) 444400 say s ndaki rakamlar n yerleri de¼giştirilerek 7 basamakl kaç farkl say yaz labilir? Çözüm : Bu rakamlar n bütün farkl 7 li dizilişlerinin say s 7! olacakt r. Bu dizilişlerin 4!! soldan ilk rakam 0 olanlar n n say s 6! 7! 6! olur. Bu durumda, = 75 farkl say 4! 4!! 4! yaz labilir. Yan t: 75 ) 009x 408 = 009 Çözüm: 00 oldu¼guna göre x kaçt r? 009x 408 = 00 009 = 009(x ) 009 00 x = 00 oldu¼gundan x = 00 ve x = 0 bulunur. Yan t: 0 ) x + 8 = x x + 6 denkleminin gerçel say lardaki çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Verilen denklem şeklinde yaz labilir. (x + ) (x x + 4) = x x + 4 + (x + ) A = (x + ) ve B = x x + 4 dersek, verilen denklem A ve B say lar n n aritmetik ortalamas n n, bu say lar n geometrik ortalamas na eşit oldu¼gunu ifade eder. Bu ise ancak A = B durumunda do¼grudur. Buradan, x = ya da x = oldu¼gu görülür. Yan t: f; g
4) Düzlemde koordinat eksenlerine aralel ve koordinatlar tam say olan noktalardan geçen yollar kullanarak, (; ) ve (; ) noktalar na u¼gramadan en k sa yoldan (0; 0) noktas ndan (5; ) noktas na kaç farkl şekilde gidilebilir? Çözüm: (0; 0) noktas ndan (5; ) noktas na giden koordinat eksenlerine aralel bütün en 5 + k sa yollar n say s = 56 d r. Bu yollar aras nda (; ) den geçenlerin say s + + = 4 ve (; ) den geçmeyi (; ) den geçenlerin say s + + = dir. Dolay s yla 56 4 = 0 farkl şekilde gidilebilir. Yan t: 0 5) log x = log 0 x olmak üzere, 5 log x log x = log x+ 5 log x ise x kaçt r? Çözüm: 5 log x + 5 log x = log x+ + log x 5 log x ( + 5 ) = log x ( + ) Denklemin her iki taraf n log x ile bölersek, log x 5 = 5 9 = buradan ise log x = ve x = 0 = 00 elde edilir. Yan t: 00 5 6) a; b; c; d R ve a b c d 98 olmak üzere a b + c ifadesinin alabilece¼gi en d küçük de¼ger kaçt r? Çözüm : a b b c ve c d c 98 olu, buradan a b + c d c + c 98 = r c c 98 = 7 r! r c + c 98
bulunur. Gerçekten de (a; b; c; d) = (; 4; 4; 98) için verilen ifade oldu¼gundan, ifadenin 7 alabilece¼gi en küçük de¼ger 7 dir. Yan t : 7 7) a; b; c R olmak üzere f(x) = x 4 +ax +bx+c olinomu (x ) e kalans z bölünebildi¼gine göre f() kaçt r? Çözüm: Kalans z bölünme durumunda uygun bir d gerçel say s için x 4 + ax + bx + c = (x ) (x d) olu, eşitli¼gin her iki taraf nda x teriminin katsay lar eşit olaca¼g ndan, = d ve f() = d = 5 bulunur. Yan t: 5 8) A; B ve C farkl rakamlar göstermek üzere, ABC ve BCB üç basamakl, AB iki basamakl say lar için ABC + AB + A = BCB ise, A + B + C tolam kaçt r? Çözüm: ABC + AB + A = BCB eşitli¼ginden A + B + C = 0 B + 0 C ya da A = 90 B + 9 C; buradan da 7 A = (0 B + C) bulunur. A rakam n n, e kalans z bölünebilmesi gerekti¼ginden, bu rakam ; 6; 9 dan biri olmal d r. Istenen koşullar sa¼glayan rakamlar A = 6, B = 7 ve C = 4 olur. A + B + C = 7 dir. Yan t: 7 9) x; y; z ozitif gerçel say lar ve x + y + z = olmak üzere xy z + yz x + zx y ifadesinin en küçük de¼geri kaçt r? Çözüm: S = xy z + yz x + zx y dersek, S = x y z + y z x + z x = 4 + x y + y z z x + x + y + z y + y z + z x x y + x y + z x z y
