2. ARTAN VE AZALAN FONKSÝYONLAR
|
|
- Turgay Bal
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Artan ve Azalan Fonksionlar. ARTAN VE AZALAN FONKSÝYONLAR ii) Teorem : f : (a, b) R, = f() fonksionu (a, b) için sürekli ve türevlenebilen bir fonksion olsun. ) (a, b) için f ý () > 0 f() fonksionu bu aralýkta artandýr. ) (a, b) için f ý () < 0 f() fonksionu bu aralýkta azalandýr. f( ) f( ) a b a b deðerleri (a, b) aralýðýnda den e artan deðerler alýrken fonksionun alacaðý deðerler azalandýr. < Δ = > 0 f( ) > f( ) Δ = f( ) f( )< 0 Ýspat : i) ) (a, b) için f ý () = 0 f() fonksionu bu aralýkta sabit fonksiondur. f( ) f( ) α α a b a b bir Buradan Δ f( ) f( ) = < 0 Δ Buradan Δ lim = ý f () < 0 Δ 0 Δ azýlabilir. O halde (a, b) için f ý () < 0 olur. Baþka bir deiþle f() fonksionu (a, b) aralýðýnda azalan bir fonksion olup aralýðýn her noktasýndan fonksiona çizilen teðetlerin o ekseni ile aptýðý açýlar geniþ açýlardýr. Geniþ açýlarýn tanjantlarý negatif olduðundan f() in (a, b) aralýðýnýn her noktasýndaki türevi de negatiftir. f() fonksionu ve (a, b) için < ise f( ) < f( ) dir. < Δ = > 0 f( ) < f( ) Δ = f( ) f( )> 0 Buradan Buradan Δ f( ) f( ) = > 0 Δ Δ lim = ý f () > 0 Δ 0 Δ azýlabilir. O halde (a, b) için f ý () > 0 olur. Baþka bir deiþle, f() fonksionu (a, b) aralýðýnda artan olup bu aralýðýn her noktasýnda çizilen teðetlerin o ekseni ile aptýðý açýlar dar açýdýr. Dar açýlarýn tanjantlarý pozitif olduðundan (a, b) aralýðýnýn her noktasýnda fonksionun türevi de pozitiftir. m = tanα = f ý () > 0 m = tanα = f ý () < 0 dýr. Bir fonksion belli aralýkta deðilde daima artansa monoton artan, daima azalansa monoton azalan adýný alýr. f( + ) > f() ise monoton artan f( + ) < f() ise monoton azalandýr. Bütün bu açýklamalardan sonra verilen f() fonksionunun türevinin iþaretini inceleerek aþaðýdaki gibi artan ve azalan olduðu aralýklarý görebiliriz. f ý () = 0 denkleminin kökleri ve olsun. + f ý () + + f() artan azalan artan 5
2 Artan ve Azalan Fonksionlar Örnek f() R R, f() = + fonksionunun artan ve azalan olduðu aralýklarý bulunuz. f() fonksionunun türevinin iþaretini inceleelim. f ý () = = 0 = O halde fonksion (, ) aralýðýnda f ý () < 0 olduðundan fonksion azalan, (, + ) aralýðýnda f ý () > 0 olduðundan fonksion artandýr. Örnek + f ý () + f() azalan f() artan f() = fonksionunun artan ve azalan olduðu aralýklarý bulunuz. f() fonksionunun türevinin iþaretini inceleelim. f ý () = 6 6 = 0 ( ) = 0 ( + )( 6) = 0 Buradan = ve = 6 bulunur. Örnek f() R R, f() = fonksionunun daima azalan olmasý için m ne olmalýdýr? f ý () in iþareti daima negatif olmalýdýr. Bunun için, f ý () = + m = 0 denkleminde a < 0 ve Δ < 0 olmalýdýr. Buna göre; Örnek m + + Δ = b ac = (m).( ).( ) < 0 = m 6 < 0 m < m < < m < bulunur. f() R R, f() = + 6 fonksionunun artan ve azalan olduðu aralýklarý bulunuz. f() fonksionunun türevinin iþaretini inceleelim. f ý () = = 0 denkleminin reel kökleri oktur. Dolasýla a > 0 olduðundan türevi daima pozitif olacaktýr. O halde fonksion daima artandýr. Buna monoton artan da denir. O halde fonksionun artan olduðu aralýk tüm reel saýlardýr. 6 + f ý () + + f() artan azalan Tabloda görüldüðü gibi, artan ~ (, ) (6, + ) aralýðýnda f ý () > 0 olduðundan fonksion artan ~ (, 6) aralýðýnda f ý () < 0 olduðundan fonksion azalandýr. Örnek 5 a + f : R { } R, f() = + fonksionu = noktasýnýn dýþýnda her erde artan olabilmesi için a ne olmalýdýr? f fonksionu = in dýþýnda daima artan ise, R { } için f ý () > 0 olmalýdýr. 6
3 Artan ve Azalan Fonksionlar Buna göre, Uarý : Bu þekildeki kesirli fonksionlara R de artandýr vea azalandýr denilmez. Çünkü fonksionu tanýmsýz apan saýlar vardýr. Örnek 6 f : R R, f() = e 6 + fonksionunun artan ve azalan olduðu aralýklarý bulunuz. f() fonksionunun türevinin iþaretini inceleelim. f ý () = ( 6). e 6 + = 0 e = 0 = tür. O halde (, ) aralýðýnda fonksion azalan, (, + ) aralýðýnda fonksion artandýr. Örnek 7 ý a.( + ). (a + ) a + a a f() = = ( + ) ( + ) a = > 0 a > 0 buradan ( + ) + f ý () + f() azalan a > bulunur. artan Soruda türevin grafiði verildiðine göre bu grafikten türevin iþaretini bir tablo ile gösterebiliriz. Bu tabloa göre, f() fonksionu, (, ) ve (, + ) aralýklarýnda artan (, ) aralýðýnda ise azalandýr. Örnek 8 f() fonksionu (0, + ) aralýðýnda artan ve (0, + ) için f() > 0 ise f(),, f (), f( ), (fof)() f() fonksionlarýnýnda artan vea azalan olup olmadýklarýný gösteriniz. f() fonksionu (0, + ) aralýðýnda artan ise aný aralýkta f ý () > 0 dýr. Buna göre, a) ( f()) ý = f ý () < 0 olduðundan f() fonksionu aný aralýkta azalandýr. f () b) = < 0 olduðundan aný aralýkta f() f() f() ý + f ý () + + ý artan azalan fonksionu azalandýr. artan f ý () c) (f() ) ý ý = f().f() olduðundan aný > 0 + aralýkta f() fonksionu artandýr. + ý d) (f( ) ý = f( ). > 0 olduðundan aný + + aralýkta f( ) fonksionu artandýr. f() fonksionunun türevinin grafiði ukarýda verilmiþtir. Buna göre, f() in artan ve azalan olduðu aralýklarý bulunuz. ý e) [(fof)()] ý = f(f()).f() > 0 olduðundan + aný aralýkta (fof)() fonksionu da artandýr. ý + 7
4 Artan ve Azalan Fonksionlar Örnek 9 = t + t = t t þeklinde tanýmlanan parametrik fonksionunun R de artan vea azalan olduðu aralýklarý bulunuz. ~ olduðundan f ý () > 0 t > 0 (Padanýn daima pozitif olduðunu görünüz.). ý ý d (t) t f() = = = d ý (t) 6t + t > 0 t > dir. ve, t deðiþkenine baðlý olduðundan t e den büük deðerler verildikçe de = t + t =. + = den büük deðerler alacaðýndan, fonksionun artan olduðu aralýk (, + ) aralýðýdýr ~ Benzer þekilde f ý () < 0 t < 0 t < dir. = t + t t = için = t e den küçük deðerler verildikçe de den küçük deðerler alacaðýndan, f() in azalan olduðu aralýk (, ) aralýðýdýr. YEREL MAKSÝMUM VE MÝNÝMUM NOKTALAR (YEREL EKSTREMUM NOKTALAR) mutlak mak. 5 Bir fonksionun birden fazla erel (baðýl) maksimum ve minimum deðerleri olabilir. Yerel maksimum deðerlerinin en büüðüne mutlak maksimum vea fonksionun en büük deðeri denir. Yerel minimum deðerlerinin en küçüðüne mutlak minimum vea fonksionun en küçük deðeri denir. EKSTREMUM NOKTALAR ÝLE TÜREVÝN ÝLÝÞKÝSÝ Teorem (Fermat Teoremi) : f : [a, b] R fonksionu sürekli ve (a, b) aralýðýnda türevli olsun. f() in o (a, b) noktasýnda erel ekstremumu varsa f ý ( o ) = 0 dýr. erel min. erel mak. mutlak min. p q k l m n t u a b Bu teoremin karþýtý her zaman doðru olmaabilir. Yani, f ý ( o ) = 0 olduðu halde ( o, f ý ( o )) noktasýnda erel ekstremumu olmaabilir. f : A R, = f() fonksionunda a A ve ε eterince küçük pozitif bir reel saý olmak üzere a noktasýný içine alan (a ε, a + ε) aralýðýndaki her saýsý için; Örnek = ~ f() f(a) ise (a, f(a)) noktasýna fonksionun erel (baðýl) maksimum noktasý, f(a) deðerine de fonksionun erel maksimum deðeri denir. ~ Eðer f() f(a) ise (a, f(a)) noktasýna fonksionun erel (baðýl) minimum noktasý, f(a) deðerine de fonksionun erel minimum deðeri denir. f : R R, f() = fonksionu f ý (0) = 0 olduðu halde (0, 0) noktasý fonksionun erel ekstremum noktasý deðildir. 8
5 Artan ve Azalan Fonksionlar Uarý : Bir f() fonksionunun apsisli noktada erel ektremumu (maksimum vea minimumu) olduðu halde fonksionun bu noktada türevi olmaabilir. c + + c + f ý () + f() f(c) azalan artan + Örnek f : R R, f() = + fonksionunun erel ekstremum noktasýný bulunuz. f() in grafiðinde de görüldüðü gibi fonksionun A(, ) noktasýnda bir erel minimum deðeri olduðu halde, = noktasýnda türevi; ise f() =, f ý () = f ý ( + ) = < ise f() = +, f ý () = f ý ( ) = f ý ( + ) f ý ( ) olup bu noktada türevi oktur. A (c, f(c)) minimum noktadýr. NOT : Türevlenebilen bir fonksionun birinci türevinin kökleri erel maksimum vea erel minimum noktalarýnýn apsisleridir. Bu noktalar esas fonksionda erine azýlarak ordinatlarý da bulunabilir. min. ma. + f ý () + + f() f( ) f( ) ma. min. ) BÝRÝNCÝ TÜREVDEN YARARLANILARAK EKSTREMUM NOKTALARININ ÝNCELENMESÝ f : (a, b) R e tanýmlý ve türevlenebilen bir fonksion verilmiþ olsun. i) f() fonksionu bir = c noktasýnýn solunda artan saðýnda azalan ise = c, f() in bir maksimum noktasýdýr. ii) + + c + (c, f(c)) maksimum noktadýr. c + f ý () + f() artan f(c) azalan f() fonksionu bir = c noktasýnýn solunda azalan saðýnda artan ise = c, f() in bir minimum noktasýdýr. ~ (, f( )) noktasý erel maksimum noktasýdýr. ~ (, f( )) noktasý erel minimum noktasýdýr. Uarý : Türevlenebilen bir fonksionun erel ekstremum noktasýnýn olabilmesi için türevinin bu noktada iþaret deðiþtirmesi gerekir. Örnek f : R R, f() = + 6 fonksionunun erel ekstremum noktalarýný bulunuz. f() in türevinin iþaretini inceleelim. f ý () = 6 6 = 0 ( ) = 0 Buradan = 0 ve = 9
6 Artan ve Azalan Fonksionlar 0 + f () + + f() 6 ~ (, 0) aralýðýnda f() azalan (0, + ) aralýðýnda f() artan olduðundan = 0 apsisli nokta f() in erel minimum noktasýdýr. f(0) = 6, (0, 6) noktasý maksimum nokta f() =, (, ) noktasý minimum noktadýr. Örnek f() = (m ) + m + fonksionun = de bir maksimumu olduðuna göre m nin deðeri kaçtýr? f() in = de bir erel maksimumu varsa, ý f 0 olmalýdýr. = f ý () = (m ) Örnek 5 ý f =. m + = 0 m = bulunur. f : R R, f() = fonksionunun erel ekstremum noktalarýný bulunuz. f ý () =. + + f ý () = 6( + + ) 6.( + ) = 0 Buradan = 0 ve = = bulunur. 0 + f ý () + f() ~ (, ) aralýðýnda ve (, 0) aralýðýnda fonksion azalan olup noktasýnda f ý ( ) = 0 olduðu halde bu noktada türevin iþaretinde bir deðiþiklik olmadýðý için erel ekstremum oktur. Örnek 6 f() = m + n + 5 fonksionunun = apsisli noktadaki erel ekstremum deðeri 7 olduðuna göre m + n nin deðeri kaçtýr? f() in = de bir erel ekstremumu olduðuna göre f ý () = 0 dýr. Buna göre; f ý () = m + n f ý () = m + n = 0 m + n = arýca = de f() = 7 olduðundan Örnek 7 f() = m + n + 5 = 7 m + n = dir. Bu denklemleri ortak çözdüðümüzde, m n = m+ n = ise m + n = 9 bulunur. f : R R, f() = a + (b ) + 5 fonksionunun = ve = de erel ekstremumlarý olduðuna göre a ve b kaç olmalýdýr? Fonksionun erel ekstremum noktalarýnda türevi sýfýr olduðundan; f ý () = a + b olup f ý ( ) = 0 ve f ý () = 0 dýr. ( ) a( ) + b = 0 + a + b = 0 a + b = ve () a. + b = 0 a + b = 0 a b = a + b = a b = a = m = n = 5 buradan, ve b = 5 bulunur. 0
7 Artan ve Azalan Fonksionlar Örnek 8 f : R R, f() = m 8 fonksionunun erel ekstremum deðerlerinden birisinin olduðu bilindiðine göre, 8 m nin deðeri kaçtýr? ý f() =. m dir. m = 0 ( m) = 0 denkleminden = 0 ve = m bulunur. Bu deðerleri denklemde erine azdýðýmýzda; ~ = 0 ise f(0) = 8 olduðundan bahsedilen ekstremum deðeri deðildir. ~ = m ise 8 f(m) = (m) m(m) 8 = 8m 8 m m = 8 + = m = 8 m = ( ) m = bulunur. Tabloda görüldüðü gibi = apsisli noktada erel maksimum = ve = apsisli noktalarda erel minimum vardýr. Arýca = ve = apsisli noktalarda ikinci türevin sýfýr olduðuna ve bu noktalarýn maksimum ve minimum olmadýðýna dikkat ediniz. Örnek 0 f : R R, f() = fonksionu verilior. Buna göre, f ý () in erel minimum noktasýný bulunuz. f ý () = + 6 fonksionunun erel minimum noktasýný bulmalýýz. O halde f ý () in tekrar türevini almalýýz. f ýý () = = 0 6 = 6 = + f ýý () + f ý () 5 Örnek 9 f ý ( ) = ( ) + 6( ) = 6 = 5 bulunur. f ý () O halde f ý () in erel minimum noktasý (, 5) dur. f() fonksionunun türevinin grafiði ukarýda verilmiþtir. Buna göre f nin hangi deðerinde erel maksimumu vardýr? Fonksionun türevinin grafiði verildiðine göre bu grafikten türevin iþaretini inceleebiliriz. + f ý () + + f() min ma min ) ÝKÝNCÝ TÜREVDEN YARARLANARAK YEREL EKSTREMUM VE DÖNÜM (BÜKÜM) NOKTALARININ BULUNMASI f() fonksionu (a, b) aralýðýnda türevli ve f ý () ve f ýý () türevleri mevcut olsun. f ý () = 0 denkleminin,, kökleri bulunsun. Bu kökleri ikinci türevde erine azdýðýmýzda sonuç negatif ise maksimum, sonuç pozitif ise minimum, sýfýr ise dönüm (büküm) noktasý vardýr. f ý () = 0 denkleminin,, kökleri bulunsun.
8 Artan ve Azalan Fonksionlar i) f ýý ( ) > 0 ise (, f( )) noktasý minimum noktadýr. ii) f ýý ( ) < 0 ise (, f( )) noktasý maksimum noktadýr. II. ol : f() in türevinin iþaretini inceleerek de bu soruu çözebiliriz. f() = + f ý () = 6 = 0 = 0 ve = iii) f ýý ( ) = 0 ise (, f( )) noktasý dönüm (büküm) noktasýdýr. B(, f( )) C(, f( )) 0 + f ý () + + f() f(0) f() ma min minimum noktanýn ordinatý f() =. + = 8 bulunur. Örnek f() = + eðrisinin minimum noktasýnýn ordinatý nedir? Fonksionun birinci türevinin kökleri maksimum ve minimum noktalarýnýn apsisleridir. Buna göre, f ý () = 6 6 = 0 ( ) = 0 = 0 ve = Bu kökleri ikinci türevde erine azalým. f ýý () = 6 6 A(, f( )) ~ = 0 ise f ýý (0) = = 6 < 0 olduðundan = 0 apsisli nokta maksimum noktadýr. ~ = ise f ýý () = 6. 6 = 6 > 0 olduðundan = apsisli nokta minimum noktadýr. Bu noktaý esas fonksionda erine azalým. f() = + ise f() =. + = 8 + = 8 minimum nokta (, 8) olup ordinatý 8 dir. Örnek f() = +.ln eðrisinin ekstremum noktasýný bulunuz. f ý () = +.ln +. + ln = 0 ise = dir. f ýý () = + f ýý () = + > 0 olduðundan = apsisli nokta fonksionun minimum noktasýdýr. Örnek f : (0, π) R, f() = sin + cos fonksionunun ekstremum noktasýný bulunuz. f ý () = cos sin = 0 cos = sin ise tan = dir. Buradan, π 5π = ve = f ýý () = sin cos = (sin + cos) ýý π π π f = sin + cos = + < 0 π olduðundan = noktadýr. apsisli nokta maksimum
9 Artan ve Azalan Fonksionlar olduðundan noktadýr. apsisli nokta minimum Örnek f() = a b 9 + c fonksionu o eksenini de kesior ve A(, 9) eðrinin dönüm noktasý olduðuna göre, minimum noktasýný bulunuz. 5 ýý π f = = > 0 f() fonksionu o eksenini (0, ) noktasýnda kesiorsa, c = dir. A(, 9) eðrinin dönüm noktasý olduðuna göre bu noktalarýn apsisinde ikinci türev sýfýrdýr. Buna göre; f ý () = a b 9 f ýý () = 6a b f ýý () = 6a b = 0 b = a dýr. Arýca A(, 9) noktasý fonksionun üzerinde olduðundan f() de erine azalým. Buna göre; 5π = f() = a b = a. b = a b 9 + ve b = a = a a = a a =, b = f() = 9 + bulunur. Bu fonksionun minimum noktasýný bulalým. f ý () = 6 9 = 0 ( ) = 0 +.( + ).( ) = 0 ise = ve = bulunur. Bunlarý ikinci türevde erine azalým. f ýý () = 6 6 f ýý ( ) = 6( ) 6 = < 0 olduðundan (, f( )) noktasý maksimum noktadýr. f ýý () = 6. 6 = > 0 olduðundan (, f()) noktasý da f() in minimum noktasýdýr. ÝKÝNCÝ TÜREVÝN GEOMETRÝK ANLAMI BÝR EÐRÝNÝN KONKAVLIÐININ YÖNÜ f : [a, b] R fonksionu sürekli ve (a, b) aralýðýnda birinci ve ikinci türevleri mevcut olsun. i) (a, b) aralýðýnda f ýý () > 0 ise eðrinin çukurluðu ukarýa doðrudur. ii) i) ii) Vea kýsaca dýþbüke (konveks) denir. (a, b) aralýðýnda f ýý () < 0 ise eðrinin çukurluðunun önü aþaðýa doðrudur. Vea kýsaca içbüke (konkav) denir. Baþka bir deiþle çukurluk aþaðý doðru konkav, çukurluk ukarý doðru konkav þeklinde de ifade edilebilir. Gerçekten; α α a b Yukarýdaki þekilde görüldüðü gibi çukurluk ukarýa doðru olan bir eðri üzerinde apsisi daha büük olan bir noktadaki eðim açýsý daha büüktür. α > α olup tanα > tanα bunu f ý ( ) > f ý ( ) þeklinde de azýlabilir, bu durumda; f ý () fonksionu deðiþkeni ile aný önde deðiþtiðinden artan fonksiondur. Dolasýla bunun türevi de pozitiftir, ani f ýý () > 0 dýr. O halde ikinci türevi pozitif apan deðerleri için eðrinin çukurluðu ukarý doðru konveks olacaktýr. α α 0 a b
10 Artan ve Azalan Fonksionlar Yukarýdaki þekilde görüldüðü gibi çukurluk aþaðýa doðru (kýsaca konkav) olan bir eðri üzerinde apsisi daha büük olan noktadaki eðim açýsý daha küçüktür. Buna göre; α < α ise tanα < tanα ve bunu f ý ( ) < f ý ( ) þeklinde de gösterebiliriz. O halde f ý () fonksionu deðiþkeni ile ters önde deðiþmekte olduðundan azalan fonksiondur. Dolasýla bunun türevi de negatiftir, ani f ýý () < 0 dýr. O halde ikinci türevi negatif apan deðeri için eðrinin çukurluðu aþaðýa doðru (konkav) olacaktýr. Uarý () : f() fonksionu bir A( o, o ) noktasýndaki teðetinin üst tarafýnda kalýorsa çukurluk ukarý doðru (konveks); teðetinin alt tarafýnda kalýorsa çukurluk aþaðý doðru (konkav) adýný alýr. A teðet Uarý () : f ý (a) = 0, f ýý (a) = 0, f ýýý (a) = 0 olmasý hallerinde = a için sýfýr olmaan ilk türev bulununcaa kadar türev almaa devam edilir. Bu taktirde (a, f(a)) noktasý; sýfýr olmaan ilk türevin derecesi tek ise bir büküm noktasý, çift ise ekstremum noktasýdýr. Örnek f() = eðrisinin aþaðý ve ukarý doðru konkav olduðu aralýklarý bulunuz. f() fonksionunun ikinci türevinin iþaretini inceleelim. f ý () = + 8 f ýý () = = ( ) = 0 = =, = + f ýý () f () < 0 f () > 0 < ve > için f ýý () > 0 olduðundan eðri ukarý doðru konkav < < için f ýý () < 0 olduðundan eðri aþaðý doðru konkavdýr. f ý ( ) > 0, f ý ( ) > 0 f ýý ( ) < 0, f ýý ( ) > 0 f ý ( o ) 0, f ýý ( o ) = 0 dýr. Uarý () : Sürekli bir f() fonksionunun çukurluðunun ön deðiþtirdiði noktaa fonksionunun dönüm (büküm) noktasý denir. = f() denklemi ile verilen bir eðri üzerindeki bir (a, f(a)) noktasýnýn büküm (dönüm) noktasý olmasý için; f ýý (a) = 0 ve f ýýý (a) 0 olmalýdýr. Örnek f() = e eðrisinin konkavlýðýný inceleiniz. = e f ý () = e ve f ýý () = e > 0 olduðundan ve þekilde de görüldüðü gibi R için eðrinin konkavlýðý ukarý doðrudur.
11 Artan ve Azalan Fonksionlar Örnek f : R R, f() = eðrisinin konkavlýðýný inceleiniz. f ýý ( h) = 0( h ) = 0h < 0 f ýý ( + h) = 0( + h ) = 0h > 0 = in saðýnda ve solunda f ýý () iþaret deðiþtirdiðinden = apsisli nokta dönüm (büküm) noktasýdýr. Örnek 6 f() = + f ý () = ve f ýý () = < 0 olduðundan ve þekilde de görüldüðü gibi R için çukurluðun önü aþaðý doðrudur. Örnek f : R R, f() = + 5 eðrisinin konkavlýðýný inceleip büküm noktasýný bulunuz. f ý () = 6 + f ýý () = 6 6 = 6( ) = 0 ise = f ýýý () = 6 0 bu durumda; < için çukurluðun önü aþaðý doðru > için çukurluðun önü ukarý doðru = noktasý f() in dönüm noktasýdýr. Örnek 5 f : R R, f() = + ( ) 5 eðrisinin büküm (dönüm) noktasýný bulunuz. + f ýý () + f ý () = 5( ), f ýý () = 0( ), f ýýý () = 60( ) olup = için f ýý () = 0 ve f ýýý () = 0 olduðundan = in büküm noktasý olup olmadýðý hakkýnda birþe sölenemez. = de f ýý () in iþaret deðiþtirip deðiþtirmediðini araþtýralým. fonksionunun dönüm (büküm) noktasýný bulunuz. f ý () =, f ýý () = + = 0 ise, f ýýý () = = ise = = dir. f ýýý ( ) 0 olduðundan = apsisli nokta f() in dönüm (büküm) noktasýdýr. Örnek 7 f() = + + m eðrisinin dönüm (büküm) noktasý = + doðrusu üzerinde ise, m deðeri kaçtýr? Önce fonksionun dönüm noktasýný bulalým. Bu noktada ikinci türev sýfýr olup bu nokta = + doðrusu üzerinde olduðundan bu doðru denklemini saðlar. f ý () = m f ýý () = = 0 = Dönüm noktasý A(, 0) noktasýdýr. Bu noktaý f() de erine koalým. Örnek 8 6 = ise = + den = 0 dýr. 0 = ( ) + ( ) + m( ) + m = 0 m = bulunur. f() = a + b eðrisinin = apsisli noktasý dönüm (büküm) noktasý olup, bu noktadan çizilen teðet + = 0 doðrusuna paralel olduðuna göre, a + b nin deðeri kaçtýr? 5
12 Artan ve Azalan Fonksionlar =, f nin dönüm noktasý olduðuna göre; f ý () = a + b f ýý () = 6 a f ýý () = 6. a = 0 a = = apsisli noktadan çizilen teðet + = 0 doðrusuna paralel olduðuna göre eðimleri eþittir. f ý () = ().. + b = 6 + b = + b + = 0 doðrusunun eðimi dir. O halde bu eðimleri eþitleelim. + b = b = olup, a + b = + = 7 bulunur. MAKSÝMUM VE MÝNÝMUM PROBLEMLERÝ. çarpýmýný tek deðiþkenli fonksion haline getirip türevini alýp sýfýra eþitleerek ekstremum noktalarýný bulalým. f() =. = ( ) = f ý () = = 0 = bulunur. = ise. + = = 6 bulunur. O halde. =. 6 = 8 en büük deðer olarak bulunur. Örnek, R + ve + = ise. çarpýmýnýn en büük deðeri alabilmesi için in deðeri kaç olmalýdýr?. çarpýmýný tek deðiþkene baðlý olarak azalým ve türevini alýp sýfýra eþitleelim. f() =. = ( ) = f() = f ý () = 8 = 0.(6 ) = 0 = 0 ve = 6 bulunur. Deðiþken bir ifadenin maksimum ve minimum deðerleri, ugulama alaný çok olan deðerlerdir. Bir merminin ulaþabileceði en büük üksekliðin bulunmasý, verilen bir hacimde depo apýlabilmesi için minimum miktarda malzemee ihtiaç duulmasý, bir küre içine erleþtirilecek en büük hacimli silindirin boutlarýnýn bulunmasý gibi sorulara verilecek cevaplar bu gibi problemlerin çözümü ile elde edilecektir. Maksimum ve minimum problemlerini çözebilmek için evvela maksimum ve minimum olmasý istenilen büüklüðün alnýz bir deðiþken cinsinden ifade edilip, sonra bunun türevi sýfýra eþitlenerek elde edilen denklem çözülür. Bu denklemin kökleri esas fonksionda erlerine azýlarak maksimum ve minimum deðerleri bulunur. Örnek, R + ve + = ise. çarpýmýnýn en büük deðeri kaçtýr? = 0 çarpýmý maksimum apamaacaðýndan = 6 dýr. Örnek f() = a + fonksionunun minimum deðerinin olmasý için a nýn pozitif deðeri kaçtýr? f ý () = a a = 0 = a Bunu f() fonksionunda erine azarak minimum deðere eþitleelim. Örnek f() = a a.a + = a = 6 a = 6 a = bulunur. Bir dikdörtgenin üç kenarýnýn uzunluklarý toplamý 6 cm ise, alaný en çok kaç cm olur? Dikdörtgenin üç kenarýnýn toplamý 6 ise, + = 6 dýr. 6
13 Artan ve Azalan Fonksionlar A() =. = (6 ) = 6 A ý () = 6 = 0 = 9 = 9 ise.9 + = 6 = 8 Alaný :. = 9.8 = 6 cm olarak bulunur. Örnek 5 Toplamlarý 0 olan iki pozitif tamsaýnýn kareleri toplamý en fazla kaç olur? Bu saýlardan birine dersek diðeri 0 olur. Kareleri toplamýný bir fonksion þeklinde ifade edecek olursak, f() = + (0 ) = f() = f : [, 9] R þeklinde tanýmlanan f() fonksionun maksimum deðerini bulmak istioruz, fonksion bir parabol belirtir. f ý () = 0 = 0 = 5 f() = + 9 = 8 f(5) = = 50 f(9) = 9 + = 8 O halde saýlarýn kareleri toplamý en fazla 8 olur. Örnek ý + Hipotenüs uzunluðu añ olan bir dik üçgenin alaný en fazla kaç cm olur? Üçgenin dik kenarlarýna ve dielim. Üçgenin alaný, A(ABC) =. min dir. B A a C Örnek 7 + = a A(ABC) = f() =. a ý f() =. a +. = 0 a a = a a = = a ise = a dýr. a f(a) =.a. a a = a.a = cm bulunur. Bir kenarý ekseni diðer kenarý ekseni üzerinde ve bir köþesi = eðrisi üzerinde deðiþen dikdörtgenlerin en büüðünün alaný kaç cm dir? Alan fonksionu; S() =. ( ) S() = S ý () = = 0 = ise =± + + min = a dir. ma 8 8 S =. = = = = bulunur. 9 Pisagordan, 7
14 Artan ve Azalan Fonksionlar Örnek 8 A Bir küre içine erleþtirilebilen maksimum hacimli silindirin arýçapýný ve üksekliðini bulunuz. D F h AB = AC BC AB = (R) AB = R AB = R D R r A r = AB =. R R V =π r. h =π. R π V =π. = (R ) ý π V() = (R ) π π (R ) = 0, 0 olduðundan R = R R = = ± Silindirin üksekliði R = h = bulunur. Silindirin arýçapý r = AB R =. R =. R 8R R =. = r = R bulunur. C B B Silindirin deðiþken olan taban arýçapýna, üksekliðine de dielim. Bu silindirin hacmi V = π.. dir. AEC üçgeni ile ADF üçgeni benzer olduðundan h r = = (h ) r h h in bu deðerini V hacim formülünde erine azalým. r V =π.. =π..(h ). h ý πr V () =.[ (h ).( ). +.(h ) ] h πr.(h )[(h )] = 0 ise h = h h ve = h h V ý () + + ma min h = ani maksimum hacimdeki silindirin h üksekliði dür. E r C Örnek 9 Yarýçapý r üksekliði h olan bir dik koni içine erleþtirilmiþ maksimum hacimdeki silindirin üksekliðini bulunuz. Örnek 0 A(, ) noktasýndan çizilen doðrular ve koordinat eksenleri ile birinci bölgede oluþan üçgenlerden alaný en küçük olanýn alaný kaç br dir? 8
15 Artan ve Azalan Fonksionlar B Bu durumda = de minimum deðerini aldýðýndan üçgenin en küçük alaný; E 0 A(, ) D C 8 A(OBC) = f() = f() = + +. f() = = br bulunur. Medana gelen üçgenin alaný, A(OBC) = ( + ).( + ) ABE üçgeni ile ADC üçgeni benzer üçgenlerdir. Buna göre; =.= A(OBC) =.( + ).( + ) f() = + ( + ) f() = + (. + ) 8 f() = + +, fonksionu bulunur. ý 8 f() = + = 0 deðer alýr. = [ ] = [ ] 8 = ise = 9 = ± ýý 6 f () = ýý 6 f () = > 0 olduðundan minimum, ýý 6 f ( ) = < 0 olduðundan maksimum ( ) Örnek Eþkenar bir üçgenin içine çizilebilen ve alaný maksimum olan dikdörtgenin boutlarýný bulunuz. B G ABC eþkenar üçgenin bir kenarý a olsun. Yüksekliði, a AH = h = a AK = HE = KF = dielim. ve uzunluklarýnýn deðiþken olduðunu görün. AKF üçgeni ile AHC üçgenleri benzer olduðundan a AK KF = = AH HC a a a = = a DEFG dikdörtgeninin alaný Alan =. =. A() =. (añ ñ. ) = añ ñ A ý () = añ ñ = 0 D añ = ñ K A H a = E a/ F C 9
16 Artan ve Azalan Fonksionlar Örnek = (a ) olduðundan a a a = a. =. = Dikdörtgenin boutlarý a a = ve = bulunur. Üst kýsmý arýçaplý bir arým daire þeklinde ve esas kýsmý ve boutlu bir dikdörtgen þeklinde olan bir pencerenin çevresi sabit bir a saýsýna eþittir. Buna göre pencerenin alanýnýn maksimum olabilmesi için pencerenin boutlarý ne olmalýdýr? Pencerenin çevresi π + + = a dýr. = a π Alan = π +. dir. A() = π +. [a π ] = π + a π ] ý A() =π + a π a π = 0 a = ( π+ ) a = π+ = [a ( π+ )] a( π+ ) =. a π+ Örnek Yandaki þekilde, A ACE doðrusal [AB] [BC] [CD] [DE] [BC] // [DE] B C AB = DE = 8 dir. D 8 θ Buna göre tanθ nýn hangi deðeri için, AC + CE toplamý en küçüktür? Δ ABC de sinθ= = sinθ Δ CDE de 8 cosθ= 8 = cosθ 8 f( θ ) = + = + sinθ cosθ ý cosθ 8.sinθ f( θ ) = + = 0 sin θ cos θ bulunur. B 8.sinθ cosθ = cos θ sin θ 8.sin θ= cos θ sin θ = cos θ 8 A tan θ= ise tanθ= θ D C 8 θ E E aπ+ a aπ a = π+ a a =. = π+ π+ O halde pencerenin boutlar ý a a = ve = ani = dir. π+ π+ 0
17 ALIÞTIRMALAR. f() = fonksionunun artan ve azalan olduðu aralýklarý bulunuz. Cevap : (, ) (, + ) artan (, ) azalan Artan ve Azalan Fonksionlar 6. f() = fonksionunun azalan olduðu aralýktaki tamsaýlarýn toplamý kaçtýr? Cevap : 7 m 7 7. f() = fonksionu R { } için +. f() = m fonksionu m nin hangi deðeri için monoton artandýr? artan ise m nin alacaðý deðerleri bulunuz. Cevap : m > 7 Cevap : < m < 8. f() = sin + cos fonksionunun maksimum deðeri kaçtýr? Cevap : ñ. f() = + 5 fonksionunun erel ekstremum noktalarýný bulunuz. Cevap : A(0, 5) ma. nokta B(, ) min. nokta 9. f() = + a b + fonksionunun iki tane dönüm noktasý vardýr. Bu noktalarýn apsisler toplamý ise a kaçtýr? Cevap : 6. f() = a + + b fonksionunun A(, ) noktasý minimum noktasý ise a+b toplamý kaçtýr? Cevap : m 0. f() = fonksionunun erel ekstremum + noktalarýnýn apsisleri ve olmak üzere, = 5 ise m kaçtýr? Cevap : 5. f() = (m ) + a + b eðrisinin erel ekstremum noktalarýnýn apsisleri toplamý 9 ise m nin deðeri kaçtýr? Cevap :. f() = + + fonksionunun dönüm noktasýndan çizilen teðetin denklemini bulunuz. Cevap : = +
18 ALIÞTIRMALAR. 5 = f ý () Yukarýda f() in türevinin grafiði verilmiþtir. Buna göre, f() in erel maksimum noktasýnýn apsisi kaçtýr? 6. f() = 9 Artan ve Azalan Fonksionlar parabolü üzerindeki herhangi bir nokta ile orjin arasýndaki en kýsa uzaklýk kaç birimdir? Cevap : 7 Cevap :. m + m + = 0 denkleminin köklerinin kareleri toplamýnýn minimum olmasý için m kaç olmalýdýr? Cevap : 7. = parabolünün = 0 doðrusuna en kýsa uzaklýðý kaç birimdir? Cevap : 5 8. = + parabolünün A(5, 0) noktasýna en kýsa uzaklýðý kaç birimdir?. A(, ) ve B(, ) noktalarý arasýndaki uzaklýðýn en kýsa olabilmesi için kaç olmalýdýr? Cevap : ñ5 Cevap : 9. f() = m + + fonksionunun konkav (iç büke) olduðu aralýk (, ) ise m deðeri nedir? 5. d Cevap : 6 C A 0 B Yukarýdaki þekilde ABOC dikdörtgeninin A köþesi d doðrusu üzerinde deðiþmektedir. Buna göre ABOC dörtgeninin alaný en fazla kaç br olur? Cevap : = 9 parabolü ve = 8 doðrusu ile kesilerek, bir kenarý = 8 doðrusu üzerinde iki köþesi parabol üzerinde deðiþen dikdörtgenlerin en büük olanýnýn alaný kaç birim karedir? Cevap : 6 6
19 TEST. f() = 5 + fonksionunun azalan olduðu aralýk aþaðýdakilerden hangisidir? 5 A) < < B) < < C) 0 < < D) 0 < < E) < < Artan ve Azalan Fonksionlar 6. Aþaðýdaki fonksionlardan hangisi daima artandýr? A) f() = B) f() = C) f() = e D) f() = + E) f() = 5. f() = fonksionunun artan olduðu aralýk ln aþaðýdakilerden hangisidir? (, R + ) A) (0, e) B) (, e) C) (e, + ) 7. f() fonksionu (a, b) aralýðýnda pozitif deðerli ve artan bir fonksion olduðuna göre aþaðýdaki fonksionlardan hangisi aný aralýkta artandýr? A) f() B) f() C) f () D) E) f() f () D) (, 0) E) ( e, ) 8. (a, b) aralýðýnda (a, b) için türevi pozitif olan fonksion aþaðýdakilerden hangisidir? A) B) C). f() = + b + + m fonksionu daima artan olduðuna göre b nin alacaðý deðerler aþaðýdakilerden hangisidir? a b a b a b A) < b < B) < b < C) < b < D) E) D) < b < E) 0 < b < a b a b. f : R {} R olmak üzere, + m f() = fonksionunun daima artan olmasý için m aþaðýdakilerden hangisi olmalýdýr? A) m < B) m < 0 C) < m D) < m < E) 0 < m < 9. Yukarýda tepe noktasý T(, ) olan parabol verilmiþtir. Buna göre aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) f ý ( ) > 0 B) f(0) > 0 C) f ý () = 0 D) f ý () < 0 E) f ý () = 0 f() 5. Aþaðýdaki fonksionlardan hangisi daima azalandýr? A) f() = B) f() = C) f() = log D) f() = + E) f() = + 0. f() =. ln eðrisinin erel ektremum noktasýnýn apsisi kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) e e
20 TEST. f() = a + b fonksionunun erel minimum noktasý (, 5) ise a+b toplamý kaçtýr? 7. Artan ve Azalan Fonksionlar A) B) C) D) 5 E) 6. f() = + fonksionu için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) < < aralýðýnda fonksion artandýr. B) = de erel minimum vardýr. C) = de erel maksimum vardýr. D) < < aralýðýnda fonksion azalandýr. E) < < aralýðýnda fonksion artandýr.. [a, b] aralýðýnda tanýmlý f() fonksionu için f ý () < 0 olduðuna göre aþaðýdakilerden hangisi daima doðrudur? A) f(b) < f() < f(a) B) f(a) < f() < f(b) C) f(a) < f() D) f(a) < f(b) E) f(a) = 0 8. Yukarýda f() fonksionunun grafiði verilmiþtir. Buna göre aþaðýdakilerden hangisi doðrudur? A) f ýý () = 0 B) f ýý ( ) < 0 C) f ýý ( ) = 0 D) f ý (0) < 0 E) f ý ( ) > 0 A(0, ) P = ñ Yukarýda A(0, ) noktasýnýn = ñ eðrisine en akýn noktasý P ise AP uzunluðu kaçtýr? A) B) C) ñ D) ñ5 E) ñ6. f() = fonksionunun dönüm noktasý aþaðýdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) 9. R olmak üzere ( ).( + ) çarpýmýnýn alacaðý en büük deðer kaçtýr? 55 A) B) C) D) E) 8 5. f() = (m ) + n + 0 fonksionunun dönüm (büküm) noktasý (, 0) ise m+n toplamý kaçtýr? A) 7 B) 8 C) 0 D) E) 0. = = 6 6. Bir iþ erinde bir günde üretilen tane birim malýn malieti f() = lira olduðu bilinmektedir. Birim malýn satýþ fiatý 50 lira olduðuna göre günlük kârýn maksimum olabilmesi için bir günde kaç birim mal üretilmelidir? A) 8 B) 0 C) D) E) Yukarýdaki þekilde = parabolünün içine bir kenarý = 6 doðrusu diðer kenarý ekseni üzerinde ve bir köþesi de = parabolü üzerinde deðiþen bir dikdörtgen erleþtirilmiþtir. Bu dikdörtgenin maksimum alaný kaç br dir? A) 6ñ B) 6ñ C) ñ5 D) 5ñ E) ñ Cevaplar: - A -C -D -A 5-D 6-B 7-C 8-D 9-C 0-E -B -C - A -B 5-D 6-C 7-A 8-D 9-E 0-E
4. f(x) = x 3 3ax 2 + 2x 1 fonksiyonunda f ý (x) in < x < için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna
Artan - Azalan Fonksionlar Ma. Min. ve Dönüm Noktalarý ÖSYM SORULARI. Aþaðýdaki fonksionlardan hangisi daima artandýr? A) + = B) = C) = ( ) + D) = E) = + (97). f() = a + fonksionunda f ý () in erel (baðýl)
Detaylı4. a ve b, 7 den küçük pozitif tam sayý olduðuna göre, 2 a a b. 5. 16 x+1 = 3
LYS ÜNÝVSÝT HAZILIK ÖZ-D-BÝ YAYINLAI MATMATÝK DNM SINAVI A Soru saýsý: 5 Yanýtlama süresi: 75 dakika Bu testle ilgili anýtlarýnýzý optik formdaki Matematik bölümüne iþaretleiniz. Doðru anýtlarýnýzýn saýsýndan
DetaylıBÖLÜM 3 FONKSÝYONLARIN LÝMÝTÝ. ~ Limitlerin Tanýmý ve Özellikleri. ~ Alýþtýrmalar 1. ~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Limitleri
BÖLÜM FONKSÝYONLARIN LÝMÝTÝ Limitlerin Tanýmý ve Özellikleri Alýþtýrmalar Özel Tanýmlý Fonksionlarýn Limitleri (Saðdan ve Soldan Limitler) Alýþtýrmalar Trigonometrik Fonksionlarýn Limitleri Alýþtýrmalar
DetaylıLYS 1 ÖZ-DE-BÝR YAYINLARI MATEMATÝK DENEME SINAVI 1 MA = a 4, 3 b Bazý M pozitif gerçek sayýlarý için, 5M = M 5 ve. 6.
LYS ÜNÝVERSÝTE HAZIRLIK ÖZ-DE-BÝR YAYINLARI MATEMATÝK DENEME SINAVI A Soru saýsý: 0 Yanýtlama süresi: dakika Bu testle ilgili anýtlarýnýzý optik formdaki Matematik bölümüne iþaretleiniz. Doðru anýtlarýnýzýn
DetaylıLYS MATEMATÝK II - 10
ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS UYGULM FÖYÜ (MF-TM) DERSHNELERÝ LYS MTEMTÝK II - 0 PRL - I Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. dý Soadý :... u kitapçýðýn her hakký
DetaylıBÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II
ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS NLTIM FÖYÜ DERSHNELERÝ Konu Ders dý ölüm Sýnav DF No. MTEMTÝK - II PRL - I MF TM LYS 09 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. dý Soadý
DetaylıDOÐRUNUN ANALÝTÝÐÝ - I
YGS-LYS GEOMETRÝ Konu Anlatýmý DOÐRUNUN ANALÝTÝÐÝ - I ANALÝTÝK DÜZLEM Baþlangýç noktasýnda birbirine dik olan iki sayý doðrusunun oluþturduðu sisteme dik koordinat sistemi, bu doðrularýn belirttiði düzleme
Detaylı7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56
, 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)
DetaylıBÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II
ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS NLTIM FÖYÜ DERSHNELERÝ Konu Ders dý ölüm Sýnav DF No. MTEMTÝK - II PRL - IV MF TM LYS1 12 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. dý
DetaylıLYS - 1 GEOMETRÝ TESTÝ
LYS - 1 GMTRÝ TSTÝ ÝKKT : 1. u testte toplam 3 soru vardýr. 2. evaplamaa istediðiniz sorudan baþlaabilirsiniz. 3. evaplarýnýzý, cevap kaðýdýnýn Geometri Testi için arýlan kýsmýna iþaretleiniz.. Safalar
DetaylıLYS - 1 MATEMATÝK TESTÝ
LYS - 1 MATEMATÝK TESTÝ DÝKKAT : 1. Bu ese oplam 50 soru vardýr.. Cevaplamaa isediðiniz sorudan baþlaabilirsiniz.. Cevaplarýnýzý, cevap kaðýdýnýn Maemaik Tesi için arýlan kýsmýna iþareleiniz.. Safalar
DetaylıEÞÝTSÝZLÝKLER. I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik. Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik
l l l EÞÝTSÝZLÝKLER I. ve II. Dereceden Bir Bilinmeyenli Eþitsizlik Polinomlarýn Çarpýmý ve Bölümü Bulunan Eþitsizlik Çift ve Tek Katlý Kök, Üslü ve Mutlak Deðerlik Eþitsizlik l Alýþtýrma 1 l Eþitsizlik
DetaylıPARABOL TEST / 1. 1. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði parabol. 5. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiði A(0,2) noktalarýndan geçer?
PARABOL TEST /. Aþaðýdaki fnksinlardan hangisinin grafiði parabl belirtir? 5. Aþaðýdaki fnksinlardan hangisinin grafiði A(0,) nktalarýndan geçer? A) f()=5 f()=+ C) f()= D) f()= f()= 4 + + A) f()= f()=
DetaylıBÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5
DetaylıBasým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674
kapak sayfası İÇİNDEKİLER 6. ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler... 4 a + b + c = 0 Denkleminin Genel Çözümü... 5 7 Karmaşık Sayılar... 8 4 Konu Testleri
DetaylıÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I
YGS-LYS GEOMETRÝ Konu Anlatýmý ÇEMBERÝN ANALÝTÝÐÝ - I 1. Çember Denklemi: Analitik düzlemde merkezi M(a, b) ve yarýçapý r birim olan çemberin denklemi, (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 (x - a) 2 + y 2 = r 2
Detaylı12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?
. SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)
DetaylıBÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II
ÝREY DERSHNELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS NLTIM FÖYÜ DERSHNELERÝ Konu Ders dý ölüm Sýnav DF No. MTEMTÝK - II TRÝGNMETRÝ - I MF TM LYS 8 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr.
DetaylıPARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği
DetaylıBÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II
BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II KARMAÞIK SAYILAR - II MF TM LYS 3 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar
DetaylıİÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...
İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5
DetaylıDoðruda Açýlar Üçgende Açýlar Açý - Kenar Baðýntýlarý Dik Üçgen ve Öklit Baðýntýlarý Ýkizkenar ve Eþkenar Üçgen Üçgende Alan
Ödev Tarihi :... Ödev Kontrol Tarihi :... Kontrol den :... LYS GOMTRİ Ödev Kitapçığı 1 (M-TM) oðruda çýlar Üçgende çýlar çý - Kenar aðýntýlarý ik Üçgen ve Öklit aðýntýlarý Ýkizkenar ve þkenar Üçgen Üçgende
DetaylıÜçgenler Geometrik Cisimler Dönüþüm Geometrisi Örüntü ve Süslemeler Ýz Düþümü
Üçgenler Geometrik isimler önüþüm Geometrisi Örüntü ve Süslemeler Ýz üþümü 119 120 Üçgenler Üçgenler 4 cm 2 cm 2 cm Yukarýdaki çubuklarýn uzunluklarý 4 cm, 2 cm ve 2 cm dir. u üç çubuðun uç noktalarýný
DetaylıBÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI
BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI ~ Türevin Tanýmý ~ Saðdan ve Soldan Türev ~ Türevin Süreklilikle Ýliþkisi ~ Türev Alma Kurallarý ~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi ~ Alýþtýrmalar ~ Test ~ Türevde Zincir
DetaylıDENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir.
1. Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. a, b, c birbirinden farklý rakamlardýr. 2a + 3b - 4c ifadesinin alabileceði
DetaylıKanguru Matematik Türkiye 2017
4 puanlýk sorular 1. þaðýdaki þekilde kenar uzunluklarý 4 ve 6 olan iki eþkenar üçgen ve iç teðet çemberleri görülmektedir. ir uðurböceði üçgenlerin kenarlarý ve çemberlerin üzerinde yürüyebilmektedir.
DetaylıKareli kaðýda çizilmiþ olan. ABC üçgenin BC kenarýna ait yüksekliði kaç birimdir?
8. SINI ÜÇGN YRII NR TTi YÜSÝ üçgenin köþesinden kenarýna ait dikme inþa ediniz. yný iþlemi köþesinden kenarýna ve köþesinden kenarýna da uygulayýnýz. areli kaðýda çizilmiþ olan üçgenin kenarýna ait yüksekliði
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan
DetaylıGeometri Çalýþma Kitabý
LYS GMTRÝ ÇLIÞM ÝTI LYS Geometri Çalýþma itabý opyright Sürat asým Reklamcýlýk ve ðitim raçlarý San. Tic. Þ u kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn, kitabý yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik,
Detaylı1996 ÖYS. 2 nin 2 fazlası kız. 1. Bir sınıftaki örencilerin 5. örencidir. Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır?
996 ÖYS. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin saısı kaçtır? 8 C) 6 D) E) 6. Saatteki hızı V olan bir hareketti A ve B arasındaki olu
DetaylıA A A A A A A A A A A
LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +
DetaylıTÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda
DetaylıYARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ
YRIRMLI MTEMTİK TÜREV FSİKÜLÜ Maksimum-Minimum Problemleri MESUT ERİYES MKSİMUM - MİNİMUM PROLEMLERİ Maksimum ve minimum problemlerini çözmek için şu kurallar ugulanır; 1) Maksimum a da minimum olması
Detaylı- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a
İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri
Detaylı1. BÖLÜM. 4. Bilgi: Bir üçgende, iki kenarýn uzunluklarý toplamý üçüncü kenardan büyük, farký ise üçüncü kenardan küçüktür.
8. SINIF COÞMY SORULRI 1. ÖLÜM DÝKKT! u bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 3. 1. 1 1 1 1 1 1 D E F 1 1 1 C 1 ir kenarý 1 birim olan 24 küçük kareden oluþan þekilde alaný 1 birimkareden
Detaylı2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?
MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden
DetaylıMATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,
MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard
DetaylıDENEME Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir.
1. Bu testte 40 soru bulunmaktadýr. 2. Bu testteki sorular matematiksel iliþkilerden yararlanma gücünü ölçmeye yöneliktir. 1. 3 2x +1 = 27 olduðuna göre, x kaçtýr? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 4. Yukarýda
DetaylıMATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 01
LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI- MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI BU SORU KİTAPÇIĞI LYS- MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. . Bu testte 5 soru vardýr. MATEMATİK TESTİ. Cevaplarýnýzý,
DetaylıÇözüm: Örnek: 3. BÖLÜM TEST - 1. 4x 3 +3y 2 2x 4y=9 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?
. BÖLÜM TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TEST TEST - 4 + 4=9 eğrisinin (, ) noktasındaki teğetinin denklemi nedir?. f()=( ). ( 5) fonksionun =4 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 6. fonksionun.
DetaylıEKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:
EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin
DetaylıGeometriye Y olculuk. E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme E E E E E. Çevremizdeki Geometri. Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim
Matematik 1. Fasikül ÜNÝTE 1 Geometriye Yolculuk ... ÜNÝTE 1 Geometriye Y olculuk Çevremizdeki Geometri E Kare, Dikdörtgen ve Üçgen E Açýlar E Açýlarý Ölçme Geometrik Þekilleri Ýnceleyelim E E E E E Üçgenler
DetaylıÖrnek...1 : f (x)=2x 2 5x+6 parabolü K(2,p) noktasından geçiyorsa p kaçtır? Örnek...2 : Aşağıda çeşitli parabol grafikleri verilmiştir incele yi niz.
a, b,c R,a 0 olmak koşulula f ()=a 2 +b+c fonksionuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksion ve bu fonksionun belirttiği eğrie de parabol denir. Uarı ir parabolün grafiği başkatsaı olan a saısına bağlı
DetaylıMAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ
1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının
DetaylıGeometri Çalýþma Kitabý
YGS GMTRÝ ÇLIÞM ÝTI YGS Geometri Çalýþma itabý opyright Sürat asým Reklamcýlýk ve ðitim raçlarý San. Tic. Þ u kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn, kitabý yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik,
DetaylıÖ.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci
Detaylı6. loga log3a log5a log4a. 7. x,y R olmak üzere;
log. 5 5 0 olduğuna göre, değeri kaçtır? A) 5 B) 0 C) 6 8 E) 6. loga loga log5a loga eşitliğini sağlaan a değeri kaçtır? 5 A) 5 5 B) 5 5 C) 5 E) 5. loga logb logc ifadesinin eşiti aşağıdakilerden a c A)
DetaylıPARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
PROL est -. m parabolü eksenini kesmiorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. f a b c (, ) ) (, ) (, ) (, ) ( 6, ). m parabolü eksenini iki farklı noktada kesmektedir. una göre,
DetaylıDERSHANELERÝ MATEMATÝK - I
B Ý R E Y D E R S H A N E L E R Ý S I N I F Ý Ç Ý D E R S A N L A T I M F Ö Y Ü DERSHANELERÝ Konu Bölüm DAF No. FONKSÝYONLAR - I MF-TM 53 MATEMATÝK - I 53 Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry
DetaylıBÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II
BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II EÞÝTSÝZLÝKLER - I MF TM LYS1 13 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar
DetaylıÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi
DetaylıYAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1
YAZILIYA HAZIRLIK TESTLERÝ TEST / 1 1. x +6x+5=0 5. x +5x+m=0 denkleminin reel kökü olmadýðýna göre, m nin alabileceði en küçük tam sayý deðeri kaçtýr? A) {1,5} B) {,3} C) { 5, 1} D) { 5,1} E) {,3} A)
DetaylıYAZILIYA HAZIRLIK SORULAR ve ÇÖZÜMLERİ
_ i f: _-, A $ R, f() + - fonksionunun görüntü kümesini bularak grafiðini çiziniz - i _- i + _-i- ( - i -8- f _ i + - ( i + - b r - - - a - i _- i + _i - -- - + - _ + i - biçiminde azýlýrsa; TN_, - i olureksenleri
DetaylıMATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08
LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi
DetaylıKanguru Matematik Türkiye 2017
4 puanlýk sorular 1. Bir dik ikizkenar ABC üçgeni, BC = AB = birim olacak þekilde veriliyor. Üçgenin C köþesini merkez kabul ederek çizilen ve yarýçapý birim olan bir yay, hipotenüsü D noktasýnda, üçgenin
DetaylıA A A A) 2159 B) 2519 C) 2520 D) 5039 E) 10!-1 A)4 B)5 C)6 D)7 E)8. 4. x 1. ,...,x 10. , x 2. , x 3. sýfýrdan farklý reel sayýlar olmak üzere,
., 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ve 0 sayýlarý ile bölündüðünde sýrasýyla,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ve 9 kalanlarýný veren en küçük tamsayý aþaðýdakilerden hangisidir? A) 59 B) 59 C) 50 D) 5039 E) 0!- 3. Yasin, annesinin
Detaylı1998 ÖYS. 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7. iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir?
99 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal saısının 7 katı, iki basamaklı bir doğal saısına eşittir. Buna göre, doğal saısı en az kaç olabilir? A) B) C) 6. Bugünkü aşları 6 ve ile orantılı olan iki kardeşin 6 ıl sonraki
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR TEST / 1
TEMEL KAVRAMLAR TEST / 1 1. Aþaðýdakilerden kaç tanesi rakam deðildir? I. 0 II. 4 III. 9 IV. 11 V. 17 5. Aþaðýdakilerden hangisi birbirinden farklý iki rakamýn toplamý olarak ifade edilemez? A) 1 B) 4
DetaylıLÝMÝTTE BELÝRSÝZLÝKLERÝN GÝDERÝLMESÝ
LÝMÝTTE BELÝRSÝZLÝKLERÝN GÝDERÝLMESÝ Limit iþlemini yaparken deðiþkenin yerine deðerini koyduðumuzda, Örnek + 4 Belirsizliklerin Giderilmesi belirsizliklerinden herhangi biri meydana geliyorsa aþaðýda
DetaylıÖ.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i
Detaylı9. BÖLÜM. Özel Tanımlı Fonksiyonlar ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: ÖRNEK ÖRNEK ÇÖZÜM ÇÖZÜM. M A T E M A T İ K
M A T E M A T İ K www.akademitemellisesi.com ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: f:ar (A R) fonksionu için, 9. BÖLÜM ) Her A için f( ) = f() ise f e çift fonksion denir. olduğundan ne tek nede çifttir. MUTL AK DEĞER
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan
DetaylıBÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.
- TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken
Detaylı6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x)
6 II. DERECEDEN FNKSÝYNLR (Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MTEMTÝK 1. f(). f() 6 8 T Yukarıda grafiği verilen = f() parabolünün denklemi nedir?( = 6) Yukarıda grafiği verilen
DetaylıLYS GEOMETRÝ. Doðruda Açýlar Üçgende Açýlar Açý - Kenar Baðýntýlarý Dik Üçgen ve Öklit Baðýntýlarý
LYS GEOMETRÝ Soru Çözüm ersi Kitapçığı 1 (MF - TM) oðruda çýlar Üçgende çýlar çý - Kenar aðýntýlarý ik Üçgen ve Öklit aðýntýlarý Ýkizkenar ve Eþkenar Üçgen Üçgende lan u yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm
DetaylıKanguru Matematik Türkiye 2017
3 puanlýk sorular 20 17 1. =? 2 + 0 + 1 + 7 A) 3,4 B) 17 C) 34 D) 201,7 E) 340 2. Berk tren yolu modeliyle oynamayý çok sever. Yaptýðý tren yolu modelinde, bazý nesneleri 1:87 oranýnda küçülterek oluþturmuþtur.
DetaylıFonksiyonlar ve Grafikleri
Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. ( çocuk annenin
DetaylıBÖLME ve BÖLÜNEBÝLME TEST / 6
BÖLME ve BÖLÜNEBÝLME TEST / 6 1. A sayýsýnýn B ile bölümünden bölüm 4, kalan 3 tür. B sayýsýnýn C ile bölümünden bölüm 6, kalan 5 tir. Buna göre, A sayýsýnýn 12 ile bölümünden kalan A) 7 B) 8 C) 9 D) 10
DetaylıFonksiyonlar ve Grafikleri
Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (
DetaylıBÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ MATEMATÝK - II
BÝREY DERSHANELERÝ SINIF ÝÇÝ DERS ANLATIM FÖYÜ DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II II. DERECEDEN DENKLEMLER - IV MF TM LYS1 08 Ders anlatým föyleri öðrenci tarafýndan dersten
DetaylıSevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme uygun ve çalışmalarınızda ışık tutacak MATEMATİK SORU BANKASI hazırladık.
Sevgili Öğrenciler ve Değerli Öğretmenler, Yeni sisteme ugun ve çalışmalarınızda ışık tutacak MATEMATİK SORU BANKASI hazırladık. MATEMATİK SORU BANKASI tamamıla Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbie Kurulu
DetaylıÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE 2. ÜNÝTE
ÝÇÝNDEKÝLER. ÜNÝTE ÇEVREMÝZDEKÝ GEOMETRÝ... Açýlarý Ýsimlendirme... Açýlarý Ölçme... Açý Çeþitleri... Üçgen Çeþitleri... 7 Üçgenlerin iç Açýlarýnýn Ölçüleri Toplamý... 9 Ölçme ve Deðerlendirme... Kazaným
DetaylıYönergeyi dikkatlice oku. Gözden hiçbir þeyi kaçýrmamaya dikkat et. Þifrenin birini testin iþaretlenen yerine ( Adayýn Þifresi ), diðer þifreyi de
ADAYIN ÞÝFRESÝ Eðitimi Geliþtirme Dairesi DENEME DEVLET OLGUNLUK SINAVI ÖÐRENCÝLERÝN BÝLGÝ VE BECERÝLERÝNÝ DEÐERLENDÝRME SEKTÖRÜ Öðrencilerin Bilgi Ve Becerilerini Deðerlendirme Sektörü BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin
Detaylı1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7
998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı
DetaylıA A A A A A A A A A A
LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).
Detaylı3. FASÝKÜL 1. FASÝKÜL 4. FASÝKÜL 2. FASÝKÜL 5. FASÝKÜL. 3. ÜNÝTE: ÇIKARMA ÝÞLEMÝ, AÇILAR VE ÞEKÝLLER Çýkarma Ýþlemi Zihinden Çýkarma
Ýçindekiler 1. FASÝKÜL 1. ÜNÝTE: ÞEKÝLLER VE SAYILAR Nokta Düzlem ve Düzlemsel Þekiller Geometrik Cisimlerin Yüzleri ve Yüzeyleri Tablo ve Þekil Grafiði Üç Basamaklý Doðal Sayýlar Sayýlarý Karþýlaþtýrma
DetaylıTEST. 8 Ünite Sonu Testi m/s kaç km/h'tir? A) 72 B) 144 C) 216 D) 288 K 25 6 L 30 5 M 20 7
TEST 8 Ünite Sonu Testi 1. 40 m/s kaç km/h'tir? A) 72 B) 144 C) 216 D) 288 2. A noktasýndan harekete baþlayan üç atletten Sema I yolunu, Esra II yolunu, Duygu ise III yolunu kullanarak eþit sürede B noktasýna
Detaylı5. 2x 2 4x + 16 ifadesinde kaç terim vardýr? 6. 4y 3 16y + 18 ifadesinin terimlerin katsayýlarý
CEBÝRSEL ÝFADELER ve DENKLEM ÇÖZME Test -. x 4 için x 7 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) B) C) 9 D). x 4x ifadesinde kaç terim vardýr? A) B) C) D) 4. 4y y 8 ifadesinin terimlerin katsayýlarý toplamý kaçtýr?.
DetaylıTÜREV ALMA KURALLARI TÜREVİN UYGULAMALARI - I TÜREVİN UYGULAMALARI - II ANALİZ TESTLERİ
ÖÜ ÜV eğişim ranı, rtalama ve nlık Hız...7 ürev lma uralları... Parçalı ve utlak eğer Fonksionların ürevi...9 ürev ve üreklilik... gulama estleri...7 ÖÜ ÜVİ G - rtan ve zalan Fonksionlar...6 kstremum oktalar...6
Detaylı3. Tabloya göre aþaðýdaki grafiklerden hangi- si çizilemez?
5. SINIF COÞMY SORULRI 1. 1. BÖLÜM DÝKKT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. Kazan Bardak Tam dolu kazandan 5 bardak su alýndýðýnda kazanýn 'si boþalmaktadýr. 1 12 Kazanýn
DetaylıLYS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ
Ders Adı.ınıf Mezun LY MATEMATİK KONU ANLATIM FAİKÜLÜ TÜREV KAF 0 Konu Bir doğrunun eğimi dik koordinat sisteminde X ekseni ile aptığı pozitif önlü açının tanjantıdır. Örneğin, şekilde verilen d doğrusunun
DetaylıTaşkın, Çetin, Abdullayeva
BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a
DetaylıÖ.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x
Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. olduğuna göre, kaçtır? A B C D E Çözüm. -. : ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A B C D E Çözüm :... :....... . olduğuna göre, - ifadesinin
DetaylıTürev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm
Detaylı4. 5. x x = 200!
8. SINIF COÞMY SORULRI 1. ÖLÜM 3. DÝKKT! u bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. adým (2) 2. adým (4) 1. x bir tam sayý ve 4 3 x 1 7 5 x eþitsizliðinin doðru olmasý için x yerine
Detaylı1997 ÖSS Soruları. 5. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük doğal sayı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir?
997 ÖSS Soruları. ( ) + ( ).( ) işleminin sonucu kaçtır? ) ) ) ) 8 6 ) 6. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büük doğal saı aşağıdakilerden hangisi ile kalansız bölünebilir? ) ) 9 ) 6 )
Detaylı3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? AA 2 1 1 2 1. BÖLÜM
7. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 3. Çarpýmlarý 24 olan iki sayýnýn toplamý 10 ise, oranlarý kaçtýr? 2 1 1 2 A) B) C) D) 3 2 3
DetaylıPOLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.
POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?
DetaylıKanguru Matematik Türkiye 2017
Kanguru Matematik Türkiye 07 puanlýk sorular. Saat 7:00 den 7 saat sonra saat kaçtýr? A) 8.00 B) 0.00 C).00 D).00 E).00. Bir grup kýz daire þeklinde duruyorlar. Alev Mina nýn solunda dördüncü sýrada, saðýnda
Detaylı12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33
-B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine
Detaylı1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn
4. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM 3. DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. Böleni 13 olan bir bölme iþleminde kalanlarýn toplamý kaçtýr? A) 83 B) 78 C) 91 D) 87
DetaylıÇEVREMÝZDEKÝ GEOMETRÝ
ÇVRMÝZDÝ GOMTRÝ çýlarý Ýsimlendirme þaðýdaki masa üzerindeki açýlarý gösterelim: çýlar, köþesine yazýlan büyük harfle isimlendirilirler. çý ^ veya sembollerinden biri kullanýlarak gösterilir. Yukarýda
DetaylıMATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
DetaylıMATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ
NM 1 MTMTÝK OMTRÝ NMLRÝ 1. o o = 75 ve y = 5 olduğuna göre,. 3 + 8 = 0 sin( y)cos( + y) + sin( + y)cos( y) sin( y)sin( + y) cos( + y)cos( y) denkleminin kaç tane farklı reel kökü vardır? ifadesinin eşiti
DetaylıC E V A P L I T E S T ~ 1
C E V A P L I T E S T ~. 5. () 7 ( ).( ) A) B) C) 0 D) E) A) B) C) 0 D) E). 6. 5 A) 0 B) C) D) E) A) B) C) D) E) 5. b b ab a a A) B) a C) b D) b E) 7. ( 5 ) A) B) C) 0 D) E). 9 8. 5 8 A) B) 0 C) D) E)
DetaylıFONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 :
FONKSİYONLAR BÖLÜM 8 Örnek...3 : ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR ARTAN FONKSİYON f : A R R fonksionu verilsin. Her i B A için 1 < 2 f ( 1 )
DetaylıÇEVREMÝZDEKÝ GEOMETRÝ
ÇEVREMÝZDEÝ GEOMETRÝ çýlarý Ýsimlendirme þaðýdaki masa üzerindeki açýlarý gösterelim: çýlar, köþesine yazýlan büyük harfle isimlendirilirler. çý ^ veya sembollerinden biri kullanýlarak gösterilir. Yukarýda
DetaylıKanguru Matematik Türkiye 2018
3 puanlýk sorular 1. Ailemdeki her çocuðun en az iki erkek kardeþi ve en az bir kýz kardeþi vardýr. Buna göre ailemdeki çocuk sayýsý en az kaç olabilir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 2. Þekildeki halkalarýn
DetaylıKanguru Matematik Türkiye 2017
Kanguru Matematik Türkiye 07 4 puanlýk sorular. Bir dörtgenin köþegenleri, dörtgeni dört üçgene ayýrmaktadýr. Her üçgenin alaný bir asal sayý ile gösterildiðine göre, aþaðýdaki sayýlardan hangisi bu dörtgenin
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki
Detaylı