Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi

Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi 2. P ile gösterilen dünya nüfusu, t zamanına bağlıdır. Tablo, Dünya nufusu P(t) yi t yıllarında yaklaşık olarak vermektedir. Bir nicelik bir diğerine bağlı olduğunda ortaya fonksiyonlar çıkar. Şimdi dört farklı durumu düşüneceğiz: 1. Bir dairenin alanı A, yarıçağı r ye bağlıdır. Bu bağlılık A = πr 2 eşitliği ile gösterilir. Her pozitif r değerine karşılık bir A değeri vardır ve bu, A nın r nin bir fonksiyonu olması ile ifade edilir. Örneğin, P(1950) 2.560.000.000 Zaman t nin her değerine karşılık gelen bir P değeri olduğundan, P nin zaman t nin bir fonksiyonu olduğunu söyleriz. Yıl Nüfus(milyon) 1900 1650 1910 1750 1920 1860 1930 2070 1940 2300 1950 2560 1960 3040 1970 3710 1980 4450 1990 5280 2000 6070 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 1/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 2/ 110 Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi 3. Bir mektubun posta ücreti C, ağırlığı w ye bağlıdır. w ile C arasında kolayca ifade edilebilecek basit bir formüll olmamasına karşın, posta idareleri w bilindiğinde C yi belirleyen kurallar kullanırlar. Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi 4. Bir depremde yer kabuğunun düşey ivmesi a, sismograflar tarafından geçen t süresinin fonksiyonu olarak belleğe kaydedilmektedir. Şekil 1 de, 1994 de Los Angles kentindeki sismik hareketin grafiği verilmektedir. Verilen t değerine karşılık gelen a değerini grafikten okuyabiliriz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 3/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 4/ 110 Şekil 1: Northridge depreminde düşey yer ivmeleri

Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi Tanım: Fonksiyon Bir f fonksiyonu, bir A kümesinin her x öğesini, bir B kümesinin tek bir f(x) öğesine taşıyan bir kuraldır. Bu örneklerin tümü, verilen bir sayıya (r,t,w, veya t) karşılık diğer bir sayıyı veren (A,P,C, veya a) bir kural belirler. Her bir durumda ikinci sayı birincisinin fonksiyonudur. Genellikle A ve B kümelerinin gerçel sayıların kümeleri olduğu fonksiyonları düşüneceğiz. A kümesine fonksiyonun tanım kümesi denir. f(x) sayısına f fonksiyonunun x deki değeri denir. x sayısı A kümesi içinde değişirken, f(x) in tüm olası değerlerinin kümesine f nin görüntü kümesi denir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 5/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 6/ 110 Tanım: Fonksiyon f nin tanım kümesinin herhangi bir öğesini temsil eden sembole, bağımsız değişken denir. Görüntü kümesinin herhangi bir öğesini temsil eden sembole, bağımlı değişken denir. Fonksiyon Bir fonksiyonu en iyi anlamanın yolu grafiğidir. Tanım kümesi A olan bir fonksiyonun grafiği {(x,f(x)) x A} ile betimlenen sıralı ikililer kümesidir. Başka bir deyişle, f nin grafiği, x tanım kümesinde ve y = f(x) olmak koşulu ile düzlemdeki (x, y) noktalarının kümesidir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 7/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009Şekil Matematik 2: I 8/ 110

Fonksiyon Grafik, f nin tanım ve görüntü kümelerini, sırası ile x ve y ekseni üzerinde Şekil 3 deki gibi şekillendirmemize de yardımcı olur. Örnek Örnek Üstü açık dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutunun hacmi 10m 3 tür. Tabanın uzun kenarı, kısa kenarının iki katıdır.. Tabanda kullanılacak malzemenin metrekaresi 10 YTL, yan yüzlerde kullanılacak malzemenin metrekaresi 6 YTL ise, maliyet fonksiyonunu kısa kenarın fonksiyonu olarak bulun. Çözüm Şekil 4 da kısa kenar w, uzun kenar 2w ve yükseklik h olarak gösterilmiştir. Şekil 3: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 9/ 110 Şekil 4: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 10/ 110 Örnek... Taban alanı (2w) w = 2w 2 taban maliyeti 10(2w 2 ) YTL. İki yanyüzün alanı w h, ikisinin alanı ise 2w h dir. Buradan yanyüzlerin alanı 2(wh) + 2(2wh) olur. Dolayısıyla yanyüzlerin maliyeti 6 [2(wh)+2(2wh)] dir. Toplam maliyet ise olur. C = 10(2w 2 )+6[2(wh)+2(2wh)] = 20w 2 +36wh Örnek... C yi w nin bir fonksiyonu olarak ifade edebilmek için h yi yok etmemiz gerekir. Hacim 10m 3 olduğu için w (2w) h = 10 ve dolayısıyla h = 10 2w 2 = 5 w 2 dir. Bunu C nin ifadesinde yerine koyarak C = 20w 2 +36w ( ) 5 w 2 = 20w 2 + 180 w elde ederiz. C(w) = 20w 2 + 180 w, w > 0 denklemi, C yi w nin fonksiyonu olarak ifade eder. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 11/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 12/ 110

