Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi DÜZ DİŞLİ ÇARKLARIN SONLU ELEMANLAR METODU İLE MODELLENMESİ

Transkript

1 Journal of Engneerng and Natural Scences Mühendslk ve Fen Blmler Dergs Sgma 2004/2 DÜZ DİŞLİ ÇARKLARIN SONLU ELEMANLAR METODU İLE MODELLENMESİ M. Cüneyt FETVACI *, C. Erdem İMRAK İstanbul Teknk Ünverstes, Makne Fakültes, Makne Mühendslğ Bölümü, Gümüşsuyu-İSTANBUL Gelş/Receved: Kabul/Accepted: FINITE ELEMENT MODELLING OF SPUR GEARS ABSTRACT The fnte element method s a powerful technque used n the analyss of the engneerng problems. The method gves adequete solutons to the stress concentraton problems where exact analytcal solutons not avalable. In ths study, the prncples of modellng spur gears for fnte element stress analyss are examned. The model developed s analyzed and the results are gven comparng wth other researchers. Keywords: Düz dşl çark, gerlme analz, sonlu eleman metodu ÖZET Sonlu elemanlar metodu mühendslk problemlernn analznde kullanılan güçlü br sayısal teknktr. Özellkle gerlme yığılmasının söz konusu olduğu problemlerde, sonlu elemanlar metodu uygun modelleme le tatmnkar netceler vermektedr. Bu çalışmada düz dşl çarkların sonlu elemanlar metodu le gerlmelernn analznde dkkat edlmes gereken hususlar ele alınmıştır. Modeln tessnde yapılan kabuller ve zlenen adımlar zah edlmştr. Tess edlen dşl çark sonlu elemanlar model analz edlmş ve elde edlen netceler dğer araştırmacıların netceler le karşılaştırılarak verlmştr. Anhatar Sözcükler: Spur gear, stres analyss, fnte element method 1. GİRİŞ Dşl çark dzaynında dşdb gerlmelernn analz temel problemdr. Dşdb gerlmelernn blnmes, dşl hasarına karşı önlem almada ve yük taşıma kapastesnn arttırılması bakımından önem arz etmektedr. Analtk metodlara alternatf olarak, Wlcox ve Coleman [1], sonlu eleman metodunu (SEM) dşdb gerlmelern analz etmek çn dşl çarklara uygulamışlardır. Analz netcesnde smetrk ve smetrk olmayan dş profller çn dşdb gerlmeler hesaplanmıştır. Çalışmada k boyutlu dşl çark sonlu eleman modeln tessnde göz önüne alınan hususlar belrtlmştr. Chabert ve arkadaşları [2] tatmnkar doğrulukta netce veren dşl çark sonlu elemanlar modelnn dş sayısı ve göbek dernlğn tayn etmşler ve kurdukları modelle gerçekleştrdkler analzler netcesnde dşdbnde gerlmey hesaplayan br fade tess etmşlerdr. Tobe ve arkadaşları [3], gelştrdkler sonlu eleman model le dştek gerlmey ve yükleme noktasındak şekl değşmn ncelemşlerdr. Bahsedlen çalışmalarda [1-3] tek dşten oluşan sonlu eleman modeller kullanılmıştır. * Sorumlu Yazar/Correspondng Autor: e-mal: fetvacc@tu.edu.tr ; tel: (0212)

2 Düz Dşl Çarkların Sonlu Elemanlar... Dşl çark sonlu elemanlar modeln elde etmek çn her şeyden önce dşl profln tayn eden analtk fadelern uygun br programlama yaklaşımı le blgsayar ortamına aktarılması gerekmektedr. Lteratürde mevcut çalışmalarda, çeştl metodlarla dş profln tayn eden analtk fadeler tess edlmştr [4-7]. Bu çalışmada evolvent profll düz dşl çarkların sonlu elemanlar modellenmesnde dkkat edlmes gereken hususlar hakkında blg verlmştr. Dşdb bölgesnde yorulma çatlağını tetkleyen gerlme yığılmasını yükleme şartlarına göre nceleyen modeln tess ele alınmıştır. Uygulama ANSYS genel amaçlı sonlu eleman analz paket programında gerçekleştrlmştr. Çalışmada gelştrlen dşl çark sonlu elemanlar modelnn analznden elde edlen netceler dğer araştırmacıların modeller le karşılaştırılarak verlmştr. 2. DİŞLİ ÇARK GEOMETRİSİ Düz dşl çark geometrs dş yan yüzeylernde evolvent eğrsnden ve dş yan yüzeylern dş db daresne bağlayan trokod formda kök eğrsnden meydana gelmektedr (Şekl 1). Kesc takımın geometrs dş profln tayn etmektedr. Trokodal kök eğrsn ve evolvent profl tayn eden fadeler dşl çarkların analtk mekanğnden elde edlmektedr [4,5]. Şekl 1. Düz dşl çark geometrs [5] Ltvn tarafından gelştrlen düz dşl çark dş profl oluşturma metodunda belrtlen ve kremayer bıçakla dşl malatının smüle eden parametrk fadeler, Fetvacı ve İmrak tarafından blgsayar ortamında kullanılmak üzere düzenlenmş halyle bu çalışmada evolvent düz dşl profl elde etmek çn kullanılmıştır [4,8]. Bu çalışmada ele alınan evolvent dş profln elde etmek çn kullanılan kremayer bıçak ve modellemede kullanılacak evolvent profl Şekl 2 de görülmektedr. Kesc takımın geometrs Şekl 3 de görülmektedr. Kesc takımın yan yüzey dşlnn evolvent profln, takım ucunun yay kısımı dşlnn trokod forma kök eğrsn ve nhayet takım ucunun doğru kısmı se dşdbn daresn belrlemektedr. 47

3 M. C. Fetvacı, C. E. İmrak Sgma 2004/2 Şekl 2. Evolvent profln oluşturulması Şekl 3. Kesc takım geometrs ve takım ucu detayı 3. SONLU ELEMANLAR MODELLEMESİ Sonlu elemanlar metodunda, problem geometrs brbrlerne düğüm noktalarından bağlı ve kenarları boyunca temas eden çok sayıda özellkler blnen bast geometrk şekller le temsl edlmektedr. Herbr elemanda fzksel davranış dferansyel denklemler le tanımlanmaktadır. Bütün bu elemanlar brleştrlmekte ve brbrne komşu elemanlarda sürekllk ve denge şartları sağlanmaktadır. Netcede lneer cebrk denklem takımı le problemn tümünün fzksel davranışı tanımlamakta ve uygun sayısal metod le çözüm elde edlmektedr [9] Sonlu Eleman Formülasyonu 2-Boyutlu sonlu elemanlar modellenmesnde kullanılan elemanlar seçlen yerdeğştrme fonksyonuna göre lneer veya knc dereceden, elemanın geometrk şeklne göre se üçgen veya dörtgen formda olablrler. Lneer dörtgen elemanda sadece köşelerde düğüm noktası olmasına karşın, knc dereceden dörtgen elemanda lave olarak kenar-ortalarda da düğüm noktası vardır. Bu durum eğrsel yüzeyl geometrlern modellenmesnde daha hassas br yaklaşım sağlar ve 48

4 Düz Dşl Çarkların Sonlu Elemanlar... analzn doğruluk derecesn yleştrr [10]. Bu çalışmada kullanılan 8-düğüm noktalı ve knc dereceden yerdeğştrme fonksyonlu sonlu eleman Şekl 4 de gösterlmştr. N Şekl 4. 8-düğüm noktalı dörtgen sonlu eleman Eleman şekl fonksyonları köşe düğüm noktalarında (1,2,3 ve 4 numaralı düğümlerde), 1 (1 + ξξ )(1 + ηη )( ξξ + ηη 1) (1) 4 = burada ξ ve η lgl düğüm noktasının doğal koordnatlarıdır. Şekl 4 de görülen 5, 6, 7 ve 8 numaralı düğümler, kenar-orta düğüm noktaları olup, eleman şekl fonksyonları (2) ve (3) numaralı denklemde verlmştr. ξ = 0 olduğu 5 ve 7 numaralı düğüm noktalarında, N 1 (1 2 = + ξ )(1 + ηη ) (2) 2 η = 0 olduğu 6 ve 8 numaralı düğüm noktalarında, N 1 (1 )(1 2 = + ξξ +η ) (3) 2 Eleman çndek herhang br P noktasının yerdeğştrme bleşenler (u, v), şekl fonksyonları N ve düğüm noktası yerdeğştrmeler (u, v ) cnsnden, 8 8 u = N u = NU ve v = N v = NV (4) = 1 = 1 denklemler le fade edlmektedr. Şekl değştrme vektörü se, ε = Bq (5) olarak yazılablr. Bu denklemde yerdeğştrmeler şekl değştrmelere bağlayan B(3x16) matrs, doğal koordnatlarξ ve η değşkenler le düğüm noktalarının global koordnatlarını çermektedr. Elemanın düğüm noktası yerdeğştrme vektörü q = [ u1 v1.... u8 v8 ] (6) dr. Elemanın rjtlk matrs aşağıdak denklemde fade edlmektedr. 49

5 M. C. Fetvacı, C. E. İmrak Sgma 2004/2 k e = t 1 1 e 1 1 B T DBJdξ dη (10) 4. DİŞLİ ÇARK SONLU ELEMAN MODELİ Düz dşl çarklarda, dş radyal eksene (dş merkez doğrusu) göre smetrktr. Dş formu genşlk doğrultusunda değşmedğnden ve teork olarak dş genşlğ boyunca kuvvet dağılışının düzgün olduğu kabul edlebldğnden dşler k boyutlu csm olarak modelleneblr [11-13]. Dşlern üç boyutlu olarak modellenmes, k boyutlu modellemedek benzer netceler vermekle brlkte, model hazırlama ve çözüm süres (hesaplama malyet) uzun ve zahmetl olacağından terch edlmemektedr Eleman Tp ve Malzeme Özellkler Malzeme homojen, zotropk ve Hook Kanuna göre elastktr. Elastste modülü ve posson oranı malzeme özellklerdr. Bu özellklere göre, yukarıda matematksel özellkler açıklanan 2- Boyutlu zoparametrk dörtgen eleman modellemede kullanılmıştır Sonlu Eleman Ağının Tess Fetvacı, çözüm yöntemne bağlı olarak dşl çark sonlu eleman ağlarının değşk şekllerde oluşturableceğn vurgulayarak, modeln tess edlmesnde takp edlen adımları detaylı olarak sunmuştur [14]. Buna göre, tek br dş uzayda belrleyen tel kafes model, yardımcı çzgler le bölgelere ayrılır. Bu bölgelere katı model özellğ verldkten ve eleman tp le malzeme özellkler belrlendkten sonra uygun eleman dağılımı tayn edlerek sonlu eleman model elde edlmektedr. Tek br dşden oluşan çözüm bölges, katı model ve sonlu eleman model Şekl 5 de gösterlmştr. (a) Çözüm bölges (b) Katı model (c) Sonlu eleman model Şekl 5. Dşl çark sonlu elemanlar modelnn elde edlmes 4.3. Sınır Şartlarının Tatbk Edlmes Statk sınır şartı dş kuvvetdr. Kuvvetn tatbk açısı evolvent geometrsnden tayn edlmektedr. Bu açıya göre kuvvetn radyal ve teğetsel bleşenler hesap edlerek tatbk edlr. Uygun şlemlerle dş kuvvet her noktada yüzeye normal doğrultuda da tatbk edleblr. 50

