DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I

DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 203-204 BAHAR YARIYILI D IFERANS IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 2 Nisan 204 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. (5p) Belirsiz katsay lar yöntemini kullanarak dx 2 + 5dy dx + 4y = 6x + 20ex ; y (0) = 0; y 0 (0) = 3 başlang ç-de¼ger problemini çözünüz. Çözüm: Verilen diferansiyel denklemin genel çözümü iki k s mda bulunur. Bunlar; homojen ve homojen olmayan k sm n çözümü şeklindedir. Homojen k sm n çözümü için verilen diferansiyel denklem, dx + 5dy 2 dx + 4y = 0 şeklindedir. Bu diferansiyel denklemin karakteristik denklemi bulunur. Buradan homojen k sm n çözümü m 2 + 5m + 4 = 0 ) m = 4; m 2 = y c = c e 4x + c 2 e x dir. Şimdi homojen olmayan k sm n çözümüne bakal m. Sa¼g taraftaki fonksiyonlara karş l k gelen UC kümesi S = fx; ; e x g dir. Buna göre şeklindedir. Buradan y p = Ax + B + Ce x y 0 p = A + Ce x ve y 00 p = Ce x dir. Şimdi buldu¼gumuz bu fonksiyonlar verilen diferansiyel denklemde yerine yazarsak bulunur. Buradan elde edilir. Böylece Ce x + 5A + 5Ce x + 4Ax + 4B + 4Ce x = 6x + 20e x A = 4, B = 5, C = 2 y p = 4x + 2e x 5 bulunur. Dolay s yla verilen diferansiyel denklemin genel çözümü bulunur. Buradan ise y = y c + y p = c e 4x + c 2 e x + 4x + 2e x 5

olup y 0 = 4c e 4x c 2 e x + 4 + 2e x y(0) = 0 ) c + c 2 = 0 y 0 (0) = 3 ) 4c + c 2 = 3 ) c = 0, c 2 = 3 bulunur. O halde verilen diferansiyel denklemin özel çözümü y = 3e x + 2e x + 4x 5 bulunur. 2. (5p) Parametre de¼gişimi yöntemini kullanarak d 2 3x y dx + 6dy e + 9y = 2 dx x 3 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Çözüm:Verilen diferansiyel denklemin genel çözümü iki k s mda bulunur. Bunlar; homojen ve homojen olmayan k sm n çözümü şeklindedir. Homojen k sm n çözümü için verilen diferansiyel denklem, dx + 6dy 2 dx + 9y = 0 şeklindedir. Bu diferansiyel denklemin karekteristik denklemi; dir. Burada homojen k sm çözümü; m 2 + 6m + 9 = 0 ) m = 3; m 2 = 3 y c = c e 3x + c 2 xe 3x bulunur. Şimdi homojen olmayan k sm n çözümünü bulal m. Buradan, olup y p = v (x)e 3x + v 2 (x)xe 3x dir. Dolay s yla, y 0 p(x) = 3v (x)e 3x + v 2 (x)e 3x 3v 2 (x)xe 3x + v 0 (x)e 3x + v 0 2(x)xe 3x dir. Tekrar türev al rsak, v 0 (x)e 3x + v 0 2(x)xe 3x = 0:::() y 00 p(x) = 9v (x)e 3x 6v 2 (x)e 3x + 9v 2 (x)xe 3x 3v 0 (x)e 3x + v 0 2(x)e 3x 3v 0 2(x)xe 3x bulunur. Buldu¼gumuz bu fonksiyonlar verilen diferansiyel denklemde yerine yazarsak; 3v 0 (x)e 3x + v 0 2(x)e 3x elde edilir. () ve () denklemlerinden Crammer metoduyla; 3v2(x)xe 0 3x = e 3x :::() x 3

