Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Bölüm 6 Yapısal Analiz Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

6. Yapısal Analiz Şekilde görüldüğü gibi bir mekanizmanın tasarımını yapmak için bütün parçaların taşıyacakları yükleri bilmemiz gerekir. Bu bölümde, denge denklemlerini kullanarak buna benzer yapıların analizlerinin nasıl yapıldığını öğreneceğiz.

6. Yapısal Analiz Bu bölümde, denge denklemlerini mafsal bağlı elemanlardan oluşan yapıları analiz etmek için kullanacağız. Bu analiz, dengede olan bir yapının her bir elemanının da dengede olması ilkesine dayanır. Denge denklemlerini bir basit kafes, çerçeve veya makinenin çeşitli parçalarına uygulayarak bağlara etkiyen tüm kuvvetleri belirleyebileceğiz. Bu bölümdeki konular, daha önce öğrenilen konuların uygulamaları konusunda pratik kazandıracağı için çok önemlidir.

6.1 Basit Kafes Sistemler Kafes sistemler, uç noktalarından birleştirilmiş ince çubuklardan oluşan yapılardır. Bağlantılar genellikle kaynaklı/cıvatalı bağlantı plakası veya pim/vida ile yapılır. Bağlantı plakası

6.1 Basit Kafes Sistemler Warren kafes sisteminde bağlantı plakaları görülmektedir.

6.1 Basit Kafes Sistemler Düzlem Kafes Sistemler. Düzlem kafes sistemler, tek bir düzlem içinde yer alır ve sıklıkla çatı ve köprülerde taşıyıcı sistem olarak kullanılır. Çatı yükü, aşıklardan düğüm noktalarına aktarılır. Uygulanan yük, kafes sistemin düzleminde etkidiğinden, analiz iki boyutludur. Aşık Çatı kafes sistemi

6.1 Basit Kafes Sistemler Düzlem Kafes Sistemler. Şekildeki köprüde, zemindeki yük ilk önce boylamalara, sonra taban kirişlerine ve en son da yanlardaki taşıyıcı kafeslere aktarılır. Boylama Zemin Taban kirişi Köprü kafes sistemi

6.1 Basit Kafes Sistemler Tasarımda Kullanılan Varsayımlar. Tasarım için öncelikle çubuklardaki kuvvetler belirlenmelidir. Bu noktada iki önemli varsayım yapılır: 1. Tüm yüklemeler düğüm noktalarında uygulanır. 2. Çubuklar birbirine pürüzsüz mafsallar ile bağlanmıştır. Bu varsayımlar nedeniyle, kafes sistemdeki her bir çubuk iki-kuvvetli eleman gibi davranır. Bu yüzden uçlardaki kuvvetler çubuğun ekseni doğrultusunda olmalıdır.

6.1 Basit Kafes Sistemler Basit Kafes Sistem. Bir basit kafes sistem inşa edilirken, önce ABC gibi bir üçgen ile başlanır ve ek bir eleman oluşturmak için iki çubuk daha bağlanır. Bu şekilde istenildiği kadar eleman eklenerek büyük kafes sistemler oluşturulabilir. Basit bir üçgenden başlanıldığı için basit kafes sistem olarak adlandırılır.

6.2 Düğüm Noktaları Yöntemi Kafes sistemlerinin analizi için öncelikle çubuklardaki kuvvetler belirlenmelidir. Düğüm noktaları yöntemi, bu kuvvetlerin belirlenmesi için kullanılan yöntemlerden bir tanesidir. Bu yöntem, «bir kafes sistem dengedeyse, her düğüm noktası da dengede olmalıdır» prensibine dayanır. Kafes sistemdeki çubukların hepsi aynı düzlemde yer alan iki-kuvvet elemanı olduklarından, her bir mafsala etkiyen kuvvetler düzlemseldir ve aynı noktadan geçer. Böylece, dönme veya moment dengesi kendiliğinden sağlanır. Yalnızca, öteleme veya kuvvet dengesi için gerekli denklemler sağlanmalıdır.

6.2 Düğüm Noktaları Yöntemi Denge denklemlerini uygulamadan önce, ilk olarak düğüm noktasının serbest cisim diyagramı çizilmelidir. Düğüm noktasına etkiyen her bir çubuk kuvvetinin etki çizgisi, kafes sistemin geometrisinden belirlenir, çünkü bir çubuktaki kuvvet, o çubuğun ekseni doğrultusundadır.

6.2 Düğüm Noktaları Yöntemi Her durumda analiz, en az bir bilinen kuvvet veya en fazla iki bilinmeyen kuvvete sahip bir düğüm noktasından başlamalıdır.

6.2 Düğüm Noktaları Yöntemi Bilinmeyen bir çubuk kuvvetinin doğru yönü aşağıdaki yöntemlerle belirlenebilir: 1. Bilinmeyen çubuk kuvvetlerinin daima çekme olduğu varsayılır. Sayısal çözümlerin pozitif değeri çekme, negatif değeri basma çubuklarını belirtir. 2. Bilinmeyen kuvvetlerin yönü «gözlem» yoluyla belirlenebilir.

6.2 Düğüm Noktaları Yöntemi Analizde İzlenecek Yol. En az bir bilinen kuvvet veya en fazla iki bilinmeyen kuvvete sahip bir düğüm noktasının serbest cisim diyagramı çizilir. Bilinmeyen kuvvetlerin yönü daha önce verilen yöntemlerden birisi kullanılır. x ve y eksenlerinin yönü, SCD deki kuvvetler kolayca x ve y bileşenlerine ayrılabilecek şekilde seçilir ve denge denklemleri uygulanır. Aynı şekilde, diğer düğüm noktaları ile devam edilir. Bir çubuğun bir ucundaki kuvvet, diğer uçtaki kuvvete eşit ve ters yönlüdür. Kafes sistemin kuvvet analizi tamamlandığında, çubukların ve bağların boyutları, mühendislik tasarım kuralları ile birlikte malzeme mekaniği teorisi kullanılarak belirlenebilir.

6.2 Düğüm Noktaları Yöntemi Bu basit çatı kirişindeki elemanlardaki kuvvetler, düğüm noktaları yöntemi ile belirlenebilir.

Örnek 6-1 Şekilde gösterilen kafes sistemin her bir elemanındaki kuvveti belirleyiniz ve elemanların çekme etkisinde mi yoksa basınç etkisinde mi olduklarını belirtiniz.

Örnek 6-1

Örnek 6-1

Örnek 6-2 Şekilde gösterilen çatı kafes sistemin her bir elemanındaki kuvvetleri belirleyiniz.

Örnek 6-2

Örnek 6-2

Örnek 6-2

Örnek 6-3 Şekilde gösterilen kafes sistemin her bir elemanındaki kuvveti belirleyiniz ve elemanların çekme etkisinde mi yoksa basınç etkisinde mi olduklarını belirtiniz.

Örnek 6-3

Örnek 6-3

Örnek 6-3

6.3 Sıfır Kuvvet Çubukları Düğüm noktaları yöntemi kullanılarak yapılan analizde öncelikle hiç yük taşımayan çubuklar belirlenirse, analiz kolaylaşır. Bu sıfır kuvvet çubukları, yapım sırasında kararlılığı arttırmak veya uygulanan yükleme değiştiğinde desteği sürdürmek amacıyla kullanılır.

6.3 Sıfır Kuvvet Çubukları Genel kural: Sadece iki çubuk bir kafes sistemi düğüm noktası oluşturuyorsa ve bu düğüm noktasına hiçbir dış yük veya mesnet tepkisi uygulanmıyorsa, bu çubuklar sıfır kuvvet çubukları olmak zorundadır.

6.3 Sıfır Kuvvet Çubukları

6.3 Sıfır Kuvvet Çubukları Genel olarak, iki tanesi aynı doğru üzerinde bulunan üç çubuk bir kafes sistemi düğüm noktası oluşturduğunda, üçüncü çubuk, düğüm noktasına hiçbir dış kuvvet veya mesnet tepkisi uygulamıyorsa, bir sıfır kuvvet çubuğudur.

Örnek 6-4 Düğüm noktaları yöntemini kullanarak şekildeki Fink çatı kafes sisteminin bütün sıfır kuvvet çubuklarını belirleyiniz. Bütün düğüm noktalarının mafsallı olduğunu varsayınız.