buluruz. Her bir aranteze aritmetik-geometrik ortalama eşitsizli¼gini tatbik edersek S 4 + y 4 + z 4 + x 4 = 4 + y + z + x = 4 + = 6 dolay s yla S r 6 oldu¼gu görülür. Gerçekten de x = y = z = için S = 6 oldu¼gundan S nin en küçük de¼geri 6 d r. Yan t: 6 0) x + 4x + x = 0 denkleminin kökleri x ; x ve x oldu¼guna göre tolam kaçt r? x x + x x + x x Çözüm. Kökleri x ; x ve x olan denklem ( x) +4( x) +( x) = 0 yani x + 7x x + 4 = 0 d r. Buradan, kökleri x ; x ve x olan denklem ise + 7x x + 4x = 0 olarak elde edilir. Bu denklemin kökler tolam olur. Buradan, i = ; ; için bulunur. Yan t: 4 + + = x x x 4 x i x i = x i eşitli¼gi kullan larak x + x + x = x x x 4 = 4 ) Aşa¼g daki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz. x + y + z = 4 x + y + z = 8 xy = z 4
Çözüm: 8 = 4 8 eşitli¼gi, verilen denklemler cinsinden yaz l rsa, 8 = (x + y + z) x + y + z = (xy + yz + zx) = (z + yz + zx) = z(x + y + z) = 8z eşitli¼ginden z = bulunur. Bu ifade birinci ve üçüncü denklemlerde yerine yaz larak x+y = ve xy = elde edilir. Buradan, ve çözümleri bulunur. ( + 5 Yan t: ;! 5 ; ; x = + 5 x = 5 5 ; y = 5 ; y = + 5 ; +!) 5 ; ) x 4 + x + ax + x + = 0 denkleminin iki kökünün çar m ise a kaçt r? Çözüm: Denklemin kökleri x ; x ; x ; x 4 ve x x = olsun. Buna göre x x 4 = x x x x 4 = x x = 4 olur. Böylece x 4 + x + ax + x + = (x + x + )(x + qx + 4) Polinomlar n eşitli¼ginden; = x 4 + (q + )x + (7 + q)x + (4 + q)x + = q + = 4 + q elde edilir. Bu sisteminin çözümünden = ; q = bulunur. Böylece a = 7 + q = 9 olur. Yan t: 9 ) m R olmak üzere, x + (m )x + (m + m + ) = 0 denkleminin iki gerçel kökü x ; x olsun. x + x = 9 oldu¼guna göre m nin alabilece¼gi de¼gerleri bulunuz. 5
Çözüm. x ; x R oldu¼gundan 0 olmal d r. ve = (m ) 4(m + m + ) = m m 0 4 m 0 bulunur. Öte yandan, 9 = x + x = (x + x ) x x = (m ) (m + m + ) = m 8m + olu, m = ve m = 7 elde edilir. 4 m 0 olmas gerekti¼ginden m = bulunur. Yan t: 4) 7x + y = 88 denklemini sa¼glayan kaç (x; y) ozitif tam say ikilisi vard r? Çözüm: x = ; y = 7 bir çözüm oldu¼gu görülür. Denklemi 7(x ) + (y 7) = 0 olarak yazd ¼g m zda 7(x ) = (7 y) olaca¼g ndan, x = k ve buna ba¼gl olarak da y = 7 7k bulunur. x ve y nin ozitif olmas için k = 0; ; ; olmal d r. Buna göre, çözümleri elde edilir. Yan t: 4 (; 7); (4; 0); (7; ); (0; 6) 5) x + 4x + + x + 4x + = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: u = x + 4x + olarak al nd ¼g nda, eşitlik u + 8 + u = 4 şeklinde yaz l r. Bu eşitlikte her iki taraf u + 8 u ile çar ld ¼g nda u + 8 u = bulunur. Son iki eşitlikten u + 8 = ; dolay s yla u = bulunur. Buradan da u = x + 4x + = ve (x + ) = 0 olur. Bu durumda x = tek çözümdür. Yan t: f g 6) x; y; z R için x + y = z xy = z 7z + 4 6
