9 BÖLÜM 7 SÜRELİ HAL HATALARI ontrol itmlrinin analizind v dizaynında üç özlliğ odaklanılır, bunlar ; ) İtniln bir gçici hal cvabı ürtmk. ( T, %OS, ζ, ω n, ) ) ararlı olmaı. ıaca kutupların diky knin olunda yada n azından knin üzrind olmaı itnmktdir. 3) Sürkli hal hataının küçük olmaı. 4) Sürkli hal hataını kıaca tanımlarak blirli bir tt girişi için t giriş v çıkış araındaki farktır. 7. Giriş Sürkli hal hatalarının dğrlndirilmind kullanılan tt dalga şkillri: Dalga Şkli Giriş Fizikl karşılığı Zaman fonkiyonu Laplac Formu Baamak Sabit onum Rampa Sabit hız Parabol Sabit İvm Tablo 7. Baamak fonkiyonu abit konum kontrolü için kullanılır, yörüngind bulunan bir uydu bu fonkiyon için iyi bir örnktir. Rampa fonkiyonu abit hızlı girişlrin poziyon kontrolünd kullanılır. Parabol fonkiyonu abit ivmli uygulamalarda kullanılır, bu fonkiyonun uygulamaları için füzlr önmli örnklrdndir. 9
9 Sürkli Hal Hataının Blirlnmi Giriş Çıkış Çıkış Zaman (a) Giriş Çıkış Çıkış Çıkış 3 Zaman (b) Şkil 7. Şkil 7. inclndiğind ğrilr yardımıyla ürkli hal hataı il ilgili yorumlar yapılabilir. Şkil 7. (a) da giriş il Çıkış araında 0 dır; Çıkış d i t ikn giriş il araındaki farktan dolayı bir oluşur. 7. (b) d giriş il çıkış araında oluşmaz; çıkış d girişl olan farktan dolayı bir oluşur v bu t a gidrkn abit bir ayıdır; Çıkış3 için grafiği incldiğimizd yin bir in oluştuğunu görürüz v t olurkn olur. Son dğr tormi: L f& 0 [ f& ()] t t f& ( t).. dt F() F() 0 0 ( t) dt f ( f ( 0) lim F( f ( 0) (7.) (7.) 9
93 f f ( lim F( ( lim f ( t) t (7.3) (7.4) lim ( t) lim E( (7.) t Şkil 7. Sitmd hata, giriş v çıkış araındaki fark olduğundan kapalı çvrimli bir itm çıkışı (t) olarak şkil 7. (a) daki gibi götrilbilir. Burada ütünd duracağımız ürkli hal vya on durumdaki (t) dğridir. Bu ürkli hal hataını önclikl Şkil 7. (b) dki gibi bir birim gri blmli itm için inclycğiz. Daha onra birim gri blmiz, H(, itmlri l alacağız. Sürkli Hataının Oluşma Ndnlri ontrol itmlrind ürkli hal hatalarının bir çoğu dişlilr araındaki boşluklar, ampli doymaı vya motorların ölü bölgi gibi linr olmayan kaynaklardan dolayı oluşur. Bizim ütünd çalışacağımız ürkli hal hataları i itmin kndi konfigürayonu v uygulanan girişin tipin bağlı olarak oluşan hatalardır. Örnğin şkil 7.3 d ki itmi inclylim, R( giriş C( i çıkıştır v bu durumda E( R( C( hata işartidir.girişin baamak fonkiyonu olduğunu kabul dlim. Sürkli hald ğr c(t), r(t) y şit olura (t) ıfır olacaktır. Ancak af kazançla,, ğr c(t) ıfır dğil v onlu bir dğr hata, (t), ıfır olamaz. Bundan dolayı bu (a) daki konfigürayon için itm ıfır ürkli hal hataı vrmz. Sitm bir intgratör klnir ıfır ürkli hal hataı ld dilbilir. Şkil 7.3 Eğr c itmin çıkışının ürkli hal dğri v itmin ürkli hal hataı i bu durumda; 93
94 c (7.6) vya c (7.7) olur. Blirtildiği gibi itmdn bir çıkış alınmak itniyora ıfır olamaz. azanç büyüdükç hata küçülür. 7. Birim Gri Blmli Sitmlrd Sürkli Hal Hataı Birim gri blmli itmlrd ürkli hal hataı itmin kapalı çvrim tranfr fonkiyonu olan T(, vya açık çvrim tranfr fonkiyonu G( yardımıyla haplanabilir. T( Bağlı Olarak İfadinin Blirlnmi Şkil 7. (a) da ki gibi bir itmi düşünlim, E( i bulmak için ; E( R( C( (7.8) C( R(T( (7.9) Dnklmlri düznldiğimizd v buradan E( i çktiğimizd: E( R([-T(] (7.0) Eld diln dnklm on dğr tormini uygularak; ( lim E( R( [ T ( ] 0 (7.) ld dilir. Örnk: Şkil 7. (a) da T(? Çözüm: + 7 + 0 olun giriş birim baamak olduğuna gör + 7 + lim lim 0 7 0 0 + + + 7 + 0 (7.) G( y Bağlı Olarak İfadinin Blirlnmi Şkil 7. (b) da ki gibi birim gri blmli bir itmi düşünlim, E( i bulmak için ; 94
9 E( R( C( (7.3) C( E(G( (7.4) Dnklmlri düznldiğimizd v buradan E( i çktiğimizd: E( R( E(G( (7.) E([ + G(] R( (7.6) E( R( + G( (7.7) Eld diln dnklm on dğr tormini uygularak; ( R( lim E( lim + G( (7.8) Farklı Tt Sinyallri İçin Sürkli Hal Hataları Baamak Fonkiyonu İçin Habı R( R( alındığında v lim t yrin konulduğunda 0 + G( + limg( baamak ( (7.9) baamak ( 0 için limg( 0 olmalıdır ( + Z)( + Z )... G.( (7.0) n ( + P)( + P)... limg( için n olmalı ki ürkli hal hataı 0 olun. 0... n 0 için i Z Z G (, buradan görülcği gibi onlu bir dğr oluyor. P P... Rampa Fonkiyonu İçin Habı R( alındığında v R( lim t yrin konulduğunda 0 G( + 9
96 rampa ( lim + G( lim G( ld diliyor. rampa için lim G( (7.) olmalı bundan dolayı n olmalıdır. Parabolik Fonkiyonu İçin Habı R( 3 alındığında v R( lim t yrin konulduğunda 0 G( + 3 lim + G( lim G( parabol ( ld diliyor. parabol için lim G( (7.) olmalı bundan dolayı n 3 olmalıdır. İntgratörü Olmayan Sitmin Sürkli Hal Hataı İntgratörü olmayan itmin ürk hal hataını aşağıdaki örnklrd inclylim. Örnk: u(t), tu(t) v t u(t) dğrindki girişlr için şkil 7.4 d ki itmin ürkli hal hatlarını bulunuz. u(t) birim baamak fonkiyonudur. Şkil 7.4(Ni,000) Çözüm: İlk olarak itmin kararlı olup olmadığını tpit tmk grkir ancak bu örnk için bu dtaylara bu oruda yr vrmycğiz. Giriş R( baamak fonkiyonu uygulandığında; + limg( + 0 (7.3) Giriş R( rampa fonkiyonu uygulandığında; 96
97 rampa ( lim G( 0 (7.4) Giriş R( 0/ 3 parabol fonkiyonu uygulandığında; parabol olur. (7.) Aynı giriş fonkiyonlarını şkil 7. ya uygulayarak ürkli hal hatalarını bulalım; Şkil 7. Giriş R( baamak fonkiyonu uygulandığında; 0 + limg( + (7.6) Giriş R( rampa fonkiyonu uygulandığında; rampa ( lim G( 00 0.0 (7.7) Giriş R( 3 parabol fonkiyonu uygulandığında; parabol olur. (7.8) 7.3 Statik Hata Sabitlri V Sitm Tipi 7.3. Statik Hata Sabitlri Sürkli hal hataı prforman özlliklrin tatik hata abitlri olarak adlandırılır. Bu abitlrin naıl blirlndiğini, naıl haplandığını inclycğiz. 97
98 Giriş u(t) baamak fonkiyonu uygulandığında; ( baamak + limg( (7.9) Giriş tu(t) rampa fonkiyonu uygulandığında; ( rampa ( lim G( (7.30) Giriş t u(t) parabol fonkiyonu uygulandığında; parabol ( lim G( (7.3) Paydada bulunan limitli trimlr ürkli hal hataını blirlr. Bu limitlr tatik hata abitlri dnir. Poziyon abit, p, p limg( (7.3) Hız abiti, v, v lim G( (7.33) İvm abiti, a, a lim G( (7.34) 98
99 Örnk: Şkil 7.6 dki hr bir itm için tatik hata abitlrini v bklnn hataları tandart baamak, rampa v parabolik giriş fonkiyonları için bulunuz. Şkil 7.6 Çözüm: Sitmlrin kararlı olduğu kabul diliyor. Önclikl şkil 7.6 (a) için tatik hata abitlrini blirlylim. p v a 00 limg(.08 8 0 lim G( 0 lim G( 0 (7.3) (7.36) (7.37) Böylc baamak girişi için; 0.6 + p (7.38) Rampa giriş için; ( v (7.39) 99
00 Parabolik giriş için; ( ) (7.40) a Şkil 7.6 (b) için tatik hata abitlrini blirlylim. p v a limg( 00 6 lim G( 3. 8 0 lim G( 0 0 (7.4) (7.4) (7.43) Böylc baamak girişi için; 0 + p (7.44) Rampa giriş için; 0.03 a 3. (7.4) Parabolik giriş için; ( a (7.46) Şkil 7.6 (c) için tatik hata abitlrini blirlylim. p v a limg( lim G( 00 4 6 7 lim G( 87 8 0 (7.47) (7.48) (7.49) Böylc baamak girişi için; 00
0 0 + p (7.0) Rampa giriş için; 0 a (7.) Parabolik giriş için; a 87 (7.) 7.3. Sitm Tipi Statik hata abitlrinin dğrlrinin G(, özllikld af intgratör ayıına bağlı oldugunu gördük. Şkil 7.8 d vriln itmd görüln fonkiyondaki n biz itmin tipini vriyor. Şkil 7.7(Ni,000) Tablo 7. d ürkli hal hataı, tatik hata abiti v itm tipi bir arada götrilmiştir. Tip 0 Tip Tip Giriş Sürkli-hal hataı formüllri Statik hata abitilri Hata Statik hata abitilri Hata Statik hata abitilri Hata Baamak Sabit Rampa Sabit Parabol Sabit Tablo 7. 0
0 7.4 Sürkli Hal Hataı Özlliklri Bir örnk üzrind açıklayacak olurak; v000 olarak vrildiğind, abitin ait olduğu itm dair bazı özlliklr hakkında hmn yorum yapabiliriz. ontrol itmini kararlıdır. ontrol itminin tipi dir. ontrol itminin giriş inyali rampa fonkiyonudur. ontrol itminin ürkli hal hataı birim ğim başına 0-3 dür v Örnk: p000 olarak tatik hata abiti vriln itm il ilgili hangi onuçlara ulaşabiliriz. Çözüm: Sitm kararlıdır. Sitmin tipi dir. Sitmin girişin uygulanan tt inyali baamak tır. Sitmin ürkli hal hataı olarak bulunur. 00 Sürkli Hal Hataına gör azanç Sağlayacak Sitm Dizaynı Örnk: Şkil 7.8 için %0 ürkli hal hataı vrck kazancı bulunuz. Şkil 7.8 Çözüm: Sitmin tipi dolayııyla hataya uygu olarak giriş rampa fonkiyonu olmalı, çünkü adc rampa fonkiyonu tip d (ıfır dışında) onlu bir hata vrbilir. 0. v (7.3) v 0 lim G( 67 6 7 8 (7.4) 0