Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Transkript

1 kapak sayfası

2 İÇİNDEKİLER 7. ÜNİTE POLİNOMLAR Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler... 4 Polinom Kavramı Polinomlarda İşlemler... 9 Konu Testleri Polinomlarda Çarpanlara Ayırma... 7 Çarpanlara Ayırma Konu Testleri Polinom ve Rasyonel Denklemlerin Çözüm Kümeleri... 4 Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi ve Genişletilmesi Konu Testleri Yayımlayan: Sebit Eğitim ve Bilgi Teknolojileri AŞ Üniversiteler Mah. İhsan Doğramacı Bulv. No: ODTÜ Teknokent Ankara / TÜRKİYE Tel: info@sebit.com.tr Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / 06 ISBN Numarası: Sertifika No: 674 Bu kitabın her hakkı saklıdır. Kısmen ve kaynak gösterilerek de olsa kesinlikle hiçbir alıntı yapılamaz. Metin, biçim, sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir sistemle çoğaltılamaz, dağıtılamaz ve yayımlanamaz.

3 POLİNOMLAR Ünite-7 Kazanımlar Polinom Kavramı ve Polinomlarla İşlemler Gerçek katsayılı ve bir değişkenli polinom kavramını açıklar Polinomlarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapar Bir p() polinomunun q() polinomuna bölümünden kalan bulur Katsayıları tam sayı ve en yüksek dereceli terimin katsayısı olan polinomların tam sayı sıfırlarının, sabit teriminin çarpanları arasından olacağını örneklerle gösterir Polinomlarda Çarpanlara Ayırma Gerçek katsayılı bir polinomu çarpanlarına ayırır Polinom ve Rasyonel Denklemlerin Çözüm Kümeleri Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ile ilgili uygulamalar yapar Polinom ve rasyonel denklemlerle ilgili uygulamalar yapar. Raunt

4 POLİNOMLAR POLİNOMLAR Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler Polinom Kavramı n, n, n,..., 0 N ve a 0, a, a,..., a n R, a n 0 olmak üzere; P() = a n n + a n n a + a + a 0 biçimindeki ifadelere e baðlý, n inci dereceden bir deðiþkenli polinom denir. a n, a n-,..., a, a o reel sayýlarýna polinomun katsayýlarý denir. Sýfýrdan farklý a n reel sayýsýna polinomun baþ katsayýsý denir. in en büyük üssü olan n doðal sayýsýna polinomun derecesi denir ve der (P()) = n biçiminde gösterilir. a n. n, a n. n,..., a., a o ifadelerinden herbirine polinomun bir terimi denir. a 0 reel sayýsýna sabit terim denir. Örnek P() = polinomu veriliyor. a) Bu polinomun derecesi kaçtýr? b) Bu polinomun baþ katsayýsý kaçtýr? Çözüm a) der(p()) = 5 b) Baş katsayı: 8 c) Sabit terim: 0 d) Katsayılar toplamı: = c) Bu polinomun sabit terimi kaçtýr? d) Bu polinomun katsayýlar toplamý kaçtýr? Alıştırma Aþaðýdaki tabloyu örneðe uygun biçimde doldurunuz. 4 Raunt

5 Matematik-0 Ünite-7 Örnek Aþaðýdaki ifadelerden hangileri polinomdur? a) P() = b) Q() = 8 + c) R() = d) S() = e) T() = Çözüm P(), R(), T(), K() birer polinomdur. Q() ifadesinde in, S() ifadesinde ise in derecesi doğal sayı olmadığından, bu iki ifade de polinom belirtmez. / f =, z Np ve ( =, z N) f) K() = 0 Alıştırma m m m P() = ifadesi m = için polinom olur mu? Neden? m = için polinom olur mu? Neden? m = 4 için polinom olur mu? Neden? Bu ifadeyi polinom yapan tüm m tamsayý deðerlerini bir A kümesine yazýnýz. A = {...} Örnek 5 m 7 P() = m ifadesi bir polinom olduðuna göre, bu polinomun derecesi kaçtır? Çözüm P() ifadesi bir polinom ise, içerisindeki tüm terimlerin dereceleri birer doğal sayı olmalıdır. Buradan, 5 $ 0 m m 7 0 } m > 0 m > 7 m $ O halde m = 6 olmalıdır. ((m ), 5 i tam bölmelidir.) P() = = 8 + der(p()) = olur. Raunt 5

6 POLİNOMLAR Sabit Polinom a 0 olmak üzere, P() = a polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi 0 dýr. Örnek 4 P() = (m + ). + (n ). + 8 polinomu sabit polinom olduðuna göre, m.n kaçtýr? Çözüm 4 m + = 0 ve n = 0 olmalıdır. m = ve n = olur. O halde; m.n =. = 6 Alıştırma Tablodaki P() polinomlarýnýn sabit polinom olabilmesi için a ve b deðerlerini bularak boþ olan yerlere yazýnýz. Sýfýr Polinomu P() = 0 polinomuna sýfýr polinomu denir. Sýfýr polinomunun derecesi belirsizdir. Örnek 5 P() = (a + b 6) + a b polinomu, sýfýr polinomu olduðuna göre, a kaçtýr? Çözüm 5 a + b 6 = 0 ve a b = 0 olmalıdır. a + b = 6 + a b = a = 8 a = 4 6 Raunt

7 Matematik-0 Ünite-7 Alıştırma 4 Tablodaki P() polinomlarýnýn sýfýr polinomu olabilmesi için a, b ve c deðerlerini bularak aþaðýdaki boþ olan yerlere yazýnýz. Örnek 6 P( ) = olduðuna göre, P() polinomu nedir? Çözüm yazılarak + + Pff p p = 6. f p + 5 P() = + 9 Alıştırma 5 Aþaðýdaki tabloyu örneðe uygun biçimde doldurunuz. Tabloya göre; Sabit terim ile polinomlarýn = 0 için aldýðý deðerleri karþýlaþtýrýnýz. Katsayýlar toplamý ile polinomlarýn = için aldýðý deðerleri karþýlaþtýrýnýz. Bir polinomda katsayýlar toplamýný ve sabit terimi bulmak için bir yöntem oluþturabilir misiniz? Sonuç olarak; verilen polinomda katsayılar toplamı bulunurken yerine yazılır. Sabit terimi bulurken yerine 0 yazılır. Raunt 7

8 POLİNOMLAR Örnek 7 P() = ( + ) polinomunun katsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? Çözüm 7 P() = ( +. ) = () = 48 = 6 Örnek 8 P() bir polinomdur. P( + ) + P( ) = + olduðuna göre, P() polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayýlar toplamý kaçtýr? Çözüm 8 P( ) + P( ) değeri soruluyor. = 0 P() + P( ) = P() + P( ) = P( ) + P( ) = = Örnek 9 P() = ( ) 7 + ( + ) 7 polinomu düzenlendiðinde elde edilen tek dereceli terimlerin katsayýlarýnýn toplamý kaçtýr? Çözüm 9 P( ) P( ) değeri soruluyor. P() = (. ) 7 + ( + ) 7 = + 7 P( ) = (.( ) ) 7 + ( + ) 7 = P( ) + P( ) + ( + ) 7 = = 8 Raunt

