Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Bölüm 7 İç Kuvvetler Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

7. İç Kuvvetler Bu bölümde, bir yapı elemanının belli noktalarındaki iç kuvvetleri bulmak amacıyla bir teknik geliştireceğiz. Daha sonra bu yöntemi, yüklemenin elemanın ekseni boyunca noktadan noktaya değişimini bulmak için genelleştireceğiz. İç yüklemenin bu değişimini gösteren bir grafik, maksimum iç yüklerin ortaya çıktığı kritik noktaları bulmamızı sağlayacaktır. Kabloların analizi bölümün son kısmında ele alınacaktır.

7.1 Yapı Elemanlarında Ortaya Çıkan İç Kuvvetler Bir yapı elemanının tasarımı, dış yükleri dengelemede gerekli olan, eleman içinde etkiyen yüklerin incelenmesini gerektirir. Kesim yöntemi bu amaç için kullanılabilir. B noktasında kesit alınırsa, iç yüklemeler her bir parçanın SCD sinde dış yükleme olarak «ortaya çıkar».

7.1 Yapı Elemanlarında Ortaya Çıkan İç Kuvvetler Eğilme momenti bileşenleri Normal kuvvet Normal kuvvet Burulma momenti Kesme kuvveti Eğilme momenti Kesme kuvveti bileşenleri Her bir yüklemenin büyüklüğü, elemanın ekseni boyunca çeşitli noktalarda genellikle farklı olacaktır. Kesim yöntemi bu yüklemelerin değerlerini belirlemek için daima kullanılabilir.

7.1 Yapı Elemanlarında Ortaya Çıkan İç Kuvvetler İşaret Uylaşımı. Pozitif Normal Kuvvet Pozitif Kesme Kuvveti Pozitif Eğilme Momenti - Pozitif normal kuvvet, elemanda çekme meydana getirir. - Pozitif kesme kuvveti, elemanı saat yönünde döndürmeye çalışır. - Pozitif eğilme momenti, elemanı yukarı doğru konkav olacak şekilde eğmeye çalışır. Bunun tersi durumlar negatiftir.

7.1 Yapı Elemanlarında Ortaya Çıkan İç Kuvvetler Analizde İzlenecek Yol. Bir eleman içinde belirli bir yerdeki iç yüklemeleri belirlemek için kesim yönteminin uygulanması için aşağıdaki adımlar izlenmelidir. Mesnet Tepkileri. Serbest Cisim Diyagramı. Denge Denklemleri.

Örnek 7-3 Kiriş, şekilde gösterilen yükü taşımaktadır. 6 kn luk kuvvetin hemen solundaki B noktası ve hemen sağındaki C noktasında etkiyen iç normal kuvveti, kesme kuvvetini ve eğilme momentini belirleyiniz.

Örnek 7-3 Mesnet Tepkileri.

Örnek 7-3 Serbest Cisim Diyagramları. Denge Denklemleri.

Örnek Kiriş, şekilde gösterilen yükü taşımaktadır. C noktasında etkiyen iç normal kuvveti, kesme kuvvetini ve eğilme momentini belirleyiniz.

Örnek

Örnek 7-4 Şekilde gösterilen iki elemanlı çerçevenin B noktasında etkiyen iç normal kuvveti, kesme kuvvetini ve eğilme momentini belirleyiniz.

Örnek 7-4

Örnek 7-5 Şekildeki gibi yüklenen çerçevenin E noktasında etkiyen iç normal kuvveti, kesme kuvvetini ve eğilme momentini belirleyiniz.

Örnek 7-5

*7.2 Kesme ve Moment Denklemleri ve Diyagramları Kirişler, eksenlerine dik uygulanan yüklemeleri taşımak için dizayn edilen yapısal elemanlardır. Genelde, sabit kesit alanına sahip, uzun, doğrusal çubuklardır. Bir kirişin tasarımı, kirişin ekseni boyunca her bir noktada etkiyen iç V kesme kuvvetinin ve M eğilme momentinin değişiminin detaylı olarak bilinmesini gerektirir.

*7.2 Kesme ve Moment Denklemleri ve Diyagramları x in fonksiyonu olarak V ve M nin değişimlerini gösteren grafiklere, sırasıyla, kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramları denir. Genelde, yayılı yüklerin değiştiği, ya da tekil kuvvetlerin veya momentlerin uygulandığı noktalarda, iç kesme kuvveti ve eğilme momenti fonksiyonları ve bunların eğimleri süreksiz olur. Bu nedenle, bu fonksiyonlar, kirişin herhangi iki yükleme süreksizliği arasında yer alan her bir parçası için belirlenmelidir.

