Ö.S.S. 6 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. f(x) x, x, x x olduğuna göre, a b kaçtır? ise fonksiyonu için, lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için x > ve x < x x xx - olur. lim + x f ( x) a lim x + ve lim f ( x) b x lim ( ) + x - bulunur. a b (-) n. s n k k n olduğuna göre, n s lim kaçtır? n A) B) C) D) E) Çözüm n s n k k n ² n n k k n².(+ + +...( n ) + ( n) + n) n.( n ). + n² n s n k k n n+. n lim s n n n lim + n x Not : pay ve paydadaki polinomların dereceleri eşit ise katsayılar oranı limiti verir.. f : R R her noktada türevli bir fonksiyon ve f () olduğuna göre, lim h f (+ h) h f ( h) kaçtır? A) B) C) 9 D) 6 E)
Çözüm I. Yol Türevin tanımından yola çıkarsak. f ( x) f ( x ) lim f (x ) lim x x xx h f ( h+ x ) h f ( x ) f (x ) f (+ h) f ( h) [ f (+ h) f ( h)] + ( f () lim lim h h h h f (+ h) f () f ( h) + f () lim + lim h h h h f ()) lim h f (+ h). h f (). f ( h) ( ). h f () - lim.( ) h f (). + f ().(-) f (). II. Yol Değişken h olduğundan h a göre türevleri alınır. lim h f (+ h) h f ( h) f () f () belirsizliği vardır. L Hospital uygularsak f '(). f '().( ) f ().. P(x) polinom fonksiyonunun türevi P (x) ve P(x) P (x) x²+x olduğuna göre, P(x) in katsayılarının toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm P(x) ax² + bx + c olsun. P (x) ax + b olur. P(x) P (x) x²+x (ax² + bx + c) (ax + b) x² + x a, b 7, c 6 bulunur. O zaman P(x) x² + 7x + 6 olur. P(x) in katsayılarının toplamı P().²+7.+6
³ ². f(x) x x + fonksiyonu aşağıdaki aralıkların hangisinde azalandır? A) (, ) B) ( Çözüm, ) C) (, ) D) (, ) E) (, f(x) in azalan olması için f (x) < olmalıdır. x ³ ² x + f (x) x² - x < x.(x - ) < x ve x f(x) x x - - - - - - + + + + + + + + x- - - - - - - - - - - - + + + + x.(x ) + + + + - - - - - - + + + + ) 6. Şekildeki d doğrusu, f (x) fonksiyonunun grafiğine A noktasında teğettir. h(x) x f (x) olduğuna göre, h () kaçtır? A) - B) - C) D) E) 7 Çözüm 6 h(x) x f (x) h (x).f(x) + f (x).x f(x) + f (x).x olur. Türevin geometrik yorumuna göre; Fonksiyonun bir noktadaki türevi o noktadaki teğetin eğimine eşittir. d doğrusunun denklemi (iki noktası bilinen doğru denklemi) (,) ve (-,) y x y -x+ olur. Eğimi - f (-) h () f(-) + f (-).(-) + (-).(-) + 7
7. (sin + cosx). dx hangisi elde edilir? x integralinde t x dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden A) (sint + cost). dt B) (sint cost). dt C) (sint cost). dt D) (cost sint). dt E) (sint cost). dt Çözüm 7 t x x - t türevini alırsak dx -dt x için t - x için t - (sinx + cosx) dx (sin( t ) + cos( t))( dt) (sint cost)( dt) ( sint + cost) dt (sint cost) dt 8. f : R R fonksiyonu her noktada türevli ve f (x) x+, f() - olduğuna göre, f () kaçtır? A) - B) - C) - D) - E) Çözüm 8 f (x) x+ her iki tarafın integrali alınırrsa, x ² +x+c olur. f (x) x+ f(x) ² f() - x için f() ++c - c - x² f(x) + x f() - bulunur.
9. Şekilde grafiği verilen bire bir ve örten f : [, ] [, ] fonksiyonunun tersi f dir. Buna göre, ( x) dx+ f ( x) dx f toplamı kaçtır? A) B) C) 6 D) 8 E) Çözüm 9 f ( x) dx A ve f ( x) dx A f ( x) dx+ f ( x) dx A + A.. 8 6. log log 8 log log 7 determinantının değeri kaçtır? A) B) 9 C) 8 D) 6 E) Çözüm log log 8 log log 7 log log ³.. 9 log 7 log 8. log.log 8
. ( x + x x ) : ( x + + x x A) B) - C) x D) - x E) + x Çözüm ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? x.(x) (+ x) ( ) (+ x).(x) (x) + x.(+ x) (+ x).(x) : ( ) x² (+ x).(x) ( ) (+ x).(x) + x². ( ) -. y³ + 7 y² y hangisidir?. ( y ).( y² ) y² y+ 9 ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden A) (y +)(y ) B) (y+)(y) C) (y +)(y ) D) (y)(y) E) (y )(y ) Çözüm ( y+ ).( y² y+ 9) ( y ).( y).( y+ ). ( y ).( y+ ) y² y+ 9 (y +).(y ). z + z i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) - i B) 6 - i C) + i D) - i E) + i Çözüm z x+iy olsun. z x ² + y² olduğuna göre, z + z i x ² + y² + x+iy i y - olur. x ² + ( )² +x x²+ (-x)² x bulunur. 6 z x+iy - i 6
. Aşağıdaki tabloyla değişmeli olmayan (G, ) grubu verilmiştir (Örneğin, bu grupta c de, d cf dir.). Buna göre, b (x c) d eşitliğini sağlayan x elemanı aşağıdakilerden hangisidir? A) f B) e C) d D) c E) b Çözüm işleminin etkisiz (birim) elemanı a dır. (x c) m diyelim. b m d b b m b d c d e m e olmalıdır. x c m x c c m c x e c e b x f bulunur.. A boş olmayan bir küme olmak üzere, A dan A ya f ve g fonksiyonları tanımlanmıştır. (fοg)(x) f (g(x)) ile verilen fοg bileşke fonksiyonu bire bir ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) f örtendir. B) g örtendir. C) f bire birdir. D) g bire birdir. E) gοf bire birdir. Çözüm Farklı bir h(x) fonksiyonu alalım. h(x ) h(x ) olması için x x olmalıdır. fog(x ) fog(x ) olması için x x olmalıdır. f(g(x )) f(g(x )) olması için g(x ) g(x ) olmalıdır. (fοg)(x) f (g(x)) ile verilen fοg bileşke fonksiyonu bire bir ise; g(x) de bire bir dir.
6. f (x) fonksiyonunun grafiği, şekildeki gibi, Ox eksenine (, ) noktasında teğet olan ve (, ) noktasından geçen paraboldür. Buna göre, f () kaçtır? A) B) C) 6 D) 7 E) Çözüm 6 Parabol denklemi f(x) a.(x-r)²+k (r,k) (,) y a.(x-)² y a.(x-)² (,) noktasını sağlar, a.(-)² a olur. y a.(x-)² y.(x-)² y f().(-)². 7. (m)x²+x+m² denkleminin biri pozitif, diğeri negatif iki gerçel kökü varsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) (, ) D) (, ) (, ) E) (, ) (, ) Çözüm 7 Kökleri x ve x olsun. x. x a c < m - m² m < m, m -, m m²- + + + - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + -m + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - m² m + + + - - - - - - - - - + + + + - - - - - (, ) (, )
8. Şekildeki O merkezli birim çember üzerindeki P ve P noktaları Ox eksenine göre birbirinin simetriğidir. Buna göre, P noktası aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilemez? A) (cos(θ), sin(θ)) B) (cos(θ), sinθ) C) (cosθ, sinθ) D) (cosθ, sin( θ)) E) (cos( θ), sinθ) Çözüm 8 P (cos(θ), sin(θ)) P (cosθ, sinθ) cos( θ) cosθ, sin( θ) sinθ sin(θ) sinθ (cos(θ), sinθ) olamaz. 9. sin a cos a ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) sina B) cosa C) tana D) cot a E) sina + cosa Çözüm 9 sin a cos a sina.cosa ( sin ² a) sina.cosa sin ² a cosa cosa cota sina sina
. AL KL BA // KL AL km BA km KL km K noktasındaki kontrol kulesinde bulunan bir görevli, yerden km yükseklikte yere paralel uçan bir uçağın, A noktasından B noktasına kadar km lik hareketini radarla izliyor. A noktasının yerdeki dik izdüşümü L noktası ve KL km olduğuna göre, radarın taradığı AKB açısının tanjantı kaçtır? A) 7 B) 9 C) D) E) 7 7 Çözüm tanx? x k-y tank tany + tank.tany tank 9 tanx tan(k-y) tany 7 tanx tan(k-y) tank tany + tank.tany + 7. 7,. f : ( ) R f(x) log (x+) ile tanımlanıyor. Buna göre, ters fonksiyonu belirten f (x) aşağıdakilerden hangisidir? A) f (x) x B) f (x) x + C) f (x) log(x+) D) f (x) Çözüm x E) f (x) x³+ y f(x) log (x+) y x + x y - x x y f (x) y x f (x) x y
. ABC bir dik üçgen m(bac) 9 AE EC BD DC 9 cm BF FG GP x Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? A) B) C) D) E) Çözüm ABC üçgeninde [AD] ve [BE] kenarortay oldukları için G noktası ağırlık merkezidir. BC Dikkat edilirse AD 9 cm dir. Ayrıca BG GE olduğu için BF FG GE olur. AE CP FG Menelaus teoemine göre;.. AC PF GE CP.. PF CP PF Aynı şekilde yine Menelaus teoemine göre; FP CE AG.. FC EA GP AG GP.. AG GP AD 9 G noktası ağırlık merkezi GD AG AG 6 AG 6 AG GP Burdan GP cm bulunur.. ABC bir üçgen [BD] açıortay AB 8 cm BC cm AD m cm DC n cm Yukarıdaki şekilde m ve n birer tamsayı olduğuna göre, ABC üçgeninin çevre uzunluğu en çok kaç cm olabilir? A) 8 B) C) D) 8 E)
Çözüm Açıortay teoremine göre, 8 m n dir. Burdan m k ve n k olur. Böylece AC k < 8+ (üçgen eşitsizliği) olur. k < k < Bu durumda en fazla k alınabilir. Üçgenin çevresi bu durumda 8++k 8++. 8++ olur.. m(adc) m(bcd) 6 Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? AB 6 cm BC cm CD cm AD x A) B) 6 C) 6 - D) + 6 E) + Çözüm Şekildeki gibi [BC] uzatılırsa DKC eşkenar üçgeni oluşur. B noktasından [DK] dik çizilirse KTB -6-9 dik üçgeni oluşur. DK, KT ve TB ATB de bir dik üçgendir. Pisagor uygulanırsa AT ²+ TB ² AB ² AT AD x + bulunur.
. AB // DC [AC] açıortay DC BC m(adc) m(acb) x Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir? A) B) C) D) E) Çözüm Đç ters açılardan dolayı s(bac) s(dca) olur. ADCB ikizkenar yamuk olduğu için s(adc) s(dcb) + x x 6. Şekildeki ABCD karesinin kenarları üzerindeki K, L, M, N noktalarının her biri, üzerinde bulunduğu kenarın orta noktasıdır. A(ABCD) br² olduğuna göre, taralı alan kaç br² dir? A) B) C) D) E)
Çözüm 6 Şekilde de görüleceği üzere ABCD karesinin alanı tane taralı küçük karenin alanına eşittir. Dolayısıyla;.taralı alan Taralı alan olur. 7. Şekildeki AT doğrusu O merkezli çembere T noktasında teğettir ve AT uzunluğu TBC yayının uzunluğuna eşittir. Buna göre, taralı alanların toplamı kaç cm² dir? A) 8 B) 6 C) D) E) Çözüm 7 alan(ocb).². 6 (TBC). AT, alan(cot).²., alan(aot) 6 AT uzunluğu TBC yayının uzunluğuna eşittir. AT TBC.. (TBC) 6 taralı alan alan(aot) alan(tob) + alan(ocb). AT (TBC) - (.². -.². ) +.². 6 6 6 ( TBC)... 6 ( TBC) 9 +..². 6 6
8. O, O, O ve M merkezli çemberler birbirlerine şekildeki gibi teğettir. O, O ve O merkezli çemberlerin yarıçapları r cm, M merkezli çemberin yarıçapı da cm olduğuna göre, r kaçtır? A) B) + C) + D) + E) + Çözüm 8 Şekikdeki gibi merkezler birleştirilidiğinde karşımıza bir kenarı r olan (O O O ) eşkenar üçgeni çıkar. Bu durum da O M r+ ve O K r olur. M noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir. OM OK r+ r r r + 9. ABCD, O merkezli çemberin teğetler dörtgeni AB // DC DA AB BC cm OH cm Yukarıdaki verilere göre, ABCD teğetler dörtgeninin alanı kaç cm² dir? A) B) 8 C) 6 D) E)
Çözüm 9 I. Yol O merkezli çember [DC] ye P de teğet olsun. Bu durumda OP cm olur. Ayrıca yarıçap doğru parçaları teğetlere dik olduğu için [PH] [AB] ve [PH] [DC] dir. Bu durumda AD PH 6 olur. Teğetler dörtgeninde karşılıklı teğet parçaları uzunlukları eşit olduğu için; AB + DC AD + BC +6 6 AB + DC. AD 6 Alan(ABCD). 6 II. Yol 8 a +c 6 b + d (a+ b) + (c+ d) a+c Alan(ABCD).( ) 6. 6 8. Şekildeki gibi, taban yarıçapı metre, yüksekliği metre olan dik koni biçimindeki bir su deposuna bir musluktan sabit hızla su akıtılıyor. Depoda biriken suyun derinliği x metre olduğunda, depoda biriken suyun hacmi x türünden kaç metreküp olur?.x³ A) B).x³ 9 C).x³ 6 D).x³ E).x³
Çözüm Şekildeki ABC üçgeninde üçgeninde temel orantı teoremi uygulanırsa; x y x y olur. Bu durumda suyun hacmi v.x³ v bulunur. x..(y)². x..( )². x Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA