ECAS Uluslararası Yapı ve Deprem Mühendslğ Sempozyumu, Ekm, Orta Doğu Teknk Ünverstes, Ankara, Türkye Üç Boyutlu Yapı-Zemn Etkleşm Problemlernn Kuadratk Sonlu Elemanlar ve Sonsuz Elemanlar Kullanılarak Çözümü S. Kaçın Mustafa Kemal Ünverstes, İnşaat Mühendslğ Bölümü, Hatay, Türkye H. R. Yerl Çukurova Ünverstes, İnşaat Mühendslğ Bölümü, Adana, Türkye ÖZET: Bu çalışmada, elastk veya vsko-elastk üç boyutlu yapı-zemn etkleşm problemler, sonlu ve sonsuz elemanlar kullanılarak ncelenmştr. Yapı ve yapıya yakın bölge kuadratk sonlu elemanlar le modellenmş, uzak bölge se dalga yayılma şartlarını sağlayan sonsuz elemanlar le modellenmşr. Bu yöntemle harmonk yükleme etksndek sstemler ncelenmştr. Harmonk yükleme durumunda çözüm kompleks uzayda yapılmıştır. Sonlu-sonsuz eleman model kullanılarak bulunan sonuçlar, lteratürde mevcut analtk ve sayısal çözümler karşılaştırılmıştır. Anahtar Kelmeler : Yapı-Zemn etkleşm, sonlu elemanlar yöntem, sonsuz elemanlar ABSTRACT: In ths study, elastc or vsco-elastc three dmensonal Sol-Structure Interacton (SSI) problems are nvestgated by couplng of fnte and nfnte elements. By ths model, problems are analysed by dscretzng the near feld wth quadratc fnte elements and the far feld extendng to nfnty wth nfnte elements. The method s used for harmonc loadng SSI problems. In the case of harmonc loadng the formulaton s performed n complex doman. The results of several sample problems are solved by the model proposed n ths study are compared wth those avalable n the lterature. Grş Yapı sstemlernn analz yapılırken genellkle yapı le zemn arasındak etkleşm gözönüne alınmadan, sadece yapı sstemler ncelenmektedr. Ancak özel yapılarda (nükleer santraller, barajlar, yeraltı tüneller, yeraltı depoları, asker sığınaklar ve hzmet yeteneğ bakımından özel yapılar), özellkle dnamk analz yapılırken, yapı le zemn arasındak etkleşm öneml etklere yol açablmektedr. Bu nedenle, özellkle bu tür yapıların analzler yapılırken yapı le zemn arasındak etkleşm mutlaka hesaplarda gözönüne alınmalıdır. Yapı-zemn etkleşm problemlernn çözümü son ell yıl çersnde mühendsler tarafından ncelenen oldukça popüler br konudur. 77
Deprem mühendslğ açısından da yapı le zemn arasındak etkleşm oldukça önemldr. Yeraltında meydana gelen depremler ve patlamalar gb etklerden dolayı yeryüzündek yapılarda oldukça öneml etkler oluşmaktadır. Ayrıca yeryüzündek dnamk yüklerden dolayı yeraltındak yapılarda meydana gelen etkler de hesaplamak çn yapı-zemn etkleşm problemlernn çözülmes gerekmektedr. Yeraltındak ve yeryüzündek bu etklern bulunması ve bunlara göre yapıların güvenl br şeklde nşa edlmes gerekmektedr. Yapı-zemn etkleşm problemlernde k öneml bleşen vardır. Sonlu br boyuta sahp olan yapı ve sonsuza uzanan zemn. Bu tp problemlern analznde, sonlu elemanlar yöntem oldukça yaygın olarak kullanılmaktadır. Ama sonsuza uzanan zemn çn öneml br problem mevcuttur. Analz sırasında sonsuza uzanan zemnn ne kadarının gözönüne alınacağı ve alınan bu zemn parçasının sınırları oldukça önemldr. Çünkü, zemn çersnde, dnamk etkye yol açan dalgalar kaynaktan sonsuza doğru gtmektedr. Sonsuza uzanan ortamın, belrl br kısmını gözönüne almakla, zemn çn yapay br sınır belrlenmş olmaktadır. Yan sonsuza uzanan zemn sonlu br bölge le modellenmektedr. Bu da zemn çersnde yayılan dalgaların sonlu bölgenn sınırlarına çarparak sonlu bölgede kalmasına ve sürekl olarak bu bölgede hareket etmelerne neden olmaktadır. Bu davranış, gerçek dalga hareketn dealze etmedğ çn, gerçekç olmayan sonuçların elde edlmesne neden olmaktadır. Bu nedenle seçlen sonlu bölgenn sınırlarında, dalgaların bu yayılma şartlarını sağlayacak br model uygulanmalıdır. Zemn çnde hareket eden dalgaların sonlu elemanlarla modellenmş bölgenn yapay sınırından geçmes çn, dalgaların sınırdan geçme şartının matematksel modelde sağlanmış olması gerekmektedr. Bundan dolayı, yapı-zemn etkleşm problemlernde, yapay sınırdan enerj geçş matematksel olarak gerçekç br şeklde fade edlmeldr. Yapı-zemn etkleşm problemlernde bu şartları sağlayan farklı modeller uygulanmaktadır. Zemn çn seçlen sonlu bölgenn sınırlarında geçrgen yapay sınırlar kullanılması bu yöntemlerden br tanesdr. Br dğer yöntem se yakın bölge ve yapı çn sonlu elemanlar yöntem, uzak bölge çnse sınır elemanlar yöntemnn (BEM) kullanılmasıdır. Yapı-zemn etkleşm probemlernn çözümünde kullanılan etkl br yöntem de yakın bölge çn sonlu elemanlar, uzak bölge çn se sonsuz elemanların kullanılmasıdır. Uzak bölge olarak anılan yer sonlu eleman ağının bttğ sınırlardır. Burada kullanılan sonsuz elemanlar, ortamda yayılan ve sonsuza gden dalgaları dealze edecek şeklde seçlmektedr. Sonsuz elemanlar çn şekl fonksyonları kullanılarak, rjtlk ve kütle matrsler oluşturulmakta ve sonlu elemanlarla brlkte kolaylıkla uygulanablmektedr. Bu yöntem uygulandığında sstem dare eden denklemn oluşturulması çn sayısal ntegrasyon yöntemler kullanılmakta ve sonuçta smetrk bant tp matrsler elde edlmektedr. Bu da özellkle üç boyutlu problemlerde hem matrslern saklanması bakımından hafıza problemlern hem de çözüm çn geçen sürey azaltmaktadır. Bu çalışmada yapı-zemn etkleşm problemlernn çözümünde yakın bölge çn yrm düğümlü kuadratk sonlu elemanlar kullanılmış, uzak bölge çn se buna uygun sonsuz elemanlar kullanılarak sstem modellenmştr. Kullanılan bu model le harmonk yükleme etks altındak yapı-zemn etkleşm problemler çözülmüştür. Ayrıca, ele alınan yapı-zemn etkleşm problemler SASSI programıyla da çözülerek elde edlen sonuçlar karşılaştırılmıştır. Bu program yapı-zemn etkleşm problemlernn çözümü çn gelştrlmş yapay sınır şartları ve altyapılara ayırma yöntemn kullanan etkl br paket programdır (Lysmer ve ark., 9). 7
Yapı-Zemn Etkleşm Problemler Üç boyutlu elastodnamk yapı-zemn etkleşm problemlernn dıştan etkyen harmonk yükleme etks altındak davranışları ncelenmektedr. Burada, yapı-zemn etkleşm sstemler (sonlu br boyuta sahp olan üst yapı le yarı sonsuz zemn) sonlu ve sonsuz elemanlar kullanılarak ncelenmektedr (Şekl ). Yarı sonsuz geometrye sahp zemn, kaynağa yakın bölgede yrm düğümlü kuadratk sonlu elemanlarla modellenrken, uzak bölgeler çn se kuadratk sonlu elemanlara uygun onk düğümlü sonsuz eleman model uygulanmıştır (Şekl ). Yapı ( Sonlu Elemanlar ) Uzak Bölge (Sonsuz Eleman) Uzak Bölge (Sonsuz Eleman) Yakın Bölge (Sonlu Elemanlar) Uzak Bölge (Sonsuz Eleman) Yarı sonsuz zemn Şekl. Yapı-zemn etkleşm model Kullanılan sonsuz elemanlar dalga yayılma şartlarını sağlayacak şeklde seçlmştr. Yakın bölge çn kullanılan sonlu elemanlar le uzak bölge çn uygulanan sonsuz eleman modelnn brlkte kullanılması oldukça kolaydır ve ek br şlem gerektrmemektedr. Sonsuz elemanların katkıları, şekl fonksyonları yardımıyla sstem rjtlk ve sstem kütle matrslerne kolayca ekleneblmektedr. Elastodnamkten blndğ üzere, sönümün hmal edldğ durumlarda sstem hareket denklem aşağıdak gb verlmektedr. [ M ]{ U& } + [ K ]{ U } = { F(t) } & () Burada, [K] ve [M] sstem rjtlk ve kütle matrslern; { F (t) }, { U } ve { U & } se sırasıyla sstem yük, deplasman ve vme vektörlern temsl etmektedr. Harmonk yükleme durumunda, sstem yük vektörünün, ω F(t) = F e () { } { } t formunda olduğu kabul edlmektedr. Burada {F } harmonk yüklemenn genlk vektörünü, ω yüklemenn frekansını göstermektedr. Bununla brlkte, ssteme at deplasmanların çözümününde aynı frekansla harmonk olduğu kabul edldğnden, ω t { U } = { U } e () şeklnde elde edlmektedr. {U } deplasman genlk vektörüdür. Benzer olarak vme vektörü () fades kullanılarak, t { U & ω } = ω { U } e () şeklnde elde edlr. (), () ve () eştlkler, () sstem hareket denklemnde yerlerne konursa K ω M U = F (5) ( [ ] [ ] ){ } { } 79
şeklnde, harmonk yükleme durumu çn sstem hareket denklem elde edlr. Görüldüğü gb sstem denklem knc mertebeden dferansyel denklem takımı yerne; lneer, cebrk denklem takımına dönüşmektedr. Sstem denklem takımının çözümünden deplasman genlk vektörü bulunup, () ve () te yerne konulduğunda sstem deplasman ve vme vektörler elde edlmş olur. Eğer sstemde sönüm varsa (bu çalışmada harmonk yükleme hal çn sadece hsteretk sönüm kullanılmaktadır), elastkvskoelastk anolojs kullanılarak (5) de görülen sstem denklem takımı, ( ( + z )[ K ] ω [ M ] ){ U } = { F } (6) şeklnde modfye edlerek kullanılmaktadır. Burada, z hsteretk sönüm oranını temsl etmektedr. Sonlu Eleman Seçm Bu çalışmada kullanılan kuadratk yrm düğümlü, zoparametrk elemana at eleman rjtlk ve kütle matrsler referans koordnatlarında; T [ k ] = [ B ] [ D ][ B ] (6 6) + + + T [ m ] = ρ[ N ] [ N ] (6 6) + + + ζ= η= ξ= ζ= η= ξ= J J dξdηdζ dξdηdζ olarak elde edlr. Yukarıdak sonlu ntegraller Gauss-Legendre sayısal ntegrasyon yöntem kullanılarak hesaplanmaktadır. Bu çalışmada üç noktalı Gauss ntegrasyon kullanılmıştır. (7) fades le her br eleman çn elde edlen eleman rjtlk ve kütle matrsler kullanılarak kodlama teknğ yardımıyla, sstem rjtlk ve sstem kütle matrsler oluşturulur. Bu fadelerde görülen şekl fonksyonları kuadratk yrm düğümlü elemana at şekl fonksyonlarıdır (Cook ve ark., 99). Sonsuz Eleman Seçm Bu çalışmada yarı sonsuz ortamların modellenmesnde, uzak bölgelerde sonsuz elemanlar kullanılmaktadır. Sonsuz eleman formülasyonu, dalga yayılma şartlarını sağlayacak şeklde düzenlenmştr. Kuadratk düğümlü sonlu eleman modelne uygun olan düğümlü sonsuz elamanlar kullanılmaktadır (Şekl ). ξ 5 5 ζ 6 6 7 7 (a) (b) Şekl. Onk düğümlü sonsuz eleman (a) Gerçek eleman (b) Referans elemanı Şekl de görüldüğü üzere, bu elemanda br doğrultu sonsuza gderken ( ξ ) dğer doğrultular sonlu br boyuta sahptr (- η +, - ζ +). Gerçek eleman le referans elemanı arasındak geometrk dönüşüm, = = x = M x y = M y z = M z () 9 = η 9 (7)
şeklnde tarflenmektedr. Yukarıda görülen M geometrk şekl fonksyonlarıdır (Kaçın, ). Sonsuz elemanın herhang br noktasındak deplasmanların dönüşümü, nterpolasyon şekl fonksyonları ve düğüm noktaları deplasmanları cnsnden şu şeklde yazılablr. u = N u = = v N v w = N w (9) = Onk düğümlü sonsuz elemana at nterpolasyon şekl fonksyonları dalgaların sonsuzda sıfıra gtmesn sağlayacak seklde, azalan fonksyonlu olarak, N = P( ξ, ω) L ( η, ζ ) =,,,..., () formunda seçlmektedr. Burada görülen L ( η,ζ ) fadeler, L = η ζ η ζ L = η L L L 5 7 = = = = ( )( )( ) ( )( ζ ) ( η )( +ζ )( η + ζ) L = ( η )( +ζ ) ( +η )( +ζ )( + η+ ζ) L = ( +η )( ζ ) ( +η )( ζ )( + η ζ) L = ( η )( ζ ) olarak alınmaktadır. Ayrıca P(ξ,ω) deplasman yayılma fonksyonu olup, ( α+ β) ξ ω P( ξ, ω) = e β = L () c şeklnde olduğu kabul edlmektedr. Burada görülen α ve β sırasıyla deplasman genlk azaltma parametres ve dalga sayılarını göstermektedr. c se dalga hızını temsl etmektedr. L se sonsuz eleman çn karakterstk boy değerdr. Bu durumda sonsuz elemana at şekl fonksyonları matrs L L L ( α + β ) ξ [ N ] = e L L L () L L L ( α + β ) ξ * [ N ] = e [ N ] şeklnde yazılablmektedr. Bu fadeler kullanılarak, eleman rjtlk ve kütle matrsler referans koordnatlarına dönüşmüş olarak, ( J ) + + S * T * [ ] = [ ] [ ] [ ] ( ) B D B ( α+ β) ξ ξ η ζ 6 () k e d d d () ( J ) + + S * T * [ ] = ρ [ ] [ ] ( ) N N m e d d d (5) ( α+ β) ξ ξ η ζ şeklnde elde edlr. Sonsuz eleman rjtlk ve kütle matrs fadeler çnde yer alan ntegrallern hesabı, sonlu yönde Gauss-Legendre ntegrasyon yöntemyle, sonsuz yöndek ntegraller se Newton-Cotes yöntem le hesaplanmaktadır (Yerl, 99). () ve (5) fadeler yardımıyla sonsuz elemanların her br çn elde edlen eleman rjtlk ve kütle matrsler, kodlama teknğ yardımıyla sstem rjtlk ve sstem kütle matrslernn uygun yerlerne eklenr. Yarı sonsuz ortamda yapı-zemn etkleşm analz ncelenrken, kaynaktan uzağa yerleştrlen sonsuz elemanların amaçlarından br de, ortam çnde yayılan dalgaların sonlu elemanların bttğ yerden (sınırdan) geçp sonsuzda sıfır olmasıdır. Br başka deyşle, dalgaların sınıra çarpıp yansıyarak tekrardan ortama dönmesn engellemektr. Bu çalışmada önerlen sonsuz elemanlarla, ortamda yayılan elastk dalgaların sınırdan geçp sonsuzda sıfır olması sağlanarak, yansımalar önlenmektedr.
