3 SİMPLEKS METODU Önceki bölümlerde doğrusal programlamanın temel kavramlarını ve prensiplerini öğrendik. İşletmenin üretim seçeneklerinin, eşitlikler sistemi ile ifade edildiğini gördük. Daha kârlı olan ve bu sebeple de üretim planına alınması gereken faaliyeti, kriter eşitliğinden yararlanarak tespit ettik. Bir faaliyeti, diğerinin bağımlı değişkeni olarak tanımlama sonucunda, işletmenin kaynak sınırlılıklarını aşmadan bu faaliyetlerin her birinin ne kadar artırılabileceğini ortaya koyduk. Grafik gösterimlerden dolayı ele alınan örneklerde en fazla iki ürün ve en az bir sınırlayıcı faktör vardı. Evvelki bölümlerde işletmenin kârını en fazla yapacak planı seçerken izlenen yol, önce bir başlangıç planı seçmek, kârını hesaplamak, daha sonra değişik bir planın seçimi ile kârın artırılıp artırılamayacağını araştırmaktı. Şimdi izleyeceğimiz yol biraz daha farklıdır. Bu çözüm şeklinde seçilen ilk planda bütün faaliyetler sıfır seviyesindedir, yani kaynakların tamamı boştadır. İşletmenin kârı sıfırdır. Üretim faaliyetleri başlangıç planına optimum kâra ulaşılıncaya kadar birer birer ilave edilecektir. Bu çözümün adı, simpleks metodudur. Maksimum kâra ulaşılırken ara planların belirlenmesinde ve optimum plana ulaşılmasında bir tablodan yararlanacağız. Bu tablonun her aşamasında hesaplamalar şimdiye kadar yaptığımız eşitlikler biçiminde değil, matris cebirle yerine getirilebilir. Bununla beraber çözüme ulaşmak için mutlaka matris cebir bilinmesi gerekmez. Burada en önemli adım, problemin doğru biçimde yazılması yani başlangıç tablosunun hazırlanmasında hata yapılmamasıdır. Başlangıç tablosu hazırlandıktan sonra optimum plana ulaşılmasında uygulanacak işlemler için uzman olmak gerekmez. Simpleks metodu ile çözümlerde gerekli olan veriler şunlardır: (i) planda dikkate alınacak faaliyetlerin net fiyatları veya brüt gelirleri, (ii) üretimi kısıtlayıcı faktörlerin miktarları ve (iii) plana alınabilecek faaliyetlerin birim girdi talepleri (girdi-çıktı katsayıları)
Doğrusal Programlama 30 3.1 Simpleks Metodu ile Kâr Maksimizasyonu Simpleks metodunu kullanarak optimum işletme planına nasıl ulaşıldığını, yani mevcut sınırlayıcı faktörlere bağlı olarak işletme kârını en fazla yapan üretim planının nasıl elde edildiğini örnek bir problem yardımı ile inceleyelim. Örnek işletmemizin 15 dekar arazisi, iş gücü ihtiyacının en yoğun olduğu dönemde 48 saat iş gücü ve 500 lira işletme sermayesi vardır. İşletmede mısır, soya ve yulaf yetiştiriciliği düşünülmektedir. Mısır faaliyetinin 1 dekarı için gerekli iş gücü ihtiyacı 6 saat, işletme sermayesi talebi 54 liradır. Soya için bu miktarlar sırası ile 6 saat ve 36 lira, yulaf için 2 saat ve 27 liradır. Bir dekar mısırın gayri safi üretim değeri 112.5 lira, değişken masrafları ise 52.5 liradır. Soya için bu miktarlar sırası ile 75 lira ve 30 lira, yulaf için 55 lira ve 25 liradır. Bu şartlar altında işletmenin kârını maksimum yapan üretim bileşimini hesaplayalım. 3.1.1 Amaç fonksiyonu Problem, bir kâr maksimizasyonu problemidir. Alternatif faaliyetlerin sayısı üçtür. Bunlar: mısır (X1), soya (X2) ve yulaftır (X3). Girdi-çıktı katsayıları 1 dekar araziye göre verildiğinden birim üretim miktarına göre ayrıca bir hesaplama yapılması gerekmez. Ürünlerin 1 dekarda sağlayacakları brüt gelirler; mısır için 60 lira, soya için 45 lira ve yulaf için 30 lira tahmin edildiğine göre 15 dekarda sağlanacak toplam brüt gelir (C), bu ürünlere ayrılacak arazi ile 1 dekardan alınacak brüt gelirlerin çarpımlarının toplamına eşit olacaktır: C = 60 X1 + 45 X2 + 30 X3 Amaç, C değerini en fazla kılan üretim bileşimini bulmaktır. 3.1.2 Kaynak sınırlılıkları ve üretim imkânları İşletme maksimum net gelir (kâr) hedefine doğru yol alırken bir takım kısıtlamalarla karşı karşıya olacaktır. Her şeyden önce kaynakları sınırlıdır. Örneğimizdeki işletme, üretim dönemi esnasında 15 dekar araziye, tarla işlemlerinin en yoğun olduğu dönemde toplam 48 saatlik iş gücü miktarına ve 500 lira işletme sermayesine sahiptir. Bunun dışındaki üretim kaynaklarının yeterli olduğu kabul edilmektedir. Dördüncü bölümde görüleceği gibi gerçekte işletmeler kaynak kısıtlarından başka kısıtlarla da karşı karşıyadırlar.