oldu¼guna göre x + y nin alabilece¼gi en büyük de¼ger kaçt r? Çözüm: x + y = (x + y) xy = (z ) (z 7z + 4) = z + z 7 = 9 (z 6) = f(z) olu bu fonksiyonun en büyük de¼geri z = 6 noktas nda f(6) = 9 dur. gerçekten de z = 6 için Di¼ger yandan x + y = 5 xy = sisteminin çözümü var oldu¼gundan, f(z) = 9 (z 6) nin alabilece¼gi en büyük de¼ger f(6) = 9 olur. Yan t: 9 7) a = 7 olmak üzere cos a cos a cos a + cos 5a ifadesini hesalay n z. Çözüm: cos a + cos b = cos a + b cos a b eşitli¼ginden, cos a cos a cos a cos a cos a = = cos a + cos 5a cos 4a cos a cos 4a elde edilir. 7a = a + 4a = 7 = eşitli¼gi kullan larak cos a = cos 4a bulunur. 7 Buradan, cos a cos a cos a + cos 5a = cos a ( cos a) = sonucuna var l r. Yan t: 8) x(x ) = (x 6)(x) eşitli¼gini sa¼glayan tüm (x) olinomlar n bulunuz. Çözüm: Verilen eşitlikten (0) = 0; () = 0; :::; (5) = 0 elde ederiz. Demek ki olinom (x) = x(x )(x ):::(x 5)q(x) şeklindedir. Buradan, x [(x )(x ):::(x 6)] q(x ) = (x 6) [x(x )(x ):::(x 5)q(x)] 7
ve q(x ) = q(x) bulunur. Buna göre her n Z için q(n) = q(n ) = ::: = q(0); dolay s yla q(x) q(0) olinomunun sonsuz kökü vard r. O halde q(x) q(0) = 0; yani q(x) = q(0) = c olmak zorundad r. Böylece (x) = cx(x )(x ):::(x 5) dir (c sabit). Yan t: (x) = cx(x )(x ):::(x 5) 9) Çevre uzunlu¼gu 0 cm olan ABC ikizkenar üçgeninin tabana ait yüksekli¼gi jaij = 0 cm oldu¼guna göre jbcj taban uzunlu¼gu kaçt r? Çözüm: jabj = jacj = b; jbcj = a olsun. O zaman, ve eşitliklerinden a = 5 bulunur. Yan t: 5 br b ( a ) = (b b + a = 0 a )(b + a ) = 00 0) Şekilde ABC dik üçgen olmak üzere m( b A) = 90 ; m( b B) = 0 ve iç te¼get çemberin yar ça r = 5 cm ise jbcj kaçt r? Çözüm: jbcj = a olsun. O zaman jacj = a ; jabj = a olur. Buradan, a + 0 a = a + r = a + 0 ve a = Yan t: 0 elde ederiz. 8
) tan(x Çözüm: tan(x 4 ) sin(x + ) = sin(x + ) denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Buradan, x 4 = k + ( x = k 4 + 6 bulunur. k Yan t: 4 + 6 : k Z ) sin x = cos x olu her iki taraf sin x ile bölersek 4 tan(x 4 ) = cot(x) = tan( x); k Z ve x) ) Verilen bir ABC üçgeninin A köşesinden AH yüksekli¼gi ve AD kenarortay çiziliyor. jabj 6= jacj ve m(\bah) = m(\dac) ise m( [BAC) kaçt r? Çözüm: Şekildeki gibi, üçgenin çevrel çemberini çizi AH ve AD do¼gru arçalar n, çevrel çemberi kestikleri E ve F noktalar na kadar uzatal m. Daha sonra da EF do¼gru arças n çizelim. m(\bah) = m(\dac) oldu¼gu için m( BE) _ = m( F _ C); dolay s yla da EF == BC: m( [AEF ) = 90 oldu¼gu için AF ça olur. AF ça n n üzerindeki D noktas BC yi ortalad ¼g için çemberin merkezidir (aksi halde m(\adb) = 90 olurdu). BC nin ça olmas ndan dolay m( [BAC) = 90 olur. Yan t: 90 ) sin x + sin x + sin x = denkleminin [0; ] aral ¼g ndaki çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: sin x = ( cos x) ve sin x = ( cos 6x) eşitliklerini denklemde yerine yazarsak cos x + cos 6x + cos x = 0 elde ederiz. cos + cos = cos + cos formülünden cos 4x: cos x + cos x = 0 9
ve buradan cos x (cos 4x + cos x) = 0 olur. O halde ve böylece x = ; 4 ; 4 ; 6 ; 5 6 olur. Yan t: ; 4 ; 4 ; 6 ; 5 6 cos x: cos x: cos x = 0 4) Verilen bir ABC dik üçgeni için, A köşesinden çizilen AD aç ortay n n AC hiotenüsüne oran oldu¼guna göre jbcj 6 jabj oran kaçt r? Çözüm: jacj = b, jadj = aç lara x denirse, jabj = b cos x = b 6 ve eşit olan b 6 cos x eşitli¼gi elde edilir. Buradan, b 6= 0 oldu¼gu için, 6 cos x = cos x ) 6( cos x ) = cos x Böylece, 6 cos x cos x 6 = 0 olur. cos x = 7 4 6 ve b cos x 6 = jabj > 0 oldu¼gundan cos x = 6 olarak bulunur. Buna göre jabj = b ; dolay s yla da jbcj = b olur. Buradan da jbcj jabj = olarak elde edilir. Yan t: 5) x + y = 5 çemberinin A(; 4) noktas ndaki te¼geti üzerinde bulunan B(7; ) noktas n C( ; 4) noktas na birleştiren do¼gru ile çemberin kesim noktas D olsun. Çemberin D noktas ndaki te¼getinin AB do¼grusunu kesti¼gi K noktas n n koordinatlar n bulunuz. 0
Çözüm: AD do¼gru arças n n orta dikmesi çemberin merkezinden ve AKD ikizkenar üçgeninin tee noktas ndan geçer. A ve C noktalar O başlang ç noktas na göre simetrik oldu¼gundan AC do¼gru arças ça olur. O yüzden ADC dik aç, dolay s yla da OK == CB olur. Buna göre K noktas AB do¼gru arças n n orta noktas olu koordinatlar (5; 5 ) olacakt r. Yan t: K = (5; 5 ) 6) Üçgenin bir köşesinden çizilen yükseklik ve kenarortay bu aç y eşit arçaya bölerse, bu üçgenin aç lar kaçar derecedir? Çözüm: Şekilde [CD] yükseklik, [CM] kenarortay olsun. M noktas ndan [CB] ye çizilen dikme [M K] olsun. Verilenlerden, ACD; MDC ve MKC dik üçgenlerinin eş oldu¼gu görülür. Buradan, jmbj = jmkj; ve m( \KBM) = 0 ; dolay s yla m(\dcb) = 60 ; m( [ACB) = 90 ; m( [CAB) = 60 elde edilir. Yan t: 0 ; 60 ; 90 7) Bir ayr t n n uzunlu¼gu cm olan bir dikdörtgenler rizmas n n tolam yüzey alan 5 cm ve tüm ayr tlar n n uzunluklar tolam 6 cm ise bu dikdörtgenler rizmas n n hacmini bulunuz. Çözüm: Bu dikdörtgenler rizmas n n ayr tlar n n uzunluklar n x; y; z ile gösterirsek, verilenleri (xy + xz + yz) = 5, 4(x + y + z) = 6 ve x = şeklinde ifade edebiliriz. Buradan y + z = 7 ve yz = bulunur. O halde y = ve z = 4, veya y = 4 ve z = elde edilir. Böylece hacim 4 = 4 cm olur.