Fonksiyon Fonksiyon Düşey doğru ölçütü xy düzlemindeki bir eğrinin x in bir fonksiyonunun grafiği olması için gerekli ve yeterli koşul, her düşey doğrunun bu eğriyi en fazla bir noktada kesmesidir. Bir fonksiyonun grafiği xy düzleminde bir eğridir. Bu durumda akla bir soru geliyor: xy düzlemindeki hangi eğriler bir fonksiyonun grafiğidir? Şekil 5: Düşey Doğru Ölçütü Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 13/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 14/ 110 Fonksiyonlar - Parçalı tanımlı fonksiyon Fonksiyonlar - Parçalı tanımlı fonksiyon Parçalı tanımlı fonksiyonlara vereceğimiz bir sonraki örnek mutlak değer fonksiyonudur. Tanım kümesinin farklı parçalarında farklı biçimde tanımlanmış fonksiyona parçalı fonksiyon denir. x = { x,x 0 x,x < 0 f(x) = { 1 x, x 1 x 2, x > 1 x 1 iken f(x) in değeri 1 x, x > 1 iken f(x) in değeri x 2 dir. Şekil 6: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 15/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 16/ 110

Fonksiyonlar - Simetrik fonksiyon Fonksiyonlar - Simetrik fonksiyon Bu fonksiyonların önemi, grafiklerinin y eksenine göre simetrik olmasıdır(şekil 7). Yalnızca x 0 için grafik çizildiğinde, tüm grafik y eksenine göre simetri alınarak bulunur. Tanım kümesindeki her x için f( x) = f(x) koşulunu sağlayan f fonksiyonuna çift fonksiyon denir. Örneğin f(x) = x 2 fonksiyonu için sağlandığından f çifttir. f( x) = ( x) 2 = x 2 = f(x) Şekil 7: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 17/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 18/ 110 Fonksiyonlar - Simetrik fonksiyon Fonksiyonlar - Simetrik fonksiyon Tek fonksiyonların grafikleri başlangıç noktasına göre simetriktir.(şekil 8). Tanım kümesindeki her x için f( x) = f(x) koşulunu sağlayan f fonksiyonuna tek fonksiyon denir. Örneğin f(x) = x 3 fonksiyonu tektir çünkü dir. f( x) = ( x) 3 = x 3 = f(x) Şekil 8: Eğer x 0 değerleri için grafik biliniyorsa, tüm grafik eldeki grafiğin başlangıç noktaı etrafında 180 döndürülmesiyle elde edilir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 19/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 20/ 110

Fonksiyonlar - Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonlar - Artan ve Azalan Fonksiyonlar Şekil 9: Şekil 9 daki grafik A dan B ye kadar yükselmekte, B den C ye kadar düşmekte ve C den D ye kadar tekrar yükselmektedir. f fonksiyonu [a, b] aralığında artan, [b, c] aralığında azalan, [c, d] aralığında ise yine artandır. x 1 ve x 2 noktaları a ve b arasında, x 1 < x 2 koşulunu sağlayan herhangi iki nokta ise, f(x 1 ) < f(x 2 ) olduğuna dikkat ediniz. Bu özelliği artan fonksiyonun tanımı için kullanacağız. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 21/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 22/ 110 Fonksiyonlar - Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonlar - Periyodik Fonksiyonlar I aralığındaki her x 1 < x 2 için f(x 1 ) < f(x 2 ) ise, f fonksiyonu I aralığında artandır denir. I aralığındaki her x 1 < x 2 için f(x 1 ) > f(x 2 ) ise, f fonksiyonu I aralığında azalandır denir. Her bir x değeri için, p > 0 iken f(x+p) = f(x) eşitliğini sağlayan fonksiyonlara p periyoduna sahip periyodik fonksiyon denir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 23/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 24/ 110

Fonksiyonlar - Polinomlar Fonksiyonlar - Polinomlar n bir tamsayı, a 0,a 1,a 2,...,a n sabit gerçel sayılar olmak üzere P(x) = a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 2 x 2 +a 1 x+a 0 şeklindeki fonksiyonlara polinom denir. Her polinomun tanım kümesi R = (, ) kümesidir. a 0,a 1,a 2,...,a n sayılarına polinomun katsayıları denir. Eğer ilk katsayı a n 0 ise, n sayısına polinomun derecesi denir. Örneğin, derecesi 6 olan bir polinomdur. P(x) = 2x 6 x 4 + 2 5 x3 + 2 Derecesi 1 olan polinom P(x) = mx+b biçiminde olacağından, doğrusal bir fonksiyondur. Derecesi 2 olan bir polinom P(x) = ax 2 +bx+c biçimindedir ve kuadratik fonksiyon (veya ikinci dereceden polinom) adını taşır. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 25/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 26/ 110 Fonksiyonlar - Polinomlar Fonksiyonlar - Polinomlar İkinci dereceden polinomların grafiği parabol olur ve grafikleri, bir sonraki bölümde göreceğimiz gibi y = ax 2 parabolünün kaydırılması ile elde edilir. a > 0 ise, parabolun ağzı yukarıya, a < 0 ise aşağıya doğru açıktır (Şekil 10). Derecesi 3 olan bir polinom ax 3 +bx 2 +cx+d biçimindedir ve kübik fonksiyon adını taşır. Şekil 10: y = x 2 +x+1 y = 2x 2 +3x+1 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 27/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 28/ 110

Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları a sabit bir sayı olmak üzere, Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları n pozitif bir tamsayı olmak üzere, a = n ise n = 1,2,3,4 ve 5 olduğu f(x) = x n fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki grafiklerde görülmektedir. (Bunlar yalnızca bir terimi olan polinomlardır.) f(x) = x a biçimindeki fonksiyonlara kuvvet fonksiyonları denir. Bazı özel durumları düşünelim: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 29/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 30/ 110 Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları n pozitif bir tamsayı olmak üzere, a = n ise n = 1,2,3,4 ve 5 olduğu f(x) = x n fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki grafiklerde görülmektedir. (Bunlar yalnızca bir terimi olan polinomlardır.) Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları n pozitif bir tamsayı olmak üzere, a = n ise n = 1,2,3,4 ve 5 olduğu f(x) = x n fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki grafiklerde görülmektedir. (Bunlar yalnızca bir terimi olan polinomlardır.) Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 30/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 30/ 110

Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları Aşağıdaki şekilden görüleceği gibi n artarken f(x) = x n, 0 yakınında düzleşmekte, x 1 için dikleşmektedir. Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları n pozitif bir tamsayı olmak üzere, a = 1 n ise f(x) = x 1/n = n x fonksiyonuna kök fonksiyonu denir. n = 2 ise, f(x) = x, tanım kümesi [0, ), grafiği ise x = y 2 parabolünün üst kolu olan kare-kök fonksiyonudur. (x küçükse, x 2 daha küçük, x 3 daha da küçük, x 4 ondan da küçük, v.b. olacaktır.) n tamsayısının çift olması durumunda, y = x 1/n fonksiyonunun grafiği y = x fonksiyonunun grafiğine benzer. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 31/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 32/ 110 Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları Fonksiyonlar - Kuvvet Fonksiyonları a = 1 ise n = 3 durumunda f(x) = 3 x, tanım kümesi R olan (her gerçel sayının küp-kökü vardır) küp-kök fonksiyonudur ve grafiği aşağıda verilmiştir. Şekil de, f(x) = x 1 = 1/x in grafiği verilmiştir. n tek ise, (n > 3) y = n x nin grafiği y = 3 x fonksiyonunkine benzer. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 33/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 34/ 110

Fonksiyonlar - Rasyonel Fonksiyonlar Fonksiyonlar - Rasyonel Fonksiyonlar P ve Q gibi iki polinomun oranı olarak ifade edilebilen f(x) = P(x) Q(x) f fonksiyonuna rasyonel (kesirli) fonksiyon denir. Tanım kümesi: Q(x) 0 olan tüm x sayılarıdır. f(x) = 2x4 x 2 +1 x 2 4 fonksiyonu da tanım kümesi {x x ±2} olan olan bir rasyonel fonksiyondur. Tanım kümesi {x x 0} olan f(x) = 1/x fonksiyonu da rasyonel bir fonksiyondur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 35/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 36/ 110 Fonksiyonlar - Cebirsel Fonksiyonlar Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar Polinomlardan(toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma gibi) cebirsel işlemler ile elde edilebilen f fonksiyonuna cebirsel fonksiyon denir. Rasyonel fonksiyonlar cebirsel fonksiyonlardır. Kalkülüste açı birimi olarak (aksi belirtilmediği sürece) radyan kullanılır. Örneğin, f(x) = sinx ile radyan ölçümü x olan açının sinüsünü anlarız. Dolayısı ile, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının grafikleri, şekil de gösterildiği gibidir. f(x) = x 2 +1 g(x) = x4 16x 2 fonksiyonları da cebirsel fonksiyonlardır. x+ x +(x 2) 3 x+1 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 37/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 38/ 110

Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar Kalkülüste açı birimi olarak (aksi belirtilmediği sürece) radyan kullanılır. Örneğin, f(x) = sinx ile radyan ölçümü x olan açının sinüsünü anlarız. Dolayısı ile, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının grafikleri, şekil de gösterildiği gibidir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının tanım kümesi (, ), görüntü kümesi [ 1, 1] kapalı aralığıdır. Bu nedenle her x için 1 sinx 1 1 cosx 1 ya da mutlak değer gösterimi ile sinx 1 cosx 1 olur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 38/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 39/ 110 Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar Tanjant fonksiyonunun sinüs ve kosinüs fonksiyonalrı ile ilişkisi, Sinüs fonksiyonunu sıfırları π nin tamsayı katlarıdır; başka bir değişle n tamsayı olmak üzere, x = nπ için sinx = 0 dır. tanx = sinx cosx denklemleriyle verilir. Grafiği aşağıda da verilmiştir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının en önemli özelliği periyodik olmaları ve periyodlarının 2π olmasıdır. Bu, x in tüm değerleri için olması demektir. sin(x+2π) = sinx cos(x+2π) = cosx Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 40/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 41/ 110

Fonksiyonlar - Trigonometrik Fonksiyonlar Fonksiyonlar - Üstel Fonksiyonlar x = ±π/2,±3π/2,... değerleri için cosx = 0 olduğundan, bu değerlerde tanımlı değildir. Bu tür fonksiyonlar, taban a nın pozitif bir sabit olduğu f(x) = a x biçimindeki fonksiyonlardır. Her iki durumda da tanım kümesi (, ) ve görüntü kümesi (0, ) dur. Görüntü kümesi (, ) aralığıdır. Tanjant fonksiyonu periyodiktir ve periyodu π dir: tan(x+π) = tanx. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 42/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 43/ 110 Fonksiyonlar - Üstel Fonksiyonlar Fonksiyonlar - Üstel Fonksiyonlar Üstel fonksiyonların en çok kullanılanı e x (doğal üstel fonksiyon) fonksiyonudur. Buradaki e sayısı üstel fonksiyonun y eksenini eğimi 1 olacak şekilde kesmesini saylayan sayıdır. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 44/ 110 e sayısı irrasyonel bir sayıdır ve e sayısının ilk 5 basamağı e 2.71828 dir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 45/ 110

Fonksiyonlar - Cebirsel Olmayan Fonksiyonlar Örnek ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonların türlerini belirleyiniz. (a) f(x) = 5 x (b) g(x) = x 5 Transandantal (aşkın) fonksiyonlar olarak da bilinen bu tür fonksiyonlar trigonometrik, üstel ve logaritma fonksiyonlarını içerdikleri gibi, hiç bir ad verilmemiş diğer pek çok fonksiyonu da içerirler. ÇÖZÜM: (c) h(x) = 1+x 1 x (d) u(t) = 1 t+5t 4 (a) f(x) = 5 x fonksiyonu üstel bir fonksiyondur. (Kuvveti x dir.) (b) g(x) = x 5 fonksiyonu bir kuvvet fonksiyonudur. (Taban x dir.) aynı zamanda derecesi 5 olan bir polinomdur. (c) h(x) = 1+x 1 cebirsel bir fonksiyondur. x (d) u(t) = 1 t+5t 4 derecesi 4 olan bir polinomdur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 46/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 47/ 110 Eski Fonksiyonlardan Yenilerini Elde Etmek Fonksiyonların Dönüşümleri Bu bölümde, önceki bölümde öğrendiğimiz temel fonksiyonlardan başlayacağız ve grafiklerini kaydırarak, gererek ve yansıtarak yeni fonksiyonlar elde edeceğiz. Ayrıca, bir fonksiyon çiftinin standart aritmetik işlemler ve bileşkeyle nasıl birleştirildiğini göstereceğiz. Bir fonksiyonun grafiğine dönüşümler uygulayarak yeni fonksiyonlar elde edebiliriz. Bu fikirler bize bir çok fonksiyonun grafiğini hızlıca çizebilme yeteneğini kazandıracaktır. Aynı zamanda, verilen grafiklerin denklemlerini bulabileceğiz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 48/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 49/ 110

Fonksiyonların Dönüşümleri Fonksiyonların Dönüşümleri c > 0 olmak üzere Önce ötelemeleri düşünelim. Eğer c pozitif bir sayı ise, y = f(x)+c fonksiyonunun grafiği y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin yukarı doğru c birim kaydırılması ile elde edilir (bunun nedeni tüm y-koordinatlarının c kadar arttırılmasıdır). g(x) = f(x c) ile tanımlanan g fonksiyonunun x sayısındaki değeri, f nin x c sayısındaki değeridir (başka bir deyişle, x in c birim solundaki değer). Bu nedenle, y = f(x c) fonksiyonunun grafiği, y = f(x) grafiğinin c birim sağa kaydırılmış halidir Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 50/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 51/ 110 Fonksiyonların Dönüşümleri Fonksiyonların Dönüşümleri Yatay ve düşey kaydırmalar c > 0 olsun. y = f(x)+c nin grafiğini elde etmek için, y = f(x) grafiğini yukarı doğru c birim kaydırınız. y = f(x) c nin grafiğini elde etmek için, y = f(x) grafiğini aşağıya doğru c birim kaydırınız. y = f(x c) nin grafiğini elde etmek için, y = f(x) grafiğini sağa doğru c birim kaydırınız. y = f(x+c) nin grafiğini elde etmek için, y = f(x) grafiğini sola doğru c birim kaydırınız. Şimdi germe ve yansıma dönüşümlerini ele alalım. c > 1 ise, y = cf(x) fonksiyonunun grafiği, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin düşey doğrultuda c kadar gerilmesi ile elde edilir (çünkü her y-koordinatı aynı c sayısı ile çarpılmıştır). y = f(x) fonksiyonun grafiği, y = f(x) grafiğinin x eksenine göre yansımasıdır, çünkü (x, y) noktası (x, y) noktası ile yer değiştirmektedir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 52/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 53/ 110