3. Simpleks Metodu 31 Örneğimizde plana alınacak her faaliyetin bir dekarı için sınırlı kaynaklardan (arazi, iş gücü ve işletme sermayesi) talepleri aşağıdaki gibidir: Mısır Soya Yulaf Arazi (dekar) 1 1 1 İş gücü (saat) 6 6 2 İşletme sermayesi (TL) 54 36 27 Tablodaki veriler eşitsizlikler sistemi kullanılarak da gösterilebilir: 1X1 + 1X2 + 1X3 15 6X1 + 6X2 + 2X3 48 54X1 + 36X2 + 27X3 500 Optimum işletme gelirine ulaşmak için kaynakların tamamının kullanılması gerekmeyebilir. Bu doğrusal programlamanın bir özelliğidir. Maksimum kârı sağlayacak plan, bir kısım kaynakların boş kalmasını gerektirebilir. Bunun için yukarıdaki ifadelerde ( ) işaretleri kullanılmıştır. Doğrusal programlama çözümlerinde kaynakların tüketilmeyen kısımlarına artık kaynaklar (İngilizce de disposal veya slack) denir. Araziden boş kalabilecek miktar S1, iş gücünden kullanılmadan kalacak miktar S2 ve işletme sermayesinin harcanmayan kısmı S3 ile gösterilip sisteme dahil edildiğinde aşağıdaki eşitliklere ulaşılır: 3.2 Simpleks Tablosu 1X1 + 1X2 + 1X3 + S1 = 15 6X1 + 6X2 + 2X3 + S2 = 48 54X1 + 36X2 + 27X3 + S3 = 500 Doğrusal programlamada simpleks metodu, bu konuda hazırlanacak tablo yardımı ile uygulanır. Tablonun 5 temel sütunu vardır. Birinci sütunda, programda yer alacak faaliyetlerin brüt gelirleri (C i ), ikinci sütunda programa girecek faaliyetlerin ve artık kaynakların neler oldukları ile miktarları (B sütunu), üçüncü sütunda artık kaynak ve faaliyetler (örneğimizde üç adet), dördüncü sutunda reel faaliyetler (örneğimizde üç adet), son sütunda oran hesapları (ratio=r sütunu) yer alır (Tablo 3.1).
Doğrusal Programlama 32 3.2.1 Başlangıç planı Simpleks çözümde önce hiçbir faaliyetin yer almadığı, kaynakların tamamının boş bırakıldığı bir planla başlanır. Bu plana 0 plan veya başlangıç planı denir (Tablo 3.1). Kaynakların boş kalması gelir kaybına veya gider artışına yol açmıyorsa fiyatları (C i ile gösterilmektedir) sıfırdır, kaynakların boş kalması bir masrafı gerektirmiş olsaydı negatif fiyatlarla gösterilmeleri söz konusu olacaktı. Faaliyetlerin fiyatları brüt fiyatlardır, yani satış gelirinden sadece değişken masraflar düşülmüş, sabit masraflar düşülmemiştir. Örneğimizde üretim birimi olarak 1 dekar arazi alındığından brüt gelir *, dekardan alınan ürün miktarı ile satış fiyatının çarpımından (gayri safi üretim değeri) değişken masrafların çıkarılması ile bulunur: Brüt gelir/da = gayri safi üretim değeri/da değişken masraflar/da Örneğimizde mısırın brüt gelirinin 60 TL/da, soyanın 45 TL/da, yulafın 30 TL/da olduğu varsayılmaktadır. Tablo 3.1 Simpleks Tablosu Başlangıç Planı Kaynak veya faaliyet Artık kaynaklar Faaliyetler ve brüt gelirleri Arazi İş gücü Sermaye Mısır Soya Yulaf S C 1 S 2 S 3 X 1 X 2 X 3 i Adı Miktarı (B) 0 0 0 60 45 30 1 2 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 5 Başlangıç planı (Plan 0) 0 S 1 15 1 0 0 1 1 1 15 0 S 2 48 0 1 0 6 6 2 8 0 S 3 500 0 0 1 54 36 27 9.3 Z j 0 0 0 0 0 0 0 Z j C j 0 0 0 0-60 -45-30 R * Brüt gelir yerine bazen net fiyat ifadesi de kullanılmaktadır.
3. Simpleks Metodu 33 Başlangıç planı, kaynak miktarlarını göstermektedir. Henüz plana alınan faaliyet yoktur, işletme geliri de sıfırdır. İşletme geliri; birinci sütundaki (C i ) rakamlarla, ikinci sütundaki kaynak ve faaliyetlerin miktarlarının (B sütunu) karşılıklı çarpımlarının toplamı olup (Z j ) sırasında gösterilmiştir. Z j C j sırasındaki rakamlar; Z j sırasındaki rakamlardan, Tablonun yukarıdan itibaren dördüncü sırasında gösterilen artık kaynaklar ve faaliyetlerin brüt gelirlerinin çıkarılması ile elde edilmişlerdir. Faaliyetler teker teker plana alındıkça işletme geliri artacaktır. Bir faaliyetin plana alınması, başka bir faaliyetin veya boşta bulunan kaynağın plandan çıkarılması ile mümkün olur. Bu nasıl yapılacaktır? 3.2.2 Plana girecek faaliyet Her aşamada plana alınacak yeni faaliyet, Z j C j sırasındaki negatif rakamlar arasından seçilir. Bu rakamlar, faaliyetlerin bir birim artırılması sonucunda işletme gelirinde ne kadar artış olacağını göstermektedir. Negatif rakamlar arasında en küçük olanı, işletme gelirine en fazla katkıyı yapacak faaliyeti göstermektedir Başlangıç planında bu faaliyet mısırdır ( 60). Eğer Z j C j sırasında aynı değere sahip birden fazla en küçük rakam varsa, doğru faaliyeti seçmek şansa bağlıdır. Böyle bir durumda faaliyetlerden herhangi biri plana alınır. Yanlış olan faaliyet tercih edilmişse, bir sonraki planda dışarı çıkacak, plana girmesi gereken faaliyet onun yerini alacaktır. Simpleks çözümlere Z j C j sırasında negatif rakam kalmayıncaya kadar devam edilecektir. Z j C j sırasında negatif rakam kalmadığında elde edilen plan optimum plandır (Heady and Candler 1973, s. 125). 3.2.3 Plandan çıkacak faaliyet veya kaynak Ara planlardan çıkacak faaliyetleri bulmak için, B sütunundaki değerler, plana girecek faaliyetin bulunduğu sütundaki teknik katsayılara (girdi-çıktı katsayıları) bölünür. Bulunan sayılar R sütununa kaydedilir. Bunlar arasında en küçük oranın bulunduğu sıra, plandan çıkacak faaliyeti veya kaynağı gösterir. Bölme esnasında negatif ve sıfır olan teknik katsayılar değerlendirilmeye alınmaz. Örneğimizi inceleyelim. Plana ilk girecek faaliyet, bütün faaliyetler arasında en küçük negatif değere (-60) sahip olan mısır olduğuna göre, B sütunundaki rakamlar, mısır sütunundaki rakamlara bölünecektir:
Doğrusal Programlama 34 B Teknik katsayılar (mısır) R (oran) S1 (arazi) 15 1 15 S2 (iş gücü) 48 6 8 S3 (sermaye) 500 54 9.26 R sütununda en küçük oran iş gücüne aittir. (Yani iş gücü, mısır üretimini arazi ve sermayeden önce kısıtlamaktadır.) Bu aşamada başlangıç planından çıkacak satır, iş gücü satırıdır. Birinci planda mısır, başlangıç planındaki iş gücünün yerini alacaktır. Bazen, R sütununda birden fazla en küçük değere sahip rakam bulunabilir. R değeri eşit olan faaliyetlerden herhangi birini plan dışına çıkarırken, plana girecek faaliyeti seçerken sahip olduğumuz seçeneklere sahip değiliz. Eğer bu işlem esnasında yanlış faaliyet plan dışında bırakılırsa sonu gelmeyen bir seri zincirleme planlar devreye girebilir (Heady and Candler 1973, s. 122). Buna mani olmak ve işlemleri sistematik bir şekilde sürdürebilmek için B sütununun sağından başlayarak katsayılar, eşitliğin meydana geldiği sıralardaki katsayılara bölünür (negatif rakamlar ve sıfırlar dahil). İşleme eşitlik bozuluncaya kadar devam edilir. Eşitlik bozulunca en küçük değere sahip sıra, plandan çıkacak sıra olur. Bu aşamada hiçbir faaliyetin yürütülmediği başlangıç planından mısır faaliyetinin yürütüleceği birinci plana geçmiş bulunuyoruz. Birinci plandaki katsayılar bu değişim doğrultusunda aynı kalmayacaktır. Plana giren faaliyetle, başlangıç planındaki yerini muhafaza eden sıralardaki katsayıların nasıl hesaplanacağını görelim. 3.2.4 Plana giren faaliyet sırasındaki katsayıların bulunması Başlangıç planından ilk çıkan faaliyetin, bir artık faaliyet olan iş gücü (S2) olduğunu, plana ilk girecek faaliyetin de mısır (X1) olduğunu öğrenmiş bulunuyoruz. Birinci planda giren faaliyet (X1) sırasındaki girdi-çıktı katsayılarının nasıl elde edileceğini görelim. Bunun için bir önceki planda giren ve çıkan faaliyetlerin kesiştiği yerde bulunan katsayı (6), plandan çıkan faaliyet sırasındaki katsayılara bölünür: 48/6 = 8; 0/6 = 0; 1/6 = 0.167; 0/6 = 0; 6/6 = 1; 6/6 = 1; 2/6 = 0.333
3. Simpleks Metodu 35 3.2.5 Plana giren faaliyet dışındaki sıralarda yeni katsayıların bulunması Plana giren faaliyet (örneğimizde X1) dışındaki faaliyetlerin katsayılarını hesaplamak için, bir önceki planda bu faaliyetle, giren faaliyet sütununun kesiştiği yerdeki katsayı, giren faaliyet sırasındaki katsayılarla teker teker çarpılır ve elde edilen sonuçlar, katsayısı hesaplanacak faaliyetin bir önceki plandaki katsayılarından (aşağıda kalın yazılmış olan sayılar) çıkarılır. Bütün ara planlarda da aynı yol izlenir: S 1 sırasındaki katsayıların elde edilmesi S 3 sırasındaki katsayıların elde edilmesi 15 (1)(8) = 7 500 (54)(8) = 68 1 (1)(0) = 1 0 (54)(0) = 0 0 (1)(1/6) = - 1/6 0 (54)(1/6) = -9 0 (1)(0) = 0 1 (54)(0) = 1 1 (1)(1) = 0 54 (54)(1) = 0 1 (1)(1) = 0 36 (54)(1) = -18 1 (1)(2/6) = 4/6 27 (54)(2/6) = 9 Başlangıç planına mısır faaliyetinin (8 da) dahil edilmesi sonucunda işletme geliri 480 liraya yükselmiş (=8x60), iş gücünün tamamı (48 saat) ise kullanılmıştır (=6x8). Z j ve Z j C j sırasındaki rakamlar da Sayfa 33 de açıklandığı şekilde bulunur (Tablo 3.2). Birinci plan, gelir getiren bir plandır ama en fazla gelirin elde edildiği plan değildir. Bunu Z j C j sırasında negatif rakamın bulunmasından anlıyoruz (Tablo 3.2). Bu değer yulaf faaliyetine aittir. Yulaf faaliyetinin bir birim (da) artırılması, işletme gelirini 10 lira artıracaktır. Bu durumda ikinci plan, yulaf faaliyetinin yer aldığı plan olacaktır. Yulaf faaliyeti, birinci planda hangi faaliyetin yerini alacaktır? Buna karar vermek için birinci planın B sütunundaki rakamlar, yulaf faaliyetinin bulunduğu sıradaki rakamlara karşılıklı olarak bölünür: B Teknik katsayılar (yulaf) R (oran) S1 (arazi) 7 4/6 10.5 X1 (mısır) 8 2/6 24 S3 (sermaye) 68 9 7.6 Birinci planda yerini yulaf faaliyetine terk edecek olan kaynak, en düşük orana sahip olan (7.6) sermayedir. Z j ve Z j C j sıralarındaki rakamlar da yukarıda açıklandığı şekilde hesaplanır.
Doğrusal Programlama 36 Tablo 3.2 Simpleks Tablosu Birinci Ara Plan Brüt gelirler (Cj) S 1 S 2 S 3 X 1 X 2 X 3 0 0 0 60 45 30 Birinci ara plan 0 S 1 7 1-1/6 0 0 0 4/6 10.5 60 X 1 8 0 1/6 0 1 1 2/6 24 0 S 3 68 0-9 1 0-18 9 7.6 Z j 480 0 10 0 60 60 20 Z j C j 480 0 10 0 0 15-10 R İkinci ara planda yulaf üretim ve satış faaliyeti (X3), sermayenin (S3) yerini alacaktır (Tablo 3.3). Giren ve çıkan sıralardaki katsayılar birinci planda olduğu gibi hesaplanacaktır. Öncelikle giren sırasındaki katsayılar bulunur: 68/9= 7.55; 0/9= 0; -9/9= -1; 1/9= 0.11; 0/9= 0; -18/9= -2; 9/9=1 Diğer sıralardaki rakamlar da aşağıdaki gibi hesaplanır (Tablo 3.3 İkinci ara plan): S 1 sırasındaki katsayıların elde edilmesi X 1 sırasındaki katsayıların elde edilmesi 7 (4/6)(68/9) = 53/27 8 (2/6)(68/9) = 148/27 1 (4/6)(0) = 1 0 (2/6)(0) = 0-1/6 (4/6)(-1) = 0.5 1/6 (2/6)(-1) = 0.5 0 (4/6)(1/9) = -2/27 0 (2/6) (1/9) = -1/27 0 (4/6)(0) = 0 1 (2/6)(0) = 1 0 (4/6)(-2) = 4/3 1 (2/6)(-2) = 5/3 4/6 (4/6)(1) = 0 2/6 (2/6)(1) = 0 Z j ve Z j C j sırasındaki katsayılar hesaplandıktan sonra ikinci ara planın da optimum plan olmadığı görülmektedir. Çünkü Z j C j sırasında soya faaliyetinin altında negatif bir değer vardır; soya faaliyetinin bir birim arması, işletme gelirinde 5 liralık artış meydana getirmektedir. Bu aşamada çözüme soya faaliyetinin plana dahil edilmesi ile devam edilir. (Üçüncü plana soya faaliyetinin, ikinci plandaki hangi faaliyet yerine dahil edileceğini ve oluşan yeni katsayıları da siz hesaplayınız.) Optimum plana üçüncü aşamada ulaşılmıştır (Tablo 3.3). Dikkat edileceği gibi optimum planın Z j C j sırasında negatif bir değer kalmamıştır. Bütün faaliyetler plana girmiş ve bütün kaynaklar kullanılmıştır. Her planda böyle bir sonuç elde edilmeyebilir; optimum plana girmeyen faaliyetlere ve artık kaynaklara rastlanması olağan bir durumdur.
3. Simpleks Metodu 37 Tablo 3.3 Örnek Problemin Simpleks Tablosu Artık kaynaklar Faaliyetler ve brüt gelirleri Kaynak veya faaliyet Arazi İş gücü Sermaye Mısır Soya Yulaf C i S 1 S 2 S 3 X 1 X 2 X 3 Adı Miktarı (B) 0 0 0 60 45 30 1 2 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 5 Plan sıfır (başlangıç planı) 0 S1 15 1 0 0 1 1 1 15 0 S2 48 0 1 0 6 6 2 8 0 S3 500 0 0 1 54 36 27 9.3 Z j 0 0 0 0 0 0 Z j C j 0 0 0 0-60 -45-30 Birinci plan 0 S1 7 1-1/6 0 0 0 4/6 10.5 60 X1 8 0 1/6 0 1 1 2/6 24 0 S3 68 0-9 1 0-18 9 7.6 Z j 0 10 0 60 60 20 Z j C j 480 0 10 0 0 15-10 İkinci plan 0 S1 53/27 1 0.5-2/27 0 4/3 0 1.5 60 X1 148/27 0 0.5-1/27 1 5/3 0 3.3 30 X3 68/9 0-1 1/9 0-2 1 - Z j 0 0 1.111 60 40 30 Z j C j 555.556 0 0 1.111 0-5 0 Üçüncü plan (optimum plan) 45 X2 53/36 0.75 0.375-3/54 0 1 0 60 X1 109/36-1.25-0.125 3/54 1 0 0 30 X3 10.5 1.5-0.25 0 0 0 1 Z j 3.75 1.875 0.833 60 45 30 Z j C j 562.917 3.75 1.875 0.833 0 0 0 R
Doğrusal Programlama 38 3.3 Optimum Planın Doğruluk Testleri Simpleks işlemlere Z j C j sırasında negatif rakam kalmayıncaya kadar devam edilir. Bu sırada negatif rakam kalmaması, optimum plana ulaşıldığını gösterir. Mevcut sınırlayıcı faktörler, fiyatlar ve alternatif faaliyetlerle, girdi-çıktı katsayıları çerçevesinde elde edilen plan, en fazla brüt geliri veren plandır. Örneğimizde optimum plan; 3.03 dekar mısır, 1.47 dekar soya ve 10.5 dekar yulaf üretimini öngörmektedir. Brüt gelir yaklaşık 563 liradır *. Net geliri bulmak için elde edilen gelirden üretimin sabit masraflarını çıkarmak gerekir. Elde ettiğimiz sonuçların doğruluğunu kontrol edebiliriz. Bunun bir yolu, optimum plandaki B sütunu değerlerini (aşağıda kalın yazılmış sayılar), bunların başlangıç planındaki girdi-çıktı katsayıları ile çarparak sonucu toplamaktır: (B io )(MİO i0 ) = B i İşleme artık faaliyetlerin katsayıları ile (S i ), fiyatlarının (C i ) çarpımı ile başlayarak; arazi iş gücü ve işletme sermayesinin başlangıç miktarlarına ulaşalım: (1)(0)+(0)(0)+(0)(0)+( 1)(109/36)+( 1)(53/36)+( 1)(10.5) = 15 (arazi) (0)(0)+(1)(0)+(0)(0)+( 6)(109/36)+( 6)(53/36)+( 2)(10.5) = 48 (iş gücü) (0)(0)+(0)(0)+(1)(0)+(54)(109/36)+(36)(53/36)+(27)(10.5) = 500 (işletme sermayesi) Optimum planın doğruluğunu kontrol etmenin bir yolu daha vardır. Başlangıç planındaki kaynak miktarları (B sütunu değerleri), bu kaynakların optimum plandaki Z j -C j değerleri ile çarpıldığında elde edilecek sonuç optimum planın getirisidir: ** (B i0 )(Z jo C jo ) =optimum planın brüt geliri (15)(3.75)+(48)(1.875)+(500)(0.833) 563 * Tablodaki rakamlardan olan farklılık, yürütme işlemlerinden kaynaklanmaktadır. ** Bu bağıntı Euler Teoremi olarak bilinmektedir.