ve bulunur. Buradan v(x) 0 = v 0 2(x) = 0 xe 3x e 3x ( 3x)e 3x x 3 e 3x xe 3x = x 2 3e 3x ( 3x)e 3x e 3x 0 3e 3x e 3x x 3 e 6x = x 3 elde edilir. Dolay s yla, v (x) = x ve v 2(x) = 2x 2 bulunur. Buradan genel çözüm; y p (x) = x e 3x 3x xe 2x2 y = c e 3x + c 2 xe 3x + x e 3x 3x xe 2x2 elde edilir. 3. (5p) Cauchy - Euler yöntemini kullanarak x 2 d2 y dx + 4xdy + 2y = 4 ln x 2 dx diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Çözüm: x > 0 için x = e t dönüşümünü el alal m. Buradan t = ln x elde edilir. dy dx = dy dt : dt dx = dy x dt = d dy = dx 2 dx x dt x 2 dt 2 dy dt bulunur. Şimdi buldu¼gumuz bu fonksiyonlar verilen diferansiyel denklemde yerine yazal m. x 2 : x 2 dt 2 dy + 4x: dy + 2y dt x dt = 4t dt + 3dy + 2y 2 dt = 4t yaz l r. Buradan genel çözümü bulabilmek için önce homojen k sm n daha sonra da homojen olmayan k sm n çözümünü bulal m. Homojen k sm n çözümü için karakteristik denklem; şeklindedir. Buradan, m 2 + 3m + 2 = 0 ) m = 2; m 2 = y c = c e 2t + c 2 e t

dir. Şimdi homojen olmayan k sm n çözümüne bakal m. Sa¼g taraftaki fonksiyonlara karş l k gelen UC kümesi dir. Buna göre, dir. Buradan S = ft; g y p = At + B y 0 p = A ) y 00 p = 0 elde edilir. Bu fonksiyonlar verilen diferansiyel denklemde yerine yazarsak, bulunur. Böylece 0 + 3A + 2At + 2B = 4t ) A = 2; B = 3 y p = 2t 3 elde edilir. Buradan verilen difarensiyel denklemin genel çözümü; ve oldu¼gundan y = y c + y p = c e 2t + c 2 e t + 2t 3 x = e t elde edilir. 4. (5p) Laplace dönüşümünü kullanarak y = c x 2 + c 2 x + 2 ln x 3 dt + 2dy 2 dt + 5y = 0; y (0) = 2; y0 (0) = 4 başlang ç-de¼ger problemini çözünüz. Çözüm: L fy(t)g = Y (s) olsun. Verilen diferansiyel denklemin her iki taraf n n Laplace n al rsak; dy L + 2L + 5L fy(t)g = 0 dt 2 dt şeklindedir. Biliyoruz ki ( n o ) d L 2 y = s 2 L fy(t)g sy(0) y 0 (0) = s 2 Y (s) 2s 4 dt 2 L dy = sl fy(t)g y(0) = sy (s) 2 dt dir. Şimdi bu Laplace fonksiyonlar n verilen diferansiyel denklemde yerine yazal m. (s 2 2s + 2s + 5)Y (s) = 2s + 8 ) Y (s) = s 2 + 2s + 5 + 8 s 2 + 2s + 5 bulunur. Buradan ters La¼glace alacak olunursa, genel çözüm;

y(t) = L fy (s)g y(t) = L 2s + 8L s 2 + 2s + 5 s 2 + 2s + 5 s + = 2L + 82 (s + ) 2 + 2 L 2 2 (s + ) 2 + 2 2 (s + ) = 2L (s + ) 2 + 2 2 = 2e t cos 2t + 3e t sin 2t dir. Buradan y(0) = 2 ve y 0 (0) = 4 tür. 5. (20) Kuvvet serileri yöntemini kullanarak 2: 2 L 2 + 4L (s + ) 2 + 2 2 dx + xdy + (3x + 2) y = 0 2 dx diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Çözüm: Verilen diferansiyel denklemde x = 0 düzgün tekil noktad r. O halde y = c n x n ) y 0 = nc n x n ) y 00 = n(n )c n x n 2 dir. Buldu¼gumuz bu fonksiyonlar verilen diferansiyel denklemde yerine yazarsak; n=2 2 (s + ) 2 + 2 2 n(n )c n x n 2 + x nc n x n + (3x + 2) c n x n = 0 n=2 n(n )c n x n 2 + n=2 (n + 2)(n + )c n+2 x n + 2c 2 + 2c 0 + bulunur. Buradan nc n x n + 3 c n x n+ + 2 c n x n = 0 nc n x n + 3 c n x n + 2 c n x n = 0 f(n + 2)(n + )c n+2 + (n + 2)c n + 3c n g x n = 0 c 2 = c 0 (n + 2)c n + 3c n c n+2 = ; n (n + 2)(n + ) elde edilir. Buradan n = den başlayarak de¼gerler verirsek; n = için c 3 = 2 c n = 2 için c 4 = 3 c 0 2 c 0 4 c şeklindedir. Buradan genel çözüm,

