DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -II- Tek değişkenli doğrusal olmayan karar modelinin çözümü Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST8 Yöneylem Araştırması Dersi 011-01 Öğretim Yılı 1
Tek değişkenli doğrusal olmayan karar modelleri Tek değişkenli doğrusal olmayan karar modelleri, R olmak üzere, genel olarak izleyen iki şekilde karşımıza çıkabilir. X karar değişkeninin alabileceği tanım aralığı verilmiş kısıtsız karar modeli olarak. Kısıtlı karar modeli olarak. Çözüm aşamasında, kısıtlardan hareketle X karar değişkeninin tanımlı olduğu aralıklar belirlenip, model kısıtsız hale dönüştürülebilir. X [ a, b] g i () = b i ; i = 1,,..., m k.a. Eniyi (Enb/Enk) f(x ) kısıtları altında Eniyi (Enb/Enk) f(x )
Modelin çözümü iki aşamada gerçekleştirilir. 1. Yerel enbüyük / enküçük noktaların araştırılması. Eniyi (bütünsel eniyi) noktanın belirlenmesi Tanımlı aralıkta eğer varsa- bir yerel enbüyüğe ya da yerel enküçüğe sahip olan nokta farklı durumda karşımıza çıkabilir. 1. Birinci türevin sıfır olduğu noktalarda, f (X)=0, yerel enb/enk olabilir.. Birinci türevin alınamadığı noktalarda yerel enb/enk noktalar olabilir.. [a, b] aralığının başlangıç ve bitiş noktaları. Problemin çözümünde, öncelikle yukarıdaki duruma uyan yerel enb/enk noktaların tümü araştırılıp, bunların içinden bütünsel enb/enk noktalar belirlenir.
I- Yerel enbüyük / enküçük noktaların araştırılması 4
Durum 1. f (X)=0 olan noktalar (Adım 1. Yerel eniyi için GEREKLİ KOŞUL) f(x) in birinci mertebeden türevi alınarak, f (X)=0 denkleminin kökü (veya kökleri) araştırılır. i. Bu denklemin kökleri yok ise durulur. Modelin çözümü (hiçbir yerel enbüyük veya yerel enküçük nokta) yoktur. ii. iii. Denklemin kökleri analitik olarak bulunamıyorsa yine durulur. Analitik çözüm mümkün olmadığından, sayısal çözüm tekniklerine başvurulacak demektir. Bu denklemin 1, gibi şekillerde gösterilebilen kökleri bulunmuş ise, izleyen adıma geçilir. 5
(Adım 1. Yerel eniyi için GEREKLİ KOŞUL) f(x) verilen bir A R kümesinde tanımlı ve sürekli iken, eğer 0 A için bir yerel enb/enk değer sözkonusu ise, f ( 0 )=0 olur. (GEREKLİ KOŞUL) f(x), f (X)=0 eşitliğini gerçekleyen X ler için yerel enbüyük veya yerel enküçük değere erişebildiği gibi, bu noktada dönüm noktası da olabilir. Bu nedenle, verilen modelin uygun çözüm alanı içinde amaç fonksiyonunun birinci türevini sıfıra eşitleyen noktalarda ek işlem ve irdeleme gerekir. 6
(Adım. Yerel eniyi için YETERLİ KOŞUL) f ()=0 denklemini çözen her i için, f (n) ( i ) 0 koşulunu sağlayan ilk f (n) ( i ) değerleri bulunur. i. (n) tek ise, i yerel bir özel nokta değildir. i, dönüm noktası olabilir. ii. (n) çift ise, a. f (n) ( i ) >0 ise, i noktasında f() yerel enküçük b. f (n) ( i ) <0 ise, i noktasında f() yerel enbüyük değer alıyor demektir. 7
Durum. Türevi alınamayan noktalar Eğer f(x), 0 da bir türeve sahip değilse, 0 bir yerel eniyi olabilir. Bunu sınamak için, tanım aralığı içerisinde kalan, 0 ın solunda ve sağında ( 1 < 0 < ) ε kadar uzaklıkta iki nokta alınır. Bu üç noktanın fonksiyon değerlerine bakılarak karar verilir. f( 0 ), f( 1 ), f( ) arasındaki ilişki 0 f( ) > f( 0 ) > f( 1 ) f( 1 ) > f( 0 ) > f( ) f( 0 ) f( 1 ) & f( 0 ) f( ) f( 0 ) f( 1 ) & f( 0 ) f( ) Yerel eniyi YOK Yerel eniyi YOK Yerel enbüyük Yerel enküçük 8
