Gzi Üniv. Müh. Mim. Fk. Der. Journl of the Fculty of Engineering n Architecture of Gzi University ilt No 9- Vol No 9- HOMOJEN OMAYAN SIĞ KÜESE KABUĞUN TEMA BUKUMA ANAİZİ Abullh SOFİYEV Polt ÖZYİĞİT Süleymn Demirel Üniversitesi İnşt Mühenisliği Bölümü Isprt TUKİYE sofiyev@mmf.su.eu.tr poltozyigit@su.eu.tr (Geliş/eceive:..; Kbul/Accepte:..) ÖZET Bu çlışm sürekli homojen olmyn sığ küresel kbuğun terml burkulm nlizi incelenmekteir. Önce klınlık oğrultusun sürekli eğişen izotrop mlzeme özellikleri ve uygun terml genleşme ktsyısının nlitik moelleri oluşturulmktır. Problemin formülsyonun Kirchhoff-ove nin birinci mertebeen kbuk teorisi kullnılmkt ve gerilme-eformsyon bğıntılrın Hooke kurlı ikkte lınmktır. Donnell Mushtri Vlsov (DMV) vrsyımlrı ve oğrusl gerilme-yer eğiştirme bğıntılrı kullnılrk kuvvet ve moment bileşenleri bulunmkt ve stbilite enklemlerine yerine yzılrk üç yer eğiştirmeye bğlı ifernsiyel enklemler ele eilmekteir. Stbilite enklemleri bsit mesnetli sınır koşulun göre çözülerek sığ küresel kbuğun boyutsuz itik üniform sıcklık rtışı için nlitik ife bulunmktır. Syısl hesplr mlzemenin elstisite moülü ve uygun terml genleşme ktsyısının klınlık koorintlrın bğlı kuvvet fonksiyonu şekline eğişimi ve kürenin geometrik prmetreleri eğişiminin itik uniform sıcklık rtışın etkileri incelenmekteir. Ele eilen sonuçlr litertüre sunuln çözümlerle şılştırılrk çlışmnın oğruluğu teyit eilmiştir. Anhtr Kelimeler: Küresel kbuk homojen olmyn mlzeme burkulm itik sıcklık rtışı. THEMA BUKING ANAYSIS OF NON-HOMOGENOUS SHAOW SPHEIA SHES ABSTAT In this stuy the therml buckling nlysis of the non-homogenous shllow sphericl shell is investigte. Firstly the nlyticl moeling of non-homogenous mteril properties n pproprite therml expnsion coefficient which vry continuously through the thickness irection is me. In the formultion of the problem Kirchhoff-ove s first orer shell theory is use n Hooke s lw is tken into ccount for stress-strin reltions. By ug Donnell Mushtri Vlsov s (DMV) ssumptions n liner stress-isplcement reltion the stbility equtions epening on three isplcements re obtine. Stbility equtions re solve for the simply supporte bounry conition n nlyticl expression for the imensionless criticl uniform temperture rise is foun. In numericl computtions the effects of vritions of the elsticity moulus n pproprite therml expnsion coefficient s power function ccoring to thickness irection n vrition of the geometric prmeters of the sphere on the criticl uniform temperture rises re exmine s. To test the vliity of this stuy the obtine results re compre with counterprts in the open literture. Keywors: Sphericl shell non-homogeneous mteril buckling criticl temperture rise. GİİŞ (INTODUTION) Küresel şekle ship önel kbuklr çğş teknolojinin eğişik lnlrın; uçk svr ntenlerinin mukvemet elemnı olrk uzy rçlrın r kesit uvrı olrk enizltılr gemilere vey geminin sonun konuln kpklr eğişik mçlr için kullnıln çeşitli epolrın lt tbnın vs. kullnılmktır. Değişik mçl kullnıln bu tür küresel kbuklr tsrım
