LKÖRETM 3. SINIF ÖRENCLERNN TOPLAMSAL FADELER ÇEREN PROBLEMLERN ÇÖZÜMÜNDE TERSNE ÇEVRME PRENSBN UYGULARKEN GEÇRDKLER ZHNSEL LEM SÜREÇLER

T.C. ADNAN MENDERES ÜNVERSTES SOSYAL BLMLER ENSTTÜSÜ LKÖRETM ANABLM DALI SÖ-YL-2011- LKÖRETM 3. SINIF ÖRENCLERNN TOPLAMSAL FADELER ÇEREN PROBLEMLERN ÇÖZÜMÜNDE TERSNE ÇEVRME PRENSBN UYGULARKEN GEÇRDKLER ZHNSEL LEM SÜREÇLER HAZIRLAYAN Özge YT DANIMAN Yrd. Doç. Dr. Esin ACAR Aydın-2011

T.C. ADNAN MENDERES ÜNVERSTES SOSYAL BLMLER ENSTTÜSÜ LKÖRETM ANABLM DALI SÖ-YL-2011- LKÖRETM 3. SINIF ÖRENCLERNN TOPLAMSAL FADELER ÇEREN PROBLEMLERN ÇÖZÜMÜNDE TERSNE ÇEVRME PRENSBN UYGULARKEN GEÇRDKLER ZHNSEL LEM SÜREÇLER HAZIRLAYAN Özge YT TEZ DANIMANI Yrd. Doç. Dr. Esin ACAR Aydın-2011

T.C. ADNAN MENDERES ÜNVERSTES SOSYAL BLMLER ENSTTÜSÜ MÜDÜRLÜÜNE AYDIN lköretim Ana Bilim Dalı Sınıf Öretmenlii Programı örencisi Özge YT tarafından hazırlanan lköretim 3. Sınıf Örencilerinin Toplamsal fadeler çeren Problemlerin Çözümünde Tersine Çevirme Prensibini Uygularken Geçirdikleri Zihinsel lem süreçleri balıklı tez, 29.07.2011 tarihinde yapılan savunma sonucunda aaıda isimleri bulunan jüri üyelerince kabul edilmitir. Unvanı, Adı ve Soyadı : Kurumu : mzası: (Bakan).................. Jüri üyeleri tarafından kabul edilen bu (Tezin Türü) tezi, Enstitü Yönetim Kurulunun sayılı kararıyla (Tarih) tarihinde onaylanmıtır. Unvanı, Adı Soyadı Enstitü Müdürü

Bu tezde görsel, iitsel ve yazılı biçimde sunulan tüm bilgi ve sonuçların akademik ve etik kurallara uyularak tarafımdan elde edildiini, tez içinde yer alan ancak bu çalımaya özgü olmayan tüm sonuç ve bilgileri tezde kaynak göstererek belirttiimi beyan ederim. Adı Soyadı : Özge YT mza :

Özge YT LKÖRETM 3. SINIF ÖRENCLERNN TOPLAMSAL FADELER ÇEREN PROBLEMLERN ÇÖZÜMÜNDE TERSNE ÇEVRME PRENSBN UYGULARKEN GEÇRDKLER ZHNSEL LEM SÜREÇLER ÖZET Tersine çevirme ya da ilemlerin tersine çevrilebilirliini anlamak sayıların doadaki esneklii ve aritmetik ilemlerin temelini oluturan toplama-çıkarma, çarpma-bölmeyi anlamak açısından önemlidir. Bu sebeple tersine çevirme prensibinin anlaılıp anlaılmadıı ve aritmetik problemlerin çözümünde bu prensiple ilgili stratejilerin kullanılıp kullanılmadıının kefedilmesi de önemlidir. Çocukların tersine çevirme prensibini anlamalarının ve kullanmalarının, onlarda matematiksel düüncenin gelimesi, farklı tür bilgiler arasındaki ilikileri kavramaları açısından oldukça önemli bir araç olması ve matematik pedagojisi açısından önemli sorunların anlaılmasına potansiyel olması açısından önemlidir. Bu balamda çalımanın amacı; ilköretim üçüncü sınıf örencilerinin toplamsal ilikiler içeren (toplama-çıkarma) problemlerde tersine çevirme prensibini uygularken geçirdikleri zihinsel ilem süreçlerini incelemektir. Bu aratırmanın deseni nitel olarak yapılandırılmıtır. Çalımanın katılımcılarını; zmir ili merkez ilçesinde bulunan bir ilköretim okulunda bunan ikisi kız ikisi erkek olmak üzere 9 yaında dört tane 3. sınıf örencisi oluturmaktadır. Katılımcılar, öretmen görüleri ve de kendilerine Hatay Rehberlik ve Aratırma Merkezindeki (RAM) uzmanlar tarafından uygulanan Wechsler Intelligence Scale for Children (WISC-R) zekâ testi sonuçları göz önüne alınarak belirlenmitir. Katılımcıların, WISC-R zekâ testiyle normal zekâya sahip olduu belirlenmitir. Aratırmada klinik görüme yöntemi kullanılmıtır. Bu yöntemle örencilerin toplamsal ilikiler içeren problemlerde tersine çevirme prensibini uygularken geçirdikleri zihinsel ilem süreçleri ve tersine çevirme stratejileri ile ilgili bilgilerini nasıl yapılandırdıkları gözlemlenmitir. Verilerin analizi sırasında örenci notları, aratırmacı notları ve video kayıtları kullanılmıtır. Klinik görümelerde kullanılan sorular; somut, yarı soyut, sözel ifade gerektiren, sembolik ve resimli kart problemleri olarak be gruba ayrılmıtır. Tüm gruplardaki sorular standart (a+b-c) tipte ve tersine çevirme problemi (a+b-b) olmak üzere iki tipte hazırlanmıtır. Görümeler sırasında örenciden be tipte hazırlanmı problemi çözerken ne düündüü ve neden öyle

düündüünü açıklaması istenmitir. Yapılan klinik görümelerin betimsel ve içerik analizleri yapıldıında, örencilerin toplamsal ifadeler içeren problemlerin çözümünde kullandıı tersine çevirme stratejilerinin somuttan soyuta gidildikçe azalma gösterdii sonucuna ulaılmıtır. Anahtar Kelimeler: Toplamsal ifadeler; tersine çevirme prensibi; tersine çevirme stratejileri öretimi; aritmetik öretimi.

Özge YT 3RD GRADE STUDENTS CONCEPTUAL DEVELOPMENT PROCESS DURING THE APPLICATION OF INVERSON PRNCPLE TO THE PROCESS OF SOLVNG ADDTVE PROBLEMS ABSTRACT Inversion or understanding inversion principle of the arithmetical operations forming the basis of the flexibility of the addition-subtraction, multiplication-division is important. For this reason, the principle of inversion and arithmetical strategies used in solving problems related to this principle is also important to explore to use inversion or not. In the development of mathematical thinking, children s understanding and use of the principle of inversion is significant relationships between different types of information. It s also a tool to understand the potential problems that are important for the pedagogy of mathematics. In this context, the purpose of study, this is figure out third grade elementary school students with additive relationships (addition-subtraction) problems when applying the principle of reverse spend to investigate the mental processes of operation. The study sample includes two girls and two boys aged 9 from third grades from primary school in the central town of Izmir. The study was done to investigate 2 girls, 2 boys and third grade students (4) in same elementary schools in zmir. They were asked for their views. Although a qualitative research design was mainly used, quantitative data was also used to cover the results. Sample was taken from teachers opinions and students took WISC-R intelligence tests performed by the experts in Hatay Guidance and Research Center (RAM). The students participating in the study sample were determined to have normal intelligence with WISC-R Intelligence Test. Clinical interview method was used in the study. With this method, the students applying the principle of inversion problems of additive relations of mental processes and process information about how to construct the reverse was observed. In the analysis of this method the students notes, research notes and video recordings were used. Questions used in clinical interview are divided into five groups as: concrete, semi-abstract, verbal

expression, symbolic and illustrated card problems. Questions in all groups were prepared in two types: standart(a + b - c) and inversion problem (a + b - b). During these interviews, students were asked to explain what and why they thought during solving the problem prepared in five types. According to research results, by going concrete period to abstract period, the child exhibits reduction on reversal strategy. Keywords: Arithmetic; Addition; Subtraction; Inversion; Problem Solving

ÖNSÖZ Öncelikle aratırmamın ba kahramanları, be hafta boyunca, sorduum sorulara hiç sıkılmadan tatlı tatlı cevaplar veren, aratırma örneklemimi oluturan örencilerim Nilay, Osman, Caner ve Ceyda e, aratırma okulum öretmen ve idarecilerine, Doç. Dr. Cumali ÖKSÜZ bata olmak üzere eitimim sırasında ders aldıım tüm yüksek lisans hocalarım ve yüksek lisans ders aamasında birlikte ter döktüümüz arkadalarım Sanem UÇA, Esra KARAR ve Galip GENÇ e Manevi desteklerini esirgemeyen i arkadalarım enay UZUNCALI ve Elif ÜNVER e, çevirilerime yardımcı olan dostum Selvin TRE ye, görümelerimi yazmama bıkmadan usanmadan yardım eden Yavuz UYSAL a, Desteklerini hep yanımda hissettiim sevgili ailem; annem, babam, ablam, enitem ve yeenim Ula ALPTEKN e, Attıı bir mail ile yüksek lisans tezimde bambaka ufuklar açan Prof. Dr. Arthur J. Baroody ye, Son olarak, hayatımın her alanında bana danımanlık eden, benim için hocadan da öte bir anlam ifade eden tez danımanım, canım hocam Yrd. Doç. Dr. Esin ACAR a ve onunla bir araya gelmeme sebep olan iyi kötü tüm tesadüflere sonsuz teekkürlerimi sunarım. Özge YT

ÇNDEKLER ÖZET... ABSTRACT... ÖNSÖZ... ÇNDEKLER..... TABLOLAR LSTES...... EKLLER LSTES... EKLER LSTES.. Sayfa ii iv vi vii xii xvi xvii BÖLÜM I GR......... 1 1.1.PROBLEM DURUMU... 1 1.1.1. Problem Cümlesi... 3 1.1.2. Alt Problemler... 3 1.2. ARATIRMANIN AMACI.. 3 1.3. ARATIRMANIN ÖNEM.. 5 1.4. SAYILTILAR.. 5 1.5. SINIRLILIKLAR.. 6 1.6. TANIMLAR.. 6 1.7. KISALTMALAR.. 7 1.8. GÖRÜMELERDE KULLANILAN SORU TÜRLER VE KISALTMALARI 7

1.9. ÖRENCLERN KULLANDIKLARI STRATEJLER VE KISALTMALARI. 7 BÖLÜM II KURAMSAL AÇIKLAMALAR VE LGL ARATIRMALAR..... 9 2.1.MATEMATK ÖRETM.... 9 2.1.1. Tahmin Etme Becerileri. 12 2.1.2. Zihinden lem Yapma Becerileri.. 13 2.1.2.1. lemlerin Birbirleri le Olan likileri. 14 2.1.2.2. lemlerin Özellikleri 15 2.1.2.2.1. Birleme Özellii.. 15 2.1.3. Problem Çözme Becerileri. 16 2.1.3.1. Problem Çözme Süreci 17 2.1.3.2. Problem Çözme Stratejileri 17 2.1.3.3. lem Sırası Stratejileri. 18 2.2. PAGET N ÖRENME KURAMI VE TERSNE ÇEVRME 19 2.2.1. Toplamsal likiler çeren Problemleri Çözümünde Tersine Çevirme 21 2.3.LGL ARATIRMALAR 22 2.3.1.Yurtdıı Aratırmalar. 22 BÖLÜM III YÖNTEM 26 3.1.ARATIRMANIN MODEL.. 26 3.2. KATILIMCILAR...... 28

3.2.1. Katılımcıların Seçilmesi. 28 3.2.2. Zeka Testi.. 28 3.2.3. Öretmen Görüleri... 29 3.3.VER TOPLAMA ARAÇLARI... 29 3.3.1.Klinik Görümelerde Kullanılan Sorular... 30 3.3.1.1. Somut Problemler: 31 3.3.1.2. Yarı Soyut Problemler:. 32 3.3.1.3. Sözel fade Problemleri:. 34 3.3.1.4. Sembolik Problemler:... 35 3.3.1.5. Resimli Kartlarla Sorulan Tersine Çevirme Problemleri:.. 36 3.3.3. Örencinin Sorunun Çözümü Esnasında Çalıma Kâıdına Aldıı Notlar 39 3.3.4. Video Kayıt Analizleri Sırasında Tutulan Aratırmacı Notları... 40 3.3.5. Video Kayıt Cihazı 40 3.4.VER TOPLAMA SÜREC.. 40 3.5. VERLERN ANALZ VE YORUMLANMASI.. 41 BÖLÜM IV BULGULAR VE YORUM... 43 4.1. Durum I (Osman)... 44 4.1.1. I.Görümeden Elde Edilen Bulgular... 44 4.1.2. II. Görümeden Elde Edilen Bulgular.. 47 4.1.3. III. Görümeden Elde Edilen Bulgular... 51 4.1.4. IV. Görümeden Elde Edilen Bulgular... 54

4.1.5. V. Görüme den Elde Edilen Bulgular...... 57 4.2. Durum II (Nilay)...... 60 4.2.1. I.Görümeden Elde Edilen Bulgular... 60 4.2.2. II. Görümeden Elde Edilen Bulgular... 64 4.2.3. III. Görümeden Elde Edilen Bulgular... 67 4.2.4. IV. Görümeden Elde Edilen Bulgular... 70 4.2.5. V. Görümeden Elde Edilen Bulgular... 72 4.3. Durum III (Caner).. 75 4.3.1. I.Görümeden Elde Edilen Bulgular... 75 4.3.2. II. Görümeden Elde Edilen Bulgular... 79 4.3.3. III. Görümeden Elde Edilen Bulgular... 82 4.3.4. IV. Görümeden Elde Edilen Bulgular... 84 4.3.5. V. Görümeden Elde Edilen Bulgular...... 86 4.4. Durum IV (Ceyda).... 90 4.4.1. I.Görümeden Elde Edilen Bulgular... 90 4.4.2. II. Görümeden Elde Edilen Bulgular. 95 4.4.3. III. Görümeden Elde Edilen Bulgular... 98 4.4.4. IV. Görümeden Elde Edilen Bulgular... 101 4.4.5. V. Görümeden Elde Edilen Bulgular... 104 BÖLÜM V SONUÇ, TARTIMA VE ÖNERLER..... 108 5.1. SONUÇLAR. 108 5.1.1. Nitel Analiz Sonuçları... 108

5.1.1.1.Stratejiler... 120 5.2. TARTIMA.. 122 5.3. ÖNERLER... 126 5.3.1. Uygulamaya Yönelik Öneriler... 126 5.3.2. Aratırmacılara Yönelik Öneriler... 127 KAYNAKÇA.. 128 EKLER... 133 ÖZGEÇM... 256

Tablo No: TABLOLAR LSTES Sayfa Tablo 3.1. Klinik görümede sorulan somut problem tipine örnekler.. 31 Tablo 3.2. Somut Standart/Tersine Çevirme Problem Tipinde yer alan 10 sorunun ölçmek istedii davranılar.... 32 Tablo 3.3. Yarı Soyut Standart/Tersine Çevirme Problem Tipinde yer alan 25 sorunun ölçmek istedii davranılar... 33 Tablo 3.4. Klinik görümede sorulacak sözel ifade standart /tersine çevirme Problem tipine örnekler. 34 Tablo 3.5. Sözel Standart/Tersine Çevirme Problem Tipinde yer alan 8 sorunun ölçmek istedii davranılar... 35 Tablo 3.6. Klinik görümede sorulacak sembolik standart /tersine çevirme problem tipine örnek.... 35 Tablo 3.7. Sembolik Standart/Tersine Çevirme Problem Tipinde yer alan 16 Sorunun ölçmek istedii davranılar... 36 Tablo 3.8. Resimli Kartlarla Sorulan Standart/Tersine Çevirme Problem Tipinde yer alan 6 sorunun ölçmek istedii davranılar 37 Tablo 4.1. Somut Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri.. 44 Tablo 4.2. Yarı Soyut Standart Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri 47

Tablo 4.3. Yarı Soyut Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri. 48 Tablo 4.4. Resimli Kartlarla Sorulan Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri.... 51 Tablo 4.5. Sembolik Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri. 54 Tablo 4.6. Sözel Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri. 57 Tablo 4.7. Somut Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri.... 60 Tablo 4.8. Yarı Soyut Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri.... 64 Tablo 4.9. Yarı Soyut Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri. 65 Tablo 4.10. Resimli Kartlarla Sorulan Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri. 67 Tablo 4.11. Sembolik Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri... 70 Tablo 4.12. Sözel Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri.... 72 Tablo 4.13. Somut Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri..... 75

Tablo 4.14. Yarı Soyut Standart Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri... 79 Tablo 4.15. Yarı Soyut Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri.... 80 Tablo 4.16. Resimli Kartlarla Sorulan Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri.. 82 Tablo 4.17. Sembolik Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri..... 84 Tablo 4.18. Sözel Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri..... 86 Tablo 4.19. Somut Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri..... 91 Tablo 4.20. Yarı Soyut Standart Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri........ 95 Tablo 4.21. Yarı Soyut Standart Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri....... 96 Tablo 4.22. Resimli Kartlarla Sorulan Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri..... 98 Tablo 4.23. Sembolik Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri.... 101 Tablo 4.24. Sözel Standart/Tersine Çevirme Problem Tipine yönelik çözüm stratejileri... 104

Tablo 5.1. Örencilerin, I. görümede sorulan standart ve tersine çevirme soruları karısında kullandıkları stratejiler. 109 Tablo 5.2. Örencilerin, II. görümede sorulan standart ve tersine çevirme soruları karısında kullandıkları stratejiler. 111 Tablo 5.3. Örencilerin, III. görümede sorulan standart ve tersine çevirme soruları karısında kullandıkları stratejiler... 113 Tablo 5.4. Örencilerin, IV. görümede sorulan standart ve tersine çevirme soruları karısında kullandıkları stratejiler. 114 Tablo 5.5. Örencilerin, V. görümede sorulan standart ve tersine çevirme soruları karısında kullandıkları stratejiler. 116

ekil No: EKLLER LSTES Sayfa ekil 1. Tahmin Etmenin Hesaplama Biçimleri çindeki Yeri.13 ekil 2. lköretim Örencilerinin Toplamsal fadeler çeren Problemlerin Çözüm Sürecinde Kullandıkları Tersine Çevirme Stratejisi...38 ekil 3. Örencilerin (a-a; a+b-b; a-b+b) eklindeki somut tersine çevirme problemlerini araçsal ve ilikisel kavrama yüzdeleri....110 ekil 4. Örencilerin (a-a; a+b-b; a-b+b; a+b-a; a-a+b) eklindeki yarı soyut tersine çevirme problemlerini araçsal ve ilikisel kavrama yüzdeleri..112 ekil 5. Örencilerin (a-a; a+b-b; a-a+b) eklindeki resimli kart problemlerini araçsal ve ilikisel kavrama yüzdeleri... 113 ekil 6. Örencilerin (a-a; a+b-b; a-b+b; a+b-a) eklindeki sembolik tersine çevirme problemlerini araçsal ve ilikisel kavrama yüzdeleri 115 ekil 7. Örencilerin (a+b-b; a+b-a;?+a-a) eklindeki sözel tersine çevirme problemlerini araçsal ve ilikisel kavrama yüzdeleri. 117 ekil 8. Örencilerin tersine çevirme stratejisini araçsal ve kavramsal olarak anlayılarının karılatırılması ve stratejiyi kullanma yüzdeleri 118 ekil 9. lköretim örencilerinin standart problemlerin çözüm sürecinde izledikleri farklı stratejilerin (bilisel ema) genel modeli.121

EKLER LSTES EK 1: Somut Standart/Tersine Çevirme Problem Tipi Klinik Görüme Soruları EK 2: Resimli Kartlarla Sorulan Standart/Tersine Çevirme Problem Tipi Klinik Görüme Soruları EK 3: Sembolik Standart/Tersine Çevirme Problem Tipi Klinik Görüme Soruları EK 4: Sözel Standart/Tersine Çevirme Problem Tipi Klinik Görüme Soruları EK 5: zmir l Milli Eitim Müdürlüü aratırma zin Belgesi EK 6 :Klinik Görümelerden Elde Edilen Verilerin Kodlanarak fade Edildii Kod Listeleri EK 6.1: Klinik Görümelerde Kullanılan Soru Türlerinin Kodları ve Kodların Tanımlanması EK 6.2: Örencilerin, Tersine Çevirme ve Standart Tipte Yöneltilen Problemlerdeki Çözüm Stratejilerinin Kodları ve Tanımlanması EK 7 : Klinik Görüme Diyalogları EK 7.1: Osman simli Örenciye Ait Görüme Diyalogları EK 7.2: Nilay simli Örenciye Ait Görüme Diyalogları EK 7.3: Caner simli Örenciye Ait Görüme Diyalogları EK 7.4: Ceyda simli Örenciye Ait Görüme Diyalogları

BÖLÜM I GR Bu bölümde, aratırmanın problemi, amacı, önemi ile sayıtlılar, sınırlılıklar, tanımlar, kısaltmalar ve bulgular verilmitir. 1.1.PROBLEM DURUMU Matematik, insanolunun tek ortak dilidir. Örenim görmemi olsa bile, her insan saymayı bilir. Büyük-küçük, az-çok, uzun-kısa gibi mukayeseleri yapar. Benzer ve farklı nesneleri ayırır. Tamsayılarla toplama ve çıkarma ilemlerini yapabilir. Bunlar, matematiin temelidir. Biraz örenim görenler, rasyonel sayılarla dört ilem yapmayı, alıverite para saymayı, para üstü almayı, bir tablodan tarife okumayı, bankalarla ilem yaparken faiz hesaplamayı bilir (Karaçay, 2008). Bireylerin günlük yaamda çok sık kullandıı ve her düzeyde matematik yapabilmek için gerekli olan en önemli matematiksel becerilerden birisi ilem becerisidir. Arsal (2002) ın da belirttii gibi matematiksel anlama, iliki kurma, baarı ve matematikten yararlanmak için, toplama, çıkarma, çarpma, bölme olarak tanımlanan dört ilemde yeterli olmak bir zorunluluk olarak görülmektedir. lköretim düzeyindeki matematik öretiminin, örenilmesi bir zorunluluk olarak görülen bu dört ilem becerilerinin kazandırılmasının da içinde bulunduu birçok amacı vardır. lköretimde verilmesi hedeflenen zihinden ilem ve tahmin gibi becerilerinin gelitirilmesinde ilköretim (1-5) programında yer alan derslerin arasında en fazla role sahip ders matematik dersidir. Bu sebeple ilköretimin birinci kademesinde matematik öretiminin bu zihinsel becerilerin gelitirilmesini salayacak etkililikte gerçekletirilmesi önemlidir. lköretimin birinci kademesinde etkili bir Matematik öretiminin gerçekletirilmesi için dier bir sebep de, ilköretim yıllarının, çocukların bir yandan temel becerileri kazandıkları, dier yandan zihinsel geliimlerinin en hızlı olduu döneme rastlamasıdır (Baykul 1999). lem kavramının geliiminin sayma becerisinin kazanılmasıyla paralel olması sebebiyle zihinsel geliimin hızlı olduu bu dönemde örencilere öncelikle sayma becerisinin benimsetilmesi gerekmektedir. Toplama ve çıkarma ilemleri baarılmadan önce sayma, nesne gruplarını sıralama, sayı isimleriyle sayıları ilikilendirme ve sayı korunumunun kazanılmı olması gerekmektedir. Ayrıca parça-bütün ilikisi, birebir eleme, bütünün

parçalardan büyük olduu düüncesinin gelimesi, özellikle çıkarma ilemi için ise tersine dönütürülebilirliin kazanılması gerekmektedir (Avcı ve Dere, 2001). Günlük yaamda matematii kullanabilme ve anlayabilmenin küçük yalarda edinilebildii görülmektedir. Hatta yapılan aratırmalar, somut ilemler döneminde kazanılması gereken tersine çevirme prensibinin çok daha küçük yalarda bile kazanıldıını göstermektedir. Örnein Bryant tersine çevirme ilkesinin nitel mi nicel mi olduunu anlamak için bir çalıma yapmı, yaptıı çalımada tersine çevirmenin okul çaı ve okul öncesi çocuklarda kullanılması için bir metot gelitirmi, sayı yerine bloklar kullanmıtır. Kullanılan problemler de çocukların düzeyine uygun zorlukta hazırlanmıtır. Bu çalımada 5-8 ya arası çocuklar tersine çevirme problemlerine standart problemlere nazaran daha doru cevaplar vermilerdir. En küçük okul çaı çocuunun bile çok youn toplama çıkarma ilemlerinden ziyade tersine çevirme kısa yollarını kullandıkları görülmütür. Okul öncesi çocuklarda görülen tersine çevirme prensibinin, somut ilemler dönemine gelindiinde yani semboller kullanılarak ilemler yapılmaya balandıında, örenciler tarafından daha az kullanıldıı görülmütür. Örencilerin hayatına sayıların girmesi ile bu prensibi algılamada, kullanmada zorluk yaamaları, öretmenlerin tersine çevirme prensibini kavratmada yetersiz olmaları ya da ilköretim matematik programının bu konu alanına yer vermemeleri gibi birçok durumun somut ilemler (7-11 ya) döneminde örencilerin bu prensibi algılamada ve kullanmada güçlük yaanmasına sebep olabilecei düünülmektedir. Bu sebeple toplamsal ifadeler içeren problemlerde tersine çevrilebilirliin dikkatle incelenmesi ve bu konu üzerine çalımalar yapılması gerekmektedir. Yapılan bu çalıma, ilköretim 3. sınıf örencilerinin toplamsal ilikiler içeren problemlerde tersine çevirme prensibini uygularken geçirdikleri zihinsel ilem süreçlerini dikkate alarak kullanılan tersine çevirme stratejilerini incelemeyi ve ortaya koymayı amaçlamaktadır.

1.1.1.Problem Cümlesi lköretim 3. sınıf örencileri toplamsal ifadeler içeren problemleri çözerken tersine çevrilebilirlik prensibini nasıl kullanmaktadırlar, hangi zihinsel süreçlerden geçmektedirler? 1.1.2.Alt Problemler Aratırmada bu probleme balı olarak aaıdaki alt problemlere yanıt aranmıtır; 1. lköretim 3. sınıf örencileri toplamsal ifadeler içeren problemleri çözerken hangi stratejileri kullanırlar? 2. lköretim 3. sınıf örencileri tersine çevirme stratejisini nasıl kullanırlar? Örencilerin en çok kullandıkları stratejiler nelerdir? 1.2.ARATIRMANIN AMACI Günlük yaamda matematii kullanabilme ve anlayabilme gereksinimi önem kazanmakta ve sürekli artmaktadır. Deien dünyamızda, matematii anlayan ve matematik yapanlar, geleceini ekillendirmede daha fazla seçenee sahip olmaktadır. Bu sebeple ilköretimin genel amaçları deien dünya koullarına göre ekillenmitir. lköretim birinci kademe matematik programında, doal sayılar ve doal sayılarla yapılan ilemlere geni bir ekilde yer verilir. Çünkü çocuklar sayılarla ilgili gerçek hayata ve sonraki öretim yaantılarına temel oluturacak bilgi ve becerileri bu süre içinde kazanırlar. Bu nedenle, öretim sürecinde sayı ve ilem öretimi üzerinde önemle durulmalıdır(artut, Tarım, 2006). Son yıllarda matematik eitimine bakı açılarında önemli deiiklikler olmutur. Artık matematik eitimi, yalnızca matematik bilen deil, sahip olduu bilgiyi uygulayan, matematik yapan, problem çözen insanlar yetitirmeyi hedeflemektedir. Yirmi birinci yüzyıl bilgi toplumları, bireylerin temel becerilerin ötesine geçerek, yeni yeterlilikler kazanmalarına gereksinim duymaktadır (Gür, Korkmaz, 2003). Bireyleri hayata ve üst sınıfa hazırlamada zihinden ilem yapma, tahmin ve problem çözme önemli zihinsel becerilerdir. Bu sebeple ilköretimin birinci kademesinde matematik

öretiminin bu zihinsel becerilerin gelitirilmesini salayacak etkililikte gerçekletirilmesi önemlidir. lköretimin birinci kademesinde etkili bir Matematik öretiminin gerçekletirilmesi için dier bir sebep de, ilköretim yıllarının, çocukların bir yandan temel becerileri kazandıkları, dier yandan zihinsel geliimlerinin en hızlı olduu döneme rastlamasıdır (Baykul 1999). Bireylerin günlük yaamda çok sık kullandıı ve her düzeyde matematik yapabilmek için gerekli olan en önemli matematiksel becerilerden birisi ilem becerisidir. Arsal ın (2002) da belirttii gibi matematiksel anlama, iliki kurma, baarı ve matematikten yararlanmak için, toplama, çıkarma, çarpma, bölme olarak tanımlanan dört ilemde yeterli olmak bir zorunluluk olarak görülmektedir. Bu sebeple, aratırma konusunu oluturan tersine çevirme stratejilerinin kullanılmasının bireylere, problem çözmede bir üstünlük salayacaı düünülmektedir. Piaget (1952) e göre tersine çevirme yada ilemlerin tersine çevrilebilirliini anlamak sayıların doasını anlamak açısından gereklidir (Bryant, Christie, Rendu, 1999). Piaget(1952) in belirttii gibi, toplama ve çıkarmayı doru olarak yapabilmek, toplama ve çıkarmayı gerçekten anlamı olmayı göstermemektedir. Bu yüzden toplama ve çıkarma ilemlerinin öretiminin gerçekten benimsetmek üzere koordine edilmesi gerekmektedir. Bryant(1999), küçük çocukların aritmetik anlamda toplama ve çıkarmayı kullanmalarından önce toplama ve çıkarma ilemlerinin birbirinin tersi ilemler olduunu iyi biliyor olmaları gerektiini belirtmitir. Bu ilemlerin kullanılmasından önce de birbirlerinin tersi ilemler olduklarının bilinip bilinmediinin öretmenler tarafından kontrol edilmesi gerektiini vurgulamıtır. Dört ilem kavramı içindeki toplamsal ifadeler içinde yer alan toplama ve çıkarma, çocuklara öretilecek olan en temel matematiksel akıl yürütme eklidir. Tersine çevirme (Inversion Principle) bu akıl yürütme ileminde kullanılan bir stratejidir. Bu yüzden bu stratejinin kullanılmasının toplamsal ifadelerin çözülmesinde bir üstünlük salayacaı düünülmektedir. Bu balamda, ilköretim 3. sınıf örencilerinin toplama ve çıkarma yaparken kullandıkları tersine çevirme stratejilerinin neler olduunun ortaya çıkarılması ve örencilerin bu ilemler sırasında geçirdikleri zihinsel süreçleri belirlemek hedeflenmektedir. Aynı

zamanda, yapılan bu çalıma ile Türkiye de eksik olduu düünülen bu alana katkıda bulunulması amaçlanmaktadır. 1.3.ARATIRMANIN ÖNEM Örenmeyi anlamlı kılabilmek için öretmenlerin, örencilerin uygulama sırasında kullandıkları stratejilerin ve nedenlerinin farkında olmaya ihtiyaçları vardır. Matematikte anlamlı örenme önemli olduu kadar zor gerçekletirilebilen bir amaçtır. Zihinden ilem yapma ve tahmin stratejilerinden bir tanesi de Piaget e göre somut ilemler (7-11 ya) döneminde kazanılması gereken tersine çevirme stratejisidir. O halde tersine çevirme prensibini anlayabilmek anlamlı örenme için gerekli bir yeterliliktir. Tersine çevirmenin nasıl anlaıldıı ve kullanıldıı ya da anlaılamadıı ve kullanılamadıının kefedilmesi iki sebepten dolayı önemlidir (Bisanz, Watchorn, Piatt, Sherman, 2009). Bisanz, Watchorn, Piatt, Sherman a (2009) göre; bu sebeplerden bir tanesi çocukların tersine çevirme prensibini anlamaları, kullanmaları ve matematiksel düüncenin gelimesinde farklı türlerdeki bilgiler arasındaki ilikiler açısından oldukça önemli bir araç olmasıdır. kincisi ise tersine çevirme prensibinin anlaılmasının matematik pedagojisi açısından önemli sorunların anlaılmasına potansiyel olmasıdır. Bu bilgiler ııında literatür incelendiinde, Türkiye de, dört ilemde tersine çevirme prensibinin örenciler tarafından kullanılması ile ilgili yapılmı bir çalıma bulunmadıı görülmektedir. Bu durum çalımanın önemini daha da arttırmaktadır. Piaget in teorisinde tersine çevirme ilemine bu kadar önem vermesine karın bu konu ile ilgili olarak ilköretim düzeyinde yapılan çalımaların çok az olması ilginçtir. Tersine çevirme konusunda literatüre baktıımızda bu konudaki çalımaların nicel yöntemle yapılan çalımalar olduu, bu çalımanın yöntem açısından da farklılık göstermesi çalımanın önemini arttırmaktadır. 1.4.SAYILTILAR Bu aratırmada, aaıdaki varsayımlardan hareket edilecektir. 1. Klinik görümelerde yöneltilen sorulara verilen örenci cevaplarının tümü onların konu ile ilgili gerçek davranı ve bilgilerini yansıtmaktadır. 2. Katılımcıların zeka düzeyleri normal bir daılım göstermektedir.

yaptılar. 3. Görümeler esnasında örenciler soruları cevaplamak için ellerinden geleni 1.5. SINIRLILIKLAR 1. Bu aratırma 2009-2010 eitim-öretim yılında, zmir ilinin Konak ilçesinde bulunan Hakimiyet-i Milliye lköretim Okulu 3. sınıfına devam eden 4 örenciden toplanan verilerle sınırlıdır. 2. Çalımaya katılmı olan örencilerin seçiminde, öretmenlerinin tercihleri ile belirlenen 4 örenciye Hatay RAM (Rehberlik Aratırma Merkezi) tarafından uygulanan ve bu örencilerin Wechsler ntelligence Scale For Children (WISC-R) zeka testi sonuçları ile sınırlıdır. 3. lköretim 3. sınıf matematik programının alt örenme alanı olan Doal Sayılarla Toplama ve Çıkarma lemi konularına ait kavramlarla ve aratırmacı tarafından gelitirilen problemlerle sınırlıdır. 4. Veri toplama aracı olarak kullanılan, lköretim 3. sınıf örencilerinin toplamsal ifadeler içeren problemlerin çözümünde tersine çevirme prensibini uygularken geçirdikleri zihinsel ilem süreçlerini belirlemek amacıyla hazırlanmı, klinik görümelerde kullanılan 5 ayrı soru tipine göre hazırlanmı materyallerle sınırlıdır. 5. Aratırmada kullanılan bilgi toplama araçlarının, bu verilerin analizinde izlenen metot ve tekniklerin geçerlik ve güvenirlii ile sınırlıdır. 1.6.TANIMLAR Tersine Çevirme Prensibi: (Geriye Dönüebilirlik) Balangıç noktasına geri dönme anlamına gelir (MEGEP, 2007). lem Sırası: Özellikle aritmetik ifadelerin hesaplanmasında kullanılır. Aritmetikte, bir sayı veya ifade hem öncelikli hem de ikili bir ilem izledii durumlarda kullanılan kurallardır (Peterson, 2000).

Klinik Görüme: Klinik görüme, örencilerin düüncelerindeki zenginlii kefetmek, onun temel aktivitelerini yakalamak ve bilisel beceriyi deerlendirmek için esnek soru sorma metodudur (Karata ve Güven, 2003). 1.7.KISALTMALAR MEGEP: Mesleki Eitim ve Öretim Sisteminin Güçlendirilmesi Projesi NCTM: National Council of Teachers of Mathematics WISC-R: Wechsler Intelligence Scale for Children 1.8. GÖRÜMELERDE KULLANILAN SORU TÜRLER ve KISALTMALARI RKSPT: Resimli Kartlarla Sorulan Standart Problem Tipi. RKTÇPT: Resimli Kartlarla Sorulan Tersine Çevirme Problem Tipi. SESPT: Sembolik Standart Problem Tipi. SETÇPT: Sembolik Tersine Çevirme Problem Tipi. SÖSPT: Sözel Standart Problem Tipi. SÖTÇPT: Sözel Tersine Çevirme Problem Tipi SSPT: Somut Standart Problem Tipi. STÇPT: Somut Tersine Çevirme Problem Tipi. YSSPT: Yarı Soyut Standart Problem Tipi. YSTÇPT: Yarı Soyut Tersine Çevirme Problem Tipi. 1.9. ÖRENCLERN KULLANDIKLARI STRATEJLER ve KISALTMALARI ÇZHT: Çözüm Hatalı. ÇZYK: Çözüm Yok.

NCD: Nicel Düünme. NTD: Nitel Düünme. ÖSÖS: Özde Sayı Öncelii Stratejisi. SASO: Sadan Sola lem Yapma. SHTD: Sorunun Hatalı Olduunu Düünme. SOSA: Soldan Saa lem Yapma. TÇS: Tersine Çevirme Stratejisini Kullanma.

BÖLÜM II KURAMSAL AÇIKLAMALAR VE LGL ARATIRMALAR Bu bölümde; matematik öretimi, tahmin etme ve zihinden ilem yapma becerileri, ilemler arasındaki ilikiler ve ilemlerin özellikleri, Piaget in örenme kuramı ve tersine çevirme, toplamsal ifadeler içeren problemlerin çözümünde tersine çevirme ile ilgili genel kuramsal açıklamalar yer almaktadır. 2.1.MATEMATK ÖRETM Günlük yaamda matematii kullanabilme ve anlayabilme gereksinimi önem kazanmakta ve sürekli artmaktadır. Deien dünyamızda, matematii anlayan ve matematik yapanlar, geleceini ekillendirmede daha fazla seçenee sahip olmaktadır. Bu sebeple ilköretimin genel amaçları deien dünya koullarına göre ekillenmitir. lköretimin birinci kademesinin genel amacı eletirel ve özgür düünebilen, bilgiye ulaabilen, bilgiyi günlük hayatı içerisinde kullanabilen, yeni bir bilgi üretebilen, ibirlikli çalıabilen, ilikilendirme, problem çözme, akıl yürütme ve iletiim kurabilme gibi becerileri kazanmı bireyler yetitirmektir. Yetien bireyler hayata ve üst örenime hazır olurlar. Matematik tüm bunların bireyler tarafından kazanılmasına katkıda bulunur. Okullardaki matematik eitimi bireylerin nitelikli yetiebilmesi konusunda çok büyük rol oynamaktadır. Bu sebeple ilköretimin birinci kademesinde matematik öretiminin bu zihinsel becerilerin gelitirilmesini salayacak etkililikte gerçekletirilmesi önemlidir. Aynı zamanda matematik eitimi, bireylerin yaratıcı düüncelerini gelitirirken; bilgi, beceri ve estetik duygular kazanmalarına, fiziksel ve sosyal çevrelerini, dünyayı anlamalarına yardımcı olur. Olkun ve Toluk un da belirttii gibi geleneksel matematik eitimi anlayıında, matematiksel bilgiler küçük beceri parçacıklarına ayrılmı halde öretmen tarafından örencilere sunulur, örencilerin bu bilgileri verilen alıtırmalarla tekrar etmeleri beklenirdi. Soruların önceden belirlenmi belirli yanıtlama yöntemi veya yöntemleri ve tek bir cevabı vardır. Böyle bir anlayı ortamında, pasif alıcılar durumunda olan örenciler bir nedene balı olmayan bir sürü baıntı, kural ve simgeleri ezberlerlerdi. Bu yöntem ile örenciler ezbere

dayalı örenmeye sevk edilirdi. Sonuç olarak, örenciler daha önce karılamadıkları bir problemi çözemez hale gelirlerdi (Olkun ve Toluk, 2001). Son yıllarda ise matematik eitimine bakı açılarında önemli deiiklikler olmutur. Artık matematik eitimi, yalnızca matematik bilen deil, sahip olduu bilgiyi uygulayan, matematik yapan, problem çözen insanlar yetitirmeyi hedeflemektedir. Yirmi birinci yüzyıl bilgi toplumları, bireylerin temel becerilerin ötesine geçerek, yeni yeterlilikler kazanmalarına gereksinim duymaktadır (Gür ve Korkmaz, 2003). Zihinden ilem yapma, tahmin, problem çözme becerileri bu yeterlilikler içinde sayılabilir. Matematiin kavramsal yapısının ilk aamalarda oluması sonraki dönemler için hayati önem taımaktadır. Matematiin hangi aamalarda nasıl öretilecei üzerine birçok tartımalar yapılmı, yapılmaya da devam edilmektedir. Matematiin nasıl öretileceine dair iki tür farklı kavrayıtan bahseden Skemp (1978) bunlardan bir tanesidir. Skemp, (1978) matematik öretiminde temel olarak ilikisel (relational) ve araçsal (instrumental) olmak üzere iki tür kavrayıtan bahsetmektedir. Birinci tür kavrayı, kiinin neyi ve niçin yaptıını bilmesi anlamına gelir ve genel matematiksel ilikilerden özel kural ve prosedürleri türetebilme yeteneini içerir. kincisi ise, altında yatan kavramları, nedenleri, niçinleri bilmeden bir kuralı ezbere kullanma anlamına gelmektedir (Yazgan, 2007). Bu kavrayı türlerini, tersine çevirme prensibinin kavranması ile ilgili örnek öretmen davranıları üzerinde açıklayabiliriz: Eer bir öretmen problem çözümleri ya da ilem yapma alıtırmaları sırasında örencilere ilemlerin mutlaka soldan saa yapılması gerektiini, problemdeki ilem basamaklarına uyulması gerektiini kurallar eklinde benimsetiyorsa örenciler kuralı ezberlemeye yönelir, doru cevap üzerinde odaklanırlar. Yani konuyu araçsal olarak kavrarlar. Örencilere ilem bilgisi, tahmin becerisi, zihinden ilem yapma becerisini kazandırmayı hedefleyen öretmen ise örencilerin konuyu ilikisel olarak kavramalarını salayacak örnek ilemler çözer. likisel olarak kavrayan örenci ilemi bütünüyle görebilme yeteneine sahip olur. Örnein örenciye a+b-b olarak sembolize edilebilecek bir problem yöneltildiinde, örenci öretmen tarafından benimsetilen lemlere soldan saa balanır., lemler sırayla yapılır. eklindeki kuralları ezberlediini, zihninin sadece doru sonucu bulmaya odaklanmasını yani o örencinin ilem bilgisini araçsal olarak kavradıını göstermektedir. Oysa aynı tipteki soruyu, ilikisel olarak kavramı bir örenci b-b ileminin

bir ey ifade etmediini sonucun a olduunu ilem yapmaya gerek duymadan rahatlıkla görebilir. Bu da öretmenin matematik öretimindeki tutumundan kaynaklanmaktadır. Matematik dersinin amacının aslında ilem bilgisinden ibaret olmadıı, bir yönüyle örencilere günlük hayat problemleri ile baa çıkabilme becerisi kazandırmak olduu unutulmamalıdır. Örencinin ilikisel olarak kavrayıp, ilemi tümüyle görebilmesi, çıkarımda bulunabilmesi, zihinden ve hızlı bir ekilde ilem yapması örenciye zamandan kazanç salayacaktır. Bunun yanı sıra bir dier konu ise, araçsal ve ilikisel kavrayıın avantaj ve dezavantajlarının oluudur. Skemp (1978) e göre araçsal kavrayıın avantajları; daha az zaman alıcı, kuralları ezberlemenin ve anlamanın daha kolay oluudur. Buna karılık ilikisel kavrayıın avantajı; yeni konulara daha kolay uyarlanabilir olması, dolayısıyla daha kalıcı olmasıdır. Örnein örenci tersine çevirme stratejisinin farkında olduunu gösteren kısa yollar kullandıında aslında ilemlerdeki birleme özelliinden yararlanarak kendisi çıkarımda bulunmu olur. likisel kavramayla örenci tersine çevirme stratejisini kendisi uyguladıı için hatırlaması daha kolaydır dolayısıyla daha kalıcıdır. likisel kavrayıın bu avantajlarına ramen, birçok öretmen, günümüzde sınavların örencilerin gelecei ile ilgili belirleyici rolü, aırı yüklü program, ilikisel kavrayıı deerlendirme güçlüü, meslekleri ile ilgili almı oldukları eitim ve tecrübelerinden kaynaklanan yargılar gibi nedenlerden dolayı araçsal kavrayıla öretim yapmayı tercih etmektedir (Yazgan, 2007). Deien matematik programı ile birlikte ilköretim matematik eitiminin genel amaçları da bazı deiikliklere uramıtır. Matematik eitiminin temel amacı yalnızca örenciye bilgi yüklemek deildir. Aksine çocuun bilgi örenmesini de salayacak olan bazı önemli becerileri (tahmin, zihinden ilem yapma, matematiksel bilgiyi çeitli ekillerde temsil etme, problem çözme) kazandırmaktır (Olkun ve Toluk, 2004). Örencinin bilgi örenmesini salayacak bu önemli beceriler arasında toplamsal ifadeler içeren problemlerin çözümünde kullanılan tersine çevirme stratejisi ile ilikilendirilebilecek olan becerilerden bir tanesi; *Örencilerin tahmin etme ve zihinden ilem yapma becerilerini etkin kullanabilmesi,

Ve bir dieri, *Problem çözme stratejileri gelitirebilmesi ve bunları günlük hayattaki problemlerin çözümünde kullanabilmeleridir. lemlerin kolayca çözülebilmesini salayan kısa yollardan oluan tersine çevirme stratejisi, ilköretim matematik eitiminin genel amaçlarından biri olan tahmin etme becerisi ile yakından ilgilidir. 2.1.1.Tahmin Etme Becerileri Tahmini hesap, zihinden hesaba dayalı olarak bir ilemin yaklaık sonucunu bulmaktır. Tahmini hesap yaparken problemle ilgili veriler yerine bunlara yakın olan yuvarlak sayılar alınır ve bunlarla ilem yapılır (Altun, 2005). Dowker (1992) bir aritmetik probleme yaklaık cevabı vermek için hesaplama yapmadan mantıklı tahmin yapma seklinde ifade etmitir. Heinrich (1998) ilemsel tahminin birden fazla süreçten olutuunu, zihinsel bir performansın gerektiine ve sayıların yuvarlanarak elde edilen yeni sayılarla toplama, çıkarma, çarpma, bölme gibi dört ilemden birini kullanarak gerçekletiini ifade etmitir (Akt: Tekinkır, 2008) Matematik öretiminde tahmin becerileri önemli bir yer tutar. Matematikteki önemli temel becerilerden biri olan tahmin becerisi sadece matematik öretiminde deil günlük hayatın pek çok aamasında da, örnein alıveri yaparken, adres tarif ederken, bir aırlıı tahmin ederken kullandıımız becerilerden biridir. Tahmini hesap yapma ihtiyacı iki durumda belirir. Bunlardan, birincisi yaklaık hesabın ihtiyacı karıladıı durumlardır. kincisi de yazılı ya da zihinsel olarak yapılan kesin hesabın doruluunu kontrol etmedir ( Altun, 2005). Günlük yaamda dört türlü hesap kullanılmaktadır. Bunlar yazılı hesap, zihinden hesap, tahmini hesap ve hesap makinesi veya bilgisayar yardımıyla yapılan hesaptır (Van de Walle, 1994). Bu hesaplama türlerinden zihinden hesap ve tahmini hesap, günlük yaamda yazılı hesaptan daha çok kullanılırlar.

Tahmin etmenin hesaplama biçimleri içindeki yeri ekil 1 de gösterilmektedir. ekil 1: Tahmin etme yaklaık hesabı sonuçlandırır, dier hesaplama biçimlerinin doruluunu kontrol etmeye yarar. Kaynak: Altun, 2005 Tahmin becerileri baımsız olarak deil dier matematiksel becerilere balı olarak zamanla geliir. Bunlardan bir tanesi de zihinden yaklaık ilemler yapabilme becerisidir (Oklun ve Toluk, 2004). 2.1.2.Zihinden lem Yapma Becerileri Zihinden hesap; yardımcı araçlar olmaksızın (kaıt, kalem, hesap makinesi) ilemlerin özelliklerinden faydalanılarak çabuk yapılan hesaptır. Zihinden hesabı yazılı hesaptan ayıran en önemli fark, zihinden ilem yapmada ilemlerin temel özelliklerinden yararlanılmasıdır (Altun, 2005). Örnein 26 + 18 + 24 =? ilemini 26, 24 daha 50 eder. 50 ye 18 eklersek sonuç 68 olur. diye düünerek yapan birisi, toplamanın birleme özelliini kullanarak zihinden hesap yapmıtır. Ya da Nunes, Schliemann, ve Carraher ın (1993) verdikleri örnekte olduu gibi 52+28-27 gibi bir problemde bir kiinin 28 i 27+1 eklinde ayrıtırabilmesi ve buradan da 52+1 sonucuna kolayca ulaması da tersine çevirme kısa yollarını kullandıını

göstermektedir. lemlerin birleme özelliinden faydalanılarak kullanılan bu kısa yolun temeli aslında, tersine çevirme prensibinin (a+b-b) eklinde sembolize edilen ilemde hesap yapma ihtiyacı duymadan cevabın a olduunun söylenmesi yani bir miktar çokluun eklenip yine aynı miktar çokluun çıkarılmasının mevcut durumu deitirmedii mantıının kavranmasına dayanmaktadır. Piaget in (1977) de belirttii gibi tersine çevirme, somut ilemlerin altında yatan gruplamanın çok önemli bir parçasıdır. National Council of Teaching of Mathematics (NCTM) nin genel standartlarında (2000) zihinden hesap ve tahminle ilgili olarak hızlı hesaplama ve mantıklı tahminlerde bulunma hedefi belirlenmi ve öyle ifade edilmitir: Örenciler; zihinden hesap, yazılı hesap, tahmini hesap ve hesap makinesi kullanma arasından seçim yapmayı örenmelerine yardım eden deneyimlere sahip olmalıdırlar. Özel koullar, soru ve içerilen sayılar bu seçeneklerin belirlenmesinde rol oynar. Sayılar bu zihinsel stratejiye izin veriyor mu? Koullar bir tahmini gerektiriyor mu? Örenciler, kendi sayısal mantıklarını kullanarak, bir tahmine mi yoksa kesin cevaba mı gerek duyulduuna karar vermek için problem durumları deerlendirmelidirler. lköretim Okulu Matematik Dersi Öretim Programı nın (1998: 9) Programın Uygulanması çin Genel Açıklamalar kısmında, zihinden hesabın günlük hayatta önem taıdıı, bu nedenle zihinden ilemlere yeteri kadar yer verilmesi gerektii belirtilmektedir. Yine örencilere ilem sonuçlarının yaklaık olarak tahmin ettirilmesi gerektii, bunun hem ilemlerin kontrolünü hem de kolay hesap yapma yeteneini gelitirdiine dikkat çekilmektedir (Yazgan, Binta, Altun, 2002). Bu sebeple matematik öretiminde zihinden ilem yapma ve tahmin becerilerinin kazanılması, dolayısıyla ilemlerin birbirleri ile olan ilikileri ve bu ilemlerin özelliklerinin kısa yol stratejileri gelitirmede önem taıdıı konusu üzerinde önemle durulmalıdır. 2.1.2.1.lemlerin Birbirleri le Olan likileri Bütün aritmetik ilemler birbirleri ile ilikilidir. Birbirlerine benzer ve farklı yönleri vardır. Toplama ile çıkarma ve çarpma ile bölme birbirlerinin tersi olup biri ile yapılan ilem dieri ile geri alınabilir (Olkun ve Toluk, 2004). Örnein birçoklua, belli bir miktar çokluu

eklediimizde ve aynı miktarı çıkardıımızda (a+b-b) asıl sayıya geri döneriz, bu durum tersine çevirme prensibinin temelini oluturmaktadır. Çocuklar problem çözerken zamanla sayılar arasındaki ilikileri kefettikçe, bu ilikileri kullanarak yeni stratejiler gelitirirler. Altun un (2005) belirttii gibi, hesaplamaları çabuk ve doru yapmak isteyen örenciler zaman zaman bilinçli ya da bilinçsiz olarak ilem kolaylıklarına bavururlar ki bu da örencilerin ilemlerin özelliklerini kullanmaları demek olur. Zihinden ilem yapma herkes tarafından kazanılması gereken bir beceridir. Bu becerinin, sadece örenciler için deil, yetikinlerin günlük hayat aktivitelerinde de sıkça karılarına çıktıı için önemi büyüktür. Zihinden ilem yaparken kullanılan kısa yollar ilemlerin özelliklerinin bilinmesiyle ilikilidir. Dolayısıyla ilemlerin özelliklerinin bilinmesinin zihinden ilem becerisinin kazanılmasında önem taımaktadır. 2.1.2.2. lemlerin Özellikleri lem sembolle gösterilir. lemin sembolü ilemin tanımıyla belirtilir. Bir ilemde; kapalılık, deime, birleme, daılma, birim eleman olma, ters elemanı olma özellikleri vardır (Öcalan, 2004). lemlerin öretiminde, ilemlerin özelliklerinin öretimi de önemli bir yer tutar. Bunun sebebi, ilemlerin özelliklerini bilmeyen bir çocuun bu özellikleri kullanarak kısa yollar üretip ilem yapmadan sonuca ulamasının imkânsız olmasıdır. Herhangi bir ilem yapmadan sonuca ulaabilme olanaı salayan tersine çevirme stratejilerinin algılanabilmesinin temelinde yatan özellik toplama ilemindeki birleme özelliidir, bu sebeple ilemlerin özelliklerinin gereince öretilmesi büyük önem taımaktadır. 2.1.2.2.1.Birleme Özellii En az iki sayı arasında gerçekleen toplama ilemleri, ikiden daha fazla sayının toplanması eklinde de olabilmektedir. Birden fazla sayının toplanmasının gerektii toplama ilemlerinde, toplama iki sayı arasında yapılır ve çıkan sayı bir sonraki sayı ile toplanır. Yani

üç sayıdan oluan bir toplama ileminde, üç sayıdan ikisinin gruplandırılarak ilem yapılması gerekmektedir. Birleme özellii gruplandırmada sayılardan hangisinin hangisiyle birletirilmesinin önemli olmadıını gösterir. Buradan da u sonuç çıkar: gruplandırma ekli toplama ileminin sonucunu deitirmez. Bu özellik zihinden toplamada önemli rol oynar (Öcalan, 2004). Örnein; bir A kümesinde tanımlanmı * ilemi ve bu kümeden alınmı üç eleman a, b, c olsun. a*(b*c) = (a*b)*c ifadesi dorulanıyorsa A kümesinin ilemine göre birleme özellii vardır denir. 2.1.2.3 Problem Çözme Becerileri Matematik, günlük yaantıda belirli durumlara uygulanabildii ölçüde faydalıdır ve problem çözme yetenei de matematii farklı durumlara problem çözme adı altında uygulayabilme yeteneidir. Bununla birlikte matematiksel bir problemin çözümü ancak problem matematiksel bir dille ifade edildiinde baslar. Baka bir ifade ile matematikte iyi bir problem çözücü olmak, her eyden önce iyi bir matematik bilgisi ve matematii kullanma becerisi gerektirir (Tertemiz ve Çakmak, 2003). Problem çözme; genel olarak bilimsel bir konuda apaçık (net olarak) tasarlanan fakat hemen ulaılamayan bir hedefe varmak için bilinçli olarak aratırma yapmaktır. Matematikte problem çözme ise, matematiin yapısı gerei sorunun zihinsel süreçlerle (akıl yürütme) gerekli bilgileri kullanarak ve ilemleri yaparak ortadan kaldırılmasıdır (Altun, 2005). Skemp e göre (1986), problem çözme yetenei insanın varlıını sürdürebilmesi için gerekli en temel yeteneklerden biridir. Her alandaki zorluklarla basa çıkmadaki rolünden dolayı, okul matematik programlarının ana hedeflerinden biri, bu yetenein gelitirilmesi ile ilgilidir. Çocuklar fiziksel büyümelerine katkı veren fiziksel aktivitelerden holandıkları kadar, zihinsel gelimelerine katkı veren zihinsel aktivitelerden de holanırlar ve holandıkları için geliirler (Akt. Altun, Dönmez, nan, Taner ve Özdilek, 2001). Problem çözme etkinlikleri, bu zihinsel aktivitelerin basında gelir. Bu açıdan bakıldıında problem çözme, zihinsel gelimenin tamamlanabilmesi için bir ihtiyaçtır (Altun ve digerleri,2001).

NCTM Standartları (2000) nda, iyi problemlerin örencilerin bulunduu çevreden ortaya çıkan, örencileri strateji gelitirmeleri ve uygulamaları için zorlayan ve örencileri yeni kavramlarla tanıtırma için ortam hazırlayan problemler olduu belirtilmektedir. Problem çözme, bireyin zihinsel davranılarının önemli bir kısmını oluturur (Schoenfeld, 1987; Akt: Özsoy). 2.1.2.3.1. Problem Çözme Süreci Hayat boyu karılaılan günlük hayat problemlerinde olduu gibi matematiksel problemlerin de çözümünde kullanılan tek ve belirli bir yol yoktur. Örenci bir problemle karı karıya geldiinde bir kural hatırlamaya çalıır. Bu yanlı bir tutumdur. Çünkü bunun için bir yol yoktur. Problem çözmenin bir kuralı yoktur, sistematii vardır (Öcalan, 2004). Bu sistematii Polya (1887-1985) dört aamalı bir süreç olarak açıklamaktadır. Sürecin basamakları; 1) Problemin anlaılması 2) Çözümle ilgili stratejinin seçilmesi 3) Seçilen stratejinin uygulanması 4) Çözümün tartıılması eklindedir. Bu sistematiin ikinci basamaındaki çözüm stratejilerinin belirlenmesi çözüme daha kısa zamanda ve kolayca ulaılmasını salamaktadır. Bu sebeple özellikle üzerinde durulması gereken nokta örencilere problem çözmeyle ilgili temel becerilerin ve çözüm stratejilerinin kazandırılması olmalıdır. 2.1.2.3.2.Problem Çözme Stratejileri Problemlerin çözümünde uygun stratejilerin seçilmesi problemin anlaılması ve stratejilerin bilinmesine balıdır. Bu stratejiler; sistematik liste yapma, tahmin ve kontrol, diyagram çizme, baıntı kurma, açık önerme yazma, tahmin etme, benzer problemlerin

çözümünden faydalanma, geriye doru çalıma, tablo yapma, muhakeme etme eklinde özetlenebilmektedir. Örencilerin bir problemi çözebilmesi kadar onu hangi stratejileri kullanarak çözdüü de önemlidir. Örencilerin kullandıkları stratejiler bize onların matematiksel düünme seviyeleri hakkında bilgi verir (Olkun ve Toluk, 2004). Aratırmanın konusunu oluturan, örencilerin kullandıkları kısa yol stratejilerinden biri olan tersine çevirme stratejisi tahmin etme ve zihinden ilem yapma stratejileri ile yakından ilgilidir. Örencinin (a+b-b) eklindeki bir soruyu herhangi bir ilem yapmaya gereksinim duymadan cevaplayabiliyor olması aynı zamanda tahmin ve zihinden ilem yapma becerisinin de gelimi olduunu göstermektedir. 1980 lerden itibaren pek çok ülkedeki matematik öretim programı, problem çözme üzerine odaklı olarak yeniden düzenlenmitir. Problem, problemin kaynaı ne olursa olsun (gerçek hayat problemi ya da bilimsel kaynaklı), bireyin karsılatıı bir durumda çözüm için strateji seçmesini ve karar vermesini gerektiren bir durumdur (Özsoy, 2006). Bu kısa yol stratejilerinden biri olan tersine çevirme stratejisinin ilköretim programında kapsamlı bir ekilde ele alınmasının gerekliliini düünenlerin yanı sıra Rasmussen, Ho ve Bisanz yaptıkları aratırmalar sonrasında bu strateji ile ilgili okullarda temel bilgilerin verilmesine gerek olmadıı, çocukların stratejiyi kendi çıkarımları ile elde edebildiklerini belirtmektedirler. 2.1.2.3.3.lem Sırası Stratejileri Toplama ve çıkarma birbirini tamamlayan ilemlerdir. Örnein, 5-3=? sorusu 3+?=5 eklindeki toplama eitliine çevrildiinde bulunacak sonuç ile yanıtlanabilir (Baroody, 1999) Robinson, Ninowski ve Gray (2006) ın, çocukların ilemlerdeki tersine çevirme kavramını ve birleme özelliini anlayabilmek adına yaptıkları çalımada örencilerin sıkça kullandıkları ilem stratejileri belirlenmitir. Bunlar; tersine çevirme, soldan saa ilem yapma, sadan sola ilem yapma eklinde özetlenebilir. Bu stratejilerden biri olan soldan saa ilem yapma stratejisinin sıkça kullanılmasının sebebinin geçmiten günümüze gelen kalıplamı örenci ve dolayısıyla buna sebep olan öretmen davranılarının olduu düünülmektedir. Erba ve Ersoy (1999), dokuzuncu sınıf örencilerinin eitliklerin çözümündeki baarıları ve olası kavram yanılgılarını belirlemek için

yaptıkları çalımalarında, soldan saa ilem yapma stratejisinin örenciler tarafından sıkça tercih edilmesinin sebebinin, örencilerin zihnindeki Matematikte ilemler her zaman soldan saa doru yapılır/balanır ; Ters ilemler gereksizdir. eklindeki kavram yanılgılarından kaynaklandıını belirlemilerdir. Örenci çözümlerinde pek sık rastlanmayan bir dier ilem stratejisi de sadan sola ilem yapma stratejisidir. Robinson ve Ninowski (2003), aratırmalarında standart problemler üzerinde kullanılan (2x28:14; 28:14=2x2=4) sadan sola ilem yapma stratejisini bulmulardır. Bu strateji, çarpımsal ifadelerdeki birleme özellii temeline dayanmaktadır. Aratırmada toplamsal ifadeler içeren problemlerde tersine çevirme stratejisi ele alınmıtır. (25+12-12) eklinde sembolize edilen problemin çözümünde (12-12=0 ; 0+25=25 ) ilemleri yapılıyorsa, toplamsal ifadelerde birleme özellii kullanılıyor demektir. Hangi rakam çiftinin ele alınırsa alınsın sonucun aynı olacaı düüncesi problem çözme sırasında örencilere kolaylık salayacaktır. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) e göre üçüncü sınıftan beinci sınıfa kadar örencilerin tüm hesaplamaları yaparken birleme özelliini kullanması gerekmektedir. Yapılan aratırmalar ııında, kısa yolla, ilem yapmadan sonuca ulama eklinde uygulanan tersine çevirme stratejisinin toplama ve çarpma ilemindeki birleme özelliinin kullanılması sonucu ortaya çıktıı düünülmektedir. Piaget (1950;1952) tersine çevirme stratejisi ile ilgili çalımalar yapmı ve gelitirdii örenme kuramında bu stratejinin edinilme döneminin somut ilemler dönemine rastladıını belirtmitir. 2.2. PAGET N ÖRENME KURAMI VE TERSNE ÇEVRME Piaget (1950; 1952) bilisel geliimi, niteliksel olarak birbirinden farklı dört temel döneme ayırarak açıklamıtır (Bjorklund, 2000; Piaget ve nhelder, 1969; Woolfolk,1998; Zeytinolu, 1980)(Akt: Çapri ve Çelikkaleli). Bu dönemler; 1- Duyusal-Motor Dönem [Sensory-Motor Period] 0-2 ya. 2- lem Öncesi Dönem [Pre-Operational Period] 2-7 ya. 3- Somut lemler Dönemi [Concrete Operational Period] 7-11 ya.