Fonksiyonların Dönüşümleri c > 1 ve c 0 olmak üzere Fonksiyonların Dönüşümleri Yatay ve düşey germe ve yansıma c > 1 olsun. y = cf(x) in grafiğini elde etmek için, y = f(x) in grafiğini düşey olarak c kadar geriniz. y = (1/c)f(x) in grafiğini elde etmek için, y = f(x) in grafiğini düşey olarak c kadar büzünüz. y = f(cx) in grafiğini elde etmek için, y = f(x) in grafiğini yatay olarak c kadar büzünüz. y = f(x/c) in grafiğini elde etmek için, y = f(x) in grafiğini yatay olarak c kadar geriniz. y = f(x) in grafiğini elde etmek için, y = f(x) in grafiğinin x ekseninde yansımasını alınız. y = f( x) in grafiğini elde etmek için, y = f(x) in grafiğinin y ekseninde yansımasını alınız. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 54/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 55/ 110 Örnek Örnek : Verilen y = x in grafiğine dönüşümler uygulayarak y = x 2, y = x 2, y = x, y = 2 x ve y = x fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz. Örnek... 2 birim aşağı kaydırarak y = x 2 fonksiyonunun grafiği: Çözüm : y = x in grafiği: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 56/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 57/ 110

Örnek... Örnek... 2 birim sağa kaydırarak y = x 2 fonksiyonun grafiği: x ekseninde yansımasını alarak y = x in grafiği: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 58/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 59/ 110 Örnek... Örnek... düşey yönde 2 birim gererek y = 2 x in grafiği: y ekseninde yansıma alarak y = x in grafiği: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 60/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 61/ 110

Örnek Örnek : f(x) = x 2 +6x+10 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: Tam kareye tamamlayarak, grafiğin denklemini y = x 2 +6x+10 = (x+3) 2 +1 olarak yazarız. İstenilen grafiği, y = x2 parabolünü önce 3 birim sola, sonra 1 birim yukarıya kaydırarak buluruz. Örnek Örnek : y = x 2 1 fonksiyonunun garfiğini çiziniz. Çözüm: Önce y = x 2 1 parabolünü çizeriz. Bu, y = x 2 parabolünün 1 birim aşağıya kaydırılmasıyla elde edilir. 1 < x < 1 iken x 2 1 parabolü x-ekseninin altında kaldığından, y = x 2 1 in grafiğini, bu kısmın grafiğini x eksenine göre yansıtarak buluruz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 62/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 63/ 110 Fonksiyonların Birleşimleri Fonksiyonların Birleşimleri f +g toplamını, f ve g gibi iki fonksiyon, sayıların toplanması, çıkarılması, çarpılması ve bölünmesine benzer şekilde birleştirilerek, f + g, f g, fg ve f/g gibi yeni fonksiyonlar elde edilebilir. (f +g)(x) = f(x)+g(x) (1) ile tanımlarsak, denklem 1 in sağ tarafı ancak f(x) ve g(x) in her ikisininde tanımlı olduğu, diğer bir deyişle, x in hem f nin hem de g nin tanım kümesinde olduğu zaman anlamlıdır. f nin tanım kümesi A, g nin tanım kümesi B ise, f +g fonksiyonunun tanım kümesi, bu iki tanım kümesinin kesişimi A B dir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 64/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 65/ 110

Fonksiyonların cebiri f ve g, tanım kümeleri A ve B olan fonksiyonlar olsun. f +g, f g, fg, ve f/g fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlanır. (f +g)(x) = f(x)+g(x) tanım kümesi = A B (f g)(x) = f(x) g(x) tanım kümesi = A B (fg)(x) = f(x)g(x) tanım kümesi = A B (f/g)(x) = f(x)/g(x) tanım kümesi = {x A B : g(x) 0} Örnek Örnek : f(x) = x, g(x) = 4 x 2 ise, f +g, f g, fg, ve f/g fonksiyonlarını bulunuz. Çözüm : f(x) = x fonksiyonunun tanım kümesi [0, ) dur. g(x) = 4 x 2 fonksiyonunun tanım kümesi, 4 x 2 0, yani x 2 4 eşitsizliğini sağlayan x değerlerinden oluşur. Her iki tarafın kare kökünü alırsak, x 2, veya 2 x 2 elde ederiz. Dolayısıyla, g fonksiyonunun tanım kümesi [ 2, 2] aralığıdır. f ve g nin tanım kümelerinin kesişimi [0, ) [ 2,2] = [0,2] kümesidir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 66/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 67/ 110 Örnek... Fonksiyonların Bileşkesi Böylece tanımlardan, (f +g)(x) = x+ 4 x 2 0 x 2 (f g)(x) = x 4 x 2 0 x 2 (fg)(x) = x 4 x 2 = 4x x 3 0 x 2 ( f g ) (x) = x 4 x 2 = x 4 x 2 0 x < 2 buluruz. f/g nin tanım kümesinde g(x) = 0 veren x = ±2 noktalarının olmaması gerektiğinden, f/g nin tanım kümesi [0,2) aralığıdır. Verilen f ve g fonksiyonları için f g bileşke fonksiyonu (ya da f ve g nin bileşkesi), olarak tanımlanır. (f g)(x) = f(g(x)) Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 68/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 69/ 110