A. Sofiyev ve P. Özyiğit ojen Olmyn Sığ Küresl KbuğunTerml Burkulm Anlizi şmsın eğişik kontroller ypılmktır. Bu kontrollerin en önemlilerinen biri terml yükler etkisi ltınki küresel kbuklrın termo-elstik burkulm nliziir [ ]. Günümüz teknolojie küresel kbuklrın kullnım lnının genişlemesi ile meknik ve terml yükler etkisi ltınki bu tür kbuklrın burkulm problemlerinin incelenmesi rştırmcılrın ilgi oğı hline gelmiştir. Yeni teknoloji kullnılrk eğişik homojen olmyn mlzeme türlerinin oluşturulmsı ve ypı elemnlrın bu mlzemelerin sıkç kullnılmsı yeni hesp yöntemleri ve burkulm nlizlerinin ypılmsını gerektirmekteir. Bu nlizler esnsın mlzeme özelliklerinin homojen olmmsının mtemtiksel moellenmesi ve homojen olmm fktörünün ikkte lınmsı ypı elemnının bütünlüğü ynklığı ve güvenilirliği çısınn zorunluur. Mlzemenin homojenliğini bozn fktörlerin üretim tekniği rysyon etkisi termik ve yüzeysel cillmlr vs. oluğu bilinen bir gerçektir. Bu etkiler sonucu mlzeme özellikleri noktn nokty sürekli prçlı sürekli ve rstgele eğişir ve noktnın uzy koorintlrının fonksiyonlrı olbilir. ojen olmyn mlzemelerin mtemtiksel moel çeşitleri olukç sınırlıır ve yeni moellerin oluşturulm çblrı günümüze evm etmekteir [-]. Uzy enüstrie kullnıln homojen olmyn mlzemeler şırı yüksek sıcklıklr ve son erece büyük terml eğişimlere mruz klığınn homojen olmyn küresel kbuklrın terml burkulm problemlerinin çözümünü ve sıcklık frkı burkulm yükünün bulunmsını h önemli kılmktır. Terml yükler etkisi ltınki küresel kbuklrın burkulm problemleri meknik yüklere kıysl h sonr ele lınmsın rğmen çğş teknolojie çok önemli yere shiptir. Terml yükler etkieki homojen küresel kbuklrın stbilite problemlerine it önemli çlışmlr referns [] ve [8]'e sunulmuş ve bu çlışmlrın rınn litertüre bzı yyınlr orty çıkmıştır [9-]. ojen olmyn mlzemeler iğer üstün özelliklerinin ynı sır sıcklığı çok iyi korumsınn olyı çok fzl ikkt çekmiştir. ojen olmyn vey fonksiyonel eğişimli mlzemeleren oluşn kbuklrın meknik ve terml yükler etkisi ltınki vrnışın it çlışmlr homojen mlzemelere kıysl h sınırlıır [-]. ojen olmmnın ikkte lınmsı küresel kbuklrın terml burkulm enklemlerinin türetilmesi ve çözümünü h mşık hle getiriğinen bu problem henüz yeterince incelenmemiştir. Bu çlışmnın oğın sürekli homojen olmyn sığ küresel kbuğun üniform terml yük etkisi ltın burkulm probleminin incelenmesi urur.. TEME BAĞINTI VE DENKEME (BASI EATIONS AND EQUATIONS) Şekil e yrıçpı ve klınlığı h oln homojen olmyn küresel kbuk sunulmktır. H küre kesitinin yüksekliği ve r küre kesitinin yrıçpıır. θ ve sırsıyl çevresel ve enlemsel-meriyenel koorintlrır. eferns yüzey üzerine bulunmyn noktlr ek ryl z koorintı üzerine yer lmktır. Bu koorint küresel kbuğun uvrı üzerineki bir noktn ort yüzeyeki uygun nokty oln uzklıktır. eferns yüzeye bulunn ( z ) ortogonl koorint sistemi oluşturur. Küresel kbuğun Young moülü ve terml genleşme ktsyısı klınlık koorintının sürekli fonksiyonu şekline eğişmekteir [-]: E z Ez; z z; z z ;... z (z) ; z/ h () Bur E ; ; sırsıyl homojen mlzemenin Young moülü terml genleşme ktsyısı ve Poisson ornı; z Young moülü ve terml genleşme ktsyısının sürekli eğişim fonksiyonu; Young moülü ve terml genleşme ktsyısının eğişim ktsyısı olup eşitsizliğini sğlmktır; z boyutsuz klınlık koorintı olup (-/) en (/) ye eğişmekteir. Şekil. Küresel kbuğun geometrisi (Geometry of the sphericl shell) Terml genleşme ktsyısı eğişken homojen olmyn küresel kbuğun gerilme eformsyon bileşenleri rsınki bğıntı Hooke kurlın göre şğıki şekile olur: 98 Gzi Üniv. Müh. Mim. Fk. Der. ilt No
ojen Olmyn Sığ Küresl KbuğunTerml Burkulm Anlizi A. Sofiyev ve P. Özyiğit u w v u w z w w w cot v u w u w E(z) z w w cot w u v v.( ) z w w cot E(z) (z)t () Bur u v ve w sırsıyl ve z oğrultulrınki yer eğiştirmeler T sıcklık olup inisteki () sembolü koorintlr göre kısmi türevleri göstermekteir. Kuvvet ve moment bileşenleri şğıki ifeleren bulunur [ ]: T T T M M M h / z h / z () () bğıntılrı () enklemlerine yerine yzılıp kuvvet ve moment bileşenleri u v ve w yer eğiştirmeleri ile ife eilir ve ele eilen ifeler stbilite enklemlerine [ ] yerine yzılığın şğıki ifernsiyel enklemler ele eilir: u cot u u v u u v cot v w cot v cot w w w cot ( ) cot w w cot w w w w () u u u cot cot T T w w w cot w w v v v cot v w v ( ) u w w w w u u u v v w u u cot u u cot u u u u cot u u cot u u v v v v v cot cot cot v w ( )w ( ) w w ( ) w ( ) ( ) w w w cot w w w cot cot w w w cot cot v cot w cot w Bur w w w w T T w w cot w T T w w v w w w () () burkulm öncesi yükler ve i (i ) ifernsiyel opertörler olup şu tnımlr geçerliir: Gzi Üniv. Müh. Mim. Fk. Der. ilt No 99
A. Sofiyev ve P. Özyiğit ojen Olmyn Sığ Küresl KbuğunTerml Burkulm Anlizi E E E h / h / h / h / E ( ) E ( ) h / h / h / z h / E ( ) z h / z z h / h / h / z z z z z; z; z; z z z; z; z () burkulm ypr. Bu sıcklık eğişimi T T T olup üniform sıcklık rtışı olrk lnırılır. Üniform sıcklık rtışı ltınki küresel kbukt Tz T göz önüne lınır. Burkulm öncesi kuvvet bileşenleri enge enklemlerinin zr formunun çözülmesiyle ele eilir: T T b ThE / T T z z / () () bğıntısı ikkte lınrk (9) yklşım fonksiyonlrı () enklemlerine yerine yzılır ve integrlleme sonrsı ele eilen cebrisel enklemler sisteminin ktsyılrınn oluşn eterminnt sıfır eşitlenir:. STABİİTE DENKEMEİNİN ÇÖZÜMÜ VE BUGUA (SOUTION OF THE STABIITY EQUATIONS AND FINDINGS) Kbul eelim ki küresel kbuk bsit mesnetli sınır koşullrı ltın olsun. Bsit mesnetli sınır koşullrı mtemtiksel olrk şğıki gibi ife eilmekteir []: u v w w (8) (8) bsit mesnetli sınır koşullrını sğlyn sığ küresel kbuğun u v w yer eğiştirme bileşenleri için yklşım fonksiyonlrı şğıki gibi seçilmekteir: n v A n n u A (9) w A Bur A i (i ) bilinmeyen sbitler m / lg syılrı ve m ve n meriyenel ve çevresel burkulm küresel bölge çısıır. ojen olmyn sığ küresel kbuğun ()-() stbilite enklemlerine Glerkin yöntemi uygulylım: n n n () Bsit mesnetli ve T sıcklık etkisi ltın oln küresel kbukt sıcklık üniform olrk rtr (vey zlır) ve sonuçt öyle bir T eğerine ulşır ki bu eğere kbuğun stbilitesi bozulur yni küresel kbuk Bur i j tnımlnır: n c () ij ktsyılrı şğıki şekile n n n n n n 8 n n n n n n n 9b b n n n b n b n 9b b c n 9 n nc b n b b n n T b n 8 b 9bn n (.) n c c n c c n c n 9b b 8 9b 9b c () Gzi Üniv. Müh. Mim. Fk. Der. ilt No
ojen Olmyn Sığ Küresl KbuğunTerml Burkulm Anlizi A. Sofiyev ve P. Özyiğit () eki ktsyılrın içeriği i (i.. ) j (j.. 8) kb (k.. 9) qc (q.. ) için geçerli oln tnımlr Ek e sunulmktır. () ifesi () enklemine yerine yzılıp Srrus kurlı uygulnığın terml genleşme ktsyısı ve mlzeme özellikleri eğişen küresel kbuğun itik üniform sıcklık rtışı için şğıki ife bulunur: T T b b n n he 9b 9b / / z z () () ifee oluğun homojen izotrop sığ küresel kbuk için boyutsuz itik üniform sıcklık rtışı için ife özel olrk bulunur: T T he b n 9b b n 9b () Bur ij (i j ) homojen küresel kbuğun geometrisi ve mlzeme özelliklerine bğlı ktsyılrı olup ij (i j ) ktsyılrın yzılığın ele eilir. Boyutsuz itik üniform sıcklık rtışlrı T ve T için () ve () ifeleri m ve n ye göre minimize eilerek minimum eğerleri bulunur.. KAŞIAŞTIMA SAYISA ANAİZ VE TATIŞMA (OMPAISON NUMEIA ANAYSIS AND DISUSSION).. Krşılştırm (omprison) Bu çlışmnın oğruluğunu knıtlmk için itik üniform sıcklık rtışı eğerleri Eslmi ve rk. [] çlışmsınki uygun eğerlerle şılştırmış ve Tblo e sunulmuştur. Prntez içineki eğerler (mn) lg syılrının eğerleriir. Bizim sonuçlr ile Eslmi ve rk. [] çlışmsınki sonuçlrın uyum içine oluğu Tblo en görülmekteir. Tblo. ojen kürenin boyutsuz itik üniform sıcklık rtışı ile litertüreki uygun eğerlerin şılştırılmsı (/h=) (omprison of the imensionless criticl uniform temperture rise of the homogeneous sphere with vilble vlues in the open literture ( / h = )) T (mn) ( 9 ) Eslmi ve rk. [] Sunuln çlışm () 9().. Syısl nliz ve trtışm (Numericl nlysis n iscussion) Bu çlışm sürekli homojen olmm fonksiyonu z z ; somut olrk kuvvet fonksiyonu yni... şekline seçilmekteir []. Bur Young moülü ve terml genleşmenin eğişim ktsyı olup eşitsizliğini sğlmktır. Bu kısım homojen çelik mlzeme özellikleri E (MP) ve terml genleşme ktsyısı o / olrk ikkte lınrk /h ve H/r ornlrın ve estekleyici çısının eğişimine bğlı olrk Young moülü ve terml genleşme ktsyısı fonksiyonu (z) lineer prbolik ve kübik olrk eğiştiğine ve homojen urum boyutsuz itik üniform sıcklık rtışlrı ( T ve T ) için terml burkulm nlizi ve trtışm ypılmıştır. Syısl hesplr MAPE bilgisyr progrmı kullnılmış ve sonuçlr tblo ve grfikler şekline sunulmuştur. Tblo e homojen urum Young moülü ve terml genleşme ktsyısı sbit ve kuvvet fonksiyonu şekline eğiştiği urumlr için kürenin boyutsuz itik sıcklık rtışlrı ( T ve T ) ve uygun çevresel ve meriyenel lg syılrının estekleyici çıy bğlı ğılımı sunulmktır. Tblo en görülüğü gibi lineer urum; estekleyici çı 8 9 rlığın eğiştiğine homojen olmyn elstik kürenin boyutsuz itik sıcklık rtışı zlır 9 rsın ise rtr. Prbolik urum estekleyici çı 8 rsın eğiştiğine itik sıcklık rtışı yvş ols rtr. Kübik urum ise itik sıcklık rtışı 8 rlığın yklşık olrk eğişmez. ojen urum için ise estekleyici çının rtışın bğlı olrk T itik sıcklık rtışı rtmktır. Bu urum kynklrki refernslrl esteklenmekteir (bkz. [- ]). Ayrıc estekleyici çısı rttığın (z) fonksiyonu lineer prbolik ve kübik eğiştiğine elstik kürenin boyutsuz itik üniform sıcklık rtışın etkisi zlır. Gzi Üniv. Müh. Mim. Fk. Der. ilt No
A. Sofiyev ve P. Özyiğit ojen Olmyn Sığ Küresl KbuğunTerml Burkulm Anlizi Tblo. T ve T eğerleri ve onlr şı gelen (mn) lg syılrının çısın bğlı eğişimi ( / h ) (Vlues of the T n T n corresponing wve numbers (m n) epening on the ngle ( / h )) T (mn) T (mn) z z z z z z z 8 () () () () () 9() () () 9 9() () 9() 8() () () 9() () 9 99() () 9() 99() () () () () Şekil e homojen urum ve Young moülü ve terml genleşme ktsyısı kuvvet fonksiyonu şekline eğiştiğine elstik kürenin boyutsuz itik sıcklık rtışının ktsyısın bğlı eğişimi sunulmktır. ktsyısının rtışın bğlı olrk itik sıcklık rtışı eğerlerinin önemli erecee rttığı çıkç görülmekteir. ojen Φ()=π/9 Prbolik Φ()=π/9 ineer Φ()=π/9 Kübik Φ()=π/9 T..... ) ojen Φ()=π/8 ineer Φ()=π/8 Prbolik Φ()=π/8 Kübik Φ()=π/8 T 8..... b) Şekil. Boyutsuz itik üniform sıcklık rtışının ktsyısın bğlı ğılımı ( / 9 /8; / h ) (Distribution of the imensionless criticl uniform temperture rise versus to the coefficient / 9 /8; / h )) ( Gzi Üniv. Müh. Mim. Fk. Der. ilt No
ojen Olmyn Sığ Küresl KbuğunTerml Burkulm Anlizi A. Sofiyev ve P. Özyiğit T ojen ineer Prbolik Kübik.......8.9. H/r Şekil. Boyutsuz itik üniform sıcklık rtışlrının H/r ornın bğlı eğişimi ( / h ) (The vrition of the imensionless criticl uniform temperture rises versus to the rtio H/r ( / h )) Şekil e kürenin T ve T boyutsuz itik üniform sıcklık rtışlrının H/r ornın bğlı ğılımı sunulmktır. (z) fonksiyonu kuvvet fonksiyonu şekline eğiştiğine boyutsuz itik üniform sıcklık rtışı H/r ornı rttığın bir üzensizlik göstermekteir. ojen olmm ve terml genleşme ktsyısı fonksiyonu eğişiminin T boyutsuz itik üniform sıcklık rtışın etkiin önemli oluğu görülmekteir. Young moülü ve terml genleşme ktsyısı fonksiyonu lineer ve kübik eğiştiğine H/r ornın rtışın bğlı olrk üzensiz bir zlm prbolik urum ise üzensiz bir rtış görülmekteir (bkz. []). H/r ornı rttığın (z) fonksiyonu eğişiminin T boyutsuz itik üniform sıcklık rtışın etkisi sürekli olrk zlmktır. Örneğin; H/r= en H/r= e rttığın T