Örnek 6-4

6.4 Kesim Yöntemi Kesim yöntemi, cisim içinde etkiyen yükleri belirlemede kullanılır. Bu yöntem, dengedeki bir cismin bütün parçalarının da dengede olması ilkesine dayanır. Yöntemi uygulamak için, cismi iki parçaya bölen hayali bir kesim yapılır. Parçalardan birinin serbest cisim diyagramı çizildiği takdirde, diyagram kesitte etkiyen yükleri içermelidir. İç Çekme Kuvvetleri Çekme İç Basınç Kuvvetleri Basınç

6.4 Kesim Yöntemi Kesim yöntemi, kafes sistemin birçok çubuğu «kesilerek» veya kesim yapılarak da kullanılabilir. Kafes sistemin soyutlanmış parçasına sadece üç denge denklemi uygulanabilir. Bu nedenle, içinde bilinmeyen kuvvetlerin bulunduğu üçten fazla çubuğu kesmeyecek bir kesit seçilmeye çalışılmalıdır.

6.4 Kesim Yöntemi F BC, F GC ve F GF, ortadaki SCD de üç denge denklemi uygulanarak bulunabilir. Ancak, sağdaki SCD ele alınırsa, önce D x, D y ve E x mesnet tepkileri belirlenmelidir (Bu ise, tüm kafesin SCD si üzerinden yapılır). Denklemleri, bilinmeyenleri doğrudan elde edebilecek şekilde yazmak gerekir.

6.4 Kesim Yöntemi Örneğin, F GF ve F BC sırasıyla C ye ve G ye göre momentler toplamından doğrudan elde edilebilir. F GF ve F BC nin düşey bileşenleri olmadığından, F GC de düşey doğrultudaki kuvvetlerin toplamından doğrudan bulunabilir. Kesim yönteminin temel avantajlarından birisi, bir kafes sistem çubuğundaki kuvvetin doğrudan belirlenebilmesidir.

6.2 Düğüm Noktaları Yöntemi Bilinmeyen bir çubuk kuvvetinin doğru yönü aşağıdaki yöntemlerle belirlenebilir: 1. Bilinmeyen çubuk kuvvetlerinin daima çekme olduğu varsayılır. Sayısal çözümlerin pozitif değeri çekme, negatif değeri basma çubuklarını belirtir. 2. Bilinmeyen kuvvetlerin yönü «gözlem» yoluyla belirlenebilir.

6.4 Kesim Yöntemi Analizde İzlenecek Yol. Serbest Cisim Diyagramı. Kafes sistemin nasıl kesileceğine karar verilir. Gerekiyorsa, kafes sistemin dış tepkileri belirlenir. Kesit alınmış kafes sistemin, üzerine en az kuvvet etkiyen parçasının serbest cisim diyagramı çizilir. Denge Denklemleri. Üç denge denklemi, ortak çözümden kaçınacak şekilde uygulanmaya çalışılır.

6.4 Kesim Yöntemi Pratt kirişinin seçilen elemanlarındaki kuvvetler, kesim yöntemi ile kolayca belirlenebilir.

6.4 Kesim Yöntemi Basit kafes sistemler, büyük vinçlerin yapımında sıklıkla kullanılır.

Örnek 6-5 Şekilde verilen kafes sistemin GE, GC ve BC çubuklarındaki kuvvetleri belirleyiniz. Çubukların çekme mi yoksa basınç etkisinde mi olduklarını belirtiniz.

Örnek 6-5

Örnek 6-5

Örnek 6-6 Şekilde verilen köprü kafes sisteminin CF çubuğundaki kuvveti belirleyiniz. Çubuğun çekme mi yoksa basınç etkisinde mi olduğunu belirtiniz. Çubukların mafsal bağlı olduklarını varsayınız.

Örnek 6-6

Örnek 6-7 Şekilde verilen çatı kafes sisteminin EB çubuğundaki kuvveti belirleyiniz. Çubuğun çekme mi yoksa basınç etkisinde mi olduğunu belirtiniz.

Örnek 6-7

*6.5 Uzay Kafes Sistemler Bir uzay kafes sistemi, kararlı bir üç boyutlu yapı oluşturacak şekilde birbirlerine uçlarından bağlanmış çubuklardan oluşur. En basit eleman, altı çubuğun bağlanması ile oluşturulan bir dörtyüzlüdür. Tasarım için varsayımlar. Çubuklara, dış yüklemelerin bağlantı noktalarına uygulanması ve bağlantıların küresel mafsal olması halinde, iki kuvvetli eleman olarak muamele edilebilir. Bu kabuller, kaynak ve cıvata ile yapılan bağlantıların ortak bir noktadan geçmesi ve ağırlıklarının ihmal edilmesi durumunda da geçerlidir.

*6.5 Uzay Kafes Sistemler

*6.5 Uzay Kafes Sistemler Analizde İzlenecek Yol. Düğüm Noktaları Yöntemi. Kafes sistemin bütün çubuklarındaki kuvvetlerin belirlenmesi gerekiyorsa, genellikle düğüm noktaları yöntemi kullanılır. Kesim Yöntemi. Sadece birkaç çubuk kuvveti belirlenecekse, kesim yöntemi kullanılabilir.

Örnek 6-8 Şekilde verilen uzay kafes sisteminin çubuklarına etki eden kuvvetleri belirleyiniz. Çubukların çekme mi yoksa basınç etkisinde mi olduklarını belirtiniz.

Örnek 6-8

Örnek 6-8

6.6 Çerçeveler ve Makineler Çerçeveler ve makineler, çoğunlukla mafsal bağlı çok kuvvetli elemanlardan oluşan yaygın iki yapı tipidir. Çerçeveler genellikle sabittir ve yükleri taşımak için kullanılır. Makineler ise hareketli parçalar ihtiva eder ve kuvvetlerin etkisini iletmek ve değiştirmek için dizayn edilir. Serbest Cisim Diyagramları. Bir çerçeve veya makinenin bağlantı noktaları ve mesnetlerinde etkiyen kuvvetleri belirlemek için yapı parçalarına ayrılmalı ve bu parçaların serbest cisim diyagramları çizilmelidir.

6.6 Çerçeveler ve Makineler Serbest Cisim Diyagramları. 1. Her bir parça, taslak şekli çizilerek soyutlanır. Sonra parça üzerine etkiyen kuvvetler ve/veya momentler gösterilir. Tüm bilinen ve bilinmeyen kuvvet ve momentler, oluşturulan x, y koordinat sistemine göre belirtilir veya tanımlanır. Ayrıca, momentleri almada kullanılan boyutlar gösterilir. Kuvvetler dik bileşenleri ile gösterilirse, denge denklemlerini uygulamak çok daha kolay olur.

6.6 Çerçeveler ve Makineler Serbest Cisim Diyagramları. 2. Yapıdaki tüm iki kuvvetli elemanlar belirlenir ve bunların serbest cisim diyagramları uygulama noktalarında etkiyen iki eşit fakat zıt kuvvete sahip olacak şekilde gösterilir. Kuvvetlerin etki çizgisi, kuvvetlerin etkidiği iki noktayı birleştiren çizgi ile tanımlanır. İki kuvvetli elemanları ayırt ederek, gereksiz sayıda denge denklemini çözmekten kaçınabiliriz.

6.6 Çerçeveler ve Makineler Serbest Cisim Diyagramları. 3. Temas eden iki elemanın ortak kuvvetleri, elemanların her biri üzerine eşit büyüklüklü fakat zıt yönlü olarak etki eder. İki eleman, bağlı elemanlar «sistemi» olarak ele alınırsa, bu kuvvetler «iç kuvvetler»dir ve sistemin serbest cisim diyagramı üzerinde gösterilmez. Bununla birlikte, her bir elemanın serbest cisim diyagramı çizilirse, bu kuvvetler «dış kuvvetler»dir ve serbest cisim diyagramlarının her biri üzerinde gösterilmelidir.

6.6 Çerçeveler ve Makineler

Örnek 6-9 Şekilde gösterilen çerçeve için (a) her bir elemanın, (b) B deki mafsalın ve (c) birbirine bağlı iki elemanın serbest cisim diyagramını çiziniz.

Örnek 6-9 (a) Elemanlar iki kuvvetli elemanlar değildir. BC üzerine üç kuvvet etki etmektedir: B ve C mafsallarındaki ikişer tepki bileşeninin bileşkeleri ve P dış kuvveti. Aynı şekilde, AB üzerine A ve B mafsallarındaki bileşke tepki kuvvetleri ve M dış momenti etki etmektedir.

Örnek 6-9 BC elemanının etkisi AB elemanının etkisi B deki mafsal sadece BC ve AB elemanlarının mafsal üzerine uyguladıkları kuvvetlere maruzdur. Denge için bu kuvvetler ve ilgili bileşenleri eşit fakat zıt olmalıdır. Mafsal ve elemanlar arasında Newton un üçüncü kanununun uygulanışına dikkat edilmelidir. AB ve BC elemanları üzerine eşit ve zıt görünen kuvvetler ise Newton un üçüncü kanunu değil,mafsalın denge analizi sonucudur.

Örnek 6-9 İki elemanın birbirine bağlı olduğu durumdaki serbest cisim diyagramında B x ve B y kuvvet bileşenleri gösterilmez. Bunlar, eşit ve aynı doğrultulu zıt iç kuvvet çiftleri oluştururlar. Denge denklemlerinin uygulanmasında tutarlı olmak için A ve C deki bilinmeyen kuvvet bileşenleri her SCD de aynı doğrultuda etkimelidir.

Örnek 6-11 Şekilde gösterilen ve teneke kutuların geri dönüşümünde kullanılan pürüzsüz piston ve bağlantı mekanizmasının her bir parçasının serbest cisim diyagramını çiziniz.

Örnek 6-11 AB elemanının iki kuvvetli eleman olduğu görülür. Piston üzerine dört kuvvet bileşeni etki etmektedir: D x ve D y mafsalın etkisini temsil etmektedir, N W silindir duvarının bileşke kuvvetidir ve P, C kutusunun neden olduğu bileşke basınç kuvvetidir.

Örnek 6-12 Şekilde gösterilen çerçeve için (a) makaralar ve ipler dahil tüm çerçevenin, (b) makaralar ve ipler hariç çerçevenin ve (c) makaraların her birinin serbest cisim diyagramını çiziniz.

Örnek 6-12 (a) Makaralar ve iplerle birlikte tüm çerçeve ele alındığında, makaralar ve iplerin çerçeveye bağlandığı noktalardaki etkileşimler, birbirini götüren iç kuvvet çiftleri halini alır ve SCD de gösterilmez.

Örnek 6-12 (b) İpler ve makaralar çıkartıldığında, bunların çerçeve üzerindeki etkileri gösterilmelidir. (c) Mafsalların makaralara uyguladığı kuvvet bileşenleri, mafsalların çerçeve üzerine uyguladığı kuvvet bileşenlerine eşit fakat zıttır.

Örnek Şekilde gösterilen kazıcının elemanlarının serbest cisim diyagramını çiziniz. Kova ve içeriğinin ağırlığı W dir.

Örnek Pim bağlantılı olduklarından ve üzerlerine herhangi bir kuvvet etki etmediğinden AB, BC, EB ve HI iki kuvvetli elemanlardır.

6.6 Çerçeveler ve Makineler Denge Denklemleri. Yapının (çerçeve veya makine) uygun mesnetli ve çökmesini engellemek için yeterli olandan daha fazla eleman veya mesnede sahip olmaması halinde, mesnetlerdeki ve bağlantı noktalarındaki bilinmeyen kuvvetler denge denklemlerinden belirlenebilir. Yapı x, y düzleminde yer alıyorsa, çizilen her bir serbest cisim diyagramı için yükleme ΣFx=0, ΣFy=0 ve ΣMo=0 ı sağlamalıdır. Analiz için kullanılan serbest cisim diyagramlarının seçimi tamamen keyfidir. Bunlar yapının bir parçasını ya da bütününü gösterebilir.

Örnek 6-14 Şekildeki çerçevede, C mafsalının CB elemanına uyguladığı kuvvetin yatay ve düşey bileşenlerini belirleyiniz.

Örnek 6-14 Çözüm I

Örnek 6-14 Çözüm II AB Elemanı BC Elemanı

Örnek 6-15 Şekilde gösterilen bileşik kiriş B de mafsal bağlıdır. Kirişin, ağırlığını ve kalınlığını ihmal ederek, mesnetlerdeki tepkileri belirleyiniz.

Örnek 6-15 BC Parçası AB Parçası

Örnek 6-17 Şekilde gösterilen pürüzsüz disk, D de mafsal bağlıdır ve 20 N luk ağırlığa sahiptir. Diğer elemanların ağırlıklarını ihmal ederek, B ve D mafsallarındaki tepkinin yatay ve düşey bileşenlerini belirleyiniz.

Örnek 6-17 Tüm Çerçeve

Örnek 6-17 AB Elemanı Disk

Örnek 6-18 Şekilde gösterilen sürtünmesiz makara sistemini kullanarak, 600 N luk kuvveti tutmak için gerekli olan iplerdeki çekme kuvvetini ve P kuvvetini belirleyiniz.

Örnek 6-18