Fonksiyonların Bileşkesi Fonksiyonların Bileşkesi f g fonksiyonunu anlamanın en iyi yolu Şekil 11 deki gibi ok gösterimidir. f g fonksiyonunun tanım kümesi, g nin tanım kümesindeki, g nin görüntüsü f nin tanım kümesinde olan x lerden oluşur. Başka bir deyişle, (f g)(x), hem g(x) hem de f(g(x)) tanımlı olduğu zaman tanımlıdır. Şekil 11: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 70/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 71/ 110 Örnek Örnek Örnek : f(x) = x 2 ve g(x) = x 3 ise, f g ve g f bileşke fonksiyonlarını bulunuz. Çözüm: (f g)(x) = f(g(x)) = f(x 3) = (x 3) 2 (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = x 2 3 Not : Örnekte görüldüğü gibi, genelde f g g f dir. f g, önce g sonra f nin uygulanması ile bulunur. Örnekteki f g fonksiyonu, önce 3 çıkartan sonra da kare alan fonksiyon iken, g f önce kare alan sonra 3 çıkartan fonksiyondur. Örnek : f(x) = x ve g(x) = 2 x ise aşağıdaki fonksiyonları ve tanım kümelerini bulunuz. (a) f g (b) g f (c) f f (d) g g Çözüm: (a) (f g)(x) = f(g(x)) = f( 2 x) = 2 x = 4 2 x f g fonksiyonunun tanım kümesi dir. {x 2 x 0} = {x x 2} = (,2] Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 72/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 73/ 110

Örnek... Örnek... (b) (g f)(x) = g(f(x)) = g( x) = 2 x x fonksiyonun tanımlı olması için x 0 olmalıdır. 2 x fonksiyonunun tanımlı olması için 2 x 0 olmalıdır. Bu, x 2 veya x 4 olmasını gerektirdiğinden, 0 x 4 olur. (c) (f f)(x) = f(f(x)) = f( x) = x = 4 x f f fonksiyonunun tanım kümesi [0, ) aralığıdır. Buradan g f fonksiyonunun tanım kümesi olarak [0, 4] bulunur. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 74/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 75/ 110 Örnek... Örnek (d) (g g)(x) = g(g(x)) = g( 2 x) = 2 2 x Bu ifadenin tanımlı olması için 2 x 0 ya da x 2 ve 2 2 x 0 olmalıdır. Son eşitsizlik 2 x 2 ya da 2 x 4 olmasına denktir. Bu da 2 x 2 demek olduğundan, g g nin tanım kümesi [ 2, 2] kapalı aralığıdır. Örnek : Verilen F(x) = cos 2 (x+9) için, F = f g h olacak biçimde f, g ve h fonksiyonlarını bulunuz. Çözüm: F(x) = [cos(x+9)] 2 olduğundan F fonksiyonu önce 9 ile toplama, sonra toplamın kosinüsünü alma ve en sonunda da kare alma demektir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 76/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 77/ 110

Örnek... Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar Böylece olarak alırsak, h(x) = x+9 g(x) = cosx f(x) = x 2 (f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x+9)) = Aynı değeri iki kez almayan bir f fonksiyonuna, başka bir deyişle x 1 x 2 için f(x 1 ) f(x 2 ) koşuluna sağlayan bir fonksiyona, bire-bir fonksiyon denir. elde ederiz. f(cos(x+9)) = [cos(x+9)] 2 = F(x) Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 78/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 79/ 110 Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar Şekil 12 de görüldüğü gibi yatay bir doğru f nin grafiğini birden fazla noktada kesiyorsa, f(x 1 ) = f(x 2 ) olan farklı x 1 ve x 2 olacağından f fonksiyonu bire-bir değildir. Bu nedenle, bir fonksiyonun bire-bir olması için aşağıdaki geometrik ölçütü verebiliriz. Yatay Doğru Ölçütü Bir fonksiyonun bire-bir olması için gerek ve yeter koşul, hiç bir yatay doğrunun grafiği bir kezden fazla kesmemesidir. Şekil 12: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 80/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 81/ 110

Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar f, tanım kümesi A, görüntü kümesi B olan bire-bir bir fonksiyon olsun. f 1 in tanım kümesi = f nin görüntü kümesi f 1 in görüntü kümesi = f nin tanım kümesi. f fonksiyonunun tersi, f 1, tanım kümesi B, görüntü kümesi A olan ve B kümesindeki her y için ile tanımlanan fonksiyondur. f 1 (y) = x f(x) = y Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 82/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 83/ 110 Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar Örneğin, f(x) = x 3 fonksiyonun tersi f 1 (x) = x 1/3 fonksiyonudur. Eğer y = x 3 ise, dir. f 1 (y) = f 1 (x 3 ) = (x 3 ) 1/3 = x Uyarı : f 1 gösterimindeki 1 bir kuvvet değildir. Başka bir deyişle, f 1 ile 1/f(x) birbirine eşit değildir. Geleneksel olarak x ile bağımsız değişkeni gösterdiğimizden, eğer f 1 ile çalışıyorsak tanımda x ve y nin yerlerini değiştirip f 1 (x) = y f(y) = x (2) yazarız.tanımda y yi ve (2) de x i yerine koyarak, yok etme kuralları olarak bilinen formüllerini elde ederiz. f 1 (f(x)) = x f(f 1 (x)) = x x A x B Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 84/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 85/ 110