elde edilir. y = c 0 x 2 2 x3 + 3 x4 ::: + c x 2 x3 4 x4 ::: 6. (20) Frobenius yöntemini kullanarak 2x d2 y dx + dy 2 dx + 2y = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Çözüm:Öncelikle verilen diferansiyel denklemin düzgün tekil noktas n bulmal y z. Bunun için, verilen diferansiyel denklem şeklinde yaz l r. Burada dx + 2 2x dy dx + x y = 0 P (x) = 2x ve P 2(x) = x olup bu iki fonksiyon x = 0 noktas nda anatilik de¼gildir. Buradan (x 0):P (x) = x: 2x = 2 (x 0) 2 :P 2 (x) = x 2 : x = x olup bu fonksiyonlar x = 0 noktas nda analitiklerdir. O halde x = 0 verilen diferansiyel denklemin düzgün tekil noktas d r. Dolay s yla y = c n x n+r ) y 0 = dy dx = X (n + r)c n x n+r ) y 00 = d2 y dx = X (n + r)(n + r )c 2 n x n+r 2 dir. Buldu¼gumuz bu fonksiyonlar verilen diferansiyel denklemde yerine yazarsak; 2x (n + r)(n + r )c n x n+r 2 + 2 (n + r)(n + r )c n x n+r + 2 (n + r + )(n + r)c n+ x n+r + n= (2r 2 r)c 0 x r + bulunur. Buradan (n + r)c n x n+r + 2 c n x n+r = 0 (n + r)c n x n+r + 2 c n x n+r = 0 (n + r + )c n+ x n+r + 2 c n x n+r = 0 n= f2(n + r)(n + r + )c n+ + (n + r + )c n+ + 2c n g x n+r = 0 2r 2 = 0 ) r = 2 ve r 2 = 0 elde edilir. Burada r r 2 = 2 6= N

dir. Ayn zamanda d r. c n+ = 2c n (n + r + )(2n + 2r + ) ; n > 0 d r. Buradan r = r = 2 için c n+ = 2c n (2n + 3)(n + ) ; n > 0 n = 0 için c = 2 3 c 0 elde edilir. O halde r = r = için çözüm; 2 n = için c 2 = 2 5 c 0 n = 2 için c 3 = ::: 4 35 c 0 y (x) = c 0 x =2 + c x =2+ + c 2 x =2+2 + ::: y (x) = c 0 x =2 2 3 x + 2 5 x2 ::: elde edilir. Şimdi r = r 2 = 0 için çözüme bakal m. Burada oldu¼gundan c n+ = 2c n (n + r + )(2n + 2r + ) ; n > 0 yaz l r. Buradan r = r 2 = 0 için c n+ = 2c n (2n + )(n + ) ; n > 0 n = 0 için c = 2c 0 n = için c 2 = 2 3 c 0 n = 2 için c 3 = şeklindedir. Buradan r = r 2 = 0 için olan çözüm; ::: 4 35 c 0 y 2 (x) = c 0 + c x + c 2 x 2 + ::: y 2 (x) = c 0 2c 0 x + 2 3 c 0x 2 ::: y 2 (x) = c 0 2x + 2 3 x2 ::: elde edilir. Dolay s yla genel çözüm;

y = y (x) + y 2 (x) = C x =2 bulunur. Yrd.Doç.Dr. Y ld r m ÖZDEM IR BAŞARILAR!... 2 3 x + 2 5 x2 ::: + C 2 2x + 2 3 x2 :::