4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b m m mn n m sisteme Doğrusal Denklem Sistemi denir. Burada a ij ve b j ler reel sabitlerdir. Denklem Sistem: Matris Formunda Doğrusal denklem sistemi matris formunda, A x=b şeklinde yazılır. A a a L a n b x a a L a b x b = x = L L L L M M am am L amn bm xn n = A, m n boyutlu matris, b, m boyutlu vektördür. Doğrusal denklem sisteminin çözümü, n boyutlu x bilinmeyen vektörüdür. [ AMb] Genişletilmiş Matris a a L an. b a a L a. b n =..... M am am L amn. bm
Doğrusal Denklem Sistemlerinin Tipleri Doğrusal Denklem Sistemleri.Homojen olmayan denklem sistemleri, b 0.Homojen denklem sistemleri, b=0 Çözüm Sayısı A x=b, m denklem n değişkenden oluşan bir sistem olsun:. Sistem tek bir çözüme sahiptir, (tutarlı sistem): r(a)=r(a:b)=n A 0. Sistem sonsuz sayıda çözüme sahiptir, (tutarlı sistem): r(a)=r(a:b)<n A = 0 3. Sistem çözümsüzdür, (tutarsız sistem): r(a)<r(a:b) A = 0 Çözüm Sayısının Geometrik Anlamı İki Boyut. x + y = 3. x + y = 3 3. x + y = 3 x y = x + y = 6 x + y = A 0 A = 0 A = 0 Yukarıdaki üç sistemin grafikleri Çözüm Sayısının Geometrik Anlamı: Genel olarak n-boyutlu denklem sisteminde A = 0 ise, a. sistemin çözümü yoktur b. sistemin sonsuz çözümü vardır. n=3 için denklem sistemi: ax + a x + a3 x3 = b a x + a x + a x = b a x + a x + a x = b 3 3 3 3 33 3 3 Her bir denklem x x x 3 -üç boyutlu uzayda birer düzlem tanımlar.
Çözüm Sayısının Geometrik Anlamı: Sistemde A 0 ise üç düzlem sadece bir noktada kesişir. Bu nokta sistemin tek çözümüdür. Çözüm Sayısının Geometrik Anlamı: Sistemde A = 0 ise otaya çıkabilecek üç durum söz konusudur: a. Düzlemlerin her hangi ikisi ya paraleldir ya da çakışıktır. i. İki düzlem paralel ise üç düzlemin ortak noktası yoktur. Sistem çözümsüzdür. ii.iki düzlem çakışık ise üçüncü düzlem ile ara kesitleri bir doğrudur. Sonsuz çözüm vardır. Çözüm Sayısının Geometrik Anlamı: b. İki düzlemin arakesit doğrusu üçüncü düzleme ya paraleldir ya da üçüncü düzlem ile çakışıktır. i. Ara kesit doğrusu üçüncü düzleme paralel ise düzlemleri ikişerli arakesit doğruları paraleldir. Sistem çözümsüzdür. ii.ara kesit doğrusu üçüncü düzlemin üzerinde ise, sonsuz çözüm vardır. Çözüm Sayısının Geometrik Anlamı: c.üç düzlem ya birbirine paraleldir ya ikisi çakış üçüncüye paraleldir ya da üç düzlem çakışıktır. i.üç düzlem paralel ise sistem çözümsüzdür. ii. İki düzlem çakışık üçüncüye paralel ise sistem çözümsüzdür. iii.üç düzlem çakışık ise sonsuz çözüm vardır. 3
Asal Determinant r(a)=r olmak üzere; r<m=n ya da m n ise ters matris ya da Cramer yöntemi aşağıda verilen tanımlar kullanılarak uygulanabilir. Tanım: A matrisinden seçilen determinantı sıfırdan farklı r r boyutlu bir kare alt matrisin A determinantına sistemin bir asal determinantı denir ve r ile gösterilir. Determinant içinde kalan katsayılara ait bilinmeyenlere asal bilinmeyen ve denklemlere de asal denklemler denir. Artırılmış Asal Determinant Tanım: Sistemin asal determinantı r olsun. A matrisinin asal determinantında yer almayan satırlarından biri r+-inci satır ve bu satıra ait sabiti ise b vektörünün r+-inci elemanı olarak eklenmesi ile elde edilen r+ boyutlu kare matrisin determinantına ise artırılmış asal determinant ya da karakteristik determinant denir. Sistemin Çözümü Tanım: A matrisinin asal determinantında yer almayan satır sayısı m-r olduğundan sistemin karakteristik determinant sayısı her r için m-r adet olacaktır. a K a r b a K ar b r+ = K K K K ar K arr br a( r ) K a ( r ) b + + r r+ Teorem: Sistemin çözümlü olabilmesi için gerek ve yeter koşul sistemin artırılmış determinatlarının hepsinin sıfır olmasıdır. Çözüm Yöntemleri.Matrisler ile çözüm a. Gauss eliminasyon (Echelon matris) b. Ters matris. Determinantlar ile çözüm (Cramer yöntemi) 4
