3. ÖZDEĞERLER VE ÖZVEKTÖRLER Özdeğerler ( karakteristik değerler) ve özvektörleri (karakteristik özvektörler), fiziksel bir sistemin sahi olabileceği özel değerlerde nasıl davrandıklarını belirlemek için önemlidir. Bu değerler sisteme ait özel bir enerji, özel bir frekans değeri, dalgaların girişimi kuvvet dengesinin sağlandığı bir duruma ait olabilir. Özvektörler ise, fiziksel sistemin sahi olduğu özdeğerlerdeki (örneğin bir dalga) fonksiyonları olabilir. Özdeğerler ve özvektörler, diferensiyel denklemler içeren denklem sistemlerinin çözümlerinde, sınır-değer roblemlerinde ortaya çıkabilir. Bu tür denklemlere, kuantum mekaniğinde elektriksel bir otansiyel içinde bulunan bir arçacığın enerjisini hesalarken, elastik çarışma roblemlerinde, akışkanlar mekaniğinde, titreşim yaan cisimlerin hareketlerinde sıkça karşılaşılır. Titreşim yaan bir sistemin doğal frekansı ile dışarıdan uygulanan sürücü kuvvetin frekansı birbirine eşit yakın olması sistemin kararlılığı açısından malzemelerin elastik özelliklerinin incelendiği durumlarda, şekil bozukluklarının başladığı noktaların belirlenmesinde özfonksiyonların alacağı özdeğerler önemli olmaktadır. Aşağıda, ikinci dereceden homojen bir diferensiyel denklem ve bağlı durumları verilmektedir:.c.b 5 C œ! ß CÐ!Ñ œ!, C œ! (3.1) Yukarıdaki denklemde B-bağımsız değişken, C- B e bağlı değişken, 5 bir arametredir. Bu diferensiyel denklemin analitik çözümünden C fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir: CÐBÑ œ + sinð5bñ, cos Ð5BÑ (3.2) Denklem (3.1) deki ikinci dereceden diferensiyel denklemin çözüm fonksiyonun + ve, gibi iki tane keyfi sabit vardır. Bu keyfi sabitleri, CÐ!Ñ œ! œ + sinð!ñ, cosð!ñ den, œ! ve C (") œ! œ + sinð5 1 Ñ + Á! ve sinð5ñ œ! dan 5 œ 81ß 8 œ "ß ß $ß ÞÞÞ (öz)değerlerini aldığında CÐBÑ fonksiyonu bağlı durum koşullarını sağlamış olur. 5 arametresi CÐBÑ fonksiyonun özel değerler almasını sağlayan karakteristik özdeğerdir. 3.1. ÖZDEĞER PROBLEMİ Uygulamalı matematik roblemlerinin bir çoğunda denklem (3.3) te olduğu gibi matris formunda verilen çizgisel denklem sistemi, + "" + " + "$ B" B" ' + " + + $ B œ B ' (3.3a) + + + B B $" $ $$ $ $ ' şeklinde olsun. Bu denklem sisteminin sağ tarafını - gibi skaler bir nicelikle çartığımızda + "" + " + "$ B" 1 0 0B" + " + + $ B œ - 0 1 0 B (3.3b) + + + B B $" $ $$ $ 0 0 1 $ yazılabiliyorsa + "" + " + "$ B" - 0 0B" + " + + $ B = 0-0 B (3.4) + + + B B $" $ $$ $ 0 0 - $ elde edilir. Genel olarak yukarıdaki denklemleri daha kısa formda EBœ-MB (3.5a) ( E-M) B (3.5b) şeklinde de yazılabilir. Denklem (3.5) deki E gerçel ve simetrik katsayılar matrisini, B bağımsız değişkenlerin oluşturduğu sütun matrisini, - skaler nicelik ve M birim matrisi göstermektedir. Denklem (3.5) de B sıfır olamayacağına göre E-M (3.5c) 1