3. Simpleks Metodu 39 3.4 Girdi-Çıktı Katsayılarının ve Z j C j Değerlerinin Ekonomik Yorumları Simpleks tablosundaki bütün değerlerin ekonomik anlamları vardır. Girdi-çıktı katsayılarının, Z j C j değerlerinin hangi anlamlara geldiği üzerinde duralım. 3.4.1 Girdi-çıktı katsayıları Simpleks tablosunda yer alan kaynak ve faaliyetlere ait sıralarla, artık kaynak ve faaliyet sütunlarının kesiştiği yerlerdeki katsayılar marjinal ikame oranlarını göstermektedir. Bu rakamlardan pozitif olanları, tablonun sütunlarında yer alan faaliyetlerin bir birim artırılması için feda edilmesi gereken sıra faaliyetlerinin ve kaynakların miktarlarını gösterir. Örneğin başlangıç planında, X1 sütunu ile S3 sırasının kesiştiği yerde bulunan 54 rakamı, mısır faaliyetinin 1 dekar artırılması halinde işletme sermayesindeki azalmayı göstermektedir (Şekil 3.1a): S X 3 1 Girdi-çıktı katsayılarından negatif işaret taşıyanları ise, sütunlardaki faaliyetlerin artırılması halinde, sırada yer alan kaynak veya faaliyetin artan miktarlarını işaret eder. Örneğin birinci planda görüleceği gibi, X2 faaliyetinin (soya) altındaki 18 rakamı, bu faaliyetin bir birim artırılması halinde işletme sermayesinin (S3) 18 lira artacağını işaret etmektedir * (Şekil 3.1b). Şekil 3.1c, soyanın artırılan miktarı karşısında diğer faaliyetler tarafından kullanılan arazi miktarında bir değişme olmayacağını göstermektedir (neden?) S 3 (TL) S 3 (TL) S 1 (da) 54 X 1 (da) X 2 (da) X 2 (da) (a) (b) (c) Şekil 3.1 Teknik Katsayıların Anlamları: (a) ΔS 3/ΔX 1<0; (b) ΔS 3/ΔX 2 >0; (c) ΔS 1/ΔX 2 = 0 * Soyanın plana girmesi, işletme sermayesini azaltacağına artırıyor, bunun sebebi nedir? Soya plana mısırın yerine girecektir. Soyanın sermaye talebi mısırdan az olduğundan işletme sermayesinde 18 lira artış olacaktır (=54-36). Soyanın mısır yerine plana girmesi ile işletme sermayesi artacak ama brüt geliri 15 TL azalacaktır (Aynı planda Z-C sırasındaki rakamın +15 olduğuna dikkat ediniz.)
Doğrusal Programlama 40 3.4.2 Z j sırasındaki katsayıların ekonomik yorumu Z j sırası ile B sütununun kesiştiği yerdeki rakam, planın toplam brüt gelirini göstermektedir. Her planın brüt geliri, planda yer alan kaynak ve faaliyetlerin net fiyatları (C i ) ile B sütunu altında gösterilen miktarlarının (X i ) çarpımlarının toplamıdır: m Z 0 = C i i=1 Başlangıç planı, üretim faaliyetlerin hiçbirinin yer almadığı, işletmenin üretim kaynaklarının gösterildiği plan olduğundan toplam net geliri sıfırdır. Z j sırasındaki diğer rakamlar tablonun sütunlarında yer alan faaliyetlerin ( X i ) bir birim artırılması halinde söz konusu planda feda edilecek geliri işaret etmektedirler: m Z j = C i i=1 Eşitlikte r ij, söz konusu faaliyete ait girdi-çıktı katsayısını göstermektedir. Örnek olarak birinci planda yulaf faaliyetinin (X 3 ) altındaki Z değerinin 20 olması, bir birim yulafın plana girmesi halinde planın brüt gelirinin 20 lira azalacağını işaret etmektedir. Z j sırasındaki katsayılar, kaynakların boş bırakılmasının veya sütun faaliyetlerinin bir birim artırılmasının fırsat maliyetleridir. X i r ij 3.4.3 Z j C j sırasındaki rakamların anlamı İşletme planlarında, Z j C j sırasındaki rakamlar ekonomik açıdan önemli bilgiler verirler. Bu rakamlardan reel faaliyetlerin altında gösterilenler, söz konusu faaliyetin bir birim artırılması durumunda, brüt gelirde ne kadar değişme olacağını işaret etmektedir; Z j C j negatif ise işletme geliri artacak, pozitif ise azalacaktır. Örneğin birinci planda soya faaliyeti 1 dekar artırılırsa, planın net geliri 15 lira azalacak, yulaf faaliyeti 1 dekar artırılırsa planın net geliri 10 lira artacaktır. Aynı planda mısır faaliyetinin altındaki Z j C j değeri sıfırdır. Z j C j sırasındaki sıfır katsayılar, söz konusu faaliyetin artırılmasının, planın gelirine etkisinin olmadığını işaret etmektedir. Karar kriterini hatırlayalım (Bölüm 2): C x1 X 1 X 2 C x2
3. Simpleks Metodu 41 Kriterde ilk ifade Z değerini, ikincisi C değerini göstermektedir. Birinci planda mısır yerine soya ilave edildiğinde planın net geliri 15 lira azalacaktır, çünkü feda edilen mısır faaliyeti net geliri (Z= 60 lira), soyanın kazandıracağı ilave gelirden (C= 45 lira) daha fazladır: (60)(1) 45 = 15 İşlemi yulaf faaliyeti için tekrarlayalım. Yulaf faaliyetinin, mısır faaliyetinin yerine plana dahil edilmesi planın net gelirini 10 lira artırmaktadır. Bir diğer ifade ile feda edilen plan geliri (20), kazanılan ilave gelirden (30) azdır: (60) ( 2 ) 30 = 10 6 İşletme planlarında, Z j C j sırası ile, artık kaynak sütunlarının kesiştiği yerlerdeki katsayılar, kaynakların işletme için ifade ettikleri marjinal değerleri gösterirler. Bir kaynağa ait Z j C j değerinin pozitif olması, kaynağın bir biriminin boş (atıl) kalması ile işletme brüt gelirinde ne kadar azalma olacağını veya bu kaynağın bir birim artırılmasının mümkün olması durumunda işletme net gelirinde ne kadar artış olacağını işaret etmektedir. Sadece işletme için kıt olan kaynaklar pozitif Z j C j değerine sahiptirler. Tamamı kullanılmayan kaynakların marjinal değerleri 0 dır. Örnekte optimum planda, artık faaliyetlerin altındaki Z j C j değerlerinin tamamı pozitiftir, çünkü nihaî planda bütün kaynaklar kullanılmış, artık kaynak kalmamıştır. 3.5 Optimum Planın Geçerli Olduğu Brüt Gelir Sınırları Serbest piyasada fiyat, arz ve talep şartlarına bağlıdır; sabit değildir. Optimum işletme planı, faaliyetlerin hangi fiyat seviyeleri için geçerlidir? Örneğin planımızda mısır fiyatı ne olmalıdır ki, bu ürün işletme planında daha fazla miktarda yer alsın? Aşağıdaki eşitlik yardımı ile alternatif faaliyetlerin hangi fiyat seviyelerinde optimum planın geçerli olduğunu bulmak mümkündür: C i Z o j _ C Mİ o j o j
Doğrusal Programlama 42 Eşitlikte C i, fiyat sınırları hesaplanacak faaliyetin brüt gelirini; Z oj C oj, optimum plandaki Z j C j değerlerini; MİO oj ise, faaliyetin optimum plandaki girdiçıktı katsayılarını gösterir. Optimum planda yer bulan mısır faaliyeti 109/36 dekardır. Mısırın hangi brüt gelir (net fiyat) seviyelerinde bu miktar değişmez? Yukarıdaki eşitliği kullanarak bu sorunun cevabını verebiliriz: 60 (3.75/ - 1.25) = 63 60 (1.875/- 0.125) = 75 60 (0.8333/ 0.0555) = 45 Mısırın plandaki brüt gelirinin alt ve üst limitleri 45 lira ve 63 liradır. Optimum plan, mısırın net fiyatının 45 ile 63 lira arasında olması durumunda değişmemektedir * : Optimum planda soyanın brüt gelir limitleri de aşağıdaki gibi hesaplanır: 45 (3.75/0.75) = 40 45 (1.875/0.375) = 40 45 (0.8333/-0.056) = 60 Optimum planda soyanın brüt gelir alt limiti 40 lira, üst limiti ise 60 liradır. Yani soyanın brüt geliri 40 liranın altına düşer veya 60 liranın üstüne çıkarsa optimum plan değişecek, bu rakamlar arasında kalırsa değişmeyecektir. Yulaf için optimum planın geçerli olduğu fiyatlar ise, 27.5 lira 37.5 lira arasında değişmektedir (hesaplayıp bulunuz). 3.6 Optimum Planda Değişiklik Yapılması Doğrusal planlamanın son aşamasında elde edilen gelir, maksimum gelirdir. Mevcut sınırlamalar devam ettiği ve girdi-çıktı katsayıları (teknoloji seviyesi) ile brüt gelirler değişmediği sürece daha fazla gelire ulaşılması mümkün olamaz. Bununla birlikte daha az gelir pahasına optimum planda değişiklikler yapılabilir. * MİO oj değerlerinin sıfır olduğu durumlar değerlendirmeye alınmayacaktır.
