Rsonel Sılr YILLAR 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 ÖSS-YGS RASYONEL SAYILAR KESĐR: Z ve 0 olmk üzere şeklindeki ifdelere kesir denir p pd kesirçizgisi KESĐR ÇEŞĐTLERĐ: kesri için i) < ise kesir sit kesirdir 0 gii sit kesir için < < eşitsizliği geçerlidir elirtir DENK KESĐRLER: dc oluors 0 gii ifdeler kesir c olrk d zılilir d c ile kesirleri için d c denir Bu denklik d Rsonel Sı: kesirler kümesinde denklik sınıflrını temsil eden her ir elemn ir rsonel sı denir O hlde Z 0 ve ile rlrınd sl olmk üzere şeklindeki wwwglolderscom her ifdee ir rsonel sı denir 0 NOT: i) 0 dır ( 0) ii) tn ımsız 0 iii) Plrı oln kesirlerin her irine kesir irimi denir kesri kesirlerinin kesri kesirlerinin irimidir kesri kesir irimi cinsinden şeklinde zılır Örnek( ) Z olmk üzere ir sit kesir ise şğıdkilerden hngisi olmz? A) B ) C) D) E) Bsit kesir kurlındn hreketle -< < şrtın ugun olmn şıkkı rcğız ( ) - için ( ) ulunur u değer (-) rlığınd olmdığındn ir sit kesir olmz O hlde cevp B şıkkı olur Örnek( ) Z ve kesri ir sit + kesir ise nın lmcğı tmsı değerleri kç tnedir? kesri ir sit kesir ise < + + şrtı sğlnmlıdır nın lmcğı değerler ise u eşitsizliğin tersini lmk gerekir
+ eşitsizliğini çözersek + (her trfın kresi lınır) (-)² (+)² ²-+ ²+0+ ²++ 0 (+)(+) 0 +0 -/ +0 - - -/ + - + (NOT: DĐKKAT!!: Rsonel Sılr + olrk d ifde edileilir) c c 0 gii + SABĐT KESĐR: kesri şrtını c+ d c d sğlıors sit kesir dını lır Sit kesirde erine zılck tüm değerler için kesrin değeri değişmez o hlde --------- sısı değer lilir ii) ise kesir ileşik kesirdir gii ileşik kesirler için; ve geçerlidir + Örnek( ) kesri ileşik kesir ise Z lerin toplmı nedir? + + Örnek( )? gii + kesri ir sit kesir ise Kurl gereği olmlı Burdn - olur BĐLEŞĐK KESĐRDEN TAMSAYILI KESĐRE ÇEVĐRME + + ve olmlı + + + + Eşitsizlik için Eşitsizlik için -- Bu değerler toplndığınd kln ++ ulunur iii) Bir tmsı ve ir sit kesirle ifde edilen kesirlere tmsılı kesir denir c wwwglolderscom P pd ölünür Bölüm tm kısm; kln p ve ölen de pd zılır Örnek( ) c Z + ve ise ++c? + + c
Đşlemi şm şm plım - + + c ++c++ ulunur TAMSAYILI KESĐRDEN BĐLEŞĐK KESĐRE ÇEVĐRME c+ c+ ve dir c c c c + NOT: + ve olduğunu c c c c unutmınız KESĐRLERDE GENĐŞLETME VE SADELEŞTĐRME Bir kesrin pı ve pdsı nı sıl çrpılır d ölünürse kesrin değeri değişmez k k k k Rsonel Sılr NOT: Bir kesir en sde şekle geldiğinde eni kesrin p ve pdsı rlrınd sl olurlr ve rlrınd sl iki sı ise; 0 kesri için olduğund ve olur Örnek( ) Değeri / oln ir kesrin pın ekler pdsın d eni pı eklersek kesrin değeri / oluor Ess kesrin pdsı pındn kç fzl idi? Kesrimiz olsun pın ekler pdsın d eni pı eklersek + + + + 0+ 0+0 + o hlde kesrimiz olur sorumuzun cevı ise -0 dir Örnek( ) ++ ifdesinde in hngi değeri için ulunmz? Denklemden çekilirse - ++ (-) + + ir kesrin pdsı 0 ise o kesir tnımsız olcğındn - 0 dır o hlde / olurs ulunmz wwwglolderscom
Rsonel Sılr Örnek( ) R ve ifdesinde + nin hngi değeri için ulunmz? Burd d i çekmeliiz + + - - -- (-) -- nin tnımlı olmsı için - 0 olmlıdır o hlde -0 olurs ulunmz -0 / olur Örnek( ) sısı + şeklinde zılırs ve sm sılrı için en küçük + ne olur? + 0 + 00 + ++ Ess kesir olsun Bu kesrin pın ekler pdsındn çıkrırsk; + + en küçük pozitif tmsı olduğundn + - + - + ulunur urdn 0 p ve pdnın toplmı : +0 olur RASYONEL SAYILARDA ĐŞLEMLER ) TOPLAMA ÇIKARMA c d c ± ± d d c± Urı: Bir tmsı ile ir kesir ± c c ve ± ± c şeklinde prtik olrk pd c c eşitlemeden toplnıp çıkrılilir + ve urdn + olur Örnek( 0 ) Bir kesrin pdsı pının ktındn eksiktir Bu kesrin pın ekler pdsındn çıkrırsk en küçük pozitif tmsı elde edilior Ess kesrin p ve pdsının toplmı nedir? Örnek( ) + +? Önce pdsı nı olnlr rsınd işlem pılır + + + + + wwwglolderscom
Rsonel Sılr + + ulunur Örnek( ) + +? Prntezler çılırs zı değerlerin sdeleştiği görülür + + + + + + + + + + ulunur Örnek( ) +? Pd eşitlemekle şlnır + + () () () dir { 0 Örnek( ) + +? Önce prntezler çılır ki sdeleşenler ulunsun + + { 0 0 ulunur Örnek( ) 00 00? 00 00 00+ 00 00 00+ () () + + Örnek( ) + + +? Pdsı nı olnlr ir r getirilirse + + + + + + + + + + + + - ulunur wwwglolderscom
Rsonel Sılr NOT: Đki rsonel sı rsınd sonlu sıd rsonel sı vrdır Đki rsonel sının ort rsındki sı; pdlr eşitlendikten sonr plr toplmının rısı p eşitlenen pd d pd zılrk ulunur ile rsırsın sı dir Örnek( ) < < olck şekilde her iki kesre eşit uzklıktki kesri kçtır? Örnek( )? ( ) ( ) sdeleştirilirse ( ) ( ) ulunur + + ulunur Örnek( ) +? + + () () + 0 0 dir ÇARPMA VE BÖLME c d c d ve Urı: ve dikkt edin c d d c d c dir olduğun Örnek( ) ise? Urı: Urı: pd dki ler sdeleşir p dki ler sdeleşir ĐŞLEM SIRASI: ) Önce prntez içleri (prntez ve kesir çizgileri işlemin önünü elirler) ) Üslü ifdeler ) Çrpm Bölme ) Toplm Çıkrm wwwglolderscom
Örnek( 0 ) +? Önce prntez içleri pılırs + () () () + Örnek( )? 0 () () () olur Örnek( ) Rsonel Sılr + + + +? Önce prntez içlerindeki işlemler pılır dh sonr gerekli sdeleştirmeler pılır ulunur Örnek( ) + + + ve ise? Önce prntez içleri pılır Dh sonr sdeleştirmeler gerçekleştirilir ve ve i iç içe çrprsk; {{ ulunur 000 Örnek( )? 00 wwwglolderscom
Rsonel Sılr 000 000+ 00 00+ ulunur Örnek( )? : Örnek( )? : 0 + + 0 Đfdelerin ilinmeenlerden örülü olmsı zen c dedirtir kişie hluki somut sılrl u işlem nsıl pılıors ilinmeenlerle de öle pılır Yni sısı nin kç ktıdır Dendiğinde nsıl i e ölüorsk urd d i : e öleriz : : ( ve ler sdeleşirse) ulunur Örnek( ) Bir doğl sısını 0 ile ölmek slınd kç ile çpmk demektir? Örnek( ) + 0 + 0 0 0 sısının kç ktıdır? ulunur R ve 0 ise sısı 0 00 00 demek ki ir doğl sısını 0 ile ölmek slınd ile çpmk demekmiş Örnek( )? wwwglolderscom
Prntez içleri çıldığınd enzer sorulr gii sdeleşmenin olmdığı görülür Burd gizlenen ir 0(sıfır) vr Hngi terim sıfırdır onu ullım Đfde çılm devm edildiğinde; 0 çrpım durumundki sılrdn iri sıfır ise sonuç d sıfırdır O hlde cevp 0(sıfır) olur + Örnek( 0 )? 0 + Bu denli kllık sorulrd hep ir püf noktsı vrdır Ve slınd hep te kol olurlr o püf nokt ulununc Sorunun içine direk girmektense önce o püf noktsını ulmk zmn kını önleecektir Aksi hlde pd eşitleme olul u soruu çözmee çlışmk devee hendek tltmktn eterdir + + 0 + 0 + + + + + () () + 0 0 0 + + 0 + 0 wwwglolderscom 0 Rsonel Sılr (Burd p dki kesirlerin pdlrın krk pd dki kesirleri düzenlediğimize dikkt edin) Örnek( )? (!!üstteki lttki pdlrını d eşle) Üstteki sorud ptığımız çıklm urd d geçerli önce püf nokt ulunmlı üstteki lttki pdlrını d eşleip ortk prnteze llım () 0 () ulunur Örnek( ) + ise cinsinden değeri nedir? + ifdesini düzenleelim + + + + + + + + + ulunur + nin
Rsonel Sılr Örnek( ) pozitif ir ondlık sı ve + ir tmsı ise in virgülden sonrsı kçtır? Đfdei e eşitlersek + () 00 0 o hlde cevp olur 0 Örnek( ) A ise cinsinden değeri nedir? ifdesine der ve A ile çrprsk; nin A 0 A şimdi gereli sdeleştirmeleri pıp sonuc ulşlım A ulunur A + Örnek( )? Bu sorud pd eşitlemek hem zhmetli hem de sğlıksız ir çözüm olur Burd d ir püf nokt rnmlıdır Đfdede er ln kesirleri düzenlersek + + ulunur Örnek( ) + + c + + 0c+ + + c ise kçtır? + + 0c+ + + ifdesini c düzenlemekle işe şllım + + + + 0c + c c + + + + 0+ c + + + c + + c X ulunur Örnek( ) A + ve B + ise A nın B cinsinden değeri nedir? ve wwwglolderscom 0
Rsonel Sılr Đfdeleri lt lt toplrsk + A B + + wwwglolderscom A+ B + + A+B A B ulunur Örnek( ) ve doğl sı olmk üzere; ise nin lileceği değerler toplmı nedir? Đfde pdlrın prçlnırs; urd e i ölen ve nı zmnd i doğl sı pn değerler verilmeli in doğl sı ölenleri {} dir unlrd ve ifdei negtif pr gerie ve ni iki sı klır Toplmı ise + olur c Örnek( ) + + ise c + +? 0 c + + ifdesini 0 c + + prntezine llım; c + + ifdesinin her iki trfını ile çrplım; c + + c + + 0 şimdi ulunn u değeri c + + ifdesinde erine zlım 0 0 ulunur Örnek( 0 ) : : :? (ÖSS 00) (sdeleştirirsek) 0 ulunur Örnek( ) +? (ÖSS-000)
+ + ulunur ulunur Örnek( )? Rsonel Sılr MERDĐVENLĐ(ZĐNCĐR BASAMAM) KESĐRLER: Önce kesir çizgileri elirlenir Pdki ve pddki kesirler uçlrdn kesir çizgisine doğru işleme ti tutulur Örnek( )? çerçeveli işlem sırsı tkip edilir wwwglolderscom çerçeveli işlem sırsı tkip edilir Örnek( ) ise?
-- - Örnek( ) :? : : Örnek( ) { ulunur + + + ise? Rsonel Sılr Sonsuz giden kesirlerde eşitliğin sonsuz trfı nı düzende gidiors ifdenin tmmın enzeen ilk kısm eşitliğin sğındki değer tnır + + + + + + (çerçeve içine lınmış ifde ile ifdenin tmmının nı okunduğun dikkt edelim ) + 0 ulunur Örnek( ) ise? Bu tür sorulrı merdivenli kesir mntığı erine şğıdki gii çözmek dh koldır olmlıdır olmlıdır olmlıdır olmlıdır ulunur wwwglolderscom
Örnek( ) wwwglolderscom olmlıdır olmlıdır } + ulunur Örnek( ) +? + + ise? Đfdei önce e eşitleelim Dh sonr u tür kesirler için öğrendiğimiz öntemi ugullım + + + + + + olsun + her iki trfı ile çrprsk +² urdn; ²--0 denklemi çözülürse - (-)(+)0-0 +0 - ulunur Rsonel Sılr Đfdenin tmmı pozitif olduğundn sonucun negtif çıkmsı mümkün değil O hlde cevp olur + + Örnek( 0 )? + +? ifde düzenli ir görüntü rzetmediğinden önce u ifdei düzenlemeliiz + + + + olmlı + + + + + her iki trf ile çrpılırs + ulunur
Örnek( ) + + ise? + + + + ifdei düzenlersek + + ve için > Rsonel Sılr > dir ) Đki rsonel sı p pd ölünerek krşılştırılilir Bu iki ondlık sıdn tm kısım üük oln dh üük eşit ise virgülden sonrki sılr kılır Đlk frklı sı için üük sıı içeren sı diğerinden üüktür ile için > oldn > ile için < oldn < + + + + + + + olmlıdır + olur RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA ) Pdlrı eşit oln pozitif iki rsonel sıdn pı küçük oln dh küçüktür < ) Plrı eşit oln iki pozitif rsonel sıdn pdsı üük oln dh küçüktür ) > ve > c d c > d c d c < d < wwwglolderscom iki pozitif kesir olsunlr c ise > d dir c ise d dir c ise < d dir ) p ve pdsı eşit olmn iki kesir; p d pdlrı eşitlenerek ve ci kurl ugun hle getirilip sırlnır ile için > ) P ve pdsı rsındki frk eşit oln pozitif kesirlerin ; p ve pdsındki sılr üüdükçe sit kesirler için değer rtr ileşik kesirler için değer zlır < < ve 0 < < dir ) Negtif sılr krşılştırılırken önce pozitifmiş gii krr verilir sonr d önler ters çevrilir ile - için > < Örnek( ) c ise c i sırl Pdlrı eşitlersek c () () () c 0 0 0 pdlrı eşit oln pozitif rsonel sılrın pı üük oln dh üüktür c>> olur
Rsonel Sılr Örnek( ) sırlın Plrı eşitlemek urd dh koldır () () () sılrını plrı eşit oln pozitif rsonel sılrın pdsı küçük oln dh üüktür > > Örnek( ) sılrını sırlın P ve pdsı rsınd ortk frk olduğundn Örnek( ) sırlın < < olur 0 0 sılrını P ve pdsı rsınd ortk frk olduğundn Örnek( ) < < olur 0 0 sılrını sırlın Örnek( ) 0 sılrını sırlın Bu soruu p-pd eşitleme ve ortk frk kurllrındn irini kullnrk piliriz Hngisi size kol gelirse onu ugulın Biz urd örnek olsun die frklrı eşitleme öntemile çözeceğiz 0 () () () 0 ortk frklr eşitlendi Şimdi sırlm geçeiliriz > > olur 0 Örnek( ) sırlın Bu soruu d ortk frktn çözelim () () 0 şimdi sırliliriz > > olur 0 sılrını Örnek( ) R olmk üzere; c c sılrını sırlın P ve pdsı rsınd ortk frk olduğundn < < olur Plrını eşitlersek c () () wwwglolderscom
c negtif olduğundn kesirler de negtiftir Negtif rsonel sılr önce pozitifmiş gii sırlnıp dh sonr önleri değiştirilir Plr eşit olduğundn pdsı küçük oln dh üüktür >>c nck sılr negtif olduğu için sıl sırlm <<c olur Örnek( ) <<0 olmk üzere c ise c sılrını sırlın X- - olsun Rsonel Sılr Örnek( ) <<0 ve ise şğıdkilerden hngisi doğrudur? A) 0< B) < C) <<0 D) <<0 E) <<+ mutlk değerce den üük olduğundn pozitif ir ileşik kesirdir Yni! den üüktür Bu durumd >0 olur c c pozitif olduğundn en üüktür o hlde >c> olur z Örnek( 0 ) k ise z i sırlın k- seçelim ve k Z O hlde cevp A şıkkı olur Örnek( ) <0< olmk üzere k gerçel sısı verilior Bun göre k sısı AH olilir? A) B) C) D) E) z z z p-pd rsınd ort frk oln pozitif ileşik kesirler sı değeri üüdükçe kesirler küçülür >>z fkt u kesirler negtif olduklrındn <<z olur wwwglolderscom k ve zıt işretli olduklrındn negtiftir O üzden <- dir ni cevp A şıkkı olur Örnek( ) N olmk üzere + + + c ise c + 0 + + sılrını sırlın
Rsonel Sılr 0 olsun c elde edilir 0 B ve c i ortk frktn sırlrsk <c olur A ve i de sırlm özelliğinden sırlrsk 0 > olduğundn > dır 0 sonuç olrk <<c olur P ve pddki değerler üük olduğundn p ve pd eşitleme zor olur En mntıklı ol frklrı eşitlemektir 0 0 () () () ortk frk eşitlendi o hlde sırlm 0 > > olur 0 Örnek( ) z Z + ise z sılrını sırlın ve z Ortk oln e her iki eşitliğin krşısındki ve ün ir ktı oln ı versek için ve z0 olur Bu durumd <<z ulunur Örnek( ) <0 olmk üzere c 0 0 0 ise c sılrını sırlın Sılr pozitif olsdılr plr eşit olduğundn pdsı küçük oln dh üük olurdu ni >>c Fkt sılr negtif olduğundn sırlm; Örnek( ) sırlın <<c olur sılrını Örnek( ) sırlın ÇÖZÜM : + + c + c ise c i Đfdeleri lt lt toplıp ++c i ulur dh sonr tek tek denklemlerden fdlnrk c i uluruz Sonrsı kol; + + c (+ + c) + + + c (+ + c) + + () () () + + (+ + c) (+ + c) undn sonr c tek tek ulunur wwwglolderscom
Rsonel Sılr + + c c { + + c { { + c+ o hlde >>c olur ÇÖZÜM : Görüldüğü gii çözüm oldukç uzun Şimdi göstereceğimiz ol oldukç prtik; + +c +c ifdeleri irer kesirdir ve sırlnilir > > olduğundn +>+c>+c dir u eşitsizlikler ikişer ikişer ele lınırs + > + c > c + c> + c > Örnek( ) ise AHDoğrudur? ( -ös) > > c ulunur < 0 c 0 + < < olck şekilde ir vrdır + sısı 0 Örnek( ) ile sılrı rsın eşit rlıkt sı zılck Đkinci sı ne olur? 0 0 <<<c< şeklinde düşünürsek kesri ile kesri rsınd rlık vr Bu rlık uzunluğunu ullım 0 o hlde için iki rlık gerekeceğinden unu e eklersek; + olur Örnek( ) ile sılrı rsın eşit rlıkt sı zılck ikinci sı ne olur? A) c<< B) <<c C) <c< D) <c< E) <<c Pozitif kesirler için plr eşit olduğund pdsı küçük oln dh üüktür Önce pozitifmiş gii sırllım >>c kesirler <0 dn dolı negtif olduğundn <<c olur Yni cevp E şıkı olur ARADA OLMA: ve rsonel ise ve rsınd <<< şeklinde düşünürsek kesri ile kesri rsınd rlık vr Bu rlık uzunluğunu ullım 0 o hlde için iki rlık 0 gerekeceğinden unu e 0 0 + eklersek 0 0 ulunur () wwwglolderscom
Örnek( 0 ) < < ise şğıdkilerden hngisi olilir? A) B) C) D) E) Örnek( ) edileilir? ile Rsonel Sılr rsındki sılrı die zrsk kç tne tmsısı elde (ÖSS 00) Bu tür sorulrd önce şıklrdki pdlr kılır ve sorudki pdlr enzetilerek kılır Önce pdı e genişletelim < < < < görüldüğü gii B () () şıkkı için lınilir ir değerdir O hlde cevp B şıkkı olur Örnek( ) n Z + olmk n sısı ile n nin lcğı kç değer vrdır? üzere rsınd ise < < 0 < < urd için () () <<0 rlığı geçerli olur Burdn değerlerini lilir O hlde in değeri vrdır Örnek( ) < < < sırlmsınd iririni izleen sılr rsındki frklr eşittir Bun göre +? (ÖSS 00) Ortk frkın sit olduğu sı dizilerinde ştn ve sondn eşit uzklıktki sılrın toplmı eşittir(u ilgi rdışık sılr konusund d verilmişti) n < < olur Bu eşitsizlik çözülür Önce her trfı ile çrplım n < < 0< n < 0+ < n + < + < n< her trf e ölünür < n< o hlde n0 değerlerini lır Yni n değer lır + + () < < < + + olur YAZAN ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU Mtemtik Öğretmeni wwwglolderscom e-mil : irhimhlil@mnetcom wwwglolderscom 0