13.11. Ġstatistik ĠSTATĠSTĠK? Ölçekler Verilerin Düzenlenmesi Merkezi Eğilim Ölçüleri Dağılım Ölçüleri ĠliĢki Ölçüleri (Korelasyon) Örnek Uygulama ÖLÇME VE DEĞERLENDĠRMEDE TEMEL ĠSTATĠSTĠKĠ HESAPLAMLAR İstatistik, verileri analiz ve organize etmekle uğraşan bir disiplindir. Araştırmacının değişken ölçümlerinde ortaya çıkan rakamları organize etmesine ve yorumlamasına yardımcı olur. İstatistik, belirli amaçlar için planlı ve sistemli olarak veriler toplama, sınıflama, çözümleme ve yorumlama teknik ve yöntemlerine ait bir disiplindir. Dr M SÖZBĠLĠR ÖĞRETMENLER NEDEN ĠSTATĠSTĠK BĠLMELĠ? Öğrencinin öğrenme değerlendirmesini geliştirir. Resmi olmasa da araştırma çalışması yapmasını sağlar. (Sonuçlar nasıl analiz edilmeli?) Program, personel, prosedür değerlendirmesini anlamasını sağlar. Nicel verilere dayalı kararlar verirken daha iyi bir vatandaş ve tüketici olmasına yardımcı olur. ĠSTATĠSTĠK ÇEġĠTLERĠ Betimsel istatistik sayıları ve gözlemleri tanımlayıcı indekslere dönüştürür. Kestirimsel istatistik ise evren ve örneklem arasındaki benzerliklerin tespitinde sonuç çıkarmak ve tahmin yapmak için kullanılır. Betimsel istatistik verilerde ne sorusu üzerinde durur. Örneğin, 5.Sınıf öğrencilerinde ortalama okuma seviyesi nedir?. Öğrencilerin başarı durumları nedir? Betimsel istatistik, verilerin özetlenmesi ve araştırma sonuçlarının yorumlanması için kullanılan en iyi yoldur. Eğitim uygulamaları için yararlı olacak araştırmaları tartışabilme ve yorumlayabilme becerisi kazandırır. ÖLÇEKLER Bilgilerin, değişkenlerin, varlıkların, kısaca araştırmada kullanılan verilerin matematiksel özellikleri vardır. Her şey kilo ya da metre ile ölçülemez, ifade edilemez. Veriler de matematiksel özelliklerine göre; Sınıflama Ölçeği Sıralama Ölçeği Eşit Aralıklı Ölçek Eşit Oranlı Ölçek olarak dört başlık altında sınıflandırılır. 1- SINIFLAMA ÖLÇEĞĠ Aynı özellikleri paylaşan insanları, olayları ya da diğer objeleri bir grup altında toplamak için kullanılır. Örneğin, insanları cinsiyetine, göz rengine ya da tuttukları partiye göre sınıflandırmak. Ancak, mavi gözlü olanlar yeşil gözlü olanlardan iyidir ya da önce gelir denilemez. Araştırmacılar, pratikte grupları belirtmek için harfler, numaralar kullanabilir. Gruplardaki elemanlar, frekans dağılımı olarak gösterilebilir. 1
13.11. - SIRALAMA ÖLÇEĞĠ Obje ya da bireylerin herhangi bir özelliğe sahip oluş derecesine göre en yüksekten en düşüğe sıralanmasıdır. Böylece her bir değer diğerine eşit, diğerinden küçük ya da diğerinden büyük olabilir. Örneğin, düşüncelerin en önemli olandan en önemsiz olana doğru sıralanması ya da testlerden alınan sonuçların derecelendirilmesi (Katılıyorum- Fikrim Yok-Katılmıyorum, Birinci-ikinci, çok iyi-iyikötü, ). Bu ölçeklerde iki şey arasındaki fark eşit değildir. Mesela bir sınavdan alına puanlara göre (, 1 ve ) sıralama yapıldığında ikinci ile üçüncü arasındaki fark ile birinci ile ikinci arasındaki fark eşit değildir. 3- EġĠT ARALIKLI ÖLÇEK Bu tür ölçekler, birey ve durumlar arasındaki farkın miktarını göstermeye yöneliktir. Aralıklı ölçekler üzerinde hem ölçümün değeri, hem de ölçümler arasındaki farkın miktarı önemlidir. Aralıklar arasındaki sayısal değer ölçeğin her tarafında aynıdır. Örneğin 5 ile arasındaki farkla 1 ile 19 arasındaki fark eşittir. Bu tür ölçeklerde bir başlangıç noktası vardır fakat bu başlangıç bağıl bir başlangıç noktasıdır ve ölçek eşit birimlere bölünmüştür. Termometreler, takvimler ve puanlar bu tür ölçeklere uygundur. - EġĠT ORANLI ÖLÇEK VERĠLERĠN DÜZENLENMESĠ Eşit oranlı ölçekler en yüksek düzeydeki ölçeklerdir. Bu tür ölçekler aynı zamanda sıralı ve aralıklı ölçeklerdir. Birey ve durumlar arasındaki fark oran biçiminde ifade edilir. Örneğin bir sayının iki katı, dörtte biri gibi. Bu ölçeklerde mutlak bir sıfır noktası vardır, Yani ölçülen şey gerçekten yoktur. Metre, kilogram, saat gibi ölçümler. FREKANS DAĞILIMI Puanların küçükten büyüğe doğru sıralanarak her puanın kaç öğrenci tarafından alındığını gösteren dağılımdır. Puanlar belli aralıklara bölünerek çetelelerle de gösterilebilir. Ancak, eğitimde ölçümler oranla ifade edilmez. Örneğin bir öğrenci ya daha çok grupla çalışmayı sever ya da daha az. Bu iki kat daha çok seviyor ya da üç kat daha az seviyor diye ifade edilmez. Frekans dağılımı, en çok ve en az alınan puanı ve puanların genel dağılımını gösterir. FREKANS DAĞILIMI (n=5) Puanlar frekans (f) 5 1 1 9 1 1 11 7 11 1111 5 11111111 11111111 3 111111 1111111 7 1 11 111 3 39 1 1 3 1 1 37 11 GRAFĠKLER HĠSTOGRAM VE BAR GRAFĠKLERĠ Her puan ya da aralığın frekansını sütunlar halinde gösteren grafiğe histogram denir. Bar Grafiği, görünüş olarak histogram grafiğine benzese de sütunların sıralanışı bir düzene göre değildir. Histogramda sütunlar en azdan en çoğa doğru sıralanır. Gruplama değişkenlerin sıralanması bir düzen gerektirmediği için bar grafiğinde gösterilebilir.
YTL Hacim (L) Yüzde Frekans Yüzde 13.11. Histogram Örneği 1 Puanlarin Dagilimi Sütun (Bar) Grafik Örneği Puanlarin Dagilimi 1 1 Std. Dev = 3.17 Mean = 3. 3. 3...... 5. N = 5. 3. 3...... 5. 37. 39. 1. 3. 5. 7. 9. Alinan Puanlar Puanlar FREKANS POLĠGONLARI PASTA GRAFĠKLERĠ Frekans poligonu, frekans dağılımı gösteren diğer bir yoldur. Bar grafiğinden farkı grafikte barlar yerine noktalar gösterilir ve bir çizgiyle birleştirilir. Puanlarin Dagilimi 1 1 1 1 3. 3...... 5. 37. 39. 1. 3. 5. 7. 9. Puanlar Bir parçanın bütün içerisindeki büyüklüğünü göstermek için kullanılır. Deniz Suyundan Elde Edilen Tuzun Bileşimi Sülfat Diğer % 1% Sodyum 31% Potasyum 1% Klor Mağnezyum 5% % Kalsiyum 1% Çizgi Grafik Herhangi bir değerler serisindeki eğilim, değişim veya gidişat görülmek istendiğinde tercih edilir. 1,7 1,5 1, 1,55 1,5 1,5 1, 1,35 1,3 Dolar ve Euro'nun aylara göre değişimi Ocak Şubat Mart Ağustos Ekim Aralık Dolar Euro X-Y Dağılım Grafiği X Gazının Hacminin Sıcaklıkla Değişimi 1 1 1 Sıcaklık ( o C) 3
13.11. MERKEZĠ EĞĠLĠM ÖLÇÜLERĠ Aritmetik Ortalama Ortanca (Medyan): Puanlar veya ölçümler küçükten büyüğe doğru sıralandığında (sayı bakımından) grubun, dizinin tam ortasındaki puan veya ölçümdür. ARĠTMETĠK ORTALAMA Bir dizideki ölçümlerin ya da puanların toplamının ölçüm sayısına bölünmesiyle elde edilir. X X n Gruplandırılmamış ve tekrarlı verilerin olmadığı ölçümlerinin aritmetik ortalaması fx X n Gruplandırılmış verilerin olduğu durumlarda aritmetik ortalamanın hesaplanması Tepe değer (Mod): En sık tekrar eden ölçüm veya değerdir. MEDYAN Sıralanmış bir veri grubunu tam ortadan ikiye bölen değere ortanca denir. n tf a Gruplandırılmış frekans Medyan : L. a dağılımlarından medyanı fb hesaplamak için L= Ortancanın bulunduğu aralığın alt sırası n= Puan sayısı (kümedeki birey sayısı) tfa= L ye kadar olan frekansın toplamı fb= Ortancanın bulunduğu aralığın frekansı a= Ortancanın bulunduğu aralığın genişliği DAĞILIM ÖLÇÜLERĠ Ranj: En büyük ile en küçük ölçüm veya değer arasındaki farktır. Standart Sapma Ortalamadan olan farkların ortalamasıdır. Puanların aritmetik ortalamadan olan farklarının karelerinin toplamının puan adedine bölümünün karekökü alınarak hesaplanır. Standart Puanlar (z ve T) STANDART SAPMA ve VARYANS Standart Sapma: Bir dizi ölçümün ortalamadan olan farklarının kareleri ortalamasının kareköküdür. S X X n 1 Varyans: Standart sapmanın karesidir STANDART PUANLAR Bir ham puanın, aritmetik ortalama gibi bazı referans noktalarından, standart sapma birimleri bakımından ne derece uzaklaştığını gösteren türetilmiş ya da yapay bir puandır. En çok kullanılan standart puanlar z puanı ve T puanıdır. z X X S T z 5
Frequency Frequency 13.11. ĠLĠġKĠ ÖLÇÜLERĠ (Korelasyon) Pearson Momentler Çarpımı Korelasyonu Aralıklı ya da oranlı ölçeklerden elde edilen sürekli iki değişken arasındaki ilişkinin hesaplanmasında kullanılır. n XY XY r n X X n Y Y Sıra Farkları (Spearman) Korelasyonu Sıralamalı ölçeklerde elde edilen veriler arasındaki ilişkilerin hesaplanmasında spearman sıra farkları korelasyon katsayısı kullanılır. r s d n n 1 1. Vize Frekans Tablosu. Vize Frekans Tablosu Final Frekans Tablosu N Aritmetik Ortalama Medyan Mod Standart Sapma Vary ans Skewness Ranj Minimum Maximum Toplam Ġstatistikler Geçerli değer say ısı Eksik veri Say ısı 1. Vize. Vize Final 51 51 51 5,3 57,37, 55, 59, 5, 3 15,75 13,55 11,3 7,9 13, 17,73,551,5 -,77 5 5 7 3 33 93 3 7 9 35 Valid Cumulativ e Frequency Percent 7 1, 3 1 3,9 33 1 5,9 35 1 7, 3 15,7 39 3 1, 1 1 3,5 3 9, 5 1 31, 7 35,3 9 1 37,3 5 3 3,1 53 7,1 5 1 9, 55 3 5,9 57 3, 5 1,7 59 1,7 1,7 1 7, 7,5 5 7, 3,3 7 1,3 7 1, 75 1 9, 7 1 9, 7 1 9,1 9 9, 93 1, Total 51 Valid Cumulativ e Frequency Percent 3 1, 35 1 3,9 3 1 5,9 37 1 7, 3 13,7 1 17, 1 19, 5 3,5 1 5,5 7 1 7,5 9 1 9, 5 33,3 5 1 35,3 53 1 37,3 5 1 39, 55 3 5,1 5 9, 59 1 51, 5, 1,7 3 1,7 5 7, 1 7,5 1 7,5 9 7, 7 3,3 71 1,3 75 9,1 79 1 9,1 1 9, 1, Total 51 Valid Cumulativ e Frequency Percent 33 1, 35 1 3,9 1 5,9 3 1 7, 5 1 9, 13,7 5 1 15,7 5 3 1, 55 1 3,5 5 7,5 5 31, 1 33,3 1 1 35,3 1 37,3 3 1 39, 7,1 5 51, 7,7, 9 1 7, 7 1 7,5 71 3 7, 73 3,3 7 1,3 75 9, 7 9,1 7 1 9,1 1 9, 3 1, Total 51 1. Vize Histogram. Vize Histogram Std. Dev = 15,75 Mean = 5, N = 51, 5, 35, 5, 55, 5, 75, 5, 95, 3,, 5,, 7,, 9, Std. Dev = 13,55 Mean = 57, N = 51, 3,, 5,, 7,, 35, 5, 55, 5, 75, 5, 5
Frequency Frequency Frequency 13.11. 1 Final Histogram Sütun Grafik vs Histogram 1 1 Final Sütun Grafik 1 Final Histogram 1 1 Std. Dev = 11,3 Mean =, N = 51, 35, 5, 55, 5, 75, 5,, 5,, 7,, 33 5 5 55 5 1 3 5 7 73 75 7 3 Std. Dev = 11,3 Mean =, N = 51, 35, 5, 55, 5, 75, 5,, 5,, 7,, Normal Dağılım - Standart Puanlar (z ve T) %3 %3 %7,5 %7,5 ~%5 ~%5-3 - -1 1 3 z -3 - -1 1 3 T 3 5 7