçeklenir. 2 n µn E 0 3 4

iii E m A daki ayrık kümelerin dizisi olsun. µ n ölçü dizisi olduğundan β m= E m = = = = n 2 µ 3 n E m m= n 2 µ 3 n E m m= n 2 µ 3 n E m β E m m= m= yazılabilir. Burada µ n E m µ n X = 2 ve serilerin yerleri değiştirilebilmiştir. tanımlar. Diğer yandan elde edilir. β X = 2 n 3 serisi yakınsak olduğundan O halde β dönüşümü A üzerinde bir ölçü n 2 µ 3 n X = 2 n 2 = 3 SORU 5: A sınıfıx üzerinde σ cebir, µ dönüşümü A üzerinde ölçü olsun. B ve B A olmak üzere K := {A X : A = B C, C A} olsun. ν A := µ A B şeklinde tanımlıν dönüşümü K üzerinde ölçü müdür? 5

ÇÖZÜM 5: 2. Bazı Küme Sınıfları kesimindeki Soru 8 den K sınıfı X üzerinde σ cebirdir. i ν = µ B = 0 dır. ii Keyfi A K için ν A = µ A B 0 sağlanır. iii A n dizisi K daki ayrık kümelerin dizisi olsun. A n B dizisini dikkate alalım. m n olmak üzere A n B A m B = olduğu göz önüne alınırsa A n B A daki ayrık kümelerin bir dizisidir. Ayrıca µ dönüşümü A üzerinde ölçü olduğundan ν A n = µ A n B = µ A n B = µ A n B = bulunur. O halde ν dönüşümü K üzerinde ölçüdür. ν A n SORU 6: a n negatif olmayan sayıların dizisi olsun. P N üzerinde tanımlı 0 ; E = µ E := a n ; E n E 6

biçiminde tanımlanan µ dönüşümü P N üzerinde ölçü müdür? a n = nn+ ise µ N =? ÇÖZÜM 6: i µ = 0 dır. dır. ii KeyfiE P N alalım. E = ise µ E = 0, E ise µ E = n E a n 0 iii E n, P N deki ayrık kümelerin dizisi olsun. Üç durum söz konusudur: n N için E n = olsun. Bu durumda E n = olup µ E n = µ = 0 dır. Diğer yandan n N için µ E n = 0 olduğundan µ E n = µ E n gerçeklenir. 2 n 0 N olmak üzere m, n n 0 için E n, E m, E n E m = m n ve 7

n n 0 için E n = olsun. Bu durumda E,..., E n0 kümeleri ayrık olduğundan istenilen elde edilir. µ E k = µ = = n0 E k a n n 0 n E k n E... E n0 a n = n E a n +... + n E n0 a n = µ E +... + µ E n0 = n 0 µ E k = µ E k 3 m, n N için E n E m = m n ve E n olsun. E n kümeleri ayrık olduğundan µ E k = = a n n E k n E... E n... a n = a n +... + a n +... n E n E n = µ E k olur. 8

Dolayısıyla µ dönüşümü P N üzerinde ölçüdür. µ N = n N bulunur. n n + = lim m m n = lim = n + m m + SORU 7: X bir küme, A sınıfıda X üzerinde σ cebir olsun. E, E 2 A ve µ dönüşümü A üzerinde bir ölçü olmak üzere µ E E 2 = µ E + µ E 2 µ E E 2 olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 7: E E 2 = ise µ E E 2 = 0 olup µ ölçü olduğundan µ E E 2 = µ E + µ E 2 gerçeklenir. E E 2 olsun. E E 2 = E E 2 \E olduğu dikkate alınırsa µ E E 2 = µ E E 2 \E = µ E + µ E 2 \E yazılabilir. Ayrıca E 2 = E E 2 E 2 \E olarak yazılabileceğinden µ E 2 = µ E E 2 + µ E 2 \E 2 9

gerçeklenir. µ E E 2 < ise 2 ifadesi ifadesinde dikkate alındığında µ E E 2 = µ E + µ E 2 µ E E 2 elde edilir. SORU 8: X, A, µ bir ölçü uzayıolsun. B := {E A : µ E = 0} sınıfıx üzerinde σ cebir midir? a E B, F A ise E F B b n N için E n B ise olduğunu gösteriniz. E n B ÇÖZÜM 8: üzerinde N = {, 2, 3,...} olmak üzere doğal sayıların kuvvet kümesi µ E := n E ; E sonlu ise + ; E sonlu değil ise dönüşümü tanımlansın. Burada n E ifadesi E kümesinin eleman sayısıdır. dönüşümü P N üzerinde ölçüdür. O halde N, P N, µ ölçü uzayıdır. Şimdi B sınıfını µ ölçüsü için tanımlayalım: µ B := { E P N : } µ E = 0 0

µ N = + 0 olduğundan N / B dir. Dolayısıyla B sınıfı σ cebir olmak zorunda değildir. a E B ise E A dir. A sınıfıσ cebir olduğundan E F A olmalıdır. E F E gerçeğinden 0 µ E F µ E = 0 sağlanıp µ E F = 0 olur. Yani E F B bulunur. b F = E F n = E n \ n E k, n > olmak üzere F n dizisini göz önüne alalım. Bu durumda F n, A daki ayrık kümelerin dizisi olup gerçeklenir. E n = F n E n A olduğu açıktır. µ ölçü olduğundan µ E n = µ F n = µ F n 3 yazılabilir. n N için F n E n olduğundan µ F n µ E n gerçeklenir. n N için E n B olmasından E n A ve µ E n = 0 sağlanır. Buradan da n N için µ F n = 0 elde edilir. 3 ifadesi dikkate alınırsa µ E n = 0 olup E n B istenileni bulunur.

