. Ua çerçeve örnek çöümleri. Ua çerçeve örnek çöümleri Ua çerçeve eleman sonlu elemanlar metodunun en karmaşık elemanıdır. Bunun nedenleri: ) Her eleman için erel eksen takımı seçilmesi gerekir. Elemanın hangi ucunun orijin olacağına karar verilir. Teorinin gereği ekseni daima orijin noktasından diğer uca doğru önlenmiştir. ekseninin hangi önde olacağına karar verilir. ekseninin önü sağ koordinat sistemi olacak şekilde belirlenir. ) Elemanın uada konumunun belirlenmesi için iki ucunun koordinatları etme, bir üçüncü ardımcı nokta ve koordinatlarına gereksinim vardır. Bu ardımcı nokta erel ekseninin önünü ve bulunduğu dülemi tanımlamak için kullanılır. Bu noktanın seçimi erel, eksenlerinin önünü belirler, başkaca bir görevi oktur ) Dış ükler her eksen önünde ve etrafında tekil vea aılı olabilir. 4) Her ucunda 6 tane iç kuvvet vardır: Eksenel kuvvet, kesme, moment ve bir burulma momenti. 5) Kesit alanının, kesitin iki ekseni etrafındaki atalet momentlerinin ve burulma atalet momentinin bilinmesi gerekir. 6) Mesnet noktalarında her eksen doğrultusunda er değiştirme ve her eksen etrafında dönme önlenmişönlenmemiş a da baıları önlenmişönlenmemiş olabilir. 7) Veri haırlamak ordur. Örneğin eksenlerin ve atalet momentlerinin karıştırılması sıkça apılan bir hatadır. 8) Sonuçların orumlanması ordur, örneğin bir eksen önündeki kesme kuvveti erine diğer eksen önündekinin alınması vea bir eksen etrafındaki moment erine diğerinin alınması vea momentin işaretinin anlış orumlanması sıkça karşılaşılan hatalardır. Hata olasılığını aalmak için öellikle ardımcı nokta ve erel eksenlerin seçimi, bu eksenler ile atalet momentlerinin ilişkisinin ve iç kuvvetlerin poitif önlerinin ii kavranması gerekir. Karmaşık sistemlerde ua düşünmek orlaşır. Bu nedenle önce çok basit bir örneğin farklı ükler için çöümlerini verelim.. Yerel orijin ŝ ŝ 4 Yardımcı üçüncü nokta ve genel koordinatları ŝ ŝ 5 ŝ 6 ŝ ŝ ŝ 8 ŝ ŝ ŝ 7 erel ekseninin bulunduğu dülem ŝ 9 Örnek.a: Aşağıda perspektif çiimi ve modeli görülen iki elemanlı ua çerçeve C4/5 betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine dik, kesitler 5/5 cm dir. noktasındaki ük Z eksenine paraleldir. Yerel eksenler elemanlar üerinde gösterilmiştir. İç kuvvet diagramları çiilecektir. nolu elemanın erel ekseninin 5 noktalarının belirlediği düşe dülemde olduğunu tanımlaabilmek için gerekli 5 nolu nokta ve genel koordinatları Ankastre mesnet Tüm er değiştirmeler (=6 tane) tutuludur m Konsol kiriş(perspektif) kn m b=.5 Kesit h=.5 m nolu elemanın erel ekseninin 4 noktalarının belirlediği ata dülemde olduğunu tanımlaabilmek için gerekli 4 nolu nokta ve genel koordinatları Genel eksenler Yerel eksenler Z Y X kn 4(,,) m Konsol kiriş(model) m 5(,,) Modelde ardımcı 4 noktasının koordinatları (4,,) olarak seçilmiştir. Bu koordinatlar incelenirse, 4 noktalarının tanımladığı dülemin ata olduğu ve. elemanın erel ekseninin bu dülemde ve 4 noktası tarafına önlendiği anlaşılır. Yardımcı 5 noktasının koordinatları (,,) olarak seçilmiştir. Bu koordinatlar incelenirse, 5 noktalarının tanımladığı dülemin düşe olduğu ve. elemanın erel ekseninin bu dülemde ve 4 noktası tarafına önlendiği anlaşılır. Atalet momentlerinin hesaplanması, elman üerindeki üklerin tanımlanması ve sonuçların orumlanması bu eksenlere göre apılmak orundadır 4 noktasının koordinatları (,,) olarak da seçilebilirdi. Bu durumda. elemanın erel ekseninin bulunduğu ata dülem değişme, fakat ekseninin önü değişirdi. 5 noktasının koordinatları (,,) olarak da seçilebilirdi. Bu durumda. elemanın erel ekseni anı düşe dülemde olurdu ve ekseninin önü değişmedi. Çok elemanlı karmaşık sistemlerde ardımcı nokta seçimi orluk aratır. Yaılımlarda kullanıcıa kolalık sağlaan başka ollar da vardır. Örneğin erel ekseninin genel eksenlerden birinin önünde vea tesri önünde olduğunu belirtmek bir diğer ve daha basit bir oldur. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangai Üniversitesi, 56, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Safa 47
. Ua çerçeve örnek çöümleri Elastisite modülü: E=4.55. 6 kn/m, Poisson oranı: υ=. Kesit alanı: A=.5..5=.5 m Eğilme atalet momenti: I =.5..5 /=6.5. 4 m 4 erel eksenine göre I =.5..5 /=6.4. 4 m 4 erel eksenine göre Burulma atalet momenti: <h olduğundan: = = (.6 +.5" Sınır koşulları:, 4, 5 noktaları hiçbir er değiştirme apama. "=#.$ #.&$ (.6 #.&$ #.$ +.5#.&$" #.$ ")=7.84 +,, Bak: EK5 4 noktası. elemanın. noktasıdır, erel ekseninin 4 noktalarının tanımladığı ata dülemde olduğunu ve 4 noktası tarafına önlendiğini belirtmek için gereklidir. Bunun dışında bir ararı oktur. 5 noktası. elemanın. noktasıdır, erel ekseninin 5 noktalarının tanımladığı düşe dülemde olduğunu ve 5 noktası tarafına önlendiğini belirtmek için gereklidir. Bunun dışında bir ararı oktur. 4 ve 5 noktalarının tüm er değiştirmelerinin tutulması gerekir, aksi halde denklem sistemi tekil olur. Eksenel önünde kesme önünde kesme etrafında burulma etrafında moment etrafında moment kn knm Reaksionlar kn V (her erde sıfır) M Burulma(her erde sıfır) Yukarıdaki diagramlar SEM işaret kuralına göre çiilmiştir. Sistem iostatiktir, iç kuvvetler elle hesaplanabilir. Kama modülü=.= / &() nin hesabı için gereklidir. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangai Üniversitesi, 56, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Safa 48
. Ua çerçeve örnek çöümleri Örnek.b: Aşağıda perspektif çiimi ve modeli görülen iki elemanlı ua çerçeve C4/5 betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine dik, kesitler 5/5 cm dir. noktasındaki ük Y eksenine paraleldir. Yerel eksenler elemanlar üerinde gösterilmiştir. İç kuvvet diagramları çiilecektir. 5(,,) Ankastre mesnet Tüm er değiştirmeler (=6 tane) tutuludur Z Y X 4(,,) kn m Konsol kiriş(model) m Bu sistemin.a örneğinden tek farkı dış ükün etkime önüdür. Kesit alanı, atalet momentleri ve sınır koşulları.a örneğindeki gibidir. kn kn Normal kuvvet(her erde sıfır) + knm M (Burulma) M (her erde sıfır) knm Yukarıdaki diagramlar SEM işaret kuralına göre çiilmiştir. Sistem iostatiktir, iç kuvvetler elle hesaplanabilir. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangai Üniversitesi, 56, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Safa 49
. Ua çerçeve örnek çöümleri Örnek.c: Aşağıda perspektif çiimi ve modeli görülen iki elemanlı ua çerçeve C4/5 betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine dik, kesitler 5/5 cm dir. noktasındaki ük X eksenine paraleldir. Yerel eksenler elemanlar üerinde gösterilmiştir. İç kuvvet diagramları çiilecektir. m h=.5 m m Bu sistemin.a örneğinden tek farkı dış ükün etkime önüdür. Kesit alanı, atalet momentleri ve sınır koşulları.a örneğindeki gibidir. kn M Burulma(her erde sıfır) knm Yukarıdaki diagramlar SEM işaret kuralına göre çiilmiştir. Sistem iostatiktir, iç kuvvetler elle hesaplanabilir. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangai Üniversitesi, 56, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Safa 5
. Ua çerçeve örnek çöümleri Örnek.d: Aşağıda perspektif çiimi ve modeli görülen iki elemanlı ua çerçeve C4/5 betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine dik, kesitleri 55 cm dir. noktasındaki ükler X, Y, Z eksenlerine paraleldir. Yerel eksenler elemanlar üerinde gösterilmiştir. İç kuvvet diagramları çiilecektir. m h=.5 m m Bu sistemin.a örneğinden tek farkı noktasındaki üklerdir. Kesit atalet momentleri ve sınır koşulları.a örneğindeki gibidir. knm kn knm kn knm kn Reaksionlar kn kn + knm + knm M Yukarıdaki diagramlar SEM işaret kuralına göre çiilmiştir. Sistem iostatiktir, iç kuvvetler elle hesaplanabilir. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangai Üniversitesi, 56, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Safa 5
. Ua çerçeve örnek çöümleri Örnek.e(ödev): Aşağıda perspektif çiimi ve modeli görülen iki elemanlı ua çerçeve C4/5 betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine dik, kesitleri 55 cm dir. Dügün aılı ük XZ dülemindedir. Yerel eksenler elemanlar üerinde gösterilmiştir. Eleman kuvvetleri, reaksionlar ve er değiştirmelere aşağıda verilmiştir. İç kuvvet diagramlarını çiini. 5(,,) kn/m m b=.5 Kesit Z Y X 4(,,) kn/m m Konsol kiriş(perspektif) Konsol kiriş(model) Örnek.f(ödev): Aşağıda perspektif çiimi ve modeli görülen iki elemanlı ua çerçeve C4/5 betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine dik, kesitleri 55 cm dir. Dügün aılı ük XY dülemindedir. Yerel eksenler elemanlar üerinde gösterilmiştir. Eleman kuvvetleri, reaksionlar ve er değiştirmelere aşağıda verilmiştir. İç kuvvet diagramlarını çiini.. m h=.5 m m Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangai Üniversitesi, 56, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Safa 5
. Ua çerçeve örnek çöümleri Örnek.g(ödev): Aşağıda perspektif çiimi ve modeli görülen iki elemanlı ua çerçeve C4/5 betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine dik, kesitleri 55 cm dir. Dügün aılı ükler XZ ve XY dülemindedir. Yerel eksenler elemanlar üerinde gösterilmiştir. Eleman kuvvetleri, reaksionlar ve er değiştirmelere aşağıda verilmiştir. İç kuvvet diagramlarını çiini. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangai Üniversitesi, 56, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Safa 5
Örnek.: Sağda perspektif çiimi görülen ua çerçeve C5/ betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine diktir. Yükler kirişlere diktir. Kirişlerin kesiti 5/6 cm, kolonun kesiti /6 cm dir. Yerel eksenler elemanlar üerinde gösterilmiştir. Eleman kuvvetlerini ve er değiştirmeleri hesaplanacaktır.. Ua çerçeve örnek çöümleri Elastisite modülü: E= N/mm (TS 5 den)=. 6 kn/m Poisson oranı: υ=.5 Kesit bilgileri(5.6 m kesitlerde): Kesit alanı: A=.5..6=.5 m Eğilme atalet momenti: I =.6..5 /=7.8. 4 m 4, I =.5..6 /=45. 4 m 4 Burulma atalet momenti: 4 (.6 #.&$ #. +.5#.&$" #. ")= +,, Bak: EK5 <h olduğundan: = (.6 +.5" "=#. #.&$ Kesit bilgileri(.6 m kesitlerde): Kesit alanı: A=...6=.8 m, Eğilme atalet momenti: I =.6.. /=.5. 4 m 4, I =...6 /=54. 4 m 4 Burulma atalet momenti:<h olduğundan: = (.6 +.5" (.6 #. ")=#. #. #. +.5#." #. ")=7 +, m, Sınır koşulları:,, 4 mesnet noktaları ve ardımcı 5 noktası hiçbir önde er değiştireme 5 noktası. ve. elemanın erel eksenlerinin önünü ukarı doğru tanımlaabilmek için gereklidir. Bu noktanın er değiştirmeleri tutulmalıdır, aksi halde tekilliğe neden olur.. elemanın ardımcı noktası dir. m 6 kn 5/6 m Z. ve. elemanın erel ekseninin ukarı doğru tanımlanabilmesi için gerekli nokta /6 5(,,) Y X 6 m 5/6 6 kn/m Yardımcı noktaa ait Yardımcı noktaa ait 88.45 Kama modülü=.= / &() nin hesabı için gereklidir. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangai Üniversitesi, 56, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Safa 54
. Ua çerçeve örnek çöümleri Örnek.(ödev): Aşağıda perspektif çiimi görülen ua çerçeve C4/5 betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine diktir. Yükler kirişlere diktir. Tüm elemanların kesiti 5/5 cm dir. Kesitlerin duruşu ve erel eksenler elemanlar üerinde gösterilmiştir. Eleman kuvvetleri hesaplanarak aşağıda verilmiştir.. ve 5. elemanın iç kuvvetlerini. örneğindeki gibi çiini. 5.. elemanın erel ekseninin 49 noktalarının belirlediği dülemde ve noktasına doğru önlendiğini belirtebilmek için gerekli nokta 5 kn kn/m (,,4) 4 4 5 5 8 6 8 9 9 7 5 kn kn/m 6 7 Y m m Z X 6 m Elastisite modülü: E=4 N/mm (TS 5 den)=4. 6 kn/m Poisson oranı: υ=. Kesit bilgileri: Kesit alanı: A=.5..5=.5 m, Eğilme atalet momenti: I =.5..5 /=6.5. 4 m 4, I =.5..5 /=6.4. 4 m 4 Burulma atalet momenti: <h olduğundan: = (.6 +.5" (.6 #.&$ "=#.$ #.&$ #.$ +.5#.&$" #.$ ")=7.88 +,, Bak: EK5 Sınır koşulları:,, 6, 7 noktaları eksenler önünde er değiştireme, fakat eksenler etrafında dönebilir. noktası hiçbir er değiştirme apama.. nokta 5. elemanın. noktasıdır, erel ekseninin 49 düleminde olduğunu ve noktası tarafına önlendiğini tanımlamak için gereklidir. Diğer elemanlar için. nokta tanımlamaa gerek oktur, sistemin mevcut noktaları bu amaç için kullanılabilir. Örneğin,. elemanın. noktası noktası,. elemanın. noktası 7 noktası,. elemanın. noktası noktası, olarak kullanılabilir. Kama modülü=.= / &() nin hesabı için gereklidir. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangai Üniversitesi, 56, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Safa 55
. Ua çerçeve örnek çöümleri Yardımcı noktaa ait Yardımcı noktaa ait Örnek.4(ödev): Aşağıda perspektif modeli ve planda görünümü verilen ua çerçeve C/7 betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine dik, kesitler 5/5 cm dir. Yükler kirişlere diktir. Yerel eksenler elemanlar üerinde gösterilmiştir. Z genel ekseni üerindeki kolonun erel ekseni X genel ekseni ile 45 açı apmaktadır(dönük kolon). Eleman kuvvetleri, reaksionlar ve er değiştirmeler aşağıda verilmiştir. nolu elemanın iç kuvvetlerini örnek. e bener şekilde çiini. h=.5 m ˆ.5.5 m m noktası dönük kolonun erel ekseninin bulunduğu dülemi ve önünü belirlemek için tanımlanmıştır. Bu noktanın tüm er değiştirmelerinin tutulması gerekir, aksi halde denklem sistemi tekil olur. Diğer elemanlar için ardımcı nokta tanımlamaa gerek oktur, çünkü erel eksenleri genel eksenlere paraleldir, bu bilgi eterlidir. Atalet momentlerinin hesaplanması, eleman üerindeki üklerin tanımlanması ve sonuçların orumlanması erel eksenlere göre apılmak orundadır Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangai Üniversitesi, 56, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Safa 56
. Ua çerçeve örnek çöümleri Elastisite modülü: E=.8. 6 kn/m Poisson oranı: υ=. Kesit alanı: A=.5..5=.5 m Eğilme atalet momenti: I =.5..5 /=6.5. 4 m 4 I =.5..5 /=6.4. 4 m 4 Burulma atalet momenti: Modeldeki eksenine göre Modeldeki eksenine göre <h olduğundan: = (.6 +.5" (.6 #.&$ "=#.$ #.&$ #.$ +.5#.&$" #.$ ")=7.84 +,, Sınır koşulları:,,, mesnet noktaları ve ardımcı noktası hiçbir er değiştirme apama. Bak: EK5 Yardımcı noktaa ait Yardımcı noktaa ait Kama modülü=.= / &() nin hesabı için gereklidir. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangai Üniversitesi, 56, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Safa 57
. Ua çerçeve örnek çöümleri Örnek.5: Sağdaki ua çerçeve C4/5 betonu ile deprem alıtımlı inşa edilecektir. Alt kat (iolatör katı) kolonlarında ile gösterilen kauçuk deprem iolatörleri vardır. İolatör katı kolonları 55 m, diğer kolonlar. m, kirişler..6 kesitlidir. İolatörün eksenel ük rijitliği k eksenel=.. 6 kn/m, kesme rijitliği k esme=5 kn/m dir. Şekilde görülen ata deprem ük için sistemin Y önü ata er değiştirmeleri hesaplanacak, göreceli er değiştirme grafiği çiilecektir. Beton maleme bilgileri: 6=4.55 78 9 :,;=. Kesit bilgileri: Alt kolonlar: A=.5 m, J=7.888. m 4, I = I =5.8. m 4 Üst kolonlar: A=.9 m, J=.. m 4, I = I =6.75. 4 m 4 Kirişler: A=.8 m, J=.7. m 4, I =.5. m 4, I =5.4. m 4 İolatör rijitlikleri: k eksenel=.. 6 kn/m, k esme=5 kn/m 4 kn 9 kn 8 6 5 İolatör X 4 7 8 7 8 6 5 6 4 4 9 8 8 9 4 5 6 5 6 4 İolatörün modellenmesi: 5, 6, 7, 8 nolu iolatörler ua çerçeve eleman olarak modellenmiş, bu elemanlarda esneklik matrisi m Z m 9 5 7 7 7 9 Deprem iolatör katı Y? @ /A G > @ @ : F > /B &/B F > @ > @: F /B : &/B : F <= > @ F > CD F > > @: @ F &/B : /B : F > @ = : @ F &/B /B E? 7 LMNLOLP G > F > 7 MLNQL F HIJKH <= > F alınmıştır. > 7 MLNQL F > F > F = E İolatör ve üstündeki noktalarda er değiştirmeler hemen hemen anı. Bu, katlar arası göreceli er değiştirmelerin küçük olduğu, dolaısıla iç kuvvetlerin de küçük kalacağı anlamındadır. İolatör altındaki noktalarda er değiştirmeler sıfır. Gerçek davranışta iolatörler altındaki kolonlar emin ile anı er değiştirmei apar, üst apı göreceli er değiştirmeleri hemen hemen anı olur. Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangai Üniversitesi, 56, http://mmf.ogu.edu.tr/atopcu/ Safa 58