olmalıdır. Bu ifade özdeğer roblemidir. Denklem (3.5b) ye karakteristik denklem, - ya karakteristik değer özdeğer ve - özdeğerlerine göre değer alan B değerlerine ise karakteristik fonksiyon özvektör özfonksiyon denir. Örnek 3.2. Matris eşitliğinin özdeğer ve özvektörlerinin hesalanması. % " 0 B" 1 0 0B" 0 " B = - 0 1 0 B 0 0 " B 0 0 1B $ $ % - " 0 B" 0 - " B 0 0 "-B $ Yukarıdaki matris denkleminde karakteristik eşitliktir ve determinantı alındığında %- "!! - " œð%-ñð-ñð"-ñ!! "- $ - & - -) œ 0 elde edilir. Bu olinomu sıfır yaan kök değerleri -" œ%ß- œß-$ œ " olarak bulunur. Her özdeğer (-", -, -$) için özfonksiyonlar aşağıdaki gibi matrisler kullanılarak bulunabilir: % " 0 B" B " %B" B œ %B" B" keyfi bir değer alır 0 " B œ% B B B$ œ%b B değerini alır 0 0 " B B $ $ B$ œ%b$ B$ değerini alır % " 0 B" B " %B" B œb" B" œb Î 0 " B œ B B B$ œ B B keyfi değer alır 0 0 " B B $ $ B$ œb$ B$ değerini alır % " 0 B" B " %B" B œ B" B" œ B$ Î"& 0 " B œ" B B B$ œ B B œ B$Î$ 0 0 " B B $ $ B$ œ B$ B$ keyfi değer alır " "Î "Î"& Denklem sisteminin özfonksiyonları!, " ve "Î$ dir.!! " Örnek 3.3. Şekil 3.1 deki gibi Hooke yasasına uyan ve yay sabitleri 5 olan yaylarla $ kütle küçük yer değişimleri ( B" > B > B$ ) yamaktadır. Ayrıca bütün kütlelerin B-ekseni üzerinde kalacak şekilde doğrusal hareket ettiklerini ve kütleler ile zemin arasında sürtünmenin olmadığı durumda sistemin özdeğerlerini ve özfonksiyonlarını belirleyiniz. M k m k M x 2 x 3 Şekil 3.1. Birbirlerine yaylarla bağlanmış yatay düzlemde üç kütle roblemi. 2
Her kütle için farklı konumlar (yer değiştirmeler) seçilir ve Newton'un ikinci yasasından ( Jœ+œ. B.> / œ 5? B) kullanılarak,.b " 5.> œ ÐB" BÑ (3.6a).B 5 5.> 2 œ ÐB B" Ñ ÐB B$ Ñ (3.6b).B $ 5.> œ ÐB$ BÑ (3.6c) denklemleri yazılabilir. Denklemlerde > zamanı, ve yaylara tutturulmuş kütleleri, B3 kütlelerin yerdeğiştirmesini ve 5 yay sabitini göstermektedir. Hareketli kütleler sisteminin ortak frekansları olan A yani sistemin özdeğerleri hesalanacaktır. Bu A frekansları, sistemin normal kileri olacaktır. Yukarıdaki denklem (3.6) nin çözümü olan B3 œ B 3! /, 3 œ "ß ß $ Ð4 komleks sayıñ (3.) fonksiyonu, denklemin analitik çözümünden kolaylıkla bulanabilir. Denklem (3.), denklem (3.6) da kullanılırsa, 5 A B " œ ÐB " B Ñ (3.8a) 5 5 A B œ ÐB B " Ñ ÐB B $ Ñ (3.8b) 5 A B $ œ ÐB $ B Ñ (3.8c). denklemleri elde edilir ÐA œ.> ÑÞBu denklemler, 5 5! B" B" 5 5 5 B œa B 5 5! B$ B$ (3.9) asimetrik matrise sahi olan matris-özdeğer denklemi şeklinde yazılabilir. Buradan seküler eşitlik determinant 5 5 A! 5 5 5 A 5 5! A 5 5 5 5 A! A 5 5 5 5 5 A A (3.10) 5 5 5! A! olarak elde edilir. Bu determinanttan A ye göre elde edilen olinom 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ( A )( A )( A ) ( )( )( A ) ( )( )( A ) œ! 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ( A )( A )( A ) ( )( )( A ) ( )( )( A ) œ! 5 5 5 5 5 ( A ) Ò ( A )( A ) ( )( ) Óœ! 5 5 En soldaki A œ! dan A œ, köşeli arantez içindeki ifadeden A" œ! ve yine köşeli arantez içindeki ifadeden 5 5 5 5 5 5 A A ÐA Ñ œ! 5 5 5 5 A A ÐA Ñ œ! œ A $ özdeğerleri elde edilir. Bu özdeğerler denklem (3.9) da kullanılarak özvektörler elde edilir. A œ! için denklem sistemi elde edil 5 5! B" 5 5 5 B œ 0 5 5! B$ B" B œ! B" B B$ " "! B"! " " B œ!! " " B$! (3.11) B B œ! $ 3
Bu denklem sisteminin çözümünden B " œb œb $ elde edilir. Bu sonuç kütlelerin yerdeğiştirmelerinin birbirlerine eşit ve aynı yönde olduğunu belirtir. A œ 5/ durumunda denklem (3.9) aşağıdaki gibi yazılabilir: 5 5! B" B" 5 5 5 5 B œ B 5 5! B$ B$ 5 5 5 5 5 B" 5 5 5 5 5 5 B 5 5 5 5 5 B$ 5 5! 5 5 5 5 5 5 5 5! 5 5 B" B B $!B" B B$ œ! B œ B$ 5 5 5 5 5 5 Ð ÑB" Ð ÑB Ð ÑB$ (3.12) 5 5 B" B!B$ œ! B" œ B yazılabilir. Bu denklem sistemi çözülecek olursa, sistemin özvektörlerini B " œb $, B olarak elde edilir. Bu durum kenarlardaki kütlelerinin zıt doğrultularda ortadaki kütleye doğru hareket ettiğini ve ortadaki kütlesinin ise hareketsiz olduğunu ifade eder. Özdeğerin A 5 5 œ değerini aldığı durumda ise özvektörler 2 B " œb ve B $ œ B " (3.13) olarak bulunur. Bu durumda ise kenarlardaki kütleler zıt yönlerde hareket ederlerken, ortadaki kütlesi kenarlardaki kütlelerden birine göre ters yönde hareket etmektedir. Kütleler sisteminin B-ekseni boyunca yaacağı hareketler yukarıda elde edilen özvektörlerin (yer değiştirmelerin) kombinasyonları şeklinde olacaktır. 3.3. KOORDİNAT DÖNÜŞÜMLERİ Şekil 3.4 deki gibi kartezyen koordinat sistemindeki bir noktanın sabit kalarak sadece koordinat eksenleri döndürülürse yeni koordinat sisteminde bu noktanın konumu aşağıdaki gibi tanımlanabilir. y' y x' y' y sin x' y' 1 x' 1 O x x' 1 y' 1 cos sin cos x Şekil 3.4. Koordinat eksenlerinin dönüşümü. B' œ B cos) C sin) " " " C' œ B sin) C cos) (3.3) " " " Bu eşitlikler matris formunda aşağıdaki gibi gösterilebilir: B' " cos) sin) B" C œ ' sin) cos) C " " Denklem (3.38) ü daha sade bir şekilde aşağıdaki gibi yazılabilir: (3.38) 4
BœXB ' (3.39) B' " cos) sin) B" Denklemdeki B' œ, X œ, B œ dir. Denklem (3.39) u özdeğer eşitliği şeklinde ifade edebilmek içi C' " sin cos C n ) ) " EB' œ -B' denkleminde kullanırsak, EX B œ -X B (3.40) ifadesi yazılabilir. Denklem (3.40) da eşitliğin her iki tarafı X ' ile çarılırsa XEXBœ ' -X' XB (3.41) yazılabilir. Denklem (3.41) deki X', X dönüşüm matrisinin transozu aynı zamanda ters matrisidir ( X' X œ M) : cos) sin) cos) sin) "! œ (3.42) sin) cos) sin) cos)! " XEXBœ ' -MBœ -B ÐX ' EX -Ñ B œ! (3.43) Özdeğer denklemi elde edilmiş olur. Denklem (3.43) in sol tarafındaki arantez içindeki terim sıfıra eşitlenerek özdeğerler T bulunabilir. Böylelikle, transozu ( X' œ X ) ile tersi aynı olan bir X (Transort) matrisi yardımı ile denklem sistemini temsil eden E katsayılar matrisi köşegen matrisi haline getirilebilir. 