TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI Diyelim ki yeryüzünden güneşe olan mesafeyi bulmak istiyoruz. Şerit metre kullanmak açıkçası pratik değildir. Bu nedenle bu sorunun üstesinden gelmek için basit ölçümlerden başka bir şeye ihtiyacımız var. Örneğin, güneş, yeryüzü ve ayın oluşturduğu açıyı, yalnızca bir kolla güneşi, diğeriyle ayı işaret ederek aralarındaki açıyı tahmin ederek bulabiliriz. Anahtar fikir, açılar ve mesafeler arasındaki ilişkileri bulmaktır. Mesafeleri açılardan belirlemenin bir yolu olsaydı, güneşe olan mesafeyi orada bulmadan bulabilirdik. Trigonometrik fonksiyonlar bize ihtiyacımız olan araçları sağlar., dik üçgenin bir açısı ise, o zaman trigonometrik oran sin, 'nin karşı tarafının uzunluğu nun hipotenüsün uzunluğuna bölünmesi olarak tanımlanır. Bu oran, güneş, dünya ve ayın oluşturduğu büyük üçgen dahil olmak üzere, herhangi bir benzer dik üçgen içinde aynıdır. (bkz. Bölüm 6., Exercise 61.). Trigonometrik fonksiyonlar iki farklı fakat eşdeğer yollarla tanımlanabilir: gerçek sayıların fonksiyonları (Bölüm 5) veya açıların fonksiyonları (Bölüm 6). İki yaklaşım birbirinden bağımsızdır, bu nedenle Bölüm 5 veya Bölüm 6 ilk önce incelenebilir. Farklı uygulamalar için farklı yaklaşımlar gerektiğinden burada her iki yaklaşımı da inceliyoruz 6.1 AÇI HESAPLAMASI Bir açı AOB, ortak bir tepe noktası O olan iki ışın R1 ve R'den oluşur (bkz. Şekil 1). Genellikle, bir açı; R1 ışınının R üzerine dönüşü olarak yorumlanır. Bu durumda, R1 başlangıç taraf olarak adlandırılır ve R açının terminal (bağlantı tarafı) tarafı olarak adlandırılır. Eğer dönüş saat yönünün tersine olursa, açı pozitif olarak kabul edilir ve eğer saat yönünde döndürülürse açı negatif kabul edilir.
Açı Hesaplaması Bir açının ölçüsü, R1'in R'ye taşınması için gereken tepe noktasındaki dönme miktarıdır. Sezgisel olarak açı ne kadar açılır. Açılar için bir ölçü birimi derecedir. 1 derece açı, başlangıçtaki tarafın tam devirin 1/60'ını döndürerek oluşturulmuştur. Matematik dallarında açıları ölçmek için kullanılan doğal yöntem radyan ölçüsüdür. Bir açının açtığı miktar, merkezinin açının tepesindeki yarıçapı 1 olan bir çemberin yay boyunca ölçülür. RADYAN ÖLÇÜMÜNÜN TANIMI: Yarıçapı 1 olan çember; merkezindeki bir açının tepe noktasından çizilirse, bu açı radyan cinsinden ölçümdür ve (kısaltılmış rad) açıyı belirleyen yayın uzunluğu olur. (Bkz. Şekil ) Yarıçapı 1 olan çemberin çevresi 'dir ve tam bir dönüm rad ölçüsüne sahiptir, düz açı rad ölçüsüne sahiptir ve dik açı / rad ölçüsüne sahiptir. Birim çemberi boyunca uzunluğunda bir yay tarafından kapsanan bir açı radyan ölçüsü 'ye sahiptir ( Bkz. Şekil ).
Derece olarak ölçülen tam devir 60 ve radyan cinsinden rad olduğu için, bu iki açı ölçüm yöntemi arasında aşağıdaki basit ilişkiyi elde ederiz. DERECE VE RADYAN ARASINDAKI İLİŞKİ 1. Dereceyi radyana dönüştürmek için π 180. Radyanı dereceye dönüştürmek için 180 Bir radyanın boyutu hakkında fikir edinmek için, 1 rad = 57.96 ve 1 0.01745 rad açısının 1 radyan ölçümü Şekil 4'te gösterilmiştir. π ile çarpılır. ile çarpılır. ÖRNEK 1: Radyan ve Derece Arasında Dönüştürme (a) 60 i radyan cinsinden ifade ediniz. ÇÖZÜM: (b) 6 rad ı derece cinsinden ifade ediniz. Terminoloji ile ilgili bir not: Ölçüsü 0 olan bir açı anlamına gelmek için sıklıkla "0 açı" gibi bir cümle kullanırız. STANDART POZİSYON AÇILARI Eğer xy-düzleminde tepe noktası başlangıç noktasında ve başlangıç tarafı pozitif x-ekseni üzerinde çizilirse, bir açı standart konumdadır. Şekil 5 standart pozisyonlardaki açıları örneklemektedir.
Standart konumdaki iki açı, kenarları çakışırsa koterminaldir (eş bitim noktasına sahip olan pozitif açı). Şekil 5 de (a) ve (c) koterminaldir. (Koterminal: Başlangıç ve bitim kenarları aynı olan açılar). ÖRNEK : Koterminal Açılar (a) Standart pozisyonda =0 açısı ile koterminal olan açıyı bulunuz. (b) Standart pozisyonda açısı ile koterminal olan açıyı bulunuz. ÇÖZÜM: (a) ile eş bitim noktasına sahip olan pozitif açıları bulmak için 60'ın herhangi bir katını ekleriz. Sonuçta, 0 + 60 = 90 ve 0 + 70 = 750 = 0 ile koterminaldir. ile eş bitim noktasına sahip olan negatif açıları bulmak için, 60'ın herhangi bir katını çıkarırız. 0-60 = - 0 ve 0-70 = - 690 = 0 ile koterminaldir. (Bkz. Şekil 6) ŞEKİL 6
(b) ile koterminal olan pozitif açıları bulmak için, 'nin herhangi bir katını ekleriz. Sonuçta, 7 ve 1 4 θ = π ile koterminaldir. ile koterminal olan negatif açıları bulmak için, 'nin herhangi bir katını çıkarırız. Sonuçta, 5 ve θ = π ile koterminaldir. (Bkz. Şekil 7). 11 4 ŞEKİL 7 ÖRNEK : Eş Bitim Noktasına Sahip Açılar 0 ve 60 derece arasında 190 ile koterminal olan açıyı bulunuz. ÇÖZÜM: 60'ı, 190'den istediğimiz kadar çıkarabiliriz ve elde edilen açı 190 ile eş bitim noktasına sahip olacaktır. Sonuçta 190-60 = 90 ve 190 - (60) = 570 gibi. 0 ile 60 arasındaki istediğimiz açıyı bulmak için, 60'ı 190'dan gerektiği kadar çıkarıyoruz. Bunu yapmanın etkili bir yolu, 60'nin 190'e kaç kez girdiğini, yani 190'i 60'a bölüp, kalanını da aranan açı olarak belirlemektir. Görüldüğü üzere 190, 60 e bölündüğünde kalan kısmı 10'dur (Şekil 8). ŞEKİL 8
ÇEMBERSEL YAY UZUNLUĞU Radyan ölçüsü olan bir açı, bir çemberin çevresinin kesir θ π olan bir yaya karşılık gelmektedir. Böylece, yarıçapı r olan çemberde, yay uzunluğu s; açısına karşılık gelmektedir (Şekil 9). ŞEKİL 9 s = θ çemberin çevresi π = θ πr = θr π ÇEMBERSEL YAY UZUNLUĞU r yarıçaplı bir çemberde yay uzunluğu s, radyan merkez açısına karşılık gelmektedir ve s = r için çözüm yapıldığında aşağıdaki önemli formül elde edilir. θ = s r Bu formül herhangi bir yarıçapı r olan bir çemberi kullanılarak radyan ölçüsünü tanımlamamızı sağlar: açısının radyan ölçüsü s / r dir. Burada s, yarıçapında bir çemberi içine alan bir dairesel yayın uzunluğudur. (Bkz. Şekil 10). ŞEKİL 10
ÖRNEK 4: Yay Uzunluğu ve Açı Ölçüsü (a) Yarıçapı 10 m olan ve merkez açısı 0 olan bir çemberin yay uzunluğunu bulun. (b) 4 m yarıçaplı bir çember içindeki merkezi bir açı, 6 m uzunluğunda bir yay ile ÇÖZÜM: karşılık gelmektedir. 'nın radyan cinsinden ölçüsünü bulunuz. (a) Örnek 1(b) den 0 = π 6 rad dır. Buna göre yayın uzunluğu s = rθ = (10) π 6 = 5π m (b) srformülünden s 6 rad. r 4 Daire Diliminin Alanı r yarıçaplı dairenin alanı A = r dir. Merkezi açısı olan dairenin bir diliminin alanı, tüm dairenin alanının / kesiri olan alana sahiptir. A dairenin alanı 1 r r = DAİRE DİLİMİNİN ALANI Yarıçapı r olan dairenin, merkezi açısı radyan olan bir diliminin alanı A 1 r ÖRNEK 5: Daire Diliminin Alanı Dairenin yarıçapı m ise, merkez açısı 60 olan bir dairenin alanını bulunuz. ÇÖZÜM: Daire diliminin alanı formülünü kullanabilmek için radyan cinsinden dilimin merkez açısını 60 60 180 rad rad. Sonuç olarak, daire diliminin alanı bulmalıyız: NOT: A 1 gerekmektedir. 1 1 A r m r formülünün geçerli olabilmesi için açısının radyan cinsinden olması
Dairesel Hareket Bir noktanın Şekil 1'de gösterildiği gibi bir daire boyunca hareket ettiğini varsayalım. Noktanın hareketini tanımlamanın iki yolu vardır: doğrusal hız ve açısal hız. Doğrusal hız, seyahat mesafesinin değişme oranıdır, bu nedenle doğrusal hız, geçen mesafenin geçen zamana bölümüdür. Açısal hız, merkez açısı nın değiştiği hızıdır, bu nedenle açısal hız, bu açı değiştikçe geçen sürenin bölünmesiyle elde edilen radyan sayısıdır. ŞEKİL 1 DOĞRUSAL HIZ VE AÇISAL HIZ Bir noktanın yarıçapı r olan bir daire boyunca hareket ettiğini ve dairenin merkezinden noktaya kadar olan ışın t zamanında radyanları geçtiğini varsayalım. Zamanın t noktasında noktanın hareket ettiği mesafe s = r olsun. Ardından cismin hızı, Açısal Hız Doğrusal Hız r s v t ; Yunaca omega harfidir. ÖRNEK: Doğrusal ve Açısal Hızın Bulunması Bir çocuk, her 10 saniyede 15 devir oranında, fit uzunluğunda bir askıda bir taşı döndürmektedir. Taşın açısal ve doğrusal hızlarını bulunuz. ÇÖZÜM: 10 saniye içinde, açısı 15 x = 0 radyan ile değişir. Yani taşın açısal hızı 0rad rad s r 10s Taşın 10 saniye içinde seyahat ettiği mesafe s15 r15 90 ft.
Böylece taşın doğrusal hızı: s 90 ft v 90 ft s t 10 s Açısal hızın daire yarıçapına değil, yalnıza açısına bağlı olduğuna dikkat ediniz. Bununla birlikte, açısal hız ve yarıçapı r i biliyorsak, doğrusal hızı aşağıdaki gibi bulabiliriz: s r v r r t t t DOĞRUDAL VE AÇISAL HIZ ARASINDAKİ İLİŞKİ Bir nokta yarıçapı r olan dairede açısal hız ile hareket ediyor ise, doğrusal hızı v şu şekilde verilir: v r ÖRNEK 7: Doğrusal Hızın Açısal Hız ile Bulunması Bir kadın, tekerlekleri 6 inç çapında olan bir bisiklet sürüyor. Tekerlekler dakika başına 15 devirde (dev / dak) dönerse, seyahat ettiği hızı mil / saat olarak bulun. ÇÖZÜM: Tekerleklerin açısal hızı 15 50 rad min Tekerleklerin yarıçapı 1 inç olduğu için (çapın yarısı); doğrusal hız: v r 1 50 10, 10. in. min Ayak başına 1 inç, mil başına 580 feet ve saatte 60 dakika olduğundan, saatte mil hızı; 10, 10. in. min 60 min h 61, 61 in. h 9. 7 mi h 1 in. fit 580 ft mi 6, 60 in. mi
6. DİK ÜÇGENLERİN TRİGONOMETRİSİ Trigonometrik Oranlar, Özel Üçgenler, Dik Üçgenlerin Trigonometrilerinin Uygulamaları Bu bölümde, dik üçgenlerin kenarlarının trigonometrik oranlar olarak adlandırılan belirli oranlarını incelenecek ve çeşitli uygulamaları yapılacaktır. Trigonometrik Oranlar Dar açılarından biri olan dik üçgeni düşünün. Trigonometrik oranlar aşağıdaki gibi tanımlanmıştır (bkz. Şekil 1) Hipotenüs Karşı Komşu ŞEKİL 1 TRİGONOMETRİK ORANLAR karşı sin hipotenüs hipotenüs csc karşı komşu cos hipotenüs hipotenüs sec komşu karşı tan komşu komşu cot karşı Bu oranlar için kullandığımız kısaltmaların tam adları: sinüs, kosinüs, tanjant, kosekant, sekant, kotanjant dır. açısına sahip herhangi bir iki dik üçgen benzer olduğu için, bu oranlar üçgenin boyutuna bakılmaksızın aynıdır; trigonometrik oranlar sadece açısına bağlıdır (bkz Şekil ). Şekil-
ÖRNEK 1: Trigonometrik Oranların Bulunması Şekil 'teki açısının altı trigonometrik oranları bulunuz. ÇÖZÜM: sin cos 5 tan 5 csc sec cot 5 ÖRNEK : Trigonometrik Oranların Bulunması cos 4 bulunuz. ÇÖZÜM: ise dar açı a sahip dik üçgeni çiziniz ve için geri kalan 5 trigonometrik oranı cos, komşu kenarın hipotenüse oranı olarak tanımlandığından dolayı, hipotenüsün uzunluğu 4 ve komşu kenarın uzunluğu olan bir dik üçgen çizebiliriz. sin 4 csc sec 4 7 Özel Üçgenler 7 4 cos 4 cot 7 tan Bazı dik üçgenler, Pisagor teoreminden kolayca hesaplanabilen oranlara sahiptir. Sıkça kullanıldığından bu kısımda bahsedilecektir. İlk üçgen, kare içerisinde 1 nolu tarafta köşegenden çizilerek elde edilir. (bkz Şekil 5). 7
Pisagor teoremine göre köşegen uzunluğu açılarına sahiptir (ya da 4, 4 ve dir. Ortaya çıkan üçgen 45, 45 ve 90 ). Şekil 6 daki gibi ikinci üçgeni elde etmek için, kenar uzunluğuna sahip ABC eşkenar üçgeninin tabanına dik açıortay DB çizebiliriz. Pisagor teoremine göre DB kenarının uzunluğu dür. ABC üçgeninin DB açıortayı olduğu için 0, 60 ve 90 açılarına sahip üçgeni elde ederiz (ya da 6, ve ). Şimdi Şekil 5 ve 6'daki özel üçgenleri 0, 45 ve 60 ölçülerindeki açılar için trigonometrik oranları hesaplamak için kullanabiliriz (yada 6, 4 ve ). Tabloda listelenmiştir. Bu özel trigonometrik oranlar sık kullanıldığı için bilinmesinde fayda vardır. Tabii ki, elde edildiği üçgenleri hatırlarsak, daha kolayca hatırlanabilirler. Diğer açılar için trigonometrik oranların değerlerini bulmak için bir hesap makinesi kullanılabilir. Trigonometrik oranlarda kullanılan matematiksel yöntemler (sayısal yöntemler) doğrudan bilimsel hesap makinelerinde hesaplanabilir. Örneğin, SIN tuşuna basıldığında, hesap makinesi verilen açının sinüs değerine yakın bir değer hesaplar. Hesap makineleri sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini verir; diğer oranlar aşağıdaki çarpamaya göre ters ilişkileri kullanarak bunlardan kolaylıkla hesaplanabilir: Bu ilişkilerin trigonometrik oranların tanımından gelip gelmediğini hemen kontrol etmelisiniz. sin t yazdığımızda, radyan ölçüsü t olan açının sinüsünü ifade etmektedir. Örneğin, sin1, radyan ölçüsü 1 olan açının sinüsü anlamına gelir. Bu sayının yaklaşık değerini bulmak için hesap makinesi kullanırken, hesap makinesi radyan moduna ayarlanır. sin1 0.841471
Ölçüsü 1 olan açının sinüsünü bulmak istersek, hesap makinesi derece moduna ayarlanır. sin1 0.017454 Dik Üçgenlerin Trigonometriye Uygulamaları Üçgen altı parçaya sahiptir: üç açı ve üç yüzlü. Bir üçgeni çözmek demek, üçgen hakkında bilinen bilgilerin hepsini belirlemek demektir; bir başka ifadeyle, üç tarafın uzunluklarını ve üç açının ölçülerini belirlemektir. ÖRNEK : Dik Üçgenin Çözümü Şekil 7'de gösterilen ABC üçgeni için a ve b değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM: Görüldüğü üzere geriye kalan açı 60 dir. a'yı bulmak için, a'yı önceden bildiğimiz uzunluklar ve açılara ilişkilendiren bir denklik ararız. ŞEKİL 7 sin 0 a 1 olduğu bilindiğine göre 1 a 1sin 0 1 6 Benzer şekilde, cos0 b 1 olduğu bilindiğine göre b 1cos0 1 6 Şekil 8 dik üçgende hipotenüs r ve dar açı bilgisini biliyorsak; a ve b uzunlukları a rsin b rcos ŞEKİL 8 Trigonometrik oranları kullanarak dik üçgenleri çözebilme özelliği, navigasyon, araştırma, astronomi ve mesafelerin ölçülmesindeki birçok problemin temelinde yer
almaktadır. Bu bölümde yapılan uygulamalar daima dik üçgenleri içermektedir, ancak sonraki üç bölümde görebileceğimiz gibi, trigonometri dik üçgen olmayan üçgenlerin çözümünde de faydalıdır. Bir sonraki örneği tartışmak için bazı terminolojiye ihtiyacımız var. Bir gözlemci bir nesneye bakıyorsa, o zaman gözlemcinin gözünden nesneye doğru olan çizgiye görüş hattı denir (Bkz. Şekil 9). Gözlemlenen nesne yatayın üstündeyse, görüş hattıyla yatay arasındaki açıya yükseliş açısı denir. Nesne yataydan aşağıda ise, görüş hattı ile yatay arasındaki açıya, alçalış açısı denir. Bu bölümdeki örnek ve alıştırmalardan birçoğunda, zemin seviyesinde varsayımsal bir gözlemci için yükseliş ve alçalış açısı verilecektir. Görüş hattı, eğimli bir düzlem veya bir yamaca benzer fiziksel bir nesneyi izliyorsa, eğim açısı terimini kullanırız. Bir sonraki örnek trigonometrinin ölçüm sorununun önemli bir uygulamasıdır: Uzun bir ağacın yüksekliğini tırmanmak zorunda kalmadan ölçüyoruz! Örnek basit olmasına rağmen sonuç, trigonometrik oranların bu tür problemlere nasıl uygulandığını anlamada temel önem taşır. ÖRNEK 4: Ağacın Yüksekliğinin Bulunması Dev bir çınar ağacı 5 ft uzunluğunda bir gölge oluşturuyor. Güneşin yükseliş açısı 5.7 ise ağacın yüksekliğini bulun. ÇÖZÜM: Ağacın yüksekliği h olsun. Şekil 10'dan şunu görüyoruz: h tan 5.7 Tanjantın tanımından 5 h 5 tan 5.7 5 ile çarp h 5 0.4817 56 Hesap makinesi kullan Sonuç olarak, ağacın yüksekliği yaklaşık 56 ft'dir.
ŞEKİL 10 ÖRNEK 5: Dik Üçgenli bir Problem Bir binanın tabanından 500 fit uzaktaki bir noktadan bir gözlemci, binanın en üstünün yükseliş açısının 4 olduğunu ve binanın üzerindeki bir bayrak direğinin tepesinin yükseliş açısının 7 olduğunu bulmuştur. Binanın yüksekliğini ve bayrak direğinin uzunluğunu bulun. ÇÖZÜM: Şekil 11, durumu göstermektedir. Binanın yüksekliği, Örnek 4'te ağacın yüksekliğini bulduğumuz şekilde bulunur. ŞEKİL 11 h tan 4 Tanjantın tanımından 500 h 500 tan 4 500 ile çarp h 500 0.445 Hesap makinesi kullan Binanın yüksekliği yaklaşık olarak ft dir. Bayrak direğinin uzunluğunu bulmak için önce yerden direğe kadar olan yüksekliği bulalım. k 500 tan 7 h 500 tan 7 h 500 0.5095 55 Bayrak direğinin uzunluğunu bulmak için, h'yi k'den çıkarıyoruz. Sonuç olarak bayrak direğinin uzunluğu yaklaşık olarak 55 = ft dir.
6. AÇILARIN TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI Açıların Trigonometrik Fonksiyonları, Herhangi Bir Açıda Trigonometrik Fonksiyonların Değerlendirilmesi, Trigonometrik Belirleyiciler, Üçgen Alanları Önceki bölümde, dar açılar için trigonometrik oranlar tanımlandı. Bu kısımda tüm açılar için trigonometrik oranları açılardaki trigonometrik fonksiyonları tanımlayarak genişletilecektir. Bu fonksiyonlarla mutlaka dar açı olması gerekmeden pratik problemler de çözülebilecektir. Açıların Trigonmetrik Fonksiyonu POQ, dar açılı dik üçgen olmak üzere Şekil 1(a) da gösterilmektedir. nın standart pozisyondaki konumu Şekil 1(b) de gösterilmektedir. Hipotenüs Karşı komşu ŞEKİL 1 P = P (x, y); nın uç noktasıdır. POQ üçgeninde karşı kenarın uzunluğu y ve komşu kenarın uzunluğu x dir. Pisagor Teoremimini kullanarak hipotenüsün değerinin r x y dir. Sonuç olarak; sin y r cos x r tan y x Diğer trigonometrik fonksiyonlar için benzer şekilde hesaplanabilmektedir. Açıların trigonometrik fonksiyonlarını aşağıdaki gibi tanımlıyoruz (Bkz. Şekil ). ŞEKİL
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TANIMI standart pozisyonda bir açı ve P(x,y) uç kenarda nokta olmak üzere, eğer r x y orijinden P(x,y) noktası arasındaki uzaklık ise sin y r x cos r r csc, y 0 r sec, x y x y tan, x x 0 0 cot, y 0 x y 0'a bölme tanımlanmamış bir işlem olduğundan belirli trigonometrik fonksiyonlar belirli açılar için tanımlanmamıştır. Örneğin tan90 y x x = 0 olduğu için tanımsızdır. Trigonometrik fonksiyonların tanımlanamayacağı açılar, 0 açısının uç nokta tarafındaki bir noktanın x veya y koordinatının 0 olduğu açılardır. Bunlar kadran (çeyrek) açılardır; koordinat eksenleri ile sınırları olan açılardır. Önemli nokta; trigonometrik fonksiyonların değerlerinin P(x,y) noktasının seçimine P x,y bağlı olmadığıdır. Bunun nedeni eğer nokta ise POQ ve P OQ üçgenleri benzerdir. Şekil ^ deki gibi uç nokta üzerinde başka bir Trigonometrik Fonksiyonların Herhangi Bir Açıyla Değerlendirilmesi Tanım gereği, açısı I. Bölgenin in uç tarafında ise bütün trigonometrik fonksiyonların değerlerinin hepsinin pozitif olduğunu görülmektedir. [ r her zaman pozitiftir çünkü başlangıç noktasından P(x,y) noktasına olan uzaklıktır.] nın uç kenarı II. Bölgede ise x negatif ya pozitiftir. Sonuç olarak sin ve csc pozitif, diğer trigonometrik fonksiyonlar negatif değerlere sahiptir. Aşağıdaki tabloda diğer bilgileri kontrol edebilirsiniz. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İŞARETLERİ Bölge Pozitif Fonksiyonlar Negatif Fonksiyonlar I Hepsi Hiçbiri II sin,csc cos, sec, tan, cot III tan, cot sin, csc, cos, sec
**********Gerçel Sayıların Trigonometrik Fonksiyonlar ile İlişkisi****** Birim çemberini kullanarak tanımlanmış trigonometrik fonksiyonlar daha önce incelemişti (Bölüm 5). Bir açının trigonometrik fonksiyonlarıyla nasıl ilişkili olduklarını görmek için, koordinat düzlemindeki birim çember ile başlayalım. P(x,y) birim çemberde uzunluğu t olan bir yay tarafından belirlenen uç nokta olsun. Sonra t, çemberin merkezinde bir açısının karşısına yer almaktadır. P noktasından x ekseni üzerinde Q noktasına dikey çizgi çizersek, OPQ üçgeninin şekli gösterildiği gibi uzunlukları x ve y olan bir dik üçgen çizilir. Şimdi, gerçek sayı t'nin trigonometrik fonksiyonlarının tanımına göre; sint y cos t x açısının trigonometrik fonksiyonlarının tanımına göre; komşu y sin y hipotenüs 1 karşı x cos x hipotenüs 1
Eğer radyan cinsinden ölçülürse = t olur. (Aşağıdaki şekle bakınız.) Trigonometrik fonksiyonları tanımlamanın iki yolunu karşılaştırdığımızda, bunların aynı olduğunu görürüz. Başka bir deyişle, fonksiyonlar olarak, verilen bir reel sayıya özdeş değerler atarlar. (Gerçel sayı bir durumda 'nin radyan ölçüsüdür ya da diğerinin yay uzunluğu t'dir.) Neden trigonometriyi iki farklı yoldan inceliyoruz? Çünkü farklı uygulamalar trigonometrik fonksiyonları farklı şekilde görmemizi gerektirir. ÖRNEK 1: Açıların Trigonometrik Fonksiyonlarını Bulma (a) cos 15 (b) tan 90 değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM: (a) Şekil 4 den cos 15 = -x / r dir. Fakat cos 45 = x / r ve cos 45 = ise cos15 (b) 90 ve 0 açılar koterminal (eş bitim noktasına sahip açılar) olduklarından Şekil den görüldüğü üzere tan 90 tan 0 dir ve tan 0 ise tan 90
