Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata

Bölüm 5 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata Bu bölümde önelikle verilen bir ayrık veri kümesi için standart ve ağırlıklıen küçük kareler yöntemi ile en uygun yaklaşım polinomunun nasıl belirleneeğini ineliyoruz. Ayrıa bir aralık üzerinde verilen herhangi bir integrallenebilir fonksiyona daha basit fonksiyonlarla uygun yaklaşımların nasıl geliştirilebileeğini MATLAB/Otave ın vektör ebirsel işlem yetenekleri yardımıyla ineliyoruz. Konunun skaler ebirsel analizi için [1],[4] ve [9] temel referans kaynaklarınıöneririz. 5.1 Giriş Herhangi bir araştırma sonuunde belirli bir amaa yönelik olarak elde edilmiş olan ve apsisleri birbirlerinden farklıolan A = {(x i, y i ) i =, 1,..., n} nokta çiftleri kümesinin verildiğini kabul edelim. Öneki bölümde P (x i ) = y i, i =, 1,..., n

2 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata özelliğini sağlayan ve dereesi n olan interpolasyon polinomunun nasıl elde edildiğini öğrendik. Yine öneki bölümde gözlemlediğiniz üzere, verilerde hata olmasıdurumunda söz konusu hata interpolasyon polinomunun yüksek dereeli terimlerinin katsayılarınıetkiler ve böylee hatalıverilerle elde edilen interpolasyon polinomu ile gerçekleştirilen interpolasyon işlemi de güvenilirliğini kaybeder. Bu durumda yüksek dereeli polinomlarla interpolasyon yerine, verilere uygun fonksiyonlarla yaklaşım gerçekleştirilerek, bilinmeyen noktadaki değer tahmini elde edilen yaklaşım fonksiyonu ile gerçekleştirilir. 5.2 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım Hata içeren noktalardan geçen yüksek dereeli interpolasyon polinomunu bulmak yerine, hatalı veri kümesine yeterine yakın noktalardan geçen daha düşük dereeli polinomu belirleyerek interpolasyon işlemini elde edilen düşük dereeli polinomla gerçekleştirmek daha akılıbir yöntemdir. Standart En Küçük Kareler Yöntemi ile Yaklaşım Veri kümemizin (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x m, y m ) nokta çiftlerinden oluştuğunu ve bu nokta çiftlerine en yakın P 1 (x) = a + bx polinomunu belirlemek istediğimizi kabul edelim. Burada a ve b bilinmeyenlerini, veri kümesinin P 1 (x) polinomuna yakınlığının "uygun bir ölçüsünü" minimize edeek biçimde belirlemek istiyoruz. Bu durumda en uygun ölçü iki normu yardımıyla E(a, b) = (P 1 (x i ) y i ) 2 = (a + bx i y i ) 2 (5.1) ile tanımlanmaktadır. Amaımız E(a, b) yi minimum yapan a ve b değerlerini belirlemektir. Sözkonusu minimum nokta için gerek şart (yeter şart değil!) a =, b = K aradeniz Teknik M atem atik, erhan@ ktu.edu.tr

5.2 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım 3 eşitliklerinin sağlanmasıdır. Fakat ve b a = 2 = 2 (a + bx i y i ) = ( m ) ma + x i b = (a + bx i y i )x i = ( m ) ( m x i a + x 2 i ) y i (5.2) b = x i y i (5.3) elde ederiz. (5.2) ve (5.3) sistemi çözülerek a ve b değerleri ve dolayısıyla da istenilen P 1 (x) polinomu elde edilmiş olunur. (5.1) deki karelerin toplamını minimize etmek(en küçük yapmak) için kullanılan bu yönteme, En Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) adıverilir. Öte yandan (5.2) ve (5.3 sistemi matris-vektör noktasyonu yardımıyla da ifade edilebilir: Önelikle vektörlerini ve 1 = [1, 1,, 1] T, x = [x 1, x 2,, x m ] T, y = [y 1, y 2,, y m ] T, u = [a, b] T A = [1 x] m 2 matrisini tanımlayalım. Bu durumda [ A T m m A = x i m x i olup, (5.2) ve (5.3) sistemi m x2 i ] [ m, A T y = y ] i m x iy i olarak ifade edilebilir. A T Au = A T y (5.4)

4 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata ÖRNEK 5.1. (, ), (1, 3/2), (2, 1/2), (3, 4), (4, 3) noktalarıiçin P 1 (x) = a + bx biçimindeki birini dereeden en iyi yaklaşım polinomunu En Küçük Kareler Yöntemini kullanarak belirleyiniz. Çözüm. ile Örneğimiz için A T A = A = 1 1 1 1 2 1 3 1 4 [ 5 1 1 3, y = 3/2 1/2 4 3 ] [ 1, A T y = 53/2 olup, bilinmeyen vektörü u = [a b] T olmak üzere, (5.4) den ] 5a + 1b = 1 1a + 3b = 53/2 denklem sistemini elde ederiz. Bu sistemi çözerek, elde ederiz. Elde edilen a = 1/1; b = 17/2 P 1 (x) = 1/1 + 17/2x doğrusunun ( ) ile belirtilen verilere uygun mesafelerden geçerek (5.1) ile verilen E(a, b) hatasınıminimize etmeye çalıştığıgörülmektedir. ÖRNEK 5.2. Verilen (x i, y i ), i = 1, 2,, m noktalarına uygun P 1 (x) = a + bx polinomunu belirleyerek, (5.1) hatasınıbelirledikten sonra t ( min 1 i m (x i), max 1 i m (x i)) için t noktasındaki değeri P 1 (x) yardımıyla tahmin [toplam_hata, tahmin] = ekky1(x, y, t)

5.2 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım 5 Şekil 5.1: Örnek 5.1 nokta çiftleri( ) ve P 1 (x) yaklaşım polinomu komutu ile çalışan bir En Küçük Kareler Yöntemi uygulaması geliştiriniz. Burada x ve y sırasıyla nokta çiftlerinin apsis ve ordinatlarınıiçeren vektörlerdir. Çözüm. Probleme ait yöntemimiz En Küçük Kareler Yöntemi olaağından, önelikle yönteme ait algoritmayıgeliştirelim: Algoritma 5.1. 1. Girdi(x, y) 2. m := x in eleman sayısı 3. x := x T, y := y T sütun vektörini tanımla. 4. birler isimli m bileşenli 1 rakamlarından oluşan sütun vektörünü tanımla. 5. A := [birler x] matrisini oluştur. 6. B := A T A matrisi ve := A T y vektörünü oluştur 7. Bu = sistemini çözerek u := [a b] bilinmeyenlerini belirle

6 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata 8. (x, y) ikililerinin eksende yerlerini işaretle 9. p(x) = a + bx polinomunun grafiğini aynıeksende çizdir. 1. a ve b değerlerini geri gönder Yukarıdaki algoritmaya ait Program (5.1 ) aşağıda verilmektedir. funtion [a,b]=ekky1(x,y) % (x,y) nokları ile uyumlu P(x)=a+bx % polinomunu EKKY ile hesaplar % polinom ve nokta iftlerini grafigini izer %--------------------------------------------- x=x ;y=y ;m=length(x); birler=ones(m,1); A=[birler x]; B=A *A; =A *y; u=b\; p=@(xx) u(1)+u(2)*xx; xx=x(1):.1:x(end); plot(x,y, *, markersize,1); hold on; yy=p(xx); plot(xx,yy); a=u(1);b=u(2); Program 5.1: EKKY uygulaması Test >> x=[ 1 2 3 4]; >> y=[ 3/2 1/2 4 3]; >> [a,b]=ekky1(x,y) >> a = 1/1 b = 17/2 Eğer P 2 (x) = a + bx + x 2

5.2 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım 7 biçiminde olup, veri kümesine en iyi yaklaşan ikini dereeden polinomu belirlemek istersek yine aynı işlemleri takip ederiz, anak bu defa çözülmesi gereken lineer sistem 3 3 lük bir sistem olur. Bu durumda A matrisi 1 x 1 x 2 1 1 x 2 x 2 2 A =... 1 x m x 2 m olarak tanımlanmalıdır. Veri kümesi üstel veya logaritmik bir dağılıma sahip olmasıdurumunda en iyi yaklaşım polinomu da veri kümesi için iyi bir yaklaşım olmaz. Bir deney sonuunda değerleri zamanla üstel olarak artan veya azalan pozitif ordinatlıbir veri kümesi için en iyi yaklaşım biçiminde olmalıdır. Bu durumda E(a, b) = y = ae bx, a > (ae bx i y i ) 2 (5.5) ifadesini minimize eden a ve b değerlerinin belirlenmesi gerekir. durumda = 2 (ae bx i y i )e bx i =, a = 2 (ae bx i y i )ax i e bx i = b Anak bu biçimde yazılabilen a ve b bilinmeyenleri için nonlineer bir sistem elde ederiz ki bu sistemin çözümü de Newton yöntemi gibi sayısal bir yöntem gerektirir. Alternatif bir yöntem takip edebiliriz: y(x i ) = ae bx i (a > ) değerlerini verilen y i > değerlerine yaklaştırmaya çalışmak ln(y(x i )) değerlerini ln(y i ) değerlerine yaklaştırmaya denktir: Gerçekten de y(x i ) y i

8 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata ise, logaritma fonksiyonunun sürekliliği gereği dir. Tersine ise veya ln(y(x i )) ln(y i ) ln(y(x i )) ln(y i ) ln(y(x i )) ln(y i ) ln( y(x i) y i ) y(x i) y i 1, yani y(x i ) y i dir. O halde (5.5) ile verilen fonksiyonu minimize etme problemi Ê(a, b) = = (ln(ae bx i ) ln(y i )) 2 (5.6) (ln(a) + bx i ln(y i )) 2 (5.7) fonksiyonunu minimize etme problemine denktir. â = ln(a),ve ŷ i = ln(y i ), i = 1, 2,..., m olarak tanımlarsak, problem (5.1) a benzer olarak Ê(â, b) = (â + bx i ŷ i ) 2 (5.8) ifadesini minimize eden â ve b değerlerini belirleme problemine, diğer bir değimle ŷ = â + bx lineer ifadesini elde etme problemine dönüşür. Yukarıda gerçekleştirilen işleme EKKY için lineerleştirme işlemi adıverilmektedir. ÖRNEK 5.3. (, 1/2), (1, 2), (2, 5), (3, 8) noktalarıiçin y = ae bx biçimindeki en iyi yaklaşımıekky ile belirleyiniz.

5.2 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım 9 Çözüm. (5.2) ve (5.3) sisteminin katsayılarını elde etmek için aşağıdaki tabloyu oluşturalım: y i ŷ i = ln(y i ) 1/2 ln(1/2) = ln 2 2 ln(2) 5 ln(5) 8 ln(8) = 3 ln(2) Buna göre için A T A = A = [ 4 6 6 14 1 1 1 1 2 1 3, ŷ = ln(2) ln(2) ln(5) 3 ln(2) ] [ 3 ln(2) + ln(5), A T ŷ = 1 ln(2) + 2 ln(5) ] 4â + 6b = 3 ln(2) + ln(5) = 3. 688 9 6â + 14b = 1 ln(2) + 2 ln(5) = 1.15 olarak elde ederiz. Bu sistemi çözerek elde ederiz. O halde olmak üzere, â. =.4628, b. =.9233 a = eâ =.6295 y = ae bx =.6295e.9233x elde ederiz. Verilen nokta çiftleri ve elde edilen eğrinin grafiği Şekil 5.2 de verilmektedir. Benzer biçimde (x i, y i ) nokta çiftleri için y = 1 biçiminde eğri aranıyorsa ŷ = 1 a+bx y y = 1 a+bx " ŷ = 1 biçiminde dönüşümlerle EKKY problemi lineer probleme dönüştürülür. y 2

1 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata 12 1 8 6 4 2.5 1 1.5 2 2.5 3 Şekil 5.2: Elde edilen üstel fonksiyon ve verilen nokta çiftleri ( ) AğırlıklıEn Küçük Kareler Yöntemi ile Yaklaşım Ağırlıklı En Küçük Kareler yöntemi ile verilen veri kümesi için uygun yaklaşım belirlenirken, verilerin güvenilirliği bilgisi de dikkate alınır. Bu amaçla w = (w 1, w 2,, w m ), w i, w i = 1 özelliğini sağlayan w i çarpanları( veya ağırlıkları) için E(a, b; w) = w i (ax i + b y i ) 2 (5.9) ile tanımlanan normu minimize eden a ve b sabitleri belirlenir. Sözkonusu minimum nokta için gerek şart (yeter şart değil!) (a, b; w) a =, (a, b; w) b = eşitliklerinin sağlanmasıdır. Fakat

5.2 Ayrık veri kümesine elemanter fonksiyonlarla yaklaşım 11 ve b a = 2 = 2 w i (a + bx i y i ) = ( m ) ( m ) w i a + x i w i b = w i (a + bx i y i )x i = ( m ) ( m ) x i w i a + x 2 i w i b = y i w i (5.1) x i y i w i (5.11) elde ederiz. (5.1) ve (5.11) sistemi çözülerek a ve b değerleri ve dolayısıyla da istenilen P 1 (x) polinomu elde edilmiş olunur. (5.9) daki karelerin toplamını minimize etmek(en küçük yapmak) için kullanılan bu yönteme, AğırlıklıEn Küçük Kareler Yöntemi(EKKY) adıverilir. Öte yandan (5.1) ve (5.11) sistemi matris-vektör notasyonu yardımıyla da ifade edilebilir: Önelikle vektörlerini ve 1 = [1, 1,, 1] T, x = [x 1, x 2,, x m ] T, y = [y 1, y 2,, y m ] T, u = [a, b] T A = [1 x] m 2 w 1 w W = 2........... w m matrisini tanımlayalım. Bu durumda [ m A T W A = w m i x ] [ m m iw i x m, A T W y = x ] m iy i iw i x2 i w i x iy i w i

12 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata olarak elde ederiz. İstenilen u = [a, b] T vektörü ise sisteminin çözümü olarak elde edilir. A T W Au = A T W y ÖRNEK 5.4. Sırasıyla w 1 = 1/8, w 2 = 1/8 ve w 3 = 3/4 ağırlıklara sahip (, ), (1, 1/2), (2, 4) noktalar kümesini göz önüne alalım. Bu küme için en uygun P 1 (x) = a + bx polinomunu Standart EKKY ve AğırlıklıEKKY ile belirleyiniz Çözüm. A = 1 1 1 1 2, W = olmak üzere Standart EKKY ile, [ 3 3 A T A = 3 5 olmak üzere A T Au = A T y veya açıkça 1/8 1/8 3/4 ] [ 9/2, A T y = 17/2 3a + 3b = 9/2 3a + 5b = 17/2, y = sistemini çözerek a = 1/2, b = 2 elde ederiz. AğırlıklıEKKY ile [ ] [ A T 1 13/8 49/16 W A =, A T W y = 13/8 25/8 97/16 solmak üzere A T W Au = A T W y ], 1/2 4 sitemini çözerek, a = 18/31, b = 139/62 elde ederiz. AğırlıklıEKKY ile w 3 = 3/4 ağırlığına sahip noktaya daha yakınız! ]

5.3 İntegrallenebilir fonksiyona elemanter fonksiyonlarla yaklaşım 13 4 3.5 3 2.5 2 1.5 standart agirlikli 1.5.5 1.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Şekil 5.3: (x i, y i ) noktaları(*) ile Standart ve AğırlıklıEKKY polinom grafikleri 5.3 İntegrallenebilir fonksiyona elemanter fonksiyonlarla yaklaşım Öneki bölümümde inelenen ayrık veri kümesi yerine, bazen bir [, d] aralığı üzerinde integrallenebilir bir f fonksiyonuna yüksek dereeli bir interpolasyon polinomu yerine daha basit fonksiyon veya polinomlar yardımıyla yaklaşım elde edilmek istenebilir. Verilen fonksiyona P 1 (x) = a + bx gibi en küçük kareler yaklaşım polinomunu belirlemek için bu defa (5.1) deki toplam yerine integral sembolü yardımıyla polinom ve fonksiyon arasındaki farkın bir ölçüsü olan(l 2 normunun karesi) E(a, b) = = d d (P 1 (x) f(x)) 2 dx (a + bx f(x)) 2 dx ifadesini minimum yapan a ve b değerlerini buluruz. Bu amaçla yine a =, b = K aradeniz Teknik M atem atik, erhan@ ktu.edu.tr

14 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata sağlanmalıdır. Yani a b = 2 = 2 d d (a + bx f(x))dx = (a + bx f(x))xdx = veya daha açık olarak ifade edilen ( d ) ( d dx a + ( d ) ( d xdx a + ) xdx b = ) x 2 dx b = d d f(x)dx xf(x)dx (5.12) lineer denklem sistemini sağlayan a ve b değerleri verilen f fonksiyonuna P 1 (x) ile gösterilen en iyi yaklaşım polinomunu verir. ÖRNEK 5.5. f(x) = sin(x) fonksiyonuna [, π/2] aralĭgında P 1 (x) = a + bx biçimindeki en küçük kareler yaklaşım polinomunu belirleyiniz. Çözüm. E(a, b) = π/2 (a + bx sin(x)) 2 dx fonksiyonelini minimize eden a ve b değerleri (5.12) den ( ) ( π/2 ) π/2 π/2 dx a + xdx b = sin(x)dx π/2 ( ) π/2 (xdx) a + x 2 dx b = π/2 x sin(x)dx π/2 sin(x)dx = 1 ve π/2 1 2 π x sin(x)dx = ( os x) dx = 1

5.3 İntegrallenebilir fonksiyona elemanter fonksiyonlarla yaklaşım 15 1.4 1.2 1.8.6.4.2.5 1 1.5 Şekil 5.4: sin(x) fonksiyonu ve [, 1.5] aralığındaki en küçük kareler yaklaşımı. integral değerleri yardımıyla lineer denklem sisteminden ve π 2 a + π2 8 b = 1 1 8 π2 a + 1 24 π3 b = 1 a = 1 (8π 24) =.114 77 π2 b = 1 (24π 96) =.664 44 π3 elde ederiz. O halde aradığımız en iyi yaklaşım polinomu P 1 (x) =.114 77 +.664 44x dir. sin(x) fonksiyonu ve en küçük kareler anlamındaki en iyi P 1 (x) =.114 77 +.664 44x yaklaşım polinomunun grafiği Şekil 5.4 te verilmektedir.

16 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata Alıştırmalar 5.1. 1. (, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 6) veri kümesi için EKKY ile aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım polinomlarınıbelirleyiniz. (a) P (x) = a (b) P 1 (x) = a + bx () P 2 (x) = a + bx + x 2 (d) P 3 (x) = a + bx + x 2 + dx 3 2. Soru 1 için verilen nokta kümesi ile elde ettiğiniz polinom grafiklerini aynı eksende gösteriniz. 3. Soru 1 için elde ettiğiniz her bir yaklaşım için (5.1) ile verilen hatayı hesaplayınız. Hata hangi yaklaşım için daha küçüktür? 4. Soru 1 i sırasıyla w 1 = 1/16, w 2 = 1/16, w 3 = 1/8, w 4 = 3/4 ağırlıklarıile ve AğırlıklıEKKY ile tekrar ediniz. 5. Soru 1 de verilen nokta kümesi ve soru 4 te elde ettiğiniz polinom grafiklerini aynıeksende gösteriniz. 6. Soru 2 ve soru 5 te elde ettiğiniz grafikleri ineleyerek, w i, i = 1, 2, 3, 4 ağırlıklarının, yaklaşım polinomlarıüzerindeki etkisini ineleyiniz. 7. Grafiği Soru 1 de verilen noktalardan geçen Q 3 (x) interpolasyon polinomunu belirleyiniz. Q 3 (x) ile Soru 1(d) de elde ettiğiniz P 3 (x) i karşılaştırınız. Ne gözlemliyorsunuz? 8. (, 1), (1, 2), (2, 2.5), (3, 2.8) veri kümesi için EKKY e göre en iyi f(x) = a + bx yaklaşım fonksiyonunu belirleyiniz ve oluşan E(a, b) hatasınıhesaplayınız. Fonksiyon ve veri kümesinin grafiğini aynıeksende çizdiriniz. 9. Soru 8 de verilen veri kümesi için en iyi g(x) = ln(a + bx) fonksiyonunu ve oluşan E(a, b) hatasınıhesaplayınız. Elde ettiğiniz hatayı soru 8 deki değer ile karşılaştırınız. Belirtilen veri kümesi için f ve g fonksiyonlarından hangisi daha uygundur?

5.3 İntegrallenebilir fonksiyona elemanter fonksiyonlarla yaklaşım 17 1. (, 1/2), (2, 3), (3, 8) veri kümesi için EKKY e göre en iyi yaklaşım fonksiyonunu belirleyiniz. f(x) = ae bx 11. f(x) = os(x) fonksiyonu için [ 1, 1] aralĭgında EKKY göre aşağıdaki biçimde belirtilen en iyi yaklaşım fonksiyonlarınıve oluşan hatalarınıbelirleyiniz. (a) g(x) = a (b) g(x) = a + bx () g(x) = a + bx + x 2 E = 1 1 (f(x) g(x)) 2 dx 12. Soru 11 de elde verilen f için x = noktasında sırasıyla sıfırınıve ikini dereeden Taylor yaklaşımlarısonuunda oluşan (a) E = 1 1 (os(x) 1)2 dx, (b) E = 1 1 (os(x) (1 x2 /2)) 2 dx hatalarınıelde ediniz. (a) ve (b) de elde ettiğiniz sonuçlarısırasıyla, soru 11(a) ve soru 11() ile karşılaştırınız. Taylor mu yoksa EKKY yaklaşımımıdaha küçük hata üretmektedir? 13. Soru 11 ve 12 deki işlemleri Maxima ortamında da gerçekleştiriniz. 14. (x, y) veri kümesi için en iyi n ini dereeden polinomu hesaplayarak katsayılarınıgeri gönderen ve katsayi = ekkypol(x, y, n) yazılımıile çalışan bir MATLAB/Otave programıhazırlayınız. n sayısının veri kümesindeki nokta sayısından büyük olmamasına dikkat ediniz. Hazırladĭgınız program (x, y) nokta çiftlerinin ve elde edilen polinomun grafiğini de aynıeksende çizmelidir.

18 Elemanter Fonksiyonlarla Yaklaşım ve Hata 15. (x, y) veri kümesi için en iyi y = ae bx fonksiyonunu hesaplayarak a ve b değerlerini geri gönderen ve [a, b] = ekkyustel(x, y) yazılımıile çalışan bir MATLAB/Otave programıhazırlayınız. Hazırladĭgınız program (x, y) nokta çiftlerini ve elde edilen y = ae bx fonksiyonunun grafiğini aynıeksende göstermelidir.

Kaynaklar [1] Atkinson, K. An Introdution to Numerial Analysis, John Wiley & Sons, 1988. [2] Coşkun, E. OCTAVE ile Sayısal Hesaplama ve Kodlama(URL:aves.ktu.edu.tr/erhan/dokumanlar). [3] Coşkun, E. Maxima ile Sembolik Hesaplama ve Kodlama(URL:aves.ktu.edu.tr/erhan/dokumanlar). [4] Kinaid, D., Cheney, W., Numerial Analysis, Brooks/Cole, 1991. [5] Mathews, J., Numerial Methods for Mathematis, Siene and Engineering, Prentie-Hall, 1997. [6] MATLAB, Mathworks(URL:mathworks.om). [7] Maxima, GNU özgür yazılım(url:maxima.soureforge.net). [8] OCTAVE, GNU özgür yazılım(url:octave.soureforge.net). [9] Stoer, J., Bulirsh, R., Introdution to Numerial Analysis, Springer- Verlag, 1976. [1] S. W., Warren, Zill, D. G., Calulus: Early Transendentals, Çeviri: Matematik Cilt I, II(Çeviri editörü İsmail Nai Cangül), Nobel Akademik Yayınılık, 21.