[ A b] Gauss Eliminasyon ile Çözümü Elemanter işlemlerden sonra genişletilmiş matrisin genel yapısı: Echelon matris a a K a r K a n. b * * * * 0 a K ar K an. b........ * * * M = 0 0 K arr K arn. br * 0 0 K 0 K 0. b r+........ * 0 0 K 0 K 0. b m Tek Çözümlü Sistem. Sistem tek bir çözüme sahip ise r=n olur: r(a)=r(a:b)=n Elemanter işlemlerden sonra genişletilmiş matrisin genel yapısı: a a K a r. b * * * 0 a L ar. b...... * * : = 0 0 K arr. br 0 0 K 0. 0...... 0 0 K 0. 0 [ A b] Çok Çözümlü Sistem.Sistem çoklu çözüme sahip ise r<n olur: [ A b] r(a)=r(a:b)=r Elemanter işlemlerden sonra genişletilmiş matrisin genel yapısı: a a K a r K a n. b * * * * 0 a K ar K an. b........ * * * M = 0 0 K arr K arn. br 0 0 K 0 K 0. 0........ 0 0 K 0 K 0. 0 Çözümsüz Sistem 3.Sistem çözümsüz ise r<m olur: r(a)=r ve r(a:b)>r Elemanter işlemlerden sonra genişletilmiş matrisin genel yapısı: a a K a r K a n. b * * * * 0 a K ar K an. b........ * * * M = 0 0 K arr K arn. br * 0 0 K 0 K 0. b r+........ * 0 0 K 0 K 0. b m [ A b] 5
Ters Matrisler ile Çözümü. Kare sistem m=n a. Ax=b doğrusal denklem sisteminin katsayılar matrisinin (boyutu n n) tersi A - varsa çözüm vektörü: A - Ax= A - b x= A - b Ters Matrisler ile Çözümü b. Eğer A = 0 ise A - bulunamaz. r(a) ve r(a:b) hesaplanmalıdır. i. r(a)=r(a:b)=r ise n-r parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. r r boyutlu bir alt matrisin (A ) tersi alınarak çözülür. ii. r(a) r(a:b) ise çözüm yoktur. Ters Matrisler ile Çözümü. Dikdörtgen sistem m>n Katsayılar matrisinin (boyutu m n) tersi A - bulunamaz: r(a) ve r(a:b) hesaplanmalıdır. a. i.r(a)=r(a:b)=n ise m-n parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. n n boyutlu bir alt matrisin (A ) tersi alınarak çözülür. ii.r(a)=r(a:b)=r (r<n), ise m-r parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. r r boyutlu bir alt matrisin (A ) tersi alınarak çözülür. b. r(a) r(a:b) ise çözüm yoktur. Ters Matrisler ile Çözümü 3. Dikdörtgen sistem m<n Katsayılar matrisinin (boyutu m n) tersi A - bulunamaz: r(a) ve r(a:b) hesaplanmalıdır. a. i.r(a)=r(a:b)=m ise n-m parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. m m boyutlu bir alt matrisin (A ) tersi alınarak çözülür. ii.r(a)=r(a:b)=r ise (r<m), n-r parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. r r boyutlu bir alt matrisin (A ) tersi alınarak çözülür. b. r(a) r(a:b) ise çözüm yoktur. 6
Determinantlar ile Çözümü Doğrusal denklem sistemlerinin determinantlar kullanılarak gerçekleştirilen çözümü CRAMER YÖNTEMİ olarak adlandırılır. Genellikle m=n olan sistemlere uygulanır. Bazı ara işlemler ile dikdörtgen sistemlere de uygulanabilir. Determinantlar ile Çözümü Teorem (Cramer Yöntemi): Denklem sayısı n ve bilinmeyen sayısı n olan bir homojen olmayan denklem sistemi için eğer, A 0 ise sistemin tek bir çözümü: x = A A, x = A A,, n x n = A A vardır. Burada A i matrisleri i-inci sütun yerine sabitler sütunun konulması ile elde edilmiştir. HOMOJEN DENKLEM SİSTEMLERİ Teorem: Homojen doğrusal denklem sistemleri daima sıfır çözümü denilen; x = 0, x = 0, K, x = 0 n bir çözüme sahiptir. Sıfır olmayan bir çözüm ancak ve ancak A matrisinin rankı, r(a)=r, bilinmeyen sayısı n değerinden küçük r<n ise vardır. HOMOJEN DENKLEM SİSTEMLERİ GEOMETRİSİ: İki Boyut Homojen denklem sistemi n= için a x + a x = 0 a x + a x = 0 Bu iki denklem orijinden geçen birer doğruyu belirler. İki durum söz konusudur: a. Doğrular sadece orijinde kesişir (sıfır çözüm) b. Doğrular çakışıktır (sonsuz çözüm) 7
HOMOJEN DENKLEM SİSTEMLERİ GEOMETRİSİ: İki Boyut HOMOJEN DENKLEM SİSTEMLERİ ÇÖZÜMLER Teorem: Bir kare m=n homojen doğrusal denklem sistemi ancak ve ancak katsayılar matrisi tekil A = 0 ise sonsuz çözüme sahiptir. Teorem: Bir homojen doğrusal denklem sisteminde eğer kare m<n ise sonsuz çözüm daima vardır. Rank ve boyutlar için mümkün durumlar a. r=m=n için tek çözüm sıfır çözümdür. b. r=n<m için tek çözüm sıfır çözümdür. c. r=m<n için sonsuz çözüm vardır. d. r<m,n için sonsuz çözüm vardır. 8