Birebir fonksiyonun tersini bulmak Örnek Örnek : f(x) = x 3 +2 fonksiyonunun tersini bulunuz. ADIM 1 y = f(x) yazınız. ADIM 2 Bu denklemde x i y cinsinden çözünüz (olanaklıysa). ADIM 3 f 1 fonksiyonunu x in fonksiyonu olarak yazabilmek için x ve y nin yerlerini değiştiriniz. Bu da y = f 1 (x) biçiminde bir ifade verir. Çözüm: Yukarıda verilen adımlara uyarak, önce y = x 3 +2 yazarız. Sonra, bu denklemi x için çözeriz: x 3 = y 2 x = 3 y 2 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 86/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 87/ 110 Örnek... Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar f fonksiyonunun tersini bulma adımlarında x ile y nin yerlerini değiştirme adımı, bize f 1 fonksiyonunun grafiğini f nin grafiğinden bulma yöntemini de verir. x = 3 y 2 Son olarak, x ile y nin yerlerini değiştiririz: y = 3 x 2 Dolayısıyla, verilen fonksiyonun tersi f 1 (x) = 3 x 2 dir. f(a) = b için yeterli ve gerekli koşul f 1 (b) = a olduğundan, (a,b) noktasının f nin grafiği üzerinde olması için yeterli ve gerekli koşul (b, a) noktasının f 1 in grafiği üzerinde olmasıdır. Diğer yandan (b, a) noktasının y = x doğrusuna göre yansımasıdır. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 88/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 89/ 110

Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar f nin grafiğinin y = x doğrusuna göre yansıması, f 1 fonksiyonunun grafiğini verir. Örnek Örnek: Aynı düzlemde f(x) = 1 x fonksiyonunun ve tersinin grafiklerini çiziniz. Çözüm: Önce, y = 1 x eğrisini (y 2 = 1 x, ya da x = y 2 1 parabolünün üst yarı kolu) çizeriz. Daha sonra bunu y = x doğrusuna yansıtıp, f 1 in grafiğini buluruz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 90/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 91/ 110 Örnek... Grafiği doğrulama amacıyla, f 1 in ifadesinin, x > 0 için f 1 (x) = x 2 1 olduğuna dikkat ediniz. Dolayısıyla, f 1 fonksiyonunun grafiği, y = x 2 1 parabolünün sağ yarı koludur, ve bu sonuç grafik uyumludur. Logaritma Fonksiyonları a > 0 ve a 1 için, f(x) = a x fonksiyonu artan veya azalan olduğundan, Yatay Doğru Ölçütü gereğince, bire-birdir. Bu nedenle, tersi f 1 vardır. Bu fonksiyona a tabanına göre logaritma fonksiyonu adı verilir ve log a ile gösterilir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 92/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 93/ 110

Logaritma Fonksiyonları Logaritma Fonksiyonları Ters fonksiyon için koşulunu kullanırsak, elde ederiz. f 1 (x) = y f(y) = x log a x = y a y = x Bu nedenle, 0 < x için log a x, a tabanının x sayısını vermesi için gerekli olan üssüdür. Yok etme kuralları f(x) = a x ve f 1 (x) = log a x özelinde kullanılırsa log a (a x ) = x, x R a log a x = x, x > 0 elde edilir. Örneğin 10 3 = 0,001 olduğundan, log 10 0.001 = 3 dür. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 94/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 95/ 110 Logaritma Fonksiyonları log a x logaritma fonksiyonunun tanım kümesi (0, ), görüntü kümesi ise R dir. Grafiği ise y = a x fonksiyonunun y = x doğrusuna göre yansımasıdır. Logaritma Fonksiyonları Şekil 13, 1 < a için bir örnektir. ( En önemli logaritma fonksiyonlarının tabanı a > 1 dir.) 0 < x için y = a x fonksiyonu çok artan bir fonksiyon olduğundan, 1 < x değerleri için y = log a x fonksiyonu çok yavaş artan bir fonksiyondur. Şekil 13: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 96/ 110 Şekil 14: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 97/ 110