3. Simpleks Metodu 43 Optimum planda faaliyetlerden birinin (örneğin soya) plandan çıkarılmasının istendiği durumu ele alalım. Bu durumda planda meydana gelecek değişiklikler, daha önce plana giren ve plandan çıkan faaliyetler için uygulanacak işlemlerin aynısıdır. Yani optimum plandan çıkarılmak istenen faaliyetle (soya) arazinin kesiştiği yerdeki teknik katsayı (0.75), soyanın yer aldığı sıradaki bütün teknik katsayılara bölünerek boş bırakılan arazi (S1) sırasındaki teknik katsayılar elde edilir. Diğer sıralardaki teknik katsayılar 3.2.5 bölümde açıklandığı gibi hesaplanır: Optimum plandan soyanın çıkarılması ve sonuçları C i B S 1 S 2 S 3 X 1 X 2 X 3 0 S 1 1.96 1.000 0.500-0.074 0.000 1.333 0.000 60 X 1 5.48 0.000 0.500-0.037 1.000 1.667 0.000 30 X 3 7.55 0.000-1.000 0.111 0.000-2.000 1.000 Z 555.56 0.000 0.000 1.113 60.000 40.000 30.000 Z j C j 555.56 0.000 0.000 1.113 0.000-5.000 0.000 * S 1 sırasındaki katsayılar ** X 1 sırasındaki katsayılar *** X 3 sırasındaki katsayılar (1.472/0.75) = 1.963 3.028-1.96 (-1.25) = 5.480 10.5 - (1.967) (1.5) = 7.550 (0.75/0.75) = 1.000-1.250-1.00 (-1.25) = 0.000 1.5 - (1.000)(1.5) = 0.000 (0.375/0.75) = 0.500-0.125-0.50 (-1.25) = 0.500-0.25- (0.500)(1.5) = - 1.000 (-0.056/0.75)= -0.074 0.056-0.074 (-1.25)= - 0.037 0 - (-0.074)(1.5)= 0.111 (0.00/0.75) = 0.000 1.000-0.000 (-1.25) = 1.000 0 - (0.000)(1.5) = 0.000 (1.00/0.75) = 1.333 0.000-1.333 (-1.25) = 1.667 0 - (1.333)(1.5) = - 2.000 (0.00/0.75) = 0.000 0.000-0.000 (-1.25) = 0.000 1 - (0.000)(1.5) = 1.000 Kaynakların marjinal veriminin değişmediği kaynak sınırları, aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır: B o B i MİO io Nihaî planda arazi kaynağının (15 da) marjinal veriminin aynı olduğu (3.75) sınırlar: 15 1.472 0.75 = 13.037 da (alt sınır) 15 3.028 = 17.422 da (üst sınır) 1.25 15 10.5 1.5 = 8 da
Doğrusal Programlama 44 SORULAR Soru 1) Bir tarım işletmesinin 100 dekar arazisi vardır. İşletmenin iş gücü miktarı mart ayında 100 saat, haziran ayında 80 saat ile sınırlıdır. İşletmenin üretim planına almayı düşündüğü 4 faaliyetin (Xi) dekara brüt gelirleri ile girdi-çıktı katsayıları aşağıda verilmiştir: X1 X2 X3 X4 Arazi 1 1 1 1 Mart iş gücü 0 1 0 0.5 Haziran iş gücü 1 0 2 0 Brüt gelir (TL) 30 10 40 12 (a) Simpleks hesaplama tekniğini kullanarak optimum işletme planını elde ediniz. (b) Euler teoremini kullanarak planınızın doğruluğunu test ediniz. (c) Planınızın doğruluğunu test etmenin diğer bir yolunu gösteriniz. (d) Optimum planda yer alan faaliyetler için brüt gelir limitlerini bulunuz. (e) Optimum plandaki faaliyetlerden biri (örneğin X1) bir dekar artırıldığı takdirde işletme brüt gelirinde hangi yönde ve ne kadar bir değişme olur? Soru 2) Bir çiftçi 140 dekarlık işletme arazisinde mısır, çilek ve fasulye yetiştirmeyi planlamaktadır. İşletme sermayesi 5000 liradır. Haziran ve eylül aylarında iş gücü miktarı, beş yüzer saatle sınırlıdır. Ürünlerin dekara tahmini verimleri ile net satış fiyatları (değişken masraflar düşülmüş) ve girdi talepleri aşağıda verilmiştir. Başlangıç planını yazınız ve birinci soruda olduğu gibi a, b, c, d şıklarını cevaplandırınız. Mısır Çilek Fasulye Verim (kg/da) 400 180 200 Net fiyat (TL/kg) 0.150 0.500 0.400 İşletme sermayesi (TL/da) 30 50 50 Haziran iş gücü (saat/da) 2 10 6 Eylül iş gücü (saat/da) 3 5 5