Giriş Mukavemet veya maddelerin mekaniği (strength of materials, mechanics of materials) kuvvetlere maruz kalmış deforme olan cisimleri inceler. Şekil değiştirme ve gerilmelerin hesabı ile ilgilenir. Cisimlerin tasarımı ve cisimde oluşan şekil değiştirmeleri hesaplamak için gerekli teorik alt yapıyı oluşturur. Malzemenin kuvvetler altındaki davranışını bilmek, o malzemeyi verimli bir şekilde kullanabilmek için gereklidir. Malzemenin mekanik özellikleri, üretim aşamasında değiştirilebilir. Giriş Örneğin beton, seramik, çelik gibi cisimlerin mekanik özellikleri malzemeyi oluşturan bileşenlerin oranlarına bağlı olarak değiştirilebilir. Bu ders kapsamında kuvvetler altında bu malzemeler nasıl davranır sorusuna cevap arayacağız. 1
Giriş Statikçe belirli problemlerde, yapısal elemanda gelişen iç kuvvetler aşağıdaki gibi hesaplanır: Eleman iç kuvvetleri bulmak istediğimiz bir noktadan kesilir, Kesitin solundaki veya sağındaki kısmın serbest cisim diyagramı çizilir, Denge denklemleri uygulanarak iç kuvvetler bulunur. Kesitteki kuvvetler iç reaksiyon kuvvetleridir ve aslında kesit boyunca dağılmış/yayılmış kuvvetlerin bileşkesini temsil etmektedir. Giriş Statikçe belirsiz problemlerin iç kuvvetlerinin bulunması için cismin şekil değiştirmesi de dikkate alınmak zorundadır. Denge denklemleri problemin çözümü için yeterli değildir. 2
Giriş Genel bir cisimde oluşan iç kuvvetler (üç boyutlu): Dikkat edilirse kesilen noktada, iç kuvvetler dağılmış/yayılı bir şekilde oluşur. Bu kuvvetler, üst parçanın alt parçaya etkittiği kuvvetlerdir ve bu yayılı kuvvetler GERİLME olarak da adlandırılır. Denge Denklemleri İç kuvvetlerin bulunması (üç boyutlu cisimler): Vektörel ifade İç kuvvetlerin bulunması (iki boyutlu cisimler): Skaler ifade 3
İç Kuvvetler (düzlemsel kiriş örneği) Dış kuvvetler ve reaksiyon kuvvetlerinin etkisi altındaki düzlem elemanı ele alalım A x, A y, ve B reaksiyon kuvvetleri denge denklemleri ile bulunur. Örneğin A A kesitindeki gerilmeleri veya bu gerilmelerin bileşkesi olan iç kuvvetleri bulmak isteyelim, bu durumda elamanın eksenine dik bir kesit alınır ve o kesit incelenir. İç Kuvvetler Elemanın (kirişin) sol parçası üzerinde normal kuvvet F (veya N diye de gösterilir), kesme kuvveti V (T diye de gösterilir) ve eğilme momenti M aşağıda gösterilmiştir. SOL PARÇA 4
İç Kuvvetler Kirişin sağ parçasında ise eşit ama zıt yönlü iç kuvvetler oluşacaktır. SAĞ PARÇA İç Kuvvetler Analizlerde kolaylık sağladığından, iç kuvvetlerin kesitin merkezinden geçtiği kabul edilir. KESİT ve MERKEZİ G 5
İç Kuvvetler Elemanlarda oluşan diğer bir tip iç kuvvet burulma momentidir (tork diye de adlandırılır). Sağ el kuralına göre moment ekseni T torku elemanın boyuna ekseni doğrultusundaki momentir. İç Kuvvetler Tork oluşturan yükleme Şekil (a) da gösterilmiştir. Eleman A A kesitinde ortaya çıkan burulma momenti veya torklar (iç kuvvet), Fig. (b) ve (c) de gösterilmiştir. 6
İç Kuvvetlerin Bileşenlerine Ayrılması ve Kesite dik ve teğet bileşenlere ayrılır. İki boyutlu durum Gerilme Bir kesitteki iç kuvvetler kesit üzerindeki küçük küçük alanlara etkiyen yayılı kuvvetlerin bileşkesidir. Bu yayılı kuvvetlere gerilme denir! Genelde, ΔA alanlarına etkiyen gerilmelerin şiddet ve yönleri kesit üzerinde değişmektedir. 7
Gerilme Gerilmelerin farklı noktalardaki şiddeti, malzemenin yük taşıma kapasitesini ve şekil değiştirme direncini etkilemektedir. Fig. (b) ve (c) de gösterildiği gibi,kesiteetkiyenkuvvetler kesite dik (normal) ve kesite paralel (teğet) bileşenlere ayrılabilir. Normal Gerilme Kesite dik olan ve birim alana etki eden yayılı kuvvetler normal gerilme olarak adlandırılır. Yunan alfabesindeki σ (sigma) simgesiyle gösterilir. Normal gerilmenin kesit alanı ΔA üzerindeki ortalama değeri: Burada ΔF (veya ΔN), ΔA alanı üzerindeki kuvvetin normal bileşenidir. Bir noktadaki normal gerilme ΔA alanını limitte sıfıra yaklaştırılarak bulunabilir. Bir noktadaki gerilme ortalama gerilmeden farklıdır. 8
Normal Gerilme Malzemeyi çeken gerilmeye çekme gerilmesi (tensile stress) denir. Çekme gerilmesi bir normal gerilmedir! Malzemeye basınç uygulayan gerilmeye ise basınç gerilmesi (compressive stress) denir. Basınç gerilmesi de bir normal gerilmedir. Şekilde çekme gerilmesi durumu gösterilmiştir. (Bunun tam tersi ise basınç gerilmesi durumudur). Kesme Gerilmesi Kesite paralel olanve birimalana etkieden yayılı kuvvetler kesme gerilmesi (shear stress) olarak adlandırılır. Yunan alfabesindeki (tau) simgesiyle gösterilir. Kesme gerilmesinin ΔA alanı üzerindeki ortalama değeri: Burada ΔV, ΔAalanı üzerindeki kuvvetin kesite paralel bileşenidir. Bir noktadaki kesme gerilmesi ise ΔA alanını limitte sıfıra yaklaştırılarak bulunabilir. 9
Ortalama (Üniform) Normal Gerilme Kesit bütününe dağılmış ortalama gerilme için gerilme genel formülü aşağıda verilmiştir. Burada dikkat edilirse, gerilme kesit üzerinde noktadan noktaya değişmemektedir: (veya F) Burada F (veya P) kesitteki bileşke normal kuvvettir. A ise F kuvvetinin etkidiği toplam kesit alanıdır. Çekme Basınç (veya F) Ortalama (Üniform) Normal Gerilmenin Eleman Boyunca Değişimi Eleman ortasına doğru gerilme yaklaşık olarak uniformlaşıyor A 10
Ortalama (Üniform) Kesme Gerilmesi Kesit bütününe dağılmış ortalama (üniform) kesme gerilmesi aşağıdaki gibi hesaplanır: V kesitteki kesme/kayma kuvvetidir. A ise V kuvvetinin etkidiği toplam kesit alanıdır. F Gerilme ile İlgili Bazı Genel Notlar Cisim içinde oluşan gerilme cismin yapıldığı malzemeden bağımsızdır. Gerilme, sadece iç kuvvetlere ve cismin kesit alanına bağlıdır. Dayanım (strength), malzemenin taşıyabileceği maksimum izin verilebilir gerilmedir (allowable stress). Bu karakteristik veya özellik deneysel ölçümlerle belirlenir. Gerilme dikkat edilirse, kesit üzerindeki birim iç kuvvettir. Birim alana etkiyen kuvvet diye düşünülebilir. İki malzemeyi kıyaslarken boyut etkisini elimine etmektedir. 11
Gerilme Birimler Gerilme kuvvet / alan birimindedir. SI veya metrik birimlerinde gerilmenin birimi newton/metre karedir, kısaca N/m 2 veya Pascal (Pa) şeklinde gösterilir. Pascal çok küçük bir gerilme birimi olduğundan, kilo Pascal (kpa) veya mega Pascal (MPa) kullanılır. Ülkemizde gerilmenin birimi olarak kg/cm 2 de kullanılır.1n=9.81kgveyayaklaşık olarak10 kg olarak alınıp dönüşüm yapılabilir. Emniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı (Factor of Safety) Emniyet gerilmesi, bir malzeme türünün belli bir yükleme altında emniyetle taşıyabileceği maksimum/en büyük gerilme değerine denir. Bu değer yapısal elemanların tasarımında kullanılabilir. Emniyet gerilmesi değerleri deneyler ve geçmiş deneyimler ışığında belirlenir. Ayrıca, bazen tasarım gerilme değeri olarak da adlandırılır. 1-24 12
Emniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı (Factor of Safety) Emniyet gerilmesi σ em (ya da σ a ) biliniyorsa, ilgili çekme veya basınç kuvvetlerini emniyetle taşıyabilecek alanın değeri hesaplanabilir: Emniyet gerilmesi τ em (ya da τ a ) biliniyorsa, ilgili kesme (kayma) kuvvetini emniyetle taşıyabilecek alanın değeri hesaplanabilir: Not: Dikkat edilirse, yukarıdaki denklemlerin kullanılabilmesi için emniyet gerilmesi değerlerinin ve kesite etkiyen iç kuvvetlerin bilinmesi gerekmektedir. Emniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı (Factor of Safety) Bir malzeme için emniyet gerilmesi değeri malzeme testleri ile bulunabilir. Genellikle bunun için çekme ve basınç deneyleri yapılır. Daha sonra incelenecek!!! Emniyet katsayısı aşağıdaki formül ile tanımlanabilir: 13
Emniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı (Factor of Safety) Emniyet katsayısının belirlenmesini etkileyen bazı faktörler aşağıda sıralanmıştır: Malzeme özelliklerindeki belirsizlik, Yükleme durumundaki belirsizlik, Analiz yöntemlerinin yaklaşık olması, Yük tekrarındaki belirsizlik, Göçme türü/modundaki belirsizlik, Yapısal sistemin önemlilik derecesi, Eksenel Yüklü Elamanlarda Ortalama Normal Gerilme Analizi Düz iki ucundan yüklü sabit kesitli bir elemanı ele alalım Kuvvetlerin etki çizgisi elemanın boyuna ekseni doğrultusunda ve şekilde gösterildiği gibi kesitin merkezinden geçmektedir. 14
Eksenel Yüklü Elamanlarda Ortalama Normal Gerilme Analizi Elemanın ortasına doğru bir yerde dik B B kesiti alınırsa, ortaya çıkan iç kuvvet P olacaktır (denge şartı) Eksenel Yüklü Elamanlarda Ortalama Normal Gerilme Analizi Şekilde ortalama gerilme dağılımı gösterilmektedir. Dikkat edilirse, (gerilme en kesit alanı), bileşke eksenel kuvvete eşittir (σa=p). Kesitte herhangi bir kesme kuvveti yoktur! 15
Aşağıdaki denklemin çeşitli formları, gerçek malzemelerden yapılmış cisimlerin tasarımında kullanılabilir: 1. Durum P ve A nın ikisi de biliniyorsa, bu denklem cisimde oluşan gerilmelerin hesabında direkt kullanılabilir veya bulunan gerilme değeri herhangi bir malzemenin izin verilebilir gerilme değeri ile karşılaştırılarak o malzemenin bu kuvveti emniyetle taşıyıp taşıyamadığına karar verilebilir. Aşağıdaki denklemin çeşitli formları, gerçek malzemelerden yapılmış cisimlerin tasarımında kullanılabilir: 2. Durum P max = σ em x A 16
Aşağıdaki denklemin çeşitli formları, gerçek malzemelerden yapılmış cisimlerin tasarımında kullanılabilir: 3. Durum P kuvveti ve gerilme σ biliniyorsa, bu durumda kesite etkiyen iç kuvveti taşıyacak gerekli kesit alanı A=p/σ denklemi ile hesaplanır. Bu denklem elemanın boyutlarının ne olacağına ilişkin bilgiyi sağlar. Örnek Şekilde gösterilen çubuk 35 mm sabit yüksekliğe sahiptir. Çubuğun kalınlığı ise 10mm dir. Bu yüklemenin çubukta oluşturacağı maksimum normal gerilme değerini hesaplayınız (σ maks =?). 17
Örnek (devam): Kesitte oluşan maksimum eksenel kuvvet BC aralığında oluşmaktadır. Bu durumda maksimum eksenel (normal) gerilme de burada oluşacaktır. Kesit üzerindeki uniform normal gerilme dağılımı: Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi C BC çubuğu eksenel kuvvet dolayısıyla normal gerilme etkisi altındadır! Ancak, BC çubuğunu C noktasına bağlayan pim nasıl bir etki altındadır? A B 18
Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi C A B A, B ve C noktalarındaki bağlantı detaylarına bakarsak, çubukları bu noktalara bağlayan pimlerde eleman kuvvetlerinin farklı etkiler oluşturduğunu görürüz. Pimlerde oluşan bu etkiler kesme/kayma kuvveti, yani kesme/kayma gerilmesi etkileridir. Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi ÜST GÖRÜNÜM Eleman kuvveti İki çubuk birbirlerine pim/cıvata/perçin ile bağlanmıştır. 19
Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi Kesmeye karşı koyan pimi iki farklı düzlemden keserek, çubukları şekildeki gibi birbirinden ayırabiliriz. Pim alanının A =π d 2 /4 olduğu görülür: Dengeden, iki düzlemdeki iç kuvvetlerin F/2 olduğunu görülür. Bu kuvvetler düzleme paraleldir yani düzlemi kesmeye çalışır. Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi Bu durumda her bir düzlemdeki kesme gerilmesinin ortalama değeri aşağıdaki gibi hesaplanabilir: Bu durumdaki (iki farklı noktadan kesilen) pimlere (perçinlere) çift etkili/çift tesirli pim denir. 20
Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi Aşağıdaki örnekte ise iki levha bir perçinle/pimle birleştirilmiş durumdadır, Karşılaştırma amacıyla, bir önceki birleşim detayı burada tekrar gösterilmiştir. Ortalama Kesme Gerilmesi Analizi Levhaları ayırmak için perçini tek bir kesitten ayırmak yeterlidir. Fig. (b) and (c): Çap Perçin/pim/civata kesitinde oluşan kesme kuvveti dengeden F kuvvetine eşit olduğu görülür. Bu durumda ortalama kayma gerilmesi şu şekilde hesaplanır: /4 Bu durumdaki pimlere tek tesirli pim/civata/perçin denir. 21
Ortalama Kesme Gerilmesi Tahkiki Tek Tesirli Çift Tesirli Pim/Civata/Perçin 1 Tek Tesirli Çift Tesirli Tek tesirli perçin Çift tesirli perçin 2 : kayma emniyet gerilmesi, A: pimin kesit alanı = /4, d : pimin çapı Zayıf Kesitten Levhanın Yırtılması Tahkiki (Çekme gerilmesi kontrolü) 2,ç, Levhanın emniyetle taşıyabileceği çekme yükü ç, 22
Pimde Gelişen Ezilme Gerilmesi 3,, d t,, Örnek Şekilde gösterilen askı, ucuna birleştirilmiş disk ile çapı 40 mm olan dairesel bir boşluktan geçirilerek mesnetlenmiştir. 20 kn luk ağırlığı taşıyabilmesi için, askının gerekli min. çapının ve diskin min. kalınlığının ne olması gerektiğini bulunuz? σ all = σ em =60MPa ve τ all = τ em = 35 MPa olarak alınız. 23
Örnek (devam) Çekme çubuğunun çapı: bu durumda, Kesilen diskin kalınlığı: Kesme gerilmelerinin üniform dağıldığı kabulü altında: Örnek Şekilde gösterilen ahşap birleşimin kalınlığı (sayfa düzlemine dik olan boyutu) 150 mm ise, a-a ve b-b kesitlerinde oluşan ortalama kesme gerilmelerinin bulunuz. 24
Örnek (devam): İç Kuvvetler: a-a ve b-b kesitlerinin dengesinden (c ve d şekillerine referansla): Ortalama kesme gerilmesi: Gerilmelerin durumunu gösterir sonsuz küçük elemanlar şekilde gösterilmiştir. Şekil Değiştirme (Strain) F F 25
Şekil Değiştirme Bir cisme kuvvet etkidiğinde, cismin şeklini ve hacmini değiştiren bir etki yaratır. Bu değişimlere şekil değişimi veya deformasyon denir. Deformasyonlar görünür olabilir veya görünmesi mümkün olmayabilir. Görünmesi mümkün olmayan deformasyonlar hassas aletlerle ölçülebilir. Görünmesi mümkün olan deformasyona kauçuk bir malzemenin deformasyonu örnek verilebilir. Görünmesi mümkün olmayan deformasyonlara ise yapısal elemanların deformasyonu örnek verilebilir. Kuvvet dışında sıcaklık değişimi de deformasyon oluşturan bir etkidir. Şekil Değiştirme Çekme Kuvveti Uygulanıyor Genelde cisim üzerinde oluşan deformasyonlar cismin hacmi içinde üniform olarak oluşmaz. Bu sebeple, cisim üzerindeki bir hatta (doğrultu boyunca) şekil değiştirmeler aynı olmaz. Cisim üzerinde incelenen parçalar çok küçük seçilerek, bir noktanın deformasyonu incelenir. Dikkat edilirse, deformasyon seçilen çizgisel hattın oriyantasyonuna da bağlıdır. 26
Şekil Değiştirme Şekil değişimini (deformasyon), cisim üzerindeki çizgilerin boy değişimi veya aralarındaki açının açı değişimi olarak tanımlamak için birim şekil değiştirme (strain) kavramını kullanacağız. Birim şekil değiştirmenin ölçülmesi deneyler yoluyla yapılmaktadır. Daha ileriki bölümlerde, şekil değiştirme - gerilme (birim alandaki kuvvet) arasındaki ilişkiler çıkarılacaktır. Şekil Değiştirme σ (birim şekil değişimi) α tanα = E = elastisite modülü ε (birim şekil değişimi) E çelik = 2.1x10 6 kg/cm 2 E beton = 2x10 5 kg/cm 2 E alüminyum = 0.7x10 6 kg/cm 2 E bakır = 1 x10 6 kg/cm 2 N Çubuk alanı: A L (ilk boy) N : Normal (veya eksenel) kuvvet ΔL (uzama miktarı) tanα = E / / => Normal kuvvet etkisinde uzama miktarını veren bağıntı Burada uzama rijitliği olarak adlandırılır : Enine birim şekil değişimi : Boyuna birim şekil değişimi : Poisson oranı (0~0.5 arası değişir) Çelik: 0.30 Beton: 0.20 Mantar: 0 Kauçuk: 0.5 27
Kayma/Kesme Birim Şekil Değiştirmesi (Shear Strain) Başta birbirine dik olan iki çizgi parçasının arasındaki açının değişimi kayma/kesme birim şekil değiştirmesi olarak adlandırılır. Bu açı değişimi γ (gama) ile gösterilir ve birimi radyandır. Nasıl tariflendiğini anlamak için aşağıdaki şekli inceleyelim: Kuvvet Uygulanıyor Şekil Değiştirmemiş Cisim Şekil Değiştirmiş Cisim Kartezyen Şekil Değişimi Bileşenleri Yukarıda yapılan tanımları kullanarak bir cisim üzerindeki farklı tür deformasyonları tarifleyebiliriz. Aşağıdaki şekli ele alalım: Kuvvet Uygulanıyor Cismi sonsuz küçük küp parçalara ayrılmış gibi düşünebiliriz. Şekil değiştirmemiş, çok küçük Δx, Δy, Δz kenar boyutlarına sahip kübik bir elemanı inceleyelim. Bu eleman, şekil değiştirmesini incelediğimiz cismin içinden çıkarılmıl bir noktayı temsil ediyor şeklinde düşünülebilir. Şekil değiştirmiş eleman 28
Küçük Şekil Değişimleri Analizi Mühendislik tasarımlarında, küçük şekil değiştirmelere izin verilir, Dikkat edilirse, etrafımızdaki hemen hemen her yapıda şekil değiştirmeler gözle fark edilemeyecek kadar küçüktür, Bu ders kapsamında, tüm cisimlerin küçük şekil değiştirmeler yaptığı kabul edilecektir; yani normal birim şekil değiştirmeler ε << 1 ve açı değişimleri ise (kesme şekil değişimi) sin(θ) =~ θ, cos(θ) = 1 ve tan(θ) = θ yaklaşımlarını sağlayacak kadar küçük olacaktır, Bu duruma birinci mertebe yaklaşımı da denir, Dikkat edilirse bir noktadaki şekil değişimi 6 bileşenle tanımlanabilir: Örnek 3 Şekilde gösterilen rijit kiriş, A noktasından bir mesnetle ve BD ve CE halatları ile taşınmaktadır. Yayılı yük C ucunu 10 mm aşağıya doğru çekiyorsa, CE ve BD kablolarındaki normal birim şekil değişimini bulunuz. 29
Kiriş rijit kaldığı için benzer üçgenlerden B ve C noktlarının ne kadar aşağıya doğru hareket ettikleri geometri ile bulunabilir! Not: Eğer kiriş rijit olarak kabul edilmeseydi, bu durumda cevap değişir miydi? 30