Örnek 1'den, dar olmayan açılardaki trigonometrik fonksiyonların dar bir açıya karşılık gelen trigonometrik fonksiyonlarla aynı değere (işaretleri hariç) sahip olduğunu görüyoruz. Bu dar açıya referans açısı denir. REFERANS AÇI standart konumda bir açı olsun. ile ilişkili referans açısı, 'nin uç tarafı ve x-ekseni tarafından oluşturulan dar açıdır. Şekil 6, bir referans açı ı bulmak için, açısının uç tarafının bulunduğu bölgenin bilinmesi faydalı olduğunu göstermektedir. ŞEKİL 6: açısı için referans açı ÖRNEK : REFERANS AÇININ BULUNMASI Verilen açıları için referans açılarını bulunuz. 5 (a) (b) 870 ÇÖZÜM: (a) Referans açısı, 5 açısının uç tarafı ve x-ekseni tarafından oluşturulan dar açıdır. (Bkz. Şekil7). Bu açının uç tarafı IV. bölgede olduğu için, referans açısı 5 (b) 870 ve 150 koterminaldir ( çünkü 870 (60) = 150). Sonuç olarak bu açının uç tarafı II. Bölgede olduğu için 180 150 0
VERİLEN BİR AÇI İÇİN TRİGONOMETRİK FONKSİYONUN DEĞERİNİNİ HESAPLANMASI Herhangi bir açısı için trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulmak için aşağıdaki adımları gerçekleştiririz. 1. açısı ile ilişkili bulunur.. 'nin trigonometrik fonksiyonunun işaretini, nin bulunduğu bölgeye göre belirleyin.. 'nin trigonometrik fonksiyonunun değeri, işaretin haricinde 'nin trigonometrik fonksiyonunun değeri olarak aynıdır. ÖRNEK : Referans Açıtı Kullanarak Trigonometrik Fonksiyonların Değerinin Bulunması Verilen açıların değerlerini hesaplayınız. (a) sin 40 ve (b) cot 495 ÇÖZÜM: (a) Bu açı uç tarafını Şekil 9'da gösterildiği gibi III Bölgededir. Referans açısı bu nedenle 40-180 = 60'dır ve sin 40'un değeri negatiftir. Böylece
(b) 495, 15 ile koterminaldir. Bu açının uç tarafı Şekil 10 da gösterildiği gibi II. bölgededir. Sonuç olarak referans açı 180-15 = 45 ve cot 495 nin değeri ÖRNEK 4: Referans Açıtı Kullanarak Trigonometrik Fonksiyonların Değerinin Bulunması Verilen açıların değerlerini hesaplayınız. (a) ÇÖZÜM: 16 sin ve (b) sec 4 (a) 16 açısı 4 açısı ile koterminaldir ve bu açılar III. bölgede yer almaktadır. (Bkz. Şekil 11). Sonuç olarak referans açı 4 dir. sin fonksiyonu III.bölgede negatif işarete sahip olduğu için
(b) 4 açısı IV.bölgededir ve referans açısı fonksiyonu pozitif olduğu için 4 dir. (Bkz. Şekil 1). Bu bölgede sekant Açıların trigonometrik fonksiyonları, trigonometrik özdeşlikler olarak adlandırılan birkaç önemli denklem aracılığıyla birbirleriyle ilişkilidir. Ters özdeşlikler ile önceden çalışılmıştı. Bu özdeşlikler herhangi bir açıyla için denklemin her iki tarafında tanımlıdır. Pisagor özdeşlikleri Pisagor teoreminin bir sonucudur.
İSPAT: İlk Pisagor özdeşliğini ispatlayalım. Şekil 1 deki kullanarak Sonuç olarak y x x y sin cos 1 r r r sin cos 1 x y r (Pisagor teoremi) dir. (Her ne kadar şekilde dar açı gösterilse de, bütün açıları için ispatın geçerli olup olmadığını kontrol etmelisiniz). ÖRNEK 5: Bir Trigonometrik Fonksiyonların Bir Diğeri Tarafından İfade Edilmesi (a) sin ı cos ile ifade ediniz. (b) açısı II.bölgede ise tan ı sin ile ifade ediniz. ÇÖZÜM: (a) İlk Pisagor özdeşliğini kullanarak sin 1 cos Sonucun işareti bulunduğu bölgeye bağlıdır. Eğer açısı I. yada II. bölgede ise sin nın işareti pozitiftir ve sin 1 cos Eğer açısı III. yada IV. bölgede ise sin nın işareti negatiftir ve sin 1 cos (b) tan sin cos olduğu için cos ı sin ile ifade etmeliyiz. cos 1 sin II.bölgede cos negatif olduğu için, cos 1 sin
