V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstabul Ticaret Üversitesi, 25-27 Kasım 2005 İKİ ÖLÇÜTLÜ PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: MAKSİMUM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME Tamer EREN Kırıkkale Üversitesi Erta GÜNER Gazi Üversitesi Özet Çok ölçütlü çizelgeleme problemleri so yıllarda araştırmacıları e çok ilgisi çeke koularda biridir. Yapıla çok ölçütlü çizelgeleme çalışmaları tek makieli ve akış tipi sistemler üzeride yoğulaşmıştır. Paralel makieli sistemlerde ise yapıla çalışmalar oldukça sıırlı sayıdadır. Bu çalışmada iki ölçütlü paralel makieli çizelgeleme problemi iceleecektir. Ele alıa performas ölçütleri maksimum tamamlama zamaı ve maksimum erke bitirmedir. NP-zor yapıda ola bu problemi ( P2 // αc + β E ) çözümü içi, tamsayılı programlama modeli öerilmiş ve öerile model örek problemler üzeride gösterilmiştir. Bu çalışma, paralel makieli sistemlerde, maksimum tamamlama zamaı ve maksimum erke bitirme ölçütleri ayı ada ele alıdığı ilk çalışmadır. Aahtar kelimeler: Paralel Makieli Çizelgeleme, İki Ölçüt, Maksimum Tamamlama Zamaı, Maksimum Erke Bitirme, Tamsayılı Programlama Modeli.. GİRİŞ Çok ölçütlü çizelgeleme problemleri tek makieli ve akış tipi sistemler üzeride yoğulaşmış olmasıa rağme paralel makieli sistemler içi yapıla çalışma sayısı oldukça sıırlıdır. Bu çalışmalar: maksimum tamamlama zamaı ve toplam akış zamaı ölçütleri ile ilgili, P2 // αc + β F, Gupta ve Ruiz-Torres (2000), Gupta ve diğerleri (2000), Li ve Liao (2004) tarafıda, maksimum tamamlama zamaı ve maksimum gecikme ölçütleri ile ilgili, P2 // αc + β L, Suresh ve Chaudhuri (996) ve Mohri ve diğerleri (999) tarafıda, maksimum gecikme ve gecike iş sayısıı mimize edilmesi ölçütleri ile ilgili, P2 // αt + β T, Sari ve Harihara (2000), tarafıda yapıla çalışmalar vardır. İcelemelerimize göre çok ölçütlü çalışmalar içide erke bitirme ölçütüü dahil edildiği bir çalışma bulumamaktadır. Bu çalışmada maksimum tamamlama zamaı ve maksimum erke bitirme ölçütleri dikkate alıarak iki özdeş paralel makieli çizelgeleme problemi, P2 // αc + β E, icelemiştir. Maksimum tamamlama zamaı ölçütü ara stoklarla ilişkili bir gösterge olup bu ölçütü eküçüklemesiyle ara stoklarda azalmakta ve üretim çevrim hızı artmaktadır. Maksimum erke bitirme ölçütü ise işleri erke bitmeside kayaklaa maliyetleri (stok taşıma maliyeti vb.) ölemektedir. Bu tip erke tamamlama zamaıa dayalı ölçütlere ola ilgi özellikle 980 li yıllarda ortaya çıka ve uygulaması gittikçe yaygılaşa tam zamaıda üretim felsefesiyle daha da artmıştır. (Güer, 994). Çok ölçütlü çizelgeleme problemleri çözümüde geellikle kullaıla iki farklı yaklaşım vardır. Biriciside, ölçütleri ağırlıkları eşitse problemi bütü etki çözümleri üretilir. Daha sora da çok ölçütlü karar verme tekkleri kullaılarak çözümler arasıda ödüleşimler yapılır. İkiciside ise ölçütleri ağırlık değerleri farklı olup amaç foksiyou bu ölçütleri ağırlıklı toplamıda oluşur ve bu foksiyou eyilemesi sağlaır (Ere, 2004; Gupta 200). Bu çalışmada ikici yaklaşım dikkate alımıştır. 29
T. Ere, E. Güer Ele aldığımız iki ölçütlü iki paralel makieli P2 // αc + β E problemi, NP-zor yapıda bir problemdir. Çükü iki paralel makieli maksimum tamamlama zamaıı eküçüklemesi problemi, P2 // C,NP-zor yapıdadır (Lestra ve diğerleri 977). Ele alıa problem ise bu ölçüte ilavete maksimum erke tamamlama zamaıı içermektedir. Ele aldığımız problemi çözümü içi bir tamsayılı programlama modeli öerilmiştir. Model örek problemler üzeride uygulamıştır. Çalışmaı ikici bölümüde ele alıa iki ölçütlü paralel makieli problem taımlaacaktır. Üçücü bölümde ise problemi eyi çözümleri bulmak içi matematiksel programlama modeli verilecektir ve verile model sayısal bir örek üzeride gösterilecektir. Deeysel souçlar dördücü bölümde suulacaktır. So bölümde ise yapıla çalışmaı souçları ve gelecekte yapılabilecek çalışmalar hakkıda bilgi verilecektir. 2. PROBLEMİN TANIMLANMASI Atölyeye gele iş sıfırıcı zamada işlem içi hazırdır. Paralel makieli sistemde gele işler ( mevcut paralel işleyicileri ( i =, 2 ) herhagi biride işlem görebilir. p ve teslim tarihi göstermektedir. etmektedir. E { d C,0} C ve =,2,..., ) d, işi işlem zamaıı ve E sırasıyla işi tamamlama zamaı ve erke bitirmesi ifade = olarak taımlamaktadır. Makieler özdeş makielerdir. Bu makielere işleri ataması öreği olarak 0 işli bir durum dikkate alıdığıda (, 2 ) =(9,);(8,2);(7,3);(6,4) ve (5,5) olmaktadır. Burada ve 2 birici ve ikici makielere ataa işleri sayısıı göstermektedir. Çalışmada kullaıla diğer varsayımlar şöyledir: Makie hazırlık zamaları öcede bilimekte olup işlem zamaıa dahil edilmiştir. İş kesitisie izi verilmeyip başlaa bir iş makiede tamamlamada başka bir iş başlayamaz ve makieleri çizelgeleme periyodu süresice sürekli çalıştığı varsayılmaktadır. Ayrıca bir makiede ayı ada tek bir iş yapılabilmektedir. 3. TAMSAYILI PROGRAMLAMA MODELİ Ele alıa iki ölçütlü paralel makieli çizelgeleme problemi içi geliştirile tamsayılı programlama modeli 3 2 2 + 3 / 2 + değişkeli ve 3 kısıtlıdır. Problemde kullaıla parametreler, değişkeler ve model aşağıda açıklamıştır. 3.. Parametreler iş sayısı =,2,...,. m makia sayısı i =, 2. α maksimum tamamlama zamaıa ait ağırlık değeri α 0 β maksimum erke bitirme ağırlık değeri β 0 α + β = p işi işlem zamaı pi p = i =, 2 =,2,...,. d işi teslim tarihi =,2,...,. i. makiadaki iş sayısı i 3.2. Karar Değişke 2 i = i= i =,2..iş k. sıradaki işe ataırsa X ik = i =, 2, k =,2,..., 0 dd 3.3. Yardımcı Değişkeler p [ ik ] i. makiada k. sıraya ataa işi işlem zamaı [ ik] = ik i i =, 2 k,2,..., = p X p = () C ik i. makiada k. sıradaki işi tamamlama zamaı, Ci p[ i] ve Cik Ci, k + p[ ik ] i =, 2 k = 2,3,..., (2) 220
V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstabul Ticaret Üversitesi, 25-27 Kasım 2005 C maksimum tamamlama zamaı C C =, 2 ik i k,2,..., = (3) * d k k. sıraya ataa işi teslim tarihi = =, 2 * k ik = d X d i k,2,..., = (4) E maksimum erke bitirme E d * k C ik =, 2 3.4. Matematiksel Programlama Modeli Amaç foksiyou Mi Kısıtlar: X ik = m i= k= α C + β E X X ik = = ik =, 2 i k,2,..., = (5) i k,2,..., =. (6) = =,2,..., (7) = 0 veya =,2,..., =, 2 ()-(5) olu yardımcı değişke kısıtları i k,2,..., = (8) Modele ait sayısal bir örek Paralel özdeş iki makieli 0 işe ait işleri işlem zamaları ve teslim tarihleri Tablo de verilmiştir. Maksimum tamamlama zamaı ve maksimum erke bitirme ölçütleri ağırlık değerleri ( α, β )=(0.25,0.75); (0.50,0.50) ve (0.75,0.25) içi geliştirile modele göre çözümleri iceleyelim. Tablo. Sayısal örek verileri iş 2 3 4 5 6 7 8 9 0 p 97 82 46 0 2 77 20 45 8 4 d 2 240 3 89 69 23 35 65 2 29 Sayısal örek çözümü Öerile modelle problem formüle edilip çözüldüğüde farklı α ve β değerleri içi çözüm souçları koyu rek ile Tablo 2 de verilmiştir. Tablo 2. Sayısal örek çözüm souçları (α,β) (, 2 ) (0.25,0.75) (0.50,0.50) (0.75,0.25) 5,5 66.00 32.00 97.00 6,4 66.25 32.50 97.75 7,3 7.50 43.00 200.75 8,2 83.00 66.00 249.00 9, 03.50 207.00 30.50 Çizelge 2 de görüldüğü gibi 0 işli problemi eyi çözümüü üç ağırlık değeri içide her iki makieye 5 işi ataması durumuda vermiştir. Örek problemi eyi çözümleri Gatt şeması Şekil de verilmiştir. 22
