Đki Oyu Yaz Demi 22 Hazira 20, Çarşamba Đst20 Đstatistik Teorisi Dersi kousu: Olasılık Hesabı - Çocuklar, Đstatistik Teorisi bir tarafa, istatistikçileri işi rasgelelik ortamıda hesap yapmaktır. Şöyle bir oyua e dersiiz: Araızda, gü ve ay olarak ayı doğum güü ola e az iki kişi varsa, bir yaş pastayı be kazaayım, yoksa siz kazaı. - Yokuz. - Niçi. - Hocalar - Bakı. Bir yılda 365 gü var diyelim. Şuracıkta 42 kişisiiz. Ne dersiiz. - Sizi kazama olasılığıız daha büyüktür. - Nerde biliyorsuuz. Hesapladıız mı? - Hesaplattırmazsaız, oyua varız. - O zama, şu ö sırada başlayıp doğum güleriizi, 0 Ağustos, 2 Ekim, 23 Hazira gibi söylemeye başlayı. Ayı doğum gülü başka birisi varsa, haber versi. - Hocam sııfı yarısı gitti. Kaybedeceksiiz. - Gitsi. - Hocam, sadece o kişi kaldı. - Ümitliyim. - Hocam kaybettiiz. Siz de doğum güüüzü söyleyi. So bir imkâ, belki kazaabilirsiiz. Kazaamadım. Olacak iş değil. Öceki yıllarda, daha küçük sııflarda kazadığım oldu. 43 kişi arasıda e az iki kişii doğum güüü ayı olması olasılığı %90 da fazla. Şasım yoktu. Kaybettim.
- Çocuklar ikici bir oyua var mısıız? - Oyu e? - Numaralamış 0 tae teis topuu, ayı şekilde,2,3,,0 olarak umaralamış, şuradaki çay bardaklarıa rasgele atacaksıız. Top umarası ile bardak umarası ayı olursa, yai eşleme olursa, her eşleme içi TL kazaacaksıız. - Ne kaybedeceğiz? - Oyua başlamada öce 2 TL oyama ücreti vereceksiiz. - Düşüelim. - Düşüecek e var? 2 TL ye karşılık 0 TL bile kazaabilirsiiz, üç-dört zate gelir. Ayrıca, top ve bardak sayısıı 00 de yapabiliriz. O zama, 00 TL bile kazaabilirsiiz, üç-dört lâf mı, 20-30 gelir. - Varız. - Her biriiz iki lirasıı hazırlası ve oyuu bir kez oyası. Dört taesi 0 topta, biri 20 topta oluşa beş tae oyu seti var. Đstediğiizde oyayı. Bazılarıız oyuları oyatsı. - Hocam, be bir taesii alıp katide oyatsam. - Oyat ama derse yetiş.
O beş dakika sora kasamızda 5 TL gibi bir kazaç oluştu. Tam bu sırada. - Hocam, Yılmaz hocaya 9 TL borcumuz var. - Đlker. Yılmaz hocaya iye gitti. Se ou bilmez misi? - Taıdık olduğu içi gittim. - Bilmez misi? Yılmaz hoca hep kazaır. - Nerede bileyim? - Par-Tura yazısıı okumadı mı? - Okumadım ama fizik yazısıı okudum. - Bak, Yılmaz hoca da geliyor. Para atışlarıı hep o kazaıyor. Bir dee. - Yılmaz hocam para atalım mı? - Atalım Đlker. Be mi atayım? - Atı hocam. Yazı. - Tura geldi. Kaybetti Đlker. Bir daha attayım mı? - Yazı. - Gee tura geldi Đlker. Đsterse se at. Yazı. - Đlker, Yılmaz hocayla oyama. Bak gee kaybetti. - Hocam, Bahar ve Đhsa hocamda 2 şer TL aldım - Özlem, şuradaki kazacı da al. Đsterse yaş pasta yerie tulumba tatlısı al. Kürda da alıver. Bu iki oyudaki hesap-kitap işii görelim. Doğum Güü Problemi http://80.25.40.59/sciece.akara.edu.tr/ozturk/kitaplar/kombiatorik(sayfa 78) Eşleme Problemi http://80.25.40.59/sciece.akara.edu.tr/ozturk/kitaplar/kombiatorik(sayfa 82)
Elimizde,,2,3,..., sayıları ile umaralamış tae top ve tae kutu (bardak) bulusu. Bir topu umarası içide buluduğu kutuu umarasıa eşitse bu durumda bir "eşleme" vardır deir. tae top tae kutuya her kutuda bir top buluacak şekilde rasgele atıldığıda e az bir eşleme olması olasılığı edir? tae farklı (umaralamış) top tae farklı (umaralamış) kutuya her kutuda bir top buluacak şekilde! biçimde atılabilir. Örek Uzayı elema sayısı! dir. A, i=,2,3,..., olayı i. kutu içi eşleme olması olayı olsu. i ( )! P( Ai ) = =, i! ( 2)! P( Ai Aj ) = =, i< j! ( ) ( 3)! P( Ai Aj Ak ) = =, i< j< k! ( 2)( )... (... ) =! P A A2 A olmak üzere, e az bir eşleme olması olayıı olasılığı, P( A ) = P( A ) P( A A ) + P( A A A ) i= i i i j i j k i= i< j i< j< k + ( ) P( A A A ) 2 dır. = +... + ( ) 2 ( ) 3 ( 2)( )! = +... + ( ) +... 2! 3!! B-hiçbir eşleme olmaması olayı olsu. Bu olayı olasılığı, ( ) ( ) (... ) = + +... + ( )! 2! 3!! P B = P B = P A A2 A B olayıı olasılığıı p ile gösterelim. olmak üzere, p = + +... + ( )! 2! 3!! e = + +... + ( ) +...! 2! 3!! sayısı göz öüe alıırsa, p olasılığı e sayısıı seri açılımıdaki ( + ). kısmi toplamdır. e 0. 632 ve p3 0. 6677, p4 0. 6250, p5 0. 6333 i değerleri küçük ler içi bile e, p6 0. 6320 olmak üzere, p
değerie yakıdır. Böylece e az bir eşleme olması olasılığıı pratik olarak de ( > 5) bağımsız olduğuu ve yaklaşık olarak 0. 632 olduğuu söyleyebiliriz. E az TL kazama olasılığı 0.632 > %50 olduğua göre oyu oyaabilir gibi görümektedir. Kazacı beklee değeri edir? = rasgele değişkei i. kutuda eşleme sayısı olsu. i, 2,3,..., içi X i p= P( X i = ) = olmak üzere E( X i ) p b(, p) E( X i ) = p= dır. Oyuu oyata içi Kazaç= 2 ( X+ X 2+ X 3+... + X ) sahiptir. ve ( ) E( Kazaç) = E 2 E( X + X + X +... + X ) 2 3 = 2 E( X + X + X +... + X ) = 2 = 2 3 = = Beroulli dağılımıa dır. Kazacı varyası (ortalama etrafıda değişkeliği) büyükse oyuu oyata batabilir. Acak, Var( Kazaç ) = dır. Bu oyu oyatılabilir. Teorik çözümü verile bu oyuu gerçek düyada oyaması:
Oyuu saal olarak oyaması: >> =0 orekuzay=perms(:); biroyu=orekuzay(fix(rad*size(orekuzay,))+,:); toplar=biroyu bardaklar=: sum(biroyu = = (:)) = 0 toplar = 8 2 0 4 3 9 7 5 6 bardaklar = 2 3 4 5 6 7 8 9 0 as = 2 >> =7; for i=:200 orekuzay=perms(:); biroyu=orekuzay(fix(rad*size(orekuzay,))+,:); kazac(i)=sum(biroyu==(:)); ed mea(kazac) var(kazac) as = 0.9900 as =.0954 >> hist(kazac,2*) 80 70 60 50 40 30 20 0 0 0 0.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 23 Hazira 20