Durum. Tanım aralığının başlangıç ve bitiş değerleri y y a y=f() f (a)>0 a yerel enküçük b y=f() a b f (a)<0 a yerel enbüyük y y=f() f (b)>0 b yerel enbüyük y y=f() f (b)<0 b yerel enküçük a b a b 9
II-Eniyi noktaların belirlenmesi (bütünsel eniyilik) f(x) in dışbükey veya içbükey olup olmadığı araştırılır. 10
i. f() dışbükey bir fonksiyon ise, yerel enküçük olan noktada fonksiyon bütünsel enküçük değere erişiyor demektir. Yani modelin ENK f() için çözümü vardır. ii. iii. f() içbükey bir fonksiyon ise, yerel enbüyük olan nokta verilen modelin ENB f() için çözümü olup, f() ilgili noktada bütünsel enbüyük değerini alıyor demektir. f(), R de bölgesel dışbükey veya içbükey ise, bütünsel eniyi, fonksiyonun yerel eniyi ve uygun çözüm alanının uç noktalarındaki ( ± da olabilir) değerleri dikkate alınarak belirlenebilir. Eniyi f()= Eniyi {Yerel Eniyi f()} 11
ÖRNEK-1 f() =, R f(), R için türevi alınabilir bir fonksiyondur. [-,+ ] olduğundan tanım aralıklarının başlangıç ve bitiş noktaları yerel eniyi olarak gözönüne alınmayacaktır. DURUM 1 e göre yerel eniyiler araştırılır. Daha sonra fonksiyonun içbükey/dışbükeyliği araştırılarak bütünsel eniyi noktalara karar verilir. 1
GEREKLİ KOŞUL: f ()=0 f ()= =0 à 0 =0 Bu noktada yerel enb/yerel enk/dönüm noktası olabilir. YETERLİ KOŞUL: Sıfırdan farklı n. mertebe türev f ()=6 à f (0)=0 f ()=6 > 0, n=, tek sayı. SONUÇ: ENBÜYÜK /ENKÜÇÜK nokta YOK! 1
f () = Dönüm noktası (0,0) 14
ÖRNEK- f() = 4, R f(), R için türevi alınabilir bir fonksiyondur. [-,+ ] olduğundan tanım aralıklarının başlangıç ve bitiş noktaları yerel eniyi olarak gözönüne alınmayacaktır. DURUM 1 e göre yerel eniyiler araştırılır. Daha sonra fonksiyonun içbükey/dışbükeyliği araştırılarak bütünsel eniyi noktalara karar verilir. 15
GEREKLİ KOŞUL: 1 = 0 f'() = 4 6 = (4 6) = 0 = + Gerekli koşulu sağlayan özel nokta var. Bu noktalarda yerel enbüyük, yerel enküçük ya da dönüm noktası olabilir. = 16
YETERLİ KOŞUL: f''( 1 ) = f''(0) = 6 < Fonksiyon bu noktada içbükey, YEREL ENBÜYÜK var. 0 f''() = 1 6 f''( ) = f''( + ) = 1 > Fonksiyon bu noktada dışbükey, YEREL ENKÜÇÜK var. 0 f''( ) = f''( ) = 1 > 0 Fonksiyon bu noktada dışbükey, YEREL ENKÜÇÜK var. 17
Bütünsel Eniyilik f''() = 1 6 f (), R için 0 olmadığından DIŞBÜKEY DEĞİLDİR. f (), R için 0 olmadığından İÇBÜKEY DEĞİLDİR. NE DIŞBÜKEY NE İÇBÜKEY fonksiyon. Bütünsel Enbüyük= Enbüyük{Yerel Enbüyük f( i )} Bütünsel Enküçük= Enbüyük{Yerel Enküçük f( i )} 18
Fonksiyon ne içbükey ne dışbükey olduğundan ve [-,+ ] olduğundan, YEREL ENİYİ NOKTALAR olduğunu söyleriz. <-1. à f () <0 0> >-1. à f () >0 = ENKÜÇÜK * (Bütünsel) 0<<+1. à f () <0 >+1. à f () >0 = + ENKÜÇÜK * (Bütünsel) 19
ÖZEL NOKTA f(x) f (X) SONUÇ 1 = 0 0 yerel enb. YEREL ENBÜYÜK = + -.5 yerel enk. ENKÜÇÜK * (Bütünsel) = -.5 yerel enk. ENKÜÇÜK * (Bütünsel) 0
Bütünsel enk. (-1.,-.5) Bütünsel enk. (-1.,-.5) 1
ÖRNEK- f() = ( 1), + ( 4), 0 < 6 f(), R için türevi alınabilir bir fonksiyon olmayabilir. f ()=? Yerel eniyiler için DURUM1, DURUM ve DURUM e göre yerel eniyiler araştırılır.