9 Matematik-0 Ünite-7 Örnek 0 P() =.( ) 5 6. ( + ) polinomunun sabit terimi kaçtýr? Çözüm 0 P(0) =.(.0 ) 5 6.(0 + ) =.( ) = 4 4 = 0 Polinomlarýn Eþitliði (Özdeþliði) P() ve Q() ayný dereceden iki polinom olsun. P() ve Q() polinomlarýnda eþit dereceli terimlerin katsayýlarý karþýlýklý olarak birbirine eþit ise bu iki polinom birbirine eþittir. P() ve Q() polinomlarýnýn birbirine eþitliði P() = Q() biçiminde gösterilir. Örnek P() = m + n + Q() = + n 5 polinomlarý veriliyor. Bu iki polinom eþit (özdeþ) olduðuna göre, m + n toplamý kaçtýr? Çözüm m = 0 ve n + = n 5 olmalıdır. (Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşittir.) 6 = n m + n = 6 Polinomlarda Ýþlemler Toplama ve Çýkarma Ýþlemleri Herhangi iki polinom arasýnda toplama veya çýkarma iþlemi yapýlýrken ayný dereceli terimler arasýnda iþlem yapýlýr. Raunt 9

10 POLİNOMLAR Alıştırma 6 Aþaðýdaki tabloda boþluklarý doldurunuz. Tabloya bakarak; Q() polinomunu yazýnýz. P() Q() polinomunu yazýnýz. P() + Q() polinomunu yazýnýz. Örnek P() = Q() = polinomlarý veriliyor. a) P() + Q() polinomu nedir? Çözüm P() = Q() = ( ) + ( ) = + + P() Q() = ( ) ( ) = b) P() Q() polinomu nedir? Örnek P() = 5 + m Q() = 4 + p + n polinomlarý veriliyor. P() + Q() = (m ) a b olduðuna göre, a + b + m + n + p toplamý kaçtýr? Çözüm P() + Q() = ( 5 + m) + ( 4 + p + n ) = 4 + (p + ) + (n 5) + m = (m ) a b m =, p + = 4, = a, n 5 = 6, m = b m = p = n = = b 0 = b = 4 0 Raunt

11 Matematik-0 Ünite-7 Polinomlarda Çarpma Ýþlemi Ýki polinomu çarpmak için birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimiyle ayrý ayrý çarpýlýr. Çarpýmlardan elde edilen ayný dereceli terimler toplanýr. Örnek 4 P() = Q() = + 4 olmak üzere, P().Q() polinomu nedir? Çözüm 4 P(). Q() = ( ) ( + 4) = = = Bir Polinomun Bir Sabitle Çarpýmý Bir P() polinomunu bir c reel sayýsýyla çarpmak için, P() in her teriminin katsayýsý c ile çarpýlýr. Örnek P() = polinomu verilsin. a).p() =.(4 + 5) = tir. b).p() =.(4 + 5) = dur. Raunt

12 Sınav Kodu: M0079 POLİNOMLAR Konu Testi. 8 n n 6 P() =. + + olduðuna göre, P() polinomunun derecesi kaçtýr? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 4. P() = ( + ). ( a ) + 4 Q() = 4 + b + c polinomlarý veriliyor. P() = Q() olduðuna göre, a + b + c toplamý kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 4. P() = (a ) + (b + 4) + c polinomu sýfýr polinomu olduðuna göre, a + b + c toplamı kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) 5. ( ). P( + ) = + k eþitliði veriliyor. Buna göre, P( + ) polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6. P( + ) = + olduğuna göre, P( ) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 6. P( + ) + P( ) = + 8 olduðuna göre, P() polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr? A) 5 B) 6 C) 8 D) 0 E) Raunt

13 Matematik-0 Ünite-7 7. der(p()) = 4 ve der(q()) = 5 olduðuna göre, P ( 4). Q(P( )) polinomunun derecesi kaçtýr? A) 66 B) 64 C) 48 D) 8 E) 0. P() = + + polinomu veriliyor. P(). Q() = 9 + m + n olduðuna göre, Q() polinomunu nedir? A) B) + C) D) E) = ( + a + b) olduðuna göre, a. b kaçtýr? A) B) 0 C) D) E). ( ). P() = 4 + a + olduðuna göre, P() polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 9. P() = + Q() = olduðuna göre, P(). Q() polinomunda li terimin katsayýsý kaçtýr? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4. P() + P( ) = olduðuna göre, P( ) polinomunun katsayýlar toplamý kaçtýr? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Raunt

14 POLİNOMLAR Polinomlarda Bölme Ýþlemi P(), Q(), R(), K() birer polinom olsun. der (P()) der (Q()) der (K()) < der (Q()) P() = Q(). R() + K() ise P() polinomunun Q() polinomuna bölünmesinden elde edilen bölüm polinomu R(), kalan polinomu K() tir. Bu bölme iþlemi P() Q() K() R() biçiminde gösterilir. Bu bölme iþleminde P() e bölünen, Q() e bölen, R() e bölüm, K() e kalan denir. K() = 0 ise P(), Q() e tam bölünüyor denir. P() = Q(). R() + K() eþitliðine bölme özdeþliði denir. Örnek 5 Çözüm 5 P() = ( + ).( ) + + Bir P() polinomunun + ile bölünmesinden elde = edilen bölüm ve kalan + olduðuna göre, = + 5 P() polinomu nedir? Örnek 6 P() = polinomununun e bölümünden elde edilen bölüm ve kalan nedir? Alıştırma 6 Bölme iþlemini yaparak tablodaki boþluklarý doldurunuz. Çözüm B() = + K() = Raunt

15 Matematik-0 Ünite-7 P() Polinomunun a ile Bölümünden Elde Edilen Kalan a birinci dereceden bir polinom olduðundan, P() polinomunun a ile bölünmesinden elde edilen kalan bir k sabit sayýsýdýr. P() k a Q() bölme iþleminden P() = ( a). Q() + k bölüm özdeþliði yazýlabilir. Bu eþitlikte, = a yazýlýrsa P(a) = k bulunur. Buna göre, bir P() polinomunun ( a) ile bölümünden elde edilen kalan P(a) dýr. Örnek 7 P() = polinomunun ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? Çözüm 7 P() değeri soruluyor. P() = = Alıştırma 7 Aþaðýda verilen polinomlarýn baþka bir polinoma bölünmesi ile elde edilen kalaný, bölme iþlemi yapmadan kýsa yoldan örneðe uygun þekilde doldurunuz. Örnek 8 P() = + a + 7 polinomunun + ile bölümünden elde edilen kalan olduðuna göre, a kaçtýr? Çözüm 8 P( ) = dir. P( ) = ( ) + a.( ) + 7 = = 4 a + 7 = = a a = 6 Raunt 5

16 POLİNOMLAR Örnek 9 P() = polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? Çözüm 9 P f p değeri soruluyor. Pf p= 4. f p + 8. f p + = = 8 Örnek 0 P() = 4 + a polinomunun ile tam bölünebilmesi için a kaç olmalýdýr? Çözüm 0 P( ) = 0 olmalıdır. P( ) =.( ) 4 +.( ) a = a = 0 a = 6 P() Polinomunun a ile Bölümünden Elde Edilen Kalan P() a B() K() bölme iþleminden P() = ( a). B() + K() yazýlabilir. Bu eþitlikte, her bir yerine a yazýlýrsa K() elde edilir. 6 Raunt

17 Matematik-0 Ünite-7 Örnek P() = polinomunun + ile bölümünden elde edilen kalan nedir? Çözüm + = 0 = olur. P() = biçiminde yazarsak; K() = ( )( ) ( ) + ( ) + 4 = = 6 Alıştırma 8 Aþaðýda verilen polinomlarýn baþka bir polinoma bölünmesi ile elde edilen kalaný, bölme iþlemi yapmadan kýsa yoldan örneðe uygun þekilde doldurunuz. Örnek P( + ) = a + eþitliði veriliyor. P() polinomunun ile bölümünden kalan 8 olduðuna göre, P() polinomunun ile bölümünden kalan kaçtýr? Çözüm P() = 8 dır. P() =? P( + ) = a + = P() =. a. + = 8 a = P( + ) = + + = P() = = 7 Raunt 7