boyutsuz itik üniform sıcklık rtışın etki (z) kübik ise % en % e zlmktır. Young moülü prbolik eğiştiğine boyutsuz itik üniform sıcklık rtışın en fzl etki % olup % üzensiz bir zlm izlenmekteir.. SONUÇA (ONUSIONS) Bu çlışm sürekli homojen olmyn sığ küresel kbuğun terml burkulm nlizi incelenmekteir. Önce klınlık oğrultusun sürekli eğişen izotrop mlzeme özellikleri ve uygun terml genleşme ktsyısının nlitik moelleri oluşturulmktır. Problemin formülsyonun Kirchhoff-ove nin birinci mertebeen kbuk teorisi kullnılmkt ve gerilme-eformsyon bğıntılrın Hooke kurlı ikkte lınmktır. Donnell Mushtri Vlsov (DMV) vrsyımlrı ve oğrusl gerilme-yer eğiştirme bğıntılrı kullnılrk üç yer eğiştirme fonksiyonun bğlı stbilite enklemleri ele eilmekte ve bsit mesnetli sınır koşullrı için çözülerek sığ küresel kbuğun boyutsuz itik üniform sıcklık rtışı için nlitik ife ele eilmekteir. Özel urum sbit terml genleşme ktsyılrı için homojen izotrop küresel kbuğun boyutsuz itik üniform sıcklık rtışının ifesi ele eilmekteir. Bu çlışmnın geçerliliği için ele eilen sonuçlr litertüre sunuln çözümlerle şılştırılmış ve oğruluğu knıtlnmıştır. Son olrk Young moülü ve uygun terml genleşme ktsyısının klınlık koorintlrın bğlı kuvvet fonksiyonu şekline eğişiminin eğişim ktsyısı ve kürenin geometrik prmetreleri eğişiminin boyutsuz itik üniform sıcklık rtışlrın etkileri MAPE bilgisyr progrmı kullnılrk syısl olrk incelenmiştir.. SEMBOE (SYMBOS) A i i : Bilinmeyen sbitler ij (i j ) : Mlzeme ve kbuk kteristiklerine bğlı ktsyılr : Kbuk kteristikleri ve yükleme urumun bğlı ktsyı : Kbuk prmetrelerine bğlı i j kb qc ktsyılr : ojen olmm kuvvet fonksiyonunun erecesi E E : ojen ve homojen olmyn mlzemenin Young moülleri e e e : Küresel kbuğun ort yüzeyineki H h eformsyon bileşenleri : Küre kesitinin yüksekliği ve küresel kbuğun klınlığı Gzi Üniv. Müh. Mim. Fk. Der. ilt No
A. Sofiyev ve P. Özyiğit ojen Olmyn Sığ Küresl KbuğunTerml Burkulm Anlizi M M M : Moment bileşenleri m n : Meriyenel ve çevresel lg syılrı r : Küre kesitinin yrıçpı ve küresel kbuğun yrıçpı : Çevresel ve enlemsel-meriyenel koorintlr T T T(z) T : Sıcklık sıcklık rtışı ve sıcklık fonksiyonu H T T : H ve küresel kbukt boyutsuz itik üniform sıcklık rtışı b T T T T : Burkulm öncesi yükler T T T : Kuvvet bileşenleri u v w : Meriyenel çevresel ve ryl oğrultulrki yer eğiştirmeler z : Küresel kbuğun klınlık koorintı : H ve mlzemenin terml genleşme ktsyısı i (i... 8) : Mlzeme özellikleri ve sıcklığın bğlı ktsyılr : Ort yüzeyin ve oğrultulrı ve burulmsınki eğrilikler z : Küresel bölge çısı : Young moülü ve terml genleşme ktsyısı eğişim fonksiyonu i (i ) : Difernsiyel opertörler : Dlg syısı ve meriyenel koorint bğlı prmetre : Young moülü ve terml genleşme eğişim ktsyısı : ojen ve homojen olmyn mlzemenin Poisson ornı : Gerilme bileşenleri ( ) : Koorintlr göre kısmi türevler. TEŞEKKÜ (AKNOWEDGMENT) Yzrlr -Y-8 Nolu Projeye veriği estekten olyı Süleymn Demirel Üniversitesi Bilimsel Arştırm Projeleri Yönetim Birimi Bşknlığı n teşekkürlerini sunrlr. 8. KAYNAKA (EFEENES). Ogiblov P.M. ve Gribnov V.F. Thermoelstic Stbility of Pltes n Shells Moscow Stte University usy 98.. Kpln A. Buckling of Sphericl Shells Thin Shell Structures. Theory Experiment n Design Eitörler: Fung Y.. ve Sechler E.E. Prentice-Hll Englewoo liffs -88 9.. Khoroshun.P. Kozlov S.Y. Ivnov Y.A. ve Koshevoi I.K. The Generlize Theory of Pltes n Shells Non-homogeneous in Thickness Direction Nukov Dumk Kiev 988.. Ooto Y. ve Tnigw Y. Three-imensionl Trnsient Therml Stress Anlysis of Nonhomogeneous Hollow Sphere with espect to otting Het Source Bulletin of the Jpn Society of Mechnicl Engineers ilt -9 99.. Sofiyev A.H. ve Schnck E. The Buckling of ross-ply minte Non-homogeneous Orthotropic omposite onicl Thin Shells Uner Dynmic Externl Pressure Act Mechnic ilt 9-.. Shen H.S. ve No N. Post-buckling of Pressure-loe FGM Hybri ylinricl Shell in Therml Environments omposite Structures ilt -.. Buinsky B. Buckling of lmpe Shllow Sphericl Shells Proc. IUTAM Symp. on the theory of thin elstic shells Delft Netherlns -9 99. 8. Aggrwl B.D. ve Sibel E. Therml Stbility of Bimetllic Shllow Sphericl Shells Interntionl Journl of Non-liner Mechnics ilt 9-9. 9. Jinping P. ve Hrik I.E. Therml Stresses in Sphericl Shells Journl of Aerospce Engineering ilt - 99.. Eslmi M.. Ghorbni H.. ve Shkeri M. Thermo-elstic Buckling of Thin Sphericl Shells Journl of Therml Stresses ilt -98.. Btist M. ve Kosel F. Thermoelstic Stbility of Bimetllic Shllow Shells of evolution Interntionl Journl of Solis Structures ilt -.. Shhsih. Eslmi M.. ve Nj. Therml Instbility of Functionlly Gre Shllow Sphericl Shell Journl of Therml Stresses ilt 9-8.. Gnpthi M. Dynmic Stbility hrcteristics of Functionlly Gre Mterils Shllow Sphericl Shells omposite Structures ilt 9 8-.. Akış T. Yieling of Functionlly Gre ong Tubes uner Therml oing Journl of the Fculty of Engineering Architecture of Gzi University ilt -.. Sofiyev A.H. Özyiğit P. Avcr M. ve Zerin Z. The Stbility of ontinuously Nonhomogenous Sphericl Shells Subjecte to Externl Pressure 9th Interntionl ongress on Avnces in ivil Engineering KATU Trbzon - Eylül.. Timoshenko S. ve Woinoswsky-Krieger S. Theory of Pltes n Shells McGrw-Hill 98.. Flügge W. Stresses in Shells (secon e.) Springer Berlin 9. Gzi Üniv. Müh. Mim. Fk. Der. ilt No
ojen Olmyn Sığ Küresl KbuğunTerml Burkulm Anlizi A. Sofiyev ve P. Özyiğit EK (APPENDIX) i (i.. ) j (j.. 8) kb (k.. 9) qc (q.. ) ktsyılrı için geçerli oln tnımlr şu şekileir: n n n n n 8 n n nn cot n 9 n n n n nn n n n n cot 8 9 n n n n n n n n n n n n 8 b b b n n n n b b n b n ncot b ncot 8 b 9 b (n) ( ) c (n) ( ) (n) ( ) ( ) cot () c c c (n) ( ) (n) ( )cot c (n) ( ) ( ) c () (n) Gzi Üniv. Müh. Mim. Fk. Der. ilt No