ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ DUAL DÖNÜŞÜMLER VE GEOMETRĐK UYGULAMALARI. Gülsüm BĐÇER MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI

ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ YÜKSEK LĐSANS TEZĐ DUAL DÖNÜŞÜMLER VE GEOMETRĐK UYGULAMALARI Gülsüm BĐÇER MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI ANKARA 011 Her hakkı saklıdır

ÖZET Yüksek Lisans Tezi DUAL DÖNÜ ÜMLER VE GEOMETR K UYGULAMALARI Gülsüm B ÇER Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan³man: Prof. Dr. Yusuf YAYLI E³ Dan³man: Prof. Dr. Rafael LOPEZ Bu tez dört bölümden olu³maktadr. Birinci bölüm giri³ ksmna ayrlm³tr. kinci bölümde, n boyutlu Lorentz-Minkowski uzaynda temel kavramlar verilmi³, iki vektör arasndaki aç tanmlanm³ ve bu uzaya ait izometrilerden bahsedilmi³tir. Üçüncü bölümde, izometrik uzaylar arasnda bir dual dönü³üm tanmlanm³tr. Bu sayede Öklid uzayndaki bir ortogonal matristen Lorentz-Minkowski uzaynda bir yar ortogonal matris ve Lorentz-Minkowski uzayndaki bir yar ortogonal matristen Öklid uzaynda bir ortogonal matris elde edilmi³tir. Dördüncü bölümde, dual dönü³ümlerin geometrik uygulamalar yer alr. Görü³ açs kavram tanmlanarak örnekler verilmi³tir. Bu sayede Öklid uzayndaki ve Lorentz- Minkowski uzayndaki ortogonal eksenler incelenmi³tir. Temmuz 011, 58 sayfa Anahtar Kelimeler : Dual dönü³üm, Görü³ açs, Lorentz-Minkowski uzaynda ortogonal eksenler. i

ABSTRACT Master Thesis DUAL TRANSFORMATIONS AND THEIR GEOMETRIC APPLICATIONS Gülsüm B ÇER Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI Co Advisor: Prof. Dr. Rafael LOPEZ This thesis consists of four chapters. The rst chapter is devoted to the introduction. In chapter two, the basic concepts of n dimensional Lorentz-Minkowski space are given, the angle between two vectors is dened and isometries of this space are mentioned. In chapter three, dual transformation between isometric spaces is dened. By this means, a semi-orthogonal matrix in Minkowski space is obtained from an orthogonal matrix in Euclidean space and an orthogonal matrix in Euclidean space is obtained from a semi-orthogonal matrix in Minkowski space. Finally in chapter four, geometric applications of dual transformations take place. Examples are given by dening the concept of visual angle. By this means, orthogonal axes in Euclidean space and in Lorentz-Minkowski space are examined. July 011, 58 pages Key Words: Dual transformation, Visual angle, Orthogonal axes in Lorentz-Minkowski space. ii

TE EKKÜR Öncelikle bu çal³ma konusu ile bana ara³trma olana sa lad, çal³mamn her noktasnda yakn ilgi ve önerileri ile beni yönlendirdi i için, ayrca seçti im bu yolda azim ve kararllkla ilerlememi sa lad ve beni aydnlatt için de erli dan³man hocam, Sayn Prof Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Anabilim Dal)'ya, tez çal³mam srasnda önerileri ve deste iyle hep yanmda olan ve spanya'da bulundu um süre içerisinde benden hiçbir konuda yardmn esirgemeyen de erli e³ dan³man hocam Sayn Prof.Dr. Rafael LOPEZ (Universidad de Granada Department of Geometry and Topology)'e en içten sayg ve te³ekkürlerimi sunarm. Çal³malarm süresince ve hayatm boyunca bana ko³ulsuz güvenen, maddi manevi her türlü fedakarl gösteren ailem; babam Hüseyin B ÇER, annem Ay³e B ÇER, karde³im Yusuf B ÇER'e ve ileri görü³lülü ü ile bana her daim ³k tutmu³ dedem Sayn Yusuf B ÇER'e en derin duygularla te³ekkür ederim. Gülsüm B ÇER Ankara, Temmuz 011 iii

Ç NDEK LER ÖZET.................................................................. i ABSTRACT.......................................................... ii TE EKKÜR.......................................................... iii S MGELER D Z N.................................................. v EK LLER D Z N.................................................. vi 1. G R.............................................................. 1. E n 1 LORENTZ-MINKOWSKI UZAYI.................................1 Temel Kavramlar................................................... ki Vektör Arasndaki Aç......................................... 13.3 E n 1in zometrileri.................................................. 4 3. ZOMETR K UZAYLAR ARASINDAK DUAL DÖNÜ ÜMLER.. 9 3.1 Dual Dönü³üm................................................... 9 4. DUAL DÖNÜ ÜMLER N GEOMETR K UYGULAMALARI..... 38 4.1 E 3 Öklid Uzaynda Görü³ Açs.................................... 38 4. E 3 1 Minkowski Uzaynda Görü³ Açs............................... 4 KAYNAKLAR....................................................... 5 ÖZGEÇM.......................................................... 58 iv

S MGELER D Z N E n 1 E n C n boyutlu Lorentz-Minkowski uzay n boyutlu Öklid uzay Light koni f, f 1 Dual dönü³ümler O 1 (n) E n 1in vektör izometrilerin kümesi o AP B O görü³ noktasndan AP B açsnn görü³ açs v

EK LLER D Z N ekil 1.1 Kutu ve e ik kutu 1 ekil.1 E 3 1te causal karakter: u spacelike, v timelike ve w lightlike vektör 4 ekil. E 3 1te w nin ortogonal vektörleri: u(sol) spacelike ve v(sa ) timelike 1 ekil.3 Öklid uzaynda iki birim vektör arasndaki aç 1 ekil.4 Lorentz-Minkowski uzaynda iki birim timelike vektör arasndaki aç 19 ekil.5 Timelike bir düzlemdeki iki spacelike vektör arasndaki aç 4 ekil 4.1 Öklid uzaynda görü³ açs 38 ekil 4. o A 0 P A 1 görü³ açs 39 ekil 4.3 P A 0 A 1 A çats ve o A 0 P A 1 görü³ açs 41 ekil 4.4 Dik kutulara farkl noktalardan bakld nda görülen yüzleri 43 ekil 4.5 o B 0 QB 1 görü³ açs 47 vi

1. G R ekil 1.1 Kutu ve e ik kutu ekil1.1deki iki resim, bir kutuyu ve e ik bir kutuyu göstermektedir. Hangisi bir kutunun resmidir? Kutu kelimesinin zihinlerde olu³turdu u resim soldaki gibidir. Aslnda, Lorentz-Minkowski uzaynda ya³anyor olsayd sa daki resmin bir kutu oldu u ifade edilirdi, di er taraftan soldaki bir e ik kutunun resmi olurdu. Bak³ noktasna ve içinde bulunulan uzaya ba l olarak görünümleri de i³en bu kutular bu çal³mann ba³langç noktas olmu³tur. Her iki uzaydaki ortogonal eksenler ve "görü³ açs" yardmyla bu resimler incelenecektir. Çal³ma süresince "kutu" olarak ifade edilecek ³ekiller; özel hali küp olan, bir yüzünün dört ayrta sahip oldu u dik kutular olacaktr. Öklid uzay ve Lorentz-Minkowski uzayndaki ortogonal eksenler ele alnacaktr. Seçilecek noktalarda kurulacak olan dik çatlar, bir kutunun bir kö³esine ait olan üç ayrttan yola çklarak zihinlerde canlandrlabilir. Görü³ açs kavramnn daha iyi anla³lmasna olanak sa layacak bu ortogonal eksenlere bir noktadan bakld nda elde edilen görü³ açlar incelenecektir. Öklid uzay ve Lorentz-Minkowski uzaynda ayr ayr incelenecek olan bu görü³ açlarnn ayn anda dar açl veya ayn anda geni³ açl olabilme durumlarna göre ekil 1.1 yorumlanacaktr. 1

. E n 1 LORENTZ-MINKOWSKI UZAYI.1 Temel Kavramlar R n, bilinen vektör yaps ile n boyutlu reel vektör uzay olsun. R n uzaynda bir vektörün bilinen koordinatlar (x 1,..., x n ) olarak verilir. Burada, R n uzaynda iken R n nin genel yaps dü³ünülecektir ve bilinen anlamdaki "yatay" veya "dikey"ler ile ifade edilecektir. Tanm.1.1. Lorentz-Minkowski uzay E n 1 ile a³a daki ³ekilde tanmlanr: = (R n,, ) metrik uzaydr,, metri i n 1 u, v = u i v i u n v n u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) i=1, metri i, Lorentz metri i olarak adlandrlr., metri i, indeksi 1 olan non-dejenere metrik olarak yorumlanr. E n 1 Minkowski uzay ve, Minkowski metri i olarak da adlandrlr. Burada, R n uzaynda iken Öklid metri i dü³ünülecek ve Öklid uzayn kar³layan E n ifadesi kullanlacaktr. Lorentz-Minkowski uzaynn alt boyutlar a³a daki gibi gösterilir: n = 1, E 1 1 = (R, ), with u, v = uv. n =, E 1 = (R, ), with u, v = u 1 v 1 u v. Bu tez çal³masnda, E n 1 uzay yalnzca n için dü³ünülecektir. n = olmas durumunda E 1, Lorentz-Minkowski düzlemi olarak ifade edilecektir. Tanm.1.. v E n 1 vektörü, v, v > 0 veya v = 0 ise spacelike, v, v < 0 ise timelike ve v, v = 0 ve v 0 ise lightlike olarak adlandrlr. Burada, v = 0 olmas durumunda v, v = 0 sa lanmasna ra men vektörün spacelike oldu u belirtilir. Bir vektörün normunun tanm ³u ³ekilde verilir.

Tanm.1.3. Verilen u E n 1 vektörü için u, u ifadesi u vektörünün normu olarak adlandrlr ve u ³eklinde yazlr. u vektörünün normu 1 ise bu vektöre birim denir. Sonuç olarak, u bir spacelike vektör ise u = u, u, timelike vektör ise u = u, u olur. Tanm.1.4. E n 1 uzayna ait light-koni, E n 1 uzaynn tüm lightlike vektörlerinin kümesidir ve a³a daki ³ekilde tanmlanr: C = {v E n 1; v, v = 0} {(0,..., 0)}. C alt boyutlarda a³a daki gibi hesaplanr: n = için, C = { (x, y) E 1; x y = 0 } { (0, 0) } biri x y = 0 di eri x + y = 0 olan iki do rudan olu³ur. n = 3 için, C = { (x, y, z) E 3 1; x + y z = 0 } { (0, 0, 0) } tepe noktas orijin olan konidir. Timelike vektörlerinin kümesi T ile gösterilir ve a³a daki ³ekilde verilir: T = {v E n 1; v, v < 0}. T timelike vektörlerinin kümesinin iki bile³eni {v T ; v n > 0} ve {v T ; v n < 0}, birbiri ile tam olarak ba lantl de ildir. Spacelike vektörler kümesi daima ba lantldr. C light-konisi, n = durumunda birbirleri ile ba lantl dört bile³enden olu³urken n > olmas durumunda iki bile³enlidir ( ekil.1). Tanm.1.5. U E n 1 bir alt vektör uzay olsun. U daki indirgenmi³ metrik pozitif tanml ise U spacelike, indeksi 1 olan non-dejenere ise timelike ve U {0} ise lightlike olarak adlandrlr. Bir vektörün veya bir alt uzayn spacelike, timelike veya lightlike bir causal karakter e sahip olmas beklenir. Bir alt uzay ve bu alt uzayn causal karakteri ile ilgili örnekler a³a da verilmi³tir: 1. (1, 0, 0) ve (0, 1, 0) spacelike vektörlerdir. (0, 0, 1) bir timelike vektördür. (1, 0, 1) ve (0, 1, 1) lightlike vektörlerdir. 3

z timelike C spacelike w v u spacelike y x timelike ekil.1 E 3 1te causal karakter: u spacelike, v timelike ve w lightlike vektör. < (1, 0, 0), (0, 1, 0) > spacelike bir düzlemdir. < (1, 0, 0), (0, 0, 1) > ve < (0, 1, 0), (0, 0, 1) > timelike düzlemlerdir. < (1, 0, 0), (0, 1, 1) > lightlike bir düzlemdir. Yukarda verilen alt uzaylarn her birindeki metri e ait matrisler, verilen bazlara göre srasyla a³a daki ³ekilde verilir: 1 0, 1 0 0 1 0 1, 1 0 0 1, 1 0 0 0 3. < (1, 0, 0), (1, 1, 1) > lightlike bir düzlemdir fakat {(1, 0, 0), (1, 1, 1)} spacelike vektörlerdir. Metri e ait matris a³a daki ³ekilde verilir: 1 1. 1 1 4. < (0, 1, 0), (0,, 1) > timelike bir düzlemdir fakat {(0, 1, 0), (0,, 1)} spacelike vektörlerdir. Metrik ³u ³ekilde verilir: 1 3 5. (0, 1, 0) spacelike bir vektördür, (0, 1, 1) lightlike bir vektördür fakat < (0, 1, 0), (0, 1, 1) >.. 4

timelike bir düzlemdir. Metrik a³a daki ³ekilde verilir: 1 1. 1 0 Önerme.1.. E n 1 zorundadr. uzaynn her alt uzay spacelike, timelike veya lightlike olmak spat n boyut üzerinde tümevarm uygulansn. n = ise non-trivial alt uzaylar 1 boyutludur ve sonuç a³ikardr. 1. U non-dejenere ise U de non-dejenere olur. O halde U nun ortonormal baz ve U in ortonormal baz, E n 1 in ortonormal bazlarn verir. Dolaysyla U daki 1 lerin says, 1 veya 1 den az olur. Böylece U daki metri e ait matrisler a³a daki gibidir, U timelike veya pozitif tanml olur. +1....... +1.... 1, +1....... +1.... +1.. U dejenere ise U nun baznda bulunan saylar: +1, 1, ve 0 dr. W U alt uzay, bazlarnda +1 ve 1 saylar bulunan non-dejenere bir alt uzaydr. Dolaysyla W Lorentzian veya pozitif tanmldr. Bu, U daki metri e ait matrislerin a³a daki gibi olduklar anlamna gelir. +1....... +1 0....... 0, +1....... 1 0....... 0. 5

O halde W nin ortonormal altuzay W ve W E n 1 oldu u dü³ünülerek, W iki durumda a³a daki gibi gösterilir. lk durum, W spacelike oldu unda; ikinci durum, W Lorenzian oldu undadr. lk durum için: W spacelike ise, bir ortonormal baz dü³ünülsün, U W içinde bir lightlike vektör vardr, ki bu da imkanszdr. kinci durum için: W timelike ise boyutu E n 1 in boyutundan bir eksik olan boy(w ) = n 1 olur ve tümevarm hipotezi kullanlr. Bunun için U ile W nin arakesiti dü³ünülür, bu da W U nin ortogonali olan bir W olur. Bu alt uzay W içindedir, dolaysyla spacelike, timelike veya lightliketr. W deki metrik dejenere oldu undan lightliketr. Böylelikle, ortonormal baza göre verilen W deki metri in matrisi +1,..., +1, 0 dr. +1....... +1.... 0. Bu baz ve W nin bir baz birlikte, U nun bir bazn olu³turur. Olu³turulan baz (+1,..., +1) + (+1,..., +1, 0) dr ve bu baza göre verilen metri e ait matris a³a daki gibidir: +1.............. +1 + +1....... +1.... 0, U nun lightlike oldu u anlamna gelir. imdi, causal karakterine ba l olarak alt uzaylarn karakterizasyonlar verilecektir.

Önerme.1.7. 1. v E n 1 olsun. < v > timelike (srasyla spacelike, lightlike) v spacelike (srasyla timelike, lightlike) vektördür.. U E n 1 bir alt uzay olsun. U timelike (srasyla spacelike, lightlike) U spacelike (srasyla timelike, lightlike) alt uzaydr. spat 1. v spacelike veya timelike bir vektör olsun ve ϵ = ±1 oldu unda v, v = ϵ oldu u varsaylsn. E n 1 in ortonormal baz, bir eleman v olacak ³ekilde geni³letilirse, e n, e n = ϵ oldu unda B = {v, e,..., e n } olur. O halde < v > =< e,..., e n > dir, ki bu alt uzay ϵ = 1 ise timelike, ϵ = 1 ise spacelike bir alt uzaydr. Di er taraftan {e,..., e n } baz, e n, e n = ±1 oldu unda < v > nin ortonormal bir baz olsun. B = {v, e,..., e n } ye ba l olarak verilen metri e ait matris ³öyledir: v, v 0... 0 0 1... 0.... 0 0... ϵ. Lorentz metri inin indeksi 1 dir, o halde v, v = ϵ olur ve bu da sonucu gösterir. v bir lightlike vektör olsun. Önerme.1. kullanlarak ve yukardaki dü³ünce ile, v < v > alt uzay lightlike olmak zorundadr. < v > lightlike ise, yine yukardaki dü³ünce ile, v vektörü spacelike veya timelike olamaz, v lightlike olmak zorundadr.. U timelike iken v U bir timelike vektör olsun. O halde U < v > olur. Yukardaki madde ile, < v > spacelike oldu u görülür ve spacelike alt uzayn her alt uzay da spacelike oldu u için U spaceliketr. U spacelike ise ve E n 1 = U U oldu undan U alt uzay spacelike olamaz. U lightlike ise Lorentz metri i dejenere olmaldr. O halde, Önerme.1. ile U timelike olur. 7

Sonuç olarak U lightlike ise, yukardaki yukardaki dü³ünce ile, U spacelike veya timelike olamaz. O halde U lightlike olur. Önerme.1.8. 1. u, v E n 1 olsun. u ve v timelike vektörler u, v = 0 dr.. u ve v iki lightlike vektör olsun. u, v = 0 lineer ba mldrlar. spat 1. Genel durumu bozmadan, u = 1 oldu u varsaylsn. B = {e 1,..., e n }, u = e n gibi, E n 1 in ortonormal bir baz oldu u dü³ünülsün. v = n i=1 x ie i olsun. u, v = 0 ise x n u, u = 0 olur. O halde x n = 0 dr. Dolaysyla v = n 1 i=1 x ie i dir ve bu nedenle v, v = n 1 i=1 x i 0 olur, ki bu bir çeli³kidir.. u ve v lineer ba ml ise ortogonaldirler. imdi, bu vektörlerin ortogonal olduklar dü³ünülsün. e n = (0,..., 1) olsun. E n 1 =< e n > < e n > ifadesi içinde u = x + λe n ve v = y + µe n yazlsn. u, v = 0 iken ve bunlar lightlike vektörler olacak ³ekilde, a³a daki e³itlikler elde edilir. x, y λµ = 0. x λ = 0. y µ = 0. Üç e³itli in toplam ile, x, y = x y elde edilir. x ve y spacelike vektör olduklar için Cauchy-Schwarz e³itsizli i x ve y nin lineer ba ml oldu unu garanti eder. O halde u ve v vektörleri için de ayn ³ey söz konusudur. imdi, timelike alt uzaylarda çal³lacaktr. Önerme.1.9. U E n 1 bir alt uzay ve boy(u) olsun. A³a da verilen ifadeler birbiri ile e³de erdir: 1. U bir timelike alt uzaydr. 8

. U lineer ba msz iki lightlike vektör içerir. 3. U bir timelike vektör içerir. spat 1 {e 1,..., e m } baz, e m timelike vektörü ile, U nun bir ortonormal baz olsun. O halde e 1 + e m ve e 1 e m lineer ba msz lightlike vektörler olurlar. 3 u ve v lineer ba msz iki lightlike vektör ise u + v veya u v bir timelike vektör olur, çünkü u ± v, u ± v = ± u, v ve u, v 0 dr (Önerme.1.8). 3 1 v vektörü U ya ait bir timelike vektör olsun. O halde U < v > dir ve < v > bir spacelike alt uzaydr. Sonuç olarak U spaceliketr ve bu nedenle U timelike olur (Önerme.1.7). Yukardaki sonuç, bir alt uzayn timelike olup olmad n bilmek için, o alt uzayda yalnz bir timelike vektör bulmann yeterli olaca n söylemektedir. Bu durum di er alt uzaylar için geçerli de ildir. Örne in E 3 1 uzaynda x = 0 düzlemi (0, 1, 0) spacelike vektörünü ve (0, 1, 1) lightlike vektörünü barndrr fakat düzlem ne spacelike ne de lightlike bir düzlemdir. Buna ek olarak, y z = 0 bir lightlike düzlemdir ve lightlike vektörler içermektedir. Fakat düzlemdeki tüm lightlike vektörler (0, 1, 1) vektörü ile lineer ba ml olan vektörlerdir. Lightlike alt uzaylar ile devam edilecektir. Önerme.1.10. U, E n 1 e³de erdir: de bir alt uzay olsun. A³a da verilen ifadeler birbiri ile 1. U bir lightlike alt uzaydr.. U bir lightlike vektör içerir fakat timelike vektör içermez. 3. U C = L {0} ve boy (L) = 1. 9

Boy(U U ) = 1 oldu u durumdadr. spat 1 U daki metrik dejenere oldu u için U da bir lightlike vektör vardr. Timelike vektör yoktur (Önerme.1.9). 3 Lightlike vektörler bulundu u için U C arakesiti bo³ küme de ildir. Tekrar Önerme.1.9 ile, e er iki lineer ba msz lightlike vektör olsayd bir timelike vektör var olurdu, ki bu imkanszdr. Dolaysyla, U daki tüm lightlike vektörler lineer ba mldr. 3 1 Lightlike vektörler var oldu undan alt uzay spacelike de ildir. Hipotez ile, U daki tüm lightlike vektörler lineer ba mldr ve Önerme.1.9 U nun timelike olmad n belirtir. Sonuç itibariyle, Önerme.1. U nun lightlike oldu unu söyler. Alt uzaylarn hiper düzlemler için olan daha yüksek boyutlu oldu u hallerde, R n deki Öklid metri ini kullanarak causal karakteri ayrt etmek mümkündür. Önerme.1.11. P, E n 1 in bir hiperdüzlemi olsun. v de Öklid metri i ile bir ortogonal vektör olsun. v bir timelike (srasyla spacelike, lightlike) vektör P bir spacelike (srasyla timelike, lightlike) düzlemdir. spat P, P = {(x 1,..., x n ) R n ; a 1 x 1 +... + a n x n = 0} olarak yazlrsa v vektörü (a 1,..., a n ) vektörü ile lineer ba ml olur. P ayn zamanda ³u ³ekilde de yazlr: P = {(x 1,..., x n ) E n 1; (x 1,..., x n ), (a 1,..., a n ) = 0 =< (a 1,..., a n ) >. (a 1,..., a n ) in causal karakteri v ninki ile ayndr, çünkü ki bu sonucu ispatlar. (a 1,..., a n ), (a 1,..., a n ) = a 1 +... a n = v, v, 10

E n 1 de hiperdüzlemler üzerine çal³lmaya devam edilecektir. Burada, hiperdüzleme ait bir normal vektörü dü³ünülsün ve bu vektörün normu Lorentz ve Öklid metri i ile ayr ayr hesaplanarak bir kar³la³trma yaplsn. Önerme.1.1. P spacelike veya timelike bir hiperdüzlem ve P =< v > ise, v = 1 iken, v e 1 olur, e altindeksi oldu unda hesaplama E n nin Öklid metri i ile yapld n gösterir. spat P = {(x 1,..., x n ) R n ; a 1 x 1 +... + a n x n = 0} ³eklinde yazlsn. Genel durumu bozmadan, v = (a 1,..., a n ) oldu u varsaylsn. a 1 +... a n = ϵ ve v, v = ϵ oldu unu bilinir. Burada, ϵ = 1 ise P timelike, ϵ = 1 ise P spaceliketr. v nin normu Öklid metri i ile hesaplansn. ϵ = 1 ise sonuç, v e = a 1 +... + a n 1 + a n a 1 +... + a n 1 a n = ϵ = 1. ³eklinde olur. E er ϵ = 1 ise ve v, v = 1 den, a n = 1 + a 1 +... + a n 1 1 olur. O halde a 1 +... + a n 1 = a n 1 ve v e = a 1 +... + a n 1 + a n = a n 1 1 elde edilir. Yansmalar (Öklid anlamndaki) ile E n 1 deki ortogonalli in ili³kilendirilmesi a³a daki gibidir. Bu ili³kilendirme E 1 de yaplacaktr. Önerme.1.13. E 1 Lorentz-Minkowski düzlemi dü³ünülsün. u E 1 ise u nun ortogonal bir vektörü C light konisine göre u nun bir yansmasdr ( ekil.). spat u = (x, y) olsun. ax by = 0 ise (a, b) u olur. u nun x = x 1 do rusuna göre yansmas e içindedir ve (y, x) tir. Do runun denklemi (y, x) noktasn sa lar, x.x 1 y.x = 0 olur. Sonuç olarak, (a, b) vektörü denklemi sa lar. 11

C C u v u v u v ekil. E 3 1te w nin ortogonal vektörleri: u(sol) spacelike ve v(sa ) timelike Bu bölümde son olarak, E n 1 in timelike vektörlerinin T kümesinde bir denklik ba nts tanmlanacaktr. u T için, u nun a³a daki küme ile verilen timelike konisi tanmlanr. C(u) = {v T ; u, v < 0}. Bu küme u C(u) oldu undan bo³ küme de ildir. Buna ek olarak T, C(u) ve C( u) nun ayrk birle³imidir: v T ise u, v = 0 olur ve bu nedenle v C(u) veya v C( u) dur. Bundan ba³ka, C(u) C( u) = dr. Timelike konilerin baz özellikleri a³a daki gibidir. Önerme.1.14. 1. u, v < 0 u ve v ayn timelike konide yatan iki timelike vektördür.. C(u) = C(v) u C(v)dir. spat 1. u, v < 0 ise u C(v) dir. u, v C(w) oldu u varsaylsn. w, w = 1 oldu u dü³ünülebilir. x, y < w > ve (a, b) R den, u = x + aw ve v = y + bw olsun. < w > bir spacelike alt uzay oldu undan, x, y x y ve u, v = ab + x, y ab + x y.( ) 1

olur. Fakat x, x < a and y, y < b dir. O halde x < a, y < b ve ( ) n sonucu olarak u, v < 0 olur.. u C(v) ise u, v < 0 olur, yani v C(u)dir.. ki Vektör Arasndaki Aç Bu bölümde, Lorentz-Minkowski uzaynda iki vektör arasndaki aç tanmlanacaktr. Lightlike vektörlerin normu sfr oldu u için sadece spacelike veya timelike iki vektör arasndaki aç tanmlanacaktr. Buna ek olarak, aç kavramnn geometrik yorumu da yaplacaktr. Tanm verilmeden önce, Öklid uzayndaki aç kavram ele alnacaktr. E n Öklid uzayndaki anahtar Cauchy-Schwarz e³itsizli idir. Bu e³itsizlik u, v E n ise ve u, v 0 iken u, v u v oldu unu söyler ve ancak u ve v lineer ba ml iseler e³itlik sa lanaca n belirtir. O halde, 1 u, v u v 1. olur. Bundan dolay bir tek φ [0, π] says vardr ve a³a daki ³ekilde verilir: cos φ = u, v u v. φ says u ve v arasndaki aç olarak adlandrlr. u ve v lineer ba ml ise φ açs 0 veya π dir ve e er u ve v ortogonal ise φ açs π/ olur. ki vektör arasndaki açnn di er özellikleri: E er bir vektörün yeri, di er lineer ba ml vektörler ile yönü ayn kalacak ³ekilde de i³tirilirse aç de i³mez ve izometriler açy de i³mez brakr. Bu durum beraberinde iki vektör arasndaki açnn sradaki yorumunu getirir. 13

Önerme..1. E n Öklid uzaynda iki birim vektör arasndaki aç, bu iki vektörün uçlarn birle³tiren birim çemberdeki ksa yayn uzunlu udur ( ekil.3). spat Bu önermenin ispat iki ³ekilde yaplacaktr. u ve v, E n de iki birim vektör olsun. u ve v arasndaki φ açs a³a daki ³ekilde verilir: cos φ = u, v u v = u, v. lk olarak, u, v = 1 olan a³ikar durum bir kenara braklrsa u = v ve φ = 0 olur. u, v = 1 ise v = u ve φ = π dir. Böylelikle yay parçasnn uzunlu u yarmçember olan π olur. u, v 1 oldu u varsaylsn. u ve v vektörlerinin uç noktalarn birle³tiren yay parças a³a daki ³ekilde parametrize edilir. Bu parametrizasyonda w, u ya ortogonal birim vektördür ve u ile v tarafndan gerilen düzlem içindedir. α(s) = cos(s)u + sin(s)w, s R. Aslnda, w vektörünün ifadesi ³u ³ekildedir: w = 1 ( u, v u + v). 1 u, v α(s 0 ) = v iken, yay parçasnn uzunlu u s0 0 α (s) ds olur. s için α (s) = 1 oldu undan uzunluk s 0 dr. s 0 n de eri ³u ³ekilde hesaplanr: α(s 0 ) = v = cos(s 0 )u + sin(s 0 )w dir, u ile çarplr ve u, v = cos(s 0 ) u, u = cos(s 0 ) elde edilir. cos φ = u, v oldu u için s 0 = φ dir. kinci ispat ³öyledir: Bir izometriden sonra, ³imdi de E de çal³lacaktr. u ve v, E de iki birim vektör olsun. ki vektörün de normlar 1 oldu undan, u = (cos θ, sin θ), v = (cos β, sin β) 14

gibi θ, β [0, π] açlarnn varl ndan söz edilir. β θ oldu u varsaylsn. u ve v arasndaki φ açs a³a daki ³ekilde hesaplanr: cos φ = u, v u v = cos θ cos β + sin θ sin β = cos(θ β) = cos(β θ). O halde, k Z olan baz k lar için φ + (θ β) = kπ veya φ + (β θ) = kπ olur. φ [0, π] ve θ, β [0, π] oldu undan φ + (θ β) [0, 3π] ve φ + (β θ) [ π, π] dir. φ [0, π] oldu u için ilk durumda k = 1 ve ikinci durumda k = 0 olur. Bu da φ = π + β θ veya φ = θ β oldu una i³aret eder. Birim çember α(θ) = u ve α(β) = v ile α(s) = (cos s, sin s) olarak parametrize edilir. u ve v vektörlerinin uçlarn birle³tiren birim çemberdeki ksa yayn uzunlu u α([β, θ]) veya α([θ π, β]) dr. α (s) = 1 oldu u için bu yay parçasnn uzunlu u: veya β θ π θ β α (s) ds = α (s) ds = θ β β θ π olur. ki durum için de sonuç elde edilmi³ olur. 1ds = θ β 1ds = π + β θ ki timelike vektör arasndaki açnn tanm ile devam edilecektir. Öklid uzaynda oldu undan bu tip vektörler için Cauchy-Schwarz e³itsizli inin bir tipine ihtiyaç vardr. Bu e³itsizlik iki timelike vektör arasndaki açnn tanmn yapmaya olanak sa lar. Teorem... u ve v iki timelike vektör olsun. O halde u, v u v (.1) dir, ancak ve ancak u ile v lineer ba ml oldu unda e³itlik sa lanr. spat u ve v lineer ba ml ise e³itlik sa lanr. imdi u ve v iki lineer ba msz vektör oldu u varsaylsn. Önerme.1.9 ile, u ve v bir timelike P =< u, v > düzlemini gererler. 15

v ( b) u (a) ekil.3 Öklid uzaynda iki birim vektör arasndaki aç Tekrar Önerme.1.9 ile, P de iki lineer ba msz lightlike vektör oldu u söylenir. Bu da, a ve b ye ba l e³itli in a³a daki gibi verildi i anlamna gelir: au + bv, au + bv = a u, u + b v, v + ab u, v = 0 dr ve iki çözümü vardr. Ayrca a 0 dr (aksi halde, bv vektörü lightlike olurdu). A³a daki ³ekilde a ya bölünürse: u, u + λ u, v + λ v, v = 0 olur ve λ ya ba l olarak iki farkl sonucu vardr. Özellikle, kuadratik denklemlerin diskriminant ³u ³ekilde pozitif olmak zorundadr: u, v > u, u v, v. (.) Bu da, e³itsizli in u ve v nin lineer ba msz oldu u durumda gerçekle³ti ini gösterir. Ayn timelike koni de yatan iki timelike vektör arasndaki aç, (.1) e³itsizli i kullanlarak tanmlanr. u ve v ayn timelike konide yatyorsa, u, v < 0 olur ve (.1) e³itsizli i u, v u v 1 1

oldu unu belirtir. Hiperbolik kosinüs fonksiyonu cosh : [0, ) [1, ) oldu undan 1 1 dir ve tek bir φ says vardr: cosh φ = u, v u v. Tanm..3. Ayn timelike konide yatan iki timelike vektör u and v arasndaki φ açs, ile verilen φ [0, ) saysdr. cosh φ = u, v u v Baz textlerde φ açs hiperbolik aç (O'Neill 1983, s. 144) veya timelike aç (Ratclie 00, s. 59) olarak adlandrlr. Örnek..4. Önerme.1.8, ortogonal timelike vektörlerin olmad n söyler. Fakat açs π/ olan timelike vektörler vardr: E 1 de u = (0, 1) ve v = (sinh(π/), cosh(π/)) timelike vektörleri arasndaki aç φ = π/ dir. Öklid uzaynda verildi i gibi (Önerme..1), iki timelike vektör arasndaki açnn yorumu da verilecektir. Vektörler pozitif bir say ile çarpld nda açnn de i³medi i a³ikardr. Bu nedenle, sadece birim timelike vektörler ele alnacaktr. Öncelikle, E n 1 Lorentz-Minkowski uzaynda 'çember' tanmlanmaldr. Çemberin düzlemsel bir e ri olmas gerekti inden, sadece E 1 Lorentz-Minkowski düzleminde çal³lacaktr. E 1 de iki 'farkl' birim çemberler vardr. Birim timelike vektörler kümesi ve birim spacelike vektörler srasyla: {u = (x, y) E 1; u, u = 1} = {(x, y) R ; x y = 1} ve {u = (x, y) E 1; u, u = 1} = {(x, y) R ; x y = 1} 17

dir. Bu kümelerden her birinin birim çemberler olarak adlandrlan iki eleman vardr. kisi ³u ³ekilde ayrt edilir: H 1 = {u E 1; u, u = 1, y > 0} = {(x, y) R ; x y = 1, y > 0} S 1 1 = {u E 1; u, u = 1, x > 0} = {(x, y) R ; x y = 1, x > 0} Bu durumda (timelike vektörler) çal³lrken H 1 çemberi kullanlacaktr. Teorem..5. Ayn timelike konide yatan iki birim timelike vektör arasndaki aç, bu iki vektörün uçlarn birle³tiren birim çemberdeki ksa yayn uzunlu udur ( ekil.4). spat u ve v ayn timelike konide yatan iki birim timelike vektör olsun. Genel durumu bozmadan, u, v H 1 oldu u varsaylsn. H 1 in tanmndan θ, β R açlar vardr ve ³u ³ekilde verilir: u = (sinh θ, cosh θ), v = (sinh β, cosh β). θ β oldu u varsaylsn. Tanm yardmyla u ve v arasndaki aç φ hesapland nda, cosh(φ) = u, v u v = u, v = (sinh θ sinh β cosh θ cosh β) = cosh(θ β) oldu u görülür. φ ve β θ negatif olmad için φ = β θ sonucuna varlr. Di er taraftan, u and v arasndaki H 1 uzunlu u a³a daki ³u ³ekilde hesaplanr. H 1 in parametrizayonu, α(θ) = u ve α(β) = v ile α(s) = (sinh(s), cosh(s)) dir. α (s) = 1 oldu undan aranlan uzunluk α: β α (s) ds = β θ θ olur ve sonuçtan görüldü ü üzere φ açsdr. 1.ds = β θ Uyar... Bu teorem, iki timelike vektör arasndaki açnn tanmnda, uygulamaya konulan durumda, iki timelike vektörün de ayn koniye ait olmak zorunda oldu unu do rular: E er vektörler farkl timelike konide iseler, birim timelike vektörlerin kümesinin iki farkl elemannda bulunmu³ olurlar ve bu durumda vektörlerin iki ucunu birle³tiren bir çemberden söz edilemez. 18

H 1 ( ) ( ) ekil.4 Lorentz-Minkowski uzaynda iki birim timelike vektör arasndaki aç Uyar..7. u = (sinh θ, cosh θ) olarak yazld nda θ says 'aç' anlamndadr. Aslnda θ, u ve (0, 1) arasndaki açdr: cosh(θ) = u, (0, 1) u (0, 1). ki timelike vektör arasndaki açnn tanm yaplr yaplmaz iki spacelike vektör arasndaki aç ile devam edilecektir. Bundan dolay ve Tanm..3 in ardndan, Cauchy- Schwarz e³itsizli inin iki spacelike vektör için gerekli bir tipine ihtiyaç vardr. ki vektör tarafndan gerilen düzleme ait causal karaktere ba l olarak, Cauchy-Schwarz e³itsizli- inin üç farkl tipi elde edilecektir. Teorem..8. u ve v E n 1 de lineer ba msz iki spacelike vektör ve P =< u, v > düzlemi u ve v vektörleri tarafndan gerilsin. 1. P düzlemi spacelike olur u, v < u v.. P düzlemi timelike olur u, v > u v. 3. P düzlemi lightlike olur u, v = u v. 19

spat Teorem.. ile devam edilecektir. λ R ve P(λ) = u + λv, u + λv = λ v + λ u, v + u olsun. P(λ) nn diskriminant = 4( u, v u v ) olur. 1. Ancak ve ancak P deki tüm vektörler spacelike oldu unda, P spacelike bir düzlem olur, P(λ) > 0 ifadesi her λ içindir. Bu, negatif olmak zorundadr ifadesi ile e³de erdir.. Ancak ve ancak iki lineer ba msz lightlike vektör var oldu unda, P timelike bir düzlem olur(önerme.1.9). Bu da, P(λ) = 0 denkleminin en az iki çözümü oldu u ve nn pozitif olmak zorunda oldu u anlamna gelir. 3. Ancak ve ancak P de lightlike vektörlerin bir 1-boyutlu alt uzay kesinlikle bulunuyor ise, P düzlemi lightlike olur(önerme.1.10). Bu da, P(λ) = 0 e³itli ininin tek bir çözümü oldu unu ve nn sfr olmak zorunda oldu unu söylemek ile e³de erdir. Devam edilmeden önce, (.) e³itsizli i gibi Teorem..8 in de yeni bir ispat yaplacaktr. lk olarak hatrlanmas gereken ³udur: E er (V n, g) bir n-boyutlu vektör uzayn metri i ve B ile B de V nin iki baz ise M B (g) = QM B (g)q t olur, burada M B (g) ve M B (g) g metri inin srasyla B ve B ne göre matris gösterimleridir. Q da B ile B arasnda de i³en bazlarn matrisidir. Özellikle, M B (g) ve M B (g) matrislerinin determinantlarnn i³aretleri ayn olmak zorundadr. E n 1 Lorentz- Minkowski uzaynda V ve u ile v vektörlerinin gerdi i bir P düzlemi olsun. Önerme.1. ile, P nin spacelike, timelike veya lightlike bir düzlem oldu u söylenir. E er B ve P nin ortonormal baz seçilirse M B (, ) nün determinant srasyla 1, 1 ve 0 olur. 0

E er B = {u, v} alnrsa M B (, ) nin determinant srasyla pozitif, negatif veya sfr olur. Fakat u, u M B (, ) = u, v u, v v, v dir ve determinant u, u v, v u, v olur. Bu determinant hesab u ve v vektörlerinin spacelike, timelike veya lightlike olu³larndan ba mszdr. u ve v nin spacelike oldu u durumda bu determinant ile ayn i³aretli olur (Teorem..8). u ve v vektörlerinin her ikisi de timelike ise P düzlemi timelike olmak zorundadr (Önerme.1.9) ve determinant negatiftir. Bu, (.) e³itsizli ini ispatlar. Spacelike bir düzlemi geren iki spacelike vektörün arasndaki açnn tanm a³a daki ³ekilde verilir. Tanm..9. u ve v spacelike bir düzlemi geren iki lineer ba msz spacelike vektör olsunlar. u ve v arasndaki aç, tek bir φ [0, π] saysdr ve dir. cos φ = u, v u v Aslnda bu durumda açy tanmlamaya gerek yoktur: ndirgenmi³ metrik ile verilen P =< u, v > düzlemi, pozitif tanml metrik ile verilen vektör uzaydr ve bu Öklid vektör uzayndaki açnn tanm olarak bililir. Örnek..10. u ve v, E 3 1 de ortogonal fakat E 3 te ortogonal olmayan, (z 0) spacelike düzlemini geren iki spacelike vektör olsun. Vektörler u = (0,, 1) ve v = (, 1, ) olacak ³ekilde seçilsin. Bu iki vektör arasndaki aç φ = π/ dir. u ve v arasndaki aç E 3 te hesaplanrsa, π/ den farkl bir sonuç elde edilecektir. cos φ = u, v u v = 4 45 0. 1

E n Öklid uzaynda oldu undan Önerme..1 de ayn sonuç elde edilmi³ti. Teorem..11. u ve v, spacelike bir düzlemi geren iki lineer ba msz birim spacelike vektör olsunlar. u ve v arasndaki aç u ve v vektörlerinin uçlarn birle³tiren, P =< u, v > düzlemindeki birim çembere ait ksa yayn uzunlu udur. P deki birim çember, P deki normu 1 olan vektörlerin kümesidir: UP = {w P ; w, w = 1}. Bu teoremin ispat yaplmayacaktr çünkü daha sonra Teorem.3.1de iki vektör arasndaki açnn izometriler ile de i³mez kald görülecektir. Çal³lan bu durumda, E n 1 in bir izometrisi u ve v vektörlerinin gerdi i varsaylan < (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0) > düzlemine uygulanabilir. O halde bu düzlem E ye izometrik olur ve ispat Önerme..1 deki ayn basamaklar izler. Bu kümenin ba lantl olmas, Öklid uzaynda oldu u gibi U P çemberinin tanmnn direkt bir sonucu de ildir. P nin z = 0 düzlemi oldu u özel bir durumda, UP birim çemberi E deki standart (Öklid) çemberidir. Fakat E 3 1 de ve genel bir spacelike P düzlemi için, U P Öklid anlamndaki bir çember de ildir: aslnda bu durum sadece P düzleminin z = 0 oldu u zaman gerçekle³ir. Örnek..1. u = (0,, 1) ve v = (1, 0, 0) E 3 1 de spacelike bir düzlemi geren iki spacelike vektör olsun. P = {x(0,, 1) + y(1, 0, 0) E 3 1;... = 1} = = {(y, x, x) E 3 1; y + 3x = 1} = {(y, x, x) E 3 1; olur ve P düzlemi içinde bir (an) elipstir. x (1/ 3) + y 1 = 1} Önerme..13. E n 1 in bir spacelike düzlemindeki spacelike birim vektörlerin kümesi ba lantldr. Aslnda bu bir (an) elipstir.

spat u, v E n 1, P spacelike düzlemi içinde iki birim spacelike vektör olsun. Bir ϕ : E n 1 E n 1 izometrisi ile ϕ(u) = e 1 = (1, 0,..., 0) ve ϕ(v) = e = (0, 1,..., 0) alnsn, o halde ϕ(p ) = e 1, e olur. UP birim çemberi ϕ(p ) üzerindeki ϕ(up ) birim çemberine ta³nr. Fakat ϕ(p ) deki çember Öklid anlamndaki çemberdir. ϕ bir an dönü³üm oldu undan, U P bir elips olmak zorundadr. imdi, bir timelike düzlem içinde bulunan iki spacelike vektör arasndaki açnn tanm yaplacaktr. Tanm..14. u ve v bir timelike düzlemi geren u, v > 0 gibi iki lineer ba msz spacelike vektör olsun. u ve v arasndaki aç tek bir φ [0, ) saysdr ve a³a daki gibidir. cosh φ = u, v u v. Teorem..15. u ve v bir timelike düzlemi geren u, v > 0 gibi iki lineer ba msz spacelike vektör olsun. u ve v arasndaki aç, bu vektörlerin uçlarn birle³tiren P =< u, v > düzlemindeki birim çembere ait ksa yayn uzunlu udur. spat P düzleminin sadece E 1 Minkowski düzlemi oldu u dü³ünülsün. E 1 deki birim spacelike vektörlerin kümesi ³öyledir: UP = {(x, y) R ; x y = 1}. Dolaysyla U P deki herhangi bir vektör (± cosh(t), sinh(t)) ³eklinde yazlr. O halde, u = (± cosh θ, sinh θ), v = (± cosh β, sinh β) de görüldü ü üzere bir θ ve β nn varl ndan söz edilir. u, v > 0 oldu undan, genel ifadeyi bozmadan, u ve v nin ilk koordinatlarnn pozitif oldu u varsaylabilir ( ekil.5). θ β oldu u varsaylsn. u ve v arasndaki aç a³a daki gibi hesaplanr: u, u = 1, v, v = 1 u, v = cosh θ cosh β sinh θ sinh β = cosh(θ β). cosh φ = u, v u v 3 = cosh(θ β).

Açnn tanm kullanlarak ve θ β 0 oldu undan, φ = β θ olur. imdi u ve v arasndaki UP uzunlu u hesaplanabilir. UP nin parametrizasyonu α(t) = (cosh(t), sinh(t)) dir. a = θ için, α(a) = u ve b = β için α(b) = v elde edilir. α (t) = α (t), α (t) = oldu undan dolay hesaplanan uzunluk: olur. L b a(α) = α (t) = (sinh(t), cosh(t)), b a α (t) dt = sinh (t) + cosh (t) = 1. β θ 1dt = β θ UP (b) (a) ekil.5 Timelike bir düzlemdeki iki spacelike vektör arasndaki aç.3 E n 1 in zometrileri Bu bölümde E n 1 Lorentz-Minkowski uzayna ait izometriler ile çal³lacaktr. f : E n 1 E n 1, E n 1 in bir izometrisi olsun, u, v E n 1 için f(u), f(v) = u, v dir. E n 1 e ait bir B = {e 1,..., e n } ortonormal baza göre f nin matrisi A olsun. g =, oldu unda G = M g (B, B) olur. u = (x 1, x,..., x n ) x ve v = (y 1, y,..., y n ) y 4

olsun. O halde, f(u) = M(f, B, B)x, f(v) = M(f, B, B)y ve f(u), f(v) = x T A T GA u, v = x T Gy olur. Çünkü bu, x, y için sa lanr. Dolaysyla A matrisi, 1 1 G =.... 1 iken, A t GA = G yi sa lar. Herhangi bir izometriye ait eigen de erler 1 veya 1 oldu u için, E n 1 in ortonormal bir baz ³u durumda seçilebilir: A ya kar³lk gelen matris, esas kö³egende sadece 1, 1 ve -lik kutular (her biri kö³egenle³tirilebilir olmayan) olan kutular ile olu³turuldu unda. -lik kutularn her biri bir vektör uzaynn izometrilerine kar³lk geldi i için, E 1 deki izometriler ile çal³mann problemleri ile devam edilecektir. f : E 1 E 1, E 1 de bir izometri olsun. B = {e 1, e } ortonormal baz ise, f nin matrisi A, A t GA = G yi sa lar, A = a c. A t GA = a b c d 1 0 0 1 b d a c, G = 1 0 0 1 b = a c ab cd. Dolaysyla, d ab cd b d a c = 1 b d = 1 ab cd = 0 olur. lk iki denkleme göre durumlar ayrt edilecektir. 5

1. a = cosh θ, b = sinh φ, c = sinh θ ve d = cosh φ. O halde üçüncü deklem ³öyledir: sinh(θ φ) = 0 Dolaysyla, θ = φ olur. A matrisinin gösterimi de a³a daki gibidir: A = cosh θ sinh θ sinh θ cosh θ, det(a) = 1. a = cosh θ, b = sinh φ, c = sinh θ and d = cosh φ. O halde üçüncü deklem ³öyledir: sinh(θ + φ) = 0 Dolaysyla, φ = θ olur. A matrisinin gösterimi de a³a daki gibidir: A = cosh θ sinh θ sinh θ cosh θ, det(a) = 1 3. a = cosh θ, b = sinh φ, c = sinh θ and d = cosh φ. O halde üçüncü deklem ³öyledir: sinh(θ + φ) = 0 Dolaysyla, φ = θ olur. A matrisinin gösterimi de a³a daki gibidir: A = cosh θ sinh θ sinh θ cosh θ, det(a) = 1 4. a = cosh θ, b = sinh φ, c = sinh θ and d = cosh φ. O halde üçüncü deklem ³öyledir: sinh(θ φ) = 0 Dolaysyla, θ = φ olur. A matrisinin gösterimi de a³a daki gibidir: A = cosh θ sinh θ sinh θ cosh θ, det(a) = 1 Teorem.3.1. f, E n 1 in bir izometrisi ise, f(u) ve f(v) arasndaki aç A(u) ve A(v) arasndaki aç ile ayndr. spat Sadece timelike vektörler için ispat yaplacaktr. E er u birim vektörü timelike ise, f(u) birim timelike vektör olur. Bundan ba³ka, u ve v ayn timelike konide yatyorsa, f(u), f(v) = u, v < 0

olur. u ve v arasndaki φ açs φ [0, ) iken ³öyledir: f(u) ve f(v) arasndaki aç θ dr, Sonuç olarak, φ = θ dr. u, v cosh φ = u v. f(u), f(v) cosh θ = f(u) f(v) = u, v u v = cosh φ. R n in her B baz için pozitif yönlendirilme yapld nda, bir f : R n R n izomor- zminin yönü korudu u hatrlanr, o halde f(b) pozitif yönlendirilmi³tir. Bu, f nin determinantnn pozitif oldu unu söylemek ile e³de erdir. E n 1 in izometrilerinin determinant +1 veya 1 oldu undan, determinant +1 olan izometriler yönü korurlar. B = {e 1,..., e n }, e n timelike vektör iken, E n 1 in bir ortogonal baz olsun. e n, (0,..., 0, 1) vektörü ile ayn timelike konide yatyorsa, B ye gelece e yönlendirilmi³ (future-directed) baz denir. Tanm.3.. f : E n 1 E n 1 bir izometri olsun. E er her ortogonal gelece e yönlendirilmi³ B baz için f(b) de gelece e yönlendirilmi³ bir baz oluyor ise, f nin timelike yönlendirmeyi korur denir. Önerme.3.3. f : E n 1 E n 1 bir izometri olsun ve A = (a ij ), E n 1 in bir ola an bazna göre f nin matris gösterimi olsun. > 0 f timelike yönlendirmeyi korur. spat f dönü³ümü timelike yönlendirmesini korur. Çünkü f(e n ), e n = f(e n ), (0,..., 0, 1) < 0 f(e n ) = n a in e n, i=1 f(e n ), e n =. Then f(e n ), e n < 0 if > 0 dr. 7

O 1 (n), E 3 1 in tüm vektör izometrilerin kümesini ifade etsin ve O 1 (3) ile gösterilsin. O 1 (3) = {A Gl(3, R); A t GA = G}. Sradaki dört küme ³u ³ekilde olacaktr: O ++ 1 (n) = {A = 1 (n) : > 0, det(a) = 1} O + 1 (n) = {A = 1 (n) : > 0, det(a) = 1} O + 1 (n) = {A = 1 (n) : < 0, det(a) = 1} O 1 (n) = {A = 1 (n) : < 0, det(a) = 1}. 8

3. ZOMETR K UZAYLAR ARASINDAK DUAL DÖNÜ ÜMLER 3.1 Dual Dönü³üm Bu bölümde önemli rol oynayacak n n-lik matrislerin iki kümesi a³a daki gibidir. SO(n) = {A GL(n, R) A t A = AA t = I n, det(a) = 1}, SO(n 1, 1) = {A GL(n, R) A t GA = AGA t = G, det(a) = 1}, buradaki G matrisi, G = I n 1 0 dir. Buradaki I n, n n-lik birim matristir. 0 1 Birinci küme, E n Öklid uzayndaki izometriler ile olu³turulmu³tur ve bu izometriler R n deki yönlendirmeyi korurlar. kinci küme olarak ifade edilen SO(n 1, 1), E n 1 Minkowski uzayndaki determinant 1 olan izometrilerdir (Bkz. 1.Bölüm). Bu ve bundan sonraki bölümde, n n-lik matrisler a³a da verilen A matrisi gibi kutulara bölünmü³ ³ekilde yazlacaktr, A = B D C burada 0dr. Buradaki B, (n 1) (n 1)-lik bir kare matris; C, (n 1) 1-lik bir sütun matrisi ve D bir satr matrisidir. Bu matriste, 0 oldu u için, X = {A SO(n); 0} ve Y = {A SO(n 1, 1); 0} kümeleri kullanlacaktr. X = {A SO(n); 0} ve Y = {A SO(n 1, 1); 0} kümeleri arasnda, f : X Y olacak ³ekilde bir dönü³üm tanmlanr ve a³a daki gibi ifade edilir: f : A f(a) = 1 (B 1 ) t C D 1, buradaki t üstindisi matristeki transpozdur. 9

imdi, f nin iyi tanml oldu u gösterilmelidir. Öncesinde, sradaki bir önerme ve iki lemma ispat edilecektir. Önerme 3.1.1. A X ise, f(a) Y olur. spat f(a) t Gf(A) = G ve f(a)gf(a) t = G oldu u ispatlanacaktr. A matrisi, SO(n) kümesinin içindedir. Bundan dolay A, A t A = AA t = I e³itli ini sa lar. Bu ifade, AA t = B D C Bt C t D t = BBt + CC t BD t + C DB t + C t DD t + = I oldu u anlamna gelir. Bu çarpm sonucunda elde edilen e³itlikler a³a daki gibi yazlr. BB t + CC t = I n 1 (3.1) BD t + C = DB t + C t = 0 (3.) DD t + = 1 (3.3) C = BDt ve C t = DBt (3.)den elde edilir. (3.1) kullanlarak, elde edilir. BB t + BDt DB t = B(B t + Dt DB t ) BB 1 = I B 1 = B t + Dt DB t E³itli in di er taraf ele alnd nda, 30

A t A = Bt C t D t B D C = Bt B + D t D B t C + D t C t B + D C t C + = I oldu u görülür. Bu çarpm sonucunda a³a daki e³itlikler yazlr. B t B + D t D = I n 1 (3.4) B t C + D t = C t B + D = 0 (3.5) C t C + = 1 (3.) D t = Bt C ve D = Ct B (3.5)ten elde edilir. (3.4) kullanlarak, B t B + Bt CC t B = (B t + Bt CC t )B B 1 B = I B 1 = B t + Bt CC t elde edilir. A matrisinin, A t A = AA t = I e³itli ini sa lad görülür. imdi, f(a) t Gf(A) = G ve f(a)gf(a) t = G oldu u ispatlanmaldr. f(a) t Gf(A) = = B 1 B 1 Dt C t 1 Dt C t 1 I 0 0 1 (B 1 ) t (B 1 ) t C D 1 C D 1 31

= B 1 (B 1 ) t Dt D C t (B 1 ) t + D B 1 C + Dt C t C a nn 1 a nn Bu çarpm sonucunda elde edilen e³itlikler ³u ³ekilde gösterilmelidir. B 1 (B 1 ) t Dt D = I n 1 (3.7) B 1 C C t C a 1 nn a nn + Dt = Ct (B 1 ) t + D = 0 (3.8) = 1 (3.9) (3.7)nin ispatnda, B 1 kullanlmaldr. (B t + Dt DB t = ( B t + D t B t )( a nn )(B + BDt D a ) Dt D nn a = nn B + BD t D ) Dt D = ( 4 B t B + a nn B t BD t D + a nn D t DB t B + D t DB t BD t D ) Dt D a 4 nn a nn (3.4) ve (3.3)ten B t B = I D t D ve DD t = 1 kullanlarak, oldu u görülür. = ( 4 I + D t D ) Dt D a 4 nn a nn = I B 1, (3.8)in ispatnda kullanlr. B 1 C a = (Bt + BtCCt a nn )C nn + Dt + Dt = Bt C + Bt CC t C 3 + Dt = Bt C 3 + Bt C 3 Bt C + Dt

(3.) ve (3.5)ten C t C = 1 ve D t = Bt C kullanlarak, elde edilir. = Bt C + Bt C 3 Bt C + Bt C 3 = 0 (3.9)un, (3.)dan elde edildi i açktr. CC t 1 = 1. f(a)gf(a) t çarpm a³a daki gibi yazlr. f(a)gf(a) t = (B 1 ) t = = (B 1 ) t C D 1 C D 1 I 0 0 1 B 1 Dt C t 1 B 1 (B 1 ) t B 1 CCt ( ) (B 1 ) t D t C DB 1 Ct DD t 1 Dt C t 1. Bu çarpm sonucunda elde edilen e³itlikler ³u ³ekilde gösterilmelidir. (B 1 ) t B 1 CCt = I n 1 (3.10) (B 1 ) t D t C a = DB 1 Ct nn a = 0 (3.11) nn DD t a 1 nn a nn = 1 (3.1) (3.10) un ispatnda B 1 kullanlr. 33

(B + CCt B a )(Bt + Bt CC t nn a ) CCt nn a = nn = ( B + C t CB )( B t + B t CC t ) CCt a nn a nn a nn = ( 4 BB t + a nn BB t CC t + a nn CC t BB t + CC t BB t CC t ) CCt a 4 nn a nn (3.1) ve (3.)dan, BB t = I CC t ve C t C = 1 kullanlarak, oldu u görülür. = ( 4 I + a nn CC t ) CCt a 4 nn a = I nn B 1, (3.11)in ispatnda kullanlr. DB 1 Ct ) = D(Bt + DtDBt Ct (3.4) ve (3.)den, B t B = I D t D ve C t = DBt kullanlarak elde edilir. DB t DD t DB t + DB t 3 = 0 (3.1)nin, (3.3)ten geldi i açktr. DD t 1 = 1. spatn tamamlanmas için, f(a) nn determinantnn +1 oldu u gösterilmelidir. Bunun için a³a daki iki lemmaya ihtiyaç vardr. Lemma 3.1.. A matrisi SO(n) kümesinde ise, 0 olmak üzere det(b) = 1 dir. 34

spat A matrisi a³a daki ³ekilde yazlr. A = B D C = B D BDt Bu matris, det(a) nn hesab için, iki matrisin çarpm ³eklinde de yazlabilir. = B 0 D 1 I D t 0 1 det(a) = det(b) 1 Sonuç olarak, bu durumda det(a) = 1 dir, o halde det(b) = olarak elde edilir., Lemma 3.1.3. A matrisi SO(n 1, 1) kümesinde ise, 0 olmak üzere det(b) 1 = 1 dir. spat A matrisi a³a daki ³ekilde yazlr. A = B C = B D D BDt Bu matris, det(a) nn hesab için, iki matrisin çarpm ³eklinde de yazlabilir. O halde, oldu u görülür. = B 0 D 1 I D t 0 1 det(a) = det(b) 1, Lemma 3.1. nin ispatnn devam için, det(a) = 1, det(b) = 1 ve Lemma 3.1.3 kullanlr. det(f(a)) = det((b 1 ) t ) 1 1 = det(b) = 1 35

f nin iyi tanml oldu unun ispatndan hemen sonra, 1 1 ve örten oldu u gösterilmelidir. Bunun için f 1 : Y X, a³a daki gibi tanmlanr. f 1 B D C = 1 (B 1 ) t C D 1 Önerme 3.1.4. f, 1 1 ve örtendir; f 1, f nin inversidir. spat f nin 1 1 ve örten olmas, f 1 in iyi tanml oldu u anlamna gelir. Çünkü, f f 1 = I Y ve f 1 f = I X. O halde, f f 1 (A) = I Y (A) and f 1 f(a) = I X (A). (B 1 ) t = B, B 1 = B t, B = (B t ) 1 = (B 1 ) t, C x D = C, x = D 1 = a x nn, C = C D = xd = 1 a n n D, x = 1 a n n f(a) ve f 1 (A) için örnek verilebilecek özel matrisler a³a daki gibidir. Örnek 3.1.5. 1. A = cos s sin s olarak alnan A matrisi SO() kümesine aittir. A X olmas sin s cos s için a = cos s 0 olmaldr. Yani, s ± π olur. f dual dönü³ümü ile, f(a) = 1 cos s 1 sin s sin s 1 = sec(s) tan(s) tan(s) sec(s) elde edilir. Dual dönü³üm ile elde edilen bu matris SO(1, 1) kümesine aittir, 1.Bölümden hatrlanacak olursa, SO(1, 1) = O ++ 1 () O + 1 () olarak ifade edilir. O halde θ R açsna ba l olarak f(a), 3

cosh(θ) sinh(θ) sinh(θ) cosh(θ) veya cosh(θ) sinh(θ) sinh(θ) cosh(θ) olarak yazlr. θ açsnn seçimi, cos(s) de erinin pozitif veya negatif olu³una ba ldr. lk durumda, θ açs cosh(θ) = sec(s) ve sinh(θ) = tan(s) e³itliklerini sa lamaldr. sec(s) tan(s) = 1 oldu undan, tek bir θ açsnn varl ndan söz edilir.. B = ± cosh t sinh t sinh t ± cosh t olarak alnan B matrisi SO(1, 1) kümesine aittir. f dual dönü³ümü ile, f(b) = 1 ± cosh t 1 sinh t sinh t 1 (t R) elde edilir, SO() kümesine aittir. Uyar 3.1.. f dönü³ümü lineer de ildir. f(a + B) f(a) + f(b) 37

4. DUAL DÖNÜ ÜMLER N GEOMETR K UYGULAMALARI 4.1 E 3 Öklid Uzaynda Görü³ Açs AP B sabit açs, E 3 üç boyutlu Öklid uzaynda P, A ve B noktalar ile verilsin. Bu açya bakld nda açnn görünümü görü³ noktasna göre de i³mektedir. Tanm 4.1.1. AP B açs, E 3 te bir sabit aç olsun. Görü³ noktas O olmak üzere, o AP B açs, OP AB bozulmu³ dört yüzlüsünün OP A ve OP B yüzleri arasnda kalan iki duzlemli aç olarak ifade edilsin. o AP B açsna, O görü³ noktasndan AP B açsnn görü³ açs denir. ekil 4.1'de Öklid uzayndaki bir görü³ açs incelenebilir. Uyar 4.1.. E n de (n 4) görü³ açs tanm, Tanm 4.1.1'deki gibidir. Z B A B A O P y X P ekil 4.1 Öklid uzaynda görü³ açs Aslnda, o AP B görü³ açs AP B nin P den geçen ve normali OP olan hiperdüzleme dik izdü³ümüdür, ekil 4.1'deki A P B açsna e³ittir. 38

Görü³ açs tanm yardmyla ekil 1.1'deki kutu ve e ik kutu resimleri incelenecektir. Dik eksenlerin görüs açlar bu konuda yardmc olacaktr. Bunun için, P noktasnda bir dik çat seçilsin. x OP A 1 A A 0 E P(1,0,0) A 1 A 0 y O Z ekil 4. o A 0 P A 1 görü³ açs Sekil 4.'de görüldü ü üzere, P- A 0 A 1 A dik eksenlerine O görü³ noktasndan baklsn. O görü³ noktas orijin olacak ³ekilde E 3 te O - x 0 x 1 x dik koordinat sistemi olu³turulsun. P = (1, 0, 0) olsun. P A 0 = (a 00, a 01, a 0 ) P A 1 = (a 10, a 11, a 1 ) P A = (a 0, a 1, a ), (a ij ) SO(3) olacak ³ekilde, o A i P A j (i,j=0,1,) görü³ açs; uj = (a j1, a j ) vektörleri arasndaki aç olarak verilir. ui = (a i1, a i ) ve 39

Burada, P - A 0 A 1 A dik eksenlerine O görü³ noktasndan bakld nda, matristen de görülece i gibi, üç görü³ açs elde edilir. P = (1, 0, 0) noktas seçildi i için görü³ açs tanmndan yola çklarak OP do rusunu normal kabul eden düzleme dik izdü³üm yaplacaktr. Bu düzlemin x = 1 düzlemi oldu u görülmektedir. o A 0 P A 1, o A 0 P A ve o A 1 P A dik izdü³ümler sonrasnda elde edilen üç görü³ açs olacaktr. Sekil 4.'de görüldü ü üzere, A 0 ve A 1 noktalarnn x = 1 düzlemine dik izdü³ümü ile A 0 ' ve A 1 ' noktalar elde edilir. P A 0 = (0, u 0 ) ve P A 1 = (0, u 1 ) vektörleri arasndaki aç, o A 0 P A 1 görü³ açsdr. Tanm gere i bu görü³ açsn olusturan iki vektör matristen de görülece i gibi u 0 = (a 01, a 0 ) ve u 1 = (a 11, a 1 ) vektörleridir. E er P noktas (0, 0, 1) seçilmi³ olsayd, z = 1 düzlemine izdü³üm yaplm³ olacakt. Bu durumda, (a ij ) SO(3) olacak ³ekilde, o A i P A j (i,j=0,1,) görü³ açs, u i = (a i0, a i1 ) ve u j = (a j0, a j1 ) vektörleri arasndaki aç olarak verilirdi. Yani, o A 0 P A 1 görü³ açsn olu³turan iki vektör, matristen de görülece i gibi, u 0 = (a 00, a 01 ) ve u 1 = (a 10, a 11 ) vektörleri olurdu. Burada P A 0 = ( u 0, 0) ve P A 1 = ( u 1, 0) olur. Örnek 4.1.3. P = (1, 0, 0) noktas ve A 0 = (1 + 1, 1, 0), A 1 = (1 + 1, 1, ), A = (1 1 3, 1 3, 1 3 ) noktalar yardmyla P noktasnda bir çat olu³turulsun. P A 0 = ( 1, 1, 0) P A 1 = ( 1 1,, ) P A = ( 1 3, 1 1 3, 3 ), ekil 4.3'te de görülebilen bu ortonormal çatya O noktasndan bakld nda görülebilecek üç görü³ açs a³a daki gibidir. A 0 = (1, 1, 0), A 1 1 = (1,, ), A = (1, 1 1 3, 3 ), u0 = ( 1, 0), u 1 = ( 1, ) ve u = ( 1 1 3, 3 ) oldu undan; 40

x OP A E P(1,0,0) A 1 A 0 y O A 0 A 1 z ekil 4.3 P A 0 A 1 A çats ve o A 0 P A 1 görü³ açs o A 0 P A 1 görü³ açsn, P A 0 = (0, u 0 ) = (0, 1, 0) ile P A 1 = (0, 1 u 1 ) = (0,, ) vektörleri olusturmaktadr ve açnn de eri cos θ = 1 5 θ = 11, 5 olur. o A 0 P A görü³ açsn, P A 0 = (0, u 0 ) = (0, 1, 0) ile P A = (0, u ) = (0, 1 1 3, 3 ) vektörleri olusturmaktadr ve açnn de eri cos θ = 1 θ = 45 olur. o A 1 P A görü³ açsn, P A 1 = (0, 1 u 1 ) = (0,, ) ile P A = (0, u ) = (0, 1 1 3, 3 ) vektörleri olusturmaktadr ve açnn de eri cos θ = 1 10 θ = 71, 5 olur. zdü³üm yaplacak olan düzlem de i³tirilerek ba³ka bir örnek verilsin. Örnek 4.1.4. P = (0,, 0) noktas ve A 0 = ( 4, 1, 7 ), A 1 = (, 1, 1 ), A = ( 1 11, 3 11, 1 11 )noktalar yardmyla P noktasnda bir 41

çat olu³turulsun. P = (0,, 0) noktas seçildi i için, görü³ açs tanmndan yola çklarak OP do rusunu normal kabul eden düzleme dik izdü³üm yaplacaktr. Bu düzlemin y = düzlemi oldu u görülmektedir. A 0 ve A 1 noktalarnn y = düzlemine dik izdü³ümü ile A 0 ' ve A 1 ' noktalar elde edilir. P A 0 = ( 4, 1 7, ) P A 1 = (, 1 1, ) P A = ( 1 11, 3 11, 1 11 ), Bu ortanormal çatya O noktasndan bakld nda görülebilecek üç görü³ açs a³a daki gibidir. A 0 = ( 4 7,, ), A 1 = ( 1,, ), A = ( 1 11,, 1 11 ), u0 = ( 4 7, ), u 1 = ( 1, ) ve u = ( 1 11, 1 11 ) oldu undan; o A 0 P A 1 görü³ açsn, P A 0 = ( 4, 0, 7 ) ile P A 1 = (, 0, 1 ) vektörleri olu³turmaktadr ve açnn de eri cos θ = 1 5 13 θ = 93, 17 olur. o A 0 P A görü³ açsn, P A 0 = ( 4, 0, 7 ) ile P A = ( 1 11, 0, 1 11 ) vektörleri olu³turmaktadr ve açnn de eri cos θ = 3 130 θ = 105, 5 olur. o A 1 P A görü³ açsn, P A 1 = (, 0, 1 ) ile P A = ( 1 11, 0, 1 11 ) vektörleri olu³turmaktadr ve açnn de eri cos θ = 3 10 θ = 11, 5 olur. Dolaysyla, seçilen herhangi bir noktada kurulan bir dik çatya ba³ka bir noktadan bakld nda, bu çatya ait üç görü³ açs elde edilir. Bu durum, bir kutuya bakld ndaki durumla benzerdir. Kutunun herhangi bir kö³esi ve o kö³eye ait üç ayrt dü- ³ünülürse, kutunun o noktasnda kurulmu³ bir dik çat görülebilir. Bu dü³ünce ile kutuya belli bir mesafeden bakld nda, görü³ noktasna göre, o kutunun en fazla üç 4