ölüm : Lojik Denklemlerin Sadeleþtirilmesi. Giriþ: Karnough (karno) haritalarý 9 yýlýnda M. Karnough tarafýndan dijital devrelerde kullanýlmak üzere ortaya konmuþtur. u yöntemle dijital devreleri en az kapý ile kurmak mümkündür. Dijital devre denklemleri boolean teoremleriyle sadeleþtirilebildiði gibi karnough haritasý yöntemiyle de en az elemanlý hâle getirilebilmektedir. Karno haritalarý iyi anlaþýlýrsa, dijital devrelerle ilgili pek çok devre kýsa sürede tasarlanabilir. Karno yönteminde kutulardan oluþan diyagramlar kullanýlýr. u yöntem genellikle "çarpýmlarýn toplamý" þeklindeki lojik denklemlerin sadeleþtirilmesinde kullanýlýr. ncak, istenirse "toplamlarýn çarpýmý" þeklindeki lojik denklemlerin sâdeleþtirme iþlemi de yapýlabilir. Karno haritasý yöntemi en çok deðiþkenli lojik denklemlerin sadeleþtirilmesinde kullanýlýr. deðiþkenli denklemde: deðiþkenli denklemde:, deðiþkenli denklemde,,, deðiþkenli denklemde,,,, D deðiþkenli denklemde,,,, D, E deðiþkenli denklemde,,,, D, E, F giriþleri bulunur.. Deðiþken Sayýsýna Göre Karno Haritasýnýn Hazýrlanmasý Hazýrlanacak karno haritasýndaki kutu sayýsý n denklemiyle bulunur. (n: Deðiþken sayýsý). Tek Deðiþkenli Karno Haritasý Çizelge.'de verilen tek deðiþkenli karno haritasýnda iki kutu vardýr. deðiþkeni ve deðerlerini almaktadýr. Kutucuklarýn sað alt köþelerinde bulunan eðik (italik) yazýlmýþ rakamlar ise haritanýn kutularýnýn sýra numarasýný göstermektedir. sýra no sýra no Çizelge.: Tek deðiþkenli karno haritasýnýn iki þekilde gösterilmesi Not: Tek deðiþkenli karno haritasý çok basit olduðundan devre sadeleþtirme iþlemlerinde kullanýlmaz.. Ýki Deðiþkenli Karno Haritasý Ýki deðiþkenli karno haritasý n = = kutucuktan oluþur. ve deðiþkenleri çizelge.'de verildiði gibi kutucuklara yerleþir. Karno haritasýnýn üst sýrasýna deðiþkeninin aldýðý ve deðerleri yazýlýr. Sol yandaki sütuna ise deðiþkeninin aldýðý ve deðerleri yazýlýr. Çizelge.-c'deki haritaya bakýlacak olursa, =, = durumu, bu iki deðerin çakýþtýðý numaralý kutucuða yazýlmýþtýr. =, = durumu bu iki deðerin çakýþtýðý numaralý kutucuða yazýlýr. ve 'nin diðer ihtimalleri de ayný kurala göre ve numaralý kutucuklara yazýlýr.