18 POLİNOMLAR Örnek Bir P() polinomunun ( ) ile bölümünden elde edilen kalan 5, ( + ) ile bölümünden elde edilen kalan olduðuna göre, P() polinomunun ( + ).( ) ile bölümünden kalan nedir? Çözüm P() = 5, P( ) = dır. P() = ( + )( ).B() + a + b = P() = a + b = 5 = P( ) = a + b = Buradan; a + b = 5 a + b = a = a = b = K() = + bulunur. Örnek 4 Bir P() polinomunun Q() polinomu ile bölümünden elde edilen bölüm ( ), kalan ( + 7) dir. Q() polinomunun + + polinomu ile bölümünden kalan 5 olduðuna göre, P() polinomunun ( ). ( + + ) ile bölümünden elde edilen kalan nedir? Çözüm 4 P() = Q(). ( ) + ( + 7) Q() = ( + + ).B() + 5 P() = [( + + ).B() + 5 ]. ( ) + ( + 7) = ( )( + + ).B() = ( )( + + ).B() K() = Örnek 5 P() bir polinomdur. ( + ). P() = + a olduðuna göre, P() in + ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm 5 = 0 = ( ) + a.( ) 0 = + a a = ( + ).P() = ± + = P() P( ) = ± 0 8 Raunt

19 Sınav Kodu: M0080 Matematik-0 Ünite-7 Konu Testi. P() = 4 m polinomu veriliyor. P( ) polinonumun çarpanlarýndan biri + olduðuna göre, m kaçtýr? 4. P() = + a + b polinomu + polinomu ile tam bölünebildiðine göre, a + b kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 A) B) C) D) 0 E). P() = m + n polinomunun ile bölümünden kalan 8 olduðuna göre, m.n çarpımı kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 5 5. Bir P() polinomunun ( + ). ( ) ile bölümünden kalan 4 7 dir. Buna göre, P( + ) polinomunun ( ) ile bölümünden kalan kaçtýr? A) 5 B) 4 C) D) E) 6. P( + ) = ( + ). Q( ) +. P() = ( + ). Q() + Q() = ( 4). T() + 5 olduðuna göre, P() polinomunun ( 4) ile bölümünden kalan kaçtýr? eþitliðinde P() ve Q() birer polinomdur. P() polinomunun ( ) ile bölümünden kalan 7 olduðuna göre, Q() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan kaçtýr? A) B) 5 C) 7 D) 40 E) 4 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Raunt 9

20 POLİNOMLAR 6a a+ 7. a Z olmak üzere, P() = ifadesi bir polinom belirttiðine göre, bu polinomun derecesi en çok kaç olabilir? A) B) C) 4 D) 5 E) 6. P() = + m + 7 polinomu + ile tam bölünebiliyor. Buna göre, P( ) in sabit terimi kaçtır? 7 A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 4 8. P() = + 4a + 5 polinomu veriliyor. P() in sabit terimi ile P() in katsayýlar toplamýnýn toplamý 0 olduðuna göre, P() in ile bölümünden kalaný kaçtır? A) 76 B) 75 C) 7 D) 70 E) 68. P() polinomunun + ile bölümünden kalan 5 ve ile bölümünden kalan olduðuna göre, P() in + ile bölümünden kalan nedir? A) + B) + C) + D) E) 9. P() = 4 + m + m + polinomunun ile bölümünden kalan k, + ile bölümünden kalan k ve k k = 9 ise m kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5. P() üçüncü dereceden bir polinomdur. P() = P( ) = P() = 0 P() = a. P( ) olduðuna göre, a kaçtır? A) B) C) 0 D) E) 0. ( ) P() = a + eþitliði veriliyor. Buna göre, P() kaçtır? 4. P( ) + P( + ) = olduðuna göre, P() polinomu nedir? A) 0 B) C) 4 D) 9 E) 0 A) B) C) + D) + E) + 0 Raunt

21 Sınav Kodu: M008 Matematik-0 Ünite-7 Konu Testi. P() = 4 m + 5 m m ifadesi bir polinom olduðuna göre, m kaçtýr? A) 5 B) 4 C) D) E) 6. P(, y) = (a ) y + (b ) y y Q(, y) = 4 y y + (c + ) y iki deðiþkenli polinomlarý veriliyor. P(, y) = Q(, y) olduðuna göre, a + b + c kaçtýr? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 8 n. P() = n polinomunun derecesi kaçtýr? A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 0. P() ve Q() iki polinomdur. 7. P() = + m + 7 polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan 5 olduðuna göre, m kaçtýr? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 4 der[q()] = 4 der[p(). Q()] = 6 olduðuna göre, der[p()] kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 6 4. P() = (a ) + (b+) + a b polinomu bir sabit polinom olduðuna göre, P() kaçtýr? 8. Bir P() polinomunun Q( + ) polinomuna bölümünden elde edilen bölüm B( ), kalan K( + ) tür. Q(4) = 5 B() = K(6) = olduðuna göre, P() kaçtýr? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) B) C) 5 D) 7 E) 8 9. P() = (a ) b 5. P() polinomunun katsayýlar toplamý 5 tir. P() = + a olduðuna göre, a kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) 5 polinomunun ile bölümünden kalan, ( ) ile bölümünden kalan dir. Buna göre, a + b toplamı kaçtýr? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) Raunt

22 POLİNOMLAR 0. P() ve Q() polinomlarýnýn ( + ) ile bölümünden kalanlar sýrasýyla ve olduðuna göre, aþaðýdaki polinomlardan hangisi daima ( + ) ile kalansýz bölünebilir? A) P( + ) + Q() B) P() + Q() 4. P() = 4 + a + b polinomu ( ) ile kalansýz bölünebildiðine göre, a + b toplamı kaçtýr? A) 40 B) 6 C) 0 D) 6 E) 8 C) Q() P() D) P() Q() E) P() Q() 5. P() = polinomunun ( kaçtýr? ) ile bölümünden kalan. Bir P() polinomunun ( 4). ( + ) ile bölümünden elde edilen kalan (6 + 4) tür. Buna göre, P() polinomunun ( + ) ile bölümünden elde edilen kalan kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) A) B) C) 4 D) 4 E) P() = + a + b + 8 polinomu ( 9) ile tam bölünebildiðine göre, a + b toplamı kaçtýr?. P() = polinomunun + ile bölümünden elde edilen kalan aþaðýdakilerden A) 0 B) 6 + C) 6 + A) B) 6 C) 8 D) 0 E) 7. Baþ katsayýsý olan ikinci dereceden bir P() polinomunda, D) 4 E) 4 + olduðuna göre, oraný kaçtýr?. Bir P() polinomunun ( ) ile bölümünden elde edilen kalan, ( + ) ile bölümünden elde edilen kalan dir. Buna göre, P() polinomunun ( ). ( + ) ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden A) 7 B) 4 C) D) E) A) B) 9 C) 7 D) 5 E) 8. P() polinomdur. P( ) = 4 + olduðuna göre, P( + ) polinomunun ( ) ile bölümünden elde edilen kalan kaçtýr? A) 5 B) C) D) E) Raunt

