Ö.S.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Rakamları sıfırdan farklı, beş basamaklı bir sayının yüzler ve binler basamağındaki rakamlar yer değiştirildiğinde elde edilen yeni sayı ile eski sayı arasındaki fark en çok kaç olabilir? A) 8000 B) 7800 C) 7500 D) 700 E) 7000 Çözüm abcde acbde (0,000.a+,000.b+00.c+0.d+e) - (0,000.a+,000.c+00.b+0.d+e),000.b 00.b,000c + 00.c 900.b 900.c 900.(b-c) b-c nin en fazla olması için, b 9 ve c olmalıdır. 900.(b-c) 900.(9-) 900.8 700 olarak bulunur.. Birbirinden farklı, iki basamaklı pozitif dört tamsayının toplamı 6 dır. Bu sayıların en büyüğü 98 olduğuna göre, en küçüğü en az kaçtır? A) 6 B) 5 C) D) E)0 Çözüm 98 + 97 +96 + x 6 9 + x 6 x 5. 7 ifadesinin değeri kaçtır? A) B) Çözüm C) D) 9 E) 7 ³ ( ) ( )..( ) ( ) ( )
4. Yukarıdaki bölme işlemlerinde K, L, M harfleri birer pozitif tamsayıyı göstermektedir. Buna göre, K + L + M 0 5M işleminin sonucu kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Çözüm 4 K 5.L+ L 4.M+ K 5.(4M+)+ K 0.M+7 K + L+ M 5M 0 ( 0M + 7) + (4M + ) + M 0 5M 5M 5M 5 5. 4A6B sayısı 5 ile kalansız bölünebilen, dört basamaklı bir sayıdır. Bu sayıda A nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 0 B) C) 6 D) E) 4 Çözüm 5 4A6B sayısı 5 ile kalansız bölünebiliyorsa, ve 5 ile de tam bölünebilir. 5 ile tam bölünebilmesi için, birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olmalıdır. ile tam bölünebilmesi için, rakamların toplamı ün katı olmalıdır. B 0 4A60 4+A+6+0 0+A k A {,5,8} olur. B 5 4A65 4+A+6+5 5+A k A {0,,6,9} olur. A nın alabileceği değerler toplamı + 5 + 8 + 0 + + 6 + 9 bulunur. 6. x ve y reel (gerçel) sayılardır. x in en az katı, y nin de en az 5 katı birer tamsayıdır. Buna göre, x + y nin en az kaç katı bir tamsayı olur? A) 0 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5
Çözüm 6 a Z a.x x a b Z b 5.y y 5 b a, b, k Z (a + b) Z ve k.a Z a b a b 5. a+ 6. b x + y. +. +.(5.a + 6.b) 5 6 5 0 0 x + y nin en az 0 katı bir tamsayı olur. 7. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, s(e), s(a \ B) 4, s(a' B') olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Çözüm 7 s(a' B') s(a B) s(e) ve s(a \ B) 4 s(b) s(e) [s(a B) + s(a B) ] s(b) [4 + ] 7 5 8. Pozitif reel (gerçel) sayılar kümesi üzerinde her a,b için tanımlanmıştır. a+ b β (a,b) bağıntısı b Buna göre, β(,) β(4,m) eşitliğinde m sayısı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Çözüm 8 β(,) β(4,m).+. 4+m m 9.m.(+m) m +m m 6
9. - < a 5 a-b olduğuna göre, b için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) 5 < b 8 B) 5 < b 7 C) 8 < b -5 D) -7 < b 5 E) -5 < b 7 Çözüm 9 a-b a b+ a - < a 5 - < b+ b+ 5-9 < b+ 5-0 < b 4-5 < b 7 0. (7) 9 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 Çözüm 0 7 (mod 7) 7 9 9 (mod 7). a-b b-c 5 olduğuna göre, a + c - b işleminin sonucu kaçtır? A) 50 B) 45 C) 40 D) 5 E) 0 Çözüm a² + c² - b² a² - b² + c² - b² (a-b).(a+b) + (c-b).(c+b) a-b b-c 5 5.(a+b) - 5.(c+b) 5.(a+b-c-b) 5.(a-c) a-b b-c 5 a-b b-c a b-c 5.(a-c) 5.(b-c-c) 5.(b-c) 5..(b-c) 0.(b-c) 0.5 50. 5 5 + işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 5 C) 5 D) E)
Çözüm 5 5+ ( 5+ ) ( 5 ) ( 5 ).( 5+ ) ( + 5)² ² 5 4. 400 litrelik bir havuz 5 ve 6 litrelik kovalarla su taşınarak doldurulacaktır. Kovaların her ikisinin de en az birer kez kullanılması koşuluyla, bu havuzun tamamı en az sayıda kaç kova su ile dolar? A) 65 B) 66 C) 67 D) 74 E) 80 Çözüm 5 litrelik kovayla x defa, 6 litrelik kovayla y defa su taşınsın. 400 5.x + 6.y En az sayıdaki kova sayısı için, y > x olmalıdır. 5.x + 6.y 400 için, x y 65 bulunur. O halde, x + y + 65 67 olur. 4. i dolu olan bir su kabının içindeki su ile birilikte ağırlığı 9 kg dır. Kap tam dolu iken 5 tüm ağırlık 5 kg olduğuna göre, boş kabın ağırlığı kaç kg dır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Çözüm 4 Kabın boş ağırlığı x ve suyun ağırlığı y olsun. y. 5 + x 9 kg Kap tam dolu kabın ağırlığı + suyun ağırlığı 5 kg x + y 5 kg 5x x 45 5 x 5 5. 4 ve 5 yaşındaki öğrencilerden oluşan 40 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin yaşları toplamı 570 tir. Bu sınıfta 5 yaşında olan kaç öğrenci vardır? A) 8 B) 5 C) 0 D) 5 E) 0
Çözüm 5 5 yaşındaki öğrenci sayısı x 4 yaşındaki öğrencilerin sayısı y olsun. x + y 40 Sınıftaki öğrencilerin yaşları toplamı 5.x + 4.y 570 5x - 4x 570 4.40 x 0 olur. 6. limonu 40,000 TL ye alıp 5 limonu 90,000 TL ye satan bir manav kaç limon satarsa 560,000 TL kar eder? A) 0 B) 0 C) 0 D) 40 E) 50 Çözüm 6 limonu 40,000 TL limonun alış fiyatı 5 limonu 90,000 TL limonun satış fiyatı 40,000 90,000 5 8,000 Kar satış - alış 4,000 40,000 4,000 limondan elde edilen kar (kar 8,000 - ) x limondan elde edilen kar 560,000 (x satılan toplam limon sayısı) 4,000 x. 560,000 x 0 7. Bir miktar parayla K, L, M kişileri sırasıyla ve 4 sayıları ile doğru, 6 ile ters orantılı olarak paylaşıyorlar. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) L, K nin iki katı para alır. B) M, K nin üç katı para alır. C) K, L nin iki katı para alır. D) En çok parayı M alır. E) En az parayı K alır. Çözüm 7 Orantı sabiti k olsun. Verilenlere göre, K L 6M 4 k K k, L 4k, M 6 k Bu durumda, L, K nın iki katı para alır. (L K)
8. Ağırlıkça %6 sı şeker olan homojen un şeker karışımının sı alınarak yerine aynı 6 ağırlıkta un ekleniyor. Yeni karışımın ağırlıkça şeker yüzdesi kaçtır? A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) 0 Çözüm 8 x 5x %6 sı şeker olan karışım x kg olsun. [x - kg] 6 6 Đlave edilen unun şeker oranı 0 [ 6 x kg] yeni karışımın şeker oranı A [x kg] 5x x 6 5x 0 x A %6. + %0. %A.x. +.. x A 0 bulunur. 6 6 00 6 00 6 00 9. Bir baba 7 milyon lirayı çocuklarına eşit olarak paylaştırmak istiyor. Çocuklardan 4 ü kendi paylarından vazgeçiyor ve para diğer çocuklar arasında eşit olarak paylaştırılıyor. Bu durumda, para alan çocuklar öncekine göre er milyon lira daha fazla alıyorlar. Buna göre, tüm çocukların sayısı kaçtır? A) B) C) D)4 E) 5 Çözüm 9 Çocuk sayısı x olsun. 7 milyon lira, x çocuğa eşit olarak paylaştırılırsa 7 x 7 milyon lira, (x 4) çocuğa eşit paylaştırılırsa 7 x 4 7 7 + x x 4 x 4 x 7 x.(x-4) 96 x olur.
0. Şekildeki, dikdörtgen biçimli ABCD koşu pistinin A köşesinde iki koşucu durmaktadır. Koşuculardan biri B ye doğru saatte v hızıyla, öteki de D ye doğru saatte v / hızıyla aynı anda koşmaya başlıyor. Koşucular ilk [DC] üzerindeki E noktasında karşılaşıyorlar. EC 75 m olduğuna göre, ABCD dikdörtgenin çevresi kaç m dır? A) 00 B) 50 C) 400 D) 450 E) 500 Çözüm 0 DE x ve AD y olsun. A noktasından B ye doğru giden koşucu, AB + BC + CE (x+75) + y + 75 x + y + 50 v.t (*) A noktasından D ye doğru giden koşucu, AD + DE y + x x + y v.t.(x+y) v.t (**) (*) ve (**) işlemleri eşitlenirse, x + y + 50.(x+y) x + y 50 bulunur. ABCD dikdörtgenin çevresi (x+75) + y + 75 + x + y.(x+y) + 50.50 + 50 450 a + a. a+ a ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) - B) a C) D) a E) a
Çözüm a + a a+ a + a² a a+ a² + a³ a a³ + a² + a³ a². a a³ + a a² a. a (a b) + b + ab ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) a +b B) a -b C) a+b D) a-b E) -a+b Çözüm a + b ( a b) + ab a + b ( a² ab+ b²) + ab a + b a² ab+ b² ( a+ b).( a² ab+ b²) a² ab+ b² a+b. x < 0, x 5 eşitsizlik sistemini sağlayan tamsayıların çarpımı kaçtır? A) -0 B) C) -4 D) -60 E) -0 Çözüm x 5-5 x 5 {-5,-4,-,-,-,0,,,,4,5} x < 0 {-5,-4,-,-,-} (-5).(-4).(-).(-).(-) -0 elde edilir. 4. P(x-4).x+a x -4x+6 eşitliğindeki P(x) polinomu (x-) ile kalansız olarak bölünebildiğine göre, a kaçtır? A) B) 8 C) 5 D) E) 9 Çözüm 4 x- 0 x P() 0 x-4 x 6 P(6-4).6 + a 6² - 4.6 + 6 P().6 + a 8 0.6 + a 8 a 8
Not : Ancak, polinom x R için tanımlı olduğuna göre, x 0 yazılırsa P(x-4).x + a x - 4x + 6 P(0-4).0 + a 0² - 4.0 + 6 a 6 bulunur. Ortaya çıkan çelişkinin nedeni, bağıntıya uygun olan P(x) x polinomunun x- ile kalansız olarak bölünebilememesidir. Bu nedenle soru iptal edilmiştir. 5. Bir f fonksiyonu, Her bir pozitif tamsayıyı kendisi ile çarpımsal tersinin toplamına götürüyor." şeklinde tanımlanmıştır. Bu fonksiyon aşağıdakilerden hangisi ile gösterilebilir? A) x + x f(x) B) x x f(x) C) x x f(x) D) x + x f(x) E) x f(x) x + x Çözüm 5 f fonksiyonu, x sayısını, kendisi ile çarpımsal tersi ( x ) nin toplamına dönüştürdüğüne göre, f(x) x + x f(x) x²+ x elde edilir. 6. R-{} de tanımlanan hangisidir? x + f(x) fonksiyonunun değer kümesi aşağıdakilerden x A) R B) R-{} C) R-{} D) R-{} E) R-{0} Çözüm 6 x+ f ( x) (x- 0 x ) x Tanım kümesi R - {} x+ f ( x) (x- 0 x ) x Değer kümesi R - {}
Not : Rasyonel fonksiyonlarda tanım kümesini bulmak için R den varsa paydayı sıfır yapan değerler çıkartılır. Değer kümesini bulmak için de fonksiyonun tersi alınır, paydayı sıfır yapan değerler R den çıkartılır. f(x) ax+ b cx+ d şeklinde ise, (cx+d 0 x d ) c d Tanım kümesi R { } c f(x) ax+ b cx+ d f - (x) dx+ b cx a olur. (cx-a 0 x c a ) Değer kümesi R { c a } d a O halde, fonksiyonu f : R { } R {c } şeklinde göstermeliyiz. c 7. Yukarıda f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafiği verilmiştir. Grafikteki bilgilere göre, g () + (fog)() değeri kaçtır? f(4) A) B)- C) 0 D) E) Çözüm 7 Grafikteki verilere göre, f(4) -, f() 0 ve g(), g() g () + ( fog)() f (4) g () + f ( g()) f (4) + f () + 0 - elde edilir.
8. m(ced) α AB BC BD CD DE Yukarıdaki verilere göre, m(ced) α kaç derecedir? A) 90 B) 60 C) 45 D) 0 E) 0 Çözüm 8 m(ced) α m(ecd) α ( CD DE ) DBC üçgeni, eşkenar olduğundan bir açısı 60 olur. AB BC m(bad) m(adb) m(dbc) 60 m(bad) m(adb) 0 ACE üçgeninde, α + (α+60) + 0 80 α 45 Not : Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. 9. Şekilde AB AC ve BD BC olduğuna göre, m (BDˆC) α kaç derecedir? A) 5 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55
Çözüm 9 m(bdc) α m(bcd) α ( BD BC ) m(acb) α + 5 m(abc) α + 5 ( AB AC ) BDC üçgeninde, iç açılar toplamı 80 α + α + (α+5) 80 α 55 bulunur. 0. m(bca) 90 BD DA DC a+ birim AC 4 birim BC a birim Yukarıdaki verilere göre, a kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 Çözüm 0 Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşit olduğundan, BD DA DC a+ olur. AB AD + DB a+ + a+ a+ ACB üçgeninde, (a+)² (a-)² + (4 )² (pisagor) 8a 40 a 5 olur.
. m(abc) 90 [CN] açıortay AC 5 cm BC 9 cm Yukarıdaki verilere göre, ANC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 4 8 B) 5 4 C) 85 D) 5 E) 56 Çözüm ABC dik üçgen olduğundan, 5² AB ² + 9² (pisagor) AB Açıortay bağıntısına göre, 5 9 AN NB AN x NB x 5 9 AN NB 5 x 9 x 5 4x 80 x Alan(ANC) 5.9 5 elde edilir. 4
. m(bac) 90 m(bed) 90 BD 4 cm DA 6 cm AC 5 cm BE x Yukarıdaki verilere göre, BE x kaç cm dir? 6 A) 5 B) C) 5 D) 4 E) 5 Çözüm BAC dik üçgeninde, BC ² 5² + (4+6)² (pisagor) BC 5 BED BAC BE BA BD ED BC AC x 4+ 6 4 5 6 x olur. 5. ABC bir üçgen BD cm DC 8 cm Yukarıdaki şekilde ABD üçgeninin alanı 6 cm olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E)
Çözüm Alan(ABD) 6 h. 6 h 6 Alan(ABC) ( 8+ ). h 0.6 0 Not : Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları oranı, tabanları oranına eşittir. 4. Yukarıdaki şekilde ABCD bir paralel kenardır. Buna göre, EF x kaç cm dir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Çözüm 4 m(baf) m(daf) a m(dfa) a (iç-ters) Buradan, ADF üçgeni, ikizkenar üçgen olur. AD DF DF FC 8 6 Aynı şekilde, m(eba) m(cbe) b m(ceb) b (iç-ters) Buradan, BCE üçgeni, ikizkenar üçgen olur. BC EC EC DE 8 6 AB DC 8 DC DE + EF + FC 8 6 + x + 6 x 6 bulunur. 5. CE DA LA AB CB 8 cm Şekildeki ABCD eşkenar dörtgeninin alanı kaç cm dir? A) 6 B) 0 C) 6 D) 0 E)
Çözüm 5 Eşkenar dörtgende karşılıklı kenarlar eşit ve paralel olduğundan, AB BC CD DA 8 AB 8 LA AB 8 olur. LAB LBC LA LB AE LE BC LC 8 AE 8+ 8 8 AE 4 AE 4 DE 8 4 4 bulunur. CED dik üçgeninde, 8² 4² + EC ² (pisagor) EC 4 Alan(ABCD) AD. EC 8.4 elde edilir. 6. O merkezli [AB] çaplı çember D, C çember üzerinde m(bcd) α Şekilde AD a cm, AB a cm olduğuna göre, m(bcd) α kaç derecedir? A) 0 B) 0 C) 00 D) 90 E) 80 Çözüm 6 [OD] yi çizelim. AO OB OD AD a olur. Ado üçgeni eşkenar üçgen olacağından, m(aod) m(oda) m(dao) 60 olur. m(aod) 60 AD yayı 60 AB yayı 80 DAB yayı 80 + 60 40 α α 0 bulunur.
7. A noktasından yuvarlanmaya başlayan r yarıçaplı bir çember 5 tam dönme yaparak şekildeki gibi A noktasında durmuştur. AA 40.π cm olduğuna göre, çemberin yarıçapı r kaç cm dir? A) 0 B) 6 C) 4 D) 0 E) 8 Çözüm 7 Çember bir tam dönmede, çevresi kadar yol alır.(çemberin çevresi.π.r) 5 tam dönmede 5.(.π.r) kadar yol alır. AA 40.π 5.(.π.r) 0.π.r 40.π r 4 bulunur. 8. Yanal alanı 5π cm olan bir dik koninin taban yarıçapı 9 cm dir. Bu koninin hacmi kaç cm tür? A) 8.π B) 9.π C) 0.π D).π E) 4.π Çözüm 8 Koninin yanal alanı π.r. PB 5.π π. PB.9 5.π PB 5 olur. POB dik üçgeninde, PB ² h² + 9² (pisagor) 5² h² + 9² h Koninin hacmi.π.r².h.π.9². 4.π elde edilir.
Not : α α r Koninin yanal alanı π.a². π.r.a ( ) 60 60 a O merkezli çemberin çevresi P merkezli çemberin (ABA) yayının uzunluğu α.π.r.π.a. 60 α r a. 60 r α bulunur. a 60 9. ABCD kare tabanlı ABCDA'B'C'D' dikdörtgenler prizmasında D' noktası A ve B ile D noktasıda B ile birleştirilirse, hacmi 00 cm olan (D'ABD) piramidi elde ediliyor. ABCDA'B'C'D' prizmasının yüksekliği 5 cm olduğuna göre, tabanının bir kenarı kaç cm dir? A) 5 B) 5 C) 5 D) 0 E) 0
Çözüm 9 DD 5 piramidin yüksekliği olacağına göre, Piramidin hacmi.alan(abd).yükseklik AB BC CD AD a olsun. alan(abd) AB.AD a.a a² a ² 00..5 a² 0 a 0 elde edilir. 40. Kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısı kaç derecedir? A) 50 B) 40 C) 0 D) 0 E) 0 Çözüm 40 Düzgün çokgenlerde bütün iç açılar eşit olduğundan, büttün dış açılarda eşittir. 60 Dış açılar toplamı 60 olduğundan, bir dış açının ölçüsü 0 olur. Düzgün çokgenin bir iç açısı 80 0 50 bulunur. 4. Şekildeki OABC kare olduğuna göre, C noktasının ordinatı kaçtır? 6 A) 7 5 B) 6 4 C) 5 D) 4 E)
Çözüm 4 B noktası DE doğrusu üzerinde olduğuna göre, DE doğrusunun denklemi, y 5 D(0, ), E(,0) x 0 5 5.( y 5 0 0 ) x.( ) 5y+x- 0 OABC kare olduğuna göre, B noktasının koordinatları, ( x,y) x y (x,x) olur. B noktası DE doğrusu üzerinde olduğuna göre, DE doğru denklemini sağlayacağından, 5 5 5 5y+x- 0, B(x,x) 5.x+.x- 0 6x 5 x y 6 5 5 B(x,y) B(, ) bulunur. 6 6 5 OABC kare olduğuna göre, B noktasının ordinatı C noktasının ordinatı y olur. 6 Not : Đki noktası bilinen doğru denklemi, A(x,y ), B(x,y ) noktalarından geçen doğru denklemi, y y y y x x x x 4. y x- doğrusunun, A (,) noktasına göre simetriği aşağıdakilerden hangisidir? A) y x+ B) y x+ C) y -x+ D) y x+ E) y x+5
Çözüm 4 I. Yol y x- doğrusunun A(,) noktasına göre simetriği, doğrunun noktaya olan uzaklığı kadar ötelenmiş halidir. Aradığımız doğru, y x- doğrusuna paralel bir doğrudur ve de y x+c biçiminde olmalıdır. (paralel doğruların eğimleri eşittir.) A(,) noktasının y x- doğrusuna uzaklığını bulalım. (y x- x-y- 0) l. ² + ( )² 5 paralel iki doğru arasındaki uzaklık l. 6 5 5 olur. 6 c ( ) 5 ² + ( )² c+ 6 c 5 veya c -7 bulunur. O halde, y x+c y x+5 elde edilir.
II. Yol y x- doğrusu üzerindeki noktalar kümesi K(a,b) olsun. Aranan doğru denklemi üzerindeki noktalar kümesi L(x,y) olsun. L noktasının A noktasına göre simetriği olan K noktası y x- doğrusu üzerindedir. a+x b+ y a+x a -x b+y 6 b 6-y A noktası, orta nokta olduğuna göre (a,b) (-x,6-y) noktası, y x- doğrusu üzerinde olduğuna göre, nokta koordinatları doğru denklemini sağlamalıdır. y x- 6-y.(-x) 6-y -x y-x-5 0 (y x+5) III. Yol a // b // c olur. AK AL a doğrusunun eğimi olduğundan, b ve c doğrularının eğimide olur. (paralel olduklarından) b doğrusunun denklemi, y-.(x- ) y x+ a doğrusunun denklemi, y x- b doğrusunun denklemi, y x+ AK AL b doğrusu, a doğrusundan birim kaydırılmış ise c doğrusuda b doğrusundan birim kaydırılması gerekir. b doğrusunun denklemi, y x+ c doğrusunun denklemi, y x+5 elde edilir.
4. A(0,) B(,0) C(,0) AB CD Yukarıdaki verilere göre, CD doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x-y+6 0 B) x+y-6 0 C) x-y-6 0 D) x-y+6 0 E) x+y-6 0 Çözüm 4 AB CD m AB.m CD - m AB 0 0.mCD - m CD CD doğrusu, C(,0) noktasından geçtiğine göre, eğimi ve bir noktası bilinen doğru denkleminden, y 0.(x-) x y 6 0 bulunur. Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA