BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201
ÖZET Bitirme Tezi E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL Bozok Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN Üç bölümden oluşan bitirme tezinin birinci bölümünde; konunun tarihi gelişimi ifade edildi. İkinci bölümünde; E Öklid -uzayında eğrilerin temel tanım ve teoremleri verildi. Üçüncü bölümde; Öklid -uzayında, helis ve harmonik eğrilik kavramları ifade edildi. Daha sonra helis eğrisinin eğrilikleri cinsinden nasıl karakterize edilebileceği gösterildi. Son olarak helislerle ilgili ilginç uygulamalar verildi. Haziran 201, 20 sayfa Anahtar Kelimeler: Helis, harmonik eğrilik, Öklid -uzayı. 1
TEŞEKKÜR Hasibe ŞENOL Yozgat, Haziran 201 2
İÇİNDEKİLER ÖZET... i TEŞEKKÜR... ii SİMGELER DİZİNİ... iv ŞEKİLLER DİZİNİ... v 1. GİRİŞ... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR... 5. E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALAR..10 KAYNAKLAR... 11 ÖZGEÇMİŞ... 20
SİMGELER DİZİNİ R E Reel sayılar cismi Öklid -uzay. Norm, T N B Eğrilik, torsiyon Teğet vektör alanı Asli normal vektör alanı Binormal vektör alanı Vektörel çarpım 4
ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2.1.1 Sağ dairesel helis..7 5
1. GİRİŞ Eğrilerin diferansiyel geometrisinde, en önemli problemlerden biri regüler bir eğrinin karakterizasyonudur. Bu problemin çözümünde eğriliği ve torsiyonu etkili bir rol oynar. Örneğin: i) 0 ise eğri bir doğrudur, ii) 0 ve 0 ise eğri düzlemseldir, iii) sabit 0 ve 0 ise eğri yarıçapı 1 olan bir çemberdir. Böylece bir eğrinin eğriliğini ve torsiyonunu kullanılarak eğrinin biçimini ve uzunluğunu belirleyebiliriz (Millman ve Parker 1977, Babaarslan 201). Teğet vektörü sabit bir doğrultuyla sabit açı yapan eğrilere genel helis veya sabit eğimli eğri denir. Helislerle ilgili klasik bir sonuç 1802 yılında M. A. Lancret tarafından ifade edilmiş ve ilk olarak 1845 yılında B. de Saint Venant tarafından ispatlanmıştır: Bir eğrinin genel helis olması için gerek ve yeter şart sabit olmasıdır. Eğer sabit > 0 ve sabit 0 ise eğriye dairesel helis denir (Millman ve Parker 1977 Babaarslan 201). Helislerin birçok ilginç uygulamaları vardır. Örneğin; DNA çifti ve kolajen üçlü helis, karbon nano tüpler, helis biçimindeki merdivenler, fraktal geometrideki helis yapılar ve vb. Bu yüzden helisler doğadaki ve bilimdeki en büyüleyici eğrilerden birisidir (İlarslan ve Boyacıoğlu 2008, Munteanu 2010, Babaarslan 201). Bu tez çalışmasında, Öklid -uzayında, helis ve harmonik eğrilik kavramları ifade edildi. Daha sonra helis eğrisinin eğrilikleri cinsinden nasıl karakterize edilebileceği gösterildi. Son olarak helislerle ilgili ilginç uygulamalar verildi. 6
2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde çalışmada sıkça kullanılacak olan temel tanım ve teoremler verildi. 2.1. Öklid -Uzayında Eğriler Tanım 2.1.1. I R bir açık aralık olmak üzere : I E t ( t) ( t), ( t), ( t) 1 2 (2.1.1) şeklinde tanımlı diferansiyellenebilir fonksiyona (O Neill 1997, Babaarslan 201). E Öklid -uzayında bir eğri denir Örnek 2.1.1. : R E t ( t) ( r cos t, r sin t, ht) eğrisi verilsin, burada r 0 ve h 0 dır. Bu eğriye sağ dairesel helis denir ( h 0 ise sol dairesel helistir). Dairesel helisin xy -düzlemine izdüşümü bir çemberdir. ( t) ( r sin t, r cos t, h) 0 olduğundan regüler bir eğridir. nın resmi ( r 1 ve h 1): Şekil 2.1.1 Sağ dairesel helis () t 7
şeklindedir (Millman ve Parker 1977, Babaarslan 201). Teorem 2.1.1., 0 eğriliğine sahip E de birim hızlı bir eğri olsun. T, N, B vektör alanları eğrisinin her noktasında ortonormal vektör alanlarıdır ve eğrisi üzerinde Frenet çatı alanı olarak isimlendirilir (O Neill 1997, Babaarslan 201). 8
. E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Bu bölümde, Öklid -uzayında, helis ve harmonik eğrilik kavramları ifade edildi. Daha sonra helis eğrisinin eğrilikleri cinsinden nasıl karakterize edilebileceği gösterildi. Son olarak helislerle ilgili ilginç uygulamalar verildi. Tanım.1. n M E eğrisi ( I, ) koordinat komşuluğu ile verilsin. s I için () s hız vektörü, bir U sabit vektörü ile sabit açı yapıyorsa, M ye bir helis(eğilim çizgisi) ve span{ U } ya da M eğilim çizgisinin eğilim ekseni denir (Hacısalihoğlu 1998). 9
KAYNAKLAR Babaarslan, M., 201, Sabit Eğimli Yüzeyler ve Uygulamaları. Doktora Tezi, Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, 70s, Ankara. Hacısalihoğlu, H., 2000, Diferensiyel Geometri. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, 269s. Ankara. İlarslan, K., Boyacıoğlu, Ö. 2008. Position vectors of a time-like and a null helix in Minkowski -space. Chaos, Solitons & Fractals 8, 18-189. Millman, R.S. and Parker, G.D. 1977. Elements of Diferential Geometry, Prentice-Hall, 265p. New Jersey. Munteanu, M.I. 2010. From golden spirals to constant slope surfaces, Journal of Mathematical Physics 51 (7), 07507, 1-9. O Neill, B. 1997. Elementary Diferential Geometry Second Edition, Academic Press, Inc., 482p. New York. 10
ÖZGEÇMİŞ 11