2.3 Dış Ölçüler SORU : P R üzerinde tanımlı 0 ; A = µ A := + ; A dönüşümü dış ölçü müdür? ÇÖZÜM : i µ = 0 olduğu tanımdan açıktır. ii A P R için µ A 0 olduğu tanımdan görülmektedir. iii A, B P R ve A B olduğunda µ A µ B olduğunu göstermeliyiz. İki durum söz konusudur: A = ise B ya da B = dir. O halde µ A = 0, µ B = + ya da µ B = 0 dır. Dolayısıyla µ A µ B gerçeklenir. 2 A ise B olmak zorundadır. O halde µ A = + ve µ B = + olup µ A µ B sağlanır. iv A n, P R deki kümelerin herhangi bir dizisi için µ A n µ A n sağlandığıgösterilmelidir. Üç durum söz konusudur: n N için A n = olsun. A n = olup µ A n = 0 olur. µ A n = 0 + 0 +... = 0 olduğu da göz önüne alınırsa µ A n =

µ A n sağlanır. 2 n 0 N öyle ki n n 0 için A n ve n > n 0 için A n = olsun. Bu durumda ve µ A n = µ µ A n = n 0 n0 A n = + µ A n = + gerçeklenip istenilen eşitsizlik sağlanır. 3 n N için A n olsun. µ A n = + ve µ A n = + olduğundan yine istenilen eşitsizlik elde edilir. Dolayısıyla µ, P R üzerinde dış ölçüdür. SORU 2: P R üzerinde tanımlı 0 ; A = µ 2 A := ; A ve sınırlı + ; A ve sınırsız dönüşümü dış ölçü müdür? ÇÖZÜM 2: i µ 2 = 0 dır. 2

ii A P R için µ 2 A ifadesi 0, veya + değerlerinden birini alıp µ 2 A 0 gerçeklenir. iii A, B P R olmak üzere A B olsun. A = için B = = µ 2 A = µ 2 B = 0 A = için B ve B sınırlı = µ 2 A = 0 µ 2 B = A = için B ve B sınırsız = µ 2 A = 0 µ 2 B = + A ve A sınırlı için B ve B sınırlı = µ 2 A = = µ 2 B A ve A sınırlı için B ve B sınırsız = µ 2 A = µ 2 B = + A ve A sınırsız için B ve B sınırsız = µ 2 A = + = µ 2 B olup bütün durumlarda µ 2 A µ 2 B gerçeklenir. iv A n, P R deki kümelerin herhangi bir dizisi için µ 2 A n µ 2 A n sağlandığıgösterilmelidir. Yedi durum söz konusudur: n N için A n = olsun. µ 2 A n = 0 ve µ 2 A n = 0 dır. 2 n 0 N öyle ki n n 0 için A n ve A n sınırlı, n > n 0 için A n = olsun. A n = n 0 A n ve bu küme sınırlıolduğundan µ 2 A n = dir. Ayrıca µ 2 A n = n 0 µ 2 A n = n 0 dır. Dolayısıyla µ 2 A n µ 2 A n eşitsizliği gerçeklenir. 3 n 0 N öyle ki n n 0 için A n ve A n sınırsız, n > n 0 için A n = 3

olsun. A n = n 0 A n ve bu küme sınırsız olduğundan µ 2 A n = + dur. Ayrıca µ 2 A n = n 0 µ 2 A n = + dır. Dolayısıyla istenilen eşitsizlik sağlanır. 4 n N için A n ve A n sınırlıolsun. da olabilir sınırsız da olabilir. Bu durumlarıincelersek A n ve sınırlı = µ 2 A n = A n ve sınırsız = µ 2 A n = + A n olup bu küme sınırlı olur. Ayrıca µ 2 A n = + olduğu dikkate alınırsa istenilen eşitsizlik yine sağlanır. 5 n 0 N öyle ki n n 0 için A n ve A n sınırlı, n > n 0 için A n ve A n sınırsız olsun. A n ve sınırsız olup µ 2 A n = + dur. Ayrıca µ 2 A n = + olduğu dikkate alınırsa istenilen eşitsizlik tekrar sağlanır. µ 2 6 n N için A n ve A n sınırsız olsun. A n ve sınırsız olup A n = + dur. Ayrıca µ 2 A n = + olup istenilen elde edilir. 7 n 0, m 0 N öyle ki n n 0 için A n =, n 0 < n < m 0 için A n ve A n sınırlı, n m 0 için A n ve A n sınırsız olsun. A n ve sınırsız olacaktır. O halde istenilen eşitsizlik tekrardan sağlanır. 4

2.4 Lebesgue Dış Ölçüsü ve Lebesgue Ölçüsü SORU : Herbir A R kümesi için A G ve λ A = λ G olacak şekilde G R kümesinin varlığınıgösteriniz? ÇÖZÜM : B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ B = 0 gerçeklenir. G = A B olarak tanımlayalım. A A B olduğu dikkate alınırsa λ A λ A B λ A + λ B = λ A olur. Bu ifade aşağıda kullanırsa λ A λ A B λ A elde edilir. O halde λ A = λ G sağlanır. SORU 2: B R alt kümesinin Lebesgue ölçülebilir olmasıiçin gerek ve yeter koşul I R açık aralığıiçin λ I = λ I B + λ I B t olmasıdır. Gösteriniz. ÇÖZÜM 2:= B R Lebesgue ölçülebilir olsun. A R herhangi bir kümesini dikkate alalım. A = A B A B t

olarak yazılabilir. Bu durumda λ A = λ A B + λ A B t gerçeklenir. Özel olarak A = I alınırsa istenilen elde edilir. = Kabul edelim ki I R aralığıiçin λ I = λ I B + λ I B t olsun. Hatırlatmak gerekirse "B R Lebesgue ölçülebilir E R için λ E λ E B + λ E B t ". λ E = için eşitsizlik geçerlidir. λ E < olduğunu kabul edelim. λ Lebesgue dış ölçüsünün tanımından ve infimum özelliğinden ɛ > 0 için I n = a n, b n τ E vardır öyle ki gerçeklenir. E l I n < λ E + ɛ a n, b n olduğundan E B E B t [a n, b n B] [ an, b n B t] yazılabilir. λ Lebesgue dış ölçüsünün özelliğinden λ E B λ λ E B t λ [a n, b n B] λ a n, b n B [ an, b n B t] λ a n, b n B t 2

eşitsizlikleri elde edilir. Hipotez ve ifadesi kullanılırsa ɛ > 0 için λ E B + λ E B t λ a n, b n B + λ a n, b n B t = λ a n, b n = l a n, b n = l I n < λ E + ɛ yazılabilir. Sol taraf ɛ dan bağımsız olduğundan istenilen λ E λ E B + λ E B t eşitsizliği elde edilir. SORU 3: X bir küme; µ dönüşümü P X üzerinde dış ölçü olsun. A, B P X ve µ B = 0 olduğunda a µ A B = 0. b µ A B = µ A. c B kümesi µ ölçülebilirdir. Gösteriniz. ÇÖZÜM 3: a A B B olduğundan µ A B µ B = 0 sağlanıp µ A B = 0 bulunur. b A A B olduğundan µ A µ A B µ A + µ B = µ A olup bu eşitsizlikten µ A B = µ A elde edilir. 3

c F X için µ F µ F B + µ F B t eşitsizliğinin gerçeklendiğini göstermek yeterlidir. F B t F olduğu kullanılırsa µ F B t µ F olur. µ F B = 0 olduğu dikkate alınırsa µ F B + µ F B t µ F elde edilir. Dolayısıyla B kümesi µ ölçülebilirdir. SORU 4: λ Lebesgue dış ölçüsü olmak üzere A R kümesi λ ölçülebilir olsun. a λ A + x = λ A x R b A + x := {a + x : a A} kümesi λ ölçülebilirdir. Gösteriniz. ÇÖZÜM 4: a τ A := olduğunu biliyoruz. τ A+x := { I k = a k, b k : A } a k, b k olmak üzere { } λ A = inf l I k : I k τ A { } = inf b k a k : I k τ A { I k + x = a k + x, b k + x : A + x } a k + x, b k + x 4

olup { } λ A + x = inf l a k + x, b k + x : a k + x, b k + x τ A+x { } = inf b k a k : a k, b k τ A = λ A elde edilir. b A + x kümesinin λ ölçülebilir olmasıiçin E R için λ E = λ E A + x + λ E A + x t olduğu gösterilmelidir. Hatırlatmak gerekirse E A + x = [E x A] + x E A + x t = [ E x A t] + x eşitlikleri gerçeklenir. Gerçekten bu eşitliklerden birincisini elde edelim: y [E A + x] y E y A + x y E y x A y x E x y x A y x E x A y [E x A] + x 5

bulunur. a şıkkındaki ifade kullanılırsa λ E A + x = λ [E x A] + x = λ E x A ve λ E A + x t = λ [ E x A t] + x = λ E x A t elde edilir. Buradan A kümesinin Lebesgue ölçülebilir olmasıkullanılarak λ E A + x + λ E A + x t = λ E x A + λ E x A t = λ E x = λ E gerçeklenir. Yani sonuç olarak A + x kümesi λ ölçülebilirdir. SORU 5: α > 0 olmak üzere A R için αa := {αa : a A} olsun. Bu durumda λ αa = αλ A olduğunu gösteriniz. 6

ÇÖZÜM 5: I n = α J n olmak üzere { } λ αa = inf l J n : J n τ αa { } = inf l J n : αa J n, J n = c n, d n { = inf l J n : { = inf l αi n : { = α inf l I n : = αλ A } A α J n, J n = c n, d n } A I n, I n = α J n } A I n, I n τ A elde edilir. SORU 6: Cantor kümesinin Lebesgue ölçülebilir olduğunu gösteriniz. Lebesgue ölçüsünün sıfır olacağınıbulunuz. Sayılamayan fakat ölçüsü sıfır olan kümeler var mıdır? 7

ÇÖZÜM 6: Şekil. Cantor Kümesi Cantor kümesi C := C i dir. Herbir C i Lebesgue ölçülebilir olduğundan C i= Cantor kümesi de Lebesgue ölçülebilirdir. λ C = λ C 2 = 3 olup λ C 3 = 3 2 9 λ C 4 = 3 2 9 4 27......... λ C = 2 n 3 n = = 0 bulunur. Ayrıca belirtmek gerekirse C Cantor kümesi sayılamayan küme olup λ C = 0 dır. 8

SORU 7: Aşağıdaki kümelerin Lebesgue ölçülerini bulunuz. a A := b B := c C := d D := e E := f F := g G := { x R : x < } k+ k { } x R : a < x < a+ k k { x R : 2 k+ x < 2 k } { x R : 0 < x < 3 k } { x R : 0 < x < 3 k } { x R : < x < + } k k { x R : 2 + < x < 5 } k k ÇÖZÜM 7: a I k := { x R : k+ x < k} diyelim. Ik kümeleri Borel kümesi olduğundan λ Lebesgue dış ölçüsüne göre ölçülebilirdir. Lebesgue dış ölçüsüne göre ölçülebilen A R kümelerinin sınıfım R, λ ile gösterilirse λ Lebesgue dış ölçüsünün M R, λ σ cebirine kısıtlaması ölçüdür. Bu ölçüye Lebesgue ölçüsü adıverilir. I k ayrık kümelerin bir dizisi olduğundan λ A = λ I k = λ I k = k = k + 9

bulunur. b k N için I k := { x R : } a < x < a+ k k olsun. Dikkat edilirse Ik kümelerin azalan dizisidir. Bunun yardımıyla gerçeklenir. λ B = λ a + I k = lim λ I k = lim a = 0 k k k k c k N için I k := { x R : 2 k+ x < 2 k } olsun. Ik ayrık kümelerin dizisi olup λ C = λ I k = λ I k = 2 = k 2 k+ 2 bulunur. d k N için I k := { x R : 0 < x < 3 k } olsun. Ik kümelerin azalan dizisidir. O halde elde edilir. λ D = λ I k = lim λ I k = lim k k 3 = 0 k e k N için I k := { x R : 0 < x < 3 k } olsun. Ik kümelerin azalan dizisi olup λ E = λ I k = λ 0, = 3 3 0

bulunur. f k N için I k := { x R : k < x < + k} olsun. Ik kümelerin azalan dizisidir. Buna göre bulunur. λ F = λ 2 I k = lim λ I k = lim k k k = 0 g k N için I k := { x R : 2 + k < x < 5 k} kümelerini tanımlayalım. I k kümelerin artan dizisidir. Böylece elde edilir. λ G = λ I k = lim λ I k = lim 3 2 = 0 k k k SORU 8: µ dönüşümü X üzerinde dış ölçü olsun. E X kümesi µ ölçülebilir ise A X için µ E A + µ E A = µ E + µ A olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 8: E kümesi µ ölçülebilir olduğundan A X için µ A = µ A E + µ A E t 2 dır. 2 ifadesi A X için gerçeklendiğinden A E X için de geçerlidir.

Yani, µ A E = µ A E E + µ A E E t = µ E + µ A E t yazılabilir. Bu ifade 2 ifadesinde dikkate alınırsa µ A = µ A E + µ E A µ E istenileni elde edilir. 2

3. ÖLÇÜLEBİLİR FONKSİYONLAR SORU : f : R R azalan fonksiyon ise f fonksiyonu Borel ölçülebilir midir? ÇÖZÜM : Şekil 2. Azalan f fonksiyonunun grafiği α R için f α, := {x R : f x > α} B R olduğunu göstermeliyiz. α < 0 olsun. {x R : f x > α} =, a B R 0 α < b olsun. {x R : f x > α} =, a 2 B R α b olsun. {x R : f x > α} =, a 3 B R

olup f fonksiyonu Borel ölçülebilirdir. SORU 2: Pozitif f fonksiyonu ölçülebilir ise f fonksiyonu da ölçülebilirdir. Gösteriniz. ÇÖZÜM 2: α R için { x X : } f x > α A olduğu gösterilmelidir. α < 0 olsun. { x X : } f x > α = X A α 0 olsun. { x X : f x > α } = {x X : f x > α 2 } A olup f fonksiyonu ölçülebilirdir. için SORU 3: X, A ölçülebilir uzay olsun. f fonksiyonu ölçülebilir ise α R {x X : f x = α} kümesinin ölçülebilir olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 3: {x X : f x = α} = {x X : f x α} {x X : f x α} olarak yazılabilir. f fonksiyonu ölçülebilir olduğundan yukarıdaki ifadenin sağ tarafındaki iki küme ölçülebilirdir. Yani A σ cebirine aittir. Dolayısıyla {x X : f x = α} A olup ölçülebilirdir. 2

SORU 4: f : R R, f x = sgnx ise f fonksiyonunun Borel ölçülebilir olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 4: α R için {x R : f x > α} B R olduğunu göstermeliyiz. f x = sgnx = ; x < 0 0 ; x = 0 ; x > 0. α < ise {x R : f x > α} = R B R α < 0 ise {x R : f x > α} = [0, + B R 0 α < ise {x R : f x > α} = 0, + B R α > ise {x R : f x > α} = B R olup f fonksiyonu Borel ölçülebilirdir. SORU 5: f : R R, f x = x ; x < 0 ; x = 0 x 2 + 3 ; x > 0 ile tanımlanan f fonksiyonu Borel ölçülebilirdir. Gösteriniz. 3

ÇÖZÜM 5: Şekil 3. f fonksiyonunun grafiği α < 0 ise {x R : f x > α} = a, B R 0 α < ise {x R : f x > α} = [0, B R α 3 ise {x R : f x > α} = 0, B R α > 3 ise {x R : f x > α} = a 2, B R olup f fonksiyonu Borel ölçülebilirdir. SORU 6: f : R R ölçülebilir fonksiyon ve c > 0 olsun. f x ; f x c f c x := c ; f x > c c ; f x < c şeklinde tanımlanan f c fonksiyonunun ölçülebilir olduğunu gösteriniz. 4

ÇÖZÜM 6: Şekil 4. f c fonksiyonunun grafiği α < c ise {x R : f x > α} = R B R c α < c ise {x R : f x > α} = a, B R α c ise {x R : f x > α} = B R olup f c fonksiyonu Borel ölçülebilirdir. SORU 7: X, A ölçülebilir uzay ve A A olsun. f : A R fonksiyonu için aşağıdaki önermeler denktir. Gösteriniz. a f, A σ cebirine göre ölçülebilirdir. b U R açık alt kümesi için f U A. c F R kapalıalt kümesi için f F A. 5

d B R Borel alt kümesi için f B A. ÇÖZÜM 7: a = b f fonksiyonu A σ cebirine göre ölçülebilir olsun. a k, b k açık aralıklar olmak üzere R nin herbir U açık alt kümesi U = a k, b k şeklinde bir gösterime sahiptir. f fonksiyonu ölçülebilir olmasından elde edilir. f U = f = = = a k, b k f a k, b k f, b k a k, + f, b k f a k, + A b = c F kapalı ise F t açıktır. Hipotezden f F t A olacaktır. A σ cebir olduğundan gerçeklenir. f F t A = [f F ] t A { = [f F ] t} t A = f F A c = d F := {F R : f F A} sınıfı σ cebirdir. f F A olduğundan F F olup F t F sağlanır. Borel cebiri açık kümelerin en küçük 6

σ cebiri olduğundan B R F olmalıdır. O halde keyfi B R Borel kümesi için B F gerçeklenir. Hipotezden ise f B A elde edilir. d = a B R Borel kümesi için f B A olsun. B = α, alalım. Bu durumda yukarıdaki ifadeden f α, = {x A : f x > α} A olacaktır. O halde f fonksiyonu ölçülebilirdir. SORU 8: X, A ölçülebilir uzay, f : X R fonksiyonu A ölçülebilir ve g : R R sürekli fonksiyon olsun. Bu durumda gof : X R fonksiyonu A ölçülebilirdir. Gösteriniz. ÇÖZÜM 8: α R için {x X : gof x > α} A olduğunu göstermeliyiz. {x X : gof x > α} = gof α, = f og α, olarak yazılabilir. g fonksiyonu sürekli olduğundan g α, kümesi R nin açık alt kümesidir. f ölçülebilir fonksiyon olduğundan Soru 7 nin b şıkkından f g α, A 7

olmalıdır. Bu ise gof fonksiyonunun A ölçülebilir olduğunu gösterir. SORU 9: X, A, µ ölçü uzayıtam olsun. f : X R ölçülebilir fonksiyon ve hemen hemen heryerde h.h.h. f = g ise g : X R fonksiyonu da ölçülebilirdir. ÇÖZÜM 9: α R için {x X : g x > α} A olduğunu göstermeliyiz. X : = {x X : f x = g x} X 2 : = {x X : f x g x} olmak üzere X = X X 2 dir. Bu durumda hipotez yardımıyla µ X 2 = 0 gerçeklenir. {x X : g x > α} = {x X : f x = g x > α} {x X 2 : f x g x > α} olarak yazılabilir. X A olduğu açıktır. f fonksiyonu ölçülebilir olduğundan {x X : f x = g x > α} A 2 dır. Diğer taraftan {x X 2 : f x g x > α} X 2, X 2 A ve µ X 2 = 0 olduğundan {x X 2 : f x g x > α} kümesi µ boş kümedir. X, A, µ ölçü uzayıtam olduğundan {x X 2 : f x g x > α} A 3 gerçeklenir. 2 ve 3 ifadeleri ifadesinde dikkate alınırsa g fonksiyonunun ölçülebilir olmasıelde edilir. 8

SORU 0: "Görüntü kümesi sonlu elemanlıolan fonksiyona basit fonksiyon denir." X, A ölçülebilir uzay, ϕ : X R basit fonksiyon ve ϕ X = {a,..., a p } olsun. ϕ fonksiyonu ölçülebilir k =,..., p için {x X : ϕ x = a k } A önermesi doğrudur. Gösteriniz. ÇÖZÜM 0: = ϕ fonksiyonu ölçülebilir olsun. Bu durumda α R için {x X : ϕ x α} A ve {x X : ϕ x α} A sağlanır. Bu ifadeler aşağıda dikkate alınırsa {x X : ϕ x = a k } = {x X : ϕ x a k } {x X : ϕ x a k } A elde edilir. = k =,..., p için {x X : ϕ x = a k } A olsun. α < a ise {x X : ϕ x > α} = X A a α < a 2 {x X : ϕ x > α} = X\ {x X : ϕ x = a } A a 2 α < a 3 {x X : ϕ x > α} = X\ {x X : ϕ x = a } {x X : ϕ x = a 2 }......... 9

sağlanır. İşlemlere bu şekilde devam edilirse ϕ fonksiyonunun ölçülebilir olması elde edilir. SORU : Aşağıdaki eşitliklerin doğru olduğunu gösteriniz. a χ A B = χ A.χ B b χ A B = χ A + χ B χ A B c χ A t = χ A ÇÖZÜM : a x A B ise x A ve x B olup χ A B =, χ A =, χ B = olup eşitlik sağlanır. x / A B ise x / A veya x / B dir. O halde üç durum söz konusudur: x / A x B = χ A = 0, χ B = ve χ A B = 0 x A x / B = χ A =, χ B = 0 ve χ A B = 0 x / A x / B = χ A = 0, χ B = 0 ve χ A B = 0 olup istenilen eşitlik elde edilir. b x A B ise x A veya x B dir. Dolayısıyla üç durum söz konusudur: x A x / B = χ A =, χ B = 0, χ A B = 0 ve χ A B = x / A x B = χ A = 0, χ B =, χ A B = 0 ve χ A B = x A x B = χ A =, χ B =, χ A B = ve χ A B = incelemeleri dikkate alınırsa b şıkkındaki eşitlik sağlanır. 0

x / A B ise x / A ve x / B dir. Bu durumda da b şıkkındaki eşitlik gerçeklenir. c x A ise x / A t olup χ A = ve χ A t = 0 dır. x / A ise x A t olup χ A = 0 ve χ A t = bulunur. Dolayısıyla c şıkkındaki istenilen eşitlik gerçeklenir. SORU 2: Aşağıdaki kümeler Borel ölçülebilir midir? a { x R : } e x x 2 b { x R : } xsgnx = 3 2 ÇÖZÜM 2: Hatırlatacak olursak: "X, A ölçülebilir uzay, A A olsun. f ile g, A üzerinde tanımlıölçülebilir fonksiyon ise bu durumda {x A : f x < g x} {x A : f x g x} {x A : f x = g x} kümeleri ölçülebilirdir." a f x = x 2, g x = ex fonksiyonları sürekli olduğundan Borel ölçülebilir fonksiyonlardır. O halde yukarıda verilen hatırlatmadan { x R : e x x } B R 2 elde edilir.

b { { } { x R : xsgnx = 2} 3 = x R : x = 3 2 = 3, 3 2 2} B R olup verilen küme Borel ölçülebilirdir. 2

4. İNTEGRAL 4. Basit Fonksiyonların İntegrali SORU : c R + olmak üzere X cdµ = cµ X olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM : A A olsun. X = A A t olup c = cχ A + cχ A t olarak yazılabilir. cdµ = cµ A + cµ A t X = c [ µ A + µ A t] = cµ A A t = cµ X bulunur. SORU 2: R, B R, λ ölçü uzayı ve c R + olmak üzere ifadesini hesaplayınız. b cdλ = a [a,b] cdλ ÇÖZÜM 2: Soru dikkate alınırsa elde edilir. b a cdλ = cλ [a, b] = c b a SORU 3: R, B R, λ ölçü uzayıve 2 ; 0 x < f x := 3 ; 2 < x 4 ; 4 < x 5

olmak üzere f dλ integralini hesaplayınız. [0, 2,5] n ÇÖZÜM 3: A k kümeleri ayrık, A k = X, f = n a k χ Ak ise f dµ = X n a k µ A k olduğu bilinmektedir. X = [0, 2, 4] 4, 5] olup f = 2χ [0, + 3χ 2,4] + χ 4,5] şeklinde ifade edilebilir. Yukarıda verilen bilgi ışĭgında f dλ = 2λ [0, + 3λ 2, 4] + λ 4, 5] [0, 2,5] = 2 0 + 3 4 2 + 5 4 = 9 elde edilir. SORU 4: R, B R, λ ölçü uzayı, ϕ : [0, 2] R olmak üzere ϕ x = [ 2x ] için [0,2] ϕ dλ integralini hesaplayınız. 2

ÇÖZÜM 4: 0 ; 0 x < 2 ϕ x = [ 2x ] = ; 2 x < 2 ; x < 3 2 3 ; 3 2 x < 2 4 ; x = 2 ve [0, 2] = [ 0, 2 [ 2, [, 3 2 [ 3 2, 2 {2} olduğu dikkate alınırsa ϕ = 0χ [0, 2 + χ [, + 2χ 2 [, 2 + 3χ 3 [ 3,2 + 4χ {2} 2 olarak yazılabilir. Sayılabilir kümenin Lebesgue ölçüsü sıfır olduğundan [0,2] [ ϕ dλ = 0λ 0, [ [ + λ 2 2, + 2λ, 3 [ 3 + 3λ 2 2, 2 + 4λ {2} = 3 elde edilir. SORU 5: N, P N, µ ölçü uzayı, ϕ : {0,, 2} R, ϕ x = [ 2x ] olmak üzere {0,,2} ϕ dµ integralini hesaplayınız. Burada µ sayma ölçüsüdür. 3

ÇÖZÜM 5: ϕ x = 0 ; x = 0 2 ; x = 4 ; x = 2 ve ϕ = 0χ {0} + 2χ {} + 4χ {2} olduğu göz önüne alınırsa ϕ dµ = 0µ {0} + 2µ {} + 4µ {2} {0,,2} = 0. + 2. + 4. = 6 bulunur. SORU 6: R, B R, λ ölçü uzayı, f : 0, R 2 ; x Q 0, f x := ; x I 0, olmak üzere 0, f dλ integralini hesaplayınız. ÇÖZÜM 6: f = 2χ Q 0, + χ I 0, olup 0, f dλ = 2λ Q 0, + λ I 0, yazılabilir. Q 0, kümesi sayılabilir olduğundan Lebesgue ölçüsü λ Q 0, = 0 dır. Diğer yandan λ 0, = λ [Q 0, ] [I 0, ] = λ Q 0, + λ I 0, 4

eşitliğinden λ I 0, = elde edilir. Dolayısıyla bu ifadeler ifadesinde dikkate alınırsa 0, f dλ = 2.0 +. = bulunur. SORU 7: X, A, µ ölçü uzayıve A A olsun. a dµ = µ A. A b x A için ϕ n x K ise ϕ n dµ Kµ A. olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 7: a dµ = χ A dµ =.µ A = µ A A b A ϕ n dµ A X ϕ n dµ A A Kdµ = K A dµ = Kµ A bulunur. 5

4.2. Pozitif Fonksiyonların İntegrali SORU : f n, M + X, A kümesinde bulunan fonksiyonların monoton artan dizisi ve h.h.h. lim f n = f ise lim X f n dµ = X f dµ gerçeklenir. Gösteriniz Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık yerine hemen hemen heryerde yakınsaklığın alınabileceğini göstermektedir. ÇÖZÜM : Hemen hemen heryerde lim f n = f ve f n monoton artan dizi olsun. A := { x X : } lim f n x f x kümesini tanımlayalım. Bu durumda µ A = 0 dır. Dolayısıyla f n χ A t dizisi fχ A t fonksiyonuna yakınsak olacaktır. Diğer yandan f n dizisi monoton artan olduğundan f n χ A t dizisi de monoton artandır. n N için f n ölçülebilir ve χ A t ölçülebilir olduğundan f n χ A t ölçülebilir fonksiyonların dizisidir. Ayrıca n N için f n negatif olmayan fonksiyon dizisi olduğundan f n χ A t negatif olmayan fonksiyon dizisidir. Sonuç olarak f n χ A t M + X, A sağlanır. Bu bilgiler yardımıyla Monoton yakınsaklık teoreminden lim X f n χ A t dµ = X fχ A t dµ gerçeklenir.

f = fχ A + fχ A t olup f dµ = fχ A + fχ A t dµ = fχ A dµ + fχ A t dµ 2 X X X X sağlanır. Lebesgue integralinin tanımından fχ A dµ = f dµ = sup ϕ dµ : X A A ϕ S +, ϕ f 3 n n yazılabilir. A k A ayrık kümeler, A k = A ve ϕ = a k χ Ak olmak üzere n ϕ dµ = a k µ A k 4 A olduğunu biliyoruz. A k A olduğunda µ A k = 0 gerçeklenmelidir. Dolayısıyla ϕ dµ = 0 olup 2 ifadesi dikkate alınırsa fχ A dµ = 0 bulunur. Bulunan bu A sonuç ifadesinde göz önüne alındığında X X f dµ = X fχ A t dµ 5 bulunur. Diğer yandan benzer düşünce ile X f n dµ = X f n χ A t dµ 6 elde edilebilir. 5 ve 6 ifadesi ifadesinde kullanılırsa lim X f n dµ = X f dµ istenilen sonuç elde edilir. 2

SORU 2: ϕ S + Basit, ölçülebilir ve negatif olmayan ve E A olmak üzere γ E := ϕχ E dµ şeklinde tanımlanan dönüşüm A üzerinde ölçüdür. Gösteriniz. ÇÖZÜM 2: γ E := ϕχ E dµ = ϕ dµ olduğu bilinmektedir. X X i γ = ϕχ dµ = ii E A için X ϕ dµ = E n a k µ = 0. γ E = ϕχ E dµ = ϕ dµ 0 dµ = 0µ E = 0 X E E gerçeklenir. iii E i A daki ayrık kümelerin bir dizisi olsun. Beppo-Levi teoreminden γ elde edilir. E i i= X = ϕχ dµ E i = ϕ = X i= i= χ Ei dµ ϕχ Ei dµ = i= X i= γ E i O halde γ dönüşümü A üzerinde ölçüdür. 3

SORU 3: f : N R, f x = xx+ olmak üzere N f dµ integralini a µ = λ Lebesgue ölçüsü olmasıdurumunda b µ ölçüsünün sayma ölçüsü olmasıdurumunda hesaplayınız. ÇÖZÜM 3: µ ölçüsünün özelliklerini kullanarak bulunur. f dµ = N {n} f dµ = {n} x + x dµ = {n} n + n dµ = dµ = n + n {n} n + n µ {n} dır. a µ = λ Lebesgue ölçüsü olmasıdurumunda µ {n} = 0 olacağından f dµ = 0 N b µ ölçüsünün sayma ölçüsü olmasıdurumunda ise µ {n} = olacağından f dµ = N n + n = 4

elde edilir. SORU 4: R, B R, λ ölçü uzayıve n N için f n x = χ [0,n] x olsun. Bu durumda a f n dizisi monoton artan mıdır? b lim f n = χ [0,n] := f olduğunu gösteriniz. c lim f n dλ = f dλ gerçeklenir mi? R R ÇÖZÜM 4: a n N için ; x [0, n] f n x = 0 ; x / [0, n] ; x [0, n + ] ; f n+ x = 0 ; x / [0, n + ] dır. Bu fonksiyonlar dikkate alınırsa x [0, n] = f n x =, f n+ x = x n, n + ] = f n x = 0, f n+ x = x / 0, n + = f n x = 0 f n+ x = 0 olup x R ve n N için f n x f n+ x gerçeklenir. O halde f n dizisi fonksiyonların monoton artan dizisidir. 5

b x R olmak üzere lim f n x = lim χ [0,n] = = lim ; x [0, 0 ; x / [0, ; x [0, n] 0 ; x / [0, n] = χ [0, x sağlanır. c lim f n x dλ = lim R R χ [0,n] x dλ = lim dλ = lim λ [0, n] = + [0,n] ve f dλ = χ [0, dλ = R R dλ = + [0, olup istenilen eşitlik sağlanır. SORU 5: R, B R, λ ölçü uzayıve n N için f n x = n χ n+ [ n+ n, n+ n ] x olmak üzere lim f n x dλ R ifadesini hesaplayınız. ÇÖZÜM 5: n N için f n fonksiyonlarıbasit fonksiyon olup n ; x [ n+ n+ f n x =, ] n+ n n 0 ; x / [ n+, ] n+ n n 6

dır. Şimdi Monoton yakınsaklık teoreminin hipotezlerini sağlatalım: i x R ve n N için f n x 0. ii [ n+, ] n+ n n kümesi ölçülebilir olduğundan n N için fn fonksiyonları da ölçülebilirdir. iii x R için lim f n x = lim = = χ [,] x n ; x [ n+, ] n+ n+ n n ] 0 ; x / [ n+, n+ n n ; x [, ] 0 ; x / [, ] elde edilir. iv x R ve n N için f n x f n+ x olduğunu göstermeliyiz. n ; x [ n+ n+ n f n x =, ] n+ n ve f ] n+ x = olup 0 ; x / [ n+, n+ n n n+ ; x [ n+2, ] n+2 n+2 n+ n+ ] 0 ; x / [ n+2, n+2 n+ n+ x [ n+2, ] n+2 n+ n+ = f n x = n, f n+ n+ x = n+ n+2 x / [ n+, ] [ n+ n n \ n+2, ] n+2 n+ n+ = fn x = n, f n+ n+ x = 0 x / [ n+, ] n+ = f n n n x = 0, f n+ x = 0 7

ifadelerinden f n dizisinin fonksiyonların monoton artan dizisi olmasıelde edilir. Dolayısıyla f n dizisi Monoton yakınsaklık teoreminin hipotezlerini gerçekler. Böylece bulunur. lim R f n x dλ = lim R = R lim = χ [,] dλ = R n n + χ [ n+ n, n+ n n n + χ [ n+ n, n+ [,] ] dλ dλ n ] dλ = 2 SORU 6: R, B R, λ ölçü uzayıve n N için f n x = n χ [n, x olmak üzere lim f n x dλ f x dλ R R olduğunu gösteriniz. Bu sonuç Monoton yakınsaklık teoremi ile çelişir mi? Burada f fonksiyonu f n dizisinin yakınsadığıfonksiyondur. ÇÖZÜM 6: n N için f n M + R, B R dir. Ayrıca lim f n x = lim = 0 := f x ; x [n, n 0 ; x / [n, 8

gerçeklenir. Bu ifadeler yardımıyla lim R f n x dλ = lim R n χ [n, dλ = lim λ [n, = + n ve bulunur. Dolayısıyla f dλ = 0 dλ = 0 R R lim f n x dλ f x dλ R R sağlanır. Diğer yandan x [n, n + için f n x = n, f n+ x = 0 olduğundan f n dizisi fonksiyonların monoton artan dizisi olamaz. Böylece elde edilen sonuç Monoton yakınsaklık teoremi ile çelişmez. SORU 7: R, B R, λ ölçü uzayıolmak üzere n N için f n x = n χ [0,n] x ve f = 0 fonksiyonları veriliyor. f n fonksiyon dizisinin f = 0 fonksiyonuna düzgün yakınsak olduğunu gösteriniz. mıdır? lim f n x dλ = f x dλ R R ÇÖZÜM 7: n N ve x R için f n x f x = n χ [0,n] x 0 n 9

olup c n = n dizisi sıfıra yakınsayan dizi olduğundan fn fonksiyon dizisi f = 0 fonksiyonuna düzgün yakınsaktır. Diğer yandan lim R f n x dλ = lim R n χ [0,n] dλ = lim λ [0, n] = n ve gerçeklenip f x dλ = 0 dλ = 0 R R lim f n x dλ f x dλ R R olduğu görülür. SORU 8: Monoton yakınsaklık teoremini kullanarak olduğunu gösteriniz. lim 0 + x n n dx = e ÇÖZÜM 8: n N ve x [0, ] için f n x = + x n n olarak belirleyelim. i n N ve x [0, ] için f n x > 0 dır. ii n N ve x [0, ] için f n x = + x n n fonksiyonlarısürekli olduğundan ölçülebilirdir. 0

iii lim f n x = lim + x n n = e x := f x. iv Bernoulli eşitsizliği kullanılırsa n N ve x [0, ] için f n+ x f n x = = = + x n+ n+ + x + x n n n 2 n+ + nx + n n + x n 2 + nx + n + x n n+ x n + x n + x n + n x n + x = n + x n gerçeklenir. Dolayısıyla n N ve x [0, ] için f n x f n+ x sağlanır. O halde Monoton yakınsaklık teoreminden lim 0 istenilen eşitlik bulunmuş olur. + x n dx = n 0 e x dx = e SORU 9: α > için x α e x 0 e dx = Γ α x olduğunu gösteriniz. Burada Γ α = e x x α dx Gama fonksiyonu dır. ÇÖZÜM 9: u k = e x < olduğundan u u 0 n α u < serisi düzgün yakınsaktır. x 0, için e x e = x e kx

gerçeklenir. n N için s n x := x α n tanımlayalım. Bu durumda soruda verilen ifade e kx ; α >, x > 0 x α e x 0 e dx = x 0 lim s n x dx olarak yazılabilir. O halde s n fonksiyon dizisine Monoton yakınsaklık teoremini uygulayalım: i x 0, ve n N için s n x > 0 dır. ii x 0, ve n N için s n fonksiyonlarısürekli olduğundan s n fonksiyonlarıölçülebilirdir. iii x 0, için gerçeklenir. lim s n x = lim n x α e kx = x α e kx = x α e x e x iv x 0, ve n N için s n x = x α n e kx x α n+ 2 e kx = s n+ x

olup s n fonksiyonların artan dizisidir. Dolayısıyla Monoton yakınsaklık teoreminden x α e x 0 e dx = x 0 istenilen eşitlik gerçeklenmiş olur. lim s n x dx = lim s n x dx 0 = lim x α n 0 e kx dx n = lim x α e kx dx 0 = x α e kx dx 0 = Γ α n α SORU 0: R, B R, λ ölçü uzayıolsun. Aşağıda verilen fonksiyon dizileri için Fatou lemmasının geçerli olup olmadığınıaraştırınız. a f n x = nχ [ n, 2 n] x b g n x = χ [n,n+ x c h n x = χ [n, x 2n ; a x < b n n d r n x = 0 ; b x < b n 3

ÇÖZÜM 0: a f n x = n ; x [, ] 2 n n ] 0 ; x / [ n, 2 n olup n N ve x R için f n x 0 ve ölçülebilirdir. Ayrıca x R için lim inf f n x = 0 dır. R lim inf f n dx = 0 dx = 0 R ve lim inf R f n dx = lim inf R [ nχ [ n, dx = lim inf n] nλ 2 n, 2 ] = n sağlanıp Fatou lemmasıgerçeklenir. ; x [n, n + b g n x = 0 ; x / [n, n + olup n N ve x R için g n x 0 ve ölçülebilirdir. x R için lim g n x = 0 olup lim inf g n x = 0 dır. R lim inf g n dx = 0 dx = 0 R ve lim inf R g n dx = lim inf R χ [n,n+ dx = lim infλ [n, n + = olup Fatou lemmasısağlanır. ; x [n, c h n x = 0 ; x / [n, olup n N ve x R için h n x 0 ve ölçülebilirdir. Ayrıca x R için lim h n x = 0 olup lim inf h n x = 0 dır. R lim inf h n dx = 0 dx = 0 R 4

ve lim inf h n dx = lim inf R [n, dx = eşitlikleri dikkate alınırsa Fatou lemmasının gerçeklendiği görülür. d n N ve x [ b n, b için r n x < 0 olduğundan Fatou lemmasıgeçerli değildir. SORU : X, A, µ ölçü uzayı ve f n dizisi f fonksiyonuna yakınsayan, pozitif, ölçülebilir fonksiyonların dizisi olsun. n N için f n f ise gerçeklenir. Gösteriniz. f dµ = lim inf f n dµ X X ÇÖZÜM : Fatou lemmasından lim inf f n dµ lim inf f n dµ X gerçeklenir. f n f olduğundan lim inf f n = f dir. Bu durumda X f dµ lim inf f n dµ 7 X X sağlanır. f n, f fonksiyonlarıpozitif ölçülebilir fonksiyonlar ve n N için f n f olduğundan f n dµ f dµ = lim inf f n dµ f dµ 8 X X X X bulunur. 7 ve 8 ifadesinden istenilen eşitlik bulunur. 5

SORU 2: X, A, µ ölçü uzayı, h M + X, A ve h dµ < olsun. Eğer X f n dizisi n N için h f n olacak şekilde ölçülebilir fonksiyonların dizisi ise olduğunu gösteriniz. lim inf f n dµ lim inf f n dµ X X ÇÖZÜM 2: n N için h f n olduğundan g n = f n + h ile tanımlıg n dizisi pozitif ölçülebilir fonksiyonların dizisidir. Dolayısıyla g n dizisine Fatou lemmasıuygulanabilir. 9 ifadesi kullanılırsa lim inf f n + h dµ lim inf f n + h dµ X X [ = lim inf f n dµ + ] h dµ X X = lim inf f n dµ + h dµ 9 X X X X lim inf f n + h lim inf f n dµ + X dµ lim inf f n dµ + h dµ X X h dµ lim inf f n dµ + h dµ X X elde edilir. X h dµ < olduğundan istenilen eşitsizlik gerçeklenir. 6

4.3. İntegrallenebilen Fonksiyonlar SORU : N, P N, µ ölçü uzayıve µ sayma ölçüsü olsun. f L f n < önermesinin doğru olduğunu gösteriniz. Bu durumda dır. f dµ = f n N ÇÖZÜM : µ sayma ölçüsünün özelliğinden N f dµ = {n} = {n} f dµ f dµ = f n dµ = f n µ {n} = f n {n} eşitliği gerçeklenir. Bu eşitlikten f L f n < önermesinin doğru olduğu görülür. Yukarıda yapılan işlemler f yerine f alınması ile tekrardan yapılırsa f dµ = f n N elde edilir.

SORU 2: X, A, µ ölçü uzayı, f L, µ E = 0 olsun. Bu durumda f dµ = 0 olduğunu gösteriniz. E ÇÖZÜM 2: f ; x E fχ E = 0 ; x / E olup µ E = 0 olduğundan hemen hemen heryerde fχ E = 0 dır. Bu durumda 0 dµ = fχ E dµ X X gerçeklenir. Bu ifade ise f dµ = fχ E dµ = 0 E X olmasınıgerektirir. SORU 3: R, B R, λ ölçü uzayı ; x Q f x := x 3 2 ; x / Q olmak üzere [0,] f dλ integralini hasaplayınız. ÇÖZÜM 3: λ Q = 0 olduğundan hemen hemen heryerde f x = x 3 2 dir. g : R R x gx=x 3 2 2

olarak tanımlayalım. Bu durumda f dλ = g dλ [0,] [0,] sağlanır. g fonksiyonu Riemann anlamında integrallenebilir olduğundan Lebesgue anlamında da integrallenebilirdir ve bu iki integral değerleri birbirine eşittir. Dolayısıyla f dλ = g dλ = [0,] [0,] 0 x 3 2 dx = 7 4 bulunur. SORU 4: R, B R, λ ölçü uzayı e x ; x Q f x := x 3 ; x / Q olmak üzere [0,] ÇÖZÜM 4: f dλ integralini hasaplayınız. g : R R x gx=x 3 olarak tanımlayalım. λ Q = 0 olduğundan hemen hemen heryerde f = g dir. Bu durumda f dλ = g dλ [0,] [0,] sağlanır. g x = x 3 fonksiyonu [0, ] aralığında Riemann anlamında integrallenebilir olduğundan Lebesgue anlamında da integrallenebilir olup bu integraller 3

birbirlerine eşittir. Dolayısıyla f dλ = g dλ = x 3 dx = 0 4 bulunur. [0,] [0,] SORU 5: R, B R, λ ölçü uzayıve f : [0, ] R _ + ; x / Q f x := 0 ; x Q olmak üzere [0,] f dλ integralini hesaplayınız. ÇÖZÜM 5: Hatırlatacak olursak "X, A, µ ölçü uzayı, f : X [, + ] olsun. f L = H.h.h. x X için f x <." önermesi doğrudur. Soruya dönecek olursak λ Q = 0 olduğundan h.h.h. x [0, ] için f x = + dur. O halde hatırlatmadan f / L dir. SORU 6: f L ve g fonksiyonu sınırlıve ölçülebilir fonksiyon ise fg L olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 6: x X için g x K olacak şekilde K > 0 vardır. f L olduğu dikkate alınırsa fg dµ = X X elde edilir. Böylece fg L sağlanır. f g dµ K f dµ = K f dµ < X X 4

SORU 7: X, A, µ ölçü uzayı, n N için f n L olsun. f n dizisi f fonksiyonuna yakınsak ve lim f n f dµ = 0 X ise lim f n dµ = f dµ olduğunu gösteriniz. X X ÇÖZÜM 7: n N için f n L olduğu dikkate alınırsa 0 = lim X gerçeklenir. Buradan f n f dµ lim f n f dµ lim X lim olup istenilen ifade elde edilir. f n dµ f dµ = 0 X X f n f dµ 0 X SORU 8: Lebesgue yakınsaklık teoremini kullanarak ifadesini hesaplayınız. lim 0 + x n n dx ÇÖZÜM 8: n N ve x [0, ] için f n x = + x n n olsun. Şimdi Lebesgue yakınsaklık teoreminin hipotezlerini sağlatalım: i n N ve x [0, ] için f n fonksiyonlarısürekli olduğundan f n fonksiyonlarıölçülebilirdir. 5

ii x [0, ] için lim f n x = lim + x n n = e x dir. iii f x = e x fonksiyonu sürekli olduğundan ölçülebilirdir. iv n N için f n x = + x n n = g x olup 0 g x dx < sağlanır. Dolayısıyla Lebesgue yakınsaklık teoreminden elde edilir. lim 0 + x n dx = e x dx = n e 0 SORU 9: Lebesgue yakınsaklık teoreminden olduğunu gösteriniz. lim e x2 n n dx = 0 ÇÖZÜM 9: n N ve x [, için f n x = e x 2 n n olsun. i n N ve x [, için f n fonksiyonlarısürekli olduğundan f n fonksiyonlarıölçülebilirdir. e x 2 n n ii x [, için lim f n x = lim = 0 olur. iii f x = 0 sabit fonksiyon olduğundan ölçülebilirdir. 6