3.4. KUVVET (POWER) YÖNTEMİ Bir özdeğer robleminin matris formunun EB œ -B (3.61) şeklinde olduğunu düşünelim. Denklemde E-katsayılar matrisi, B-özfonksiyonu ve --özdeğeri göstermektedir. Yukarıdaki denklemin - özdeğerlerini bulabilmek kullanılan yöntemlerden biriside kuvvet yöntemidir. İşlem şu şekilde yaılır: Ð!Ñ Ð1 Ñ B vektör matrisi için ilk tahmini değerler girilir ÐB Ñ. B in bileşenlerinden biri birim vektör şeklinde seçilir. Ð2 Ñ E œ C işlemi (matris çarımı) gerçeklenir, B Ð!Ñ Ð3Ñ C yeniden ayarlanır, yani B hesalanır, C œ - B B œ C - 5 (3.62a) (3.62b) Ð!Ñ Ð!Ñ Ð4 Ñ 2nci ve 3ncü adımları B B farkına bakarak yeni B ı B deki değerler olarak alı, atamasını yaı (yakınsama) işlemine yeterli kriterler sağlanana kadar devam edilir. Bu öteleme yöntemine güç (ower) yöntemide denmektedir. Genel algoritması Ð5Ñ Ð5"Ñ Ð5"Ñ Ð5"Ñ EB œ C œ - B (3.63) şeklinde verilebilir. Yakınsama yaılırken - nın mutlak olarak en büyük değeri E nın özdeğeri, B değerleride bu özdeğerlere ait özfonksiyonlardır. Birim matrisin elemanlarından biri sıfıra yaklaşıyorsa, başka bir özdeğer için birim matris seçilir. Yakınsama çok yavaş bir şekilde devam ediyorsa, yani en büyük özdeğerler birbirine çok yakınsa güç yöntemi başarılı olmamaktadır. - " $ 5 B B B! "Þ!!!! "Þ!!!! "Þ!!!! " %Þ!!!! "Þ!!!! "Þ&!!!!Þ(&!! %Þ!!!! "Þ!!!! "Þ%$(&!Þ)"& $ %Þ!'& "Þ!!!! "Þ%%'!Þ)!!! % %Þ!%' "Þ!!!! "Þ%%%*!Þ)!$ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ ) %Þ!%)* "Þ!!!! "Þ%%&!!Þ)!"* Bu yöntemi bir örnek üzerinde inceleyelim:
Örnek 3.9. Aşağıdaki E matrisinin en büyük özdeğerini ve bununla ilgili olan özvektörünü güç yöntemini kullanarak bulunuz. " " Eœ " $ " " " " Ð!Ñ B özfonksiyonları için başlangıç değerlerini B œ " olarak alalım. " " " "Þ!!! %Þ!!! Ð!Ñ EB œ " $ "Þ!!! œ 'Þ!!! à " " " "Þ!!! $Þ!!! Katsayılar matrisi ile özfonksiyonların çarımından yeni özfonksiyonlar elde edilir. Bu özfonksiyonlardaki ilk bileşeni, birim vektör olacak şekilde skalalandırılırsa, - œ %Þ!!! ve yeni özfonksiyonlar bu değere göre yeniden yazılırsa "Þ!!! B œ "Þ&!!!Þ(&! elde edilir. Başlangıçtaki katsayılar matrisini bu özfonksiyonlar ile çararsak " " "Þ!!! %Þ!!! "Þ!!!! ÐÑ ÐÑ EB œ " $ "Þ&!! œ &Þ(&! à - œ %Þ!!! ve B œ "Þ%$(& " " "!Þ(&! $Þ&!!Þ)"& ifadeleri elde edilir. İşlemer bu şekilde öteleme yaılarak sürdürülür. Burada iki öteleme sonucunda elde edilen değerler verilmektedir. Sonuç olarak elde edilen özdeğer ve özvektörler bir süre sonra aşağıdaki gibi olacaktır: "Þ!!! - " œ %Þ!%)* ve B " œ "Þ%%&!Þ)! İşlemler özfonksiyonlar fazla değişmemeye başlayıncaya kadar devam ettirilir. 6