STATİK Ders_9 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2017-2018 GÜZ ALANLAR İÇİN ATALET MOMENTİNİN TANIMI, ALAN ATALET YARIÇAPI Bugünün Hedefleri: a) Bir alan için atalet momentinin tanımlanması. b) Bir alanın atalet momentinin integrasyonla hesaplanması. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Atalet Momenti: Kavram ve Tanım İntegrasyon Kullanarak Atalet Momenti Hesabı Kavramsal Yoklama Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-2 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.61
SÖZEL YOKLAMA 1. Bir alanın atalet momenti tanımı formunda bir integral içerir. A) x da. B) x 2 da. C) x 2 dm. D) m da. 2. Bir alanın atalet momenti için doğru SI birimini seçiniz. A) m 3 B) m 4 C) kg m 2 D) kg m 3 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-3 /43 UYGULAMALAR Kirişler ve kolonlar gibi pek çok yapısal eleman I, H, C vb. şekillerine benzeyen bir kesite sahiptir. Neden bunlar çoğunlukla içi dolu dikdörtgen, kare veya dairesel kesite sahip değildir? Bu elemanların hangi temel özelliği tasarım sırasında alınan kararlarını büyük oranda etkilemektedir? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-4 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.62
UYGULAMALAR (devam) Pek çok yapısal eleman, içi dolu kare veya dairesel kesitler yerine tüplerden oluşur. Neden? Bu bölümde, tasarımcının seçimlerini büyük oranda etkileyen ve bir yapı elemanın kesitinin önemli özelliklerinden birisi olan atalet momentinden bahsedilecektir. Verilen bir kesit alanı için bu değerin nasıl hesaplanacağını biliyor musunuz?? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-5 /43 ALANLAR İÇİN ATALET MOMENTİNİN TANIMI (Bölüm 10.1) Sıvı içerisine batırılmış bir plaka düşünün. Yüzeyden y kadar derinlikteki bir noktanın üzerindeki sıvı basıncı p = y ile hesaplanır, burada sıvının özgül ağırlığıdır. Bu noktadaki bir da alanı üzerine etkiyen kuvvet: df = p da. Bu kuvvetin x ekseni etrafında sebep olduğu moment: y (df) olur. Toplam moment A y df = A y 2 da = A ( y 2 da) ile bulunur. Bu çeşit bir integral terimi, katı mekaniğinde gerilmeler ve çökme hesaplanırken de kullanılır. Bu integral terim, A alanının x ekseni etrafındaki atalet momenti (eylemsizlik momenti) olarak isimlendirilir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-6 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.63
ALANLAR İÇİN ATALET MOMENTİNİN TANIMI 10cm 3cm 1cm (A) 10cm 1cm (B) 10cm (C) 3cm x R P S RS kirişi için olası üç farklı kesit şekli ve alanı düşünün. Hepsinin toplam kesit alanı eşittir ve aynı malzemeden yapıldıklarını varsayarsanız birim uzunluk başına kütleleri de eşit olacaktır. Sağda görülen düşey P kuvveti uygulanmış kiriş için, hangi kesit şekli kullanılırsa daha az iç gerilmeler ve çökme oluşur? Neden?? Cevap, kirişin x ekseni etrafındaki Atalet Momentine bağlıdır. A kesitindeki alanların büyük kısmı x ekseninden daha uzakta olduğundan bu kesitin atalet momenti en büyüktür. Bu sebeple daha az gerilme ve çökme oluşur. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-7 /43 ALANLAR İÇİN ATALET MOMENTİNİN TANIMI Şekildeki diferansiyel alan için: d I x = y 2 da, d I y = x 2 da, ve d J O = r 2 da, burada J O, z ekseni veya O noktası etrafındaki polar atalet momentidir. Bu alanın atalet momenti integralle elde edilir. I x = A y 2 da ; I y = A x 2 da J O = A r 2 da = A ( x 2 + y 2 ) da = I x + I y Atalet momenti ayrıca alanın ikinci momenti olarak da isimlendirilir ve uzunluğun dördüncü kuvveti birimindedir (örn: m 4 ). Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-8 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.64
