>> pretty(f) s exp(10) 1/ s + 1 1/100 (s + 1) + 1 s

Transkript

1 ELN5 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - LAPLACE VE TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ UYGULAMALARI: Symbolic Math Toolbox içinde tanımlı olan laplace ve ilaplace komutları ile Laplace ve Ter Laplace dönüşümlerinin doğrudan embolik çözümlerini yapmak mümkündür. ) Laplace Dönüşümü: Flaplace(f) komutu Matlab ortamında tanımlanmış bir f fonkiyonunun embolik Laplace dönüşümünü yapar. Burada Laplace dönüşümünde kullanılan ve t değişkenleri ile vara a,b gibi parametrelerin ym veya ym komutları ile önceden tanımlanmaı gerekir. Örnek : 5t 5t f ( e cot e in t fonkiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz. >> ym t >> f*exp(-5**co(-exp(-5**in( f *exp(-5**co(-exp(-5**in( >> Flaplace(f) F (*4)/(^*6) >> pretty(f) Örnek : t 4 ( t) f ( e co t t 6e fonkiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz. >> ym t >> f*exp(-*co(*-t^46*exp(-t) f *exp(-*co(-*t^46*exp(-t) >> Flaplace(f) F /5*()/(/*()^)-4/^56*exp()/() >> pretty(f) 4 exp() / / ( ) - -

2 Örnek : f ( δ ( u( t ) at bt in ωt fonkiyonunun Laplace dönüşümünü bulunuz. >> ym t a b w >> fdirac(*heaviide(t-)a*t^b*t*in(w* f dirac(*heaviide(t-)a*t^b*t*in(w* >> Flaplace(f) F *exp(-*/*a/^*b**w/(^w^)^ >> pretty(f) exp(- a b w ( w ) ) Ter Laplace Dönüşümü: filaplace(f) komutu Matlab ortamında tanımlanmış bir F fonkiyonunun embolik ter Laplace dönüşümünü yapar. Burada Laplace dönüşümünde kullanılan ve t değişkenleri ile vara a,b gibi parametrelerin ym veya ym komutları ile önceden tanımlanmaı gerekir. Örnek : 4 F ( fonkiyonunun ter Laplace dönüşümünü bulunuz. 5 6 >> ym t >> F(4)/(^5*6) F (4)/(^5*6) >> filaplace(f) f -exp(-**exp(-* Örnek : 5 F ( fonkiyonunun ter Laplace dönüşümünü bulunuz. 6 >> ym t >> F(5)/(^6*) F (5)/(^6*) >> filaplace(f) - -

3 f exp(-**(co(*in() Örnek : F ( fonkiyonunun ter Laplace dönüşümünü bulunuz. ( 4)( ) >> ym t >> F/((4)*(^) F /(4)/(^ >> filaplace(f) f 5/*exp(-4*5/*exp(-**(-* ) Kımi Keirlere Ayırarak Ter Laplace Dönüşümü: [r p k]reidue(pay,payda) komutu ile, bir fonkiyonun kımi keirlerinin çarpanları, kutupları ve kalanları heaplanabilir. Sonra elde edilen kımi keirlerin ter Laplace dönüşümü alınarak toplam fonkiyonun ter Laplace dönüşümü heaplanabilir. 9 9 Örnek : F ( fonkiyonunun ter Laplace dönüşümünü kımi keirlere ( )( )( 4) ayırarak bulunuz. >> pay[ 9 9]; >> paydaconv([ ],conv([ ],[ 4])) payda >> [r p k]reidue(pay,payda) r p k - -

