DÜCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 00-0 Güz Yar y l D IFERANS IYEL DENKLEMLER I ARA SINAV 9 Kas m 00 Süre: 90 akika CEVAP ANAHTARI. (0p) y e x (x + 9) fonksiyonunun y 0 y e x iferansiyel enkleminin bir x x çözümü olu¼gunu gösteriniz. Çözüm: y e x (x + 9) fonksiyonu verilen enklemi sa¼glar ise ancak o zaman bir çözümü olur. O hale, x ex (x + 00) ve y x ex (x + ) e x (x + 0x 000 x 99) e x ir. Böylece, y e x (x + 9) verilen iferansiyel enklemin bir çözümüür.. (5p) x x + xy 9x6 y ; y () başlang ç-e¼ger problemini çözünüz. Çözüm: Öncelikle verilen iferansiyel enklemin her iki taraf n x ye bölelim: x + x y 9x4 y Buraa n olu¼gu için bu enklem Bernoulli ir. Şimi ise enklemin her iki taraf n y e bölelim y x + x y 9x 4 ve v y n önüşümünü kullanal m. Yani v y ( ) y ir. Buraan türev al n rsa v x y x ele eilir. O hale v x + x v 9x4 v x + x v 08x4 lineer iferansiyel enklem ele eilir. Buraa P (x) ve Q (x) x 08x4 integral çarpan (x) e R P (x)x e R x x x v x x + x v 08x 6 tam iferansiyel enklem olur. Buraan, x x v 08x 6 ) x v 08x 6 x ür. Bu enklemin
yaz larak integral al n rsa x v 08 7 x7 + c (xy) 08 7 x7 + c bulunur. y () başlang ç koşulu kullan larak + 08 7 c ) c 5 7 ele eilir. Dolay s yla verilen başlang ç e¼ger probleminin tam çözümü veya olarak bulunur. (xy) 08 7 x7 + 5 7 7 (xy) 08x 7 + 5 3. (5p) x + ex 3y + e x y 0 iferansiyel enkleminin genel çözümünü bulunuz. Çözüm: Verilen enklem Riccati tipine bir iferansiyel enklemir. y e x bu enklemin bir özel çözümüür. O hale, y e x + u ) x u ex u x önüşümü verilen enklemi lineer iferansiyel enkleme önüştürür. Buraan, e x u u x + ex 3 e x + + e x e x + 0 u u e x u u x + ex 3e x 3 u + ex + u + e x u 0 u u x u + e x u 0 ) u x + u e x enklemi ele eilir. Bu son enklemin integral çarpan (u) e R x e x e x u x + uex ) x (uex ) ) (ue x ) x ) ue x x + c ir. verilen iferansiyel enklemin genel çözümüür. y e x + u ) y ex u ) u y e x e x y e x x + c ) ex (y e x ) (x + c) 4. (5p) (y 9 ( x ) + y) x (9xy 8 ) 0 iferansiyel enkleminin genel çözümünü bulunuz.
3 Çözüm: Öncelikle, @M @y 9y8 ( x ) + 6 9y 8 @N @x olu¼gunan verilen enklem tam e¼gilir. Buraan, @M @N 9y 8 ( N @y @x 9xy 8 + x ) + + 9y 8 bu enklemin integral çarpan r. O hale tam r. Bu uruma, veya yaz labilir. Son enlemin integrali al n rsa verilen iferansiyel enklemin genel çözümüür. 9xy 8 9y 8 + + 9y 8 9xy 8 + 9xy 8 + x 0 (x) 9xy 8 + (x) e R x e x e x y 9 ( x ) + y x + e x 9xy 8 + 0 y 9 e x (x + ) x + ye x x 9xe x y 8 + e x 0 y 9 xe x + (e x y) (c) xe x y 9 + e x y c ) e x xy 9 c 5. (5p) (x + 9y + ) x + (9x + y + 9) 0; y () başlang ç-e¼ger problemini çözünüz. Çözüm: Buraa, a ; b 9; c ; a 9; b ve c 9 ur ve a a 9 6 9 b b olu¼gunan x X + h ve y Y + k önüşümleri kullan lmal r. h + 9k 9h + k 9 ) h k 0 O hale x X y Y ir. Bu önüşümler verilen enkleme yerine konulursa ( (X ) + 9Y + ) X + (9 (X ) + Y + 9) Y 0 (X + 9Y + ) X + (9X 9 + Y + 9) Y 0 (X + 9Y ) X + (9X + Y ) Y 0
4 ele eilir. Dikkat eilirse son enklem tam r. Çünkü, yaz larak her iki taraf n integrali al n rsa ele eilir. Şimi X x + ve Y y yaz l rsa, @M @y 9 @N @x XX + 9Y X + 9XY + Y Y 0 X + (9XY ) + Y (c) X + 9XY + Y c (x + ) + 9 (x + ) y + y c verilen iferansiyel enklemin genel çözümüür. y () başlang ç koşulu kullan larak bulunur. Dolay s yla, + 8 + c ) c 9 (x + ) + 9 (x + ) y + y 9 (x + ) + 8 (x + ) y + y 9 verilen başlang ç e¼ger probleminin tam çözümüür. 6. (5p) (9x + y + 00) x+(9x + y + 00) 0 iferansiyel enkleminin genel çözümünü bulunuz. Çözüm: Buraa, a b 9; a b ve c c 00 ur. a a 9 b b z 9x + y ) z 9x + ) z 9x önüşümü verilen iferansiyel enklemi ayr labilir iferansiyel enkleme önüştürür. O hale, z 9x (z + 00) x + (z + 00) 0 z + 00 z 9z 400 8090 x + x + (z 400) x + (z + 00) z 0 ) x + z + 00 z + 00 x + z 0 z 0 z + 00 z 400 z + 400 z c ) x + (z + 400 ln jz z 00 00j) c (c)
5 x + z + 00 ln jz 00j c ) x + z + ln (z 00)00 c x + 9x + y verilen iferansiyel enklemin genel çözümüür. + ln (9x + y 00) 00 c (x + y) + ln (9x + y 00) 400 c 7. (5p) 9x + y c elipsler ailesinin ik yörüngeler ailesini bulunuz. Çözüm: i-) Verilen enklemin her iki taraf n n x e göre türevini alal m ve c sabitini yok eelim: x 9x + y x c ) 8x + y x 0 y x ii-) Bulu¼gumuz enleme f (x; y) ile 8x ) x 9 x y f (x; y) f (x; y) 9 x y f (x; y) nin yerlerini e¼giştirelim: 9 iii-) Son olarak elee etti¼gimiz iferansiyel enklemi çözelim: x y x 9 x ) 9 y x 9 ln jyj ln jxj + ln k ) ln jyj 9 ln jxj + ln k ) y kx 9 y x Yr.Doç.Dr. Y l r m ÖDEM IR