Durum 1 : Tanımlı aralıklardaki f ()=0 olan noktalar A ) 0 < aralığı için f ()=0 f ()=-(-1)=-+=0 à 1 =1 f (1)=-<0 Bu aralıktaki için f () <0 olduğundan fonksiyon bölgesel içbükey 1 =1 noktasında YEREL ENBÜYÜK f() = ( 1), + ( 4), 0 < 6
B ) 6 aralığı için f ()=0 f ()=(-4)=-8=0 à =4 f (4)=>0 Bu aralıktaki için f () >0 olduğundan fonksiyon bölgesel dışbükey =4 noktasında YEREL ENKÜÇÜK f() = ( 1), + ( 4), 0 < 6 4
Durum : f () tanımlı mı? = te fonksiyon sürekli fakat türevsiz olabilir. f ( - )=-(-1)=-4 f ( + )=(-4)=- f ( - ) f ( + ) olduğundan f () tanımlı değildir. ÖZEL BİR NOKTA OLABİLİR Mİ? = ün ε kadar solunda ve sağında iki nokta alalım. (.9 < <.1) f(.9)=-1.61; f()=-, f(.1)=-.19 f(.9)> f()> f(.1) olduğundan = noktası YEREL ENİYİ OLAMAZ! 5
Durum : Tanım aralığının başlangıç ve bitiş noktaları =0 ve =6 f(0)=1, f (0)=>0 à bu noktada f() artan YEREL ENKÜÇÜK. f(6)=1, f (6)=4>0 à bu noktada f() artan YEREL ENBÜYÜK. y y=f() y y=f() a b a b 6
BÜTÜNSEL ENİYİ ÖZEL NOKTA f(x) YEREL ENİYİLER SONUÇ X=0 1 YEREL ENK. X=1 YEREL ENB. BÜTÜNSEL ENB. X=4 - YEREL ENK. BÜTÜNSEL ENK. X=6 1 YEREL ENB. 7
f() = ( 1), + ( 4), 0 < 6 BÜTÜNSEL ENB BÜTÜNSEL ENK 8
+ 0 ÖRNEK-4 0 k.a. Enb /Enkf () = + + 5 + Kısıtlardan hareketle, tanım aralığını belirleyelim. + 0 à - - 0 à - [, ] k.a. Enb /Enkf () = + + 5 + 9
[, ] k.a. Enb /Enkf () = + + 5 + f(), tanım aralığı içerisinde sürekli ve türevi alınabilir bir fonksiyon. DURUM 1 ve DURUM gözönüne alınarak yerel eniyiler belirlenir. 0
DURUM 1 : GEREKLİ KOŞUL f'() 5 1 = = + + 5 = 0 = - 1 Gerekli koşulu sağlayan ve tanım aralığı içinde yer alan özel nokta var. Bu noktalarda yerel enbüyük, yerel enküçük ya da dönüm noktası olabilir. 1
YETERLİ KOŞUL: 5 f ''( ) = 8 < 0 f ''() = 6 + Fonksiyon bu noktada içbükey, YEREL ENBÜYÜK var. Sıfırdan farklı değer alan türevin mertebesi n= ve çift. Bu noktalarda yerel eniyi var! f ''( 1) = 8 > 0 Fonksiyon bu noktada dışbükey, YEREL ENKÜÇÜK var.
DURUM : TANIM ARALIĞININ BAŞLANGIÇ VE BİTİŞ DEĞERLERİ [, k.a. ] Enb /Enkf () = + + 5 + f (-) =4, f (-)<0 à fonksiyon azalan à YEREL ENBÜYÜK f () =9, f ()<0 à fonksiyon azalan à YEREL ENKÜÇÜK y y y=f() y=f() a b a b
Fonksiyon ne içbükey ne dışbükey fonksiyon ÖZEL NOKTA f(x) YEREL ENİYİLER SONUÇ X=5/ 9.5 YEREL ENB. X=-1 0 YEREL ENK. BÜTÜNSEL ENK. X=- 4 YEREL ENB. BÜTÜNSEL ENB. X= 9 YEREL ENK. 4
Bütünsel enb. Bütünsel enk. 5
ÖRNEK-5 + 5 ( + ) 5 kısıtları altında, EnbZ = ( + ) karar modelinin çözümünü araştırınız. 6
Birinci kısıt : + 5 è -5 + 5 è -8 İkinci kısıt : ( + ) 5 è ± ( + ) 5 è -7 İki kısıt birlikte ele alındığında: UÇA ={ -7, Є R } Karar modeli : -7 kısıtları altında EnbZ = ( + ) 7
Yerel eniyi için gerekli koşul: f (X) = ( + ) è f (X) = (+) = 0 è = - ve Є UÇA olduğundan =- noktasında bir yerel enb/enk veya dönüm noktası olabileceği söylenir. 8
Yeterli Koşul: f (X) =6( +) è f (-) =0 f (X) =6 è sıfırdan farklı ilk türevin derecesi tek sayı olduğundan =- noktasında bir yerel eniyi yoktur. Dönüm noktası olabilir. 9
Tanım aralığının başlangıç ve bitiş değerleri f(-7)=(+) =(-7+) =-15, f (-7)=(-7+) =15 fonksiyon artan, yerel enk. f() =(+) =(+) = 64, f ()=(+) =48 fonksiyon artan, yerel enb. Sonuç: Fonksiyon tanım aralığı içinde enbüyük değerini = noktasında almakta, enbüyük f() değeri 64 olmaktadır. 40
f () = ( + ) fonksiyonunun grafiği 41