Mtemtik Düns, 005 Yz Kpk Konusu: Koniker Konikerin Simetrieri, dk Noktr ve Do rutmnr i Nesin* / nesin@igi.edu.tr Engin Yrd mc ** / enginrdimci@hoo.co.uk Bir önceki z d, düzemde, do rutmn denien ir do rusun ve odk nokts denien ir F nokts n on uzk kr n n orn n n sit d(, ) odu u noktr kümesinin ir konik odu unu gördük. Bu d(f, ) z d hemen hemen F her koni in ir do rutmn ve ir odk nokts n n odu unu gösterece iz. Önce çok gene ir fe p m. Bir F nokts ve ir do rusu verimif osun. Bir de r c ir e siti verimif osun. { : d(, F) = e d(, )} koni ini ee m. F R nokts ndn geçen ve do rusun dik on do ru, Q koc görüece- F i üzere, koni in ir simetri eksenidir. R Q Yz m zd u oguu tm üç kez kunc z. Önce eipsi irdeeeim. EL S Önsv. 0 < < omk üzere / + / = 1 denkemie verimif ir eipsin en uzun kirifi merkezden geçen t kiriftir ve unun d uzunu u d r. Kn t: F ve F eipsin odk noktr osun. Sf 33 teki Teorem de, eipsin herhngi ir M nokts için d(m, F) + d(m, F ) = efiti ini görmüftük. fiimdi eipsin üstünde M ve N noktr rsk, üçgen efitsizi inden, d(m, N) d(m, F) + d(f, N) * stnu Bigi Üniversitesi Mtemtik Böümü ö retim üesi. ** DTÜ Mtemtik Böümü ö rencisi. 34 ve d(m, N) d(m, F ) + d(f, N) efitsizikerini ede ederiz. Bunr tt top p ikie öersek, d(m, N) efitsizi ini ede ederiz. Demek ki ir kirifin uzunu u en fz oiiormuf. Merkezden geçen t kirifin uzunu- unun odu u riz. Eipsin u en uzun kirifine s kirif denir. Sonuç. E er ise, / + / = 1 denkemie verimif ir eipsin simetri do rur sdece ve ekseneridir ve sdece (0, 0) nokts simetri nokts d r. Kn t: Önerme ve e göre simetrik odu- undn > efitsizi ini vrsiiriz. Yukrd kn td m z üzere ekseni üstündeki kirif, eipsin iricik en uzun kirifidir. Do s eipsi eipse götüren düzemin mesfe korun dönüfümeri u uzun kirifin erini de iftiremez. Bundn d istenen sonuç ç kr. Teorem. E er > ise, / + / = 1 denkemie verimif ir eipsin sdece iki tne odk nokts ve do rutmn çifti vrd r. e sit orn u iki çift için de n d r. Bunr, ε = ±1 için, F ε, 0 odk nokts ve ε = denkemie verimif do rutmn çiftidir. Sit orn, her iki çift için de e = < 1 dir. Yni eips, { R : d(, F) = e d(, )} kümesidir. Kn t: Önce, eipsin ir F odk nokts ve ir do rutmn (ve ir e orn ) odu unu vrs p
Mtemtik Düns, 005 Yz unr um ç f m. Bu irz zmn ck. Dh sonr udu umuz u F, ve e nin istedikerimiz odu unu kn tc z. Her feden önce F odk nokts do rutmn n n üstünde omz, çünkü ksi tkdirde d(, F) = e d(, ) kofuu ir do ruu verirdi ve eipsimizin ir do ru omd mum. F den do rutmn n ir dik çekeim. C, u dike do rutmn n kesifim nokts osun. Koc görüece i üzere, CF eipsin ir simetri do rusudur F C efiti ini uuruz. (, ) nokts eipsin üstünde odu undn erine (1 / ) koiiriz. Do s her [, ] s s için, (1 / ) + ( ƒ) = e (c ) efiti i geçeridir. Demek ki (1 Y / ) + (Y ƒ) e (c Y) poinomunun sonsuz s d kökü vrd r, ni s f r poinomudur. Do s Y nin kts s 0 efittir, ni, e = / + 1 < 0, ir çeifki. Söz verdi- imiz gii CF nin ekseni odu unu kn td k. fiimdi F ve C nin koordintr (ƒ, 0) ve (c, 0) osunr. Hââ dh vrs ms on orn d e dieim. ƒ i, c i ve e i uc z. (, ) F(ƒ, 0) C(c, 0) (kz. ukrdki feki: E er nokts eipsin üstündese, nin CF e göre simetrisi on nokts d n orn nt s n s d ndn eipsin üstündedir.) Bir önceki sonuçtn do, CF do rusu d eksenidir, ni C ve F noktr n n ikisi irden d ekseni üzerindedir. CF nin ekseni odu unu kn tc z. Bir çeifki ede etmek mc, ir gfet n nd CF do rusunun ekseni odu unu vrs m. C(0, c) F(0, ƒ) c (, ) zmn do rutmn eksenine predir. C ve F nin koordintr s rs (0, c) ve (0, ƒ) osun. fiimdi, eips üstünde seçimif her (, ) nokts için, + ( ƒ) df (, ) = = e c d (, ) efiti i geçeridir. Her iki trf n d kresini p pdr efitersek, eipsin üstündeki her (, ) nokts için, + ( ƒ) = e (c ) Gfet n Gerekirse eksenine göre her fein simetrisini rk c nin negtif omd n vrsiiriz. (Yukrdki feke dnmm, dh ne F nin eipsin içinde odu unu ve ne de ƒ < < c efitsizikerini iioruz.) Eips üstünde seçimif her (, ) nokts için, + ( ƒ) df (, ) = = e c d (, ) efiti i geçeridir. Her iki trf n d kresini p pdr efitersek, eipsin üstündeki her (, ) nokts için, ( ƒ) + = e (c ) efiti ini uuruz. (, ) nokts eipsin üstünde odu undn erine (1 / ) koiiriz. Do s her [, ] s s için, ( ƒ) + (1 / ) = e (c ) efiti i geçeridir. Demek ki (X ƒ) + (1 X / ) e (c X) poinomunun sonsuz s d kökü vrd r, ni s f r poinomudur; demek ki üç kts s d 0 om d r: 1 / e = 0 ƒ + ce = 0 ƒ + e c = 0. Bu üç denkemden ƒ i, c i ve e i uc z. Birincisinden hemen e i uiiriz: e = 1 /. Bundn ve ikincisinden rrnrk ƒ i c cinsinden ziiriz: ƒ = ce = c(1 / ). 35
Mtemtik Düns, 005 Yz Bu son iki sonuçtn ve üçüncü denkemden c i uiiriz: 0= ƒ + e c = c (1 / ) + (1 / )c = c ( / + 4 / 4 ) +. Gereki sdeeftirmei p p c i tecrit edersek, c = > uuruz. fiimdi, c nin u de erini irz önce udu- umuz ƒ = c(1 / ) efiti ine ereftirirsek, ƒ= < uuruz. e i zten ukrd umuftuk: odk nokts ƒ = F (, ) / + / = 1 denkemie verien eipste, F / Q = e = 1 /. e = < 1. Demek ki, e er vrs, F(0, ƒ) odk nokts n, ( = c) do rutmn n ve e orn n uduk. fiimdi u udu umuz F nokts n n gerçekten odk nokts, do rusunun gerçekten do rutmn odu unu ve e nin gerçekten sit orn odu unu kn tm z. Kn t m. (, ), eipsin üstünde herhngi ir nokt osun. Bk m d(, F)/d(, ) = e efiti i geçeri mi? Tüm s r pozitif odu undn, eips üstündeki her nokts n n d(, F) = e d(, ) efiti ini, ni / + / = 1 efiti ini s n her (, ) s çiftinin d((, ), (ƒ, 0)) = e (c ) efiti ini s d n kn tmk eteri. Bu d, verien c, ƒ ve e s r odukç zhmetsiz içimde p iir. Budu umuz u odk nokts ve do rutmn n ir de eksenine göre simetrieri vrd r eet. Kn t m z itmiftir. RBL roerin denkeminin ir > 0 siti için, = içiminde z iece ini gördük. Tii denkemin u he gemesi için proü döndürmek, öteemek ve ir eksene göre simetrisini mk