Yan t: 4 cm 8) Yüksekliklerinin uzunluklar ; 5 ve 0 cm olan bir üçgenin alan kaç cm dir? Çözüm: Üçgenin kenar uzunluklar a; b; c cm olsun. O zaman a = 5b = 0c buradan da a = 5x; b = 4x; c = x oldu¼gunu görüyoruz. Dolay s yla üçgen 5 0 dik üçgen olu dik kenarlar 5 cm ve 0 cm dir. Buna göre alan = 50 cm olarak bulunur. Yan t: 50 cm 9) Bir ABC üçgeninin BC kenar nda al nan bir P noktas için ise m( [ACB) kaçt r? jp Cj = jbp j; m( [ABC) = 45 ; m( [AP C) = 60 Çözüm: C nin AP do¼grusuna göre simetri¼gi C olsun. Bu durumda jc P j = jcp j = jbp j ve m( \C P B) = 80 m( \AP C ) m( [AP C) = 60 olur. C BP üçgeninde, m( \C P B) = 60 ve jc P j = jbp j oldu¼gu için dik üçgendir ve BA do¼grusu C BC aç s n n aç ortay d r. Ayr ca P A do¼grusu da C P C aç s n n aç ortay d r. O yüzden A noktas C P; P C ve C D do¼grular na ayn uzakl kta olu P C D aç s n n da aç ortay üzerindedir. Buradan, m( [ACB) = m( \AC P ) = [80 m( \BC P )] = 75 bulunur. Yan t: 75 0) 4 düzlem uzay en çok kaç arçaya böler? Çözüm: düzlem uzay en çok 8 arçaya böler. 4:düzlemin her bir arças uzay n yeni bir aças n belirler. Paralel olmayan farkl iki düzlemin arakesiti do¼gru oldu¼gu için, 4:düzlemin
bölündü¼gü arçalar n say s, do¼grunun düzlemi böldü¼gü en fazla arça say s kadar, yani 7 dir. Buradan, 4 düzlemin uzay en fazla 8 + 7 = 5 arçaya bölebilece¼gi görülür. Gerçekten de x = 0; y = 0; z = 0 koordinat düzlemleri ve x + y + z = düzlemi uzay 5 arçaya böler. Yan t: 5 ) Z 0 + x dx + Z x dx ifadesini hesalay n z. Çözüm: F (x) = + x ; 0 x ve G(x) = x ; x fonksiyonlar birbirinin tersi oldu¼gundan, gra kleri y = x do¼grusuna göre simetrik olu bu nedenle şekilde görülen A ve B alanlar eşittir. Böylece istenen tolam taral dikdörtgenin alan olu olarak bulunur. Yan t: ) ln Z e x dx integralini hesalay n z. 0 Çözüm: u = e x dönüşümü ya lacak olursa u + = e x den udu = e x dx = (u + )dx ve buradan da dx = udu ç kar. Buna göre verilen integral (u + ) Z 0 u (u + ) du
integraline dönüşür ve de¼geri Z 0 u Z (u + ) du = 0 ( (u + ) )du = (u arctan u)j = ( 0 4 ) olarak bulunur. Yan t: (YEDEK ) Aşa¼g daki denklem sisteminin tam say çözümlerinin kümesini bulunuz. x xy + y = 9 x xy + y = 7 Çözüm: Ilk eşitlik (x + y) = 9 + xy ve ikincisi x + y = 7 + xy şeklinde yaz ld ktan sonra ikinci eşitlik ile çar l ilkine eklendi¼ginde (x + y) (x + y) + = (x + y ) (x + y ) = 0 x+y = için xy = 6 olu buradan (x; y) çözümleri ( ; ) ve (; ) ; benzer şekilde x+y = için xy = 5 olu, buradan tam say çözümünün olmad ¼g görülür. Yan t: f( ; ) ; (; )g (YEDEK ) x 0; i için sin x sin x x + cos ( 4 x ) + sin x x = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Yar m aç formüllerinden cos ( 4 oldu¼gu kullan larak denklem sin x x ) = + cos( sin x x x) = + sin x + sin x + sin x x = 4
şeklinde yaz l r. E¼ger sin x sin x ise, sin x = ve x = x sin x sin x = ve 0; x x = elde edilir. Bu denklemin i tek çözüm x = dir. Yan t: n o olur. E¼ger sin x < sin x x ise, aral ¼g nda hiç çözümü olmad ¼g ndan (YEDEK ) Bir üçgenin kenar uzunluklar s ras yla ; 5 ve 6 br ise üçgenin çevrel çemberinin yar ça n n iç te¼get çemberinin yar ça na oran kaçt r? Çözüm: Üçgenin çevrel çemberinin yar ça R; iç te¼get çemberinin yar ça r; kenar uzunluklar a; b; c ve alan S olsun. = a + b + c olmak üzere ve R = abc 4S r = S formüllerini kullanarak R r = abc 4S ve S = 7:4::; böylece R r = 7::5:6 4:7:4: = 45 6 buluruz. Yan t: 45 6 5