BİR ALANIN İNTEGRASYON İLE ATALET MOMENTİ Basitliği sebebiyle, kullanılan alan eleman sadece tek doğrultuda (dx veya dy) diferansiyel boyuta sahiptir. Böylece tek bir integral alınır ve bu genellikle iki diferansiyel barındıran çift katlı (dx ve dy) integralden daha kolaydır. Adım-adım yöntem: 1. da elemanını seç: İki seçenek vardır, düşey veya yatay bir şerit. Bu seçime etki eden genel unsurlar şunlardır: a) Atalet momentinin hesaplanacağı eksene paralel eleman seçmek genellikle daha basit bir çözümdür. Örneğin, biz genellikle I x i hesaplamak için yatay şerit, I y i hesaplamak için düşey şerit kullanırız. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-9 /43 BİR ALANIN İNTEGRASYON İLE ATALET MOMENTİ b) Eğer y, x cinsinden kolayca ifade edilebiliyorsa (örneğin, y = x 2 + 1), bu durumda dx diferansiyel genişlikli düşey bir şerit seçmek avantajlı olabilir. 2. Atalet momentini bulmak için integre et. Örneğin, yukarıda görünen eleman için: I y = x 2 da = x 2 (y dx) ve I x = d I x = (1 / 3) y 3 dx (paralel eksenler teoremi ile). Diferansiyel genişlik dx olduğundan, y nin x cinsinden ifade edilmesi gerekir ve ayrıca integral limitlerinin de x cinsinden olması gerekir. Görebileceğiniz gibi elemanı seçmek ve integre etmek biraz uğraştırıcıdır. Deneme yanılma ve deneyim gerektir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-10 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.65
(x,y) Çözüm: I x = y 2 da da = (1 x) dy = (1 y 3/2 ) dy 1 dy I x = 0 y 2 (1 y 3/2 ) dy ÖRNEK Verilen: Şekilde görülen taralı alan. İstenen: Alanın x ve y eksenleri doğrultusundaki atalet momentleri. Plan: = [ (1/3) y 3 (2/9) y 9/2 ] 0 = 0.111 m 4 1 Daha önce verilen adımları uygulayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-11 /43 ÖRNEK (devam) (x,y) dx I y = x 2 da = x 2 y dx = x 2 (x 2/3 ) dx 1 = 0 x 8/3 dx = [ (3/11) x 11/3 ] 0 = 0.273 m 4 1 Yukarıdaki örnekte, I x ayrıca düşey bir şerit kullanılarak da hesaplanabilir: I x = (1/3) y 3 1 dx = 0 (1/3) x 2 dx = 1/9 = 0.111 m 4 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-12 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.66
KAVRAMSAL YOKLAMA 1. Şekildeki boru bir eğilme momentine maruz kalmıştır. Borunun hangi özelliği daha küçük gerilmelerin oluşmasını sağlar (kiriş boyunca kesit alanlarının sabit olduğu kabul edilecek)? y x M Borunun kesiti M A) Daha küçük I x B) Daha küçük I y C) Daha büyük I x D) Daha büyük I y 2. Sağdaki figürde, taralı diferansiyel alanın y eksenine göre atalet momenti nedir (di y )? A) x 2 y dx B) (1/12) x 3 dy C) y 2 x dy D) (1/3) y dy y y=x 3 x,y x Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-13 /43 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ Verilen: Şekildeki taralı alan. İstenen: Alanın I x ve I y değeri. Plan: Daha önce verilen adımları takip edin. (x,y) dx y Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-14 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.67
Çözüm: ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) Dikdörtgen diferansiyel elemanın x ekseni etrafındaki atalet momenti di x = (1/3) y 3 dx olur. di 1 3 dx 1 3 dx (x,y) I di dx 3 3 x 10 dx y I 1 30 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-15 /43 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) y ekseni etrafındaki atalet momenti I x da burada da y dx h dx (x,y) y dx I x h dx h dx h 6 I 1 6 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-16 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.68