6 Düz Dşl Çarkların Sonlu Elemanlar... Dşler yük paylaşımını sağlayacak hassasyette mal edlmedğ düşünülerek dş kuvvetnn dş ucunda tam değerde etk ettğ kabul edlmştr. Bu nedenle dş dbnde azam gerlmey sağlayan yük tatbk noktası dş ucudur ve bu durum Şekl 6 da gösterlmştr[13]. Şekl 6. Dş kuvvetnn dş ucundan tatbk Knematk sınır şartı, dş sektörünün radyal kenarlarına ve tabanına tatbk edlen yer değştrme kısıtlamalar olup, çözüm bölgesnde bulunacak dş adedn belrler. Br dşl çarkı tüm dşler le modelleme uzun hesaplama zamanı gerektrdğden terch edlmemektedr. Bunun yerne bütün sınır şartları ve parametrelern tanımlanmasına mkan sağlayan dşl sektörler göz önüne alınır [15,16]. Br dşte meydana gelen gerlmeler, öncelkle o dşe doğrudan tatbk edlen kuvvete bağlıdır. En kötü hal olarak tüm yükün temastak tek dşn taşıdığı hal ele alındığında, tek br dşten oluşan sektör halndek model tess etmek uygun br çözümdür. Böylece kalan kısımda yerdeğştrmeler hmal edlerek model bastleştrlmektedr [2,3,17]. 5. DİŞLİ MODELİNİN GERİLME ANALİZİ VE KARŞILAŞTIRILMASI Lteratürdek genel eğlmde dşl çark sonlu eleman modeller tek dşten tess edlmştr. Dş kuvvetde modellere tekl yük olarak tatbk edlmştr. Ağlar ncelendğnde dş merkez doğrusuna smetrk olarak tess edldkler ve kök bölgesndek gerlme yığılmasını temsl etmek çn eleman yoğunluğunun bu bölgeden smetr eksenne göre tedrc olarak azaltıldığı görülmektedr. Lteratürde mevcut çalışmalardan ks aşağıda sunulmuştur. Chabert ve arkadaşları, k boyutlu dşl çark sonlu eleman modeln 6-düğüm noktalı üçgen elemanlar le tess etmşlerdr. Düzlem brm şekl değştrme kabulü yapılmıştır. Hesaplamalarda kolaylık açısından tek dşten tess edlen modeln yeterl olacağı belrtlmştr. Yük dş ucuna yakın br mesafeden tekl olarak tatbk edlmştr. Şekl 7-a' da tess edlen model görülmektedr. Tobe ve arkadaşları, 6-düğüm noktalı eleman tessnde düzlem brm şekl değştrme haln kabul etmşlerdr. Yük dş ucuna tekl olarak tatbk edlmştr. Şekl 7-b de model görülmektedr. Bu çalışmada gelştrlen ve kök bölgesnn sınr şartlarının etksnden zole edldğ dşl çark sonlu eleman model Şekl 8 de görülmektedr. 51

7 M. C. Fetvacı, C. E. İmrak Sgma 2004/2 F F (a) Chabert ve arkadaşları nın model [2] (b) Tobe ve arkadaşları nın model [3] Şekl 7. Lteratürde tess edlmş dşl modeller Şekl 8. Dşl çark sonlu eleman model Bu çalışmada, gerlme analz çn tess edlen modelde, modül m =3 mm, dş sayısı z =20 ve kavrama açısı α = 20º ve sektör kalınlığı 2 m olarak alınmıştır. Analzler, N=6 kw 52

8 Düz Dşl Çarkların Sonlu Elemanlar... gücünde ve n=1500d/d hız değernde sabt moment naklne göre belrtlen dş sayılarında yapılmıştır. Chabert ve arkadaşları le Tobe ve arkadaşları nın tess ettkler modeller le bulunan netcelern, bu çalışmada tess edlen modelden elde edlen netceler le karşılaştırılmasında modül, dş sayısı ve sektör kalınlığı ele alınmıştır. Ancak dşdb gerlmelern belrleyen faktörlerden br olan ve Şekl 3 de gösterlen kesc takıma at uç yuvarlatma yarıçapı DIN 867 standartında belrlenen m değer le kullanılmış olup, değşmnn dşdb gerlmeler üzerndek etks çalışma konusu dışında tutulmuştur. Normalze gerlme σ N, çekme tarafındak maksmum gerlme σ T, dş kuvvet F, modül ve dş genşlğne bağlı olarak σ N = σ T / (F / b m) fadesyle verlmştr. Çekme tarafındak maksmum gerlme, dş kuvvetne göre normalze edlmş değerler brm dş genşlğ (b =1) çn hesaplanmıştır. Normalze gerlme değerlernn dş sayılarına göre değşm Şekl 9'da gösterlmştr NORMALİZE GERİLME TOBE CHABERT FETVACI DİŞ SAYISI - Z- Şekl 9. Dş sayısına göre gerlmelern değşm Chabert ve arkadaşlarının kullandığı model, üçgen elemanlardan oluşmakta, bu çalışmada tatbk edlen dşl model se dörtgen elemanlardan oluşmaktadır. Dş sayısının 20 den 40 kadar olan değerler çn azam gerlmenn değşm Tobe ve arkadaşlarının elde ettğ değerlere yakın değerlerdedr. Değerler arasındak fark seçlen eleman tpnn etksn göstermektedr.. Chabert ve arkadaşlarının elde ettğ gerlme değerlerndek farklılık, çözüm bölgesnn sınırlarından kaynaklanmaktadır. 53

