ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan ÖZTÜRK KÜMELER VE RUPLAR ÜZERİNDE RUP AKSİYONLARI MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2006

ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ KÜMELER VE RUPLAR ÜZERİNDE RUP AKSİYONLARI HAKAN ÖZTÜRK ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman : Yrd. Doç. Dr. onca AYIK Yıl: 2006, Sayfa:118 Jüri : Prof. Dr. Bilal VATANSEVER Yrd.Doç. Dr. Ersin KIRAL Bu çalışmada grup teorideki temel tanım ve teoremleri bir araya topladık. Bunlara örnek olarak homomorfizm, alt grup ve kosetler, permütasyon grubu, simetrik grup, normal altgrup ve bölüm grupları, izomorfizm teoremleri ve otomorfizmler verilebilir. Daha sonra bir küme üzerindeki grup aksiyonunun tanım ve özellikleri verilmiştir. Bu bilgiler kullanılarak gruplar üzerinde grup aksiyonu tanımlanmıştır. Böylece küme üzerindeki ve grup üzerindeki grup aksiyonları arasındaki ilişkiler verilmiştir. Son olarak AP programı kullanılarak bu tezde yer alan kavramların bazı uygulamaları verilmiştir. Anahtar Kelimeler: rup aksiyonları, AP kullanımı I

ABSTRACT MSc. THESIS ROUP ACTIONS ON A SET AND A ROUP HAKAN ÖZTÜRK DEPARTMENT OF MATHEMATICS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervisor :Yrd. Doç. Dr. onca AYIK Year :2006, Pages: 118 Jury:Prof. Dr. Bilal VATANSEVER Yrd.Doç. Dr. Ersin KIRAL In this study we gather some fundamental definitions and theorems about group theory. Such as homomorphism, subgroups and cosets, permutations groups, dihedral groups, normal subgroups and quotient groups, isomorphisms theorems and automorphism. Then we give definitions and properties of group actions on a sets. Using these information we give a definition of group action on a groups. So we give relations between group actions on a sets and action on a groups. Finally, using the program AP we give some application of the contents which is stated in this thesis. Key word: roup Actions, Using AP II

TEŞEKKÜR Bu çalışmanın hazırlanması sırasında yardımlarını hiçbir zaman esirgemeyen, sürekli destek olan, fikirleriyle ve davranışlarıyla her zaman örnek aldığım ve her zaman da örnek alacağım değerli danışmanım Yrd. Doç. Dr. onca AYIK a çok teşekkür ederim. Ayrıca ders dönemi boyunca bana her zaman destek olan Ç.Ü. Matematik Bölüm Başkanı Prof. Dr. Bilal VATANSEVER e, Ç.Ü. Matematik Bölümünün değerli öğretim üyeleri Prof. Dr. Naime EKİCİ ye, emekli öğretim üyesi Prof. Dr. Melih BORAL a, Yrd. Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK e, Yrd. Doç. Dr. Ela AYDIN a, Öğr. ör. Dr. Ali ÖZKURT a, Yrd. Doç.Dr. Orkun COŞKUNTUNCEL e, Arş. ör. Orhan SÖNMEZ e ve Ç.Ü. Matematik Bölümünün diğer tüm öğretim elemanlarına destekleri için teşekkür ederim. Yaşamım boyunca gerek maddi gerekse manevi her türlü zorlukla mücadele ederek yetişmemde emeği olan değerli ailem; babam Duran ÖZTÜRK e, annem Binnaz ÖZTÜRK e ve çok değerli, canım eşim Fatma ÖZTÜRK e de çok teşekkür ederim. III

İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZ...I ABSTRACT..II TEŞEKKÜR.III İÇİNDEKİLER IV 1. İRİŞ 1 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER 4 2.1. Homomorfizm...5 2.2. Altgruplar ve Kosetler...7 2.3. Permütasyon rupları.19 2.4. Simetri rupları...22 2.5. Normal Altgruplar ve Bölüm rupları 25 2.6. İzomorfizm Teoremleri...33 2.7. Otomorfizmler.41 3. RUP AKSİYONLARI.44 3.1. Küme Üzerinde rup Aksiyonu..44 3.2. rup Üzerinde rup Aksiyonu...61 4. SONLU p-ruplari ve SYLOW TEOREMLERİ.65 5. AP UYULAMALARI...87 5.1. Kümeler Hakkındaki Sorgular 89 5.2. rupların Tanımlanması Hakkındaki Sorgular...92 5.3. rupların Özellikleri Hakkındaki Sorgular.97 5.4. İzomorfizm Hakkındaki Sorgular..106 IV

5.5. Sylow Altgrupları Hakkındaki Sorgular...110 KAYNAKLAR.117 ÖZEÇMİŞ..118 V

1. İRİŞ Hakan ÖZTÜRK 1. İRİŞ Bu tez çalışmasında ilk olarak 2. bölümde çalışmamız içinde geçen ve çalışmamızda temel oluşturacak gerekli tanım ve teoremler verilmiştir. Bunlara örnek olarak homomorfizm, alt grup ve kosetler, permütasyon grubu, simetrik grup, normal altgrup ve bölüm grupları, izomorfizm teoremleri ve otomorfizmler verilebilir. Bununla ilgili olarak Bhattacharya R. B., Jain S.K., Nagpaul S:R:(1994) deki terminoloji kullanılmıştır. Buna ek olarak grup aksiyonu ile ilgili Adkins W.A.(1992), Weintraub S.H. Curtis C.W.,Reiner I., (1962), Feit W. (1970), ronstein D.(1968), Hartley B., Hawkes T.O.(1970), Hilton P., Stammbach U.(1976), Langs.(1965), Reichtein Z. (2004), Rose J.S.(1978), Rotman J.J.(1973), Shenkman E. (1965), Smith J.D.(2003), Zassenhaus H.(1958) kaynakları verilebilir. Daha sonra bir küme üzerindeki grup aksiyonunun tanım ve özellikleri verilmiştir. Öncelikle küme üzerindeki grup aksiyonu: herhangi bir grup ve X de boş olmayan bir küme olmak üzere eğer nin her g elemanı ve x X elemanı aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde bir tek xg X ile eşlenebiliyorsa nin X üzerindeki aksiyonu denir. 1. Her x X ve g1, g2 için ( xg1) g2 = x( g1g2) dir. 2. Her x X için x1 = x dir. Burada X kümesi özel olarak bir grup alınırsa grup üzerindeki grup aksiyonu kavramını aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. Eğer her h H ve her k K elemanı 1. Her 1 k K için k = k h 2. Her ve, için ( ) 2 1 2 h 1 hh 1 2 k K h h H k = k h h h 1 2 1 2 1 2 3. Her ve, için ( ) h H k k K k k = k k 1

1. İRİŞ Hakan ÖZTÜRK olacak şekilde bir tek h k K ile eşleniyorsa bu eşlemeye H nın K üzerine aksiyonu denir. Bu tanımlar ışığında bir küme ve bir grup üzerindeki grup aksiyonun özellikleri ve aksiyon kavramı kullanılarak 4. bölümde sonlu p-gruplarının özellikleri incelenmiştir. Ayrıca aşağıda verdiğimiz Sylow teoremi ve uygulamalarından bahsedilmiştir. (Sylow Teoremi) m negatif olmayan tamsayı ve r de pozitif bir tamsayı olmak üzere p, r yi bölmeyecek şekilde o zaman, m = p r ve bir sonlu grup olsun 1. derecesi m p olan bir alt gruba sahiptir. Böyle bir alt gruba nin Sylow p-alt grubu denir. 2. Eğer H, nin bir Sylow p-alt grubu ve J de nin herhangi bir p-alt grubu ise, J g H ( g ) dir. Özel olarak nin Sylow p-alt grubunun formu nin alt gruplarının bir eşlenik sınıfıdır. 3. n, nin farklı Sylow p-alt gruplarının sayısı olsun. O zaman n= : N ( H) dır. Burada H, nin bir Sylow p-alt grubu, n böler r ve n 1(mod p) dir. Bunun yanında 4. bölümde yine küme üzerindeki aksiyon kavramı kullanılarak bazı teorem, lemma ve sonuçlardan bahsedilmiştir. Bunlara örnek olarak (Frattini 1885) K, nin bir sonlu normal alt grubu ve p de K nın bir Sylow p-alt grubu ise o zaman = N ( P) K dır. p ve q asallar ve q 1 (mod p) olmak üzere = pq ise o zaman bir normal Sylow p-alt gruba sahiptir. p ve q farklı asallar olmak üzere = pq ise basit değildir. n 100 ve n 60 olacak şekilde pozitif bir tamsayı olsun. Derecesi n olan abelyen olmayan basit grup yoktur. Eğer bir grubu basit ve grup 100 ise A5 tir. Son olarakda 5. bölümde, bu çalışmada yer alan temel algoritmanın program olarak hayata geçirilebilmesi için AP (roup Algorithm&Programming) programı verilmiştir. Amacımız önceki bölümlerde verilen bilgilerin kısaca AP (roup Algorithm&Programming) olarak adlandırılan programda kullanabilmek için gerekli 2

1. İRİŞ Hakan ÖZTÜRK ön bilgileri ve bazı uygulamalarından bahsedeceğiz. Bu program hakkındaki her türlü bilgiye http://www.gap-system.org adresinden ulaşılabilmektedir. Bu web sayfasında programın nasıl yükleneceği hakkında ayrıntılı bilgi bulunmaktadır. 3

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Boştan farklı herhangi bir S kümesi ve üzerinde tanımlı bir ikili işlem ile birlikte oluşturduğu yapıya bir cebirsel yapı veya cebirsel sistem denir. İkili işlemlerin sağladıkları özelliklere göre cebirsel yapılar, yarıgruplar, gruplar, halkalar, cisimler, modüller, olarak adlandırılır. Bu cebirsel yapılar içinde en basit olanı yarıgruplardır. Bir yarıgrup birleşmeli ikili işlemle boş olmayan S kümesi olarak tanımlanır. Aslında ikili işlem ile µ : S S S dönüşümü kastedilir. O halde ikili işlem tanımı gereği kapalıdır. için, S herhangi bir küme µ de S üzerinde bir ikili işlem olsun. Her x, y S µ ( µ ( x, y), z) = ( x, µ ( y, z)) oluyorsa S ye µ ikili işlemi ile bir yarı gruptur denir ve ( S, µ ) ile gösterilir. Yazımda kolaylık bakımından µ ( µ ( x, y), z) = ( x, µ ( y, z)) yerine kısaca, ( xy) z= xyz ( ) yazılır. Bu durumda ( S, µ ) yerinede ( S, i ) yazılır. Tanım 2.1:Eğer takip eden aksiyomlar sağlanıyorsa, boş olmayan bir kümesi üzerindeki ikili işlem ile birlikte grup olarak adlandırılır ve (, i ) ile gösterilir. 1. Her abc,, için abc ( ) = ( abc ) 2. Her a için ea = ae = a olacak şekilde bir tek e vardır. 3. Her a için aa ' = aa' = eolacak şekilde bir tek a' vardır Şimdi grup yapısı üzerindeki bu tez boyunca kullanacağımız temel kavramları ve teoremleri verelim. 4

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK 2.1. Homomorfizm Tanım 2.1.1. ve H iki grup olsun. Eğer, her x,y için Φ(x,y)= Φ(x)Φ(y) oluyorsa Φ: H dönüşümüne homomorfizm denir. Eğer Φ birebir ve örten ise Φ, den H ye bir örten izomorfizm olarak adlandırılır ve H yazılır. Eğer Φ yalnızca birebir ise Φ ye bir monomorfizm ve Φ yalnızca örten ise Φ ye bir epimorfizm denir. Φ: homomorfizmasına endomorfizm denir. Φ: endomorfizması birebir ve örten ise Φ ye bir otomorfizm denir. Eğer Φ: H dönüşümü örten bir homomorfizm ise o zaman H ye nin homomorfik imajı veya homomorfik görüntüsü denir. Eğer Φ: H dönüşümü birebir bir homomorfizm ise o zaman ye H nin içine gömülebilir denir ve H olarak yazılır. (Homomorfizm tanımında, ve H içindeki ikili işlemler çarpma oplduğuna dikkat ediniz. ve H içindeki ikili islemler farklı işlemler olabilir. Bu durumda hangi grup içinde işlem yaptığımıza dikkat etmeliyiz. ) Örnek 2.1.2. ve H iki grup ve e' elemanı H nın birim elemanı olsun. Her x için θ(x)=e' olarak tanımlanan θ: H dönüşümünü göz önünde bulunduralım. Her x,y için θ(xy)=e', θ(x)θ(y)=e'e'= e' olup θ(xy)=θ(x)θ(y) dir. O halde θ bir homomorfizmadır. Örnek 2.1.3. Herhangi bir grubu için i(x)=x ( x ) olarak tanımlanan i: özdeşlik dönüşümü birebir ve örten olup nin bir otomorfizmasıdır. 5

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK Örnek 2.1.3. çarpma işlemi ile (R +, ) pozitif gerçek sayılar grubu ve H toplama işlemi ile (R,+) grubu olsun. Φ(x)=logx olarak tanımlanan Φ:R + R dönüşümünü düşünelim. Φ(xy)=logxy=logx+logy=Φ(x)Φ(y) olup homomorfizmdir. Üstelik birebir olup izomorfizmdir. Örnek 2.1.4. grup olsun. Bir a elemanı verilsin. Her x için I a (x)=axa -1 olarak tanımlanan I a : dönüşümünü dikkate alalım. Bu durumda I a (xy)=axya -1 =(axa -1 )(aya -1 )=I a (x)i a (y) olup I a bir homomorfizmadır. axa -1 =aya -1 x=y olur. Dolayısıyla, I a birebirdir. deki her x için, ise sağdan a ile soldan a -1 ile çarparsak x = a(a -1 xa) a -1 =I a ( a -1 xa). olup I a örtendir. Sonuç olarak, I a nin bir otomorfizmasıdır ve a ile tanımlanan bu otomorfizmaya nin iç otomorfizması denir. Tanım 2.1.5. ve H iki grup ve φ : H bir homomorfizm olsun. e' elemanı H nın birim elemanı olmak üzere, φ çekirdek kümesi Kerφ, Kerφ ={ x : φ ( x) = e } olarak tanımlanır. φ ( e) = e olduğundan Kerφ kümesi boştan farklıdır. 6

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK Teorem 2.1.6. : H Φ homomorfizması birebirdir. Ker { e} Φ= dir. İspat:( ) Φ nin birebir olduğunu varsayalım. x KerΦ alalım. Bu durumda ( x ) e ( e) Φ = =Φ olup x = e dir. Bu yüzden, Ker Φ = {e}. ( ) Tersine, Ker { e} Φ= olduğunu varsayalım. Bu durumda, ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) 1 x y xy x y e xy 1 Ker { e} Φ =Φ Φ =Φ Φ = Φ = olup x = y dir. Yani Φ birebirdir. Eğer f : H ve g : H K grup homomorfizmi ise gf : H de homomorfizmdir (izomorfizmdir). Ayrıca f : H bir örten izomorfizm ise o zaman f 1 : H de bir izomorfizmdir. Her grubun kendisine izomorfik olduğu açıktır. Bu özelliklerden dolayı grupların izomorfizmi bir denklik bağıntısıdır. 2.2. Alt ruplar ve Kosetler Tanım 2.2.1. (, ) grup ve H, nin bir alt kümesi olsun. Eğer H de, deki ikili işlemle bir grup oluyorsa H ye, nin bir alt grubu denir ve H< olarak yazılır. Her grubu için tek elemanlı ve nin kendisi nin altgrubudur ve bu alt gruplara aşikar altgruplar denir. H { e } ve H olacak şekilde H, nin bir alt grubu ise H ye, nin bir öz altgrubu denir. 7

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK aynıdır. Dikkat edilecek olursa bir grubun ve o grubun her alt grubunun birim elemanı Teorem 2.2.2. grup olsun. nin boş olmayan H altkümesi nin bir alt grubu olması için gerek ve yeter koşul aşağıdakilerden biri sağlanır. (i) Her a,b H için ab H, ve a -1 H dir. (ii) Her a,b H, ab -1 H dir. İspat: ( ) H altgrup olsun. (i) ve (ii) sağlandığı alt grup tanımından açıktır. ( ) H ın (i) yi sağladığını kabul edelim. Bu durumda her a H için a -1 H olur. O halde 1 e aa H = dır. Böylece H altgruptur. H ın (ii) yi sağladığını kabul edelim. a,b H olsun. Bu durumda Böylece 1 e bb H = olur. Dolayısıyla, 1 1 b eb H = dır. 1 ( ) 1 ab = a b H olup H altgruptur. Sonlu altgrup için basit bir kriter vardır. Teorem 2.2.3. (, ) bir grup olsun. nin boş olmayan sonlu H alt kümesi bir alt grup olması için gerek ve yeter koşul her a,b H için ab H dir. İspat: Eğer H, işlemi altında kapalı ise (H, ) bir sonlu yarıgruptur. deki tüm elemanlar için sadeleşme özelliği geçerli olup sadeleşme özelliği H daki tüm elemanlar için de geçerlidir. H grup ve dolayısıyla nin bir alt grubudur. Tersi aşikardır. 8

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK { : } nz= nk k Z olsun. Her k, k Z için nz kümesi ( Z, + ) grubunun alt grubudur. = ( ) Z olup ' ' nk nk n k k n Daha genel olarak, (, ) herhangi bir grup ve a olsun. H kümesi de a nın k tüm kuvvetlerinin kümesi yani H { a : k } ' k k k, k Z.için ( ) 1 k k = Z olsun. Bu durumda, tüm a a = a H olduğundan H, nin altgrubudur. H ya nin a tarafından doğurulan devirli alt grubu denir ve H [ a] = olarak yazılır. Burada a ya H nın doğurayı denir. Eğer bir toplamsal grup ise o zaman [ a] { ka: k } = Z a nın tüm katlarının kümesidir. Yukarıda verilen örnekte olduğu gibi nz kümesi Z nin n tarafından doğurulan devirli alt grubudur. Bir a için = [ a] ise ye devirli grup denir. Aşağıdaki teoremler bize bazı alt grup örnekleri vermektedir. Teorem 2.2.4. Φ: H grup homomorfizmi olsun. Bu durumda KerΦ, nin ve ImΦ de, H ın altgrubudur. İspat:. KerΦ ve ImΦ kümeleri boş değildir. a,b KerΦ alalım. Bu durumda 1 1 ' ' ' ( ab Φ ) =Φ( a) Φ ( b ) = e e = e (burada e', H ın birim elemanıdır). Dolayısıyla ab 1 Ker Φ dir. Böylece KerΦ, nin alt grubudur., durumda α = φ( x), β = φ( y) olacak şekilde x, y α β ImΦ alalım. Bu vardır. Dolayısıyla, 1 1 1 αβ = φ( x) φ( y) = φ( xy ) ImΦ dir. Böylece ImΦ kümesi H ın altgrubudur. Tanım 2.2.5. Z ( ) ile nin her elemanı ile değişmeli olan nin elemanlarının kümesini gösterecek olursak Z ( ) ye nin merkezi denir. Yani Z ( ) = { a : her x için ax = xa} dir. 9

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK Teorem 2.2.6. grubunun merkezi nin bir altgrubudur. İspat: Her x için ex xe = olup e Z ( ) dir. O zaman her x için, ab x = ab xe = ab xbb = ab bxb 1 1 1 1 1 1 = aexb = axb = xab 1 1 1 olduğundan 1 ab Z ( ) dir. Böylece Z ( ) kümesi nin alt grubudur. Verilen alt gruptan yeni alt grubun nasıl elde edilebileceğini görelim. H ve K grubunun alt grupları olsunlar. Bu durumda e H, e K dır. Bundan dolayı, H K dir. Eğer a,b H K ise, bu durumda ab -1 H, ab -1 K dir. Dolayısıyla, ab -1 H K dir. Böylece H K da nin altgrubudur. Daha genel olarak benzer şekilde grubunun herhangi bir sayıda altgrubunun arakesiti de nin bir bir alt grubudur. Fakat H ve K altgruplarının birleşiminin nin alt grubu olması için gerek ve yeter koşul H K veya K H olmasıdır. H K nın altgrup olduğu H K ve K H olmadığını varsayalım. Bu durumda a H K ve b K H elemanları vardır. Şimdi a,b H K olup, dolayısıyla ab H K dır. Eğer ab H ise, 1 b a ab H = çelişkisi elde edilir. Diğer taraftan, eğer ab K ise, bu durumda = çelişkisi elde edilir. 1 a abb K S kümesindeki ikili işlemler Ρ ( S ) kuvvet kümesindeki ikili işlemleri oluşturur. Buna göre, grubun herhangi A,B altkümesi için, AB = { xy : x Ay, B} şeklinde tanımlarız. toplamsal grubu için, A+ B= { x + y : x Ay, B} 10

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK olarak tanımlarız. Teorem 2.2.7. H ve K, (, ) grubunun altgrupları olsun. Bu durumda HK nın nin alt grubu olması için gerek ve yeter koşul HK=KH olmasıdır. İspat:HK=KH olsun. e=ee HK olup HK boş değildir. a,b HK olsun. Bu durumda, h 1, h 2 H ve k 1, k 2 K için, a=h 1 k 1, b=h 2 k 2 dir. Bu nedenle k = k k olmak üzere 1 3 1 2 ab = h k k h = h k h 1 1 1 1 1 1 2 2 1 3 2 dir. k 3 h 2-1 KH=HK olup bazı h 3 H, k 4 K için k 3 h 2-1 =h 3 k 4 dir. Bu nedenle, h 4 =h 1 h 3 H olmak üzere 1 ab h1h 3k4 h4k 4 = = olup ab -1 HK dir. Böylece HK bir altgruptur. Tersine, HK altgrup olsun. a KH olsun. h H, k K için a=kh olup bu durumda a -1 =h -1 k -1 HK dir. Bundan dolayı, a HK dır. Bu yüzden KH HK dır. b HK olsun. Bu durumda b -1 HK dir. Bu durumda h' H ve k' K için b -1 =h'k' dir. Bu nedenle b=k' -1 h' -1 HK dir. Dolayısıyla HK KH olur. Böylece HK=KH dir Eğer değişmeli grupsa, bu durumda HK, nin her H,K altgrupları için altgruptur. grubunun alt grupları içerme ile kısmi sıralanabilir. H ve K, nin altgrupları olsun. Bu durumda H K kümesi H ve K tarafından içerilen en büyük alt grubudur. Eğer L, hem H hem de K tarafından içerilen alt grup ise L H K dır. Eğer HK=KH ise, bu durumda HK, H ve K yı içeren en küçük alt gruptur. Eğer M, H ve K yi kapsayan herhangi bir altgrupsa, her h H, k K için hk M dir. HK KH olsa bile, H ve K yı içeren en küçük altgrubu bulabiliriz. S, nin altkümesi olsun. S yi içeren nin altgruplarının ailesi I yi göz önünde bulunduralım. Yani I ={A:A, S A} 11

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK dir. I olup, I boş değildir. M, I deki tüm altgrup A ların arakesiti olsun. Bu durumda M, S M ' ve nin altgrubudur. Eğer M', S M ' ve altgrup ise o zaman M ' I dir. Dolayısıyla M M' dir. Bu nedenle M, S yi içeren en küçük altgruptur. Bu alt grup S tarafından doğurulan altgrup olarak adlandırılır ve S ile gösterilir. Eğer nin bazı S altkümeleri için = S ise, bu durumda S ye nin doğuray kümesi denir. kümesi kendisinin doğuray kümesidir. Eğer S boş küme ise [S] trivial grup {e} dir. (trivial grup {e} bazen {1} veya yalnzca 1 ile de gösterilir.) Eğer S bir sonlu küme ve =[S] ise, bu durumda ye sonlu doğuraylı grup denir. H ve K altgruplarını içeren en küçük alt grup H altgrup olup H K ile gösterilir. K tarafından doğurulan Teorem 2.2.8. S, grubunun boş olmayan alt kümesi olsun. Bu durumda, S tarafından doğurulan altgrup, her i için x i S veya x i -1 S olmak üzere tüm x 1 x 2. x n sonlu çarpımlarının M kümesidir. İspat: Açıkça, S M, M deki her iki a=x 1...x m ve b=y 1...y n elemanı için, ab = x x y y M dir. Bundan dolayı, M, nin altgrubudur. M ', nin S 1 1 1 1 m n 1 yi içeren herhangi bir altgrubu olsun. Bu durumda her x S için x M' dir. Dolayısıyla, x -1 üzere, tüm x 1 x 2...x n M ' dır. Bu nedenle, M ' i=1,...,n için x i S veya x -1 i S olmak sonlu çarpımları kümesini içerir. Böylece M M' dir. Bu bize M in, S yi içeren en küçük altgrup olduğunu gösterir ve bu alt grup S tarafından doğurulan altgrup tur. Eğer S tek elemanlı {a} kümesi ise, S tarafından doğurulan altgrup devirli i altgruptur. Devirli alt grup a { a : i } = Z olarak gösterilir. 12

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK Tanım 2.2.9. bir grup ve a olsun. Eğer a m =e olacak şekilde bir en küçük pozitif m tamsayısı varsa, m ye a nın derecesi denir ve o(a) olarak yazılır. Eğer böyle bir pozitif tamsayı yoksa, bu durumda a sonsuz dereceye sahiptir denir. Buna bazı değişik örnekler verebiliriz. Örnek 2.2.10. (1) Z 4 toplamsal grubunda, 2+ 2= 0 olup ο (2) = 2 dır. Ayrıca, ο (3) = 4 dür. 3 (2) = { x x = 1} çarpımsal grubunda 4 ο ( w ) = 3 tür. = { x x = 1} grubunda ο () i = 4tür. ( 1) + ( 3) ω = elemanının derecesi 2 123 123 (3) S 3 de, elemanının derecesi 2 ve nın derecesi 3 dür. 213 231 (4) Sonlu bir gurubunda her elemanın derecesi sonludur. Eğer a ise o zaman bu durumda nin a,a 2,a 3,...elemanlarının hepsi farklı değildir. Böylece a i =a j olup a i-j =e olacak şekilde birbirinden farklı pozitif i ve j tamsayıları vardır. Bundan dolayı o(a) sonludur. (5) (Z, +) gurubundaki sıfır olmayan her elemanın derecesi sonsuzdur. Teorem 2.2.11. bir grup ve a olsun. (i) n 0 için a n =e ise o(a) n dır. (ii) r(i), i nin m ile bölümünden kalan olmak üzere, o(a)=m ise, a i r() i = a dir. (iii) a nın derecesi m olması için gerek ve yeter koşul o(a)=m olmasıdır. İspat: (i) Eğer n a = e ise a n = e dir. i > 0 için özelliğiyle, en küçük pozitif m tamsayı için o(a)=m, a m =e i a = e dir. N nin iyi sıralama dir. Bölme n m q r r algoritmasından n=mq+r, 0 r<m dir. Dolayısıyla, e= a = ( a ) a = a dir. Bu yüzden r=0 ve o(a)=m n dir. 13

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK (ii) Bölme algoritmasından, her i Z, i = mq + r, 0 r<m dir. Dolayısıyla a i =a r olup burada r = r( i), i nin m ile bölümünden kalandır. (iii) o(a)=m olsun. Bu durumda e,a,...,a m-1 0 i<j m-1 için a i a farklı olur. Aksi halde bir = j dir. Dolayısıyla, a i-j =e çelişkisi elde edilir. H a tarafından doğurulan devirli grup olsun. Her i Z için, a =, a i r() i = a dir. Bu H nın tam m tane e,a,...,a m-1 elemana sahip olduğunu gösterir. Tersine, H ın sonlu derecesi olduğunu varsayalım. Her i Z için tüm a i ler farklı değildir. Dolayısıyla, i, j Z, i < j için a i =a j dir. Bu durumda a i j = e dir. Dolayısıyla, a nın derecesi sonlu olup m dir. Sonuç 2.3.12. Eğer sonlu grupsa, bu durumda her x için bir pozitif k tamsayası vardır. x k = e olacak şekilde İspat: sonlu olup, a altgrubuda sonludur. Dolayısıyla, o(a) sonludur, buna n(a) diyelim. k = n( a) seçelim. Bu durumda her x için a x k = e dir. Tanım 2.2.13. H, nin altgrubu olsun. a alalım. ah { ah : h H } = kümesine H ın a tarafından belirlenmiş sol koseti denir. nin C alt kümesi eğer bir a için C = ah ise, C ye H ın deki sol koseti denir. H ın deki tüm sol kosetlerinin kümesi, /H olarak yazılır. Sağ koset Ha benzer şekilde tanımlanır. H ın deki tüm sağ kosetleri kümesi, H\ olarak yazılır. Herhangi bir a elemanı için f : H ah f ( h) = ah olarak tanımlanan dönüşüm birebir ve örtendir. Bu nedenle, H ın her solkoseti H ile aynı sayıda elemana sahiptir. H = eh olduğundan H da H ın bir sol kosetidir Aşağıdaki gibi tanımlanan üzerindeki ~ bağıntısını göz önüne alalım. 1 a ~ b a b H. 14

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK Her a,b,c için, = 1 a a e H, = ( ) 1 1 1 1 a b H b a a b H ve, = ( )( ). 1 1 1 1 1 a b b c H a c a b b c H dir. Dolayısıyla, ~ bağıntısı üzerinde bir denklik bağıntısıdır. Bu ~ denklik bağıntısının denklik sınıfları H ın deki sol kosetleridir. Bu yüzden, H ın deki sol kosetlerinin kümesi /H, nin bir parçalanışıdır. Yani, H ın farklı sol kosetleri ikişer ayrık ve tüm sol kosetlerin birleşimi ye eşittir. Şimdi H ın deki sağ kosetlerini dikkate alalım. Benzer işlemler yapılırsa H ın herhangi iki sağ kosetinde aynı sayıda elaman vardır ve H\ kümeside nin bir parçalanışıdır. deki herhangi iki a,b elemanının aynı sağ kosete ait olması için gerek ve yeter koşul ab -1 H olmasıdır. : 1 ψ /H H\ dönüşümü ψ ( ah ) Ha = olarak tanımlansın. ah = bh a b H a ( b ) H Ha = Hb 1 1 1 1 1 1 olup ψ iyi tanımlıdır. 1 1 Benzer şekilde, Ha = Hb ah = bh olup ψ birebirdir. Ayrıca, ψ açıkça örtendir. Sonuç olarak, /H ve H\ aynı eleman sayısına sahiptir. Böylece, aşağıdaki tanımı yapabiliriz. Tanım 2.2.14. H, nin alt grubu olsun. H ın, deki tüm sol (sağ) kosetlerinin sayısına H ın deki indeksi denir ve [ : ] : H olarak da yazılır. H ile gösterilir. Bazen indeks sayısı Eğer H, { e } aşikar alt grubuysa, H ın, deki her sol (sağ) koseti nin tek elemanlı alt kümeleridir. Bu durumda H ın deki indeksi nin eleman sayısıdır. Yani : H = dir. Toplama işlemi ile Z grubunun sıfırdan farklı her alt grubu K için Z : K sonludur. 15

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK sonlu bir grup H da nin herhangi bir altgrubu olsun. =n, H =m olsun. Bu durumda H ın her sol koseti m elemana sahiptir. H ın tüm sağ kosetlerinin kümesi nin bir parçalanışı olduğundan k sol kosetlerin sayısı olmak üzere n = km dir. :1 = : H H :1 dir. Böylece sonlu grup teorideki aşağıdaki önmeli teoreme sahibiz. Teorem 2.2.15. (Lagrange) bir sonlu grup olsun. Bu durumda nin herhangi bir altgrubunun derecesi nin derecesini böler. Şimdi Lagrange Teoreminin bazı önemli sonuçlarından bahsedelim. Sonuç 2.2.16., derecesi n olan sonlu bir grup olsun. Bu durumda her a için o(a) n, ve dolayısıyla n a = edir. Sonuç olarak derecesi asal olan her grup devirlidir. Böylece derecesi asal olan her grup abelyendir. İspat: a olsun. Lagrange teoreminden dolayı devirli grup a nın derecesi n yi böler. Böylece o(a) n dir. Eğer n asal ve a e ise, a derecesi n olmalıdır. Dolayısıyla, a = olup devirlidir. Teorem 2.2.17. (Euler-Fermat Teoremi) Eğer a tam sayısı, pozitif m sayısı ile aralarında asal olmak üzere fonksiyonu denir. a φ ( m) 1(mod m) dir. Buradaki φ fonksiyonuna Euler 16

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK İspat: x m elemanının tersinir olması için gerek ve yeter koşul (x,m)=1 olmasıdır. deki tersinir elemanların çapma işlemi ile ( ) * m deki derecesi φ ( m) m am = a ( ) * dir. (, ) 1, böylece m ( m) a φ = 1 dir. Böylece a φ ( m) 1(mod m) dir. Teorem 2.2.18. (Poincare Teoremi) Sonlu indeksli iki alt grubun kesişimide sonlu indekslidir. İspat: H ve K, nin sonlu indeksli iki alt grubu olsunlar. a alalım. ( H K) a = Ha Ka olduğu açıktır. Böylece H K nın her sağ koseti H nın sağ koseti ve K nın sağ kosetinin kesişimidir. Yani H nın sağ koseti ve K nın sağ kosetinin kesişimi sonludur. Böylece H K nın kosetleri sonlu sayıdadır. Teorem 2.2.19. bir grup ve ab = ba olacak şekilde ab, olsun. ( ) =, ( ) = ve (, ) = 1 ise o zaman o( ab) o a m o b n m n = mn dir. İspat: o( ab) = k olsun. O zaman ( ab) k = e dir. Ayrıca ( ) mn mn mn ab = a b = e dir. O halde kmn olur. ( ) k k k k k ab = a b = e a = b k k k olup oa ( ) = ob ( ) = ob ( ) dir. Fakat m ( k m ) ( k ) k k şekilde ob ( ) n dir. Böylece ( ) o a, ( ) a = e a = e o a m dir. Benzer k mn, = 1 sayısını da böler. O halde o( a ) =1 17

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK olup o( ab) k a = e dir. Böylece mk dir. Benzer şekilde nk olup mn k dir. Zaten = k olduğundan kmn olup k = mn dir. Teorem 2.2.20 S ve T sonlu bir grubunun alt grupları olsunlar. O zaman ST = ST S T dir. İspat: S T yi ve S T üzerinde 1 ( ) ( ) = = st, ~ s, t bir a S Tiçin, s save t a tdir. şeklinde tanımlanan ~ bağıntısını düşünelim. ~ bir denklik bağıntısıdır. ( st, ) S T nın denklik sınıfını (, ) olsun. Denklik bağıntısının tanımından st ile gösterelim. S T /~ de tüm denklik sınıflarının kümesi { } ( ) ( 1 ) s, t = sa, a t : a S T dir. Böylece ( st, ) = S T dir. Üstelik S T de ayrık denklik sınıflarının birleşimi k i= 1 (, ) = olup S T k S T S T s t i i = dir. Şimdi f dönüşümünü ( ) f : S T / ~ ST, f s, t = st i i i i olarak tanımlayalım. f iyi tanımlıdır. Bir a S T için 18

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK 1 (, ) (, ), ( ) s t = s t s = sa t = a t a S T s t = st i i j j j i j i j j i i olup f birebirdir. Ayrıca f örten olup S T /~ = ST dir. O halde S T = k S T olduğu bilindiğinden S T = ST S T S T = ST S T olur. Böylece ST = ST S T olduğu gösterilmiş olur. 2.3. Permütasyon rupları Tanım 2.3.1. X boş olmayan bir küme olsun. X in tüm birebir örten dönüşümlerinin (permütasyonlarının) bileşke işlemi altında oluşturduğu gruba X üzerinde simetrik grup denir S x ile gösterilir. S x in bir altgrubuna X üzerinde permütasyon grubu denir. X Y ise S x =S y olduğu açıktır. Eğer X =n ise, S x,s n ile gösterilir ve n. dereceden 1 2 n simetrik grup olarak adlandırılır. σ S n permütasyonu σ(1) σ(2) σ( n) formunda gösterilir Tanım 2.3.2. σ S n olsun. σ ( x ) = x, i = 1,, r 1 i i+ 1 σ ( x ) = x, r 1 { } σ ( x) = x, x x,, x 1 r 19

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK olacak şekilde farklı tamsayıların bir x 1,...,x r { 1, 2,, n} listesi varsa σ ya uzunluğu r olan bir devir denir ve ( x x x ) transpozisyon denir. σ = olarak yazılır. Uzunluğu 2 olan bir devire 1 2... r Başka bir deyişle, ( x x ) devri diyagramda görüldüğü gibi x 1..x t 1 r tamsayılarını çember etrafında bir adım( r = 5 için) hareket ettirir ve etkilenmemiş n deki her diğer tam sayıyı terk eder. (Eğer σ(x) = x ise, σ, x i hareket ettirmez deriz.) x 3 x 4 x 2 x 5 x 1 Uzunluğu 1 olan devir birim dönüşümdür. österim yararına, simetrik S 3 grubunu dikkate alalım. {1,2,3} kümesinin 6 tane permütasyonu vardır. Bunlar 123 123 123 e =, σ1 =, σ2 = 123 23 1 312 123 123 123 τ1 =, τ2 =, τ3 = 132 321 213 şeklindedir. Dikkat edilecek olursa ( 1 ), 1 ( 123 ), 2 ( 132) ( 23 ), ( 13 ), ( 12) e = σ = σ = τ = τ = τ = 1 2 3 dir. Bileşke işlemi ile iki permütasyonun çarpımını bulabiliriz. Böylece, 20

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK 123 τ1σ1 = = τ2 dir 321 (Şunu hatırlayalım, τσ çarpımında, önce σ harekete geçer, τ ile takip edilir.) σ 1 =(123) için σ ve τ 1 =(23) için τ yazalım. Bu durumda σ = σ, σ = e, τ = e, στ = τ, σ τ = τ = τσ 2 3 2 2 2 3 2 olup S { 2 2 3 e, σ, σ, τ, στ, σ τ} = dir. S 3 deki herhangi iki elemanın çarpımı 3 2 2 σ e τ, στ σ τ = = = bağıntıları ve çarpmanın birleşme özelliği kullanılarak hesaplanabilir. S x simetrik grubunun altgrubu permütasyon grubu olarak adlandırıldı. Demek ki, permutasyon grubu elemanları bir X kümesi üzerinde permütasyonlar ve işlemi bileşke işlemi olan (, ) grubudur. Teorem 2.3.3.(Cayley Teoremi). Her grup bir permütasyon grubuna izomorfiktir. İspat: bir grup olsun. Verilen herhangi bir a için f ( x) ax, ( x ) a = olarak 1 tanımlanan f a dönüşümü her x, x, y için ax = ax x = x ve y = fa ( a y) olduğundan birebir ve örtendir. Her a için ( ) φ: S, φ a = f a olarak tanımlanan φ fonksiyonunu düşünelim. Her abx,, için f ( x) = abx = f ( bx) = f ( f ( x)) = ( f f )( x) ab a a b a b 21

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK dir. Böylece φ( ab) = φ( a) φ( b) dir. Bu yüzden,φ homomorfizmadır, ve Im φ, S nin altgrubudur. Üstelik x için φ( a) = φ( b) ax = bx a = b dir. Böylece φ birebir homomorfizmdir. Bu yüzden, S nin bir alt grubuna izomorfiktir. 2.4. Simetri rupları Bu bölümde simetri grupları olarak bilinen permütasyon gruplarının önemli bir sınıfını tanımlayacağız. X uzaydaki noktaların kümesi olsun. Her x,y X için x ve y noktaları arasındaki uzaklık d ( x, y ) olarak verilsin. X in bir σ permütasyonu eğer her x,y X için d( σ ( x), σ ( y)) = d( x, y) oluyorsa σ permütasyonuna X in bir simetrisi denir. Aslında, simetri her iki nokta arasındaki uzaklığı koruyan bir permütasyondur. T X ile X in tüm simetrilerinin kümesini gösterelim. Bu durumda her σ,τ T x ve x,y X için, d τσ x τσ y d σ x σ y d σσ x σσ y d x y 1 1 1 1 1 1 ( ( ), ( )) = ( ( ), ( )) = ( ( ), ( )) = (, ) dir. Böylece τσ -1 T X olup T X ile bir gruptur. Bu gruba X in simetri grubu denir., S x in bir altgrubudur. T X in kendisi de bileşke işlemi Şimdi özel olarak X in noktaları n kenarlı bir çokgenin oluşturduğu durumu düşünelim. X in herhangi bir simetrisi çokgenin köşelerindeki etkilerle tek türlü belirlidir. Bu yüzden, sadece 1,2,...,n ile etiketlenmiş köşeler kümesinin simetrisini dikkate almak yeterli olacaktır. Böylece n kenarlı çokgenin simetrileri grubu, S n in bir altgrubudur. 22

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK Tanım 2.4.1. n kenarlı düzgün bir çokgen P n in simetrileri grubu derecesi n olan dihedral grup olarak adlandırılır ve D n olarak yazılır. Düzgün n kenarlı çokgen P n i göz önünde bulunduralım. Bir σ S n permütasyonunun P n in simetrisi olması için gerek ve yeter koşul σ nun P n deki herhangi iki komşu köşeyi alıp yine komşu köşelerle eşlemesidir. Yani bir σ S n permütasyonunun P n in simetrisi olması için gerek ve yeter koşul σ( 1 ),σ( 2 ),,σ( n ) sayıları ya 1,2,..,n devir sırasında veya n,n-1,...,2,1 ters devir sırasında olmasıdır. Böylece P n simetrilerini iki tipte sınıflandırabiliriz. Bunlardan biri 1,2,...,n devir sırasında diğeri ise ters devir sırasında olsun. σ simetrisi, devir sırasında olsun. σ(l) ifadesi 1,2,...,n, değerlerinden herhangi birine sahip olabilir ve σ(l) değeri sabitlenirse, σ( 2 ),...,σ( n ) devir sırası vasıtasıyla tek türlü belirlenir. Bu yüzden, köşelerin devir sırasını veren tam olarak n tane simetrisi vardır. Bu simetrileri σ 1,σ 2,...,σ n ile gösterelim. Benzer şekilde ters devir sırasına karşılık gelen simetrilerini τ 1,τ 2,,τ n ile gösterelim. burada σ i ( 1) = i ve τ i() 1 = i dir. Böylece dihedral grup D n in 2n tane elemanı vardır ve bunlar σ i, τ t ( i = 1, 2,, n ) dir. Şimdi D n iki elemanının çarpımını bulmak için elemanlarının daha basit tanımını vereceğiz. Açıkça, σ 1, birim permütasyon e ve σ 2 de (12...n) deviridir. σ 2 yi σ olarak yazalım. Dikkat edilirse σ i ( ) (i>1) devir sırasında olduğundan, 1 = i + 1 ( i = 1,2,, n 1 ) ve σ n () 1 = 1 dir. σ i σ n σ i i + 1 = σ i = n = e, 1,... 1, dir. Dolayısıyla, köşelerin devir sırasını koruyan n simetrileri burada σ = ( 12 n ) olmak üzere σ i ( i = 1, 2,, n 1 ) dir. 23

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK 12 n τ1 = 1n 2 permütasyonunu τ olarak yazarak, σ i τ( ) 1 = i + 1 olup ters devir sırasını korur. Böylece σ i τ = τ i+1, (i=0,1,...,n-1) dir. Üstelik τ 2 = e dir. τσ çarpımını dikkate alalım. τσ ters devir sırasında ve τσ( ) τ ( ) 1 = 2 = n olup dir. n 1 τσ = σ τ Teorem 2.4.2. Dihedral grup D n, σ n = e = τ 2 12 n σ = (1, 2,..., n), τ = 1n 2 olmak üzere n 1 ve τσ = σ τ eşitliklerini sağlayan σ,τ elemları tarafından doğurulan, derecesi 2n olan gruptur. eometrik olarak, σ, P n düzgün çokgenin kendi düzlemi içinde 2 π açısı n boyunca dönderilmesi ve τ da 1 köşesinin çap içindeki yansımasıdır. Tanım 2.4.3. Dihedral grup D 4 octic grup olarak adlandırılır. Düzensiz çokgen simetrileri grubu örneğindeki gibi, örnek 5.3 de dikdörtgen simetrilerini dikkate alabiliriz. Örnek 2.4.4.Dikdörgen simetrilerinin 4 3 1 2 1234 1234 1234 1234 e=, a=, b=, c= 1234 3412 2143 4321 olduğu görülür. Dikkat edilirse geometrik olarak, a, π açısı boyunca döndürülmesidir. b ve c de simetri ekseninde köşelerin yansımalarıdır. 24

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK 2 2 2 a = b = c = e, ab = c, bc = a, ca = b dir. Böylece, dikdörtgen simetrileri grubu Klein-4grubudur. 2.5 Normal Altgruplar ve Bölüm rupları gurubundaki çarpım ile nin herhangi iki A ve B alt kümesinin çarpımı { :, } AB = xy x A y B olarak tanımlanır. Eğer A veya B tek elemanlı bir küme ise { a} B ve { } A b yerine sırasıyla kısaca ab ve Ab yazarız. deki çarpma birleşmeli nin altkümelerinin çarpımı da birleşmelidir. Tanım 2.5.1. bir grup olsun. Eğer her x için xnx -1 N ise, nin N altgrubuna nin normal altgrubu denir ve N olarak yazılır. Aşikar altgruplar {e} ve kümeleri nin normal altgruplarıdır. Eğer değişmeli ise nin her altgrubu normal altgruptur. Fakat bunun tersi doğru değildir. Yani her alt grubu normal olan grup değişmeli olmak zorunda değildir. Örnek 2.5.2. Her alt grubu normal olan fakat değişmeli olmayan bir grup örneği verelim. derecesi 8, tüm elemanları aşağıdaki matrisler ve işlemi matris çarpımı olan grup olsun. 1 0 1 0 0 1 0 1,,, 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1,,, 0 1 0 1 1 0 1 0 25

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK Dikkat edilecek olursa 1 0 1 0 0 1 e=, a, b 0 1 = = 0 1 1 0 olmak üzere 4 2 2 1 3 a = e, b = a ve b ab= a dir. Bu grubuna quaternion grubu denir. 1 0 1 0 Derecesi 2 olan bir tek alt grubu vardır oda, 0 1 0 1 olup normal alt grup olduğu açıktır. Derecesi 4 olan alt gruplarlının indeksi 2 dir. İndeksi 2 olan alt gruplar normaldir (Bu ifade daha sonra ispatlanacaktır.). Böylece nin tüm alt grupları normaldir. Fakat değişmeli değildir. Normal alt gruba örnek olarak grubunun merkezi { ( ) } Z( ) = a : x ax= xa yi verebiliriz. Eğer φ : H grup homomorfizması ise Kerφ dir. Teorem 2.5.3. N, grubunun altgrubu olsun. Bu durumda aşağıdakiler birbirine denktir. (i) N (ii) (iii) (iv) Her x için xnx -1 =N dir. Her x için xn=nx dir. Her x,y için (xn)(yn)=xyn dir. İspat: (i) (ii) N olduğunu kabul edelim. x alalım. Normal alt grup tanımından xnx 1 N dir. x 1 olup 1 x Nx N dir. Böylece N = x( x Nx) x xnx 1 1 1 26

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK dir. O halde N = xnx -1 dir. ( ii) ( iii) N = xnx -1 olduğunu kabul edelim. 1 1 Nx ( xnx = ) x = xnx x = xne = xn dir. ( iii) ( iv) Nx = xn olduğunu kabul edelim. ( xn)( yn) = x( Ny) N = x( yn) N = xy( NN) olur. N çarpma altında kapalı olup NN N dir. Diğer taraftan, N = en NN olup NN=N olur. Böylece (xn)(yn)=(xy)n dir. ( iv) ( i) (xn)(yn)=(xy)n olduğunu kabul edelim. 1 1 1 1 xnx = xnx e xnx N = xx N = en = N olup N dir. N, nin normal altgrubu olsun. Yukarıdaki teorem de N nin herhangi sol kosetinin bir sağ koset olduğunu ve tersinin de doğru olduğunu göstermektedir. Dolayısıyla, N nin normal alt grup olması durumunda sol ve sağ kosetlerini ayırmamıza gerek yoktur. Bu yüzden N nin tüm kosetlerini sağ kosetler olarak yazacağız ve N nin deki tüm kosetleri kümesini /N ile göstereceğiz. Teorem 2.5.4. N grubunun normal altgrubu olsun. Bu durumda, /N çarpıma işlemi ile bir gruptur. φ : /N, φ ( x) = xn olarak tanımlanan dönüşüm örten bir homomorfizmdir ve Kerφ =N dir. İspat: Yukarıdaki teoremden her x,y için (xn)(yn)=xyn dir. Dolayısıyla, /N çarpım altında kapalıdır. en=n koseti, /N deki çarpım için birim elemandır. 27

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK Herhangi bir x elemanı için (xn)(x -1 N)=(xx -1 )N=eN dir. Böylece /N bir gruptur. φ nin örten olduğu açıktır. Ayrıca φ( xy) = ( xy) N = ( xn)( yn) = φ( x) φ( y) olup φ bir homomorfizmadır. Dahada ötesi xn = en x N dir. Böylece Kerφ = { x : φ ( x) = en }=N dir. Tanım 2.5.5. N, nin normal altgrubu olsun. /N grubu nin N tarafından bölüm grubu olarak adlandırılır. : φ /N, ( x) φ = xn olarak tanımlanan den /N ye örten homomorfizmasına da doğal (veya kanonik) homomorfizm denir. Tanım 2.5.6. bir grup ve S, nin boş olmayan altkümesi olsun. S in deki normalleyeni 1 NS ( ) = { x : xsx =S} kümesidir. Çoğu zaman hangi grupta S nin normalleyeni olduğunu belirtmek için N ( ) S olarak da yazılır. Tek elemanlı {a} kümesinin normalleyeni kısaca N(a) olarak yazılır. Teorem 2.5.7. bir grup olsun. nin boş olmayan S altkümesi için N(S), nin altgrubudur. Ayrıca, nin herhangi bir altgrubu H için, (i) (ii) N(H), H yi normal olarak içeren, nin en büyük alt grubudur. K, N(H) in altgrubu ise H da KH ın normal altgrubudur. İspat: Açıkça e N(S) dir. Eğer x,y N(S) ise bu durumda 28

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x y S x y = x ysy x = x Sx = x xsx x = S olup x 1 y N(S) dir. Böylece N(S), nin altgrubudur. H, nin altgrubu olsun. Bu durumda her h H için, hhh -1 =H dir. H alt kümedir ve N(H) in altgrubudur. Ayrıca, tanımla, her x N(H) için xhx 1 = dir. Böylece H N ( H ) H dir. K, nin H K olacak şekildeki herhangi bir altgrubu olsun. Bu durumda her k K için kh k 1 =H dır. Bu yüzden K N(H) dır. N(H), H yi normal olarak içeren, nin en büyük alt grubudur. K, N(H) nin altgrubu olsun. Bu durumda her k K için, kh k 1 =H dir. Dolayısıyla kh=hk dır. Böylece KH=HK dır. KH=HK olduğundan KH, N(H) nin altgrubudur ve H KH dir. O halde H KH dır. Tanım 2.5.8. bir grup olsun. Herhangi a,b elemanları için, ab a b 1 1 ifadesi deki komütatör olarak adlandırılır. deki tüm komütatörler kümesi tarafından üretilen altgrubuna nin komütatör altgrubu (veya den türemiş grup) olarak adlandırılır ve ' ile gösterilir. Teorem 2.5.9. bir grup ve ' de den türemiş grup olsun. Bu durumda (i) dir. (ii) /' değişmelidir. (iii) Eğer H olsun. /H değişmelidir ' H dir. 1 1 İspat: (i) x=ab a b, deki herhangi bir komütatör olsun. Bu durumda x -1 =bab -1 a -1 de komütatördür. Üstelik, deki herhangi bir g elemanı için, 1 1 1 1 1 1 1 gxg = ( gag )( gbg )( ga g )( gb g ) = 1 1 1 1 1 1 ( gag )( gbg )( gag ) ( gbg ) ' dür. ' deki herhangi bir y elemanı komütatörlerin sonlu sayıda çarpımıdır, 29

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK y=x 1 x 2 x n diyelim, burada x 1 x 2 x n komütatörlerdir. Bu durumda herhangi bir g elemanı için, gyg = ( gx g )( gx g ) ( gx g ) ' 1 1 1 1 1 2 n dir. Dolayısıyla ', nin normal altgrubudur. (ii) a,b için, 1 1 1 1 ( a ')( b ')( a ') ( b ') = ( aba b ) ' = ' dür. Dolayısıyla ( a ')( b ') = ( b ')( a ') dür. Böylece /' değişmelidir. (iii) /H nın değişmeli olduğunu varsayalım. Bu durumda her a,b için ( aba b ) H = ( ah )( bh )( ah ) ( bh ) 1 1 1 1 = ( )( ) ( )( ) = 1 1 ah ah bh bh H 1 1 dir. Böylece ab a b H olup ' H dır. Terside benzer şekilde gösterilir. Örnek 2.5.10. Eğer A ve B ise A B A ve AB olduğunu gösterelim. Açıkça A B A dır. a A ve x A B olsun. Bu durumda B axa -1 B dir. Ayrıca axa -1 A dır. Böylece olduğundan 1 a A, x A B, axa A B A B A dır. a,a 1 A ve b,b 1 B olsun. Bu durumda B normal altgrup olduğundan 1 1 1 1 1 a1 B = Ba1 olup ( bb1 ) a1 = a1 b2 olacak şekilde bir b2 B olacağından ab(a 1 b 1 ) -1 =abb a = aa b AB 1 1 1 1 1 1 2 30

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK dir. AB dir. Örnek 2.5.11. i=1,2...,k için varımla gösterilir. H i, ise H 1 H 2...H k olduğu k üzerinden tüme Örnek 2.5.12. Eğer bir grup ve H da de indeksi 2 olan bir altgrup ise H nin nin normal altgrubu olduğunu gösterelim. Eğer a H ise, H nın de indeksi 2 olup bu durumda =H ah ve ah H=Ø dir. Ayrıca = H Ha, Ha H =Ø dir. Böylece, ah=ha, a H dir. a H için ah=ha dir. Dolayısıyla g için gh=hg olup H, nin normal altgrubudur. Örnek 2.5.13. Eğer N ve M, N M={e}olacak şekilde nin normal altgrupları ise n N, m M için mn=nm olduğunu gösterelim. Eğer n N, m M ise, bu durumda = ( ) = 1 1 1 1 n m nm n m n m MM M = ( ) = 1 1 1 1 n m nm n m nm NN N 1 1 dir. Böylece n m nm N M { e} = olur. Dolayısıyla nm=mn dir. Örnek 2.5.14. K T olmak üzere K ve T altgrubuna sahip fakat K nın normal altgrubu olmadığı grubuna örnek verelim. =D 4 grubu olsun. T = { e, σ 2, τστ, 2 } ve K { e, τ} = olarak seçelim. T ve K kümeleri nin altgruplarıdır. T dir. Benzer şekilde T : K = 2olup K T dir. σ ve τ K seçersek, bu durumda σ -1 τσ K olup K, de normal altgrup değildir. Örnek 2.5.15. sonlu bir grup, N de nin ( N, /N )=1 olacak şekilde bir alt grubu olsun. Bu durumda N derecesi N olan grubunun tek altgrubu olduğunu 31

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK gösterelim. K derecesi N olan nin başka bir altgrubu olsun. Bu durumda KN/N</N dir. Böylece KN KN K = = N N K N dir. Lagrange teoremi nedeniyle K / K N, /N yi böler. Fakat K = N ve N, /N )=1 olduğundan K / K N =1 dir. Dolayısıyla K=K N olup K=N dir. Örnek 2.5.16. bir grup, Z() de nin merkezi olsun. /Z() devirli ise nin değişmeli olduğunu gösterelim. x için /Z() grubu xz() tarafından doğuruluyor olsun. a,b alalım. Bu durumda az() /Z() olup bir m tamsayısı için, x m Z() formundadır. Yani az()=x m Z() Böylece y Z() için a=x m y dir. Aynı şekilde z Z() ve bir n tamsayısı için b=x n z dir. Böylece y Z() olduğundan m n m n m n m+ n ab= ( x y)( x z) = x yx z = x x yz = x yz dir. O halde z Z() olduğundan n m n m m+ n ba= ( x z)( x y) = x zx y = x yz dir. Dolayısıyla ab, için ab= ba dir. 32

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK 2.6. İzomorfizm Teoremleri Bu bölümde grup homomorfizması üzerinde İzomorfizm Teoremleri olarak bilinen bazı önemli teoremleri ispatlayacağız. Daha önce grubunun her /N bölüm grubunun nin bir homomorfik imajı olduğunu gördük. İlk İzomorfizm Teoremi (Temel Homomorfizm Teoremi olarakta bilinir) bunun tersini ispatlar; yani, nin her homomorfik imajı nin bir bölüm grubuna izomorfik olduğunu gösterir. Teorem2.6.1.(Birinci izomorfizm teoremi). φ : bir grup homomorfizması olsun. Bu durumda / Kerφ Imφ dir. Ayrıca φ örten ise / Kerφ dir. İspat: K = Kerφ olmak üzere ψ : / K Im φ, ψ ( xk) = φ( x) olarak tanımlanan ψ dönüşümünü düşünelim. Her x,y için ( ) ( ) ( ) = φ = φ = φ xk yk y 1 x K y 1 x e x y olup ψ iyi tanımlı ve birebirdir. Ayrıca, (( xk )( yk )) = ( xyk ) = ( xy ) = ( x ) ( y ) ( xk ) ( yk ) = ( x ) ( y ) ψ ψ φ φ φ ψ ψ φ φ olup ψ homomorfizmdir. Açıkça ψ örtendir. Böylece / Kerφ dir. Sonuç 2.6.2. Her φ : ' grup homomorfizması, η : / Kerφ doğal homomorfizm ψ : / Kerφ Imφ yukarıdaki teoremde bahsedilen izomorfizm ve j :Imφ içerme dönüşümü olmak üzere φ = jψη 33

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK olarak çarpanlarına ayrılabilir. η φ j / Kerφ Imφ ψ olup ispat açıktır. Teorem 2.6.3. (İkinci İzomorfizm Teoremi). H ve N, nin altgrupları ve N olsun. Bu durumda H / H N HN / N dir. Aşağıda bulunan kapsama diagramı teoremin göz önünde canlandırılmasında yardımcıdır. Bundan dolayı, teorem "Elmas izomorfizm teoremi" olarakta bilinir. HN N H N İspat: N olup HN=NH nin alt grubu ve N HN dir. Her h H için ( ) φ: H HN / N, φ h = hn olarak tanımlanan dönüşümü göz önünde bulunduralım. Aslında φ, ρ : / N doğal homomorfizminin kısıtlamasıdır. Dolayısıyla Kerφ = H N dir. Üstelik φ örtendir. Böylece birinci izomorfizm teoreminden H / H N HN / N dir. Teorem 2.6.4.(Üçüncü İzomorfizm Teoremi) H ve K, nin normal altgrupları ve K H olsun. Bu durumda ( ) ( ) / K / H / K / H 34

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK dir. İspat: : / K / H φ, ( xk ) bulunduralım. φ = xh olarak tanımlanan dönüşümünü göz önünde 1 1 xk yk x = y K x y H xh = yh olup φ iyi tanımlıdır. Ayrıca, her x,y için ( ) φ ( xk)( yk) = φ( xyk) = xyh = ( xh)( yh) olup φ bir homomorfizmdir. Şimdi φ ayrıca örten ve { } { } Kerφ = xk : xh = H = xk : x H = H / K olup birinci izomorfizm teoreminden ( / K)( H / K) / H dir. Aşağıdaki teorem iki bölüm grubunun direk çarpımının bir bölüm grubuna izomorfik olduğunu göstermektedir. Teorem 2.6.5. 1 ve 2 iki grup ve N1 1, N2 2 olsun. Bu durumda ( )/( N N ) = ( / N ) ( / N ) 1 2 1 2 1 1 2 2 dir. 35

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK φ ( x, x ) = ( x N, x N ) olarak tanımlanan φ : 1 2 ( 1/ N 1) ( 2 / N 2) İspat: 1 2 1 1 2 2 dönüşümünü düşünelim.φ bir örten homomorfizma ve Kerφ = N1 N2 olup birinci izomorfizm teoreminden ( 1 2)/( N 1 N 2) = ( 1/ N 1) ( 2 / N 2) dir. Eğer σ :S T dönüşümünde X T ise 1 σ (X)={ s S: σ ( s) X} 1 şeklindedir. σ (X) kümesine X in σ altındaki ters görüntülerinin kümesi denir. σ 1 kümesi T ten S ye yerine Ρ ( T ) den ( S ) Ρ ye dir. Bununla birlikte, eğer σ birebir ve örten ise, bu durumda 1 σ ters fonksiyondur. Teorem 2.6.6.(Correspondence Teoremi). φ : ' bir örten grup homomorfizması ise aşağıdakiler doğrudur: (i) H< φ ( H ) < ' (ii) H ' < ' φ 1 ( H ') < (iii)h φ( H ) ' (iv) H ' φ ' 1 ( H ') (v) H< H= φ 1 ( φ( H )) (vi) H φ( H) dönüşümü Kerφ yi içeren nin alt gruplarının ailesi ile gönderimi ' nin altgruplarının ailesi arasında birebir bir eşlemedir. nin normal altgrupları ' nün normal altgruplarıyla eşlenir. İspat: (i) a,b H olsun. Böylece φ ( a), φ( b) φ ( H ) dır. Bu durumda φ( a) ( φ( b)) 1 = φ( a) 1 φ( b ) = φ φ 1 ( ab ) ( H ) olduğundan ab -1 H olup φ (H)<' olur. (ii) a,b φ 1 ( H ') olsun. Bu durumda φ ( a), φ( b) H ' dir. Bu durumda φ 1 ( ab ) = φ( a) ( φ( b)) 1 H ' 36

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK olup 1 ab φ 1 ( H ') dir. Böylece, φ 1 ( H ') < olur. (iii) φ (h) φ (H) ve g' ' olsun. Bu durumda, bir g için g'=φ (g) dir. H olduğudan, φ φ φ φ φ φ 1 1 1 ( g') ( ( h)) g' = ( ( g)) ( h) ( g) = ( g hg) ( H) dir. O halde φ (H) ' dir. (iv) h φ -1 (H'), g olsun. Bu durumda φ (h) H' dir. H' ' olduğunda φ φ φ φ 1 1 ( g hg) = ( ( g)) ( h) ( g) H' dir. Böylece 1 g hg φ 1 ( H') olup φ -1 (H') dir. (v) H φ 1 ( φ( H)) olduğu açıktır. x φ -1 (φ (H)) olsun. Ozaman φ( x) φ( H) φ( x) = φ( h) ( h H ) ( ) = ( ) 1 1 φ xh φ e xh Kerφ 1 xh H ( H Kerφ) x H olur. Böylece, H=φ -1 (φ (H)) dir. (vi) H'<' olsun. Bu durumda (ii) den φ -1 (H'), Kerφ yi içeren nin altgrubudur, böylece (iii) den φ (φ -1 (H'))=H' dir. H φ( H) dönüşümü örtendir. φ (H 1 )=φ (H 2 ) olsun. Burada H 1, H 2, Kerφ yi içeren nin altgrubudur. Bu durumda φ -1 (φ (H 1 ))=φ -1 (φ (H 2 )) dir. Böylece (iii) den H 1 =H 2 dir. (iv) ün son parçası (ii) ile takip eder. Dikkat edilecek olursa eğer φ : ' herhangi bir homomorfizm ise, bu durumda, teoremde ' yerine Imφ ile yer değiştirilirse teorem yine doğrudur. 37

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK Sonuç 2.6.7. N, nin normal altgrubu olsun. /N nin verilen her H' altgrubu için, H'=H/N olacak şekilde nin bir tek H altgrubu vardır. Ayrıca H H/N /N dir. İspat. φ : /N, ( x ) φ = xn olarak tanımlanan doğal homomorfizmi düşünelim. Yukarıdaki teoremden H'=φ (H)=H/N olacak şekilde nin N yi içeren kapsayan tek altgrubu vardır. Tanım 2.6.8. bir grup olsun. Eğer (i) N (ii) H ve H N H=N veya H= ise, nin N normal altgrubuna maximal normal altgrup denir. Tanım2.6.9. Eğer normal öz altgruplara sahip değilse, yani, nin {e} ve dışında normal altgrupları yoksa grubuna basit grup denir. Sonuç 2.6.10. N, nin normal öz altgrubu olsun. Bu durumda, /N basit olması için gerek ve yeter koşul N, nin maksimal normal altgrubu olmasıdır. Sonuç 2.6.11. H ve K, nin ayrık maksimal normal altgrupları olsun. Bu durumda H K da hem H nin hemde K nın maximal normal altgrubudur. İspat: İkinci izomorfizm teoremi nedeniyle H / H K HK / K dir. Böylece K HK dir. K maksimal olduğundan, HK=K veya HK= dir. Fakat, H ve K nin her ikisi maksimal ve ayrık olduğundan, HK=K H K çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla, H= dir. Böylece H / H K / K dir. Yukarıdaki sonuçtan dolayı H K, H ın ve K nın maximal normal altgrubudur. Örnek 2.6.12. grup olsun öyle ki sabit bir n>1 tam sayıları ve her a,b için, ( ) n n n ab a b n n n = olsun. n = { a : a = e} ve { a : a } = olsun. Bu durumda 38

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK n, n ve / n n 1 olduğunu gösterelim. a,b n ve x olsun. Bu durumda ( ) n n n ( ) 1 ab = a b = e olup 1 ab n dir. Aynı zamanda, ( ) = = olup dir. 1 n n 1 1 xax xa x e xax n Böylece n dir. Aynı şekilde n dir. f: n dönüşümünü f ( a) = a n olarak tanımlayalım. ab, için, f(ab)=(ab) n = ab n n olup f homomorfizmdir. Kerf={a:a n =e}= n dir. Birinci izomorfizm teoremi nedeniyle / n n dir. Örnek 2.6.13. sonlu bir grup ve T de x=e T(x)=x özelliğine sahip nin bir otomorfizmi olsun. Bu durumda her g elemanının bir x için g=x -1 T(x) şeklinde ifade edilebileceğini gösterelim. Öncelikle x=y x -1 T(x)=y -1 T(y) olduğunu gösterelim. 1-1 -1-1 -1-1 x T( x) = y T(y) (yx )=T(y)(T(x)) yx = T(yx ) -1 yx = = e y x dir. Böylece { x 1 T( x): x } = dir. Örnek 2.6.14. Yukarıdaki örnekte x olsun. Bu durumda 2 T = I ise nin abelyen olduğunu gösterelim. ( ( )) = ( ( ( ))) = ( ( ) ( )) = ( ( ) ) 1 2 1 1 2 1 x T x T x T x T T x T x T T x x = T x T x 1 1 (( ( ( )) ) dir. Bu yüzden her g için T(g -1 )=g dir. Eğer ab, ise T((ab) -1 )= ab dir. Diğer taraftan 1 1 1 1 1 (( ) ) ( ) ( ) ( ) T ab = T b a = T b T a = ba 39

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK olup ab = ba dır. Örnek 2.6.15. Derecesi 6 olan abelyen olmayan bir grubunun S 3 e izomorfik olduğunu gösterelim. Eğer her elemanının derecesi 2 ise bu durumda abelyendir. O halde nin en az bir tane derecesi 3 olan a elemanı olmalıdır. b { e, a, a 2 } olcak şekilde b olsun. Bu durumda, e,a,a 2,b,ab,a 2 b elemanlarının tümünün ayrık elemanlar olup bu elemanlar tüm grubunu oluşturur. b 2 a veya a 2 olmalıdır. b 2 a ise b 6 =e dir. Bu durumda b nin derecesi 2,3,6 olmalıdır. Öte yandan b nin derecesi 2 ise a=e b 2 =a ise ab=e çelişkisi elde edilir. b nin derecesi 6 olsa devirli grup olup nin abelyen olmayışı ile çelişir. Böylece b 2 a dır. Aynı şekilde b 2 a 2 dir. Üstelik b 2 =b, ab, veya a 2 b olsa b=e,a, veya a 2 olup b { e, a, a 2 } ile çelişir. O halde b 2 için tek ihtimal b 2 =e dir. Ayrıca, a tarafından üretilmiş a ={e,a,a 2 } altgrubu indeksi 2 olup normal alt gruptur..böylece bab -1 =e, a, veya a 2 dir. Fakat bab -1 =e ise a=e olup bu imkansızdır. bab -1 =a ve nin değişmeli olup bu imkansızdır. Böylece, bab -1 =a 2 dir. Dolayısıyla, a ve b tarafından doğurulan a 3 =e=b 2, bab -1 =a 2 ilişkilerini sağlayan grutur. Diğer taraftan, S 3 de a' ve b' tarafından doğurulan a' = e' = b', b' a' b' = a' 3 2 1 2 ilişkileri ile tanımlanan gruptur. Bu durumda, 2 2 2 2 ', ', ', ', ' ', ' ' e e a a a a b b ab a b a b a b şeklinde tanımlanan dönüşüm den S 3 e bir izomorfizmdir. 40