.... (a) (b) (c) Çizelge.: Ýki deðiþkenli karno haritasýnýn üç farklý þekilde gösterilmesi Y =. +. ifadesini karno Y = +. ifadesini karno. deðeri haritaya yazýlýrken = ve = olan kutu seçilir.. deðeri yazýlýrken ise = ve = olan kutu seçilir... u denklemde 'yý haritaya aktarýrken 'nýn olduðu tüm kutulara yazýlýr.. deðeri yazýlýrken ise = ve = olan kutuya yazýlýr.. Çizelge. Çizelge. Y =. +. ifadesini karno Y =. +. ifadesini karno Çizelge. Çizelge.. Üç Deðiþkenli Karno Haritasý Üç deðiþkenli karno haritasý n = = 8 kutucuktan oluþur., ve deðiþkenleri çizelge.'de verildiði gibi kutulara yerleþir................... (a) (b) Çizelge.: Üç deðiþkenli karno haritasýnýn iki farklý þekilde gösterilmesi 8
Y =.. +.. +.. ifadesini karno Çizelge.8'de görüldüðü gibi, Y =.. +.. +.. denklemi, ve. kutulara yerleþmektedir. Örnek: Y = +.. +. ifadesini karno haritasýna yerleþtiriniz... Çizelge.8 Çizelge.9'da verilen haritada görüldüðü gibi, *'nýn olduðu kutulara yazýlýr. *.. yazýlýrken =, =, = olan kutulara yazýlýr. *. yazýlýrken ise = ve = olan kutulara yazýlýr. Örnek: Y =.. +.. +..+.. ifadesini karno... Çizelge.9 Çizelge.'da görüldüðü gibi, Y =.. +.. +..+.. denklemi,, ve. kutulara yerleþmektedir... Dört Deðiþkenli Karno Haritasý Dört deðiþkenli karno haritasý n = = kutucuktan oluþur.,, ve D deðiþkenleri þekil.'te verildiði gibi kutulara yerleþir. Çizelge...D..D 8............ 8 (a) 9 (b)...d...d...d...d 9...D...D...D...D......D...D... Çizelge.: Dört deðiþkenli karno haritasýnýn iki farklý þekilde gösterilmesi 9
Örnek: Y=.+...D+. ifadesini karno haritasýna yerleþtiriniz.. Y=.+...D+. denklemi, karno haritasýna yanda görüldüðü gibi yerleþmektedir....d.. eþ Deðiþkenli Karno Haritasý eþ deðiþkenli karno haritasý n = = kutucuktan oluþur.,,, D ve E deðiþkenleri çizelge.'te verildiði gibi kutulara yerleþir. (eþ deðiþkenli karno haritasý az kullanýlýr.) Çizelge.. ltý Deðiþkenli Karno Haritasý ltý deðiþkenli karno haritasý n = = kutucuktan oluþur.,,, D, E ve F deðiþkenlerinin yerleþimi çizelge.'te verildiði olur. (ltý deðiþkenli karno haritasý az kullanýlýr.) Çizelge.: eþ deðiþkenli karno haritasý. Ýki Deðiþkenli Denklemin Doðruluk Tablosu ve Karno Haritasý Çizelge.'te iki deðiþkenli bir doðruluk tablosu görülmektedir. Çizelge.
Çizelgede ve giriþ, Y çýkýþtýr. Doðruluk çizelgesine uygun karno haritasý da çizelgenin yanýnda görülmektedir.. Ýki Deðiþkenli Doðruluk Çizelgesinin Karno Haritasýna Geçirilmesi Verilen doðruluk çizelgesinde çýkýþýn olduðu kademeler karno haritasýnda uygun yere konulur. Çizelge.: Ýki deðiþkenli doðruluk çizelgesi ve karno haritasý Örnek: Çizelge.'da verilen doðruluk çizelgesini karno haritasý üzerinde gösteriniz. Çizelge.'da verilen doðruluk çizelgesinin karno haritasýna aktarýlýþý çizelge.'de gösterilmiþtir. Örnek: Çizelge.8'de verilen üç deðiþkenli doðruluk çizelgesini karno haritasýna aktarýnýz. Çizelge.8'de verilen doðruluk çizelgesinin karno haritasýna aktarýlýþý çizelge.9'da gösterilmiþtir. D. Karno Haritalarý Kullanýlarak Lojik Denklemlerin Sadeleþtirilmesi Lojik denklemler karno haritasýyla sadeleþtirilirken haritadaki 'ler uygun bileþkelere alýndýktan sonra bu deðerler toplanýp sonuç bulunur.. Ýki Deðiþkenli Lojik Denklemlerin Karno Haritasýyla Sadeleþtirilmesi: u yöntemde þu kurallar geçerlidir: I. Ýçinde olan kutucuklar birli ya da ikili bileþke oluþturabilir. II. ileþke oluþturmanýn amacý en sade devreyi elde etmektir. una göre bir kutucuk birden çok bileþkeye dâhil edilebilir.. Çizelge. Çizelge. Çizelge.8 Çizelge.9 =. =. =. =.. =.. =.. =.. III. ileþkeler ancak birbirine komþu kutucuklar arasýnda yapýlabilir. Çapraz bileþke oluþturulamaz.
Yukarýda belirtilen kurallara göre bileþkeler oluþturulduktan sonra en uygun denklem yazýlýr. ileþke sonuçlarý deðerlendirilirken, bileþkeye dâhil olan deðiþkenlerin durum deðiþtirip deðiþtirmedikleri kontrol edilir. Yani bileþke içindeki kutucuklarda bulunan deðiþkenlerden durum deðiþtirenler varsa bunlar dikkate alýnmaz. Y=. +. þeklindeki lojik denklemi karno haritasý kullanarak sadeleþtiriniz. Y = Çizelge. Y=. +.+. þeklindeki lojik denklemi karno haritasý kullanarak sadeleþtiriniz. Y = + Çizelge. Y= +. þeklindeki lojik denklemi karno haritasý kullanarak sadeleþtiriniz. Y =+ Y=. +. þeklindeki lojik denklemi karno haritasý kullanarak sadeleþtiriniz. Y=. +... Çizelge. Çizelge. Not: Denklemde sadeleþme olmamýþtýr.. Üç Deðiþkenli Lojik Denklemlerin Karno Haritasýyla Sadeleþtirilmesi: u yöntemde þu kurallar geçerlidir: I. itiþik dört kutucukdaki 'ler tek bileþke olarak gruplanýr. II. itiþik iki kutucukdaki 'ler iki bileþke olarak gruplanýr. III. Her kutucuk üç deðiþkenli bileþke olarak ifade içerir. IV. Kenarlarda bulunan 'ler, harita silindir gibi kabul edilerek diðer köþede bulunan 'lerle ikili ya da dörtlü bileþke oluþturabilir. Y=.. +.. +..+.. þeklindeki lojik denklemi karno haritasý kullanarak sadeleþtiriniz. Y =. +. Y =.. +.. +..+.. þeklindeki lojik denklemi karno haritasý kullanarak sadeleþtiriniz. Y =. +..... Çizelge. Çizelge...
Y=.. +.. +.. +.. +..+.. þeklindeki lojik denklemi karno haritasý kullanarak sadeleþtiriniz. Y = +. Çizelge. Y =.. +..+.. +.. þeklindeki lojik denklemi karno haritasý kullanarak sadeleþtiriniz.. Y =. +... Çizelge.. Dört Deðiþkenli Lojik Denklemlerin Karno Haritasýyla Sadeleþtirilmesi: u yöntemde þu kurallar geçerlidir: I. itiþik 8 kutucukdaki 'ler tek bileþke olarak gruplanýr. II. itiþik dört kutucukdaki 'ler iki deðiþkenli bileþke olarak gruplanýr. III. itiþik iki kutucukdaki 'ler üç deðiþkenli bileþke olarak gruplanýr. IV. Her kutucuk dört deðiþkenli bileþke olarak ifade edilir. V. Kenarlarda bulunan 'ler harita, "küre" gibi kabul edilerek diðer köþede bulunan 'lerle ikili ya da dörtlü bileþke oluþturabilir...d Y Y 8 9 Y Y =.., Y =..D, Y =.. Çizelge.8 Y =...D+... +...D+... +... þeklindeki lojik denklemi karno haritasý kullanarak sadeleþtiriniz. Y =.. +..D+.. E. Karnough Haritasýyla Lojik Devre Tasarýmý Lojik kapýlar kullanýlarak çeþitli endüstriyel devreler üretmek mümkündür. Lojik kapýlarla devre tasarýmý yapýlýrken þu kurallara uyulur:
Yapýlmak istenen iþin tüm ayrýntýlarý belirlenir. Yapýlmak istenen iþe göre doðruluk tablosu hazýrlanýr. Doðruluk tablosunun çýkýþýnýn olduðu kademelerin doðruluk tablosu yazýlýr. Doðruluk tablosundan elde edilen lojik denklem boolean ya da karno haritasý teoremlerinden yararlanýlarak sadeleþtirilir. Sadeleþmiþ denklemin lojik kapýlý devresi çizildikten sonra TTL ya da MOS entegrelerle üretim yapýlýr. Üç anahtarlý giriþin söz konusu olduðu dijital bir devrede anahtarlardan ikisinin ya da üçünün '' konumunda olmasý durumunda ledin (alýcýnýn) çalýþmasý istenmektedir. a. Yapýlmak istenilen iþlemin doðruluk çizelgesini hazýrlayýnýz. b. Doðruluk çizelgesine göre lojik denklemi yazýnýz. c. Lojik denklemin kapýlý devresini çiziniz. d. Lojik denklemi üç deðiþkenli karno haritasý kullanarak sadeleþtiriniz. e. Karno haritasýndan elde edilen denklemin lojik kapýlý devresini çiziniz. a. =.. =.. =.. =.. b. Y =.. +.. +.. +.. c. Y d.. Y Y Y Y =. +. +. e. çýklama: Verilen örnekte görüldüðü gibi adet lojik kapý ile kurulabilen devre karno haritasý yöntemiyle sadeleþtirilince lojik kapý ile kurulabilmektedir. Y adet alýcý (lâmba, motor, röle, led vb.) þu þekilde çalýþacaktýr. -,, giriþlerinden üçü '' ya da '' olduðunda. motor çalýþacaktýr. -Giriþlerden bir tanesi '' olduðunda. motor, giriþlerden iki tanesi '' olduðunda hem. motor hem de. motor çalýþacaktýr.
a. Yapýlmak istenilen iþlemin doðruluk tablosunu hazýrlayýnýz. b. Doðruluk tablosuna göre lojik denklemi yazýnýz. c. Lojik denklemin kapýlý devresini çiziniz. a. Üç anahtarlý giriþin söz konusu olduðu dijital bir devrede,, ve. kademelerde çýkýþtaki alýcýnýn çalýþmasý istenmektedir. a. Yapýlmak istenilen iþlemin doðruluk tablosunu hazýrlayýnýz. b. Doðruluk tablosuna göre lojik denklemi yazýnýz. c. Lojik denklemin kapýlý devresini çiziniz. d. Lojik denklemi üç deðiþkenli karno haritasý kullanarak sadeleþtiriniz. e. Karno haritasýndan elde edilen denklemin lojik kapýlý devresini çiziniz. b.. motorun lojik denklemi: Y =.. +... motorun lojik denklemi: Y =..+.. +..+.. +..+.. I II I III III II =..( +)+..( +)+..( +) =. +. +. Y =..+..+.. a. c. Y M Y M Y b. Y=.. +..+.. +.. M
c. d.. Y Y Y Y = Y + Y Y =. +. e. Y çýklama: adet lojik kapý ile kurulabilen devre karno haritasý yöntemiyle sadeleþtirilince lojik kapý ile kurulabilmektedir. Sorular. Y=. +. ifadesini karno haritasý yöntemini kullanarak sadeleþtiriniz.. Y=.. +.. ifadesini karno haritasý yöntemini kullanarak sadeleþtiriniz.. Y=.. +.. +.. ifadesini karno haritasý yöntemini kullanarak sadeleþtiriniz. Sadeleþmiþ denklemin lojik kapýlý devresini çiziniz.