23 Sınav Kodu: M008 Matematik-0 Ünite-7 Konu Testi. P() = 6 + 0, polinomu veriliyor. Aþaðýdakilerden hangisi bir polinom deðildir? A) P( ) B) P( ) C) P( ) 6. P() = ( ) 8 polinomunda tek dereceli terimlerin katsayýlarý toplamý kaçtýr? A) 64 B) C) 4 D) 0 E) 6 4 D) P( ) E). P( ) = + olduðuna göre, P(4 ) polinomu aþaðýdakilerden A) 4 B) 4 C) 4 D) 4 E) P() bir polinomdur. P( ). ( + ) = + m + 6 olduðuna göre, P( 4) kaçtýr? A) 4 B) C) 4 D) 8 E). P( ) = olduðuna göre, P(4 + ) polinomunun ( ) polinomu ile bölümünden elde edilen kalan kaçtýr? A) 5 B) 4 C) D) E) 8. P(Q()) = polinomu veriliyor. Q() polinomu ( ) ile tam bölünebildiðine göre, P() polinomunun sabit terimi kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) 4. P() = ( ). ( + ) polinomunun sabit terimi a, baþkatsayýsý b olduðuna göre a. b kaçtýr? A) 9 B) C) 0 D) E) 9. P() ve Q() birer polinomdur P() = n 6 + n + polinomunun derecesi en az kaç olabilir? A) B) C) D) 4 E) 5 P(). Q( + m) = eþitliði veriliyor. Q(m) = olduðuna göre, P() polinomunun ile bölümünden elde edilen kalan kaçtýr? A) B) C) 0 D) E) Raunt

24 POLİNOMLAR P( ) + P( + ) = 5 + olduðuna göre, P() polinomunun + ile bölümünden kalan kaçtýr? Yukarýdaki bölme iþlemine göre, P() polinomunun derecesi kaçtýr? A) 4 B) 8 C) 0 D) 6 E) 7 A) B) C) D) 4 E) 5 5. ( ). P( + ) + ( ). P( + ) = a. Bir P() polinomu + ile bölündüðünde 5 kalanýný ve ile bölündüðünde kalanýný veriyor. Bu P() polinomunun ( + ) ( ) çarpýmý ile bölümünden elde edilecek kalan aþaðýdakilerden A) + B) + 4 C) 5 D) E) + eþitliði veriliyor. P() polinomunun sabit terimi 0, katsayýlar toplamý olduðuna göre, a kaçtýr? A) B) 0 C) 9 D) 8 E) 6. P() ve Q() polinomları için P( ) = ve Q( ) = olduğuna göre,.p()+.q() polinomunun + ile bölümünden kalan kaçtır?. ( ). P( + ) = + a 5a + olduðuna göre, P() polinomunun sabit terimi kaçtýr? A) B) 5 C) 7 D) 8 E) 9 A) 5 B) C) 0 D) E) 5 7. P() = ( + ). ( + ) polinomunda 4 lü terimin katsayýsý kaçtýr? A) B) C) 6 D) 0 E) k + = ( + ). P() olduðuna göre, P() polinomu aþaðýdakilerden A) + 5 B) 4 C) + 4 D) 4 + E) P() polinomu 6 6 ile bölündüğünde bölüm Q(), kalan 4 + tür. P() polinomunun + ile bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden A) ( 6).Q() B) ( 6).Q() + 4 C) ( 6).Q() 5 D) ( 8).Q() + E) ( 8).Q() Raunt

25 Sınav Kodu: M008 Matematik-0 Ünite-7 Konu Testi a+. a+ P() = +. a+ + 4 ifadesinin bir polinom belirtmesi için a tam sayýsý kaç olmalýdýr? 6. P() = ( ) 5 + ( + ) polinomunun sabit terimi kaçtýr? A) 6 B) C) 4 D) 6 E) 0 5 A) B) C) D) E). P() = n 8 + 4n n polinomunun derecesi kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 5 7. Bir P() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan 4 tür. Bu P() polinomunun derecesi çift olan terimlerinin katsayýlarýnýn toplamý 6 olduðuna göre, P() in katsayýlarý toplamý kaçtýr? A) 0 B) 8 C) 6 D) 4 E). P() = (a ) + (b + ) (c + ) + 4 polinomu veriliyor. P() = 6 P( ) = 4 olduðuna göre, b kaçtýr? A) B) C) D) E) 8. Bir P() polinomunun ile bölümünden elde edilen bölüm Q(), kalan dur. Buna göre, P() polinomunun ( ) ile bölümünden elde edilen bölüm aþaðýdakilerden A). Q() B). Q() + + C). Q() + 4. ( + a). (b ) = 6 + eþitliði her reel sayýsý için saðlandýðýna göre, a. b kaçtýr? D). Q() + E). Q() + A) 9 B) 7 C) D) 7 E) 9 5. P() = ( a) + (b + ) + c 4 polinomu, sýfýr polinomu olduðuna göre, a + b + c toplamı kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 5 9. Bir P() polinomu ( ) ile tam bölünebilmektedir. Buna göre, P( + ) polinomu aþaðýdakilerden hangisine tam bölünür? A) B) C) D) E) 4 Raunt 5

26 POLİNOMLAR 0. Aþaðýdaki polinomlardan hangisinin bir çarpaný ( + ) deðildir? A) P() = B) P() = C) P() = 7 5 D) P() = 4 + E) P() = + 5. P() polinomu ( ) ile bölündüðünde bölüm ( ) ve kalan ( + 8) dir. P() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan kaçtýr? A) 8 B) 0 C) D) 6 E) 8. P() = 7 9 polinomun ile bölümünden kalan kaçtýr? A) B) C) 0 D) E). P() = + m + n polinomunun çarpanlarýndan ikisi ( ) ve ( + ) olduðuna göre, diðer çarpaný aþaðýdakilerden 6. Bir P() polinomunun ( ) ile bölümünden kalan 7, ( + ) ile bölümünden kalan dir. Buna göre, P() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden A) + 5 B) 5 C) D) + 5 E) 5 A) + B) + C) D) + 5 E). P( ) = 4 + n. n + polinomu veriliyor. P( + ) polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan 6 olduðuna göre, n kaçtýr? 7. P() = polinomunun + ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden A) 5 4 B) 6 + C) D) 7 E) A) B) C) D) 0 E) 9 4. P( + ) = ( + ). Q(+) + eþitliði veriliyor. Q( + ) polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan olduðuna göre, P() polinomunun ( + ) ile bölünmesinden kalan kaçtýr? A) B) 4 C) 6 D) 45 E) 5 8. P() = 4 polinomunun ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden A) + B) C) D) E) + 6 Raunt

27 Matematik-0 Ünite-7 Polinomlarda Çarpanlara Ayırma Çarpanlara Ayırma P(), A(), B() polinomlarýnýn herbiri sabit polinomlardan farklý üç polinom olsun. P() = A(). B() ise, A() ve B() polinomlarýna P() in birer çarpaný denir. P() polinomu, herbiri en az birinci dereceden olan birden fazla polinomun çarpýmý olarak yazýlamýyorsa, P() polinomuna indirgenemez polinom denir. Baþ katsayýsý olan indirgenemez polinoma asal polinom denir. Bir polinomu birden fazla polinomun çarpýmý olarak yazmaya bu polinomu çarpanlara ayýrma denir. Çarpanlarýn sýrasý önemli olmamak üzere, her polinom asal polinomlarýn çarpýmý olarak tek türlü yazýlabilir. Örnek 6 P() = polinomunun çarpanları nelerdir? Çözüm = ( ) ( + 5) +5 Örnek 7 P() = + 4 Q() = R() = 4 + polinomları çarpanlarına ayrılabilir mi? Çözüm 7 P(), Q(), R() polinomları birer indirgenemez polinom olduklarından çarpanlarına ayrılamazlar. Örnek 8 P() = + Q() = + 7 R() = 4 Çözüm 8 P(), Q(), R() polinomları birer asal polinom olduklarından çarpanlarına ayrılamazlar. polinomları çarpanlarına ayrılabilir mi? Raunt 7

