Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 6 Haziran 99 Matematik Soruları Ve Çözümleri. Birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en büyük pozitif doğal sayının, birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en küçük pozitif doğal sayıya oranı kaçtır? A) 6 B) 5 C) D) E) Çözüm Birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en büyük pozitif doğal sayı 90 Birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en küçük pozitif doğal sayı 0 90 elde edilir. 0. Bir bidonun ağırlığı boş iken x gram, yarısı su ile dolu iken y gramdır. Bu bidonun tamamı su ile dolu iken toplam ağırlığı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) y x B) x y C) x + y D) y x E) y + x Çözüm Boş bidonun ağırlığı x gram Suyun ağırlığı s gram olsun. x + s y x + s y s y x x + s? x + (y x) x + y x y x elde edilir.. Đki basamaklı ve birbirinden farklı pozitif çift tam sayının toplamı 86 dır. Bu sayılardan en büyüğü en çok kaç olabilir? A) 0 B) 0 C) 50 D) 58 E) 6
Çözüm Diğer üç sayı en küçük seçilirse, dördüncü en büyük olur. (pozitif çift sayı) Buna göre, 0 + + + x 86 x 50 bulunur.. Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı tür. Birler basamağı ile yüzler basamağı değiştirildiğinde oluşan yeni sayı, abc sayısından 97 küçüktür. Buna göre, abc sayısının yüzler basamağı kaçtır? A) B) C) 5 D) 7 E) 9 Çözüm abc sayısının birler basamağı c ab ba 97 (00.a + 0.b + ) (00. + 0.b + a) 97 99.a 96 97 99.a 69 a 7 bulunur. 5. Toplamları 66 olan 8 pozitif doğal sayı vardır. Bunlardan bir kısmının ortalaması 7, ötekinin ortalaması ise 5 dir. Buna göre, ortalaması 7 olan sayılar kaç tanedir? A) B) C) 5 D) 6 E) 7 Çözüm 5 I. Yol x tanesinin ortalaması 7 (8 x) tanesinin ortalaması 5 olsun. x tanesinin toplamı 7x (8 x) tanesinin toplamı 5.(8 x) toplamları 66 7x + 5.(8 x) 66 x 6 x bulunur.
II. Yol Ortalaması 7 olanların sayısı m Ortalaması 5 olanların sayısı n olsun. x + x + x +..... + xm 7.m y + y + y +..... + yn 5.n 7m + 5n 66 m + n 8 m elde edilir. 6. Aylık geliri sabit olan bir kimse, her ay gelirinin ünü A kasasına, ini de B kasasına koymaktadır. x Bu kimsenin 5 ayda her iki kasada biriken paraların toplamı bir aylık gelirine eşit olduğuna göre x kaçtır? A) 8 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5 Çözüm 6 Aylık geliri y olsun. A kasasına y. ve B kasasına y. x 5.( y + y x ) y + x 5 x 5.5 9.5 0 x 0 7. Bir miktar kumaşta eş boyda 9 perde çıkmaktadır. Boyu bunlardan 60 cm daha kısa olan perdelerden ise tane çıkarılmaktadır. Buna göre, toplam kumaş kaç metredir? A), B), C), D),5 E),6
Çözüm 7 Toplam kumaş x metre olsun. (60 cm 0,6 metre) x x + 0,6 9 x 6.0,6 x,6 metre 8. Ardışık iki pozitif tam sayıdan küçük olanın katı ile büyük olanın katının toplamı 07 dir. Buna göre, küçük sayı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) Çözüm 8 Ardışık sayılar, x ve (x + ) olsun. Veriler göre, x +.(x + ) 07 5x 05 x bulunur. 9. 0,6+ 0,6 0,0 0,0 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm 9 0,6+ 0,6 0,0 0,0 6 00 6 00 + 00 00 6 00 6 00 + 00 00 + 0 0 6 0 0 6 0 0 6 0. 0 6 0. x, y, z sıfırdan büyük birer tam sayı ve x + y z 9 olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 5
Çözüm 0 x + y z 9 (x in en küçük değeri için y ve z, mümkün olduğunca büyük değer seçilir.) x 9 (y z) (y z, 9 e en yakın çift sayı seçilmelidir.) O halde, y z 9 olmalıdır. z için y olur. x 9 9 x elde edilir.. a+ b c, b a c c olduğuna göre, kaçtır? a A) 7 B) 5 C) D) E) Çözüm a+ b c b a c a + b c b a c (.işlemi ( ) ile çarpıp, taraf tarafa toplayalım.) 5a c c 5 a. a + b ve a b sayıları aralarında asal olmak üzere a² nin değeri kaçtır? b² a+ b a b 7 olduğuna göre, 7 8 A) 9 B) 9 C) 5 D) 9 E) 5 05
Çözüm a + b ve a b aralarında asal olmak üzere, 7 ve 7 de aralarında asal olduğundan, a + b 7 a b 7 olur.(taraf tarafa toplarsak) a a ve b 5 bulunur. a b b² a² b² ( b a).( b+ a) b² ( 5 ).(5+ ) 5² ( 7).7 5 9 5. x, y pozitif tam sayılar ve y < 6, xy x y 5 olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) D) E) 0 Çözüm x, y Z +, y < 6 0 < y < 6 aralığındadır. y {,,,, 5} xy x y 5 xy x 5y x 5y y y için x 5. x 0 olur.. 9 x² 6x+ 9 (x + a)² olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 5
Çözüm 9 x² 6x+ 9 ( x )² ² x ( )² x ( )² (x + a)² a x x + a a x x a x x 5. 6 x+ x+ olduğuna göre, x+ in değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 6 Çözüm 5 6 x+ x+ 6 x.6 x. (.) x.6 x.9 x. x.6 x.9 x.6 9 x 9 6 x+ x.. x y 6. x² y² 5 ve y x 6 olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? A) B) C) D) 5 E) 6 Çözüm 6 x² y² 5 (x y).(x + y) 5 x y y x 6 x-y. -.(y-x) ² x-y-(y-x) x-y-y+x x-y (x-y) ².(x y) x y bulunur. (x y).(x + y) 5 olduğuna göre,.(x + y) 5 x + y 5 elde edilir.
7. 99 x (mod 5) olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) E) E) 7 Çözüm 7 ¹ (mod 5) ² (mod 5) ³ (mod 5) (mod 5) ( ) 98 99 98 (mod 5) 99 99+ 99.² 99.². (mod 5) 8. Tam sayılar kümesi üzerinde her a ve b için a b a b işlemi tanımlanmıştır. k 7 5 olduğuna göre, k kaçtır? A) B) C) D) E) 5 Çözüm 8 k 7 5 a b a b olduğuna göre,.k 7.5.k 7 - k 9. E evrensel küme olmak üzere, s(e) 9 s(a B) s(a B) 6 s(b) olduğuna göre, A kümesinin tümleyeni olan A kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E)
Çözüm 9 s(b A) s(b) s(a B) s(a B) s(e) s(a B) 9 6 s(a ) s(b A) + s(a B) + 0. x R olmak üzere, x 0 + x + 5 ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 5 B) 8 C) 0 D) 5 E) 0 Çözüm 0 x 0 + x + 5 x 0 0 x 0 x 5 için en küçük olur. x 0 + x + 5. 5-0 +. 5 + 5 0 + 0 0 bulunur.. x³ x² x + 0 denkleminin kökleri, b, c dir. Buna göre, b + c toplamı kaçtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) E) Çözüm kökler toplamı : + b + c ( ) b + c Kökler çarpımı :.b.c b.c (b + c)² b² +.b.c + c² olduğuna göre, ² b² +.( ) +c² b² + c² 7
Not : ax³ + bx² + cx + d 0 şeklinde verilen üçüncü derece denklemde, Denklemin kökleri toplamı, x + x + x Denklemin kökleri çarpımı, x.x.x d a b a x+. log (9. ) x + denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {, } B) {0, } C) {0} D) {} E) {} Çözüm log (9. x+ ) x+ x + log (². ) x+ 5 x + log ( ) x + x +5 + x x + 5 x + x x {} olur.. f (x) log x ( gof )( x) x + olduğuna göre, g (x) aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) x - C) x + D) x + E) x - Çözüm ( gof )( x) g ( f ( x)) x + g (log x) x + log x y olsun. y x y x g (log x) g (y) y + g (x) x +. P(x ) (x² + ).Q(x ) x eşitliği verilmiştir. P(x) polinomunun (x ) ile bölümünden kalan 0 olduğuna göre, Q(x) polinomunun (x ) ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) C) D) E)
Çözüm Verilere göre, x 0 x P() 0 x 0 x Q()? x x 5 için, P(5 ) (5² + ).Q(5 ) 5 P() 6.Q() 6 0 6.Q() 6 Q() olur. 5. A, B, C, D, E noktaları düzlemseldir. AE BD m(cae) 8 m(cbd) α Yukarıdaki verilere göre, m(cbd) α kaç derecedir? A) 5 B) 50 C) 8 D) 6 E) Çözüm 5 AD çizelim. s(d) 90 (AE BD) s(bad) 80 8 6 α 6 + 90 5 bulunur. Not : Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
6. ABCD bir kare F [DT] CE EF FB Yukarıdaki verilere göre, A( FBT ) A( DBF) oranı kaçtır? A) 5 B) C) D) E) Çözüm 6 CE EF FB x olsun. x TBF TAD TB olur. Alan (FBT) x x. x² Alan (DBF) x. x x² bulunur. A( FBT ) A( DBF) x² x² x ². x ² elde edilir.