9 M. C. Fetvacı, C. E. İmrak Sgma 2004/2 6. SONUÇ Çalışmada düz dşl çarkın sonlu elemanlar metodu le ncelenmes çn yapılması gereken kabuller ve zlenen adımlar zah edlmştr. Dş geometrsnn elde edlmes ve sonlu eleman paket programında problemn ele alınma tarzı açıklanmıştır. Bu konuda lteratürde yer alan mevcut dşl modellernn ncelenmesyle, knc dereceden dörtgen elemanlardan oluşan yen br düz dşl çark sonlu eleman model gelştrlmş ve modellemeye at blgler çalışmada sunulmuştur. Gelştrlen dşl modelnden elde edlen gerlme değerler, 20 la 40 arasındak dş sayılarında lteratürdek değerler le karşılaştırılmıştır. Tobe ve arkadaşlarının değerler le örtüştüğü, Chabert ve arkadaşlarının modelnden elde edlen netcelerle se 26 ve altındak dş sayısı değerlernde aynı olduğu görülmüştür. Yüksek dş sayılarında lteratürde yeralan tek br dşten oluşan modelde kök bölges, uygulanan sınır şartlarından etklendğnden uygun netce vermemektedr. Bu nedenle kök bölgesnn tamamen zole edldğ gelştrlen dşl modelnn kullanılması yernde olacaktır. KAYNAKLAR [1] Wlcox, L., Coleman, W., Applcaton of Fnte Elements to the Analyss of Gear Tooth Stresses, ASME Journal of Engneerng for Industry, 95, , [2] Chabert, G., Tran,T.D., Maths, R., An Evaluaton of Stresses and Deflecton of Spur Gear Teeth Under Stran, ASME Journal of Engneerng for Industry, 96, 85-93, [3] Tobe, T., Kato, M., Inoue, K., True Stress and Stfness of Spur Gear Teeth, ASME Proceedngs of the 5 th World Congress on Theory of Machnes and Mechansms, , [4] Ltvn, F.L., Gear Geometry and Appled Theory, PTR Prentce Hall, New Jersey, [5] Buckngham, E., Analytcal Mechancs of Gears, McGraw-Hll, New York, [6] Hefeng, B., Savage, M. and Knorr, R.J., Computer Modellng of Rack Generated Spur Gears, Mechansms and Machne Theory, 20, , [7] Chang, H.L., Tsa, Y.C., A., Mathematcal Model Of Parametrc Tooth Profles for Spur Gears, ASME Journal of Mechancal Desgn, 114: [8] Fetvacı, M.C., İmrak, C.E., Blgsayar Desteğ le Dşl Çark Görsel Materyallern Elde Edlmes, Mühends ve Makna, Clt 44, Sayı 524, Eylül 2003, [9] Becker, A.A., The Boundary Element Method n Engneerng, McGraw-Hll, Cambrdge, [10] Moaven, S., Fnte Element Analyss: Theory and Applcaton wth ANSYS, Prentce Hall, New Jersey, [11] Wlcox, L., Fnte Element Analyss Pnponts Gear Tooth Stresses, Machne Desgn, 50: (4) 88-92, [12] Akkurt, M., Makna Elemanları Clt 3 Dşl Çarklar, Brsen Yayınev, [13] Colbourne, J.R., The Geometry of Involute Gears, Sprnger-Verlag, New Jersey, [14] Fetvacı, M.C., ANSYS Sonlu Elemanlar Analz Programı le Düz Dşl Çarkların Modellenmes, Mühends ve Makna, Sayı 474, 41-44, Temmuz [15] Sfakotaks, V.G., Vatss, J.P., Anfants, N.K., Numercal Smulaton of Conjugate Spur Gear Acton, Computers and Structures, 79, , [16] Fetvacı, M.C., İmrak, C.E., Dşl Çarkların Gerlme Analz İçn Sonlu Eleman Modellenmes, TMMOB Makna Mühendsler Odası Konya Şubes II. Makna Tasarım ve İmalat Teknolojler Kongres, Eylül 2003, [17] Moslehy, F.A., Ahlqvst, J., Ionescu, I., Optmzaton of Gear Tooth Stresses Usng Internal Relef Holes, Proc. of the 2000 Int. Conf. on Industry Engneerng And Management System (IEMS2k), Cocoa Beach, FL, Mart