sin sin tan cos 1sin ÖRNEK 6: Trigonometrik Fonksiyonun Hesaplanması Eğer tan ve III.bölgede ise cos bulunuz. ÇÖZÜM 1: tan nın cos ile ifadesine ihtiyacımız var. tan 1sec özdeşliğinden. III.bölgede sec sec tan 1 Sonuç olarak, sec tan 1 cos = 1 1 sec tan 1 negatif olduğu için; 1 1 1 1 1 9 ÇÖZÜM : Bu sorun, Bölüm 6.'deki Örnek 'nin yöntemi kullanılarak daha kolay çözülebilir. İşaretin haricinde, herhangi bir açının trigonometrik fonksiyonlarının değerleri dar açıdan (referans açısı) olanlarla aynı olduğunu hatırlayın. Dolayısıyla, bir anlığına işareti görmezden gelelim, dar açı ile tan ü sağlayan bir dik üçgeni çizelim. (Bkz. Şekil 14). Pisagor teoremi ile bu üçgenin hipotenüsünün uzunluğu 1 olacaktır. Şekil 14 deki üçgenden cos 1 olduğunu hemen fark edebiliriz. III.bölgede negatif olduğu için cos 1 ÖRNEK 7: Trigonometrik Fonksiyonun Hesaplanması Eğer sec ve IV.bölgede ise diğer beş trigonometrik fonksiyonu hesaplayınız ÇÖZÜM: sec ile Şekil 15 deki gibi bir dik üçgen çizebiliriz. nın IV:bölgede olduğuna dikkat ederek,
sin 1 cos tan csc sec cot 1 Bu bölümü, trigonometrik fonksiyonların bir uygulamasıyla sonuçlandırıyoruz. Uygulamada dar açı olması gerekmemektedir. Üçgenin alanı A; A 1taban yükseklik olarak hesaplanır. Eğer iki kenarı ve aradaki bir açısını biliyorsak, trigonometrik fonksiyonları kullanarak yüksekliği bulabiliriz ve bundan da alanı bulabiliriz. Eğer dar açısı ise; Şekil 16(a) daki gibi üçgenin yüksekliği h bsin dır. Alan 1 1 A taban yükseklik absin ŞEKİL 16 Eğer dar açısı değilse; Şekil 16(b) de görüldüğü üzere üçgenin yüksekliği h bsin 180 bsin Bunun nedeni, 'nin referans açısının 180 - açısı olmasıdır. Buna göre üçgenin alanı;
1 1 A taban yükseklik absin ÜÇGENİN ALANI Üçgenin alanı A a ve b kenarları ile açısı ile 1 A absin ÖRNEK 8: Üçgenin Alanını Bulmak Şekil 17 deki üçgenin alanını bulunuz. ÇÖZÜM: Verilen üçgende 10 cm ve cm olan kenarların arasındaki açı 10dir. Buna göre 1 A absin 1 10 sin10 =15sin 60 15 1 cm Ters Sinüs, Ters Kosinüs ve Ters Tanjant Fonksiyonları; Dik Üçgenlerde Açıların Çözümü; Ters Trigonometrik Fonksiyonları İçeren İfadelerin Değerlendirilmesi Bir fonksiyonun tersi olabilmesi için bire bir olması gerekmektedir. Trigonometrik fonksiyonlar birebir olmadıklarından tersleri yoktur. Dolayısıyla trigonometrik fonksiyonların her birinin tanımlı oldukları alanları, tüm değerlerine ulaştığı ve bire bir oldukları aralıklarla kısıtlamak gerekmektedir. Ortaya çıkan fonksiyonlar, orijinal fonksiyonlar ile aynı aralığa sahiptir, ancak bire birdir.
Önce sinüs fonksiyonunu değerlendirelim. Sinüs fonksiyonunun tanım aralığını açısı için [ π/ θ π/] sınırlandırırız. Şekil 1 den görüldüğü üzere sinüs fonksiyonu tanımlandığı bu aralıkta [ 1, 1] aralığına değerler almaktadır ve birebirdir. Benzer şekilde, Şekil 1'de gösterildiği gibi kosinüs ve tanjantın tanım aralıkları kısıtlanmaktadır. Bu sınırlı tanım aralığında her bir trigonometrik fonksiyon için bir ters fonksiyon tanımlayabiliriz. Ters fonksiyonun tanımı gereğince Aşağıdaki kutuda, ters trigonometrik fonksiyonların tanım aralıkları ve görüntü kümeleri özetlenmektedir. TERS SİNÜS, TERS KOSİNÜS VE TERS TANJANT FONKSİYONU Sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının sınırlı tanım aralıkları sırasıyla [ π/, π/], [0, π], ve ( π/, π/) dür. Bu aralıklarda birebirdirler ve o yüzden ters fonksiyonları vardır. Ters fonksiyonlarını tanım aralıkları ve görüntü kümeleri aşağıdaki gibidir. Fonksiyon Tanım Aralığı Görüntü Kümesi sin 1 [ 1,1] [ π/, π/] cos 1 [ 1,1] [0, π] tan 1 R ( π/, π/) sin 1, cos 1, tan 1 fonksiyonları sırasıyla arcsin, arccos ve arctan olarak gösterilir. Bunlar ters fonksiyonlar oldukları için orijinal fonksiyonun kuralını tersine çevirirler. Örneğin sin π 6 = 1 ise sin 1 ( 1 ) = π 6 dır. ÖRNEK 1: TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN HESAPLANMASI Kesin değerlerini bulunuz.