DİKKAT YOKLAMASI 1. Şekildeki elemanın atalet momenti hesaplandığında, di y eşittir. A) x 2 dy B) x 2 dx C) (1/3) y 3 dx D) x 2.5 dx y 2 = x (x,y) 2. Benzer şekilde, di x eşittir. A) (1/3) x 1.5 dx B) y 2 da C) (1 /12) x 3 dy D) (1/3) x 3 dx Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-17 /43 PARALEL EKSENLER TEOREMİ, ATALET YARIÇAPI VE KOMPOZİT ALANLAR İÇİN ATALET MOMENTİ Bugünün Hedefleri: 1. Paralel eksenler teoreminin uygulanması. 2. Kompozit bir alanın atalet momentinin hesaplanması. Sınıf Etkinliği: Sözel Yoklama Uygulamalar Paralel Eksenler Teoremi Atalet yarıçapı Kompozit Alanlar Yöntemi Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-18 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.69
SÖZEL YOKLAMA 1. Bir alan için paralel eksenler teoremi arasında uygulanır. A) Ağırlık merkezinden geçen eksen ve hesap yapılacak eksen B) Herhangi paralel iki eksen C) Sadece iki yatay eksen D) Sadece iki düşey eksen 2. Kompozit bir alanın atalet momenti, alanın tüm parçalarının atalet momentlerinin eşittir. A) Vektörel toplamına B) Dört işlem ile birleştirilmesine (toplama veya çıkarma) C) toplamına D) çarpımına Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-19 /43 UYGULAMALAR Yapısal elemanların kesit alanları genellikle ya basit şekillerdir ya da bunların bir kompozisyonudur. Bu tür elemanları tasarlamak için bunların atalet momentlerini hesaplamamız gerekir. Bu tür kesitlerin atalet momentlerinin hesabında integrasyon yöntemine göre daha basit bir yöntem kullanabilsek bu bize oldukça yardımcı olurdu. Bu probleme uygun bir yaklaşım getirmek için bir fikri olan var mı? Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-20 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.610
UYGULAMALAR (devam) Yapısal elemanlar için kompozit kesite bir başka örnek yanda görülmektedir. Oluşturulan bu türdeki (teşkillere) birleşimlere yapma kiriş veya eleman denilmektedir. Tasarım hesapları tipik olarak bu kesit alanlarının atalet momentlerini hesaplamayı gerektirir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-21 /43 ALANLAR İÇİN PARALEL EKSENLER TEOREMİ (Bölüm 10.2) Bu teorem, bir alanın kendi geometrik merkezinden geçen eksene göre atalet momenti ile hesap yapılmak istenen paralel eksen arasındaki ilişkiyi kurar. Bu teoremin, özellikle kompozit alanlarla çalışılırken, bir çok pratik uygulaması vardır. C geometrik merkezi bilinen bir alan düşünün. x' ve y' eksenleri C den geçmektedir. x' ekseninden d y mesafedeki paralel x ekseni etrafındaki atalet momenti, paralel eksenler teoremiyle bulunur. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-22 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.611
PARALEL EKSENLER TEOREMİ (devam) I X = A y 2 da = A (y' + d y ) 2 da = A y' 2 da + 2 d y A y' da + d y2 A da Geometrik merkezin tanımı kullanılarak: y' = ( A y' da) / ( A da). C, x' y' eksenlerinin orijininde olduğundan, y' = 0 dır ve bu sebeple A y' da = 0 Böylece I X = I X ' + A d y 2 Benzer şekilde, I Y = I Y ' + A d X 2 ve J O = J C + A d 2 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-23 /43 y y BİR ALANIN ATALET YARIÇAPI (Bölüm 10.3) k y k x A A x Atalet momenti I x olan bir A alanının x ekseninden belirli bir k x mesafesine yerleştirildiğini hayal edin. 2 Bu durumda I x = k x Aveyak x = ( I x / A). Bu k x değerine A alanının x ekseni etrafındaki atalet yarıçapı denir. Benzer olarak; k y = ( I y / A ) ve k O = ( J O / A ) x Atalet yarıçapı uzunluk birimindedir ve ilgili alanın eksenden olan saçılımı (parçalarının eksene uzaklığı) için bir göstergedir. Bu karakteristik değer kolon tasarımında önemli olmaktadır. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-24 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.612
BİR KOMPOZİT ALANIN ATALET MOMENTİ (Bölüm 10.4) Bir kompozit alan dikdörtgen, üçgen, daire gibi basit şekilli bir dizi alanın toplanması veya çıkarılmasından oluşmaktadır. Örneğin yandaki alan, bir dikdörtgene bir üçgenin eklenmesi ve bir iç dikdörtgenin çıkarılmasıyla bulunur. Mühendislik kitaplarının son sayfalarında genellikle, bu daha basit şekilli alanların kendi geometrik merkezlerinden geçen eksene göre atalet momentleri bulunur. Bu veriyi ve paralel eksenler teoremini kullanarak kompozit bir alanın atalet momentini kolaylıkla bulabiliriz. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-25 /43 = ANALİZİN ADIMLARI 1. Verilen alanı daha basit şekilli parçalara bölün. 2. Her bir ayrı parçanın geometrik merkezinin yerini bulun ve arzu edilen referans bir eksene olan dik mesafelerini belirleyin. 3. Paralel eksenler teoremini kullanarak her basit şekilli parçanın arzu edilen referans eksene göre atalet momentlerini bulun. ( I X = I X + A ( d y ) 2 ). 4. Tüm alanın referans eksene göre atalet momenti Adım 3 de bulunan her bir parça için atalet momentlerinin dört işlem (toplama ve çıkarma) kullanılarak birleştirilmesi sonucu bulunur. (Lütfen boşlukların atalet momentlerinin çıkarılacağını unutmayın. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-26 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.613
ÖRNEK Verilen: Kirişin kesit alanı. İstenen: Alanın x eksenine göre atalet momenti. Plan: Analizin adımlarını takip edin. Çözüm: [3] [2] [1] 1. Kesit alanı görüldüğü gibi üç adet dikdörtgene ayrılabilir: ( [1], [2], [3] ). 2. Bu üç dikdörtgenin geometrik merkezleri kesitlerin tam ortasındadır. Bu merkezlerin x eksenine olan mesafeleri sırasıyla 175 mm, 0 mm, ve -175 mm dir. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-27 /43 ÖRNEK (devam) [1] [2] [3] 3. Kullandığınız kitabın arka kapağının içerisinde yazılı olduğu gibi, dikdörtgenin kendi merkezinden geçen eksene göre atalet momenti (1/12) b h 3 dir. I x[2] = (1/12) (50 mm) (300 mm) 3 = 1.125 10 8 mm 4 Paralel eksenler teoremini kullanarak, I x[1] = I x[3] = I x + A (d y ) 2 = (1/12) (200) (50) 3 + (200) (50) (175) 2 = 3.083 10 8 mm 4 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-28 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.614
ÖRNEK (devam) Bu üç atalet momenti toplanarak: 4. I x = I x1 + I x2 + I x3 I x = 7.291 10 8 mm 4 Şimdi atalet yarıçapı bulunursa: k x = ( I x / A) A = 50 (300) + 200 (50) + 200 (50) = 3.5 10 4 mm 2 k x = (7.291 10 8 ) / (3.5 10 4 ) = 144 mm Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-29 /43 KAVRAMSAL YOKLAMA 1. A alanı için, geometrik merkezinin yerini, 1 eksenine göre atalet momentini, alanını ve dört paralel eksen arasındaki mesafeleri biliyoruz. Paralel eksenler teoremini kullanarak 2 ekseni etrafındaki atalet momentini buluruz. d 3 d 2 d 1 A C Eksen 4 3 2 1 A) doğrudan 1 ve 2 eksenleri arasında B) 1 ve 3 eksenleri arasında, sonra da 3 ve 2 eksenleri arasında C) 1 ve 4 eksenleri arasında, sonra da 4 ve 2 eksenleri arasında D) Hiçbiri. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-30 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.615
KAVRAMSAL YOKLAMA (devam) 2. Aynı şekil için, bu dört farklı eksen etrafındaki atalet momentlerini göz önünde bulundurun. Hangi eksen etrafındaki atalet momenti en küçük değere sahiptir? A) 1 ekseni B) 2 ekseni C) 3 ekseni D) 4 ekseni E) Bilinemez. d 3 d 2 d 1 A C Eksen 4 3 2 1 Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-31 /43 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (a) (b) Çözüm: (c) Verilen: Şekilde verilen taralı alan. İstenen: Alanın x ekseni etrafındaki atalet momenti. Plan: Analizin adımlarını takip edin. 1. Verilen alan, bir dikdörtgenden (a), dairenin (b) ve üçgenin (c) çıkarılması ile elde edilebilir. 2. Bu basit şekillerin geometrik merkezlerinin yeri hakkındaki bilgi kitabınızda bulunabilir. Geometrik merkezlerin x eksenine olan dik mesafeleri sırasıyla d a = 150 mm, d b = 150 mm ve d c = 200 mm. Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-32 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.616
ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) (c) (b) (a) Atalet yarıçapı: k X = ( I X / A ) 3. I Xa = (1/12) (350) (300) 3 + (350)(300)(150) 2 = 3.15 10 9 mm 4 I Xb = (1/4) (75) 4 + (75) 2 (150) 2 = 4.224 10 8 mm 4 I Xc = (1/36) (150) (300) 3 + (1/2)(150) (300) (200) 2 = 1.013 10 9 mm 4 Toplama: I X = I Xa I Xb I Xc = 1.715 10 9 mm 4 A = 350 (300) (75) 2 (1/2) 150 (300) = 8.071 10 4 mm 2 k X = 1.715 10 9 / 8.071 10 4 = 146 mm Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-33 /43 DİKKAT YOKLAMASI 1. Verilen alanın 1 ekseni etrafındaki atalet momenti 200 cm4 tür. 3 ekseni etrafındaki atalet momenti kaçtır (geometrik merkez ekseni)? A) 90 cm 4 B) 110 cm 4 C) 60 cm 4 D) 40 cm 4 d 2 d 1 d 1 C C A=10 cm 2 = d 2 = 2 cm 3 2 1 2. Dikdörtgenin x ekseni etrafındaki atalet momenti tür. A) 8 cm 4 B) 56 cm 4 2cm C) 24 cm 4 D) 26 cm 4 2cm 3cm x Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR 9-34 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.617
ÖRNEK (ders haricinde incelenecektir) Şekilde gösterilen kompozit alanın x eksenine göre atalet momentini bulunuz. 9-35 /43 ÖRNEK (devam) İki kompozit alandan oluşuyor, bunların merkezleri de şekilde gösterildi. 9-36 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.618
9-37 /43 ÖRNEK (ders haricinde incelenecektir) 9-38 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.619
ÖRNEK (devam) 9-39 /43 ÖRNEK (devam) 9-40 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.620
ÖRNEK (ders haricinde incelenecektir) Şekilde gösterilen kesitin x eksenine göre atalet momentini bulunuz. 9-41 /43 ÖRNEK (devam) Kesit hem x, hem de y eksenlerine göre simetrik olduğuna göre, simetrik olan parçaların x eksenine göre atalet momentlerini bulmak yeterli olacaktır. Bunun için paralel eksen teoremi kullanılmalıdır çünkü parçaların ağırlık merkezleri ile x ekseni ÇAKIŞMAMAKTADIR. Cevap: 115x10 6 mm 4 42 9- /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.621
ÖDEV Şekilde gösterilen kesitin ağırlık merkezinden geçen y eksenine göre atalet momentini bulunuz. İpucu: Cevap: 3.60xe 6 mm 4 9-43 /43 Statics:The Next Generation (2nd Ed.) Mehta, Danielson, & Berg Lecture Notes for Sections 1.1-1.622