PORTFÖY OPTİMİZASYONUNDA ORTALAMA MUTLAK SAPMA MODELİ VE MARKOWITZ MODELİNİN KULLANIMI VE İMKB VERİLERİNE UYGULANMASI

Süleyma Demrel Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs Y.2008, C.3, S.2 s.335-350. Suleyma Demrel Uversty The Joural of Faculty of Ecoomcs ad Admstratve Sceces Y.2008, vol.3, No.2 pp.335-350. PORTFÖY OPTİMİZASYONUNDA ORTALAMA MUTLAK SAPMA MODELİ VE MARKOWITZ MODELİNİN KULLANIMI VE İMKB VERİLERİNE UYGULANMASI THE USE OF MEAN ABSOLUTE DEVIATION MODEL AND MARKOWITZ MEAN VARIANCE MODEL IN PORTFOLIO OPTIMIZATION AND THE APPLICATION OF THEM IN IMKB DATA Araş.Gör. Flz KARDİYEN ÖZET Portföy teors temel oluştura Markowtz Ortalama- Varyas Model kullaımıda büyük boyutlu ver kullaıldığıda, şlem zorlukları le karşılaşılması edeyle, alteratf br çok model öerlmştr. Ortalama Mutlak Sapma Model, bu amaçla öerle br portföy optmzasyo modeldr. Bu çalışmada Ortalama-Varyas Model le Ortalama Mutlak Sapma Model teork alamda taıtılmış, İMKB verler ve br smülasyo model ç her k modele at souçlar karşılaştırmalı olarak celemştr. ABSTRACT Markowtz s Mea-Varace Model, the basc of portfolo theory, have calculato dffcultes whe t s used wth large scale data. A umber of alteratve models have bee proposed to overcome ths problem. Mea Absolute Devato Model (MAD) s a portfolo optmzato model proposed for ths purpose. I ths study, Markowtz s Model ad MAD Model are theorcally preseted, the results obtaed from these models usg IMKB data ad a smulato model are aalyzed comparatvely. Markowtz Ortalama-Varyas Model, Ortalama Mutlak Sapma Model, Durağa Pareto Pazar. Markowtz s Mea Varace Model, Mea Absolute Devato Model, Stable Pareta Market. Gaz Üverstes, Fe-Edebyat Fakültes, İstatstk Bölümü, Akara

KARDİYEN 2008. GİRİŞ Geleeksel portföy optmzasyou problem, mekul kıymetler ç getr oraı ve rsk arasıda makul br terch le br yatırım plaı oluşturmaktır. Markowtz Ortalama-Varyas Model, mmum rskl, belrl br ortalama getr oraıı sağlaya portföy elde etmek ç tek peryotlu statk br modeldr. Markowtz çalışması temel alıarak, ayı problem ç çok sayıda alteratf model öerlmştr. Bu alteratf modeller temel amacı, oral karesel programlama probleme at hesaplama karmaşıklığıı üstesde gelmektr. Ortalama Mutlak Sapma (MAD) ve Mmax (MM) modeller bu modellere verleblecek öreklerdr. Markowtz 950 l yıllarda doktora tez olarak başladığı ve daha sora portföy yöetm temel taşlarıda br ola çalışması le portföy yöetm alayışıda köklü değşklkler olmuştur. Daha öceler portföy yöetmde esas ağırlık breysel varlık seçm üzereyke, Markowtz le beraber rsk-getr değşm çerçevesde varlıkları brbrleryle lşks ortaya koulmuş, dolayısıyla çeştledrme ve portföyü tümüü değerledrlmes güdeme gelmştr. 2 Markowtz portföy optmzasyo model, teork alamdak üüe rağme büyük boyutlu (large-scale) portföyler oluşturmada yaygı olarak kullaılmamaktadır. Buu e öeml ede, büyük boyutlu br karesel problem çözümüde karşılaşıla hesaplama zorluklarıdır. Ayrıca büyük boyutlu portföyler ç, optmal çözümü yorumlaması kousuda da zorluklarla karşılaşılmaktadır. 960 lı yıllarda tbare br çok araştırmacı 3,4, Markowtz Ortalama-Varyas Model bahsedle dezavatalarıı haffletmek amacıyla çeştl modeller gelştrmşlerdr. Hsse seed fyatlarıı etkleye faktörler dkkate alıdığı deks modeller kullaımı, araştırmacılara şlem mktarıı azaltma mkaı vermştr. Sermaye varlıklarıı fyatlama ve arbtra fyatlama gb varlık fyatlarıı açıklamaya yöelk dege modeller se oldukça popüler olmuştur. Sermaye Varlıklarıı Fyatlama Model, Markowtz kuramıa dayamaktadır acak k model arasıda öeml farklar bulumaktadır. Özellkle, dege modeller pazar portföyü le 2 3 4 Jog Soo KIM, Yog Cha KIM ad K Youg SHIN, A Algorthm for Portfolo Optmzato Problem, Iformatca, C. 6, S., 2005, s. 93. Mustafa Özçam, Varlık Fyatlama Modeller Aracılığıyla Damk Portföy Yöetm, Sermaye Pyasası Kurulu Yayıları, Ya. No. 04,Tsamat Basım Saay, Akara 997, s. 5. Wllam F. SHARPE, A Smplfed Model for Portfolo Aalyss, Maagemet Scece, C. 9, S.2, 967, s. 277-293. Berell K. STONE, A Lear Programmg Formulato of the Geeral Portfolo Selecto Model, Joural of Facal ad Quatatve Aalyss, C.8,973, s. 62-636. 336

C.3, S.2 Portföy Optmzasyouda Ortalama Mutlak Sapma Model varlıkları getr oraları arasıdak bast lşky elde etmek ç gerçekç olmaya varsayımlar gerektrmektedr. 5 Koo ve Yamazak 6, Markowtz Ortalama-Varyas portföy seçm modele alteratf olarak, br portföy optmzasyo model ola Ortalama Mutlak Sapma (MAD) model öermşlerdr. MAD Model, Ortalama-Varyas Modeldek amaç foksyouda mmze edlmek üzere ele alıa varyas yere ortalama mutlak sapmayı kullamıştır. Böylece portföy seçm problem, br karesel programda doğrusal programa döüşmüştür. 7 Markowtz Modele alteratf olarak öerle br başka model de Youg 8 tarafıda gelştrle Mmax portföy seçm modeldr. Bu modelde, portföy seçm tarh getr verler le yapılmakta ve optmal portföy bast br doğrusal programlama problem çözümü olarak elde edlmektedr. Presp, mmum getr maksmze edlmes ya da maksmum kaybı mmze edlmes düşücese dayamaktadır. Mmax Modelde rsk ölçüsü olarak se varyas yere mmum getr kullaılmıştır. 9 Bu çalışmada, Markowtz Ortalama-Varyas Model le brlkte, bu modele alteratf olarak öerle Ortalama Mutlak Sapma (MAD) Model taıtılmış ve bu modeller İMKB hsse seetler üzerde uygulaarak, portföy performasları karşılaştırılmıştır. II. ve III. bölümde sözü edle modeller matematksel gösterm ve şleyşlere yer verlmş, IV. Bölümde İMKB üzerde bu modeller uygulamaları yapılmış ve her k modelle elde edle e y portföyler ç performas karşılaştırmaları br durağa pazar ç smülasyo model tasarlaarak elde edlmştr.. So bölümde se tartışma ve souçlar yer almaktadır. 2. MARKOWİTZ İN ORTALAMA-VARYANS MODELİ Markowtz, moder portföy teors kurucusu olarak kabul edlr. Oral ktabı ve makalesde moder portföy teors lk kez açıkça taımlamıştır. Ktap, aladak gelşmelere temel oluştura kavram ve öerler çermektedr. Markowtz 959 da yayıladığı bu eserde, çok sayıda mekul kıymet çere portföyler aalz üzerde durmuş ve mekul kıymet seçm değl portföy seçm üzere yoğulaşmıştır. Portföy problem, 5 Hrosh KONNO, Hroak YAMAZAKI, Mea-Absolute Devato Portfolo Optmzato Model ad Its Applcatos to Tokyo Stock Market, Maagemet Scece, C.37, 99, S.5, s. 59. 6 KONNO,YAMAZAKİ, s. 59-53. 7 Yusf SIMAAN, Estmato Rsk Portfolo Selecto: The Mea Varace Model Versus the Mea Absolute Devato Model, Maagemet Scece,C. 43, S.0,997, s. 437. 8 Mart R. YOUNG, A Mmax Portfolo Selecto Rule wth Lear Programmg Soluto, Maagemet Scece, C. 44, S. 5, 998, s. 673. 9 YOUNG, s. 673. 337

KARDİYEN 2008 varlıklarda oluşa portföyü ortalama ve varyasıı seçm problem olarak formüle etmştr. 0 Markowtz e göre portföy aalz, breysel mekul kıymetlerle lgl blgyle başlar ve portföyü bütüüyle lgl souçlarla so bulur. Bu aalz amacı yatırımcıı amacıyla e y uyuşa portföyler bulmaktır. Mekul kıymetler breysel olarak geçmş performasları öeml br blg kayağıdır. Acak portföy seçm yalız geçmş performaslara değl, gelecek hakkıda makul açlara da dayamalıdır. Geçmş performaslara dayaa seçmlerde, geçmş getrler ortalamalarıı gelecektek muhtemel getr ç y tahmler olduğu ve getr geçmştek değşkelğ gelecektek belrszlğ ç y br ölçü olduğu varsayılır. Markowtz ele aldığı öeml br okta da, mekul kıymetler göze çarpa br özellğ ola getrler arasıdak lşkdr. Bu teor öeml mesaı, varlıkları yalızca mekul kıymetler ked özelklere göre seçlmemeler gerektğdr. Buu yere, br yatırımcı her mekul kıymet dğer mekul kıymetlerle ola karşılıklı hareketler de dkkate almalıdır. Brçok ekoomk celk gb, mekul kıymetler getrler de brlkte artıp, azalma eğlmdedr. Bu korelasyo mükemmel değldr. Eğer mekul kıymet getrler lşkl değlse, çeştledrme rsk elme edeblr. Tüm mekul kıymetler getrler mükemmel br uyum çde artıp, azaldığı durumda se çeştledrme rsk elme etmek ç br şey yapamaz. Markowtz stele rsk düzeyde maksmum getry sağlaya ya da stele getr düzeyde mmum rske sahp portföylere etk portföy, rsk-getr grafğde etk portföyler brleştre eğrye se etk sıır adıı vermştr. Model varsayımları; yatırımcıları rskte kaça breyler oldukları ve yatırımları olasılık dağılımlarıı yaklaşık ormal olduğudur. Brde fazla mekul kıymette oluşa br portföyü beklee getrs ve rsk () ve (2) olu formüller le hesaplamaktadır: E(r ) p = E(r ) x () = 2 p cov (r,r ) x x = = σ = (2) x : mekul kıymet portföydek oraı E(r p ) : portföyü beklee getrs 2 σ p : portföy varyası (rsk) 0 Edw J. ELTON, Mart J. GRUBER, Moder Portfolo Theory, 950 to Date, Joural of Bakg ad Face, C. 2, 997, s.744. Harry M. MARKOWITZ, Portfolo Selecto: Effcet Dversfcato of Ivestmet,, New York, Wley, 959,s.3-5. 338

C.3, S.2 Portföy Optmzasyouda Ortalama Mutlak Sapma Model E(r ) : mekul kıymet beklee getrs cov (r,r ) : ve mekul kıymetler getrler kovaryası : mevcut mekul kıymet sayısı İk mekul kıymette oluşa br portföyü rsk vere formül (3) te verlmştr: σ = x σ + x σ + 2 x x σ σ ρ (3) 2 2 2 2 2 p ρ : ve mekul kıymetler getrler arasıdak korelasyo katsayısı Markowtz etk sıırıı elde etmek ç amaç foksyou ve kısıtlar (4) te verlmştr: kısıtlar M = = x x σ x E(r ) R (4) = = x = 0 x, =,2,..., R: hedeflee beklee getr düzey Modelde portföy rsk, portföy beklee getrs belrl br hedef getr düzeye eşt yada bu düzeyde büyük olması, mekul kıymetlere portföy çde verle ağırlıkları sıfır le br arasıda olması ve bu ağırlıkları toplamlarıı bre eşt olması kısıtları altıda mmze edlmektedr. Hedeflee getr düzey değşk değerler ç, yukarıdak karesel programı çözülmes le her R değer ç e küçük varyaslı portföy elde edlr. 2 3. ORTALAMA MUTLAK SAPMA (MAD) MODELİ Koo 3, 988 yılıdak çalışmasıda, öerdğ ye br portföy optmzasyo model le Markowtz model teork ve hesaplama alamıda gelştrerek, karesel programlamaı getrdğ geş portföylerdek hesaplama zorluklarıı doğrusal programlama le aşmaya çalışmıştır. 2 Harry M.MARKOWITZ, Mea-Varace Aalyss Portfolo Choce ad Captal Markets, New York, Basl Blackwell, 987, s. 3-4. 3 KONNO, YAMAZAKI, s. 59-53. 339

KARDİYEN 2008 Öerle bu modelde rsk, portföy getrs varyas veya stadart sapma foksyou yere mutlak sapma foksyou le fade edlmştr. w(x) = E R x E R x = = (5) Burada, E[.] paratez çdek rasgele değşke beklee değer göstermektedr. R : varlığıı getr oraı, x : varlığıa yatırılacak ola mktar olmak üzere, w( x ): rsk temsl ede ve mmze edlecek ola getrler ortalama mutlak sapma foksyouu fade etmektedr. Varlık getrler ortak olasılık dağılımı ormal dağılım se, portföy getrler tek değşkel ormal dağılıma sahp olacaktır. Koo ve Yamazak 4, ormal dağılımı ortalama mutlak sapmasıı stadart sapması le oratılı olduğuu göstermşlerdr. Souç olarak, varlık getrler ortak ormallğ altıda, MAD Model le Markowtz Model ayı etk set vermektedr. Bu, ( ) 2 R,R,...,R getr oraları, çok değşkel ormal dağılıma sahp seler k ölçü ayıdır. Ya ( R,R 2,...,R ) getr oraları çok değşkel ormal dağıldıklarıda, w( x) foksyouu mmze etme σ (x) foksyouu mmze etmek olduğu alamıa gelmektedr. 5 m mze w(x) = E R x E R x = = = = ( ) s.t. E R x ρ M x 0 0 = M 0 x u =,..., (6) R : rasgele değşke, varlığıı getr oraı x : M 0 toplam parada, varlığıa yatırılacak ola para mktarı u : varlığıa yatırılablecek maksmum para mktarı ρ : yatırımcıı stedğ mmal getr oraı M : yatırım yapılacak toplam para mktarı t 0 r : t zama peryodu ( t,...,t ) = ç getr oraıdır ve bu getr oraıı tarh verlerde veya bazı gelecek le lgl tahmlerde elde edleblr olduğu varsayılır. Ayrıca, rasgele değşke beklee değer bu verlerde elde edle ortalamaya yakısayacağı da varsayılır. 4 KONNO, YAMAZAKI, s. 59-53. 5 SIMAAN, s.437. 340

C.3, S.2 Portföy Optmzasyouda Ortalama Mutlak Sapma Model ( ) t t= olsu. Bu durumda w( x ), (8) dek gb olur: T r = E R = r T (7) E R x E R x r r x = = T t = = a = r r, =,...,, t =,...,T olsu. t t T = ( t ) (8) m mze w(x) = a x T = = T t= = s.t. r x ρ M 0 x 0 = M 0 x u =,..., t (9) Bu durumda problem, (9) da verle e küçükleme probleme döüşür: Bu model, (0) da verle doğrusal programlama modele dektr: m mze w(x) = y T T t= s.t. y + a x 0, t =,...,T t t = y a x 0, t =,...,T t t = = = r x x 0 0 = M t ρ M 0 x u =,..., (0) Model amaç foksyouda, her br peryotta ortalama sapmalar mmze edlmektedr. Bu model bazı avataları şulardır: Model kurmak ç varyas-kovaryas matrs hesaplamak zoruda değldr. Ayrıca, ye ver ekledğde, model gücellemek oldukça kolaydır. 34

KARDİYEN 2008 Doğrusal br programı çözmek dğerlere göre daha kolaydır. Ayrıca modelde çerle mekul kıymet sayısı e olursa olsu, foksyoel kısıtları sayısı sabt kalır, böylece bde fazla varlık ç problem çözüleblr. Model br optmal çözümü * = ( *,..., * ) x x x eğer u =, =,..., se e fazla 2T+2 poztf bleşe çerr. Bu, br optmal portföyü hag geşlkte olursa olsu e fazla 2T+2 varlıkta oluşacağı alamıa gelr. Dğer yada Markowtz Model le elde edle portföy kadar varlık çereblr. N, 000 üzerde olduğuda aradak fark oldukça fazladır. Portföydek varlık sayısıı kısıtlamak stedğmzde, T kotrol değşke olarak kullaılablr. 6 Model bu avatalarıı yaı sıra, varyas-kovaryas matrs görmezde gelme faydasıda daha öeml büyük tahm rsklere yol açtığı görüşler de yer almaktadır. 4. UYGULAMALAR Bu bölümde, Markowtz Ortalama-Varyas Model ve MAD Model İMKB de elde edle gerçek br ver sete ve smülasyo le üretlmş ver setlere uygulaarak, her k model portföy seçmdek performasları celemştr. 4.. İMKB Vers Gerçek ver çalışmasıda, 2000-2005 yılları arasıda İMKB-50 edeksde yer ala hsse seetlerde 5 taes rasgele seçlerek, bu hsse seetler Hazra 2000 Aralık 2003 döemler arasıdak aylık getr değerler kullaılmış ve bu tarh getr verse MAD Model ve Markowtz Ortalama-Varyas Model uygulamıştır. Hesaplamalar çeştl aylık hedef beklee getr değerler ç yapılmıştır. Çalışmada kullaıla hsse seetler ; Ak Sgorta (AKGRT), Arçelk (ARCLK), Aygaz (AYGAZ), Beko (BEKO), Doğa Holdg (DOHOL), Fasbak (FINBN), Garat Bakası (GARAN), Gma (GIMA), Hürryet Gazetes (HURGZ), Kardemr (KRDMD), Mgros (MIGRS), Petrol Ofs (PTOFS), Sabacı Holdg (SAHOL), Tasaş (TNSAS), Trakyacam (TRKCAM) dır. Değşk hedef getr düzeyler ç, hsse seetler portföyde yer alma oraları Markowtz Model ve MAD Model ç Tablo ve Tablo 2 de verlmştr. 6 KONNO, YAMAZAKI,s. 520-525. 342

C.3, S.2 Portföy Optmzasyouda Ortalama Mutlak Sapma Model Tablo :Markowtz Ortalama-Varyas Model Aalz Souçları HİSSE P P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 0 SENEDİ AKGRT 0 0 0 0,0007 0,05 0,04 0 0 0 0 ARCLK 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AYGAZ 0,04 0,04 0 0 0 0 0 0 0 0 BEKO 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02 DOHOL 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 FINBN 0,0 0,0 0,04 0,09 0,3 0,5 0,20 0,23 0,25 0,26 GARAN 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 GIMA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 HURGZ 0 0 0 0 0 0,04 0,20 0,37 0,54 0,72 KRDMD 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 MIGRS 0,64 0,64 0,57 0,37 0,7 0 0 0 0 0 PTOFS 0 0 0 0,0023 0,005 0,004 0 0 0 0 SAHOL 0 0 0 0 0 0,045 0 0 0 0 TNSAS 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 TRKCAM 0,3 0,3 0,39 0,53 0,65 0,7 0,60 0,40 0,20 0 HEDEF GETİRİ 0,0 0,05 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05 0,055 Tablo 2: MAD Ortalama Mutlak Sapma Model Aalz Souçları HİSSE P P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 0 AKGRT 0 0 0 0 0 0,0004 0 0 0 0 ARCLK 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AYGAZ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 BEKO 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 DOHOL 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 FINBN 0 0 0,02 0,06 0,06 0,05 0,0 0,09 0,07 0,054 GARAN 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,005 GIMA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 HURGZ 0 0 0 0 0,2 0,25 0,25 0,42 0,6 0,80 KRDMD 0 0 0 0 0 0,02 0 0 0 0 MIGRS 0,58 0,58 0,57 0,35 0,25 0,7 0 0 0 0 PTOFS 0 0 0 0,02 0,08 0,3 0,04 0 0 0 SAHOL 0 0 0 0 0 0,02 0 0 0 0 TNSAS 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 TRKCAM 0,42 0,42 0,4 0,57 0,49 0,36 0,6 0,49 0,32 0,4 HEDEF GETİRİ 0,0 0,05 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05 0,055 İMKB verlere her k model uygulaması soucuda elde edle portföyler getr ve varyasları (rskler) Tablo-3 te yer almaktadır. 343

KARDİYEN 2008 Tablo 3: Markowtz ve MAD Model le İMKB Verlerde Elde Edle Portföyler Getr ve Varyasları MAD Model Hedef Markowtz Model Portföy getr Getr Varyas Getr Varyas P 0,00 0,077 0,089 0,094 0,090 P 2 0,05 0,077 0,089 0,094 0,090 P 3 0,020 0,0200 0,090 0,0200 0,090 P 4 0,025 0,0250 0,0202 0,0250 0,0202 P 5 0,030 0,0300 0,0226 0,0300 0,0234 P 6 0,035 0,0350 0,0260 0,0350 0,0294 P 7 0,040 0,0400 0,03 0,0400 0,038 P 8 0,045 0,0450 0,039 0,0450 0,040 P 9 0,050 0,0500 0,050 0,0500 0,058 P 0 0,055 0,0550 0,064 0,0550 0,0670 Tablo 3 celedğde, Markowtz Ortalama-Varyas Model ve MAD Model le elde edle portföyler getrler geelde brbrleryle ayı ya da çok yakı oldukları gözlemektedr. Portföy varyasları celedğde se, Markowtz Ortalama-Varyas Model le elde edle portföyler MAD Model le elde edle portföylerle ya ayı ya da daha küçük varyasa sahp oldukları görülmektedr. Modeller İMKB verse uygulaması le elde edle bu souçları, deemeler daha farklı hsse seed sayısı, zama peryodu sayısı ve br durağa dağılım varsayımı altıda tekrarlaması halde souçları asıl olacağıı görmek amacıyla br sorak bölümde br smülasyo model kurulmuş ve uygulamıştır. 4.2. Smülasyo Çalışması Br rasgele değşke hareket karakterze etme ve özetleme e uygu yötem, ou dağılım foksyou le taımlamaktır. Gerçekte herhag br aaltk foksyo, br değşke dağılımıa tam olarak uysa ble, hag özel foksyou değşke dağılımıı belrleyeceğ hakkıda doğal br kural yoktur. Pratkte, örekleme dağılımıı özellkler dağılım foksyouu özellkler le karşılaştırılarak uygu br foksyo şeçleblmektedr. Mekul kıymet getrler dağılımı da portföy yöetm çersde celee ve araştırıla br koudur. 7 960 lı yıllara kadar geellkle fyat değşmler ormal dağılıma uyduklarıa aılmaktaydı ve üzerde araştırma ve çalışmaları yoğuluk 7 R.R. OFFICER, The Dstrbuto of Stock Returs, Joural of Amerca Statstcal Assocato, C. 67, S. 340, 972, s. 807. 344

C.3, S.2 Portföy Optmzasyouda Ortalama Mutlak Sapma Model kazadığı moder portföy kuramı bu varsayım üzere kurulmuştur. Acak spekülatf fyat hareketlerde kayaklaa hsse seetlerdek aşırı düşüş ve yükselşler ormal dağılım varsayımıı zorlamaktadır. Durağa dağılımlar se ormal dağılıma göre uçdeğerler büyesde buludurma olasılığı daha yüksek ola dağılımlardır. Kalı kuyruk (fat-taled) tpdek durağa dağılımlar bulara y örektr. 8 Çalışmaı bu bölümüde amaç, ele alıa portföy seçm yötemler performaslarıı mekul kıymet getrler dağılım özellkler de dkkate alarak, değşk parametreler ç tekrarlaa deemelerde gözlemleyerek, karşılaştırmalı souçlar elde etmektr. Markowtz Ortalama-Varyas Model le MAD Model ç getr oraları çok değşkel ormal dağılıma sahp seler, k ölçüü ayı olduğua değlmşt. Normal dağılıma br alteratf olarak öerle durağa dağılımları portföy aalzde kullaılması yukarıda da değldğ gb br takım avataları beraberde getrmektedr. Getrlere lşk aykırı ve uç değerler büyesde tutma olasılığıı yüksek oluşu ve doğrusal brleşmler durağa dağılımlar altıda celemes daha kolay oluşu (portföyler de mekul kıymetler doğrusal brleşmler olması edeyle bu özellk öemldr) bu tür dağılımları k öeml avataıdır. Bu edelerle smülasyo çalışması getrler smetrk durağa Pareto dağılımıı özel br türü ola Cauchy dağılımıa sahp olduğu varsayımı altıda gerçekleştrlmştr. 4.2.. Durağa Pareto Dağılımı Durağa Pareto dağılımları α, β, δ ve γ olmak üzere dört parametreye sahptr. α parametres dağılımı karakterstk üssü olarak taımlaır. Bu parametre dağılımı extrem kuyruklarıı yükseklğ belrler ve 0 le 2 arasıda değerler alır.( 0 < α 2 ) α = 2 olduğuda lgl Perto dağılımı ormal dağılıma döüşür. 0 < α < 2 olduğuda, durağa pareto dağılımıı extrem kuyrukları ormal dağılımıkde yüksek olur. Dağılımı acak α = 2 ke varyası ve α > ke ortalaması vardır. β parametres - le arasıda herhag br değer alable br çarpıklık deksdr ( β ). β = 0 olduğuda dağılım smetrktr. β > 0 olduğuda dağılım sağa çarpık, β < 0 olduğuda dağılım sola çarpıktır. δ parametres durağa Pareto dağılımıı koum parametresdr. α > olduğuda, δ dağılımı beklee değer veya ortalaması olur. α olduğuda se dağılımı ortalaması sosuzdur. Bu durumda δ, dağılımı koumuu belrleyecek başka br parametre olacaktır ( öreğ; β = 0 ke medya). 8 İbrahm E. ÜSTÜNEL, Durağa Portföy Aalz ve İMKB Verlere Uygulaması, İstabul,, İMKB Yayıları, 2000, s.75-76 345

KARDİYEN 2008 γ parametres değer durağa Pareto dağılımıı ölçüsüü belrler. Öreğ, α = 2 ke (ormal dağılım), γ varyası.5 katıdır. α < 2 ke, durağa Pareto dağılımıı varyası sosuz olur. Bu durumda dağılımı ölçüsüü belrleye solu br γ parametres olacaktır acak bu varyas olmayacaktır. Öreğ, α = ve β = 0 ke (Cauchy dağılımı), γ çeyrek ayrılıştır. Durağa Pareto dağılımıı portföy aalz ç aahtar özellğ durağa olmasıdır. Br durağa Pareto dağılımı, herhag br toplam altıda sabt ya da durağa ola dağılımdır. Buu alamı; bağımsız ve ayı dağılımlı durağa Pareto değşkeler toplamlarıı dağılımı durağa Pareto dağılımı olmalı ve breysel toplama elemalarıı dağılımlarıyla ayı formda olmalıdır. Daha bast olarak durağalık, toplama şlem α ve β parametreler değerler sabt kalması alamıa gelr. 9 4.2.2. Portföy Aalz Model Durağa br Pareto market ç geel br portföy model oluşturulmak stedğde, k problemle karşılaşılmaktadır. Bu problemlerde brcs, getrler dağılımlarıı karakterstk üssü α parametres değer 2 de küçük olması durumuda bu dağılımları varyasları sosuz olur ve bu durum dağılma ölçüsü olarak başka br parametre kullaılması gerekllğ ortaya çıkarır. γ parametres bu alamda e doğal adaydır. İkc problem, α < 2 ke kovaryası y taımlı br statstksel kavram olmadığı görüleblr. Bu edele br durağa Pareto portföy model kurulduğuda mekul kıymetler arası lşky taımlamada kovaryas kavramıda kaçımalıdır. N tae mekul kıymette oluşa br pazar düşüülsü. Getr dağılımlarıı α = ve β = 0 parametrelere sahp durağa Pareto dağılımıı özel br hal ola Cauchy Dağılımıa sahp oldukları varsayılmıştır. mekul kıymet getrs R ve her br R ked olasılık dağılımıa sahp rasgele değşkedr. Farklı mekul kıymetler getrler, brbrleryle lşkl olaları modelde I le gösterle ve ked olasılık dağılımıa sahp ortak br faktörle (pazar faktörü) lşkl olmalarıda kayakladığı varsayılsı. Bu durumda model aşağıdak gbdr: R = A + b I + C =,2,..., N () b, R getrs le I edeks sayısı arasıdak lşk br ölçüsüdür. C modelde rasgele hatayı fade ede rasgele değşkedr. Bu termler beklee değer sıfır ( E( C ) = 0, =,2,..., N ) olduğu ve farklı mekul kıymetler ç lşksz oldukları varsayılır. I ve C değşkeler Cauchy dağılımıa sahp, brbrde bağımsız rasgele değşkeler oldukları varsayılsı. O halde 9 Eugee. F. FAMA, Portfolo Aalyss a Stable Pareta Market, Maagemet Scece,C., S. 3, 965, s. 404-406. 346

C.3, S.2 Portföy Optmzasyouda Ortalama Mutlak Sapma Model D = A + C (2) şeklde taımlaacak ye değşkeler de beklee değer A, =,2,..., N ola Cauchy dağılımıa sahp olacaktır. b I term mekul kıymet getrs pazar bleşe olarak düşüüldüğüde, D getr, yalız frmayı etkleye faktörlerde kayaklaa kısmıı fade ede breysel bleşe olarak düşüüleblr. Model yede aşağıdak şeklde yazılablr: R = D b I (3) + Mekul kıymet getrler Cauchy değşkeler doğrusal bleşe olarak fade edldğde, ye Cauchy dağılımıa sahp br değşkedr. Markowtz Ortalama-Varyas Model le MAD Model souçlarıı ormallk varsayımı olmadığıda celemek amacıyla düzelee smülasyo çalışması ç portföy aalz model kurulmasıı ardıda, değşk dağılım parametreler ç deemeler gerçekleştrlmştr. Çalışmaı lk aşamasıda, ayı sayıda mekul kıymet, zama peryodu ve ayı dağılım parametrelere sahp olacak şeklde, getrler ç 250 adet Cauchy dağılımıa sahp ver set üretlmştr. D ve I değşkeler, γ = 0. 03, δ = 0.00 parametrel ve γ = 0.4, δ = 0.05 parametrel Cauchy dağılımlarıda üretlmşler, b değerler se deeysel bulgularda yola çıkılarak -0.0 le 0.0 aralığıda rasgele seçlmştr. Bu adımlar soucuda, durağa br market elde edlmş olur. Ardıda, üretle bu ver setler ç Markowtz Model ve MAD model uyguladıkta sora elde edle portföy beklee getrler ve varyaslarıa lşk hpotez testler gerçekleştrlmştr.. hpotez testde; H 0 : Markowtz Model le elde edle portföyler beklee getrler le MAD Model le elde edle portföyler beklee getrler bezer dağılıma sahptr hpotez, H : Markowtz Model le elde edle portföyler beklee getrler, MAD Model le elde edle portföyler beklee getrlerde büyük olma eğlmdedr hpoteze karşı test edlmştr. 2. hpotez testde se; H 0 : Markowtz Model le elde edle portföyler varyasları le MAD Model le elde edle portföyler varyasları bezer dağılıma sahptr hpotez, H : Markowtz Model le elde edle portföyler varyasları, MAD Model le elde edle portföyler varyaslarıda küçük olma eğlmdedr hpoteze karşı test edlmştr. Her k hpotez test ç de Ma Whtey U Test statstğ kullaılmış ve bu şlemler 00 kez tekrar edldkte sora, hpotezler reddetme oraları hesaplatılmıştır. Bütü hesaplamalar ç MATLAB 7.5 paket programı kullaılmıştır. Her br deemeye lşk parametreler ve hpotez testler souçları Tablo 4 de yer almaktadır: 347

KARDİYEN 2008 Mekul kıymet sayısı () =4 =6 =8 =0 Tablo 4: Smülasyo Souçları Zama peryodu sayısı (T) γ = 0.03 δ = 0. 00 γ = 0. 4 δ = 0.05. hp. red oraı 2. hp. red oraı. hp. red oraı 2. hp. red oraı 2 0 0.9 0.72 24 0 0.84 0.36 0.77 36 0 0.84 0.36 0.73 48 0 0.95 0.47 0.67 2 0 0.86 0 0.90 24 0 0.92 0 0.83 36 0 0.97 0 0.9 48 0 0.95 0 0.9 2 0 0.96 0 0.95 24 0 0 0.93 36 0 0.99 0 0.99 48 0 0.95 0 0.93 2 0 0.98 0 0.94 24 0 0 0.95 36 0 0 0.96 48 0 0 0.98 Tabloda. hpotez test souçları celedğde, γ = 0. 03 ve δ = 0.00 parametrel Cauchy dağılımıyla elde edle portföyler ç,. hpotez hçbr zama reddedlmedğ görümektedr. γ = 0. 4 ve δ = 0.05 parametrel Cauchy dağılımı ç se mekul kıymet sayısıı 4 olduğu durum dışıda (k bu durumda deemeler yarısıda çoğuda ye ayı souç söz kousudur), ayı souç gerçekleşmştr. Portföy varyaslarıa lşk 2. hpotez test souçlarıa bakıldığıda se; ye 2. dağılımda =4 olduğu durum dışıda (k bu değerler de oldukça yüksektr) H 0 hpotez yüksek oralarda reddedlmş ve deemeler büyük çoğuluğuda Markowtz Model le elde edle portföy varyaslarıı, MAD Model le elde edle portföy varyaslarıda küçük olma eğlmde olduğu soucua varılmıştır. 5. SONUÇ Markowtz portföy yöetm alayışıda köklü değşklkler yarata Ortalama-Varyas Model rsk-getr değşm çerçevesde varlıkları brbrleryle lşks ortaya koya, dolayısıyla çeştledrme ve portföyü tümüü değerledrlmes güdeme getre ve güümüzde hale kullaılablrlğ ola br karesel programlama modeldr. Bu model büyük boyutlu portföyler ç kullaımıdak zorlukları aşmak ç zama 348

C.3, S.2 Portföy Optmzasyouda Ortalama Mutlak Sapma Model çde öerle br çok modelde br de Koo ve Yamazak 20 tarafıda öerle MAD Modeldr. MAD Model, rsk varyas yere ortalamada mutlak sapma le fade edldğ br doğrusal programlama modeldr. Bu çalışmada, her k model teork olarak taıtılmış, hem gerçek ver hem de smülasyo vers ç brbrleryle karşılaştırılmıştır. Gerçek ver çalışmasıda, İMKB-50 edeksde yer ala hsse seetlerde 5 taes arasıdak Hazra 2000 Aralık 2003 döemler arasıdak aylık getr değerler kullaılmış ve bu verlere her k model uygulaması le değşk hedef getr düzeyler ç portföyler elde edlmştr. İMKB vers le yapıla bu çalışmaı geelleeblr telkte olup olmadığıı araştırmak, farklı parametreler ç souçlarda meydaa gelecek değşmler celemek ç se kapsamlı br smülasyo model tasarlamıştır. Smaa 2 çalışmasıda, gerçekç şartlar altıda MAD Model ve MV model k farklı etk setler verecekler, buu her model farklı örek statstklerde yararlamasıda ve souç olarak ayı örekte çekle farklı blg sete dayamasıda kayakladığıı vurgulamıştır. Markowtz Ortalama-Varyas Modelde kulladığı örek ortalama vektörü ve örek kovaryas matrs ortak ormal dağılım ç ortak yeterl statstkler olmak gb br üstülükler olduğuu belrtmş, MAD Modelde kovaryas matrs göz ardı etme büyük tahm hatasıa yol açacak br blg kaybı le souçlaacağıı ler sürmüştür. Gerçek ver ve smülasyo çalışmaları bu görüşe paralel souçlamıştır. İMKB vers le yapıla çalışma soucuda, Markowtz Ortalama-Varyas Model ve MAD Model le elde edle portföyler getrler geelde brbrleryle ayı ya da çok yakı oldukları, Markowtz Model le elde edle portföyler MAD Model le elde edle portföylerle ya ayı ya da daha küçük varyasa sahp oldukları görülmüştür. Durağa Pareto dağılımıa sahp br pazar ç tasarlaa smülasyo çalışması soucuda elde edle souçları se gerçek ver çalışmasıı souçlarıı destekler telkte olduğu görülmüştür. Getrler ç ormal dağılım varsayımı sağladığıda k model brbr yere kullaılablmektedr. Bu çalışma soucuda, rskte kaça br yatırımcıya portföy seçm problem MAD Model yere, Markowtz Ortalama-Varyas Model le çözmes öerleblr. Her k model portföy getrler bazıda farklı souçlar vermemes edeyle, rsk sever br yatırımcıya kullaımıdak pratklk, şlem yüküü az olması, dağılım varsayımı gerektrmemes gb edelerle MAD Model le portföy seçm yapması öerleblr. 20 KONNO,YAMAZAKI,s. 59-53. 2 SIMAAN, s. 437-446. 349

KARDİYEN 2008 KAYNAKÇA. ELTON, Elto J. ad GRUBER, Mart J., Moder Portfolo Theory, 950 to Date, Joural of Bakg ad Face 2, 997. 2. FAMA, Eugee. F., Portfolo Aalyss a Stable Pareta Market, Maagemet Scece, No.3, 965. 3. KIM, Jog S., KIM, Yog C. ad SHIN, K Y., A Algorthm for Portfolo Optmzato Problem, Iformatca 6, No., 2005. 4. KONNO, Hrosh. ad YAMAZAKI, Hroak, Mea-Absolute Devato Portfolo Optmzato Model ad Its Applcatos to Tokyo Stock Market, Maagemet Scece 37, No.5, 99. 5. MARKOWITZ, Harry, Portfolo Selecto: Effcet Dversfcato of Ivestmet, Wley, New York, 959. 6. MARKOWITZ, Harry, Mea-Varace Aalyss Portfolo Choce ad Captal Markets, Basl Blackwell, New York, 987. 7. OFFICER R.R., The Dstbuto of Stock Returs, Joural of Amerca Statstcal Assocato 67, No.340, 972. 8. ÖZÇAM, Mustafa. Varlık Fyatlama Modeller Aracılığıyla Damk Portföy Yöetm, Sermaye Pyasası Kurulu Yayıları, Akara, 997. 9. SHARPE, Wllam F., A Smplfed Model for Portfolo Aalyss, Maagemet Scece 9, No. 2, 967. 0. SIMAAN, Yusf., Estmato Rsk Portfolo Selecto: The Mea Varace Model Versus the Mea Absolute Devato Model, Maagemet Scece 43, No.0, 997.. STONE, Berell K., A Lear Programmg Formulato of the Geeral Portfolo Selecto Model, Joural of Facal ad Quatatve Aalyss, 8, 973. 2. ÜSTÜNEL, İbrahm E., Durağa Portföy Aalz ve İMKB Verlere Uygulaması, İMKB Yayıları, İstabul, 2000. 3. YOUNG, Mart R., A Mmax Portfolo Selecto Rule wth Lear Programmg Soluto, Maagemet Scece 44, No. 5, 998. 4. İMKB, İMKB Şrketler Aylık Fyat ve Getr Verler, http://www.mkb.gov.tr/srket/fyat_getr.htm (4.07.2006), (2006). 350