Logaritma Fonksiyonları Logaritma Kuralları Şekil 14, a sayısının farklı değerleri için log a x fonksiyonlarının grfiklerini vermektedir. log a 1 = 0 olduğundan, tüm logaritma fonksiyonlarının grafikleri (1, 0) noktasından geçerler. x ve y pozitif sayılar için 1 log a (xy) = log a x+log a y ( ) x 2 log a = log y a x log a y 3 log a (x r ) = rlog a x (Burada r gerçel sayıdır.) Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 98/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 99/ 110 Doğal Logaritma Doğal Logaritma e tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir ve özel bir göseterime sahiptir: log e x = lnx doğal logaritma fonksiyonunu tanımlayan özellikler biçimini alır. lnx = y e y = x ln(e x ) = x x R e lnx = x x > 0 Özel olarak x = 1 alırsak, lne = 1 elde ederiz. Herhangi tabana göre logaritmayı aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. log a x = lnx lna, a > 0, a 1 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 100/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 101/ 110

Doğal Logaritma Üstel fonksiyon y = e x in ve tersi doğal logaritma fonksiyonunun grafikleri Şekil 15 de gösterilmiştir. y = e x eğrisi, y eksenini 1 eğimle kestiğinden, y = lnx eğrisi, x eksenini 1 eğimle keser. Örnek Örnek: y = ln(x 2) 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: Şekil 15 te verilen y = lnx fonksiyonunun grafiğini sağ tarafa iki birim kaydırarak y = ln(x 2) grafiğini, sonra da aşağıya bir birim kaydırarak y = ln(x 2) 1 fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. Şekil 15: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 102/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 103/ 110 Doğal Logaritma Artan bir fonksiyon olan lnx, 1 < x değerleri için çok yavaş artar. ln x, x in tün pozitif kuvvet fonksiyonlarından daha yavaş büyür. Bu gerçeği görmek için y = lnx ve y = x 1/2 = x fonksiyonlarının grafikleri Şekil 16 ve 17 da çizilmiştir. Başlangıçta iki fonksiyon da benzer davranış gösterirken, daha sonra kök fonksiyonunun logaritmadan daha hızlı büyüdüğü görülmektedir. Parametrik Eğriler Bir parçacığın Şekil 18 deki C eğrisi üzrinde hareket ettiğini varsayalım. Şekil 18: Şekil 16: Şekil 17: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 104/ 110 C eğrisi, Düşet Doğru Ölçütü nedeni ile y = f(x) gibi bir denklemle betimlenemez. Ama parçacığın x ve y koordinatları zamanın fonksiyonlarıdır, ve dolayısıyla x = f(t) ve y = f(t) yazabiliriz. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 105/ 110

Parametrik Eğriler Parametrik Eğriler Böyle bir denklem çifti, bir eğriyi betimlemek için çoğu zaman uygun bir yoldur ve aşağıdaki gibi tanımlanır. x ve y üçüncü bir değişken ( parametre olarak adlandırılan) t nin fonksiyonları olarak x = f(t) y = g(t) (parametrik denklemler olarak adlandırılan) denklemleriyle verilmiş olsun. t nin her değeri düzlemde bir (x, y) noktası belirler. t değiştikçe (x,y) = (f(t),g(t)) noktalarıda değişir ve bir C eğrisi izler. Böyle tanımlanan eğrilere parametrik eğri diyeceğiz. t ile gösterilen parametrenin her zaman zamanı göstermesi şart değildir ve aslında parametre için t den başka harfide kullanabilirdik. Yinede çoğu uygulamada t zamanı gösterir ve bu nedenle, (x, y) = (f(t), g(t)) gösterimini bir parçacığın t zamanındaki konumu olarak yorumlayabiliriz. x = f(t) y = g(t) a t b parametrik denklemleri ile betimlenen eğrinin başlangıç noktası (f(a),g(a)), bitiş noktası ise (f(b),g(b)) dir. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 106/ 110 Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 107/ 110 Örnek Örnek... Bu örnekte parametre t, Şekil 19 de gösterildiği gibi, (radyan olarak ölçülen) açı olarak yorumlanabilir. Örnek: Parametrik denklemleri x = cost, y = sint, 0 t 2π olan eğriyi bulunuz. Çözüm: Üzerinde belirleyeceğimiz noktaları birleştirerek fikir sahibi olabileceğimiz bir eğrinin bir daire olabileceği anlaşılıyor. Bu savı doğrulamak için yine parametre t yi yok edelim. x 2 +y 2 = cos 2 t+sin 2 t = 1. Buna göre, (x,y) noktası birim çember x 2 +y 2 = 1 üzerinde hareket eder. Şekil 19: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 108/ 110 t değerleri 0 dan 2π ye artarken, (x,y) = (cost,sint) noktası çemberin üzerinde (1,0) noktasından başlayıp saat yönünün tersi yönünde bir kere dolanır. Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 109/ 110

Örnek Örnek:(Sikloid) Bir çember, düzgün bir doğru üzerinde yuvarlanarak hareket ederken, çember üzerindeki P noktasının izlediği eğriye sikloid denir (bkz. Şekil 20). Çemberin yarıçapı r ise, ve çember x ekseni üzerinde yuvarlanıyor ve P noktasının bir konumu başlangıç noktasıysa, sikloidin parametrik denklemi olarak elde edilir. x = r(θ sinθ) y = r(1 cosθ) θ R Şekil 20: Öğr.Gör.Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 110/ 110