INM 308 Zemin Mekaniği

Hafta_3 INM 308 Zemin Mekaniği Zeminlerde Kayma Direnci Kavramı, Yenilme Teorileri Doç.Dr. İnan KESKİN inankeskin@karabuk.edu.tr, inankeskin@gmail.com www.inankeskin.com

ZEMİN MEKANİĞİ Haftalık Konular Hafta 1: Hafta 2: Hafta 3: Hafta 4: Hafta 5: Hafta 6: Hafta 7: Hafta 8: Hafta 9: Zemin Etütleri Amacı ve Genel Bilgiler Kil Minarelleri ve Zemin Yapısı Zeminlerde Kayma Direnci Kavramı, Yenilme Teorileri Zeminlerde Kayma Direncinin Ölçümü; Serbest Basınç Deneyi, Kesme Kutusu Deneyi, Üç Eksenli Basınç Deneyi, Vane Kanatlı sonda Deneyi Zeminlerde Kayma Direncinin Belirlenmesine Yönelik Deneyler; Laboratuvar Uygulaması Zeminlerde Kayma Direncinin Belirlenmesine Yönelik Problem Çözümleri Yanal Zemin Basınçları Yanal Zemin Basınçları; Uygulamalar Yamaç ve Şevlerin Stabilitesi; Temel Kavramlar Hafta 10: Yamaç ve Şevlerin Stabilitesi Örnek Problemler Hafta 11: Zeminlerin Taşıma Gücü; Sığ Temeller Hafta 12: Zeminlerin Taşıma Gücü; Kazıklı Temeller Hafta 13: Zemin Özelliklerinin İyileştirilmesi Hafta 14: Genel Zemin Mekaniği Problem Çözümleri Hafta 15: Final Sınavı

ZEMİN KÜTLELERİNDE BİRLEŞİK GERİLMELER Bir cisim veya kütle bir dış yüklemeye maruz kaldığında bu cisim veya kütlenin içinde farklı noktalarda çeşitli normal veya kesme iç gerilmeleri oluşur. Bir gerilme analizi yapılırken bir noktadaki gerilmeleri analiz etmek için mekanik mühendislik metotlarının kullanılması gerekir. Bu analizlerle ilgili noktadan geçen her düzleme etkiyen gerilmeler belirlenebilir. Zemin birikintisi Analiz edilen nokta Yüzeye uygulanan yükleme zemin içerisinde gerilmelere neden olur. İlgili noktadan geçen çeşitli düzleme etkiyen normal ve kesme gerilmelerinin kombinasyonları

ZEMİN KÜTLELERİNDE BİRLEŞİK GERİLMELER Şekilde F 1, F 2, F 3...F n kuvvetleri etkisi altında kalmış zemin kütlesi gösterilmiştir. O noktasında sonsuz sayıda düzlem geçebilir. Genel olarak bu düzlemlerin her biri üzerinde normal gerilmeler kayma gerilmeleri mevcut olacaktır. Ancak kayma gerilmelerin sıfır olduğu sadece normal gerilmelerin etkidiği gerilmeler asal gerilme olarak tariflenmektedir. Asal gerilmeleri şiddetlerine göre en büyük asal gerilme ( 1 ), ortanca asal gerilme ( 2 ) ve en küçük asal gerilme ( 3 ) olarak bilinmektedir. F 1 F 2 1 O F 3 3 3 F 5 α 1 F 4

ZEMİN KÜTLELERİNDE BİRLEŞİK GERİLMELER Zeminle ilgili çeşitli problemlerin çözümünde zemin kayma direnci ile ilgili bilgilere gereksinim duyulur. Zemin ortamı yüklendiği zaman zemin kitlesinde gerilmeler oluşur. Zeminlerde göçme meydana gelmesi için olası bir kayma düzlemi boyunca kayma mukavemetinin aşılması gerekir. Genel olarak göçme, belli bir kayma düzlemi üzerine etkiyen normal ve kayma gerilmelerinin ortaklaşa etkisi sonucu ortaya çıkmaktadır. Zeminin kayma direnci-mukavemeti, göçme oluşmadan karşı koyabileceği en büyük kayma gerilmesi olarak tanımlanabilir. Başka bir ifade ile göçme düzlemi boyunca kaymaya karşı gösterilen dirençtir. τ τ f Göçme-Kayma yüzeyi boyunca oluşan kayma gerilmeleri (τ) Göçme anında kayma mukavemeti değerine τ f ulaşır.