28 POLİNOMLAR HATIRLATMA. a 0 olmak üzere P() = a + b biçimindeki polinomlarý indirgenemez polinomlardýr.. a 0 olmak üzere, P() = a + b + c polinomu, b 4ac < 0 olduðunda indirgenemez bir polinomdur. b 4ac 0 olduðunda çarpanlarýna ayrýlabilir bir polinomdur. Çarpanlara Ayırma Metotları Polinomlarý çarpanlarýna ayýrmada genel bir kural yoktur. Bir polinomu çarpanlarýna ayýrmak için aþaðýda vereceðimiz metotlarýn biri veya birkaçý kullanýlabilir. Ortak Çarpan Parantezine Alma Metodu Bir polinomun her teriminde ortak bir çarpan varsa, bu metot kullanýlýr. Her terimde ortak olan çarpan parantezin önüne yazýlýr. Parantezin içine de her terimin ortak çarpana bölünmesinden elde edilen bölümler yazýlýr. P(). Q() + P(). R() polinomunun her teriminde P() ortak çarpaný vardýr. Bu polinomu, P(). Q() + P(). R() = P(). [ Q() + R()] biçiminde ortak çarpan parantezine alabiliriz. Örnek Aþaðýdaki çarpanlara ayýrma iþlemlerini inceleyiniz. a. 6 =.. =. ( ) b. a b ab = ab (a b) c. ( y).( y) = ( y). [( y) ] = ( y). ( y ) d. ( + ) 6 = ( + ).( + ) = ( + ). ( + ) = ( + ). ( + ) e. 6 y y y 4 = y. (y y ) f..(y + ) (y + ) + 4(y + ) = (y+). ( + 4) Gruplandýrarak Çarpanlarýna Ayýrma Verilen polinomun bütün terimlerinde ortak olan bir çarpan bulunmayabilir. Bu durumda terimler, ortak çarpan parantezine alýnabilecek biçimde gruplandýrýlabilir. 8 Raunt

29 Matematik-0 Ünite-7 Örnek Aþaðýdaki çarpanlarýna ayýrma iþlemlerinde gruplandýrma metodu kullanýlmýþtýr. Gruplandýrýlan terimleri deðiþtirerek ayný sonuca ulaþmaya çalýþýnýz. a. ab b + a = (ab b) + (a ) = b.(a ) +.(a ) = (a ). (b + ) b = ( + ) + ( + ) =. ( + ) +.( + ) = ( + ). ( + ) c. + 6 = ( + ) ( + 6) =.( + ). ( + ) = ( + ). ( ) d. a + b + ab = (a + ab + b ) = (a + b) = (a + b ). (a + b + ) e. ab + 4a b + 6a + 4b = (ab + 4a b) + (6a + 4b) = ab(b + 4a) + 4(4a + b) = (4a + b). (ab + 4) Tamkare Özdeþliðinden Faydalanarak Çarpanlara Ayýrma ( + y) = + y + y ( y) = y + y Özdeþliklerinin sað taraflarýna benzeyen üç terimliler, özdeþliðin sol tarafý gibi, tamkare olarak yazýlabilirler. Örnek Aþaðýdaki çarpanlarýna ayýrma iþlemlerini inceleyiniz. a = +. (). (5) + (5) = ( + 5) b. a 4ab + 4b = a. a. (b) + (b) = (a b) c. 9y 4 y + 4 = (y ).(y ). + = (y ) Raunt 9

30 POLİNOMLAR d. y + 8y + 6 = (y) +.(y) = (y + 4) e. n + n y n + y n = ( n ) +.( n ). (y n ) + (y n ) = ( n + y n ) f. a a + = a = (a. a.( ) ) + ( ) g a + 9a = (4) +.(4).(a) + (a) = (4 + a) h. 0,6. + 0,09 =.. (0,) + (0,) = ( 0,) Ýki Kare Farký Özdeþliðinden Faydalanarak Çarpanlarýna Ayýrma a b = (a b). (a + b) özdeþliðinin çarpanlarýna ayýrma iþleminde nasýl kullanýldýðýný, aþaðýdaki örneklerde inceleyiniz. Örnek a. 9 = = ( ). ( + ) b. a 4 6 = (a ) 4 = (a 4). (a + 4) = (a ). (a + 4) = (a ). (a + ). (a +4) c. ( + ) 4.( + ) = ( + ) [.( + )] = [( + ).( + )]. [(+) +.( + )] = ( + 6). ( ) = ( 5). (5 + 7) d. 4 y = (y ) ( ) = (y ).(y + ) e. 4 4 = = f = (59 409). ( ) = = Raunt

31 Matematik-0 Ünite-7 Ýki Küp Farký ve Ýki Küp Toplamý Özdeþliklerinden Faydalanarak Çarpanlarýna Ayýrma a b, a + b biçimindeki iki terimlileri, özdeþliklerden faydalanarak çarpanlarýna ayýrabiliriz. a b = (a b). (a + ab + b ) a + b = (a + b). (a ab + b ) özdeþliklerinin çarpanlarýna ayýrma iþleminde nasýl kullanýldýðýný, aþaðýdaki örneklerde inceleyiniz. Örnek a. + = + = ( + ). ( + ) b. a 6 7 = (a ) = (a ). [(a ) + a. + ] = (a ). (a 4 + a + 9) c. + 5 = = ( + + ( 5) 5).( ) d. 64a (a ) = (4a) (a ) = [4a (a )]. [(4a) + (4a). (a ) + (a ) ] = (4a a + ). (6a + 8a 4a + 4a 4a + ) = (a + ). (8a 8a + ) e. 6 + y 6 = ( ) + (y ) = ( + y ). ( 4 y + y 4 ) + b + c Biçimindeki Ýkinci Dereceden Üç Terimlinin Çarpanlarýna Ayrýlmasý + b + c = ( + m). ( + n) biçiminde çarpanlarýna ayrýlmýþ olsun. Eþitliðin sað tarafýný düzenleyip polinomlarýn eþitliðini kullanýrsak; + b + c = + n. + m. + m.n + b + c = + (n + m) + (n. m) n + m = b n. m = c elde edilir. O hâlde, + b + c biçiminde baþ katsayýsý olan ikinci dereceden üç terimlileri çarpanlara ayýrmak için toplamlarý b, çarpýmlarý c olan m ve n gerçek (reel) sayýlarý aranýr. Böyle m ve n sayýlarý bulunursa; + b + c = ( + m). ( + n) biçiminde çarpanlarýna ayrýlýr. Eðer, b 4ac < 0 ise bu üç terimli çarpanlara ayrýlamaz. Raunt

32 POLİNOMLAR a + b + c Biçimindeki Ýkinci Dereceden Üç Terimlilerin Çarpanlarýna Ayrýlmasý a + b + c biçimindeki polinomlar b 4.a.c < 0 ise, çarpanlarýna ayrýlamaz. b 4ac 0 ise, çarpanlarýna ayrýlýr. Bu nedenle, önce b 4ac nin kontrol edilmesi faydalý olur. a + b + c ifadesini çarpanlarýna ayýrmak için a ve c nin çarpanlarýndan faydalanýlýr. Çarpýmlarý a olan iki sayý m ve n, çarpýmlarý c olan iki sayý p ve q olsun. a c m p n q Eðer m.q + n.p = b oluyorsa; a + b + c = (m + p). (n + q) biçiminde çarpanlarýna ayrýlýr. m, n, p, q sayýlarý, m.q + n.p = b olacak biçimde a ve c nin çarpanlarý olan sayýlardan aranýr. Örnek ifadesini çarpanlarý nedir? Çözüm = ( + ) ( + 5) + +5 Örnek 0 4 7y + 5y ifadesini çarpanları nedir? Çözüm 0 4 7y + 5y = ( y) (4 5y) y 4 5y Örnek a. = ( ). (4 + ) dir. b. 5a 6a + 5 = (5a ). (a 5) tir. c. 6a + 7a = (6a ). (a + ) tür. Örnek Aþaðýdaki çarpanlara ayýrma iþlemlerini inceleyiniz. a = + ( + ). +. = ( + ). ( + ) b = + ( 5 ). + ( 5).( ) = ( + ( 5)). ( + ( )) = ( 5). ( ) c. a 5a 6 = a + ( 6 + ). a + ( 6). = (a + ( 6)). (a + ) = (a 6). (a + ) d ifadesinde b 4ac = ( 5) 4..9 = 5 6 = < 0 olduðundan, bu ifade çarpanlara ayrýlamaz. Raunt

33 Matematik-0 Ünite-7 Örnek Aþaðýdaki ifadeleri çarpanlarýna ayýrýnýz. a) b) c) 6 d) 8 Çözüm a) ( + ) ( + ) b) ( ) ( 5) c) ( ) ( + ) d) ( 4) ( + ) e) ( ) ( ) f) ( + ) ( + ) g) (n ) (m + ) e) f) g) mn + (n m) Terim Ekleyip Çýkararak Çarpanlara Ayýrma Bazý üç terimlilere uygun bir ifadeyi ekleyip çýkararak iki kare farkýna dönüþebilen bir polinom elde edilebilir. Örnek ifadesinin çarpanlarý nedir? Çözüm = = ( + ) = ( + + ) ( + ) Raunt

34 POLİNOMLAR Örnek Çözüm 4 + 4y 4 ifadesinin çarpanları nedir? 4 + 4y y 4 y = ( + y ) 4 y = ( + y ) (y) = ( + y y) ( + y + y) Örnek 4 Aþaðýdaki ifadeleri çarpanlarýna ayýrýnýz. a) b) m 4 m + c) a 4 5a + 9 Çözüm 4 a) = ( + 8) (4) = ( + 8 4) ( ) b) m 4 m + + m m = m 4 m + m = (m ) m = (m m) (m + m) c) a 4 5a a 9a = a 4 6a + 9 9a = (a ) (a) = (a a) (a + a) 4 Raunt

35 Sınav Kodu: M0084 Matematik-0 Ünite-7 Konu Testi 6. a b = 5 a. b = 4 olduðuna göre, 9a + 4b ifadesinin deðeri kaçtýr? 4.. y = y = 5 olduðuna göre, 4 + y 4 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 7 B) 7 C) 70 D) 68 E) 66 A) 6 B) 8 C) 40 D) 4 E) y = 5 z y = olduðuna göre, z + z y zy ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 6 B) 4 C) D) 0 E) = olduðuna göre, ifadesinin deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) y = 4y olduðuna göre, oraný kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 4 Raunt 5

36 Sınav Kodu: M0085 POLİNOMLAR Konu Testi. Ýki sayýnýn toplamý 7, kareleri toplamý olduðuna göre, bu iki sayýnýn çarpýmý kaçtýr? A) 8 B) 9 C) D) E) 4. a + b = 6. y = 4 y y = olduðuna göre, y nin pozitif deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) 4 7 a. b = 6 olduðuna göre, a + b ifadesinin deðeri kaçtýr? 7. a. b = a + 6b = 4 A) 4 B) C) 0 D) E) 4 olduðuna göre, 9a + 6b ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 96 B) 88 C) 76 D) 6 E) 5. = a olduðuna göre, 4 + ifadesinin a cinsinden eþiti aþaðýdakilerden A) a B) a + C) 4a D) 4a E) 4a y = 6 y + y = olduðuna göre, + y toplamýnýn pozitif deðeri kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) y z = y z + yz = 7 olduðuna göre, kaçtýr? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) y = 8 y + y = 6 olduðuna göre,.y çarpýmý kaçtýr? 5 A) B) C) D) 7 E) 5. a = olduðuna göre, a a a ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? A) B) 8 C) D) E) 6 0. = y 4 = y 6 olduðuna göre, + y kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 6 Raunt

37 Matematik-0 Ünite-7. + y = 4. y = olduðuna göre, 4 y 4 ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr? 5. a ve b doğal sayılardır. a b = 7 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 9 B) 6 C) D) 5 E) 6 A) 48 B) 48 C) 96 D) 96 E) 00. a + a b = 9 b + ab = 8 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 6. a b = 4 ve a.b = 6 5 olduğuna göre, 9a + 4b toplamı kaçtır? A) 4 B) C) 6 D) 8 E) 4. = 666 ve y = 444 olduğuna göre, = 0 ( y) + 4y ( + y) 4y ifadesinin sonucu kaç- olduğuna göre, tır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 4 E) 49 A) 5 B) 6 C) 5 D) 6 E) 4. m m = 4 4 olduğuna göre, m + nin değeri kaçtır? m A) 4 B) C) 6 D) 0 E) 5 8. y y = 4 olduðuna göre y + y ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) Raunt 7

38 Sınav Kodu: M0086 POLİNOMLAR Konu Testi 8. P() = ( ) 4 4( ) + 6( ) polinomunun A) 6 B) 8 5 = için deðeri kaçtýr? C) 4 D) E) y = 4 + y = 5 olduðuna göre,. y çarpýmý kaçtýr? 4 A) B) C) D) 5 E) 5. ( ) 8( ) + ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden A) 4 B) C) + D) E). P(, y) = + y 4y polinomunun alabileceði en küçük deðer kaçtýr? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden A) + B) + C) + D) E). + y =. y = olduðuna göre, + y toplamý kaçtýr? ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden A) 5 B) 4 C) D) E) A) 4 B) + C) + + D) 4 E) Raunt

39 Sınav Kodu: M0087 Matematik-0 Ünite-7 Konu Testi 9. Aþaðýdakilerden hangisi (5 + + ). ( 9) ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir? A) 5 + B) + C) D) + E) + 6. (y ) (y ) ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden A) + B) y C) + D) y E). Bir sayının karesi ile katı toplanıyor ve sonuç 0 çıkıyor. Bu sayının karesi aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) 9 C) 5 D) 6 E) ve y birer reel sayý olmak üzere, + y 4 + 6y + 9 ifadesinin alabileceði en küçük deðer kaçtýr?. ( y ) ( + y + ) A) 7 B) 4 C) 6 D) 0 E) 9 ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden A) B) y + C) y D) y E) y 8. y my y + my 4. Aþaðýdaki ifadelerden hangisinin bir çarpaný ( + ) deðildir? A) + B) + 8 C) 4 + D) E) 4 + ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden A) m B) y + m C) + m D) + y E) y m 5. a(b + ) b(a + ) ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdakilerden A) (a + b) ( ab) B) (a b) (ab ) C) (a b) (ab + ) D) (a b) ( ab) E) (a + b) ( + ab) (m + 6n) + mn ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden A) + n B) m + n C) + n D) + m E) + n Raunt 9

40 POLİNOMLAR (a b ) 4a ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi aþaðýdaki-lerden A) (4a 4b ). (4a + 4b ) B) 6(a b ). (a + b + ) C) 4(a b ). (a b + ) D) 6(a b ) (a b + ) E) (4a 4b ). (4a 4b + ) 5. a ve b iki doðal sayýdýr. a b = 4 olduðuna göre, a. b çarpýmýnýn en büyük deðeri kaçtýr? A) B) 7 C) 0 D) 5 E) 4. (a b + c) (a + b c) ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden A) a B) b C) c D) a + b + c E) a + b + c 6. a b = 5 y = olduðuna göre, a ay b + by ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) 0. + y 6 + 4y + = 0 denklemini saðlayan ve y deðerlerinin çarpýmý kaçtýr? A) 6 B) C) D) E) = 0 olduðuna göre, + ifadesinin deðeri kaç olabilir? 7. (a b) (b c) (b a) (c b) ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden A) (a b) (b c) (a c) B) (a b) (b + c) (a c) C) (a + b) (b c) (a c) D) (a + b) (b + c) (a c) E) (a + b) (b + c) (a + c) A) B) C) D) E) 6 4. ( ) 4( ) 5 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden A) + B) + C) D) 5 E) 4 8. y = 7. y = olduðuna göre, 6 + y 6 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 8 B) C) 65 D) 96 E) 9 40 Raunt

41 Matematik-0 Ünite-7 Polinom ve Rasyonel Denklemlerin Çözüm Kümeleri P() ve Q() birer polinom ve Q() 0 olmak üzere, Rasyonel ifadeler çok deðiþkenli olabilir. P() Q() ifadesine rasyonel ifade denir. P(, y) Q(, y) ifadesi iki deðiþkenli; P(, y, z) Q(, y, z) ifadesi, üç deðiþkenli birer rasyonel ifadedir. Ayný biçimde, P() P(, y) P(, y),, Q(, y) Q() Q(y), P() Q(y) ifadeleri de birer rasyonel ifadedir. Rasyonel ifadelerde toplama, çýkarma, çarpma, bölme, sadeleþtirme, geniþletme iþlemleri, reel sayýlardaki iþlemler gibi yapýlýr. Rasyonel Ýfadelerin Sadeleþtirilmesi ve Geniþletilmesi P(), Q() ve R() birer polinom olsun. P() P().R() ve Q() Q().R() P() P().R() = Q() Q().R() rasyonel ifadeleri birbirine denktir. Yani, tir. Burada, P() Q() rasyonel ifadesine P().R() Q().R() rasyonel ifadesinin sadeleþmiþ (kýsaltýlmýþ) biçimi, rasyonel ifadesine de rasyonel ifadesinin geniþletilmiþ biçimi denir. Ýþlemlerin tanýmlý olmasý için Q() 0 ve R() 0 olmasý gerektiðine dikkat ediniz. Örnek 5 rasyonel ifadesi nedir? Çözüm 5 + = ( )( ) 4 + = ( ) ( ) ( )( ) = ( )( ) Raunt 4

42 POLİNOMLAR Rasyonel Ýfadelerin Toplamý ve Farký A() P() ve B() Q() birer rasyonel ifade olmak üzere; A() B() + P() Q() = A(). Q() + P().B() B(). Q() A() B() P() Q() = A().Q() P().B() B().Q() tir. Rasyonel ifadeleri toplarken aþaðýdaki sýra izlenebilir.. Rasyonel ifadelerin pay ve paydalarý çarpanlarýna ayrýlýr.. Pay ve payda arasýnda varsa sadeleþtirmeler yapýlýr.. Rasyonel ifadelerin paydalarýndaki polinomlarýn EKOK u bulunur. 4. Paydalarý eþit olan rasyonel ifadelerin paylarý toplanýp paya, ortak payda da paydaya yazýlýr. Rasyonel ifadelerde çýkarma iþleminde de ayný sýra izlenir. Örnek 6 4 iþlemini sonucu nedir? Çözüm 6 ( )( + ) ( 4)( + ) ( 4) ( ) 4 + = ( )( + )( 4) ( )( + )( 4) Rasyonel Ýfadelerin Çarpýmý ve Bölümü A() P() ve B() Q() birer rasyonel ifade olmak üzere, A() P() A(). P(). = B() Q() B(). Q() A() : B() P() Q() = A() Q(). B() P() = A().Q() B().P() tir. Rasyonel ifadeleri çarparken aþaðýdaki sýra izlenebilir.. Rasyonel ifadelerin pay ve paydalarý çarpanlarýna ayrýlýr.. Pay ve payda arasýnda varsa, sadeleþtirmeler yapýlýr.. Paylarýn çarpýmý pay, paydalarýn çarpýmý payda olarak yazýlýr. 4. Yapýlabilen sadeleþtirmeler yapýlýr. Ýki rasyonel ifadeyi bölerken, birinci rasyonel ifade aynen býrakýlýr, ikinci rasyonel ifade ters çevrilerek, birinci rasyonel ifade ile çarpýlýr. 4 Raunt

43 Matematik-0 Ünite-7 Örnek ifadesinin sonucu nedir? + Çözüm 7 ( + )( + ) ( )( ). ( + )( ) ( )( + ) + = + Aþaðýdaki rasyonel ifadeleri sadeleþtiriniz. a. b. Örnek : Çözüm 8 ( )( ) ( 5)( + ) a. + = = = ( )( ) ( )( + ) ( + )( 5) ( 5 )( 5+ ) b. : ( )( + ) ( ) ( + )( 5).( ) =. = ( )( + ) ( 5 )( 5+ ) 5 + c = c. ( )( ) 500.( ) = = Rasyonel Ýfadenin Basit Kesirlerin Toplamı Olarak Yazılması a, b, c, A, B R; n N + ve a + b + c indirgenemez polinom olmak üzere, A + B biçimindeki rasyonel kesirlere basit kesir denir. n ( a + b + c) A (a + n b) ve a + b + c polinomunda b 4ac < 0 ise polinom indirgenmez (çarpanlarýna ayrýlamaz) olduðunu biliyorsunuz. b 4ac 0 ise, bu ifade birinci dereceden iki çarpanýn çarpýmý olarak yazýlabilir. Bu tanýma göre, 5, ( + ), 4 +, rasyonel kesirleri birer basit kesirdir. Payýnýn derecesi paydasýnýn derecesinden küçük olan reel katsayýlý bir deðiþkenli her rasyonel ifade basit kesirlerin toplamý olarak bir türlü yazýlabilir. Rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamý olarak yazmak ilerideki konularda bir çok zorluðu ortadan kaldýracaktýr. P() rasyonel ifadesini basit kesirlere ayýrmak için þu yolu izleyiniz: Q() P() polinomunun derecesi Q() in derecesinden daha büyük veya eþitse önce P() i Q() e bölüp bölüm kýsmýný ayýrýnýz. Raunt 4

44 POLİNOMLAR P() Q() B() K() Bu bölme iþlemine göre, P() Q() K() = B() + yazýlabilir. Q() Bu eþitlikte K() in derecesi Q() in derecesinden küçüktür. Q() çarpanlarýna ayýrýlýr. Her bir çarpan bir kesrin paydasý olacak biçimde basit kesirlerin toplamý olarak yazýlýr. Eðer, der (P()) < der (Q()) ise bölme iþlemi yapýlmadan iþleme devam edilir. Aþaðýdaki bazý rasyonel ifadelerin, basit kesirlerin toplamý olarak nasýl yazýldýklarýna dikkat ediniz. K() (a+ b).(c + d) A B = + a+ b c + d K() (a+ b).(c + d) = A B + a+ b (a+ b) C + c + d K() (a+ b).(c + d+ e) A B + C = + a+ b c + d+ e Bunlara benzer özdeþlikler yazýlarak; A, B, C,. katsayýlarý bulunur. Örnek 5 + kesrini basit kesirlerin toplamý olarak yazmaya çalışalım. + = ( + 4)( ) tür. Payýn derecesi paydanýn derecesinden küçük olduðundan bölme iþlemi yapmadan basit kesirlerin toplamý olarak yazabiliriz. 5 5 = = + ( + 4). ( ) A B olur. Eþitliðin sað tarafýnda paydalarý eþitlersek; 5 A.( ) + B.( + 4) = ( + 4)( ) ( + 4)( ) elde edilir.bu eþitlikte paydalar eþit olduðundan paylar da eþittir. 5 = A. ( ) + B. ( + 4) olur. Bu eþitliðin sað tarafýný in kuvvetlerine göre düzenlersek; 5 = (A + B). + ( A + 4B) olur. 44 Raunt

45 Matematik-0 Ünite-7 Polinomlarýn eþitliðinden ayný dereceli terimlerin katsayýlarýný eþitleyerek A ve B yi bulalým. A + B = 5 A + 4B = A = bulunur. B = Buna göre, 5 = olur. Örnek 9 Çözüm 9 Aþaðýdaki rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamý biçimi nedir? a) 7 = ( 5)( + ) A B a) = b) = ( + )( ) 7 = A.( + ) + B( 5) = 8 = 6B = B = 5 = 6.A = A b) 7 = ( 5)( + ) + 6 = ( + )( ) A B = A( ) + B( + ) = 7 = B 7 = B = 5 = A 5 = A + 6 = ( + )( ) Raunt 45

46 Sınav Kodu: M0088 POLİNOMLAR Konu Testi 0 9. : 4 ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden A) B) + C) D) 4 E) 4. y + y + y : y y + y ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden A) B) C) D) E) ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden A) + 4 D) + B) E) + C) ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden A) B) + C) ( + ) D) (+) E) ( ). y + y + y. y + ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden A) + y B) C) D) E) ifadesinin en sade biçimi aþadakilerden A) B) + C) D) E) 46 Raunt

47 Matematik-0 Ünite iþleminin sonucu kaçtýr? A) B) C) 4 D) 5 E) m ifadesi sadeleþebilir bir rasyonel kesir olduðuna göre, m reel sayýsýnýn alabileceði deðerlerin çarpýmý kaçtýr? A) 4 B) C) D) E) y = y olduðuna göre, kaçtýr? 5 A) B) y y ifadesinin deðeri C) D) 4 E) 5. a b = olduðuna göre, a b a + b a b + 4b 4 ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 4 B) C) D) E) : ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden A) B) + C) D) E) +. a + K M a = + 5a + 4 a a 4 olduðuna göre, K + M toplamý kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Raunt 47

48 Sınav Kodu: M0089 POLİNOMLAR Konu Testi ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden A) B) + C) + 8 D) E) : 6 ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden A) B) 4 C) ( + ). ( ).( + ) D) E) ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden A) B) + C) + D) E) 6. y. y ( + y) ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden A) y B) y C) y D) y + y E). ( + ) +.( + ) ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden A) B) C) ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden D) E) 4. y + y y y y y y A) B) ( + ) C) + D) E) ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden m ( ).( + 4) A) y B) y C) D) y y E) + y y ifadesi sadeleþebilen bir kesir olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? A) 47 B) 64 C) 79 D) 80 E) 8 48 Raunt

49 Matematik-0 Ünite-7 9. > : H.( + ) + + ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden A) + B) + D) + E) ( + ) C) 4. 4 a a + a + a ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden a + A) B) C) a D) a E) a a + 8 = b olduðuna göre, a + b kaçtýr? A) 7 B) C) D) 8 E) 5. : + + ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) + B) + + C) + 4a + ab b a + b. a b = 5 olduðuna göre, a. (a 4) kaçtýr? A) 5 B) 4 C) 4 D) 5 E) 8 D) + E) = 6. ( a+ b c) ( a b c) a b+ bc abc ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden eþitliðine göre, kaçtýr? A) B) C) 8 D) 7 E) 64 A) 8 a c b D) 4.( c a) 4 B) ( a c) b E) 4c a b C) ( a b ) abc ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden + A) + D) + B) + + E) + + C) a b 7a 6ab+ b ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) a b B) a b C) a b a+ b D) a b a+ b E) a b Raunt 49

50 Sınav Kodu: M0090 POLİNOMLAR Konu Testi. a olmak üzere, a + 5 = 6 a olduğuna göre, a+ a kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4. y y : y y y ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden A) B) y C) y D) E) y. + m 4 ifadesi sadeleþtirilebilir kesir olduðuna göre, m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr? A) 8 B) 6 C) 8 D) 0 E) A = + + B olduðuna göre, + A + B ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðdakilerden A) B) + 4 C) D) + E). y a + = + ay olduðuna göre, a nýn ve y cinsinden ifadesi aþaðýdakilerden A) + y D) y B) y E) ( y + C) ) y 6. + = 8 9 olduğuna göre, ( ) + işleminin sonucu ( ) kaçtır? A) 0 B) 4 C) 8 D) 46 E) 5 50 Raunt

51 Matematik-0 Ünite : ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden 0. b + a b ifadesinin rasyonel katsayılı çarpanlarının toplamı aşağıdakilerden A) a B) a C) a + b D) b E) b A) B) C) + D) + E) 8. ( + ) ( 4 + ) ( 8 + ) = olduğuna göre, 6 nın türünden değeri aşağıdakilerden A) 4 B) 8 C) 4 + D) 8 + E) ifadesinin eşiti kaçtır? A) 004 B) 4008 C) 8008 D) 806 E) iþleminin sonucu aþaðýdakilerden + A) B) + + D) E) + + C) +. a by + b ay = a + b = olduðuna göre, y + y ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 48 B) 9 C) 6 D) 8 E) 5 Raunt 5

52 POLİNOMLAR a + b + 4 = + olduðuna göre, a + b kaçtýr? A) B) C) D) E) m + + n kesrinin sadeleþtirilmiþ biçimi göre, m + n kaçtýr? olduðuna A) 5 B) 7 C) D) 5 E) n + +. n n n + iþleminin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden A) B) + C) D) E) 7. + y y y. y + y y + 6 ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden + y A) D) B) + 4 E) y C) 5. a + = 6 b + = 8 olduðuna göre, kaçtýr? A) B) C) D) E) 8. : ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) B) C) D) E) Raunt

53 Sınav Kodu: M009 Matematik-0 Ünite-7 Konu Testi işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin basit kesirlere ayrýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden A) B) C) A) + B) D) 7 E) C) E) + D) iþleminin sonucu aþaðýdakilerden A) a + B) a + C) a + D) a E) a 5. + = 4 olduğuna göre, f4 + p ifadesinin değeri kaçtır? A) 8 B) C) 4 D) 6 E) 0. 5 = 4y olduðuna göre, ( 4y) 0y ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 5 B) 5 C) 0 D) 5 E) sayısı aşağıdakilerden hangisine tam olarak bölünemez? A) B) 5 C) D) 5 E) 57 Raunt 5

54 POLİNOMLAR : + ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden A) B) + C) D) + E) A B = olduðuna göre, A + B toplamý kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) y = 4 y + y = 09 olduğuna göre, kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) : 4 ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden A) + B) C) D) E) y z = 0 olduðuna göre, ( y) z (y z). a b a b a b a b ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden ifadesinin deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) a+ b A) a b ab D) a + b B) a b ab C) a + b ab E) a + b 54 Raunt

55 Matematik-0 Ünite-7. ( ) + P() = ( + )( + ) Q() = P() olduðuna göre, Q() hangisine eþittir? ifadesi aþaðýdakilerden y y + 4y ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden A) + y + B) + y C) + y D) y E) + y + ( ) A) + ( + ) B) C) D) + E) 4. a + b a b a b + a b 7. a b b a a b + +. b a a ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden A) a B) a C) b D) b E) ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden ab a b a b A) B) C) a a a + b a b a b D) E) a a y 4 + 8y + 6 ifadesinin en küçük deðeri için. y çarpımı kaçtýr? A) B) C) D) E) 8 Raunt 55

56 POLİNOMLAR NOT : Raunt