4 Açıklama: 9 9 r() r() F( ( )( )( 4) p() p() t f (.667e.5e e t t r() kalan p() 8 Örnek : F ( fonkiyonunun ter Laplace dönüşümünü kımi keirlere ( ) ( 5) ayırarak bulunuz. >> pay[ 8]; >> paydaconv(conv([ ],[ ]),[ 5]) payda 9 4 >> [r p k]reidue(pay,payda) r p k Açıklama: 8 r() F( ( ) ( 5) p() 5 ( ) f ( e 5t e t te t r() r() p() ( p()) kalan 4 6 Örnek : F ( fonkiyonunun ter Laplace dönüşümünü kımi keirlere ayırarak ( ) bulunuz. >> pay[ 4 6]; payda[ ]; >> [r p k]reidue(pay,payda) - 4 -

5 r... p k Açıklama: 4 6 r() r() F( ( ) p() ( p()) f ( e ( ) t t e t ( ) t e t ( t t ) e r() ( p()) t kalan Örnek 4: bulunuz. F ( fonkiyonunun ter Laplace dönüşümünü kımi keirlere ayırarak 5 >> pay[ ]; payda[ 5]; >> [r p k]reidue(pay,payda) r p. -.5i..5i -..i -. -.i k Açıklama: r() r() F( kalan 5 p() p()

6 [( ) ](.5) [( ) ](.5) [( ) ][( ) ] ( ) ( ) ( ) f ( e t co t 5e t in t 5 ( ) 4 Örnek 5: F ( fonkiyonunun ter Laplace dönüşümünü kımi keirlere ( )( ) ayırarak bulunuz. >> pay[ - -4]; >> paydaconv([ ],[ ]) payda >> [r p k]reidue(pay,payda) r p i -. -.i i -. -.i k Açıklama: 4 r() r() r() F( kalan ( )( ) p() p() p() 4 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) f ( 4e 4 4 t [( ) ]( ) [( ) ]( ) [( ) ][( ) ] e t cot e t in t - 6 -

7 4) Diferaniyel Denklemlerin Laplace-Ter Laplace Dönüşümü ile Çözümü: d y( dy( Örnek : y( t diferaniyel denkleminin çözümünü y ( ) ve d t d t y& ( ) başlangıç koşulları altında Laplace dönüşümünü kullanarak bulunuz. Çözüm: [ Y ( {{ y() y& ()] [ Y ( { y() ] Y ( ( ) Y ( Y ( ( ) y(? ilaplace komutu ile çözüm: >> ym t >> F(^)/((^)*(^*) F (^)/^/(^* >> filaplace(f) f -/4*exp(-*exp(-/*t-/4 reidue komutu ile çözüm: >> pay[ ]; payda[ ]; >> [r p k]reidue(pay,payda) r p k - 7 -

8 Açıklama: F( ( ) r() r() p() p() t t f (.75e e.5u(.5t r() r(4) p() ( p(4)) kalan d y( d y( dy( Örnek : 4 6 4y( diferaniyel denkleminin çözümünü y ( ), d t d t d t y& ( ) ve & y& ( ) başlangıç koşulları altında Laplace dönüşümünü kullanarak bulunuz. Çözüm: [ Y ( { y() { y& () && { y() ] 4[ Y ( { y() { y& ()] 6[ Y ( { y() ] 4Y ( ( 4 6 4) Y ( Y ( y(? ilaplace komutu ile çözüm: >> ym t >> F/(^4*^6*4) F /(^4*^6*4) >> filaplace(f) f /*exp(-*/*(-co(in()*exp(- reidue komutu ile çözüm: >> pay; payda[ 4 6 4]; >> [r p k]reidue(pay,payda) r p i -.5.5i i -. -.i k - 8 -

9 Açıklama: r() r() r() F( kalan p() p() p() [( ) ](.5.5) [( ) ](.5.5) [( ) ][( ) ].5.5( ) ( ) ( ) ( ) f (.5e t.5e t cot.5e t in t d y( dy( Örnek : 4 4y( in t diferaniyel denkleminin çözümünü y ( ) ve d t d t y& ( ) başlangıç koşulları altında Laplace dönüşümünü kullanarak bulunuz. Çözüm: Y ( 4Y ( 4Y ( Y ( ( )( 4 4) y(? ilaplace komutu ile çözüm: >> F/((^)*(^4*4)) F /(^)/(^4*4) >> filaplace(f) f -4/5*co(/5*in(/5*exp(-**(5*t4) reidue komutu ile çözüm: >> pay; paydaconv([ ],[ 4 4]) payda >> [r p k]reidue(pay,payda) r i -.8.6i - 9 -

10 p i. -.i k Açıklama: F( (.6. ( ).6. ( ).6. ( ) f (.6e r() r() )( 4 4) p() ( p()) t.te ( )(.8.6) ( )(.8.6) ( )( ) ( ) t.6 cot.in t r() r(4) kalan p() p(4).6. Örnek 4: Bir eri RLC devreinin girişine e( u( şeklinde bir negatif baamak gerilim uygulanmaktadır. Kondanatör geriliminin zamanla değişimini, devre elemanlarının değerlerini RΩ, L.5H, C.F alarak, kondanatörün başlangıçta 5 V gerilim ile dolu olmaı durumunda, yani v ( ) 5V ve v& ( ) koşulları için heaplayınız ve çiziniz. Çözüm: d i( Ri( L d t C Çıkış : v( C i( dt i( dt e( d v( i( C d t d v( d v( RC LC v( u( d t d t olur d v( R d v( v( ( ) u( d t L d t LC LC [ V ( v { () v& { ()] [ V ( v { ()] V ( 5 5 d i( d v( C d t d t için - -

11 5 ) V ( 5 V ( v(? ( ) ( ilaplace komutu ile çözüm: >> ym t >> V(5*^*-)/(^*^* V (5*^*-)/(^*^* >> vilaplace(v) v -7/*exp(-*(*co(*in(*) reidue komutu ile çözüm: >> pay[5 -]; payda[ ]; >> [r p k]reidue(pay,payda) r p i.5.667i i -. -.i k Açıklama: V 5 ( r() r() r() kalan p() p() p() [( ) ](.5.667) [( ) ](.5.667) [( ) ][( ) ] 7( ) 7 ( ) 7 7 ( ) ( ) ( ) v( 7e t cot (7 / ) e t in t u( - -

12 Çıkış işaretinin şekli: >> t:.:; % kullanılan zaman vektörü >> v7*exp(-.*co(*-(7/)*exp(-.*in(*-; >> plot(t,v), grid >> xlabel('zaman (aniye)'), ylabel('kondanatör gerilimi (Vol') 6 4 Kondanatör gerilimi (Vol zaman (aniye) Örnek 5: Aynı eri RLC devreinin girişine e ( in( şeklinde bir inüoidal gerilim uygulanmaktadır. Devreden akan akımın zamanla değişimini, devre elemanlarının değerlerinin RΩ, L.5H, C.F olmaı durumunda ıfır başlangıç koşulları için heaplayınız ve çiziniz. Çözüm: d i( R i( L i( dt e( d t C I( RI( LI ( E( C 4 (.5 ) I ( I(. ( 4)( ) i(? ilaplace komutu ile çözüm: >> ym t >> I4*/((^4)*(^*)) I 4*/(^4)/(^*) >> iilaplace(i) i 6/*co(*4/*in(*-/9*exp(-*(9*co(*7*in(*) - -

13 reidue komutu ile çözüm: >> pay[4 ]; paydaconv([ 4],[ ]) payda >> [r p k]reidue(pay,payda) r p i i i i -..i -. -.i -..i -. -.i k Açıklama: 4 r() r() r() r(4) I( kalan ( 4)( ) p() p() p() p(4) [( ) ](..8) [( ) ](..8) [( ) ][( ) ] ( )(..54) ( )(..54) ( )( ) 4.6( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) i( 4.6e t cot.6e t in t 4.6co t.8in t Çıkış işaretinin şekli: >> t:.:; % kullanılan zaman vektörü >> i-4.6*exp(-.*co(*-.6*exp(-.*in(*... >> 4.6*co(*.8*in(*; >> plot(t,i), grid >> xlabel('zaman (aniye)'), ylabel('devre akımı (Amper)') - -

14 6 4 Devre akımı (Amper) zaman (aniye) 5) Doğrual Sitemlerin Çıkış İşaretinin Ter Laplace Dönüşümü ile Heaplanmaı: Laplace Dönüşümünün Konvolüyon Özelliği : c( g( * r( L { G( R( } Bir doğrual zamanla değişmeyen itemin çıkış işareti c (, itemin tranfer fonkiyonu G ( ile giriş işaretinin Laplace dönüşümü R ( nin çarpımının ter Laplace dönüşümü alınarak heaplanabilir. Burada tüm başlangıç koşulları tranfer fonkiyonunun tanımı gereği ıfırdır. ( 4) Örnek : Tranfer fonkiyonu G ( olan itemin birim ani darbe, birim ( )( ) baamak ve birim rampa giriş işaretlerine verdiği cevapları Laplace dönüşümünün konvolüyon özelliği yardımıyla heaplayarak çiziniz. Çözüm: Birim Ani Darbe Cevabı: r( δ ( için R ( dir. Bu durumda C ( G( R( için ( 4) c ( L { C( } L { G( R( } L. ( )? g t ( )( ) reidue komutu ile çözüm: >> pay[ 4]; paydaconv([ ],[ ]); >> [r p k]reidue(pay,payda) r -. -.i -..i

15 p -..i -. -.i -. k Açıklama: ( 4) r() r() r() C( kalan ( )( ) p() p() p() [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c( g( e Çıkış işaretinin şekli: ]( ) [( ) ]( [( ) ][( ) ] t cot 4e t in t e t ) ( ) >> t:.:8; % kullanılan zaman vektörü >> c-*exp(-.*co(*4*exp(-.*in(**exp(-*; >> plot(t,c), grid >> xlabel('zaman (aniye)'), ylabel('sitemin birim ani darbe cevabı').5 Sitemin birim ani darbe cevabı zaman (aniye) ilaplace komutu ile çözüm: >> ym t >> G*(4)/((*(^*)) - 5 -

16 G (*4)/(/(^*) >> cilaplace(g) c *exp(-**(-co(**in(*)*exp(- Birim Baamak Giriş Cevabı: r ( u( için R( dir. Bu durumda C ( G( R( olduğu için ( 4) c ( L { C( } L { G( R( } L.? ( )( ) reidue komutu ile çözüm: >> pay[ 4]; paydaconv([ ],[ ]); >> [r p k]reidue(pay,payda) r p -.5.5i i i -. -.i -. k Açıklama: ( 4) r() r() r() r(4) C( kalan ( )( ) p() p() p() p(4) [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c( e t cot e ](.5.5) [( ) ](.5 [( ) ][( ) ] t in t e t u( ( ).5) - 6 -

17 Çıkış işaretinin şekli: >> t:.:8; % kullanılan zaman vektörü >> c-exp(-.*co(*exp(-.*in(*-exp(-*; >> plot(t,c), grid >> xlabel('zaman (aniye)'), ylabel('sitemin birim baamak cevabı').5 Sitemin birim baamak cevabı zaman (aniye) ilaplace komutu ile çözüm: >> ym t >> G*(4)/((*(^*)) G (*4)/(/(^*) >> cilaplace(g*(/) c -exp(-*-exp(-*(co(*in(*) Birim Rampa Giriş Cevabı: r ( t u( için R ( dir. Bu durumda C ( G( R( için ( 4) c ( L { C( } L { G( R( } L.? ( )( ) reidue komutu ile çözüm: >> pay[ 4]; paydaconv([ ],[ ]); >> [r p k]reidue(pay,payda) - 7 -

18 - 8 - r..i. -.i p -..i -. -.i -. k Açıklama: t t u e t e t e t c p r p r p r p r p r C t t t ) (.9.5 in. co.4 ) (.9.5 ) (.6 ) ( ) ( ) (.6 ).4(.9.5 ] ) ][( ) [(.) ](. ) [(.) ](. ) [( kalan (5)) ( (5) (4) (4) () () () () () () ) )( ( 4) ( ) ( ilaplace komutu ile çözüm: >> ym t >> G*(4)/((*(^*)) G (*4)/(/(^*) >> cilaplace(g*(/^)) c -9//*exp(-**t/5*exp(-*(*co(*-in(*)

19 Çıkış işaretinin şekli: >> t:.:8; % kullanılan zaman vektörü >> c-.4*exp(-.*co(*-.*exp(-.*in(*.5*exp(-*-.9*t; >> plot(t,c), grid >> xlabel('zaman (aniye)'), ylabel('sitemin birim rampa cevabı') 6 4 Sitemin birim rampa cevabı zaman (aniye) ( 4) t Örnek : Tranfer fonkiyonu G ( olan itemin r( e ütel giriş ( )( ) işaretine verdiği cevabı Laplace dönüşümünün konvolüyon özelliği yardımıyla heaplayarak çiziniz. Çözüm: t r( e için R ( dir. Bu durumda C ( G( R( için ( 4) c ( L L G( R( L. ( )( ) { C( } { }? reidue komutu ile çözüm: >> pay*[ 4]; paydaconv(conv([ ],[ ]),[ ]); >> [r p k]reidue(pay,payda) r i i

20 p -..i -. -.i k Açıklama: ( 4) r() r() r() r(4) C( kalan ( )( )( ) p() p() p() p(4) [( ).667( ) ( ).667 ( ) ( ) c(.667e t Çıkış işaretinin şekli: ](..667) [( ) ](. [( ) ][( ) ] cot.e t in t 4e t 6.667e t.667) ( ) >> t:.:8; % kullanılan zaman vektörü >> c-.667*exp(-.*co(*-.*exp(-.*in(*-4*exp(-*6.667*exp(-; >> plot(t,c), grid >> xlabel('zaman (aniye)'), ylabel('sitemin ütel giriş cevabı').5 Sitemin ütel giriş cevabı zaman (aniye) - -

21 ilaplace komutu ile çözüm: >> ym t >> G*(4)/((*(^*)) G (*4)/(/(^*) >> cilaplace(g*/()) c -4*exp(-*4/*(-*co(*-in(*5)*exp(- Örnek : Tranfer fonkiyonu ( 4) G ( olan itemin girişine ( )( ) t r( e in t önümlü inüoidal işareti uygulandığında, itemin verdiği cevabı Laplace dönüşümünün konvolüyon özelliği yardımıyla heaplayınız ve çiziniz. Çözüm: t r( e in t için R ( ( ) dir. Bu durumda C ( G( R( için ( 4) c ( L { C( } L { G( R( } L. R(? ( )( ) ilaplace komutu ile çözüm: >> ym t >> G*(4)/((*(^*)) G (*4)/(/(^*) >> r*exp(-**in(* r *exp(-**in(* >> Rlaplace(r) R 4/(^6*) >> cilaplace(g*r) c 8/5*exp(-*4/45*(-*co(*59*in(*)*exp(-*- 8/45*exp(-*(*co(*4*in(*) - -

22 Çıkış işaretinin şekli: >> t:.:8; % kullanılan zaman vektörü >> c8/5*exp(-*4/45*(-*co(*59*in(*).*exp(-*-... >> 8/45*exp(-.*(*co(*4*in(*); >> plot(t,c), grid >> xlabel('zaman (aniye)'), ylabel('sitemin çıkış işareti') Sitemin çıkış işareti zaman (aniye) - -