7. ABC bir dik üçgen ACE bir dik üçgen AE açıortay AE 0 cm AC 5 cm CE x cm Yukarıdaki verilere göre CE x kaç cm dir? A) 6 B) 5 C) 5 5 D) 5 E) 5 Çözüm 7 s(bad) s(cad) a olsun. (AE açıortay) s(aec) b olsun. (a + b 90) s(adb) b olur. (a + b 90) s(adb) b s(cde) b (iç ters açı) O halde, DCE üçgeni ikizkenar olur. ABC dik üçgeninde, 5² CB ² + 0² (pisagor) CB 5 5 bulunur. ABC dik üçgeninde, açıortay teoremine göre, AB BD 0 5 5 x AC DC 5 x x.5 5 x 5x.5 5 x 5 elde edilir.
8. O merkezli [AB] çaplı yarım çember C AB yayı D AB yayı [OC] [AD] m(dab) 0 Yukarıdaki verilere göre, m(ocb) α kaç derecedir? A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E) 50 Çözüm 8 O merkez ise, OB OC BOC üçgeni ikizkenar üçgen olur. m(ocb) m(obc) α m(coa) α + α α AEO dik üçgeninde, 0 + α 90 α 5 Not : Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. 9. ABC eşkenar üçgen AC 6 cm OB OD 7 cm CT x cm Şekildeki merkezi [AB] üzerinde olan, O merkezli, [BD] çaplı yarım çember, CD doğrusuna T de teğettir. Buna göre, CT x kaç cm dir? A) 0 B) C) D) E)
Çözüm 9 AC BC 6 (ABC eşkenar üçgen) DH çizelim. s(b) 60 (ABC eşkenar üçgen) s(h) 90 (çapı gören çevre açı 90 dir.) DBH, 0 60 90 özel üçgeni olduğundan, BH 7 olur. BC 6 olduğundan, HC 6 7 9 bulunur. Çemberde kuvvetten, TC ² CH. CB x² 9.6 x 0. Şekildeki merkezi O, yarıçapı birim olan dörtte bir çember içine çizilen M merkezli, r yarıçaplı çember [OC] ye D de, [OA] ya E de ve [OC] [OA] olduğuna göre, DM r kaç birimdir? CA ya F de teğettir. A) B) C) D) E)
Çözüm 0 M merkezli, r yarıçaplı çember [OC] ye D de teğet ve [OA] ya E de teğet olduğuna göre, s(d) 90 ve s(e) 90 olur. OE OD ME MD r MF OM r (pisagor) M merkezli, r yarıçaplı çember CA yayına F de teğet olduğundan, s(f) 90 olur. OA OF OF OM + MF r + r r + r + +. ( )² ² olarak bulunur.. r yarıçaplı bir çember içine bir kenar uzunluğu r olan bir düzgün çokgen çizilmiştir. Buna göre, düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır? A) 0 B) 8 C) 5 D) E)
Çözüm Düzgün çokgenlerin çevrel çemberleri çizilebilir. OA OB OC r AB BC r s(aob) s(boc) x olsun. AOB üçgeninde, kosinüs teoremine göre, ( r )² r² + r².r.r.cosx ( ).r² r.( cosx) cosx x 0 bulunur. Kenar sayısı 60 60 olarak bulunur. x 0. AB birim FC x Şekildeki ABCD ve ADEF kareleri birbirine dik ve eşittir. AB birim olduğuna göre, FC x kaç birimdir? A) B) C) 5 D) E) 5
Çözüm I. Yol ABCD ve ADEF kareleri birbirine dik ve eşit olduğuna göre, şekil, bir kenarı birim olan küpün bir kısmıdır. Burada, FC x küpün köşegenidir. FC x ² + ² + ² II. Yol ABCD karesinin köşegeni AC AC ² AB ² + BC ² (pisagor) AC ² ² + ² AC ABCD ve ADEF kareleri birbirine dik olduğuna göre, oluşan FAC dik üçgeninde, x² ² + ( )² x² 6 + 6. x² 6. x. cosx sinx olduğuna göre, cosx in değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 7 B) C) D) E)
Çözüm cosx sinx (cosx sinx)² ( )² cos²x.cosx.sinx + sin²x sinx (sin²x + cos²x ve.sinx.cosx sinx) sinx sinx cosx 7. ABC bir ikizkenar dik üçgen BD AC cm OA OC OD x cm Yukarıdaki verilere göre, OD x kaç cm dir? A) B) C) 5 D) E) 5
Çözüm I. Yol ABC bir ikizkenar dik üçgen ve AC cm olduğuna göre, AB BC (pisagor) s(bac) s(bca) 5 AO OC DB DC olur. OH DB çizelim. OHC ikizkenar dik üçgen olacağından, OC OH HC (pisagor) DH DC + CH + DHO dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, x² ( )² + ( )² + + 5 x² 5 x 5 elde edilir.
II. Yol ABC bir ikizkenar dik üçgen ve AC cm olduğuna göre, AB BC (pisagor) s(bac) s(bca) 5 AO OC DB DC olur. DOC üçgeninde, kosinüs teoremine göre, x² ² + ( )²..( ).cos5 x² + +.( ). x² 7 + x² 5 x 5 elde edilir. 5. i olduğuna göre, i i 0 i determinantının değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir? 0 i i A) i B) i + C) i D) 0 E) Çözüm 5 I. Yol 0 0 i i i i i.( ) +. i i i i i i.i i.(i ) i i + i i +
II. Yol i i 0 i, Saruss kuralına göre, 0 i i 0 0 0 i i i i i i i i + + +..i + 0.i.(i ) + 0.i.(i ) 0.i.i.i.(i ) 0..(i ) i i + i i + 6. z + i 0 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayıların geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) (x )² + (y )² 6 B) (x )² + (y )² 6 C) (x + )² + (y )² 00 D) (x )² + (y )² 8 E) (x )² + (y )² Çözüm 6 z x + iy olsun. x + iy + i (x + ) + (y ).i 0 ( x + )² + ( y )² 0 (x + )² + (y )² 00 7. A {a, c, d} B {a, b, c, d, e, f, g} olduğuna göre, B nin alt kümelerinin kaç tanesi A kümesini kapsar? A) 6 B) C) 8 D) 96 E)
Çözüm 7 A {a, c, d} B {a, b, c, d, e, f, g} B A {b, e, f, g} s(b A) olur. B A kümesinin alt kümelerinin sayısı, s(b-a) 6 (B A) A B olduğu için, B A kümesinin bu 6 alt kümesine A kümesi ilave edilirse, B kümesinin alt kümelerinden 6 tanesi A kümesini kapsar. 0 8. n 8 m (mn n) ifadesinin değeri kaçtır? A) 79 B) 6 C) 0 D) 6 E) 76 Çözüm 8 0 n 8 m 0 (mn n) n 8 [ m (mn n)] 8 [ m 0 n (mn n)] (n n).(n n).(n n)..... (8n n) 0 0 0 olarak bulunur. 9. Yaşları toplamı 8 olan 6 kardeşin yaşları toplamı aritmetik dizi oluşturmaktadır. En küçük kardeş yaşında olduğuna göre, en büyük kardeşin yaşı kaçtır? A) 9 B) C) D) 5 E)7 Çözüm 9 Aritmetik dizinin ortak farkı r olsun. Buna göre, {, + r, + r, + r, + r, + 5r } olur. + ( + r) + ( + r) + ( + r) + ( + r) + ( + 5r) 8 r En büyük kardeşin yaşı + 5r + 5. + 0 elde edilir.
0. I, türünde birim matrisi ve A sonucu aşağıdaki matrislerden hangisidir? olduğuna göre, A² A + I işleminin 6 A) 8 8 6 B) 6 9 5 C) 8 5 D) 8 6 E) 6 Çözüm 0 I. Yol A² A + I (A - I)² 0 0 0 (. )² ( 0 )² ( 0 )² ( 0 )². ( ).( ) +. ( ).+..( ) +..+. 5 8 II. Yol A² A + I.. 0 +. 0.+..+..+..+. 8 8 6 0 + 0 5 0 0 0 8 8 6 0 + 0 5 + 0 8+ 0 0 8+ 0 0 6+ 5 8. x³ x² lim x x² aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) 0 D) E) 6 Çözüm x³ x² lim x x² ³.² ² 7 7 0 0 olur. 9 6
sin x. lim sin x x π değeri kaçtır? A) B) C) 8 D) 6 E) 8 Çözüm sin x 0 lim olduğuna göre L hospital uygulanırsa, x π sin x 0 (sin x )' lim (sin x)' x π.sinx.cosx lim π.cos x x π π.sin.cos π.cos...( ). x+ 5 lim x + x+ x değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) e D) e E) e Çözüm I. Yol x+ 5 lim x + x+ x lim + x + x+ x. e e Not : lim + x + a bx + c dx+ f a.d e b
II. Yol x+ 5 lim x + x+ x lim + x + x+ x x + y diyelim. x y + x y 7 olur. lim + y + y y 7 lim + y + y y 7 lim (+ ) y + y y.(+ ) y 7 e. e Not : x x lim + e + x III. Yol x için belirsizliği vardır. x+ 5 x+ + x+ U(x) x+, V(x) x olsun. limu ( x) x + lim x + x+ 0 ve limv ( x) x + lim x x + + lim [ U ( x). V ( x)] x + lim [( ).(x )] x + x+ 8x lim x + x+ olduğundan, x+ 5 lim x + x+ x lim[+u ( x)] x + V ( x) e olarak bulunur.
IV. Yol x için belirsizliği vardır. y x+ 5 x+ x x+ 5 lny ln x+ x x+ 5 lny (x ).ln x+ lny x+ 5 ln x+ x lim lny x lim x x+ 5 ln x+ x x için 0 0 belirsizliği vardır L Hospital kuralına göre, lim x.(x+ ).(x+ 5) (x+ )² x+ 5 x+ (x )² lim x (x+ ).(x+ 5) (x )² lim x 6x² 8x+ x² + 6x+ 5 lim lny x ln( lim y) x lim y e x Not : belirsizliği için, pay ve paydanın dereceleri eşitse en büyük dereceli terimlerin katsayılarının oranı limittir. paydanın derecesi büyükse limit sıfırdır. payın derecesi büyükse limit + veya dur.
Not : belirsizliği için, limu ( x) x + 0, limv ( x) x + + lim [ U ( x). V ( x)] x + α lim [+U ( x)] x + V ( x) e α. f (x) ln(x ) olduğuna göre, f (0) + ( f )'(0) kaçtır? A) B) C) 0 D) E) Çözüm y ln(x ) e y x x (x y) f ( x) x e +.(e x + ) y e + f ( x).(e x + ) f (0).(e + ) f ( y) ( f (x) y f ( y ) x) f ( x).(e x + ) [ ( x f ) ] [.(e x + )].e x [ f ( x) ].e x ( f )'(0).e O halde, f (0) + ( f )'(0) + olarak hesaplanır. 5. Denklemi f (x) x² + mx x olması için, m kaç olmalıdır? olan fonksiyonun x noktasında ekstremum noktasının A) B) C) D) 5 E) 6
Çözüm 5 f '() 0 olmalıdır. f (x) x² + mx x f '( x) ( x² + mx)'.( x ) ( x )'.( x² + mx) ( x )² (x+ m).( x ) ( x² + mx) ( x )² x² x m ( x )² ². m 0 ². m 0 9 6 m m ( )² 6. Şekildeki denklemi x² + y² 9 olan dörtte bir çemberin B noktasının x ekseni üzerindeki dik izdüşümü A(x, 0) noktasıdır. Buna göre, OAB üçgeninin alanı x in hangi değeri için en büyüktür? A) B) C) D) E)
Çözüm 6 x² + y² 9 y 9 x² AO x OB AB 9 x² (pisagor) Alan(OAB) x. 9 x².x. 9 x² [Alan(OAB)] 0 olmalıdır. [Alan(OAB)] [.x. 9 x² ].[x.( 9 x² ) + ( 9 x² ).x] x².[ 9 x² - 9 x² 9 x² x² 9 x² ].[ ].[ 9 x² 9 x² ] 0 9 x² 0 x² 9 x² 9 x x a 7. π (sin x cos x)dx olduğuna göre, a nın değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 8 π B) 6 π C) π D) π E) π
Çözüm 7 sin x cos x (sin²x + cos²x).(sin²x cos²x).(sin²x cos²x) sin²x cos²x sin²x cos²x (cos²x sin²x) cosx a π (sin x cos x)dx a ( cos x) dx a cos x dx π π sin x. a sinx π a π π sina sin. Sina + sin 6 π + sina sin π a π a π + 8. x dx integralinde u x x dönüşümü yapılırsa, aşağıdakilerden hangisi elde edilir? + A) u u + u + u + u u.(+ u) du B) du C) u du D) u du E) du u u Çözüm 8 u x u² x (türevini alalım.) (u)du dx verilen denklemde yerine yazalım. + x + u dx.(u). du x u u.(+ u) du olarak bulunur. u
9. Şekildeki AB doğrusu P(, ) noktasından geçmektedir. OB. OA olduğuna göre, B noktasından AB doğrusuna çizilen dik doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 8x + y 0 B) y + x 6 0 C) y + x 0 D) y + 8x 9 0 E) y + x 0 Çözüm 9 OB. OA OB.OA eğim OA OA (eğim tanα x y ) BH eğim PH BH BH olur. O halde, B(0, ) noktası bulunur. Dik doğrunun eğimi ( n m. m ) olur. d Eğimi olan B(0, ) noktasından geçen doğrunun denklemi, y.(x 0) y 6 x x + y 6 0
Not : Đki doğru dikse, eğimleri çarpımı ( ) e eşittir. Şekilde b 90 + a a b 90 d doğrusunun eğimi tana m d doğrusunun eğimi tanb m ise m tana tan(b 90) tan( (90 b)) m tan(90 b) cotb tanb m m m m.m elde edilir. O halde, d d m.m olur. Not : Eğimi m olan ve A(x, y ) noktasından geçen doğrunun denklemi, y y m.(x x ) 50. A(, 0, ) noktasından geçen ve N (,, ) vektörüne dik olan düzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x + y z 0 B) x y + z 0 C) x + y + z 0 D) x y + z 0 E) x y z 0 Çözüm 50 A( x, y, z ) noktasından geçen ve N [a, b, c] vektörüne dik olan düzlemin denklemi, a.(x x ) + b.(y y ) + c.(z z ) 0 olduğuna göre, ( ).(x ) + ( ).(y 0) +.(z ( )) 0 x + y z 0 olur.
Not : Üç boyutlu (R³) uzayda, A( x, y, z ) noktasından geçen ve N [a, b, c] vektörüne dik olan düzlemin denklemi için, Düzlem üzerinde değişken noktalar P(x, y, z) olsun. AP [(x x ), (y y ), (z z )] olur. Düzlem N [a, b, c] vektörüne dik olduğuna göre, N AP N.AP 0 a.(x x ) + b.(y y ) + c.(z z ) 0 olur. 5. Denklemleri d : d : x + y z x a y z olan doğrunun birbirine dik durumlu olması için a kaç olmalıdır? A) B) C) D) E) 5 Çözüm 5 d : x + y z doğrusunun konum vektörü, [,, ] d : x a y z doğrusunun konum vektörü, [a,, ] d d [,, ].[a,, ] 0 ( ).a +. + ( ).( ) 0 a 5
5. R te aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır? A) Paralel iki doğrudan birine paralel olan doğru, diğerine de paraleldir. B) Birbirine paralel üç doğru düzlemsel olmayabilir. C) Paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru, diğerini de keser. D) Bir noktadan geçen ve bir düzleme paralel olan bir tane düzlem vardır. E) Đki noktadan geçen ve bir düzleme dik olan bir düzlem vardır. Çözüm 5 C seçeneğinde, R³ te paralel iki doğrudan birini kesen doğru farklı düzlemlerde olabileceklerinden diğerini kesmeyebilir. d // d olduğu halde k doğrusu d doğrusunu kesmeyebilir. Bu yüzden söz konusu ifade yanlıştır. Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA