Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Transkript

1 kapak sayfası

2 İÇİNDEKİLER 6. ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler... 4 a + b + c = 0 Denkleminin Genel Çözümü Karmaşık Sayılar Konu Testleri İkinci Dereceden Denklemin Kökleri ile Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar Konu Testleri İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri... İkinci Dereceden Fonksiyonlar... 6 Konu Testi İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri Konu Testleri Yayımlayan: Sebit Eğitim ve Bilgi Teknolojileri AŞ Üniversiteler Mah. İhsan Doğramacı Bulv. No: DTÜ Teknokent Ankara / TÜRKİYE Tel: info@sebit.com.tr Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / 06 ISBN Numarası: Sertifika No: 674 Bu kitabın her hakkı saklıdır. Kısmen ve kaynak gösterilerek de olsa kesinlikle hiçbir alıntı yapılamaz. Metin, biçim, sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir sistemle çoğaltılamaz, dağıtılamaz ve yayımlanamaz.

3 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Ünite-6 Kazanımlar İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer i = sanal birim olmak üzere bir karmaşık sayının a + bi (a, b R) biçiminde ifade edildiğini açıklar İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri belirler İkinci dereceden fonksiyonlar ve grafikleri İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonu açıklar ve grafiğini çizer İkinci derece denklem ve fonksiyonlarla modellenebilen problemleri çözer. Raunt

4 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a 0 ve a, b, c birer reel sayý olmak üzere, a + b + c = 0 ifadesine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. a, b, c sayýlarýna denklemin katsayýlarý, 'e denklemin bilinmeyeni denir. Denklemde, yerine konulduðunda denklemi saðlayan sayýlara denklemin kökleri, bu sayýlarýn kümesine denklemin çözüm kümesi, bu sayýlarý bulma iþlemine de denklemi çözmek denir. Bazen a + b + c = 0 ikinci derece denklemini saðlayan reel sayý bulamayacaðýz. Bu durumda denklemin çözüm kümesi boþ kümedir ( ) diyeceðiz. Buna göre; = = 0 + = 0 denklemleri birer ikinci dereceden, bir bilinmeyenli denklemdir. 9 + = 0 denkleminde ikinci dereceden terim olmadýðýndan, ikinci dereceden denklem deðildir. Bu denklem birinci derecedendir = 0 denkleminde üçüncü dereceden terim olduðundan, ikinci dereceden denklem deðil, üçüncü dereceden denklemdir. Örnek 9 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm 9 = 0 = 9 = ± tür. Yani, = ve = tür. Ç = {, } dir. 4 Raunt

5 Matematik-0 Ünite-6 a + b + c = 0 Denkleminin Genel Çözümü a b c + b + c = 0 a + + = 0 a a b c + + = 0 a a b + + a c a b b + 4a 4a = 0 b b + + a 4a + c a b 4a = 0 + b a 4ac b + 4a = 0 b + = a b 4ac 4a elde edilir. Bu eþitliðin sol tarafý daima pozitif veya sýfýrdýr. Eþitliðin tanýmlý olabilmesi için b 4ac 0 olmalýdýr. b 4ac ifadesine a + b + c = 0 denkleminin diskriminantý denir ve ile gösterilir. halde; ikinci dereceden denklemin diskriminantý, = b 4ac dir. = b 4ac nin pozitif, sýfýr veya negatif olmasý durumuna göre kökleri bulma iþlemine devam edelim: i) > 0 ise; + b a = b = a a b 4ac a = b a b + = a, b = a bulunur. Yani, > 0 ise a + b + c = 0 denkleminin birbirinden farklý iki reel kökü vardýr. Bu durumda denklemin çözüm kümesi; b + a b, a dýr. Raunt 5

6 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR ii) = 0 ise; b + = a 0 4a b b + = 0 veya + = 0 a a b =, = a b a bulunur. Yani, = 0 ise a + b + c = 0 denkleminin birbirine eþit iki reel kökü vardýr. Bu b durumda denklemin çözüm kümesi; dýr. a = 0 durumunda; denklemin kökleri birbirine eþittir, denklemin kökleri çakýþýktýr veya denklemin iki katlý bir kökü vardýr denir. iii) < 0 ise, denklemin reel kökü yoktur; reel sayýlarda Ç = { } dir. Örnek = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm Burada a =, b = 7 ve c = 0 dir. = b 4ac = 7 4..( 0) = = 89 olduğundan denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır. b = + a 7 89 = = = 6 5 = b = a 7 89 =. 7 7 = 6 4 = 6 = 4 olduğundan Ç =, 4 5 * 4 bulunur. HATIRLATMA a + b + c = 0 denkleminde a ile c ters iþaretli ise, mutlaka pozitiftir. Denklemin, daima birbirinden farklý iki reel kökü vardýr. 6 Raunt

7 Matematik-0 Ünite-6 Örnek 4. + = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm Burada a =, b = 4 ve c = dir. = b 4ac = ( 4 ) 4.. = = 0 olduğundan eşit iki reel kökü vardır. b ( 4 ) = = = = a. Ç = { } tür. Örnek 4 (m 4) + m m = 0 denkleminin köklerinden biri olduğuna göre, diğer kök kaçtır? Çözüm 4 Denklemin kökü, denklemi sağlar. = (m 4). +..m m = 0 m 4 + m m = 0 m 4 = 0 m = 4 m = bulunur. m değeri denklemde yerine yazılırsa ( 4) +.. = = 0 + ( + )( ) = 0 + = 0 veya = 0 = = Diğer kökü = bulunur. Örnek 5 m R olmak üzere, (m ) + (m + ) + m + = 0 denkleminin birbirine eşit iki gerçel kökü varsa m kaçtır? Çözüm 5 Ç = { } ise = 0 olmalıdır. = b 4ac = 0 (m + ) 4.(m ) (m + ) = 0 4m + 4m + 4(m ) = 0 4m + 4m + 4m + 4 = 0 4m + 5 = 0 m = 5 bulunur. 4 Raunt 7

8 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Karmaşık Sayılar Reel sayılar kümesinde + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi dir. Çünkü, + 4 = 0 = b 4ac = = 6 < 0 dır. Sanal Sayı Birimi Karesi e eşit olan sayıya "Sanal sayı birimi" denir ve i ile gösterilir. Yani, i = dir. halde, i R dir. i sayısının kuvvetleri i = i i = i = i. i = ( ). i = i i 4 = i. i = ( ). ( ) = } i 4n+ = i i 4n+ = i 4n+ = i i 4n+4 = olur. (n Z) HATIRLATMA i nin herhangi bir kuvveti bulunurken, kuvvetin 4 ile bölümündeki kalan, i nin kuvveti olarak alınır. Örnekler a. i 99 = b. i 5 = c. i 4 = d. i 46 = Örnek 6 n bir doğal sayı i 4n+77 i 47 nin eşiti nedir? Çözüm 6 i nin 4 ün katı lan kuvvetlire. olduğundan i 4n+77 i 47 = i 4n+76. i i 44. i = (i 4 ) n+9. i (i 4 ). ( i) = i ( i) = i + i = i bulunur. 8 Raunt

9 Matematik-0 Ünite-6 Karmaşık Sayının Standart Formu a, b R ve i = olmak üzere, z = a + bi sayısına bir karmaşık sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi, C = {z : z = a + bi, a, b R ve i = } dir. z = a + bi karmaşık sayısında "a" reel kısım olup Re(z) = a, "b" imajiner (sanal) kısım olup Im(z) = b yazılır. Örnek 7 Aşağıda verilen karmaşık sayıların reel ve sanal kısımları nedir? a. z = 4i b. z = 5 + i c. z = 4 d. z = i e. z = 0 Çözüm 7 a. Re(z) = ve İm(z) = 4 b. Re(z) = 5 ve İm(z) = c. Re(z) = 4 ve İm(z) = a d. Re(z) = 0 ve İm(z) = e. Re(z) = 0 ve İm(z) = 0 dır. Karmaşık Sayıların Eşitliği z = a + bi ve z = c + di olmak üzere; z = z a = c ve b = d dir. Karmaşık Sayılarda Toplama, Çıkarma İşlemleri z = a + bi ve z = c + di olsun. a. z + z = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i b. z z = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Örnek 8 a, b R olmak üzere, z = a + (b + )i z = a + (b 5)i z = z olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? Çözüm 8 z = z a + (b + )i = a + (b 5)i a = a b + = b 5 a = b = 8 a + b = ( ) + (8) = 6 bulunur. Raunt 9

10 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Örnek 9 z = 6 + i ve z = 5 i olmak üzere, z + z ve z z ifadelerinin eşitleri nedir? Örnek 0 Çözüm 9 z + z = 6 + i + 5 i = + i z z = 6 + i 5 + i = + 5i dir. Çözüm karmaşık sayısının reel ve sanal kısmının toplamı kaçtır? Örnek i = olmak üzere, z = i + i + i + i 4 + i i 6 olduğuna göre, Im(z) kaçtır? Karmaşık Düzlem 4W 9 T 5 W64 = 4W. 9 W. W5 6 = 4i. i. 5 6 = i 5i 6 = i 6 ( ) + ( 6) = 9 bulunur. Çözüm i = } i = i = i ise i + i + i + i 4 = 0 olur. i 4 = Buna göre, z = i + i + i + i 4 + i 5 + i 6 + i 7 + i i 57 + i 58 + i 59 + i 60 + i z = i 6 = i 60. i = (i 4 ) 5. i = i olur. z = 0 + i olduğundan İm(z) = dir. Analitik düzlemin eksenini reel eksen, y eksenini imajiner eksen olarak aldığımızda oluşan düzleme karmaşık düzlem denir. Karmaşık düzlemdeki her noktaya bir karmaşık sayı, her karmaşık sayıya ise karmaşık düzlemde bir nokta karşılık gelir. y (imajiner eksen) 4 z = 4 z = + i 4 (reel eksen) 4 z 4 = 4i z 5 = 4 i Örneğin karmaşık düzlemdeki z = + i noktası, analitik düzlemdeki L(, ) noktasına karşılık gelir. 0 Raunt

11 Matematik-0 Ünite-6 Karmaşık Sayının Eşleniği Bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın reel eksene göre simetriğine o karmaşık sayının eşleniği denir. z karmaşık sayısının eşleniği z ile gösterilir. Im(z) b IzI z = a + bi IzI a Re(z) b z = a bi z = a + bi karmaşık sayısının eşleniği z = a bi karmaşık sayısıdır. Örnek Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulunuz. a. z = 5i z = b. z = 4 + i z = c. z = i z = d. z 4 = 5 z 4 = Örnek z = i (4 + i) + 5 olduğuna göre, Im(z) kaçtır? Çözüm a. z = + 5i b. z = 4 i c. z = i d. z 4 = 5 Çözüm z = i (4 + i) + 5 z = i 4 i + 5 z = + i dir. z = i olur. İm(z) = bulunur. HATIRLATMA Kökleri Karmaşık Sayı lan İkinci Dereceden Denklemler a, b, c R olmak üzere, a + b + c = 0 denkleminin diskriminantı negatif ise bu denklemin kökleri birbirinin eşleniği olan iki karmaşık sayıdır. Raunt

12 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Örnek = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Örnek 5 Reel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin köklerinden birisi + 7i olduğuna göre, bu denklemin köklerinin toplamı kaçtır? Örnek = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm 4 Burada a =, b = ve c = 4 dir. = b 4ac = ( ) = 4 6 = = + = = + Wi Çözüm 5 Çözüm 6 = Wi olduğundan Ç = { Wi, + Wi} dir. Reel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri birbirinin eşleniğidir. Bir kökü + W7i olan denklemin diğer kökü W7i olur. Buradan kökler toplamı + W7i W7i = 6 bulunur. Denklemde a =, b =, c = 0 dır. = 4..0 = 4 40 = = + = Örnek 7 = + i Çözüm 7 = i olduğundan Ç = { i, + i} bulunur. + 8 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? + 8 = 0 ifadesi çarpanlarına ayrılarak ( + )( + 4) = 0 bulunur = = 0 = b = + a + 6 = + 4i = b = a 6 = 4i = + 4i 4i Ç = *,, 4 bulunur. = b 4ac = ( ) = 7 = 6 dır. Raunt

13 Matematik-0 Ünite-6 Örnek 8 z iz + = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Katsayıları Karmaşık Sayı lan İkinci Dereceden Denklemler a, b, c birer karmaşık sayı olmak üzere, az + bz + c = 0 denkleminin köklerini bulmak için önce = b 4ac hesaplanır. b " Sonra, z, = formülünden kökler bulunur. a Çözüm 8 Bu denklemde a =, b = i ve c = tür. = b 4ac = 4i 4.. = 4 = 6 i + 6 = i 6. =. i+ 4i i 4i = = = i = i olduğundan, Ç = { i, i} dir. İki Karmaşık Sayının Çarpımı z = a + bi ve z = c + di olsun z. z = (a + bi). (c + di) = a. c + a. d. i + b. c. i + b. d. i = a. c + a. d. i + b. c. i + b. d. ( ) = (a. c b. d) + (a. d + b. c)i z. z = ( i). ( + 4i) = 6 + i i + 4 = 0 + 0i Örnek 9 z = ( i) olduğuna göre, Im(z) kaçtır? Çözüm 9 z = ( i) = i + i = i + ( ) z = i bulunur. Buradan z = i olur. İm(z) = dir. Raunt

14 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Örnek 0 z = i olduğuna göre, z. z değeri kaçtır? Çözüm 0 z = Wi ise z = + Wi olur. z.z = ( Wi). ( + Wi) = 9 + Wi Wi i = 9.( ) = bulunur. Karmaşık Sayılarda Bölme İşlemi Karmaşık sayılarda bölme işlemi yaparken pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılır. z zz. = z z. z Örnek + i z = i karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır? Çözüm + i z = i ( + i) ( + i)( + i) = + + i+ i+ i = 5 = + i olduğundan, Re(z) = dir. Örnek 4n+ 4n+ + i i f p + f p i + i işleminin sonucunu nedir? Çözüm J N4n + J N4n + K + i i + K & i + i K ( + i) K ( i) L P L P J N 4 n+ J N 4 n+ K ( + i) K ( i) = + K + K + L P L P 4 n+ 4 n+ + i+ i i+ i = f p + f p = i 4n+ + ( i) 4n+ =i 4n. i + ( i) 4n. ( i) = + i bulunur. 4 Raunt

15 Sınav Kodu: M0065 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi. i = olmak üzere, i işleminin sonucu nedir? 5. i = olmak üzere, z = ( + i) 8. ( i) olduğuna göre, z karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır? A) 00 B) 0 C) 8 D) 0 E) 8 A) i B) C) D) i E) i. i = olmak üzere, f() = olduğuna göre, f( i) nedir? A) i B) i C) i D) i E) i+ 6. i = olmak üzere, 4i z = i olduğuna göre, z 4 sayısının eşiti nedir? A) 0 B) 4 C) D) 4 7 E) 4 0. i = olmak üzere, z = i w = i z+ w olduğuna göre, nedir? z w A) B) i C) i D) i E) 7. ( + iy). ( + i) = i olduğuna göre,. y kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4. i = olmak üzere, i + i z = i + i karmaşık sayısının sanal kısmı kaçtır? A) B) i C) i D) E) 8. i = olmak üzere, z = z = i + i i olduğuna göre, z + z toplamı nedir? A) 5i B) 5i C) D) 5 E) 5i+ Raunt 5

16 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR 9. a < b < 0 olmak üzere, z = a + ab b 4a b karmaşık sayısının gerçek kısmı ile sanal kısmının toplamı nedir? A) a B) b C) a b D) a + b E) a. i = olmak üzere, 4 ( + i) 4 ( i) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 0. z = a + bi olmak üzere, z + 5 = ( i) olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? 5 7 A) B) C) D) E). + 7 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? A){, i, i} B) {,, } i + C) *,, i + i D) *,, 4 E) { i,,.i} 4. i = olmak üzere,. i = olmak üzere, ( + i). z = i 4 olduğuna göre, z karmaşık sayısının eşiti nedir? A) +i B) i C) +i D) i E) + i 4 i 4 f p + f p i + i işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 6 Raunt

17 Sınav Kodu: M0066 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi. i = olmak üzere, i + i 4 + i i 0 toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) i E) i 6. z = 5 i z = Im(z ) + 5i z =.Re(z ) + i olduğuna göre, z + z (z z ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?. i =, n Z olmak üzere, i 8n + i 5 4n ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) i B) i C) i + D) i E) A) +i B) +i C) +i D) 5+5i E) 5 5i 7. y z. i = olmak üzere, 5.i i 986 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? z z 4 z 4 A) 4i B) 5 C) 5i D) 5i 4 E) 4 5i karmaşık sayısının reel kısmının sanal kısmına oranı kaçtır? 6 A) B) C) D)5 E) i = olmak üzere, z = i + i + i i 5 z = 5 +.i 9 + olduğuna göre, Im(z + z ) değeri kaçtır? Karmaşık düzlemde z, z, z, z 4 karmaşık sayıları gösterilmiştir. Yukarıda verilenlere göre, z z + z z 4 toplamının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) i B) +i C) i D) i E) +i 8. ve y reel sayılar olmak üzere, z = y + i + yi z = 6 + y + 4i 5i karmaşık sayıları birbirine eşit olduğuna göre, + y toplamı kaçtır? A) B) C) 5 D) 8 E) 9 A) B) 0 C) D) E) Raunt 7

18 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR 9. i = olmak üzere, i + i i 8 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E) A) {0, 4, 4} B) { 4i, 4i} C) {0, 4i, 4i} D) { 4, 4} E) {0, 4i} 0. i = olmak üzere, z = ( ) + i yi z = 5 + 5i karmaşık sayıları birbirine eşit olduğuna göre,.y çarpımı kaçtır? A) 6 B) C) D) E) m + n = 0 reel katsayılı denkleminin köklerinden biri i olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? A) 5 B) C) D) 6 E) 8. z = + i z = + i olduğuna göre, z z işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) + i B) 5 i C) 5 i D) 5 i E) 5 + i 6. z ( + i)z + + i = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 i B) 5i C) 5 i D) + i E) + i. z karmaşık sayısının eşleniği z dir. z + z = 6 + i olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) + i B) i C) + i D) i E) + i 7. z (4 + i).z i = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) 4i B) + i C) + i D) 6 E) 4 i. z + z = i olduğuna göre, z aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. z ( i)z i = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 + i B) 4 i C) + i D) i E) 6 + i A) i B) 4 + i C) + i D) 5i E) i 8 Raunt

19 Matematik-0 Ünite-6 Ýkinci Dereceden Denklemin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Baðıntılar a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve olsun. Bu köklerle a, b, c katsayýlarý arasýnda aþaðýdaki baðýntýlar vardýr. Kökler Toplamý + hâlde; b + b = + a a b + b = a = b a = b olur. a b + = dýr. a Kökler Çarpýmý b + b =. a a ( b) ( ) 4a = ( = b 4ac) b (b 4ac) 4ac = = 4a 4a c = a olur. c hâlde;. = a dýr. Örnek (m + ) + (m + ) = 0 denkleminin ve kökleri arasýnda, + = baðýntýsý vardýr. Buna göre, m nin alabileceði değerleri toplamı kaçtır? Çözüm Denklemde a =, b = (m + ), c = (m+) b ( m ) + = = + = m + a / + = m = = m bulunur. = m denklemi sağlar. m (m + )m + (m + ) = 0 m + 5m + = 0 Denkleminde a =, b = 5, c = b 5 m + m = = bulunur. a Raunt 9

20 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Örnek 4 (m ) 8 = 0 denkleminin kökleri ve dir. 4 + = 4 olduðuna göre, m kaçtýr? Örnek 5 Çözüm = 4 ( ) + 4 c 8 = 4. =. = = 4 a ( 4) + 4 = 4, = olduğuna göre, () (m ) 8 = 0 8 m = 0 ise m = olur. Çözüm m = m + 7 = 0 denkleminin birer kökleri ortak olduğuna göre, m kaçtır? Örnek 6 ler ortak olsun. / 4 } + m = m + 7 = 0 = gelir. Kök denklemi sağlar m = 0 m = 6 bulunur. Kökleri Verilen Ýkinci Derece Denklemin Yazýlmasý (Kurulmasý) Kökleri ve olan ikinci dereceden denklem: ( ) ( ) = 0 biçiminde veya bu eþitlik düzenlenirse, ( + ) + ( ) = 0 biçiminde kurulur. Çözüm 6 li terimleri yok edelim. = 0 denkleminin kökleri ve dir. Buna göre, kökleri 4 ve 4 olan ikinci derece denklem nedir? Örnek 7 Sanal köklerinden biri i olan gerçek katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir? Denklemde a =, b =, c = ( ) ve ( 4) ( + 4) ifadesi bulunur. + 8 ve. 4( + ) + 6 b c b 8 = 7 ve = 9 a a a = 0 bulunur. Çözüm 7 Köklerden biri ( i)= ise diğeri ( + i) dir. Kökler toplamı i + + i = 4 Kökleri çarpımı ( i) ( + i) = + = = 0 bulunur. 0 Raunt

21 Sınav Kodu: M0067 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi = 0 denkleminin çözüm kümesini nedir? A) *, 4 B) *, 4 C) * m = 0 denkleminin kökleri reel olduðuna göre, m nin alacaðý deðerler hangi aralýktadır? A) < m 5 B) m 5 C) 0 < m 5 D) *, 4 E) %, / D) m 5 E) m > 5. m = 5 denkleminin köklerinden biri = olduğuna göre, m kaçtır? A) 6 B) 4 C) D) E) 4 7. (m ) m + m + 6 = 0 ikinci derece denkleminin bir kökü = olduðuna göre, m ve denklemin diðer kökü kaçtır? A) m =, = 4 B) m =, = 4 C) m =, = 4 D) m =, = 4 E) m =, = = 0 denkleminin reel sayılardaki çözüm kümesi nedir? A) {, } B) { } C) {} D) {, } E) 8. (a ) + (a 9) = 0 denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, a kaçtır? A) B) C) D) E) 4. (6 a) = a denkleminin e göre çözüm kümesi nedir? a a a A) ), B) ) C) ) a D) a a a ) E) ), 9. 8m mn 5n = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? n 5n n n A) *, 4 B) *, 4 m 4m m m 5n n n n C) *, 4 D) *, 4 4m m 4m m E) % n, m/ 5. (a + 4) + 5a 4 = 0 denkleminin eşit iki kökü olduğuna göre, köklerden biri nedir? A) 9 B) 6 C) 4 D) E) 6 0. (m ) + m = 0 denkleminin bir kökü 4 olduğuna göre, m kaçtýr? A) B) C) D) E) Raunt

22 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Sınav Kodu: M0068 Konu Testi 4. + a + b = ab denkleminin e göre çözüm kümesinin elemanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir? A) a B) b C) ab D) E) 4. (m ) m + m = 0 ifadesi bir tam kare olduðuna göre, m nin alacaðý deðerlerin toplamý kaçtýr? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. + = denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) {, } B) R {, } C) R {0} D) R E) {} 5. (m + ) m + 4 = 0 denkleminin, kökleri arasýnda, + = 6 baðýntýsý olduðuna göre, m nin deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) D) 4 E) 8. (a ) (a ) + a = 0 denkleminin kökleri çakýþýk olduðuna göre, a nýn alacaðý deðerlerden biri aþaðýdakilerden hangisidir? A) 9 B) 5 5 C) 5 D) 5 9 E) 6. a = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = 4 olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? A) B) 5 C) D) E) Raunt

23 Matematik-0 Ünite c = 0 denkleminin kökleri ve dir.. +. = 4 olduðuna göre, c kaçtýr? A) 9 B) 4 C) D) E) 6 0. (4k + ) + k + 4 = 0 denkleminin köklerinin geometrik ortalamasý olduðuna göre, köklerinin aritmetik ortalamasý kaçtýr? A) B) 4 C) 6 D) 8 E). + a + b = 0 + (a ) 4 = k 6 = 0 denkleminin köklerinden biri = 7 olduðuna göre, k kaçtýr? denklemlerinin ikiþer kökleri de ayný olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? A) 4 B) C) D) E) A) B) C) D) E). (a b + ) + a + b = m + = 0 denkleminin kökleri ve dir.. +. = 60 olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) C) 4 D) 6 E) 9 denkleminin kökler toplamý ile kökler çarpýmý aralarýnda asal iki doðal sayýdýr. 5 Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamý olduðuna göre, a kaçtýr? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Raunt

24 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Sınav Kodu: M0069 Konu Testi. (m + ) + m = 0 + (n ) n = 0 denklemlerinin birer kökü ortak ve diðer köklerinin toplamý olduðuna göre, m n ifadesinin deðeri aşağıdakilerden hangisidir? = 0 denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) { } B) {0} C) {} D) {, 0, } E) {0, } 5 A) B) C) D) 4 E) (m + 7) + (n ) = 0. m n = 0 denkleminin kökleri, 6 0 = 0 denkleminin köklerinden þer fazla olduðuna göre, m + n kaçtýr? A) 4 B) 0 C) 4 D) 8 E) 4 denkleminin kökleri ve dir. = m = m olduðuna göre, n kaçtýr? A) B) C) 4 D) 6 E) 0. + (m ) + c = 0 denkleminin kökleri, + (m ) + d = 0 denkleminin köklerinin ikişer katý olduðuna göre, m kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 5 6. (m ) + m = 0 denkleminin gerçel kökleri ve dir. + =.. olduðuna göre, m kaçtýr? A) 4 B) 6 C) 9 D) E) 4 4 Raunt

25 Matematik-0 Ünite-6 7. = 0 denkleminin kökleri ve dir. Buna göre, kökleri ve olan denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) + 7 = 0 B) 9 = 0 C) + 0 = 0 D) + = 0 E) 5 = 0 0. (a + ) 7 = 0 denkleminin kökleri ve dir. = olduðuna göre, a kaçtýr? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 8. Kökleri ve olan ikinci derece denklemin kökleri arasýnda, ( + ) 4 = = baðýntýlarý olduðuna göre, bu denklem aþaðýdakilerden hangisidir?. ( 4) (5 + ) + 5 = 5 denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) A) = 0 B) + = 0 C) = 0 D) + = 0 E) = 0 9. m + = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = 6 olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) 8 C) 8 D) 0 E). + (a ) + a = 0 denkleminin kökleri ve dir. 5 Bu köklerin aritmetik ortalamasý olduðuna göre,. +. ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? A) 4 B) 7 C) 7 D) 8 E) 4 Raunt 5

26 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Sınav Kodu: M0070 Konu Testi. + + m + 4 m = 0 denkleminin köklerinden biri = olduðuna göre, m kaçtır? 4 5 A) B) C) D) E) 6. + a = a = 0 denklemlerinin birer köklerinin ortak olmasý için a nýn değerleri toplamı kaçtır? A) 0 B) 40 C) 0 D) E) 5 6. ( ) ( ) + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 5, 5} B) { 5} C) {5} D) {0, 5} E) { 5, 0} = 0 denkleminin köklerinin katýnýn eksiðini kök kabul eden ikinci dereceden denklem nedir? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) 7 0 = 0 E) 0 7 = = denkleminin kökü, ( m) ( + ) = 0 denkleminin de kökü olduðuna göre, m kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 8. m + 4 = 0 denkleminin reel kökleri ve dir. + = 44 olduðuna göre, m nin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, } B) {W, W} C) {, } D) {, } E) {4, 4} 4. + ( a) + + a = 0 denkleminin eþit iki kökünün olmasý için a nýn alabileceği deðerlerin toplamý kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 9. Köklerinden biri = 4 olan rasyonel katsayýlý ikinci dereceden denklem nedir? A) 6 + = 0 B) = 0 C) = 0 D) 4 8 = 0 E) 8 6 = a 4 = 0 denkleminin kökleri ve dir. Kökler arasýnda + = 4 baðýntýsý olduðuna göre, a kaçtır? 0 8 A) B) C) D) E) (m + ) + m = 0 denkleminin ve kökleri arasýnda 4( + ) + = m + baðýntýsý olduğuna göre, m kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 6 Raunt

27 Sınav Kodu: M007 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi. + m m + = 0 denkleminin bir kökü = olduðuna göre, m kaçtýr? A) 0 B) 5 C) D) 5 E) m + 7 = 0 denkleminin kökleri arasında = 5 bağıntısı olduğuna göre, (..m) çarpımı kaçtır? A) 0 B) 6 C) 5 D) E) (m ) + m + = 0 denkleminin bir kökü = olduðuna göre, diðer kökü kaçtýr? 5 A) 5 B) C) D) E) II = 0 denkleminin kökler çarpımı kaçtır? A) 6 B) C) 9 D) E) 44. (m ) + m = 0 denkleminin birbirine eþit iki kökü olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? A) 0 B) 9 C) 8 D) E) m + 5 = 0 denkleminin kökleri ve dir. = olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) C) D) E) 4. + (m 9) + m = 0 denkleminin simetrik iki gerçel kökü olduðuna göre, negatif kökü kaçtýr? A) B) 5 C) 7 D) 5 E) m = 0 denkleminin kökleri ve dir. Kökler arasında = bağıntısı olduğuna göre, m kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 5. = 5 denkleminin kökü, + (m + ) + m 4 = 0 denkleminin de kökü olduðuna göre, m tamsayýsý kaçtýr? = 0 denkleminin kökleri ve olduðuna göre, + toplamýnýn pozitif deðeri kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 5 A) B) C) D) E) Raunt 7

28 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR. Rasyonel katsayýlý ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri = olduðuna göre, bu denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) + 4 = 0 B) 4 = 0 C) 4 + = 0 D) = 0 E) 5 + = (m + ) + m + = 0 + m + m + = 0 denklemlerinin birer kökleri ortak olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) C) 0 D) E). 5 = 0 denkleminin köklerinin ikiþer katýnýn bir fazlasýný kök kabul eden ikinci derece denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) = 0 B) + 7 = 0 C) 7 = 0 D) + 7 = 0 E) 5 + = (m ) + n + = 0 + (m + ) + n = 0 denklemlerinin ikiþer kökleri de birbirine eþit olduðuna göre, m n kaçtýr? A) 9 B) 6 C) 5 D) E) 0. + (m + ) + = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = 5. olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler çarpýmý kaçtýr? 7. (a ) + a(a + 6) 8 = 0 denklemini sağlayan a değerlerinin toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 4 A) 4 B) C) D) 4 E) ( ) 4 = 0 4. (a + ) + a + = 0 denkleminin köklerinin aritmetik ortasý geometrik ortasýna eþit olduðuna göre, a kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) denkleminin kökleri, sýfýrdan farklý olan ve reel sayýlarýdýr. Buna göre, bu denklemin küçük kökü kaçtýr? A) 4 B) C) D) E) 4 8 Raunt

29 Sınav Kodu: M007 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi 8. (a 5) + b = 0 ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olduðuna göre, a + b kaçtýr? A) 0 B) 4 C) 8 D) E) ( + ) 5 + 4m = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = olduðuna göre, m kaçtýr? A) 4 B) 4 4 C) 5 4 D) 7 E). + a + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesi bir elemanlý olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerler çarpýmý kaçtýr?. A) 64 B) C) 0 D) E) 64 5 = + + denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? 7. + (a + ) a + = 0 denkleminin köklerinin toplamý, köklerinin çarpýmýndan 6 eksik olduðuna göre, a kaçtýr? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) A) Ø B) { } C) {} D) {, } E) {, } 4. (m ). + m = 0 denkleminin bir kökü olduðuna göre, diðer kökü kaçtýr? 8. = 0 denkleminin kökleri ve dir. + kaçtır? A) 7 B) 4 C) 7 8 D) 7 E) 9 A) B) C) D) E) 6 9. (m + ) + n + = 0 m (n + ) + 6 = m + 7 = 0 denkleminin kökleri ve dir. denklemlerinin her iki kökü de ortak olduðuna göre, (m, n) ikilisi aþaðýdakilerden hangisidir? = olduðuna göre, m nin negatif deðeri kaçtýr? A) 9 B) 6 C) 4 D) E) A), B), D), E) (,) C), Raunt 9

30 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR = 0 denkleminin kökleri ve dir. Kökleri, olan ikinci derece denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) + = 0 B) = 0 C) + 4 = 0 D) + = 0 E) + = = 0 denkleminin kökler çarpımı kaçtýr? A) 8 B) 6 C) D) 6 E) =. 5 = 0 denkleminin köklerinin kareleri toplamı kaçtır? denkleminin kökler toplamý kaçtýr? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 A) 9 B) 0 C) D) E) 6. + = + 7 denkleminin reel köklerinin çarpýmý kaçtýr?. m olmak üzere, m = 0 m = 0 denklemlerinin birer kökü ortak olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) A) 4 B) C) 6 D) 56 E) a + 4 = 0 denkleminin kökleri ve dir. + = 8 olduğuna göre, a tamsayısının negatif değeri kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5. Çözüm kümesi Ç = & 5, + 50 olan ikinci dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir? A) = 0 B) = 0 C) 6 4 = 0 D) = 0 E) 6 = 0 8. m = 0 denkleminin köklerinin şer katını kök kabul eden ikinci derece denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) m = 0 B) m = 0 C) m = 0 D) 4 m = 0 E) m + = 0 0 Raunt

31 Matematik-0 Ünite-6 İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri İkinci Dereceden Fonksiyonlar a 0 ve a, b, c R olmak üzere, f : R R, f() = a + b + c biçiminde tanýmlanan fonksiyonlara ikinci dereceden bir deðiþkenli fonksiyonlar denir. Ýkinci dereceden bir deðiþkenli fonksiyonlarýn grafiðine parabol denir. Örnek 8 f() = + 5 fonksiyonu veriliyor. A(m, 7) noktasý bu fonksiyonun grafiðine ait ise m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? Çözüm 8 A(m, 7) noktası parabolün üzerinde ise denklemi sağlar. 7 = (m ) (m ) = m 4m + m + 0 = m 7m + 5 m m 5 (m 5)(m ) = 0 m 5 = m = = bulunur. Parabolün Tepe Noktasý (Köþesi) f: R R, f() = a + b + c ikinci dereceden fonksiyonunda b r = a 4ac b k = f(r) = 4a olmak üzere, T(r, k) noktasýna parabolün tepe noktasý (köþesi) denir. Örnek 9 f() = denklemi ile verilmiþ parabolün tepe noktasının koordinatları nedir? Çözüm 9 Denklemde a =, b = 6, c = 5 T(r, k) olduğuna göre, b 6 r = = = a 4 4( ) k = f() r = = = 4( ) 8 Tf, 9 p bulunur. Raunt

32 Örnek 0 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Aþaðýda soru iþareti gelen yerleri doldurunuz. r k f() = 6 +?? f() = f() = +???? f() = ?? f() = a + b + c Fonksiyonunun Tepe Noktasý Cinsinden Ýfadesi f : R R, y = f() = a + b + c fonksiyonunun tepe noktasý T(r, k) olsun. Bu durumda f() = a + b + c fonksiyonu ile f() = a.( r) + k fonksiyonu birbirine denktir. f() = a.( r) + k denklemi, parabolün tepe noktasý cinsinden denklemidir. Örnek f() = 4 5 fonksiyonunun tepe noktasý cinsinden ifadesi nedir? Çözüm Denkleminde a =, b = 4, c = 5 T = (r, k) olduğuna göre, b 4 r = = = a 4ac b 4..( 5) ( 4) k = f() r = = = 4a 4. T(, ) ise f() = ( ) 9 bulunur. Raunt

33 Matematik-0 Ünite-6 Örnek f : R R, küçük deðeri kaçtýr? Örnek f: R R, f() = a.( r) + k Fonksiyonunun Görüntü Kümesi - En Büyük Deðeri - En Küçük Deðeri f() = a.( r) + k fonksiyonunda a > 0 ise; a.( r) 0 olur. Buradan a.( r) + k k f() k elde ederiz. Yani, her R için, f() in alabileceði deðerler k den büyük veya k ye eþit olur. Öte yandan f(r) = k olduðunu biliyoruz. hâlde, her R için f() = a + b + c fonksiyonunun = r için en küçük deðerini aldýðýný söyleyebiliriz. Fonksiyonun en küçük deðeri k olur. Fonksiyonun görüntü kümesi: [k, + ) olur. a < 0 ise; a.( r) 0 olur. Buradan a.( r) + k k f() k elde ederiz. hâlde, a < 0 ise ikinci derece fonksiyonu = r için en büyük deðerini alýr. Fonksiyonun en büyük deðeri k olur. Fonksiyonun görüntü kümesi: (, k] olur. f() = fonksiyonunun en Çözüm Denkleminde a =, b = 0, c = 5 y = f() parabolünde a > 0 olduğu için = r için parabolün en küçük değerini aldığını biliyoruz. b 0 r = = = 5, f(5) en küçük değer olur. a. f(5) = f(5) = 45 bulunur. Çözüm f : R R, f() = + 6 fonksiyonunun en büyük deðeri kaçtýr? Örnek 4 y = (m ). m + m + fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük elemaný olduðuna göre, m kaçtýr? Denkleminde a =, b = 6, c = f() parabülünde a < 0 olduğuna için, = r için parabolün en büyük değerini aldığını biliyoruz. b b r = = =, f() en büyük değer olur. a ( ) f() = + 6., f() = 6 bulunur. Çözüm 4 T(r, k) ise a > 0 iken Tepe noktasının ordinatı en küçük değeri verir. Yani k = olur. Buradan 4ac b k =, m > 0, m > 4a 4( m )( m+ ) ( m) = denklemi çözülür ise 4( m ) m = bulunur. Raunt

34 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR f() = a + b + c Fonksiyonunun Eksenleri Kestiði Noktalar y = a + b + c = 0 için y = c olur. hâlde, parabol y eksenini P(0, c) noktasýnda keser. Grafiðin eksenini kestiði noktalarý bulmak için fonksiyonun denkleminde y = f() = 0 yazýlýr. Böylece, a + b + c = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemde reel köklerin varlýðý = b 4ac sayýsýna baðlýdýr. = b 4ac < 0 ise, parabol eksenini kesmez. = b 4ac = 0 ise, parabol eksenine teðettir. Teðet olduðu nokta parabolün tepe noktasý T(r, 0) dýr. = b 4ac > 0 ise, parabol eksenini farklý iki noktada keser. a + b + c = 0 denkleminin kökleri ve ise parabolün eksenini kestiði noktalar; A(, 0) ve B(, 0) dýr. ve ye baðlý parabolün denklemi; y = f() = a.( ). ( ) dir. Örnek 5 f() = 5 fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiði noktalarýn apsisleri toplamý kaçtýr? Çözüm 5 y = f() fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktalar denkleminin kökleridir. Yani b + = a = = bulunur. Örnek 6 f() = fonksiyonunun grafiğinin eksenini kestiði noktanýn apsisi kaçtýr? Çözüm 6 Denklemde a =, b = 8, c = 8 = b 4ac = = 0 dır. Yani eşit iki kök vardır. b ", = olduğundan a = 8 4 = bulunur. 4 Raunt

35 Matematik-0 Ünite-6 Örnek 7 f() = fonksiyonunun grafiğinin eksenini kestiði noktaların apsisleri toplamı kaçtır? Çözüm 7 y = f() fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktalar denklemin kökleridir. Yani + = + = b a 8 = 4 Örnek 8 eksenini = ve = 4 apsisli noktalarda, y eksenini y = 4 ordinatlý noktada kesen parabolün denklemi nedir? Çözüm 8 Kökleri verilen parabolün denklemi y = a( ) ( ) olduğuna göre, y = a( + )( 4)'dir. y = 4 iken = 0 olduğundan, a = bulunur. y = ( + )( 4) düzenlenirse y = bulunur. f: R R, y = f() = a + b + c Fonksiyonunun Simetri Ekseni Tepe noktasý T(r, k) olan parabolün denklemi; f() = a. ( r) + k dir. Bu fonksiyonda = r + t ve = r t yazalým: f(r + t) = a. (r + t r) + k f(r + t) = at + k f(r t) = a. (r t r) + k f(r t) = at + k Görüldüðü gibi, f(r + t) = f(r t) olmaktadýr. r + t ve r t sayýlarý r ye göre simetriktir. hâlde, f() = a + b + c ikinci dereceden fonksiyonun grafiði = r doðrusuna göre simetriktir. = r doðrusuna parabolün simetri ekseni denir. Aþaðýdaki þekillerin simetri eksenleri kesik çizgilerle belirtilen doğrular olabilir. Raunt 5

36 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Örnek 9 f() = fonksiyonunun simetri ekseninin denklemi nedir? Çözüm 9 Denkleminde a =, b = 6, c = 8 T(r, k) için = r doğrusu. f() fonksiyonunun simetri ekseni denklemidir. b 6 r = r = = olduğu için = denklemidir. a Örnek 40 Simetri ekseni = doðrusu olup A(, ) ve B(, 4) noktalarýndan geçen parabolün denklemi nedir? Çözüm 40 y = a( + ) + k denklemi için A(, ) ve B(, 4) noktaları sağlatılırsa, = a( + ) + k, = a + k 4 = a( + ) + k, 4 = 4a + k / a + k = denkleminde yok 4a + k = 4 etme kullanılırsa a =, k = 4 y = ( + ) 4 y = bulunur. Örnek 4 f() = 4 + m fonksiyonu veriliyor. f( 4) Buna göre, oranı kaçtır? f( 0) Çözüm 4 Denkleminde a =, b = 4, c = m b 4 r =, r = = a f(4) ve f(0), = simetri ekseni denklemine eşit uzaklıkta bulunduğu için f(4) = f(0) olur. f( 4) = bulunur. f( 0) 6 Raunt

37 Sınav Kodu: M007 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi 9. y = + 5 parabolü A(, a) noktasýndan geçtiðine göre a kaçtýr? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 6. f() = p (p ) + 9 parabolünün simetri ekseninin denklemi + = 0 olduðuna göre, p kaçtýr? 4 A) B) C) D) E) f() = a fonksiyonunun en büyük deðeri olduðuna göre, a kaçtýr? A) B) C) D) 5 E) 7. f() = (m ) (m + 7) 5 fonksiyonunun belirttiði parabolün simetri ekseni = doðrusu olduðuna göre, m kaçtýr? 5 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. f() = a + b + c parabolünün tepe noktasý A(, 8) dir. Parabol B(6, 0) noktasýndan da geçtiðine göre, a kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) 8. y = + parabolünün eksenini kestiði noktalar A ve B dir. Buna göre, IABI kaç birimdir? A) B) C) D) 4 E) 5 4. f : [, ] R f() = 4 fonksiyonunun en büyük ve en küçük deðerlerinin toplamý kaçtýr? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 9. f() = + (m + ) + m + 5 parabolü eksenine negatif tarafta teðet olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5. f() = a fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük elemanýnýn 9 dan büyük olmasý için a nýn alabileceði deðerlerin aralýðý nedir? A) (, 5) B) (, 5) C) ( 5, ) D) (, 5) E) (5, ) 0. f() = (m + ) + m + 4 parabolü eksenini kesmediðine göre, m nin alabileceði tamsayý deðerleri kaç tanedir? A) B) C) D) 4 E) 5 Raunt 7

38 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri f() = a Fonksiyonunun Grafiði f() = a + b + c fonksiyonunda b = 0 ve c = 0 için, f() = a fonksiyonu elde edilir. a > 0 ise; a > 0 olmak üzere, f() = a fonksiyonunun özellikleri: Parabolün kollarý yukarýya doðrudur. Grafik y eksenine göre simetriktir. Parabolün tepe noktasý orijindir. Görüntü kümesinin en küçük elemaný y = 0 dýr. a < 0 ise, y a 4a a < 0 olmak üzere, y = a fonksiyonunun özellikleri: Parabolün kollarý aþaðý doðrudur. Grafik y eksenine göre simetriktir. Parabolün tepe noktasý orijindir. Görüntü kümesinin en büyük elemaný y = 0 dýr. 8 Raunt

39 Matematik-0 Ünite-6 Örnek 4 Aþaðýdaki tabloda bulunan her fonksiyon için deðerlerine karþýlýk gelen y sayýlarýný hesaplayýnýz. Bulduðunuz deðerleri analitik düzlemde göstererek verilen her fonksiyonun grafiðini farklý renk kullanarak çiziniz. Çizilen grafiklere bakarak y = a. fonksiyonunda a nýn iþareti ile grafik arasýndaki iliþkiyi söyleyiniz. Örnek y =, y =, y =, y =, y =, y = fonksiyonlarýnýn grafiklerinin ayný analitik düzlemdeki çizimlerini yapalım. HATIRLATMA Yukarýdaki grafiklerde IaI büyüdükçe parabolün kollarýnýn y ekseni boyunca birbirine yaklaþtýðýný gözlemleyiniz. f() = a + c Fonksiyonun Grafiði Önce f() = a fonksiyonunun grafiði çizilir. Bu fonksiyonun grafiði y ekseni boyunca; c > 0 ise yukarý doðru, c < 0 ise aþaðý doðru IcI birim ötelenir. Raunt 9

40 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Örnek f() = fonksiyonunun grafik çizimini yapalım. y y = y = c = < 0 olduðundan, y = parabolü y ekseni boyunca aþaðý doðru birim ötelenmiþtir. Örnek f() = + fonksiyonunun grafiðini çizelim. y y = + y = c = > 0 olduðundan, y = parabolü y ekseni boyunca yukarý doðru birim ötelenmiþtir. f() = a( r) Fonksiyonunun Grafiði Önce f() = a parabolü çizilir. Bu çizilen parabol; r > 0 ise, ekseninin pozitif tarafýna doðru r birim, r < 0 ise, ekseninin negatif tarafýna doðru IrI birim ötelenir. Böylece f() = a( r) grafiði çizilmiþ olur. 40 Raunt

41 Matematik-0 Ünite-6 Örnek f() = ( ) fonksiyonunun grafiðini çizelim. y y = y = ( ) r = olduðundan, y = parabolünün grafiði ekseni boyunca pozitif yönde birim ötelenmiþtir. Örnek f() = ( + ) fonksiyonunun grafiðini çizelim. y r = olduðundan, y = parabolünün grafiði ekseni boyunca negatif yönde birim ötelenmiþtir. y = ( + ) y = Örnek 4 f() = ( ) fonksiyonu için aþaðýdaki tabloyu doldurunuz. Tabloyu kullanarak fonksiyonun grafiðini çiziniz. Tabloya ve grafiðe bakarak fonksiyonun hangi deðeri için en küçük deðeri aldýðýný söyleyiniz. Raunt 4

42 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR f() = a( r) + k Fonksiyonunun Grafiði Önce f() = a( r) fonksiyonunun grafiði çizilir. Bu çizilen parabolün tepe noktasý y eksenine paralel olarak k birim ötelenerek verilen fonksiyonun grafiði çizilmiþ olur. Örnek 44 f() = ( + ) fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm 44 r = olduğundan önce y = ( + ) grafiği çizilir. Daha sonra grafik y ekseni boyunca aşağı doğru birim ötelenir. y y = ( + ) Örnek 45 f() = ( ) + fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm 45 r = olduğundan önce y = ( ) grafiği çizilir. Daha sonra grafik y ekseni boyunca yukarı doğru birim ötelenir. y 4 Örnek 46 f() = fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm 46 Öncelikle y = f() denklemi r = 'e göre düzenlenir. y = ( ) 4 r = olduğundan önce y = ( ) grafiği çizilir. Daha sonra grafik y ekseni boyunca aşağı doğru 4 birim ötelenir. y 4 Raunt

43 Matematik-0 Ünite-6 Örnek 47 f() = ( ) + fonksiyonu için aþaðýdaki tabloyu doldurunuz. Tabloyu kullanarak fonksiyonun grafiðini çiziniz. Tabloya ve grafiðe bakarak fonksiyonun hangi deðeri için en küçük deðeri aldýðýný söyleyiniz. f: R R, y = f() = a + b + c Fonksiyonunun Grafiði y = a + b + c eþitliðini saðlayan bütün (, y) ikililerinin analitik düzlemde iþaretlenmesiyle meydana gelen þekle fonksiyonun grafiði denir. Ýkinci dereceden y = a + b + c fonksiyonunun grafiðini çizmek için aþaðýdaki sýra izlenebilir. a) b 4ac b b r = ve k = ya da k = ff a 4a a b) = 0 yazýlarak, y eksenini kestiði (0, c) noktasý bulunur. p hesaplanarak tepe noktasý; T(r, k) bulunur. c) y = 0 yazýlarak elde edilen a + b + c = 0 denkleminin çözümüyle grafiðin eksenini kestiði noktalar araþtýrýlýr. d) Gerek duyulursa 'e baþka deðerler verilerek, grafiðe ait daha baþka noktalar bulunur. e) Bu bilgiler bir tablo (deðiþim tablosu) üzerinde gösterilir. f) Bulunan noktalar analitik düzlemde iþaretlenir. Uygun bir çizimle bu noktalar birleþtirilerek parabol çizilir. Raunt 4

44 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Örnek y = f() = fonksiyonunun deðiþim tablosunu yapıp grafiğini çizelim. y = f() = fonksiyonunda; a =, b =, c = tür. k = f() =. = 4 olduðundan tepe noktasý: T(, 4) tür. = 0 f(0) = 0.0 = A(0, ) parabolün y eksenini kestiði noktadýr. y = 0 = 0 ( ) ( + ) = 0 =, = B(, 0), C(, 0) noktalarý parabolün, eksenini kestiði noktalardýr. Bu bilgileri deðiþim tablosunda gösterelim. Örnek 48 f() =. +. (m ) fonksiyonunun grafiði eksenine teðet olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler toplamı kaçtır? Çözüm 48 Denkleminde a =, b = m, c = grafik eksenine teğet olduğuna göre, f() = 0 denkleminin bir tane kökü vardır. Öyleyse = 0 alınır. = (m ) 4 f p( ) 4m + 8m 6 = 0 denkleminde kökler toplamı için, a = 4, b = 8, c = 6 m + m = m + m = b a 8 4 m + m = 44 Raunt

45 Matematik-0 Ünite-6 Örnek 49 Aþaðýdaki parabollerin simetri eksenleri çizilmiþtir. Bu þekillerde soru iþareti yerine yazýlmasý gereken sayýlarý bulunuz. A) y B)? 6 - y? C) y -4? D) y 4? 0 E) y 5? Örnek f() = + + fonksiyonunun grafiðini çizelim. Fonksiyonu f() = a( r) + k formuna getirmeden, tepe noktasý ve eksenleri kestiði noktalar bulunarak da grafik çizimi yapýlabilir. T b a 4ac b 9, = T, tür. 4a = 0 denkleminin kökleri eksenini kestiði noktalarýn apsislerini verir. + + = 0 = 0 ( ) ( + ) = 0 = veya = A(, 0), B(, 0) = 0 için, y eksenini kestiði nokta bulunur. f(0) = = y = C(0, ) C(0, ) noktasý da y eksenini kestiði noktanýn koordinatlarýdýr. Bulunan T, A, B, C noktalarý çizim için yeterlidir. Grafik yanda çizilmiþtir. y 9 4 C A B Raunt 45

46 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Sınav Kodu: M0074 Konu Testi. f() = m + (m ) + m + parabolünün simetri ekseni = doðrusu olduðuna göre, parabolün y eksenini kestiði nokta nedir? A) (0, ) B) (0, 0) C) (0, ) D) (0, ) E) (0, ) 6. f() = (m + ) parabolü eksenine negatif tarafta teðet olduðuna göre, m kaçtır? 5 A) B) C)0 D) E). Þekilde tepe noktasý T olan ve orjinden geçen parabolün denklemi f() = a + b + c olduðuna göre, (fof) () kaçtır? A) B) 0 C) D) E) 4 7. f : ( 4, ) B f() = + fonksiyonu örten olduðuna göre, B kümesi nedir? A) [, 8] B) [, 6) C) [, 7) D) (, 5) E) ( 4, 0). f() = + (n ) + 4 fonksiyonunun en küçük deðeri olduðuna göre, n nin alacaðý deðerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {0, } B) {, } C) {, 4} D) {0, 4} E) {4, 5} 4. IR olmak üzere bir M kümesinin elemanlarý, ( ) + ( + ) ile hesaplanmaktadýr. M kümesinin en büyük elemaný kaçtır? 5 5 A) B) C)5 D)6 E) 8. C y A B 0 + y 6 = Şekilde B köşesi doğru üzerinde verilen ABC dikdörtgeninin alanının en büyük değeri kaç br dir? A) 0 B) C) 4 D) 5 E) 6 5. (m ) m = 0 denkleminin kökleri ve dir. + toplamının alacağı en küçük değeri kaçtır? A) B) C)6 D) E) m IR olduðuna göre, f() = (m) + (m 5) parabollerinin tepe noktalarýnýn geometrik yer denklemi nedir? A) y = + 5 B) y = + C) y = D) y = + + E) Raunt

47 Sınav Kodu: M0075 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi. f() = (m 4) + m + (m 5) fonksiyonu A(, ) noktasýndan geçtiðine göre, m kaçtýr? A) B) C) D) E) 4. Tepe noktasý T(, ) olan ve A(, ) noktasýndan geçen parabolün denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? A) y = B) y = C) y = y D) = E) y = f() = m + (m ) + 6m + parabolünün simetri ekseni = doğrusu olduğuna göre, parabolün, y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? A) B) C) D) 0 E) 5. Grafikleri verilen f() = + 6 ve g() = + b + c parabollerinin tepe noktalarý A ve B dir. [AB] // y AB = birim Yukarýdaki verilere göre, b + c toplamý kaçtýr?. y f() = a + b + c fonksiyonuna ait grafik þekilde verilmiþtir. A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 0 Buna göre, a + b + c toplamý kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 9 6. f() = parabolünün y eksenini kestiði nokta aþaðýdakilerden hangisidir? A) (0, 5) B) (0, 4) C) (0, ) D) (0, 4) E) (0, 7) Raunt 47

48 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR 7. y = a + b + c 0. y parabolünün tepe noktası I. bölgede ve kolları eksenini pozitif tarafında farklı iki noktadan kesiyorsa a, b, c nin işaretleri sırasıyla hangisidir? A), +, B) +, +, + C),, + D) +,, + E), +, + A 4 T(, k) Grafiði verilen parabolün denklemi f() = a + b + c dir. Tepe noktasý T(, k), f(0) = 4 ve AB = 6 birim olduðuna göre, a b + c kaçtýr? B A) 5 B) C) D) 9 E) 7 8. A(0, 0), B(6, 0) ve C(, 5) noktalarından geçen parabolün denklemi nedir? A) y = + 8 B) y = 6 C) y = + 6 D) y = 8 E) y = + 4. Şekildeki parabolün denklemi A C B f() = 8 0 dur. y Parabol A ve B noktalarından geçtiğine göre, ABC dikdörtgeninin alanı kaç birimkaredir? A) 0 B) 0 C) 0 D) 40 E) y = + (a + ) + a + 5 parabolü eksenine pozitif tarafta teğet olduğuna göre, a kaçtır? A) 8 B) 6 C) 4 D) E) 4. f: [, ) B f() = + 8 fonksiyonu örten olduðuna göre, B kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) [, 9) B) [ 8, 7) C) [ 9, 7) D) [ 8, 9) E) [ 0, 9) 48 Raunt

49 Sınav Kodu: M0076 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi. A(a, ) noktasý f() = 9 parabolünün üzerinde bir nokta olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 5 6. y = + (m + ) m + parabolünün eksenine, ikinci bölgede teðet olabilmesi için m kaç olmalýdýr? A) 6 B) C) D) 9 E). f() = b + c fonksiyonunun tepe noktasý T(, ) noktasý olduðuna göre, b + c kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 8 7. y = a + 4 parabolünün simetri ekseninin denklemi = 6 olduðuna göre, a kaçtýr? A) 4 B) C) 9 40 D) 4 E). f() = a + 6 fonksiyonunun grafiðinin eksenini kesmemesi için a nýn alabileceði doðal sayý deðerlerinin toplamý kaçtýr? A) 6 B) 8 C) 0 D) 5 E) 8. f() = m( + 8) fonksiyonunun en küçük deðeri 7 olduðuna göre, m kaçtýr? A) 8 B) 5 C) D) E) y = (a 4) + a eğrisi eksenini orijine göre simetrik iki noktada kesiyorsa a kaçtır? A) B) C) 0 D) E) Þekildeki parabolün denklemi, y = 4 + m dir. 5. liraya alınan bir mal liraya satılırsa en az kaç lira kâr edilir? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 5 B =. A olduðuna göre, C noktasýnýn ordinatý kaçtýr? A) B) 8 C) 6 D) 5 E) Raunt 49

50 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR 0. A(, 0), B(, 0) ve C(0, ) noktalarýndan geçen ikinci dereceden polinom fonksiyonun denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? A) y = + B) y = C) y =. f : ( 4, ) B. D) y = E) y = + f() = + 5 fonksiyonu örten olduğuna göre, B kümesi nedir? A) (4, 9] B) [4, 9) C) [4, 9] D) (4, 9) E) [5, 9) y 4. Tepe noktasýnýn koordinatlarý T(, 4) olan ve A(, 0) noktasýndan geçen parabolün denklemi y = a + b + c olduðuna göre, a b + c toplamý kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) 5. f() = m + (m + 4) + (m + 7) parabolü eksenini farklý iki noktada kestiðine göre, m nin alabileceði deðerler aþaðýdaki aralýklardan hangisinde bulunur? A) (, 6) B) ( 6, ) {0} C) (, 0) D) (, ) E) ( 6, 6) {0} T y = f() 6. f : (, ] R f() = + 8 fonksiyonunun görüntü kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? Þekilde grafiði verilen tepe noktası T(, ) olan y = f() parabolünün denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? A) y = ( ) B) y = ( ) C) y ( ) 5 = + D) y = ( ) E) y = ( + ) 9 A) [ 5, 7] B) [ 9, 7] C) [ 4, 7] D) [0, 7] E) [ 9, 0] 7. Şekilde f() = a + b + c parabolü veriliyor.. f() = + a parabolünün tepe noktasý dördüncü bölgede olduðuna göre, a nýn en geniş değer aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? A) a < B) < a < C) < a < D) < a < E) 4 < a < 4 Buna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 4 B) 8 C) D) 6 E) 7 8. y = 8 parabolünün eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden üçgenin alanı kaç br dir? A) B) C) D) 4 E) 5 50 Raunt

51 Sınav Kodu: M0077 Matematik-0 Ünite-6 Konu Testi. y = + 5 parabolü A(, a) noktasýndan geçtiðine göre, a kaçtýr? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5. f() = (m ) m + 5 fonksiyonu eksenini kesmediðine göre, m nin alabileceði deðerlerin aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? A) m > B) m < 4 C) < m < D) < m < 4 E) < m < 5. f() = (m 4) (m 6) + m + parabolünün simetri ekseni y ekseni olduðuna göre, m kaçtýr? 6. a < 0, b < 0, c > 0 olmak üzere, tepe noktasý T olan y = a + b + c parabolünün grafiði aþaðýdakilerden hangisi olabilir? A) 4 B) C) D) E) 4 A) B) T y T. f() = ( + ). (m ) fonksiyonunun grafiði eksenine teðet C) y D) T T y olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) E) T y 4. f() = a.( + ) + c g() = ( b). ( + 5) parabollerinin tepe noktalarý ayný olduðuna göre, b + c kaçtýr? A) B) C) D) E) 4 7. f() = + 6 m fonksiyonunun grafiðinin tepe noktasý y = 4 doðrusu üzerinde olduðuna göre, m kaçtýr? A) B) C) D) 6 E) 8 Raunt 5

52 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR 8. T y Þekilde grafiði verilen y = f() = a + b + c parabolünün tepe noktasý ikinci bölgededir.. y 5 y = f() y = f() 5 Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr? A) a.c < 0 B) b > 4ac C) b.c > 0 D) a + b < 0 E) a. b > 0 Yukarýdaki þekilde y = f() parabolünün grafiði verilmiþtir. Yukarıdaki verilere göre, (fof) () kaçtýr? 9. y T y=f( ) Tepe noktasý, T(, ) olan y = f( ) parabolünün grafiði y a n - d a k i þ e k i l d e verilmiþtir. A) 8 B) 40 C) 8 D) 9 E) 9 Buna göre, f() kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 0. y Þekildeki y = f(). y y = f() parabolü y eksenini C, eksenini A ve B A B y = f() A B noktalarýnda kesmektedir. C C B = 4. A ve f() = 0 denkleminin köklerinin toplamý olduðuna göre, parabolün tepe noktasýnýn y eksenine olan uzaklýðý kaç birimdir? Şekildeki parabolün denklemi y = + m dir. IBI =.IAI olduğuna göre, C noktasının ordinatı kaçtır? 5 A) 8 5 B) C) D) E) A) B) C) D) 4 E) 5 5 Raunt

53 Matematik-0 Ünite-6. f() = (m + ) + m + k 6. a, b R olmak üzere, parabolü y eksenini A(0, ) noktasýnda kesmektedir. Bu parabolün tepe noktasýnýn birinci bölgede olmasý için m hangi aralýkta olmalýdýr? a b = a + için a kaçtır? eşitliğinde b'nin en küçük değeri A) (, 6) B) (, 6) C) (, ) D) (, 0) E) (, 0) A) 5 B) C) D) E) f() = 4 + a + b parabolü = de eksenine teðet olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6 Grafiğe göre, f() = olmasını sağlayan değerlerinin toplamı kaçtır? A) B) C) 4 D) 6 E) y = a (a ) + a parabolünün ekseni ile en çok bir ortak noktasý olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerlerin aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? Şekilde tepe noktası T olan f() = + b + c fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, parabolün alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 9 B) 7 C) 5 D) E) A), C), E) [, ] B), D) (, ], + ) Raunt 5

54 İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FNKSİYNLAR Sınav Kodu: M0078 Konu Testi 4. f() = + + k 4 parabolünün y = doðrusuna teðet olmasý için k kaç olmalýdýr? 9 A) B) 6 C) 5 D) 7 E) 4. f() = (a ) + (4 a ) a + 7 parabolünün tepe noktasý y ekseni üzerindedir. Bu parabolün eksenleri kestiði noktalarý köþe kabul eden üçgenin alaný kaç birimkaredir? A) 5 B) 4 7 C) 9 D) 7 E). f() = (k 4) + k + 6k + parabolünün eksenine teðet olmasý için k kaç olmalýdýr? A) B) 0 C) D) E) 5. f() = a fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük elemanýnýn 9 dan büyük olmasý için a nýn alabileceði deðerlerin aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir? A) (, + ) B) (4, + ) C) (5, + ) D) (, 6 ) E) (, 4 ). 6. y f g 4 K Þekilde grafiði verilen parabolün denklemi f() = a + b + c dir. Buna göre, f() in görüntü kümesinin en büyük elemaný kaçtýr? A) 8 B) 6 5 C) 6 D) 5 E) 6 5 Þekilde grafikleri verilen f() = + b + c g() = + d + e fonksiyonlarý için b d farký kaçtýr? A) B) 0 C) D) E) 5 54 Raunt