BİR NOKTADA GERİLME; Analitik Gelişme Toprak set Temel topuğu Yenilme yüzeyi mobilised shear resistance Yenilme anında yenilme yüzeyi boyunca meydana gelen kayma gerilmesi kayma dayanımına ulaşır. Genel olarak bir zeminin kayma direnci aşağıdaki bileşenlerden oluşmaktadır. 1. Tanelerin oluşturduğu yapının kesme deformasyonuna karşı gösterdiği direnç 2. Tanelerin (kum, çakıl) temas noktaları veya temas alanlarında oluşan sürtünme kuvvetleri 3. Zemin taneleri (kil) arasındaki çekme veya yapışma (kohezyon) kuvvetleri

BİR NOKTADA GERİLME; Analitik Gelişme Sürtünme Kavramı Yüzeyler arasındaki pürüzlülük arttıkça sürtünme direnci artacaktır. Cismin ağırlığı arttıkça sürtünme direnci artacaktır. Sürtünme Katsayısı Cismin harekete başladığı anda α=ɸ olacaktır FF = μμ. NN = tttttttt NN

BİR NOKTADA GERİLME; Analitik Gelişme Yatayda θ açısı yapan bir düzlem üzerinde etkiyen kuvvetlerin bileşkesini bu düzleme dik (normal) ve paralel (kayma) iki bileşene ayırabiliriz. Eğer AC uzunluğu birim uzunluk olarak kabul edilir ise düzlem üzerindeki normal ve kayma gerilmelerine ayrılmış hali şekildeki gibi olur. z = WW AAAAAAAA θ θ z n = z ccooooθ θ θ z

BİR NOKTADA GERİLME; Analitik Gelişme n ve τ n i 1 ve 3 i cinsinden belirlemek için, yatay ve düşey gerilmelere etki eden kuvvetler kesim düzlemine paralel ve dik bileşenlere ayrılır. n 33 ssssssθθssssssss τ n θθ θθ 33 ssssssss 11 ccccccθθ 11 ccccccθθcccccccc 11 ccccccθθssssssss nn = 11 ccccccθθ + 33 ssssss 22 θθ = 11 + 33 22 + 11 33 22 cccccccccc ττ nn = ( 11 33 )ssssssssssssssss = 11 33 22 ssssssssss

BİR NOKTADA GERİLME; Analitik Gelişme Jeo-Geoteknik Mühendisliğinde kullanılan kuvvetlerin büyük bir kısmı basınç olduğu için basınç kuvvetleri ve gerilmeleri pozitif gösterilmektedir. Zemin çekme gerilmesi taşımaz kopar. Başka bir ifade ile zeminde işaretli normal gerilme olmaz. n (+) Bir kesitin dış normali (n) saatin tersi yönünde 90 0 döndürüldüğünde kayma gerilmeleri için + olan yön, diğer yön ise olan yön olarak düşünülür. +τ 90 0 İşaret kuralı ττ xxxx = xx ddddddddddddddddddd zz yyyyyyyyyyyy (xx eeeeeeeeeeeeeeee dddddd eeeeeeeeeeeeee) ττ xxxx = ττ xxxx ττ yyzz = ττ yyzz statik denge durumu + ττ xxxx = ττ xxyy Kesme gerilmelerine uygun işaret vermenin bir diğer kuralı ise; elemanın saat yönünde dönmesine neden olan kesme gerilmelerini pozitif, saatin tersi yönde dönmesine neden olan kesme gerilmelerini negatif almaktır.

BİR NOKTADA GERİLME; Analitik Gelişme!!!!!!!!!!!Zemin problemleri için, sıkıştırma gerilmeleri pozitif, saat yönünde çift oluşturan kesme gerilmeleri pozitif!!!!!!!!! BU DURUM MEKANİKTE KULLANILAN YÖN KAVRAMININ TAM TERSİDİR. Yatay düzlemde gösterilen gerilmeler + normal gerilme + kesme gerilmesi Düşey düzlemde gösterilen gerilmeler - normal gerilme - kesme gerilmesi

BİR NOKTADA GERİLME; Mohr Dairesi Gerilme analizi en kolay şekilde Mohr gerilme dairesiyle yapılır. Mohr gerilme dairesinin önemli ve yararlı özelliklerinden birisi de kutup noktasının (düzlemlerin başlangıç noktası) belirlenebilmesidir. Mohr dairesini çizmek için iki gerilme noktasının bilinmesi yeterlidir. Aşağıdaki elemana etkiedengerime durumu içinmohr Dairesini çizelim 1 = 2.5 kkkkkk τ ddddddddddddddd gggggggggggggg 2.5 3 3 = 0.5 kkkkkk 0.5 3 merkez=1.5 1 1 = 2.5 kkkkkk 0.5 + 1 = 1.5

BİR NOKTADA GERİLME; Mohr Dairesi Zeminde Kırılma Düzlemleri (a) Kırılma Düzleminin Konumu (b) Kayma Düzlemleri (c) Eslenik Kırılma Düzlemleri

BİR NOKTADA GERİLME; Mohr Dairesi Asal gerilme düzlemleri yatay ve düşey düzlemlerden farklı düzlemler olabilir. Bu durumda mohr dairesi çizildikten sonra önce bu daire üzerinde kutup noktasının (düzlemlerin orjini) bulunması gerekir. En büyük gerilme ( 1 ) noktasından bu asal gerilme düzlemine paralel (etkidiği düzleme paralel) bir doğru çizilirse, bu doğrunun Mohr dairesini kestiği nokta kutup noktasını verir. 1 τ θ α 3 Kutup noktası; ortamdaki bir noktadaki tüm düzlemlerin mohr dairesi üzerinde geçtiği noktadır. Analizi yapılan düzlemin eğimi Ꝋ Mohr dairesinde 2Ꝋ olarak gösterilir. P noktasında Ꝋ eğiminde çizilecek doğru istenilen düzlemdeki gerilmeleri verir ( θ, τ θ, ) kutup θ α 3 1

BİR NOKTADA GERİLME; Mohr Dairesi 1 s = τ = c f + tanφ 3 1 3 τ τ ɸ c.cotɸ c 90+ɸ/2 45+ɸ/2 3 1 ɸ

MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ Zeminler için göçmeye yol açan normal ve kayma gerilmelerinin ortak etkisini gözönüne alan birçok hipotez geliştirilmiştir. Bunlar içinde en yaygın olarak kullanılanı Mohr-Coulomb göçme hipotezidir. Buna göre göçmeye yol açan normal ve kayma mukavemetinin sınır değerleri bir eğri ile gösterilmektedir. Bu grafikte normal gerilmeler yatay eksende, kayma gerilmeleri düşey eksende gösterilmektedir. Göçme zarfi olarak nitelendirilen bu eğrinin altında kalan gerilmeler için göçme ortaya çıkmazken, eğer gerilmeler bu eğriye ulaşmışsa göçme meydana gelmektedir. Zeminde bu eğrinin üzerinde bir gerilme hali oluşamayacağı açıktır. Göçme zarfı bir eğri şeklinde oluşmasına rağmen pratikte bu genellikle bir doğru olarak kabul edilmektedir. Tanelerin birbirini çekmesini ve bir birine yapışmasını ifade eder. kohezyon c τ τ f τ f = c + tanφ φ İçsel sürtünme acısı τ f zeminin normal gerilme altındaki maksimum kayma dayanımı Sürtünme bileşeni (önceki slayttaki 1 ve 2. bileşenin toplamını yansıtır.

MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ c ve φ makaslama dayanımının bir ölçüsüdür. Yüksek değerleri yüksek makaslama dayanımı demektir. DDDDDDDDDDDDDDDD dddddddddddddddddddd UUUU ; ττ ff = cc uu + uu KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK dddddddddddddddddd dddddddddddddddddddd CCCC ; ττ ff = cc cccc + cc uu DDDDDDDDDDDDDDDD dddddddddddddddddddd CCCC ; ττ ff = cc dd + dd DDDDDDDDDDDDDD eeeeeeeeeeeeee gggggggggggggggggggggg ggggggg yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy; ττ ff = ccc + ( uu)tttttttt Not: Yükleme hızı drenaj hızına göre yavaş uygulanıyorsa drenajlı durum, aksi durumda ise dranjsıız durum söz konusudur.

MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ Kayama düzleminin asal düzlemle yaptığı açı τ GL 1 Y 45 + φ/2 Kayma Düzlemi φ 3 τ α φ c.cotφ 3 φ 90+φ 3 + 45 + φ/2 Yenilme düzlemi yatayla 45 + φ/2 kadar açı yapar

MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ Kayama düzleminin asal düzlemle yaptığı açı Mohr dairesi, bir yükleme durumunda bir düzlemdeki gerilmeler bilinirken başka bir düzlemdeki gerilmeleri hesaplamaya yarar. ττ ττ αα αα xx = 1 3 2 1 ττ αα, αα αα yy = 3 Kutup 2αα αα yy = 3 xx = 1 ( 3 + 1 ) 2 Yarıçap ( 1 3 ) 2 Kayma Düzlemi

MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ ττ αα, αα RR RR = ( 1 3 ) 2 cc c.cotφ 3 ( 3 + 1 ) 2 1 Göçmeye yol açan asal gerilme değerleri ile zeminin kayma mukavemeti parametreleri arasındaki ilişkiyi trigonometrik bağıntılar şeklinde ifade etmek mümkün olmaktadır. = tan 2 (45 + φ / 2) + 2c tan(45 + φ / 1 3 2) = tan 2 (45 φ / 2) 2c tan(45 φ / 3 1 2)

MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ

MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ Mohr dairesi zarfa ulaşmaz ise zemin bileşeni yenilmez τ X Y Zemin elamanı farklı lokasyondaki X Y X ~ yenilme Y 3 3 Y ~ sağlam

MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ Yükleme arttırıldığında Mohr dairesi büyür GL Y3 3 3..ve sonrasında Mohr dairesi zarfa ulaştığında yenilme gerçekleşir.

MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ Mohr dairesindeki ve ττ ff = ccc + ( uu)tttttttt Boşluk suyu basınçları zeminlerin kayma mukavemeti açısından oldukça önemlidir. Zemin kayma mukavemetini efektif gerilmeler cinsinden ifade etmek daha gerçekçi olmaktadır. v v u h h X X X = + u effektif gerilme Toplam gerilme Normal yüklenmiş killerde efektif gerilmelere göre değerlendirme yapılması durumunda c =c cu =c d =0 Aşırı konsolida killerde; h v h u v c >0, c cu >0, c d >0

MOHR-COULOMB GÖÇME HİPOTEZİ Mohr dairesindeki ve v v u h h X X X = + u Pozitif boşluk suyu basıncı oluşması durumunda daire sola negatif boşluk suyu basıncı oluşması durumunda ise daire sağ tarafa kayar.

DİĞER YENİLME KRİTERLERİ Zeminler için uygulanabilirliği her durumda geçerli olan mohr hipotezini yıllar içerisinde başka teorilerde izlemiştir. Zeminin gevrek olmadığı kabulü ile bu teorilerden bazıları tablodaki gibidir. TEORİ MATEMATİK İFADESİ Tresca-Coulomb 1 3 = 2kk 1 Geliştirilmiş Tresca ( 1 3 ) = kk 2 ( 1 + 2 + 3 ) Von Mises ( 1 3 ) 2 +( 2 3 ) 2 +( 1 2 ) 2 = 2kk 3 2 Geliştirilmiş Von Mises ( 1 3 ) 2 +( 2 3 ) 2 +( 1 2 ) 2 = 2kk 4 2( 1 + 2 + 3 Mohr Coulomb ( 1 3 ) = kk 5 2( 1 + 3 ) Girffit (GEVREK) 1 = tt 1 + 3 3 < 0 ( 1 3 ) 2 = 8kk 6 ( 1 + 3 3 > 0) tt = Malzemenin çekme dayanımı k= denklem değişmezi

ZEMİNLERİN KAYMA GERİLMESİ DEFORMASYON İLİŞKİSİ Zeminler elastik olmamalarına rağmen çok düşük gerilme altında yalancı elastik davranış gösterebilirler ve gerilme deformasyon ilişkisinin başlangıcı doğrusal kabul edilir. Gerçekte hem zeminler hem de kayalar elastik olmayan malzemeler olup bu nedenle de gerilme deformasyon ilişkisi ender olarak doğrusaldır. O nedenledir ki zeminler için Young modülü ve poisson oranı değişmez değerler olmayıp belli bir gerilme altında malzeme davranışını yansıtan parametrelerdir. Sonuç olarak zeminler Elasto-plastik malzeme olarak kabul edilmektedir. F (kırılma anındaki gerilme) İdeal elastik ε Tam plastik ε Elasto-plastik ε Deformasyonla yumuşayan ε Gevrek kırılgan ε R (rezidüael) ε Zeminde deformasyon

ZEMİNLERİN KAYMA GERİLMESİ DEFORMASYON İLİŞKİSİ Elastik deformasyon Plastik deformasyon

ZEMİNLERİN KAYMA GERİLMESİ DEFORMASYON İLİŞKİSİ Zeminlerde gerilme deformasyon ilişkisi hiçbir zaman lineer ve elastik değildir. Zemin a noktasına kadar yüklenir (OA), daha sonra yük geri alınırsa (OC) zemin orijinal haline dönmez. OC kadar kalıcı deformasyon olur histeri etkisi denir (OA ile OC eğrisinin faklı olması). B noktasından sonra yüklemeye devam edildiğinde zemin yük almamakta ve deformasyon yük azaldığı halde artmaktadır. B noktasından sonra zemin yenilmektedir. D noktasından sonra ise zemin sabit yük altında sürekli deforme olmaktadır. Gerilme B Sonuç olarak zeminde daformasyon. A D 0 C Birim deformasyon Ԑ

ÖRNEKLER Aşağıdaki şekilde gösterilen elemana etkiyen gerilme değerleri dikkate alınarak 20 0 lik düzlemde oluşacak gerilme değerlerini analitik ve grafik yöntemlerine göre bulunuz. SORU 50 kpa 150 kpa 50 kpa 250 kpa 50 kpa 250 kpa 150 kpa 50 kpa τ kpa 50 50 50 ÇÖZÜM (Geometrik) Daire merkezi= ( 1 + 2 )/2 Dairenin yarıçapı= ( 1-2 )/2 =206 kpa τ=70 kpa 20 0 kutup kpa 100 150 200 250 300 350 400 Gerilme Şartları 20 0 Analitik nn = yy+ xx 2 + yy xx 2 ccccccccc + ττ xxxx sssssssss 250+150 2 + 250 150 2 cccccccc + ( 50)ssssss40 ττ nn = yy xx 2 sssssssss ττ xxxx ccccccccc 250 150 2 ssssssss ( 50)cccccc40

ÖRNEKLER Bir zeminin dayanım parametreleri c =0 ve ɸ =30 0 dir. Bu zemindeki bir elemanda yenilmenin 45 0 yapan bir düzlem üzerinde ve f =10 kpa ile gerçekleştiğini varsayarak a. Yenilmedeki kayma gerilmesini b. Zemin elemanındaki asal gerilmelerin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz. ÇÖZÜM τ =10kPa τ=5.77 kpa 3 τ P 5 45 0 F A 3 =6.8 kpa O 30 0 10 15 20 25 1 E 1 =20 kpa 1. X ekseni üzerinde =10 kpa dan yenilme zarfını kesene kadar bir çizgi çizilirek A noktası bulunur. Elde edilen noktadan τ=5.77 kpa bulunur. Aynı sonuç yenilme zarfı denkleminden de elde edilir. 2. Mohr dairesi yenilme zarfına teyet olacaktır. Teyet noktası A olacaktır. Bu noktadan yenilme zarfına bir dik çıkarak X eksenine uzatarak aranan dairenin merkezi O bulunur. Merkezden OA yarı çaplı bir yay çizilir. Dairenin X eksenini kestiği yerler asal gerilmeleri ifade eder. 3. A noktası zemin elemanında 45 0 yapan düzlem üzerindeki gerilmeyi temsil ettiğinden A noktasından yatayla 45 0 açı yapan bir çizgi çekilir bunun mohr dairesini kestiği yer kutuptur (P). Majör ve Minör asal herilmelerin yönelimlerini elde etmek için PE vepf çizilir.

ÖRNEKLER Şekilde verilen eleman üzerine etkiyen kuvvetler 1 =52kPa 3 =12kPa olduğuna göre yatayla 35 0 olan düzleme etkiyen gerilmeleri bulunuz. ŞEKİL τ ÇÖZÜM 1 1 =52kPa α =39 kpa C α=35 0 35 0 Yatay düzlem 3 =12kPa P 10 τ α =18.6 kpa 20 30 40 50 A 1. Ölçekli olarak Mohr dairesi çizilmeli; (Daire merkezi= ( 1 + 2 )/2= 32kPa; Dairenin yarıçapı= ( 1-2 )/2= 20 kpa 2. 1 in etkidiği yatay düzlemden yola çıkarak kutup noktası (P) bulunur. Kutup nokasından α=35 0 eğimli doğru çizilerek aranılan gerilme değerleri (C) bulunur.

ÖRNEKLER Şekilde verilen eleman üzerine etkiyen kuvvetler 1 =52kPa 3 =12kPa olduğuna göre yatayla 35 0 olan düzleme etkiyen gerilmeleri bulunuz. ÇÖZÜM 2 1 =52kPa αα = 1 + 3 2 + 1 3 2 cccccccαα 35 0 3 =12kPa ττ αα = 1 3 2 sssssssαα α=35 0 Yatay düzlem αα = 52 + 12 2 ττ αα = + 52 12 2 52 12 2 ccccccc 35 = 38.840 kkkkkk sssssss 35 = 18.79 kkkkkk

ÖRNEKLER Bir önceki soruda verilen elemanın yataydan 20 0 döndülmesi durumunda düzleme etkiyen gerilmeleri bulunuz. ŞEKİL ÇÖZÜM τ α =39 kpa Yatay düzlem 10 P 70 0 C 20 30 40 50 A τ α =18.6 kpa 1. Bir önceki gibi mohr dairesi çiziniz. 2. 1 in etkidiği yatay düzlemden yola çıkarak kutup noktasını (P) bulunuz. Büyük asal gerilme yatayla 20 0 açı yapmaktadır. AP doğrusundan 35 0 dönün C noktasını bulun. Aranılan gerilme değerleri C noktasının koordinatlarından bulunur. Değer uzayda yer değiştirme olmadığından bir önceki örnekle aynıdır.