gerekeiir; unr pt m z vrs m. do rutmn c = 36 Teorem. ekseni = denkemie verien proün tek simetri eksenidir. Kn t: Önce dike simetri eksenerine k m., proün dike ir simetri ekseni osun. zmn do rusunun denkemi, ir için, = içimindedir. nin 0 odu unu kn tc z. (, ), = (, ) ( ) proün üstünde herhngi ir noktn n koordintr osun. Bu noktn n do rusun göre simetri i, koc görüece i üzere, (, ) nokts - d r. Demek ki u nokt d proün üstünde. fiimdi hem = hem de = ( ) denkemi geçeri om d r. Demek ki, = = ( ) ve sdeeftirerek, = om. m u efitik her için s nm. Do s = 0 om. Böece, dike do rur n rs nd sdece = 0 denkemie verien ekseninin proün simetri ekseni odu unu kn td k. Bei ir do ru pre on do rur kümesine ir preik s n f d n vereim. Örne in dike do rur kümesi ir preik s n f d r; eksenie 45 dereceik ç pn do rur kümesi ir fk preik s n f d r. Bir preik s n f ir e im trf ndn eirenir; dh ç k ir ifdee, e er ir preik s n f dike do rurdn oufmuors, o zmn ir m s s (e imi) için, preik s n f ndki her do ru = m + içiminde z r ve = m + içiminde z n her do ru u preik s n f ndd r. fiimdi, = proü ç s ndn, dike do rur preik s n f n n di er preik s n fr n göre ir r c odu unu kn tc z. Her dike do ru proü sde- = ce ir noktd keser, unu iioruz. Bk m fk ir preik s n f u özei i s or mu? Bizce s m or! Herhngi ir m e imini siteip, e imi m on preik s n f n, ni ei ir s s için denkemi = m + fekinde z n do rur ve u do rur n proe kesifim noktr n k m. (Yndki sütundki feke k n.) s ir kesifim nokts n n ve koordintr ir ndn = m +
denkemini ir ndn d = denkemini s r. Demek ki irinci koordint, = m + denkemini s m. Bu son denkemin 0 1 d çözümü vrd r: E er > m /4 ise iki çözüm vrd r, e er = m /4 ise ir çözüm vrd r, e er < m /4 ise hiç çözüm oktur. Her çözümü için ir (= m + ) uuniece inden proe = m + do rusunun kesifim nokts s s, = m + denkeminin çözüm s s kdrd r. Böece dike do rur preik s n f n n di er do rur göre ir r c odu unu göstermif oduk. = m /4 = = m + do rur ( de ifirken) = proünü 0 ( < m /4 ise), 1 ( = m /4 ise) d ( > m /4 ise) noktd keserer. Bu, ize simetri ekseni hkk nd igi verir. Dike do rur pro için r c k ir preik s n f odu undn, simetri ekseni dike do rur korum, ni dike ir do runun simetri eksenine göre simetrisi gene ir dike do ru om. Demek ki simetri do rusu dike d t om. Dikese ekseni odu unu ik prgrft gördük. Yt omc n görmek ko: Yt ir simetri ekseni os, proün ikinci koordint negtif on ir nokts ourdu ki, omd n iioruz. fiimdi de ir proün ir ve ir tek odk nokts ve do rutmn odu unu ve orn n 1 odu unu kn t m. Bunu = denkemie verien pro için kn tmk eteri eette. Teorem. Bir proün ir ve ir tne odk nokts ve do rutmn vrd r ve orn 1 dir, ni ir ve ir tne F nokts (odk nokts ) ve do rusu (do rutmn) için, pro, { : F = d(, )} kümesidir. E er pro = denkemie verimifse, odk nokts F(0, 1/4) ve do rutmn = 1/4 do rusudur. Kn t: = denkemie verien proe odknmk eteri. Önce, proün ir F odk nokts ve ir do rutmn n n odu unu vrs p 37 Mtemtik Düns, 005 Yz F i ve i u m. rn hkk nd herhngi ir vrs md uunmc z. F den e dik = do rusunu ineim. roün noktr F F = e d(, ) efiti ini s n noktr odu- undn, do rusu proün ir simetri eksenidir. Bir önceki önsv göre do rusu eksenidir. Demek ki do rusu td r ve F nokts ekseninin üstündedir. F(0, ƒ) osun ve do rusu d = denkemie verimif osun. mc m z = ƒ i ve i umk. Dh sonr (, ) F(0, ƒ) udu umuz u F nin ve nin gerçekten odk nokts ve do rutmn d odu unu kn tc z. do rusu proü kesemeece inden (neden?) < 0 om. (0, 0) nokts proün üstünde odu undn, = (0, 0) rsk, ƒ = F = e d(, ) = e = e efiti ini uuruz. Demek ki ƒ i ve e i umk eteri; o zmn de eirenior. (, ) proün herhngi ir nokts osun. zmn, + ( ƒ ) = df (, ) = edd (, ) = e ( ) efiti i s n r. Her iki trf n d kresini m. + ( ƒ) = e ( ) uunur. m = denkemi s nmk zorund. Demek ki her R için, + ( ƒ) = e ( ) efiti i s nm. Bunu ir poinom gii görürsek, X + (X ƒ) e (X ) poinomunun 0 poinomu odu unu, ni kts - r n n 0 odu unu görürüz. Demek ki, = e 1 ƒ = e ƒ = e efitikeri s nm. (Sonuncusunu zten iiorduk, ƒ = e efiti ini dh önce umuftuk.) Birincisinden e = 1 ç kr (e pozitif om ). e nin u de erini ikinci ve üçüncü denkeme ereftirirsek, 1 = (ƒ ) ve ƒ = ± uuruz. Birinci denkemden do ƒ = omz. Demek ki ƒ =. Bunu irinci denkeme ereftirirsek, 4ƒ = 1 ve ƒ = 1/4 uuruz. Burdn d
Mtemtik Düns, 005 Yz ç kr: = ƒ = 1/4. Böece os odk nokts n, do rut ve orn uduk: S rs F(0, 1/4) nokts, = 1/4 do rusu ve e = 1 orn. fiimdi unr n gerçekten odk nokts, do rut ve orn odu unu kn tm z. kur dikkt ederse, unu ukrd pt - m z görecektir; göremiors hespr ir def dh pms nd rr vrd r. H ERBL Son ork, fk konik kmd ndn, hiperoü ee c z. Önsv. () = ±/ do rur / / = 1 hiperoünün simptotr d r ve u hiperoün fk simptotu oktur. () ve ekseneri / / = 1 hiperoünün simetri ekseneridir ve u hiperoün fk simetri ekseni oktur. Kn t: () Sf 7-8 de, = ±/ do rur - n n / / = 1 hiperoünün simptotr odukr n kn tm ft k. n kn t hiperoün fk simptotu omd n d kn tr. () ve eksenerinin simetri ekseneri odu u riz. Hiperoün ir simetrisi simptotr simptotr göndermek zorund odu undn, irinci k s mdn, e er simptotr iririne dik de ise, ve eksenerinden fk simetri ekseni omd nf r. E er simptotr iririne dikse, ni = ise, simptotr n kendieri de ( = ve = - do rur ) potnsie simetri ekseneri ork krf m z ç krr. Bu iki do runun do urdu u simetrier ve eksenerini de if tokuf etti inden, unr n simetri ekseneri omc n nmk zor de i. Teorem. Bir hiperoün iki tne odk nokts ve do rutmn çifti vrd r ve her ikisi için de orn n ve 1 den üüktür. E er hipero > s r için / / = 1 denkemie verimifse u çifterden iri F +, 0 nokts (odk nokts ) ve d : = + do rusudur (do rutmn). Di er çift unr n eksenine göre simetri idir. rn, + e = d r. Bir fk deife, / / = 1 denkemini s n (, ) noktr kümesi, { : F = e d(, )} kümesidir. Kn t: / / = 1 denkemie verien hiperoe odknmk eteri. Dh önce eips ve pro için iki kez pt m z gii, önce hiperoün ir F odk nokts ve ir do rutmn n n odu unu vrs p F i ve i uc z. rn hkk nd herhngi ir vrs md uunmc z (nck dh önce p nrdn, e er eips ve proün hipero omd n iiorsk, orn n 1 den üük oms gerekti i nf r.) Dh sonr u uunn odk nokts ve do rutmn dr n n gerçekten odk nokts ve do rutmn odu unu kn tc z. Dh önce iki kez gördü ümüz gii F den geçen ve d e dik on do ru, koni in, ni hiperoün ir simetri eksenidir. Yukrdki önsv göre u simetri ekseni d eksenidir, ni F d eksenindedir ve d dikedir d t. m d t os hiperoü keser ve o zmn d hiperoün sdece ir nokts our... Demek ki d dike ve F nokts ekseni üzerinde. F nokts n n koordintr (ƒ, 0) osun. d do rusu d = c denkemie verimif osun. Gerekirse eksenine göre simetri ini rk c 0 efitsizi- ini vrsiiriz. d c F(ƒ, 0) (, ) fiimdi hipero üzerinde herhngi ir (, ) nokts m. 38
Mtemtik Düns, 005 Yz ( ƒ ) + = df (, ) = edd (, ) = e c denkemini ede ederiz. Bu efiti in her iki trf n n d kresini rsk, ( ƒ) + = e ( c) efiti ini ede ederiz. r c, erine ( / 1) zrsk, ( ƒ) + ( / 1) = e ( c) denkemini ede ederiz. Bu denkemin sonsuz tne çözümü odu u için, (X ƒ) + (X / 1) e (X c) poinomu 0 poinomudur, ni üç kts s d 0 d r: 1 + / e = 0 ƒ + ce = 0 ƒ e c = 0. Birinci denkemden e uunur: + e =. kinci denkemden ƒ = ce = c(1 + / ) = c( + )/ uuruz. e nin ve ƒ nin u de ererini üçüncü denkeme tf rk, c (1 + / ) (1 + / )c = 0 uuruz. Bunu sdeeftirip c i tecrit edersek, (z ife hesp pmk gerekior) c = + uunur. Bundn ve dh önce udu umuz ƒ = c( + )/ efiti inden ƒ ç kr: ƒ= +. Demek ki odk nokts, do rutmn ve orn vrs, unr ukrd udu umuz gii om. fiimdi de ukrd udukr m z n gerçekten hiperoün odk nokts, do rutmn ve orn odu unu kn t m. Hiperoün üstünde herhngi ir (, ) nokts m. Demek ki / / = 1 efiti i s n or. fiimdi (, ) nin F nokts n ve d do rusun on uzunukr n hesp m. Bk m unr n orn ukrd udu umuz e mi? f dki, + + df (, ) dd (, ) = + + + 1 = + orn n n + e = odu unu kn tmk istioruz. Her iki trf n d kresini rsk, ko ir hesp efiti in gerçekefti i görüür. Bu d kn t m z tmmr. Son ork, / / = 1 hiperoünün dh dikkti ir resmini çizeim. = / F d = / d : = + + F / / = 1 + Çemer Gene çemer Y u ne? Çemer Eips Y u ne? r B c C B r B c C B Verien ir nokts n uzk n n kresi sit (r ) on noktr () kümesi ir çemerdir. Verien ve B noktr n uzk kr n n kreerinin ( ve ) topm sit (r ) on noktr () kümesi de ir çemerdir. Verien, B ve C noktr n uzk kr n n (, ve c ) topm sit (r ) on noktr () kümesi nedir? Verien ir nokts - n uzk sit (r) on noktr () kümesi ir çemerdir. Verien ve B noktr n uzk kr n n ( ve ) topm sit (r) on noktr () kümesi ir eipstir. Verien, B ve C noktr n uzk kr n n (, ve c) topm sit (r) on noktr () kümesi nedir? d vr m d r? Böe ir e rinin sivri ir nokts oiir mi? 39