NÜKLEER FİZİĞİN BORAYA UYGULANMAI: OPİYON FİYATLARININ MEH FREE YÖNTEM ile MODELLENMEİ M. Bilge KOÇ ve İsmail BOZTOUN Eciyes Üi. Fe-Ed. Fak. Fizik Bölümü 38039 Kaysei ÖZET Bu çalışmada eoik üklee fiziği opsiyo fiyalaıa uygulaması ve umeik aalizi bu aladaki icelemesi ye almakadı. Bu çalışma içi bilie koveksiyo-difüzyo ipi bi kısmi difeasiyel deklem kullaılmışı. Bu kısmi difeasiyel deklemi çözümüde geleeksel umeik meodlada solu fakla meodu fiie diffeece mehods solu elemala meodu fiie elemes vb dışıda meshde bağımsız mesh-fee bi meod ola RBF adial basis fucios meodu kullaılmışı. Kaşılaşımalı bi çalışma ile meshde bağımsız ve mesh değişkeli mesh-depede kaşılaşıması yapılaak RBF meoduu kullaıla zama ve çözüm adımlaı içi seçile aalıkla bakımıda geleeksel meodlaa göe çok daha başaılı olduğu göseilmişi. Bu çalışma bosadaki alım ve saımladaki mevcu isklede koumak içi oluşuula opsiyo seçeeklei içi koveksiyo-difüzyo ipi kısmi difeasiyel deklem kullaılması ve opsiyo fiyalaıı umeik aalizii yapılması ile bu alada eoik üklee fiziği uygulaabililiğii gösemişi.
- GİRİŞ Fizik kimya ve fe bilimleii diğe başlaıdaki biçok poblem adveksiyo-difüzyo deklem eşiliği ile modelleebili. Öeği yoğu bi akışkaı duağa halde su içideki dağılımı ve akışka aafıda aşıması çoklu kimyasal epkimelei icelemesi amosfeik zeeciklei yayılması veya çekidek bozuumuu gözeekli oamda geiş alaa yayılması adveksiyo-difüzyo eşiliğiyle alaılabili. Edüsiyel poblemle de adveksiyo-difüzyo eşiliğii çözümleii içemekedi; çelik levhaı eiilmesi galvaizaio ve meal alaşımı kaılaşıılması gibi akışkala diamiği poblemlei güümüz ileim kablolaıdaki ısı aışı ve sıcak çelik kablou şok su soğuması ile haekei gibi ısı asfei uygulamalaı ve bosadaki valık fiyalaıı değişimlei gibi fiasal uygulamala. 973 e bei Black ve choles ü Avupa ipi opsiyolaa değe biçmek içi hazıladığı fomül geişleileek kullaılmakadı. Bu eşiliği umeik çözümü kısmi difeasiyel deklem çözümüe bezeilebili. Çözümleie ulaşılmasıı ve souçlaı duağalığıı sağlamasıı zo olduğu eaksiyo-difüzyo eşiliği ile özdeşleşiilebili Bu çalışmada meshde bağımsız bi yöem ola RBF meodu kullaılmışı. Bu yöemi uygulaması ile aalıklaa ayılmış okaladaki souçla değil iseile okadi souçlaı çözümü elde edilmekedi. Bu da RBF meoduu poblemi boyulaıda bağımsız kılmakadı. Bi soaki bölümde opsiyo fiyalaı içi Black-choles modeli aıılmakadı. 3. bölümde Black-choles eşiliğii seçiğimiz umeik meodla çözümlemesi 4. bölümde elde edile kaşılaşımalı çözümle ve 5. bölümde de souç ye almakadı
. -BLACK-CHOLE EŞİTLİĞİ Opsiyo fiyalaıı değelediilmesi içi kullaıla Black-choles eşiliği aşağıdaki gibidi; d d d 0 d d d iske bağımsız faiz oaı değişkelik T opsiyou döem sou biiş zamaı ve aıda ve sok değeide opsiyo fiyaı [0 ve [0 T ]. ma E 0 mi E 0 fo pu samak fo call almak Black-choles modelii emelide opsiyoa kou eşkil ede valığı fiyaıı vade soua kada asıl bi gelişme göseeceği ve vade souda hagi olasılıkla hagi fiyaa sahip olacağıı belilemesi yamakadı. ade souda opsiyou değei valığı fiyaıa bağlı olacağıda valık fiyaıı ahmi edilmesi opsiyo değeii de belilemesie olaak veeceki. Black-coles u umeik çözümü içi kulladığımız RBF yöemi valık fiyaıı vade souda öce iseile hehagi bi aıda da ahmi edilmesie olaak sağladığı içi bu yöem ecih edilmiş ve elde edile souçlada haa payıı 0 a yakı olduğu göülmüşü. 3- BLACK-CHOLE UN NUMERİK ÇÖZÜMÜ Black-choles eşiliğii dö faklı yöem; hiplae umeik çözümü içi iki faklı splie muliquadic cubic ve meod kulladık. Bulaı gaussia kullaılaak kedi başaılaıa bakılmış ve souçla ileki bölümlede aışılmışı. Ayıca RBF meodua bağlı ola aalaıda suulmuşu. kaşılaşımalaı 3
4 3.- Radial Basis Fucio Meodu Bu çalışmada kullaıla RBF meodlaı aşağıda veilmişi: log : 4 TP : c MQ : 3 CUBIC 3 : c e GAUIAN umaalı eşilik Cak-Nicholso meodu kullaılaak düzelemişi. Bu zamaa bağlı gei döüşümlü bi deklemdi backwad. 4 0 θ θ u u olmak üzee 4 deklemide yeie yazılısa aşağıdaki eşilik elde edili. 5 α α α Buada ve θ θ α olaak alıı. 5 0. θ içi α olu. Eğe y 6 N λ 7... N i i N i λ olaak alıı ve H H α α α şeklide aımlaısa i i olmak üzee
N λ H i N λ H şeklide bi deklem elde edili. RBF meodu meshde bağımsız bi yöemdi. Bilie Black-choles eşiliğie uygulaaak çözümle elde edili. 3.- Fiie Diffeece Meodu olu Fakla Meodu i 8 Hem beligi eplici hem de dolaylı implici fiie diffeece meodlaı kullaılmışı;. He ikiside de ikici deecede difeasiyel ve geiye döüşümlü difeasiyel fomüllee Laplace ve Gadie opeaölei uygulamışı. Dolaylı implici fiie diffeece meodua çok beze ola beligi eplici fiie diffeece meoduu kaalılık ve covegece poblemlei vadı. Kaalılık poblemi α ı değeiyle değişe aalık boyuua bağlıdı. α 0 ile 0.5 aasıda değelee sahipse kaalı eğe 0.5 e büyük ise kaasız hale geçmekedi. Covegece poblemi ise zama aalığıda kayaklamakadı. Bu yöemi bi okada bileşeek doğu soucu vemesi içi zama aalığıı çok küçük uulması geekmekedi. Buda dolayıdı ki bu yöem çok yavaş çalışmakadı. Buu yaıda dolaylı fiie diffeece meoduu kaalılık poblemi hiçbi α değei içi bulumamakla bilike covege poblemi yie zama aalığıa bağlı ve hesaplamalaı çok yavaşlamakadı. FD uygulamalaı H ve H - opeaöleide yeie kouluusa sıı ve başlagıç koşullaı uygulaısa ve eşilik yeide düzeleise doğusal eşiliği simeik siseme döüşümüü elde edeiz. Bu da Gauss elemiasyo yöemi ile i hesaplaması sağlaı. 5
4-ONUÇLAR Yöemi umeik değelediilmesii amamlaması içi valık al biimleii de uygulaması geeklidi. Bu da acak e açık ifadeyle opsiyo fiyalaıı bi okada bileşeek geçek değeii buluması içi yaalı ek ilavelei aımamızla geçekleşi.. Bahsedildiği gibi yavaş covegece opsiyo fiyalaıı ödeme foksiyolaıı amamlaabilmeside öemlidi. Bilidiği gibi eğe zama aalığıı küçülüsek opsiyo fiyalaıı ya da deklemi covegece şaıı sağlamış oluuz. Buula kasedile umeik çözüm uygulamasıa kaıla ek ilaveledi udelyigs. ock TP MQ CUBIC GAUIAN 0.00 9.753 9.753 9.753 9.753.00 8.753 8.753 8.7998 8.7530.00 7.753 7.753 7.843 7.753 3.00 6.753 6.753 6.8809 6.7530 4.00 5.753 5.753 5.958 5.7533 5.00 4.753 4.753 4.9475 4.759 6.00 3.753 3.753 3.9760 3.7533 7.00.7568.7568 3.008.7577 8.00.7983.7983.05.7996 9.00 0.987 0.9870.0463 0.9878 0.00 0.4409 0.4408 0.0655 0.44.00 0.598 0.598 0.0584 0.603.00 0.0479 0.0479 0.0500 0.0487 3.00 0.0 0.0 0.0405 0.03 4.00 0.007 0.007 0.030 0.0037 5.00 0.0005 0.0006 0.095 0.004 6.00 0.000 0.000 0.0086 0.0008 7.00 0.0000 0.0000 0.0000 0.0006 6
8.00 0.0000 0.0000-0.000 0.0006 9.00 0.0000 0.0000-0.000 0.0008 HATA 0.000397 0.0003637 0.069044 0.0046460 Tablo : 00 içi Radial Basis Foksiyouu Kaşılaşıması Kullaıla RBF meodu sadece eşilik içi değil ayı zamada üevlei içi de çözüm oluşumakadı. RBF uygulamasıda çıka fomülasyo sayısal alada aımlaabili ve buu e öemli gösegesi de başka bi yöeme geek duymada bi bous olaak elde edebileceğimiz dela değeleidi. Opsiyo ya da opsiyo poföyü içi dela değei çok öemlidi ve opsiyou ya da poföyü hassasiyeii gösei. Dela valık değeideki değişim oaıı gösei sok fiyalaıı al uygulamalaıda ki küçük değişimlei opsiyo fiyalaıdaki haekeii deecesidi. O halde dela hedgig e isk faköleii azalma diyebiliiz. Buu e iyi yolu opsiyo ve ou al uygulamalaı aasıdaki uyumu sağlamakı. Biz bu çalışmada meshde bağımsız ola RBF meoduu kullaaak mesh-değişkeli FD meoduu souçlaı ile kaşılaşıdık. Bu souçlaı kaşılaşıabilmek içi Willmo u FD souçlaıı ele aldık ve kulladığımız RBF uygulamasıda da Avupa ipi pu saım opsiyouu E0 0.005 0.0 T0.5 yıl ve [030] değelei içi kulladık. 7
ock TP MQ CUBIC GAUIAN 0.00-0.9995 -.0000 0.9559-0.703.00 -.0000 -.0000 0.8945-0.9990.00 -.0000 -.0000 0.835-0.999 3.00 -.0000 -.0000 0.7777-0.9994 4.00 -.0000 -.0000 0.74 -.0003 5.00 -.0000 -.0000 0.669 -.000 6.00-0.9996-0.9996 0.678-0.9989 7.00-0.9887-0.9887 0.5686-0.9880 8.00-0.9088-0.9089 0.55-0.9090 9.00-0.690-0.69 0.4763-0.697 0.00-0.40-0.40 0.4333-0.403.00-0.780-0.779 0.39-0.777.00-0.068-0.068 0.353-0.065 3.00-0.076-0.076 0.363-0.075 4.00-0.004-0.0043 0.84-0.0043 5.00-0.0009-0.0009 0.485-0.000 6.00-0.000-0.000 0.77-0.0003 7.00 0.0000 0.0000 0.889-0.000 8.00 0.0000 0.0000 0.6 0.0000 9.00 0.0000 0.0000 0.375 0.0003 HATA 0.00008954 0.0007647 0.63676377 0.00379306 Tablo : 00 ike Tablo ile ayı faka Dela içi 8
ock TP MQ CUBIC GAUIAN 40 0.003094 0.003056 0.063875 7.700769 4 0.0006500 0.00053 0.060066 7.70508390 50 0.0004345 0.0003530 0.05988777 7.09075 5 0.00050754 0.0004699 0.0606978 6.853399 70 0.0004497 0.0004078 0.0670775 0.003677 7 0.000056 0.0007067 0.066799 0.00674 00 0.000039 0.000965 0.0698 0.000060 0 0.00009659 0.00008336 0.0658383 0.00008586 0 0.0000850 0.0000850 0.067300 0.0009987 0.000397 0.0003637 0.069044 0.0046460 Tablo 3: Faklı ode değelei içi geçel haala 00 ock TP MQ CUBIC GAUIAN 40 0.0009450 0.0000075 0.60947830 0.394869 4 0.00059034 0.0004847 0.6047430 0.390785 50 0.0003668 0.00036037 0.676387 0.59364399 5 0.0003995 0.00038904 0.68784 0.63489574 70 0.0008038 0.0003766 0.6695586 0.377577 7 0.000650 0.000685 0.678377 0.3044955 00 0.000399 0.0004 0.6339378 0.008677 0 0.00007368 0.0005430 0.63409905 0.0075540 0 0.00005907 0.00005907 0.6366564 0.0005847 0.00008954 0.0007647 0.63676377 0.00379306 Tablo 4: 00 ike Tablo 3 ile ayı faka Dela içi. 9
5- TARTIŞMA Çözümleimizde RBF meoduu kullamayı ecih eik çükü öcelikli avaaı iki belileyici ieliğii olması; uygulaa yöemi foksiyolaı düzgü açık ve difeasiyelleebili. Meshde bağımsız bi yöem ola RBF meoduu da kedi içide umeiksel aaliz yöemleii faklılıkla gösediği al meodlaı ayı değele göz öüe alıaak çözümlei kaşılaşıılmışı. Elde edile souçlaa göe kullaıla ode sayısı aıkça TP hi plae splie diğeleie göe çok daha iyi souçla vemiş ve haa oaı 0 a yaklaşmışı. Ayı souç dela değelei içide gözlemişi. FD fiie diffeece meoduda gözlee ai sıçayışla gözlememiş ve RBF meoduu meshde bağımsız olması sebebiyle iseile adaki değei vade soua bağlı kalmada gözleebilmişi. Bu çalışmada göseilmek isee üklee fizike kullaıla adveksiyo-difüzyo ipi bi deklemi umeik çözümlei sayeside faklı alalada çözümleii sağlaabileceğidi. Bu çalışma ile bu ip bi deklemi opsiyo fiyalaı üzeide de çözümleii sağlaması göseilmişi. Opsiyo fiyalaı meshde bağımsız bi yöem ile modelleeek üklee fiziği bosaya uygulaabililiği göseilmişi. 0
Teşekkü: Bu poe EPRC aafıda deseklemişi Ga No: GR/N0968. Kayakça: [] Choi. ad Macozzi M.D. A Numeical Appoach o Ameica Cuey Opio aluaio Joual of Deivaives 9 00. [] Bozosu I. ad Chaafi A. A Aalysis of he Liea Advecio-Diffusio Equaio usig Mesh-fee ad Mesh-depede Mehods Joual of Egieeig Aalysis wih Bouday Elemes ol: 6 Issue 0 pp: 889 00. [3] Bozosu I. Bozosu D. ad Chaafi A. O he Numeical oluio of Liea Advecio-Diffusio Equaio usig Compacly uppoed Radial Basis Fucios Lecue Noes i Compuaioal ciece ad Egieeig ol: 6 edied by M. Giebel ad M. A. chweize pp: 63 00.