Elastk Yarı Sonsuz Zemn Üzernde Rjt Kare Temel Problem Harmonk yükleme durumu çn ele alınan lk örnek, elastk yarı sonsuz zemn üzernde bulunan B B boyutlu rjt, kütlesz kare temele at kompleyans değerlernn ncelenmesdr (Şekl ). Sstemn geometrs ve yüklemesnn smetr ve/veya antsmetr özellkler kullanılarak, sadece dörtte br bölge çn sonlu-sonsuz eleman ağı hazırlanarak çözümler elde edlmştr. Temel genşlğ B= m, elastk zemne at malzeme özellkler, E= 9 N/m, ν=/ ve ρ= kg/m olarak seçlmştr P B B Şekl. Elastk yarı sonsuz zemn üzernde rjt kare temel Yükün hemen altındak noktanın kompleyans değerlernn değşm aşağıdak grafklerde görülmektedr..6 Düğüm (Re).6 Düğüm (İm). Düğüm (Re) BEM (Re). Düğüm (İm) BEM (İm).... Şekl. Boyutsuz düşey kompleyansın boyutsuz frekansla değşm..5. Düğüm (Re) Düğüm (Re) BEM (Re)..5. Düğüm (İm) Düğüm (İm) BEM (İm).5.5...5.5.5.5.5.5 Şekl 5. Boyutsuz yatay kompleyansın boyutsuz frekansla değşm
.5..5..5..5 Düğüm (Re) Düğüm (Re) BEM (Re)..5..5..5 -.5 Düğüm (İm) Düğüm (İm) BEM (İm) Şekl 6. Boyutsuz dönme kompleyansının boyutsuz frekansla değşm Bu problemde, ssteme at bütün büyüklükler boyutsuzlaştırılarak kullanılmıştır. Boyutsuzlaştırmalarda kullanılan karakterstk büyüklükler, kuvvet (ƒ), zaman (t) ve uzunluk (l) olarak gösterlmştr. Bu örnekte karakterstk uzunluk olarak temel yarı genşlğ olan B mesafes kullanılmıştır, karakterstk kuvvet f = GB ve zaman t=b/c s olarak seçlmştr. Burada, G kayma modülünü, c s kayma dalgası hızını fade etmektedr. Bu problemn çözümü çn toplam 6 sonlu ve sonsuz eleman kullanılmıştır. BEM le fade edlen sınır eleman yöntem le bulunan sonuçlar ve düğümlü sonlu elaman sonuçları se (Yerl, 99) den alınmıştır. Grafkler ncelendğnde, önerlen model le bulunan sonuçların dğer yöntemler le bulunan sonuçlarla uyum çersnde olduğu görülmektedr. Elastk Yarı Sonsuz Zemn Üzernde İk Temel Problem Üç boyutlu yapı zemn etkleşm konusunun öneml problemlernden brde, brden çok sayıda yapının veya yapı temelnn etkleşm durumudur. Bu problemde dnamk analz yapılırken ele alınan yapının yanında yer alan dğer br yapının, ncelenen ssteme etks araştırılmaktadır (Şekl 7). B B P d B B Şekl 7. Elastk zemn üzernde k temel olması durumu Ele alınan örnekte B B boyutlarında yanyana k temel ncelenmştr. Temel genşlğ B= m alınmıştır. Zemnn malzeme özellkler ; E = 9 N/m, ρ = kg/m, ν = / olarak alınmıştır. Kütlesz temellern se E = 9 9 N/m ve ν = /
olarak alınmıştır. Aktf temele etk eden yük P = 6 N olarak seçlmştr. Problemn çözümü çn kullanılan sonlu-sonsuz eleman ağında 6 sonlu ve sonsuz eleman bulunmaktadır. Düşey Deplasman (E-m) - - Sonsuz Elm. (Re) 6 Düşey Deplasman (E-m) - Sonsuz Elm. (İm) 6 - Frekans - Frekans Şekl - Pasf temeln orta noktasındak deplasmanın değşm Düşey Deplasman (E- m)..5..9.6. Sonsuz Elm.(Re) 6 Frekans Düşey Deplasman (E- m)..6.. Sonsuz Elm. (İm) 6 Frekans Şekl 9- Aktf temeln orta noktasındak deplasmanın değşm Yükleme yapılan temel aktf temel, dğer temel se pasf temel olarak fade edlmektedr. Şekl de pasf temeln orta noktasındak deplasmanın frekansla değşm görülmektedr. Şekl 9 da se aktf temeln orta noktasındak deplasmanın frekansla değşm verlmektedr. Uygulanan model le bulunan sonuçların SASSI paket programıyla bulunan sonuçlarla uyum çersnde olduğu görülmektedr. Bulgular ve Sonuçlar Bu çalışmada, harmonk yükleme etks altındak üç boyutlu yapı-zemn etkleşm problemler ncelenmştr. Harmonk yükleme durumu çn formülasyon kompleks uzayda gelştrlmştr. Yapı ve yakın bölge çn düğümlü kuadratk sonlu elemanlar kullanılırken uzak bölge çn düğümlü sonsuz elemanlar kullanılmıştır. Kullanılan sonsuz elemanlar, dalgaların yayılması ve sonsuzda sıfır olması durumunu
dkkate alacak şeklde tasarlanmıştır. Daha önce analtk olarak çözülen veya başka yöntemlerle çözümü yapılan problemler, önerlen modelle çözülmüş ve sonuçların uyum çersnde olduğu gözlenmştr. Ayrıca bu modeln uygulanması durumunda elde edlen denklem takımı smetrk ve bant tp matrslerden oluşmaktadır. Bu da özellkle üç boyutlu problemlerde oluşan denklem takımlarının çözümünde blgsayar hafızası ve zamandan öneml ölçüde tasarruf sağlamaktadır. Referanslar Chongbn, Z., and Vallappan, S., 99. A Dynamc Infnte Element for Three- Dmensonal Infnte-Doman Wave Problems. Int. J. Num. Meth. Engrg., 6: 567-5. Cook, R. D., Malkus, D. S., and Plesha, M. E., 99. Concepts and Applcatons of Fnte Element Analyss. John Wley and Sons, Sngapore, 6p. Kaçın, S.,. Üç boyutlu Yapı-Zemn Etkleşm Problemlernn Kuadratk Sonlu ve Sonsuz Elemanlar Kullanarak Statk ve Dnamk Analz. Doktora Tez, Çukurova Ünverstes, Fen Blmler Ensttüsü, Adana. Lysmer, J., Tabatabae, M., Vahdan, S., and Ostadan, F., 9. SASSI-a System for Analyss of Sol-Structure Interacton. Report UCB/GT/-, Geot. Engng., Unversty of Calforna, Berkeley. Marques, J. M. M. C., and Owen, D. R. J., 9. Infnte Elements n Quas-Statc Materally Nonlnear Problems. Computers & Structures, (): 79-75. Meng, Y., Tanrıkulu, A. H., and Tanrıkulu, A. K., 99. Boundary Element Method for Elastc Meda - An Introducton. ODTÜ Basım İşlğ, Ankara, s. Yerl, H.R., 99. İk ve Üç boyutlu Yapı-Zemn Etkleşm Problemlernn Sonlu ve Sonsuz Elemanlar Kullanılarak Analz. Doktora Tez, Çukurova Ünverstes, Fen Blmler Ensttüsü, Adana. 5