*7.2 Kesme ve Moment Denklemleri ve Diyagramları İki sebeple iç normal kuvvet hesaba katılmaz: Birçok durumda kirişe uygulanan yükler, kiriş eksenine dik etkir ve bu suretle sadece iç kesme kuvveti ve eğilme momenti üretir. Tasarım amaçları için, kirişin kesmeye ve özellikle eğilmeye direnci, normal kuvvete karşı koyma yeteneğinden daha önemlidir.

*7.2 Kesme ve Moment Denklemleri ve Diyagramları İşaret Uylaşımı. Pozitif Kesme Kuvveti Pozitif Eğilme Momenti - Pozitif kesme kuvveti, elemanı saat yönünde döndürmeye çalışır. - Pozitif eğilme momenti, elemanı yukarı doğru konkav olacak şekilde eğmeye çalışır. Bunun tersi durumlar negatiftir.

*7.2 Kesme ve Moment Denklemleri ve Diyagramları Analizde İzlenecek Yol. Bir kirişin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarının çizilmesi için aşağıdaki adımlar izlenmelidir. Mesnet Tepkileri. Kiriş üzerine etkiyen tüm tepki kuvvetleri ve kuvvet çifti momentleri belirlenir. Kuvvetlerin hepsi kiriş eksenine dik ve paralel etkiyen bileşenlerine ayrılır.

*7.2 Kesme ve Moment Denklemleri ve Diyagramları Analizde İzlenecek Yol. Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Fonksiyonları. Orijini kirişin sol ucunda olan ve tekil kuvvetler ve/veya momentler arasındaki veya yayılı yüklerde hiçbir süreksizliğin olmadığı bölgelere uzanan ayrı x koordinatları belirtilir. Kiriş, her bir x uzaklığında eksene dik olarak kesilir. Serbest cisim diyagramı üzerinde V ve M, işaret uylaşımına uygun olarak, pozitif yönlerde gösterilmelidir. V, kirişin eksenine dik kuvvetler toplamından, M ise parçanın kesim yapılan ucuna göre momentler toplamından belirlenir.

*7.2 Kesme ve Moment Denklemleri ve Diyagramları Analizde İzlenecek Yol. Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramları. Kesme kuvveti diyagramı (x e göre V) ve eğilme momenti diyagramı (x e göre M) çizilir. Belirlenen V ve M fonksiyonlarının hesaplanan değerleri pozitifse, değerler x ekseni üzerinde, negatifse x ekseninin altında çizilir. Genellikle, kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarını doğrudan kirişin serbest cisim diyagramı altına çizmek uygun olur.

Örnek 7-7 Şekilde gösterilen şaft için kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarını çiziniz. A daki mesnet itme yatak, B deki kayma yataktır.

Örnek 7-7

Örnek 7-8 Şekilde gösterilen kirişin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarını çiziniz.

Örnek 7-8 w/x = 6/9 w = 2x/3

Örnek 7-8

*7.3 Yayılı Yük, Kesme Kuvveti ve Moment Arasındaki Bağıntılar Kirişin birkaç tekil kuvvet, moment ve yayılı yüke maruz kaldığı durumlarda, daha önce incelenen kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarını oluşturma yöntemi zahmetli hale gelebilir. Bu kesimde, bu diyagramları oluşturmak için, yük, kesme kuvveti ve eğilme momenti arasında var olan diferansiyel bağıntılar üzerinden daha basit bir yöntem oluşturulacaktır.

*7.3 Yayılı Yük, Kesme Kuvveti ve Moment Arasındaki Bağıntılar Yayılı Yük. Kesme kuvveti diyagramının eğimi Yayılı yük şiddeti Kesme kuvvetindeki değişim Yükleme eğrisi altındaki eğrinin alanı SCD parçası tekil kuvvet veya momente maruz kalmayan bir noktadan seçildiği için, elde edilen ifadeler tekil yükleme noktalarında kullanılamaz.

*7.3 Yayılı Yük, Kesme Kuvveti ve Moment Arasındaki Bağıntılar Yayılı Yük. Moment diyagramının eğimi Kesme Kuvveti Momentteki değişme Kesme kuvveti diyagramı altındaki alan Kesme kuvvetinin sıfıra eşit olduğu bir noktada dm/dx = 0 ve dolayısıyla eğilme momenti maksimum olur.

*7.3 Yayılı Yük, Kesme Kuvveti ve Moment Arasındaki Bağıntılar Yayılı Yük. Kesme kuvvetindeki değişim Yükleme eğrisi altındaki eğrinin alanı Momentteki değişme Kesme kuvveti diyagramı altındaki alan w=w(x) yükleme eğrisi n inci dereceden bir polinomsa, V=V(x) (n+1) inci dereceden, M=M(x) (n+2) nci dereceden bir eğri olacaktır.

*7.3 Yayılı Yük, Kesme Kuvveti ve Moment Arasındaki Bağıntılar Kuvvet. F kiriş üzerinde yukarı doğru etkidiği zaman kesme kuvvetindeki değişim pozitiftir. Yani, kesme kuvveti diyagramı üzerinde kesme kuvveti yukarı doğru «atlar». Benzer şekilde, F aşağı doğru etkidiğinde kesme kuvvetindeki atlama (ΔV) aşağı doğrudur.

*7.3 Yayılı Yük, Kesme Kuvveti ve Moment Arasındaki Bağıntılar Moment. M 0 saat yönünde ise, momentteki değişme pozitiftir veya moment diyagramı yukarıya doğru «atlar».

Örnek Şekilde gösterilen kirişin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarını çiziniz.

Örnek A ucundaki kesme kuvveti -2 kn dur ve x=0 noktasında çizilmiştir. Kesme diyagramı, w yükü ile tanımlanan eğimler ile oluşturulur. Kesme kuvveti x=4 te -5 kn dur. Bu değer, yayılı yük altındaki alandan da hesaplanabilir: w = 0 V eğim = 0 w = negatif sabit V eğim = negatif sabit Moment diyagramı, her noktadaki eğimin kesme kuvvetine eşit olduğu bilgisiyle çizilir. x=0 dan x=2 ye kadar moment değişimi, kesme diyagramı altındaki alandan hesaplanır: V = negatif sabit M eğim = negatif sabit V = negatif artan M eğim = negatif artan

Örnek Şekilde gösterilen çıkmalı kirişin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarını çiziniz.

Örnek A ucundaki kesme kuvveti -2 kn dur ve x=0 noktasında çizilmiştir. Kesme diyagramı, w yükü ile tanımlanan eğimler ile oluşturulur. x=4 m de B y den kaynaklanan 10 kn luk pozitif atlamaya dikkat ediniz. Moment diyagramı, her noktadaki eğimin kesme kuvvetine eşit olduğu bilgisiyle çizilir. x=4 m deki moment, kesme diyagramı altındaki alandan bulunur: w = 0 V eğim = 0 w = negatif sabit V eğim = negatif sabit V = negatif azalan M eğim = negatif azalan V = negatif sabit M eğim = negatif sabit

*7.4 Kablolar Bükülebilir kablolar ve zincirler, mühendislik yapılarında yükleri taşımak ve bir elemandan diğerine aktarmak amacıyla sıklıkla kullanılır. Analizde üç hal ortaya çıkar: (1) Tekil yüklemeye maruz kablo, (2) Yayılı yüke maruz kablo, (3) Kendi ağırlığına maruz kablo.

*7.4 Kablolar Kablodaki kuvvet ve kuvvetin eğimi arasındaki gerekli bağıntılar çıkarılırken, kablonun tam bükülebilir ve uzamaz olduğu varsayımları yapılır. Bükülebilirlik, kablonun eğilmeye karşı direncinin olmadığı anlamına gelir ve dolayısıyla kablodaki çekme kuvveti, kablo uzunluğu boyunca her noktada daima kabloya teğettir. Uzamazlıktan dolayı, yük uygulandıktan sonra da kablo uzunluğu ve geometrisi sabit kalır. Dolayısıyla, kablo veya bir parçası rijit cisim olarak düşünülebilir.

*7.4 Kablolar Tekil Yüklere Maruz Kablo. Ağırlığı ihmal edilebilir bir kablo birçok tekil yük taşıyorsa, kablo, her biri sabit çekme kuvvetine maruz birçok doğru parçasının oluşturduğu formu alır. Üç parçanın her birindeki çekme kuvveti, A ve B mesnetlerindeki ikişer tepki ile C ve D noktalarındaki sarkmalar olmak üzere dokuz bilinmeyen bulunmaktadır. A, B, C ve D noktalarından toplam sekiz denge denklemi elde edilir. Sarkmalardan birisi veya kablonun toplam uzunluğu verilirse, bütün bilinmeyenler geometriden belirlenebilir.

Örnek 7-13 Şekilde gösterilen kablonun her bir parçasındaki çekme kuvvetini belirleyiniz.

Örnek 7-13

*7.4 Kablolar Yayılı Yüke Maruz Kablo.

Örnek 7-14 Asma köprünün kablosu şekilde gösterildiği gibi, A ve B sütunları arasındaki düzgün yüzeyinin yarısını taşımaktadır. Yayılı yük w 0 olduğuna göre, kabloda oluşacak maksimum kuvveti ve kablonun uzunluğunu belirleyiniz.

Örnek 7-14

*7.4 Kablolar Kendi Ağırlığına Maruz Kablo.

Örnek 7-15 Şekilde gösterilen çökme eğrisini, eğrinin uzunluğunu ve düzgün kablodaki maksimum çekme kuvvetini belirleyiniz. Kablonun ağırlığı w 0 = 5 N/m dir.

Örnek 7-15