(a) sin ÇÖZÜM: 1 (b) cos 1 1 (c) 1 tan 1 (a) Açı aralığı, ve sin değerine de almaktadır. Sonuç olarak, 1 sin olacaktır. (b) Açı aralığı 1 0, ve cos cos 1 olacaktır. (c) Açı aralığı, 1 ve tan değerine 1 değerine 4 de almaktadır. Sonuç olarak, de almaktadır. Sonuç olarak, 1 tan 1 4 olacaktır. ÖRNEK : TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN HESAPLANMASI Yaklaşık değerlerini bulunuz. 1 (a) sin 0.71 (b) 1 tan (c) 1 cos ÇÖZÜM: Bu değerleri yaklaşık olarak hesaplamak için bir hesap makinesi kullanıyoruz. (a) Yaklaşık değerler hesap makinelerinde SIN 1 veya INV SIN veya ARC SIN tuşları kullanılarak (radyan modda hesap makinesi ile) hesap edilir. (b) Yaklaşık değerler hesap makinelerinde TAN 1 veya INV TAN veya ARC TAN tuşları kullanılarak (radyan modda hesap makinesi ile) hesap edilir. (c) > 1 olduğu için cos -1 in tanım aralığında olmadığı için 1 cos tanımlı değildir. Bölüm 6.'de bilinmeyen kenarları bulmak için trigonometrik fonksiyonları kullanarak üçgenleri çözdük. Şimdi dik üçgenin açılarını çözmek için ters trigonometrik fonksiyonları kullanıcağız. ÖRNEK : Dik Üçgende Açıların Bulunması Şekil de verilen üçgen için açısını bulunuz.
ÇÖZÜM: açısı uzunluğu 10 olan kenarın karşısında olduğu ve hipotenüsün uzunluğu da 50 olduğu için 10 1 sin sin 50 5 karşı hipotenüs ı bulmak için sin 1 kullanılırsa; ÖRNEK 4: Dik Üçgende Açıların Bulunması 40 fit merdiven bir binaya yaslanmış durumdadır. Merdivenin tabanı binanın tabanından 6 fit uzaklıkta ise, merdiven ve binanın oluşturduğu açı nedir? ÇÖZÜM: İlk önce, Şekil 'deki gibi bir diyagram çizelim. Merdiven ile bina arasındaki açı ise ı bulmak için 6 sin 0.15 40 1 sin kullanılırsa ÖRNEK 5: Işık Işının Açısı
Bir deniz feneri, düz bir kıyı şeridinden mi uzaktaki bir adada bulunmaktadır (Şekil 4'e bakınız). Işık demetinin oluşturduğu açıyı ve kıyı çizgisini şekil içindeki mesafe d cinsinden ifade edin. Bölüm 6.5'te, herhangi bir üçgenin (mutlaka dik bir üçgen olması gerekmeden) nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Bir üçgenin açısı daima 0, aralığında (veya 0 ile 180 arasında) bulunur. Bu üçgenleri çözmek için 0, aralığında belirli bir sinüs veya kosinüs değerleri tanımlı olan tüm açıları bulmamız gerektiğini göreceğiz. Bunu bir sonraki örnekte yapacağız. ÖRNEK 6: Verilen Aralıkta Temel Trigonometrik Fonksiyonların Çözümü Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan 0 ile 180 arasındaki açısını bulunuz. (a) sin 0.4 (b) cos 0.4 ÇÖZÜM: 1 sin fonksiyonunu kullanarak, aralığındaki değerlerini bulabiliriz.
Diğer bir çözüm yöntemi 0 ile 180 arasında için tamlayan açısısı alınarak elde edilir: 180 -.6 = 156.4. (Bkz. Şekil 5). 0 ile 180 arasında için çözüm: 0, (b) aralığına kosinüs fonksiyonu birebir olduğu için 0 ile 180 arasında için tek bir çözüm vardır. Her iki tarafın cos 1 alınarak cos sin 1 x benzeri ifadeler matematikte yer almaktadır. Bu benzeri ifadelerin kesin değerlerini bulmak için trigonometrik özdeşlikler ya da dik üçgenler kullanılmaktadır. cossin değerinin bulunuz. 5 1 ÇÖZÜM 1: olsun., sin 5 1 aralığında bir sayı olmak üzere sinüs 5 dir. ı bir açı olarak yorumlayalım ve dar açı olarak için karşı kenarı ve hipotenüsü 5 olan dik üçgen çizelim (bkz. Şekil 6). Üçgenin kalan kenarı Pisagor Teoremi tarafından 4 olarak bulunur. Şekilden görüldüğü üzere
ÇÖZÜM : sin sin 5 1 kolayca bulunabilir. Aslında, ters fonksiyonların kısaltma özelliklerine göre, bu değer tam olarak 5 dir. fonksiyonunu sinüs fonksiyonu ile ifade edebiliriz. u cossin 5 aralığında kosinüs pozitif olduğu için aşağıdaki gibi yazabiliriz: 1 bulabilmek için kosinüs 1 sin olsun., 5 1 sin cos x ÇÖZÜM 1: 1 ve tan cos x 1 cos x olsun. cos x x in cebirsel ifadesi olarak 1 x 1 için yazınız. olur. Şekil 7 de dar açısı ile karşı kenar uzunluğu x ve hipotenüs 1 olarak çizebiliriz. Pisagor teoremi gereği geri kalan kenar uzunluğu dır. Şekilden görüldüğü üzere 1 x
1 ÇÖZÜM: u cos x olsun. sinu ve tan u değerlerini x cinsinden bulmamız gerekmektedir. 1 Örnek 5 de olduğu gibi sinüs ve tanjantı kosinüs cinsinden yazmalıyız. u cos x olduğu için 0 u olduğuna dikkat edilmelidir. u 1 cos x olduğu için doğru işareti seçmek için u nun 0, aralığında olduğuna dikkat edilmelidir. sinu bu aralıkta pozitif olduğu için + işareti doğru bir seçimdir. 1 koyup ve cos cos x yok etme yöntemini kullanarak u 1 cos x yerine