T. Ere, E. Güer Şekil. Eyi çözümü Gatt şemaları (a) (α,β)=(0.25,0.75) (b) (α,β)=(0.50,0.50) (c) (α,β)=(0.75,0.25) 4. DENEYSEL SONUÇLAR Yapıla çalışmada bütü deeysel testler içi Petium IV/2 GHz 52 RAM kapasiteli kişisel bilgisayar kullaılmıştır. Ele alıa problemi eyi çözümleri bulmak içi Hyper LINDO/PC 6.0 programı kullaılmıştır. İşlem zamaları p, ile 00 arasıda, teslim tarihleri d ise 0 ile p = / 2 arasıda düzgü dağılımda üretilmiştir. Deey seti toplu olarak Tablo 3 de verilmiştir. Tablo 3 de görüldüğü gibi toplam 90 problem çözülmüştür. Tablo 3. Problemi deeysel seti Parametreler Değerleri Ağırlıklar (α,β) (0.25,0.75); (0.50,0.50);(0.75,0.25) Iş sayısı, 0,5,20 İşlem zamaı p [,00] Teslim tarihi d [0, / 2 p ] Çözüle problem 0 Toplam problem 3 3 0=90 Tablo 4 de ele alıa iki ölçütlü paralel makieli problemi tamsayılı programlama çözüm süreleri verilmektedir. Tablo 4 de de görüldüğü gibi makieler ataa işler e kadar degeli ise problem daha da zorlaşmaktadır. 5. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalışmada iki ölçütlü paralel makieli çizelgeleme problemi ele alımıştır. Problemde maksimum tamamlama zamaı ve maksimum erke bitirme ağırlıklı toplamıı eküçüklemek içi tamsayılı programlama modeli geliştirilmiştir. Geliştirile model 20 işli 2 makieli duruma kadar üç farklı ağırlık değeride çözülmüştür. Geliştirile modelle NP-zor yapıda ola bu problemi acak küçük boyutlu çözüm souçları buluabilmektedir. Sezgisel yaklaşımları geliştirilmesi ile uygulamalarda karşılaşılabilecek daha büyük boyutlu problemleri çözümüde yardımcı olabileceği düşüülmektedir. 222
V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstabul Ticaret Üversitesi, 25-27 Kasım 2005 Tablo 4. Tamsayılı programlamaı CPU çözüm süreleri (saye) (α,β) (, 2 ) (0.25,0.75) (0.50,0.50) (0.75,0.25) 0 5,5 4.2 3.5 6.75 6,4 2.9 2.45 7.32 7,3.56.78.86 8,2 0.45 0.66 0.76 9, 0.5 0.36 0.24 5 8,7 248.77 260.60 24.0 9,6 237.9 25.60 204.46 0,5 227.78 239.7 95.43,4 220.23 230.3 88.99 2,3 23.04 222.66 82.42 3,2 203.46 23.34 76.06 4, 94.4 206.60 67.53 20 0,0 3595.59 3688.92 475.69,9 3435.75 3563.08 3979.87 2,8 3282.37 3408.26 379.32 3,7 36.88 3260.03 3625.0 4,6 302.70 307.73 3490.78 5,5 295.35 2969.26 3360.06 6,4 2794.02 2874.0 3254.02 7,3 2683.75 2759.40 305.6 8,2 2577.9 2675.5 2987.28 9, 2499.76 2576.62 2874.9 6. KAYNAKÇA EREN, T., 2004, Çok Ölçütlü Akış Tipi Çizelgeleme Problemleri içi Çözüm Yaklaşımları, Gazi Üversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Doktora Tezi. Akara. GUPTA, J. N. D., RUIZ-TORRES, A. J., 2000, Mimizig Makespa Subect to Mimum Total Flow-Time o Idetical Parallel Machies, EuropeaJoural of Operatioal Research, 25, 370-380. GUPTA, J. N. D., PALANIMUTHU, N., CHEN C. L., 999, Desigg ad Tabu Search Algorithm for the Two-Stage Flow Shop Problem with Secodary Criterio, Productio Plag & Cotrol, 0 (3), 25-265. GUPTA, J. N. D., HO, J. C., WEBSTER, S., 2000, Bicriteria Optimizatio of the Makespa ad Mea Flowtime o Two Idetical Parallel Machies, Joural of the Operatioal Research Society, 5 (), 330-339. GÜNER, E., 994, Tek Makialı Sistemler içi Çok Ölçütlü Çizelgeleme Algoritmaları, Doktora Tezi, Gazi Üversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Akara. LIN, C.-H., LIAO, C.-J., 2004, Makespa Mimizatio Subect to Flowtime Optimality o Idetical Parallel Machies, Computers ad Operatios Research 3 (0), 655-666. LENSTRA, J. K., KAN RINNOOY, A. H. G., BRUCKER, P., 977, Complexity of Machie Schedulig Problems, Aals of Discrete Mathematics, 4, 28-300. MOHRI, S., MASUDA, T., ISHII, H., 999, Bi-Criteria Schedulig Problem o Three Idetical Parallel Machies, Iteratioal Joural of Productio Ecoomics 60, 529-536. SARIN, S. C., HARIHARAN, R., 2000, Two Machie Bicriteria Schedulig Problem, Iteratioal Joural of Productio Ecoomics 65 (2), 25-39. SURESH, V., CHAUDHURI, D., 996, Bicriteria Schedulig Problem for Urelated Parallel Machies, Computers ad Idustrial Egieerig, 30 (), 77-82. 223