Dr. Akarsu Hafta-4 11/16/2014 1

Dr. Akarsu Hafta-4 11/16/2014 1

GİRİŞ Olasılık dolaylı istatistiğin önemli metotlarının temelini oluşturmaktadır. Örneğin, cinsiyet belirleyici bir prosedür belirlediğinizi iddia ediyorsunuz ve her seferinde doğan çocuğun kız olma olasılığının arttığını iddia ediyorsunuz. Varsayalım doğan her 100 çocuktan sadece 2 tanesi erkek. Her 100 çocuktan 98 tanesi kız olsa bile bu oran yinede çok küçük olduğundan iddianın reddedilecektir. İstatistikçiler açıklamaları düşük olasılık olduğundan reddederler ve bunu yaparkende dolaylı istatiktiğin nadir olay kuralını (NOK) kullanır. NOK: Verilen belirli bir varsayım altında, eğer belirli gözlenen bir olayın olasılığı çok düşük ise, bu varsayımın muhtemelen doğru olmadığına karar veririz. 11/16/2014 2

TEMELLER Olay: Bir işlemin sonuç veya neticeler topluğuludur. Basit Olay: Sonuç veya daha basit parçalara ayrılamayan bir olaydır. Örneklem Uzayı (bir işleme göre): tüm olası basit olayları içerir. Örneklem uzayı daha fazla parçalanamayan tüm sonuçları kapsamaktadır. 11/16/2014 3

Örnek Aşağıdaki olayda f = kız ve m = erkek için kullanılmıştırç İşlem (Prosedür) Olay örneği Bütün örneklen uzayı Tek doğum 3 doğum Kız (basit olay) 2 kız ve bir erkek (ffm, fmf, mff basit olaydır) {f,m} {fff, ffm, fmf, fmm, mff, mfm, mmf, mmm} 11/16/2014 4

Olasılık Notasyonları P, Olasılığı simgeler A, B, C, özel olayları simgeler P (A), A olayının meydana gelme olasılığını simgeler 11/16/2014 5

Kurallar Rule 1: Olasılık Relatif Frekans Yaklaştırma Bir işlem (prosedür) gözle, ve A olayının gerçekte olma durumlarının say. Gerçek gözlemlerine göre, P(A) tahminen: P(A) = A olayının gerçekleşme adeti Denemenin kaç kere yapıldığı Örnek: Yazı tura atışı. 11/16/2014 6

Kurallar Kural 2: Olasılığa Klasik Yaklaşım: Varsayalım elimizde olan işlemde n değişik basit olay var ve her birinin gerçekleşme oranı eşittir. Eğer Olay A but n yolun s tanesinde oluyorsa o zaman: P(A) = Olay A nın olabilme olasılığı / basit olayları sayısı P(A) = s / n Örnek: Zar atmak. P(2) = 1/6 11/16/2014 7

Kurallar Kural 3: Subjektif (Öznel) Olasılık: Olay A nın olasılığı P(A) ilgili durumlar hakkındaki bilgileri kullanarak tahmin edilebilir. Örnek: Yarının yağmurlu olup olmayacağı olasılığı için, hava tahmini yapan kişilerin uzmanlıklarının kullanarak olasılık tahmini yapmaları. Bu özelliğe Büyük Sayılar Kanunu (BSK) denir. BSK ya göre, eğer bir işlem tekrar edilirse, bir olayın relatif frekans olasılığı (kural 1) gerçek olasılığa yaklaşma eğilimi gösterir. 11/16/2014 8

Bahisler Tipik bir piyangoda düzenleyenlerin kazanma olasılığı 65% ile %70 arasında değişir çünkü sadece 30% ile 35% arasındaki para dağıtılır. At yarışlarında ise düzenlerenlerin avantajı genelde 15% civarındadır. Kumarhanelerde ise düzenleyen rulette 5.26%, blackjackte 5.9%, krapte 1.4%, kumar makinesinde 22% dir. Profesyonel kumarbazlar blackjackte değişik kart sayma teknikleriyle sistematik olarak kazanabilirler. Bu yüzden gazinocular bunları istememektedirler. 11/16/2014 9

Örnek 1 NBA oyuncusu Reggie Millerin faul sonrası kullanacağı serbest atışı sayıya çevirme olasılığını bulunuz. Şimdiye kadar kullandığı 6679 serbest atışın 5915 ini sayıya çevirdi (NBA verilerine göre). (kural 1, çünkü örneklem uzayındaki olayların olma ihitmalleri eşit değil) 11/16/2014 10

Örnek 2 Genotipler. AA, Aa, aa, aa genotiplerinin herbirini bir kağıda yazar ve karıştırırsak ve rasgele birini seçersek, o kağıdın Aa genotipi olma olasılığı nedir? (rule 2) 11/16/2014 11

Örnek 3 Arabanızın bu yıl içinde bir meteor tarafından isabet edilme olasılığı nedir? (rule 3) 11/16/2014 12

Tümleyici Olaylar Olay A nın Tümleyicisi A (P(A)-bar) olayının gerçekleşmediği tüm sonuçların sayısıdır. Örneğin: Gerçekte daha çok erkek çocuğu dünyaya gelmektedir. Bir grupta 205 yenidoğan bebek var ve bunlardan 105 i erkektir. Eğer bir bebek rasgele seçilirse bu bebeğin erkek olmama olasılığı nedir? (Virgülden sonra üç basamağa kadar yazınız) 11/16/2014 13

Kazanma Şansı (Olasılık) Olay A karşısında Gerçek Kazanma Olasılığı P(A)-bar / P (A) veya a:b. Olay A lehinde gerçek kazanma olasılığının tam tersidir, b:a A olayına karşı Ödeme Olasılığı net karın (kazanılırsa) yatırılan bahiz parasına oranı. Ödeme olasılığı = net kar / yatırılan para 11/16/2014 14

Örnek Rulette 13 numaraya 5 dolar yatırılırsa, kazanma olasılığı 1/38 dir ve gazine tarafından verilen kazanma şansı 35:1 dir. a) 13 için Gerçek kazanma şansı nedir? b) Eğer 13 e para yatırılırsa elde edilecek gerçek gelir nedir? 11/16/2014 15

TOPLAMA KURALI Bileşik Olay iki veya daha fazla basit olayların birleştirilmesinden elde edilen bit olaydır. Toplama Kuralı: P (A veya B) = P (tek denemede A olayı veya B olayı olur veya her ikisi beraber olur) Formal Toplama Kuralı: P (A veya B) = P(A) + P(B) P (A ve B) P(A ve B): A ve B nin aynı anda olma olasılığı 11/16/2014 16

TOPLAMA KURALI Sezgisel Toplama Kuralı: P(A veya B) yi bulmak için A olayının olma sayısı ve B olayının olma sayısını topla. P (A veya B) bu toplamın örneklem uzayındaki sonuçlerın toplam sayısına eşittir. 11/16/2014 17

TOPLAMA KURALI Tümleyici Olaylar Kuralı: P(A) + P(A)-bar = 1 P(A) = 1 - P(A)-bar 11/16/2014 18

ÇARPMA KURALI P(A ve B) = P (olay A ilk denemede ve olay B ikinci denemede gerçekleşir) Örnek: D veya Y: A kilo pamuk bir kilo altından ağırdır? Aşağıdakilerden hangisi Genetiğe katkıda bulunmuş birisidir? a) Gene Hackmanb) Gene Simmons c) Gregor Mendel d) jeans e) JJ Rousseau 11/16/2014 19

Ağaç diyagramı Ağaç diyagramı bir işlemin mutemel sonuçlarının bir görüntüsüdür. Yandaki şekilde bir madeni paranın yazı tura atılması ve bir zarın yuvarlanması ile ilgili ağaç diyagramı vardır. 11/16/2014 20

Şartlı Olasılık P (B A), şartlı olasılık, B olayının A olayının gerçekleşmesinden sonra olma olasılığıdır. İki olar A ve B bağımsızdır eğer birinin olma olasılığı diğerinin olma olasılığını etkilemiyorsa. Eğer A ve B banğımsız değilse o zaman bağımlıdır. Formal Çarpma Kuralı: P (A ve B) = P(A) * P (B A) 11/16/2014 21

ÇARPMA KURALI Eğer A ve B bağımsız ise: P (A ve B) = P(A) * P (B) Eğer A ve B bağımlı ise P (A ve B) = P(A) * P (B A) 11/16/2014 22

ÇARPMA KURALI- Tümleyici ve Şartlı Olasılık Çarpma kuralı ve tümleyici kural beraber kullanılabilir: çok sayıda yapılan denemelerde en az bir olayın bazı belirli sonuçlarda gerçekleşmesidir. En az bir: Bir veya daha fazla demektir O çeşit bir tipten en az bir tanesini elde etmenin tümleyicisi ise o tipten hiç bir tanesinin elde edilememesidir. 11/16/2014 23

Örnekler 3 çocuk içinde en az 1 kız = 1 veya daha fazla kız En az 1 kızın tümleyicisi = hiç kız = 3 çocukta erkektir. 11/16/2014 24

En Az Bir Olasılığı Bir şeyin en az bir olasılığını bulmak için, hiç olmama olasılığı hesaplanır ve 1 den çıkarılırç P (en az bir) = 1 P (hiç) 11/16/2014 25

Şartlı Olasılık Bir olayın şartlı olasılığı başka bir olayın halihazırda olduğu ek bilgisiyle bulunabilir. P (B A) = P (A ve B) / P (A) 11/16/2014 26

Simülasyonlarla Olasılık Bir işlemin simülasyonu o işlem ile aynı şekilde davanan bir süreçtir ve aynı sonuçlar elde edilir. Örnek: Cinsiyet seçimler üzerine yapılan araştırmalarda doktorlar farklı sonuzların olma olasılığını bilmek zorundadırlar örneğin 10 çocuktan en 60ının kız olması. Erkek ve kızların doğma oranlarının eşit olduğunu varsayarsak, yenidoğan 100 çocuğun cinsiyet sonuçlarını eçıklayan bir simülasyon tanımlayın? 11/16/2014 27

Örnek- Cevap Bir çözün yazı tura atmaktır. (t-kız, y- erkek) Bir hesap makinesi veya bilgisayar yardımıyla rasgele 0 ve 1 sayılarını oluşturun (0-e, 1-k) Örnek 2: 24 kişilik bir topluluktakilerin en ikisinin doğum gününün aynı olma olasılığını simüle edin? 11/16/2014 28

SAYMA Çoğu istatistik problemlerindeki en önemli sorunlardan birisi tüm sonuçların sayılmasıdırç Temel Sayma Kuralı: İki ardışık olay için, birinci olay m değişik şekilde olabilir ve ikinci olay n değişik şekilde olabilir, bu iki olay beraber m * n değişik şekilde olabilir. 11/16/2014 29

Örnek (Kimlik hırsızlığı). Farzedelim bir hırsız sizin TC kimlik nonuzunu kullanırken yakalandı ve o sayıları tamamen rasgele kullandığını iddia ediyor. 11 basamaklı TC kimlik numaranızın tamamen rasgele olarak bulunma olasılığı nedir? Hırsız haklı olabilirmi? 11/16/2014 30

Cevap Her bir basamağın 10 olası sonucu vardır: 0,1 2,...9. Temel sayma kuralını uygularsak 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100,000,000,000 Yani sizin kimlik numaranızı rasgele elde etme ihtimali 1 / 100,000,000,000 11/16/2014 31

Faktöriyel Faktöriyal sembolü (!) azalan pozitif tam sayıların çarpımıdır. Örneğin: 4! = 4*3*2*1 = 24. (0! = 1) Faktöriyel Kuralı: n değişik öğenin toplamı n! değişik şekilde ifade edilebilir. 11/16/2014 32

Permütasyon Kuralı (tüm öğeler farklı) Koşullar 1. N değişik öğenin olması gerekir. 2. N öğeden r tanesini seçeriz. (yenileme yok) 3. Aynı öğelerin düzenlemelerini düşünerek farklı sıraylar düşünelim. (ABC ve CBA farklı) 11/16/2014 33

Örnek Yeni bir ilacı test ederken 1.aşamada sadece 8 gönüllü var ve amaç ilacın koruyuculuğunu belirlemek. Tüm kobaylara sırasıyla ilacı verilirki eğer aksi etkide tedaviyi durdurmak için. Eğer 10 gönüllğ olsa idi ve bunlardan 8 tanesi seçilecek olsa, bu 8 kobayı kaç değişik sırayla seçilebilir? 11/16/2014 34

Permütasyon Kuralı (bazı öğeler aynı) Koşullar 1. n tane öğe mevcut ve bazıları aynı. 2. Tümünü seçeriz (yenileme yok). 3. Farklı öğelerin düzenlenmeleri değişik sıralarda yaparız. 11/16/2014 35

Örnek 10 çiftle yapılan cinsiyet seçme yönteminde 10 çocuk doğduğunda cinsiyetin 1024 değişik olası sıralamanın olduğu biliniyor (2(10)). 10 çift cinsiyet seçme yötemiyle doğacak 10 bebeğin 8 kız ve 2 erkek olma olasılığına bakıyor. 1. 8 kız ve 2 erkek kaç değişik şekilde sıralanabilir? 2. 10 doğumda 8 kız ve 2 erkek olma olasılığı nedir? 11/16/2014 36

Kombinasyon Kuralı Koşullar 1. n değişik öğe mevcut. 2. n öğenin r tanesini seçiyoruz. (yenileme yok) 3. Aynı öğelerin düzenlemelerinin aynı olmasına dikkat ediyoruz. ( ABC ve CBA aynı) 11/16/2014 37