Diferansiyel Denklemler

1

ĐÇĐNDEKĐLER KONU Sayfa No Diferansiyel Denklem, Mertebe ve Derecesi... 3 Diferansiyel Denklemlerin Çözümleri... 3 Konu ile ilgili Alıştırmalar... 3 1. Mertebeden Diferansiyel Denklemler... 4 Değişkenleri Ayrılmış Diferansiyel Denklemler... 4 Konu ile ilgili Alıştırmalar... 4 Homojen Diferansiyel Denklemler... 4 Konu ile ilgili Alıştırmalar... 5 Lineer Diferansiyel Denklemler... 5 Konu ile ilgili Alıştırmalar... 6 Bernoulli (Lineer Şekle Đndirgenebilen) Diferansiyel Denklemleri... 6 Konu ile ilgili Alıştırmalar... 6 Ricatti Diferansiyel Denklemi... 7 Konu ile ilgili Alıştırmalar... 8 Toplam Diferansiyellerin Đntegrasyonu... 8 Konu ile ilgili Alıştırmalar... 8 Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler... 9 d n y = f() Biçimindeki Diferansiyel Denklemler... n 9 d y = f(y) Biçimindeki Diferansiyel Denklemler... 10 Konu ile ilgili Alıştırmalar... 10 Sabit katsayılı Đkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler... 11 Konu ile ilgili Alıştırmalar... 13 Katsayıları sabit n. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler... 13 Katsayıları sabit n. Mertebeden (ikinci tarafı sıfıra eşit) Lineer Diferansiyel Denklemin Çözümü... 14 Katsayıları sabit n. Mertebeden (ikinci tarafı in bir fonksiyonu olan) Lineer Diferansiyel Denklemin Çözümü:... 15 Konu ile ilgili Alıştırmalar... 16 Diferansiyel Denklemlerin Çözümlerinin Bilgisayar Uygulaması... 17 Matlab ile Diferansiyel Denklemlerin Çözümü... 17 Faydalanılan Kaynaklar... 18

Diferansiyel Denklem, Mertebe ve Derecesi: değişkeni, y nin bir fonksiyonu, y=f() olmak üzere; F(, y, y', y'',..., y (n) ) = 0 bağıntısına " n. mertebeden diferansiyel denklem", denklemde en yüksek mertebeden tüevin üssüne de "diferansiyel denklemin derecesi" denir. Örnekler: y-y'=0... 1. mertebe ve 1. dereceden, y'+y'-e y''=0.... mertebe ve 1. derecedenden, (y'') = ( 1+y' ) 3 y''+(y' ) 3 =(y''' ) -yy' diferansiyel denklemlerdir.. mertebe ve. derecedenden, Diferansiyel Denklemlerin Çözümleri 3. mertebe ve. derecedenden Bir diferansiyel denklemde yerine konduğunda, denklemi sağlayan bağıntılara diferansiyel denklemin bir çözümü denir. Bir diferansiyel denklemi sağlayan farklı biçimlerde bağıntı veya fonksiyonlardan her birine özel çözüm, özel çözümlerden oluşan en kapsamlı çözüme de genel çözüm, diferansiyel denklemi etkilemeyen sabit değerlere de integral sabitleri denir. Not1: Bir diferansiyel denklemin genel çözümünde bulunan integral sabitlerinin sayısı, denklemin mertebesi kadardır. Örneğin 1. mertebeden bir denklemde 1 tane integral sabiti,. mertebeden bir denklemde tane integral sabiti... bulunur. Not: Đntegral sabitleri, a,b,c...gibi harflerle gösterilebileceği gibi, n. mertebeden bir diferansiyel denklemin genel çözümündeki sabitler, C,..., C n biçiminde de gösterilebilir. y''+y=0 diferansiyel denklemini alalım. a) y = sin bir özel çözüm müdür? b) y=009 sin bir özel çözüm müdür? c) y=cos bir özel çözüm müdür? d) y=1453 cos bir özel çözüm müdür? 3 e) y=a sin bir özel çözüm müdür? f) y=b cos bir özel çözüm müdür? g) y=a sin + b cos genel çözüm müdür? h) =0 için y=5 ve =π/3 için y'= 3 değerini alan özel çözümü bulalım. a) y=sin in özel çözüm olup olmadığını araştıralım. y=sin y' = cos y''= -sin y''+y=sin + (-sin ) = 0 olduğundan y=sin bir özel çözümdür. Aynı şekilde b) c) d) e) ve f) şıklarının, diferansiyel denklemi sağlayan özel çözümler olduğu görülebilir. g) y=a sin + b cos y'=a cos-b sin y'' = -a sin -b cos y''+y = -a sin -b cos + a sin + b cos = 0 olup, gerçekten y=a sin + b cos fonksiyonu y''+y=0 diferansiyel denkleminin genel çözümüdür. h) =0 için y=a sin 0 +b cos 0 = 5 b = 5 =π/3 için y' = a cos π/3 -b sin π/3 = 3 a=7 3 bulunur. Buna göre istenen özel çözüm; y = 7 3sin + 5 cos bulunur. Aşağıdaki çözümlerin ait oldukları diferansiyel denklemleri sağladıklarını gösteriniz. Diferansiyel Denklem Çözümü 1. y'' + = y'. y'''+y''-y' = y y= ++ C y= e + C e - + C 3 e -3 3. ( dy ) 3-4y dy + 8y = 0 y = C( - C) 4. dy + y =3 y 3 (Ce + +1)y =1 5. y''+9y = 3cos 3 cos 3 + C sin 3 + 1/ sin 3

1. Mertebeden Diferansiyel Denklemler a) Değişkenleri Ayrılmış Diferansiyel Denklemler y'f(y)=g() biçimindeki denklemlerdir. Bu tür denklemleri çözmek için y'= dy dy koyarak f(y)=g() dyf(y)=g() g() + C biçiminde bulunur. dyf(y) = yy'= - y'= dy Diferansiyel denklemini çözelim. koyalım. ydy = - ydy = - y = - +C +y =C bulnur. Not1: Bu eğriler (C=R >0) merkezi orijin olan çember ailesidir. Not: C yerine C yazabiliriz (yani C C koyabiliriz) 1. (+y)-(3-)dy=0 C: (+y)(3-)=c. y-(1+ )dy=0 C: Cy =1+ 3. dy = 1 + y (1 + )y C: (1 + )(1 + y ) = C 4. a( dy dy + y) = y y C: a y = C e 5. (+3)dy-y(+3)=0 C: y=c(+3) Böylece çözüm; +y =C bulunur. yy'=p (p sabit) Diferansiyel denklemini çözelim. y dy =p ydy = p y y = p+c Çözümde C C koyarak, y = p+c bulunur. y'(y+1) = e = p+c Diferansiyel denklemini çözelim. dy(y+1)= e (y+1)dy = e y +y=e - e +C y +y=e (-1)+C 6. 1+ dy - 1-y =0 C: arcsin y = ln C( + 1+ ) 7. dy+ytan = 0 C: y = C cos 8. (1-)dy = y C: yln C(1-) = 1 b) Homojen Diferansiyel Denklemler y'=g( y ) biçiminde ( yani y' y in bir fonksiyonu) olan denklemlere denir. Bu tür denklemleri çözmek için y =u y=u ; y'=u+u' u+u' = g(u) Burada; u' = du denip du = g(u)-u du g(u)-u = Böylece baştaki denklem değişkenleri ayrılmış bir denkleme dönüşmüştür. y'= +y -y Diferansiyel denklemini çözelim. 4

y y'= +y 1+ -y y'= 1- y y'=g( y ) homojen diferansiyel denklem olduğu görülür. y du =u y=u koyarak y'=u+ =1+u 1-u du =1+u 1-u - u du 1+u = 1-u (1-u)du 1+u = du 1+u - udu 1+u = ln(1+u ) arctan(u) - = ln() +C arctan( y )=ln( 1+ y arctan( y )=ln( +y ) + ln() +ln(c) ) +ln(c) +y =C e arctan(y ) bulunur. 1. (+y)+(-3y)dy=0 C: +4y-3y =C. (3+5y)+ (4+6y)dy=0 C: (+y) (+y)=c 3. (+y)+ydy=0 C: 1 ln( +y+y ) - arctan( +y 4. (8y+10)+(5y+7)dy=0 C: (+y) (+y) 3 =C 5. (+y)+(+3y)dy=0 C: +y+3y =C 6. 1-4t ds+ 1-s dt=0 C: s 1-4t +t 1-s =C 7. z(3z+1)dw+(1-w)dz=0 C: (w-1)(1+3z)=3cz 8. (+4y)+dy=0 C: 3 +6 y=c )=C 5 9. ( 3 +y )+(y+3y )dy=0 C: 3 +3y +3y 3 =C 10. du 1+u dv = 1+v C: u= v+c 1-cv 11. Herhangi bir noktasındaki eğimi -1 - y/ olan ve A(, 1) noktasından geçen eğrinin denklemini bulunuz. C: +y = 8 1. Herhangi bir noktasındaki eğimi y-1 + olan ve A(1, 0) noktasından geçen eğrinin denklemini bulunuz. C: y(1+) = 1- c) Lineer Diferansiyel Denklemler y' ve y ye göre 1. dereceden diferansiyel denklemlere denir. k()y'+l()y=m() y'+ l() m() k() y= k() y'+yf()=g() biçimine indirgeyebiliriz. Bu tür denklemleri çözümü için u ve v iki fonksiyon olmak üzere y=uv koyalım. y=uv y'=u'v+uv' u'v+uv'+uvf()=g() u(v'+vf())+u'v=g() v'+vf()=0 olacak biçimde v yi bulalım. dv dv = - vf() v = -f() ln(v)= f()=φ() y=e φ() Bu seçime göre diferansiyel denklem; u'v=g() du eφ() =g() du= g() φ() e u= g() +C bulunur. φ() e Buradan da y=e φ() ( g() y' - y= +C) olur. φ() e Diferansiyel denklemini çözelim. y=uv y'=u'v+v'u olsun. (u'v+v'u) - uv= u(v' - v)+vu'= v' - =0 dv dv =v v = ln(v)=ln() v=c

(c)u'= du =1 c y=uv=( c +k)(c)= +kc 1. y'-y= C: y=c -. y'-y+ = 1 C: y=+ce 3. y'+3 = y C: y = 3 + C 4. y'+n=3y C: y = n + C 3 du= c u= c +k Denklemin her iki yanını y ile bölelim. y' y +1 y = - z'+z= z=uv koyalım. z'=u'v+v'u - (u'v+v'u) +uv= u(v-v')=0 v- dv =0 v=dv dv v = ln(v)=ln(c) v=c u'c+ du c + =0 du - = c z=c( - c +k)= - 1 +ck y= - +k 1. y' + y/ = y du= c bulunur. 5. ds dt - s cotan t + (t+) cotan t = 1 C: s = t + + C sin t 6. dy - y +1 = ( + 1 )5/ C: y = 3 ( + 1 )7/ + C ( + 1 ) C: C y+y = 1. y' + y/ = y 3 C: C y +y = 1 3.y' - y = ( - 1 )e C: y = e + C d) Bernoulli (Lineer Şekle Đndirgenebilen) Diferansiyel Denklemleri y'+yf()+y n g()=0 biçimindeki denklemlere denir. Denklemin her iki yanını y n ile bölelim. y' y n +y1-n f()+g()=0 Burada z=y 1-n dönüşümünü yapalım. z'=(1-n)y'y -n y' y n = z' 1-n z' 1-n +zf()+g()=0 Böylece denklem z ye göre bir lineer homojen denkleme dönüşür. y'+y= y Diferansiyel denklemini çözelim. 4. ds dt + s sin t t = cos t + t C: s = sin t + C t 5. ds dt + s = cos t - sin t C: s = cos t + Ce -t 6. ds dt - scotan t = et + C sin t Aşağıdaki alıştırmalarda ve y nin verilen değerleri ile belirtilen özel çözümlerini bulunuz. 7. y' - y/ = e ; = 1 için y = 0 C: y = (e - e) z=y 1- =y -1 = 1 y dönüşüm yapalım. z'= - y' y 8. y' + y/ = 1 ; = 1 için y = 6

C: y = + 1 9. dy + y tan = sec ; = 0 için y = -1 C: y= sin - cos 10. dy - y + 1 = ( + 1 ) ; = 0 için y = 1 C: y = ( + 1 ) + ( + 1 ) 4 y ln - y 11. Herhangi bir noktasındaki eğimi olan ve P(1, 1) noktasından geçen eğrinin denklemini bulunuz. C: y(1 + ln ) = 1 e) Ricatti Diferansiyel Denklemi (1+ 3 )(- - z' z ) - (- + 1 z )+(- + 1 z ) +=0 [(1+ 3 )(-)- (- ) + (- ) +] + (1+ 3 )(- z' z )- 1 z - 1 z + 1 z = 0 Köşeli parantez içi 0 olduğundan; (1+ 3 )(- z' z )- 1 z - 1 z + 1 z = 0 elde edilir. Bu eşitliği z ile çarpalım: (1+ 3 )z' + 3 z -1 = 0 (lineer denklemi) bulunur. z=uv koyalım. z' =uv' + u'v y'+yf()+y g()+h()=0 biçimindeki denklemlere denir. Bu tip denklemler ancak y 1 gibi bir özel çözümün bilinmesi halinde çözülebilir. Gerçekten bir çözüm y 1 ise y=y 1 + 1 z koyarak y'=y ' 1 - z' z g()+h()=0 y ' 1 - z' z +(y 1 + 1 z )f()+(y 1 +1 z ) [y ' 1 +y 1 f()+y z' 1 g()+h()] - z + 1 y 1 z f()+ z g()+g() z =0 y ' 1 +y 1 f()+y 1 g()+h()=0 (y 1 özel çözüm olduğundan) - z' z + 1 y 1 z f()+ z g()+g() z =0 - z'+z[f()+y 1 g()+g()]=0 lineer diferansiyel denklemin çözümüdür. (1+ 3 )y' - y+y +=0 denkleminin bir özel çözümü y= - olduğunu gerçekleyip denklemi çözelim. (1+ 3 )(-) -(y )+(- ) += - - 4 + 4 + 4 +=0 Denklem Ricatti denklemidir. y=y 1 + 1 z y= - + 1 z dönüşümünü kullanalım. y'= - - z' z (1+ 3 )( uv' + u'v ) + 3 uv -1 = 0 u((1+ 3 )v' + 3 v) + (1+ 3 )u'v - 1 = 0 (1+ 3 )v' + 3 v = 0 olacak biçimde v fonksiyonunu bulalım: (1+ 3 )v' + 3 v = 0 (1+ 3 ) dv + 3 v = 0 dv 3 v = - 1 + 3 ln v = ln C-ln (1+3 ) v = C 1+ 3 (1+ 3 )u'v - 1 = 0 (1+ 3 C )u' 1+ 3-1 = 0 du = 1 C u = 1 C + K z = uv = y = - + 1 z 1 - KC y = KC + C KC C konursa, 1 - C y = C + 1+ 3 ( 1 C + K ) değeri, de yerine konursa, bulunur. 7

Aşağıda bir özel çözümü verilen Ricatti diferansiyel denklemlerinin genel çözümlerini bulunuz. 1. y'+y -1 = 0 ; y = 1 bir özel çözüm. + C C: y = - C. y'+y+y = ; y = 1 bir özel çözüm. Ce 3 + C: y = Ce 3-1 3. y' -y+y = ; y= bir özel çözüm. + C C: y = - C Son bulduğumuz toplam diferansiyel; z = +y -y fonksiyonun toplam diferansiyeli olduğu görülebilir. O halde denklemin genel çözümü; +y -y = C dir. ( y y - 1 )y' - = 0 diferansiyel denklemini çözelim. ( y y - 1 )y' - = 0 ( y y - 1 )dy - = 0 Son bulduğumuz toplam diferansiyel; z = y - y fonksiyonun toplam diferansiyeli olduğu görülebilir. O halde denklemin genel çözümü; y - y = C y -y = C bulunur. 4. (1+ 3 )y'+ y+y +1 = 0 ;y = - bir özel çözüm. y = 1 - C + C y 5. y' - 1-3 + çözüm. C + 1 C: y = - + C y 1-3 + 1-3 = 0 ; y = - bir özel f) Toplam Diferansiyellerin Đntegrasyonu z = f(,y) biçiminde iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyeli; dz = f f + dy dir. y Şayet 1. mertebeden bir diferansiyel denklemi; f f + dy = 0 biçimine getirilebilirse; bu denklemin y genel çözümü; f(,y) = C dir. (y - )y' + - y = 0 diferansiyel denklemini çözelim. (y - )y' + - y = 0 (y - ) dy + - y = 0 (y - )dy + ( - y) = 0 Aşağıdaki toplam diferansiyellerin genel çözümlerini bulunuz. 1. (sin y) + ( cos y + 3 y )dy = 0 C: sin y + y 3 = C. sin cosy + cos sinydy = 0 cos cosy = C 3. (3 e y -) + ( 3 e y - sin y)dy = 0 C: 3 +e y + cos y - = C 4. (3 ln y) + 3 y dy = 0 C: 3 ln y = C 5. (y + 3 ) + ( + by 3 )dy = 0 (b sabit) C: 4y + 4 + by 4 = C 6. ( y cos (y ) + a) + ( cos (y ) + 3y )ydy = 0 (a sabit) 8

C: sin (y ) + a + y 3 = C 7. y dy + ( ln 5y + 1 ) = 0 C: ln + ln 5y = C 8. (ycos - y + 1) + (sin - )dy = 0 C: y(sin - ) = C - d 3 y a) 3 = e y'''= e y''= e = 1 e + y'= ( 1 e + ) = 1 4 e + + C. Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler: y= ( 1 4 e + + C ) = 1 8 e + 1 + C +C 3 d n y a) = f() Biçimindeki Diferansiyel Denklemler: n y (n) d n y = n = f() y (n-1) = d n-1 y n-1 = d n y n = f() y = 1 8 e + 1 + C +C 3 bulunur. b) =ln 6 için y''= 1 e.ln6 + = 1 eln 36 + =17 18 + =17 =1 =0 için; y'= 1 4 e + + C = 1 4 + 17.0 + C = C = 7 4 = f 1 () + y (n-) = d n- y d n-1 y n- = n-1 = ( f 1 () + ) = f () + +C... Böylece ardışık olarak n defa integral alınarak, n tane (, C,..., C n ) serbest sabitli genel çözüm elde edilir. Đstenirse, n tane özel değer bilgisi verildiğinde,, C,..., C n sabitleri bulunarak, özel çözümler de bulunabilir. = için; y= 1 8 e + 1 + C +C 3 y= 1 8 + 0 + 0 + C 3 = 5 8 C 3 = 3 bulunur. Buna göre istenen şartlara uyan özel çözüm; y = 1 8 e + 1 + 7 4 + 3 bulunur. d y b) = f(y) Biçimindeki Diferansiyel Denklemler: d 3 y 3 = e diferansiyel denkleminin; a) Genel çözümünü; b) =0 için y= 5 8, =0 için y'= ve =ln 6 için y''= 17 şartlarını sağlayan özel çözümü bulalım. Bu biçimdeki denklemleri çözmek için aşağıdaki yol izlenir: d y dy' = f(y) = f(y) dy' = f(y) y' dy' =f(y)y' y' dy' = f(y) dy y' dy' = f(y) dy 9

1 (y') = F(y)+ Buradan y' çekilir ve bir daha integral alınarak y fonksiyonuna ulaşılır. y = cos 7C 7 sin 7 + sin 7C 7 cos 7 d y + 49y = 0 diferansiyel denklemini çözelim. cos 7C 7 ve sin 7C 7 Buna göre denklemin genel çözümü; C koyalım d y + 49y = 0 dy' + 49y = 0 dy' = - 49y y'dy' = - 49y y' y'dy' = - 49y dy 1 (y') = - 49 y (y' ) = - 49y y' = - 49y sin 7 + C cos 7 bulunur. Not: d y + a y = 0 biçimindeki denklemlerin genel çözümü; sin a + C cos a şeklinde genellenebilir. 1. y'' = C: y = 1 1 4 + + C. y'' = 4 sin koyalım. C: y = -sin + + C dy = - 49y 3. y'' = e dy - 49y = 1 7 arcsin 7y = + C 7y arcsin = 7 +7C 7y = sin( 7 +7C ) C: y = 1 4 e + C 4. y'' = 1 ( y + 1 ) C: ( y + 1 ) = ( + C ) + 1 5. y'' = a y C: y = a + ( + C ) 6. y'' = + sin 7y =sin 7.cos 7C + cos 7.sin 7C C: y = 1 6 3 - sin + + C 7. y'' = 7 cos 8 10

C: y = - 7 64 cos 8 + + C 8. y'' = 8y C: y = 4 3 3 + + C c) p ve q katsayıları sabit olan d y + p dy + qy=0 Biçimindeki (Đkinci Mertebeden Lineer) Diferansiyel Denklemler: Önce, bu denklemi sağlayan y=e r biçimindeki fonksiyonların r sabit değerlerini bulalım. y=e r dy d y = r er = r e r Bu değerleri denklemde yerine koyalım; d y + p dy + qy=0 r e r +p r e r +qe r = 0 Gerçekten bu fonksiyonu incelediğimiz diferansiyel denklemde yerine koyarak denklemi sağladığını kolaylıkla görebilirz. ii) r +p r +q = 0 karakteristik denkleminin iki karmaşık sayı kökünün olması hali: Bu durumda kökler birbirinin eşleniği olmak zorundadır Örneğin, r 1 =a+bi ve r = a-bi olsun. Bu değerleri genel çözümde yerine koyalım; e r 1 + C e r = e (a+bi) + C e (a-bi) e a.e bi + C e a.e -bi y = e a ( e bi + C e -bi ) y = e a ( (cos b +isin b) + C (cos b - isin b)) y = e a ( ( + C ) cos b +( - C )i.sin b) A = + C, B = ( - C )i alırsak, genel çözüm; e r ( r +p r +q ) = 0, e r 0 olduğundan r +p r +q = 0 bulunur. Bu denkleme ikinci mertebeden lineer diferansiyel denklemin, karakteristik denklemi denir. Karakteristik denklemin köklerinin reel sayı veya karmaşık sayı olup olmamasına göre çözümleri inceleyelim. i) r +p r +q = 0 karakteristik denkleminin r 1 ve r gibi iki farklı reel kökünün olması hali: Bu durumda, y = e r 1 ve y = e r fonksiyonları diferansiyel denklemin iki özel çözümü olup, denklemin genel çözümü; e r 1 + C e r biçimindedir. y = e a ( A cos b + B sin b) olarak bulunur. Not: Matematikte çok önemli sayılardan biri olan e sayısı (e=,71881884590 ) ile ilgili e fonksiyonunun seriye açılımı; e = 1 + 3 4 1! +! + 3! + 4! + dir. Aşağıda sin ve cos ( radyan) fonksiyonlarının açılımları verilmiştir. sin = 3 5 7 1! - 3! + - + - 5! 7! 4 6 cos = 1 -! + - + - 4! 6! e = 1 + 3 4 1! +! + 3! + 4! + serisinde 11 yerine i koyalım;

e i = 1 + i (i) (i) 3 1! +! + 3! e i = 1 + i 3 4 i 1! -! - 3! + 4! + (i) 4 + 4! + e i 4 6 3 5 = 1-! + 4! - 6! + - +i( 1! - 3! + 5! - + ) d y dy - -3y=0 diferansiyel denklemini çözelim. Karakteristik denklemin köklerini bulalım; r -r-3=0 (r-3)(r+1)=0 r 1 =3 ve r = -1 e i =cos + i sin (Euler Formülü) bulunur. Buna göre; Đki reel kök var olduğundan genel çözüm; e 3 + C e - bulunur. e bi = cos b +isin b ve e -bi = cos b +isin b dir. iii) r +p r +q = 0 karakteristik denkleminin reel bir kökünün (köklerin çakışık) olması hali: Bu durumda r +p r +q = 0 denkleminin diskriminantı sıfırdır. = p p -4q = 0 q = 4 olur. Buna göre karakteristik denklemden d y dy -6 +10y=0 diferansiyel denklemini çözelim. Karakteristik denklemin köklerini bulalım; r -6r+10=0 (r-3) +1 = 0 r 1 =3-i ve r = 3+i Kökler eşlenik iki karmaşık sayıdır. Buna göre denklemin genel çözümü; r +p r +q = r +p r + p 4 = (r + p/) = 0 y = e a ( A cos b + B sin b) formülünden, r 1 = r = - p/ elde edilir. Bu durumda; y = e r 1 ve y=e r 1 özel iki çözüm olup y = e 3 ( A cos + B sin ) bulunur. denklemin genel çözümü; e r 1 + C e r 1 y= e r 1 ( + C ) d y dy -10 +5y=0 diferansiyel denklemini çözelim. Karakteristik denklemin köklerini bulalım; r -10r+5=0 (r-5) = 0 r = 5 tek reel kök var. y = e -p/ ( + C ) olur. Buna göre denklemin genel çözümü; y = e 5 ( + C ) bulunur. 1

1. y'' - y' -y = 0 C: e - + C e. y'' - 4y' + 3y = 0 C: e + C e 3 3. y'' - 5y' + 4y = 0 C: e + C e 4 4. y'' - 4y' + 4y = 0 C: e + C e 5. y'' + 5y' = 0 C: + C e -5 6. y'' + 36y = 0 C: cos 6 + C sin 6 7. y'' + 14y' + 49y = 0 C: e -7 + C e -7 8. y'' + y' + y = 0 C: y = e - ( cos + C sin ) 15. y'' + 8y' + 5y = 0 ; = 0 için y = 4 ve y' = -16 C: y = 4 e -4 cos 3 16. y'' - 6y' + 10y = 0 ; = 0 için y = 1 ve y' = 4 C: y = e 3 ( cos + sin ) d) Katsayıları sabit n. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler: p 1, p,..., p n sabit olan; d n y d n-1 y d n- y n + p 1 n-1 + p n- +... + p dy n-1 + p n y = f() biçimindeki denklemlere Katsayıları sabit n. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklem denir. Not: Bazı kaynaklarda D n = denklem; d n y n olduğu farzedilerek bu ( D n + p 1 D n-1 + p D n- +... + p n-1 D + p n )y = 0 biçiminde gösterilir. f() = 0 olması durumu (ikinci tarafı sıfıra eşit n.mertebeden lineer denklem) ve f() 0 olması durumu olmak üzere bu denklemi iki halde inceleyeceğiz. 9. y'' + 6y' + 58y = 0 C: y = e -3 ( cos 7 + C sin 7) Aşağıdaki problemlerde verilen şartları sağlayan özel çözümleri bulunuz. 10. y'' + 3y' + y = 0 ; = 0 için y = 0 ve y' = 1 C: y = e - - - 11. y'' + n y = 0 ; = 0 için y = a ve y' = 0 C: y = a cos n 1. y'' - n y = 0 ; = 0 için y = ve y' = 0 C: y = e n + e -n 13. y'' + y' - 8y = 0 ; = 0 için y = 0 ve y' = 4 C: y = 4( e - e -4 ) 14. y'' - 8y + 16y = 0 ; = 0 için y = 0 ve y' = 1 C: y = e 4 A) d n y d n-1 y d n- y n + p 1 n-1 + p n- +... + p dy n-1 + p n y = 0 Katsayıları sabit n. Mertebeden (ikinci tarafı sıfıra eşit) Lineer Diferansiyel Denklemin Çözümü: Bu denklemi sağlayan y=e r biçimindeki fonksiyonların r sabit değerlerini bulalım.bunun için denklemde y=e r koyalım. ( r n + p 1 r n-1 + p r n- +... + p n-1 r + p n ) e r = 0 e r 0 olduğundan; r n + p 1 r n-1 + p r n- +... + p n-1 r + p n = 0 denklemi elde edilir.buna diferansiyel denklemin karakteristik denklemi denir. 13

n. mertebeden lineer diferansiyel denklemi çözmek için aşağıdaki yol izlenir; i) r n + p 1 r n-1 + p r n- +... + p n-1 r + p n = 0 karakteristik denkleminin tüm kökleri bulunur. ii) Karakteristik denklemin kökleri için aşağıdaki kurallar uygulanır; a) Farklı her r j reel kökü, er j özel çözümününü verir, d 4 y d 3 y d y 4-4 3 + 10 dy -1 + 5y=0 diferansiyel denklemini çözelim. Diferansiyel denklemin karakteristik denklemini yazalım: r 4-4r 3 +10r -1r + 5 = 0 Karakteristik denklemin kökleri; 1, 1,1±i dir. b) Farklı her a ± bi (eşlenik) karmaşık sayı çifti, e a cos b ve e a sin b özel çözümünü verir, c) m defa tekrarlanan çok katlı kök, a) veya b) deki çözümlerinin 1,,,..., m-1 ile çarpılmaları ile elde edilen özel çözümlerini verir. iii) Bu şekilde bulunan n tane bağımsız özel çözümün her birini C, C,...,C keyfi sabitlerle çarparak toplarız. 1 n Diferansiyel denklemin özel çözümleri; e, e, e cos, e sin dir. Buna göre denklemin genel çözümü; e + C e + C 3 e cos + C 4 e sin y = ( + C ) e + (C 3 cos + C 4 sin ) e y = ( + C + C 3 cos + C 4 sin ) e bulunur. d 3 y d y 3-3 + 4y=0 diferansiyel denklemini çözelim. Diferansiyel denklemin karakteristik denklemini yazalım: r 3-3r + 4 = 0 Karakteristik denklemin kökleri; -1,, dir. Diferansiyel denklemin özel çözümleri; e -, e, e dir. Buna göre denklemin genel çözümü; e - + C e +C 3 e = e - + (C +C 3 )e y = = e - + (C +C 3 )e bulunur. B) d n y d n-1 y d n- y n + p 1 n-1 + p n- +... + p dy n-1 + p n y = f() Katsayıları sabit n. Mertebeden (ikinci tarafı in bir fonksiyonu olan) Lineer Diferansiyel Denklemin Çözümü: Sabit katsayılı; d n y d n-1 y d n- y n + p 1 n-1 + p n- +... + p dy n-1 + p n y = f() biçimideki n. mertebeden bir diferansiyel denklemin genel çözümlerini bulmak için aşağıdaki yol izlenir: 14

d n y d n-1 y d n- y i) n + p 1 n-1 + p n- +... + p dy n-1 + p n y = 0 diferansiyel denkleminin y=u genel çözümü ( bütünler çözümü) bulunur. ii) Denklemin sağ tarfındaki terimlere karşılık gelen bir özel çözümü bulunur.bu özel çözüm bulnurken aşağıdaki maddelere dikkat etmeliyiz. a) f() fonksiyonunda n. dereceden bir polinom varsa özel çözümde de n. dereceden bir polinom alabiliriz. b) f() fonksiyonunda sin p, cos p veya bunların toplam veya farkı biçiminde terimler için özel çözümde; a sin p + b cos p biçiminde fonksiyon alabiliriz. c) f() fonksiyonunda e p gibi terimler varsa; özel çözümde bunlara karşılık a e p biçiminde fonksiyonlar alabiliriz. iii) Eğer ii) nin a) b) veya c) şıklarındaki terimlerden herhangi biri bütünler çözümde mevcutsa, bu terimleri hiç biri bütünler çözümde bulunmayacak şekle getirmek için ile veya in (yeteri kadar) kuvvetleriyle çarparız. iv) Özel çözümün varsayılan biçimini yazarak gerekli işlemler yapılır ve ilgili katsayıları belirleyerek y = v özel çözümü buluruz. v) y = u + v yi yazarak denklemin genel çözümünü buluruz. y'' + 4y = 4 e diferansiyel denklemini çözelim. i) Önce, y'' + 4y = 0 denklemini çözelim. Bu denklemin karakteristik denklemi; r +4 = 0 dir. Karakteristik denklemin kökleri 0±i olduğundan bütünler çözüm y = e 0 ( cos + C sin ) cos + C sin dir. ii) Özel çözüm y = a e biçiminde olmalıdır. Bunu denklemde yerine koyalım; y = a e y' = a e y'' = 4a e 4a e + 4(a e ) = 4 e 8a e = 4 e a = 1 bulunur. Buna göre özel çözüm y = 1 e dir. Ohalde denklemin genel çözümü bulduğumuz iki çözüm toplanarak; cos + C sin + 1 e olarak bulunur. y'' + 4y' + 4y = 6 sin 3 diferansiyel denklemini çözelim. i) Önce, y'' + 4y' +4 = 0 denklemini çözelim. Bu denklemin karakteristik denklemi; r + 4r + 4 = 0 dir. Karakteristik denklemin kökleri -,- olduğundan bütünler çözüm e - + C e - y = ( e + C ) e - dir. ii) Özel çözüm y = a sin 3 + b cos 3 biçiminde olmalıdır. Bunu denklemde yerine koyalım; y = a sin 3 + b cos 3 y' = 3a cos 3-3b sin 3 y'' = -9a sin 3-9b cos 3 (-9a sin 3-9b cos 3 ) + 4(3a cos 3-3b sin 3 ) + 4(a sin 3 + b cos 3 ) = 6sin 3 (-5a -1b)sin 3 + (-5b +1a)cos 3 = 6sin 3-5a -1b = 6 ve -5b +1a = 0 denklemlerinden a = - 30 7 169 ve b = - 169 bulunur. Buna göre özel çözüm y = - 30 169 dir. 7 sin 3 + - 169 cos 3 Ohalde denklemin genel çözümü bulduğumuz iki çözümü toplayarak; y = ( e + C ) e - - 30 7 169 sin 3-169 cos 3 olarak bulunur. y'' + y'+y = cos +3++3e diferansiyel denklemini çözelim. i) Önce, y'' + y'+y = 0 denklemini çözelim. Bu denklemin karakteristik denklemi; r +r+1 = 0 dır. Karakteristik denklemin kökleri -1,-1 olduğundan 15

bütünler çözüm e - + C e - y= ( + C )e - dir. ii) Özel çözüm y = a sin +b cos +c+d+f e biçiminde olmalıdır. Bunu denklemde yerine koyup gerekli sadeleştirmeler yapılırsa; a = 8 5, b = - 6 5, c = 3, d = -4, f = 3 4 bulunur. C: s= e t + e -t - 1 4 (at+b) d s 6. dt - 4s=et C: e t +C e -t - 3 et d s 7. - 4s= et dt C: s= e t +C e -t - 1 4 tet Böylece özel çözüm; y = 8 5 sin - 6 5 cos +3-4+ 3 4 e olur. Buna göre denklemin genel çözümü de; y= ( + C )e - + 8 5 bulunur. d y 1. +y = at+b dt C: y= cos t+c sin t+at+b d y. +y = aebt dt ae bt C: y= cos t+c sin t+ b +1 sin - 6 5 cos +3-4+ 3 4 e 8. d y +9y=5 C: cos 3+C sin 3+ 5 9-10 81 9. d y dt - dy dt - y=4t C: y= e -t +C e t +1 - t 10. d y dt - dy dt +=8 C: e t +C te t +8 11. d s dt - 4ds dt +3s=6et C: s= e t +C e 3t - 6e t d y 3. dt +y=4cos t C: y= cos t+c sin t+tsin t d s ds 1. + dt +s=8et dt C: s=e -t ( cos t+c sin t)+ 4 5 et d y 4. +y=4sin t dt C: y= cos t+c sin t - 4 3 sin t 13. d y dt - 4dy dt +3=4et C: y= e t +C e 3t - te t d s 5. dt - 4s=at+b 16

14. d y dt - dy dt +5y=3sin t C: y=e t ( cos t+c sin t)+ 3 5 cos t - 3 10 sin t 15. d y dt -dy dt +5y=3sin t C: e t ( cos t+c sin t)+ 13 3 17 cos t - 17 sin t Not: Şayet, değişken olarak (veya başka bir harf) kullanmak istersek, bunu, komut içinde virgül ile ayrılmış iki ' (kesme) arasında belirtmeliyiz. ii) y türev fonksiyonu için Dy, y. mertebeden türev fonksiyonu için Dy, y 3. mertebeden türev fonksiyonu için D3y yazmalıyız. iii) Matlab denklemleri sembolik olarak çözümlediğinden, denklemleri ve gerekirse özel değerleri iki (kesme) arasına yazmalıyız.birden fazla ifade yazacaksak ayraç olarak aralara, (virgül) koymalıyız. 16. y''' - 3y'' + 3y' -y = e C: y = ( + C + C 3 ) e + 1 3 3 e 17. y''' + 6y'' +1y'+8y= e C: y = 1 7 e + ( + C + C 3 )e - d 4 y d y 18. 4 + + y = 3 cos C: y = 1 3 cos + cos + C sin + C 3 cos + C 4 sin Diferansiyel Denklemlerin Çözümlerinin Bilgisayar Uygulaması: Bir çok matematik problemini, bilgisayarın desteğini alarak kolayca çözebiliriz. Bunun için matematik desteği veren uygun bir bilgisayar programı kullanmalıyız.bu amaca yönelik bir çok program üretilmiştir.bunlardan başta gelenlerden birisi de Matlab programıdır. Matlab'ın kullanımıyla ilgili bilgi edinmek ve çözümlü örneklerini incelemek için, Đzmir Fen Lisesi web sayfasının; http://www.ifl.k1.tr/projedosyalar/dosyalar.htm bağlantısından matlab.pdf dosyasını indirebilirsiniz. Matlab ile Diferansiyel Denklemleri de çözebiliriz. Matlab da bir Diferansiyel denklemin genel ve belirli şartlara uyan özel çözümlerini buldurabiliriz. Bunun için aşağıdaki kurallara dikkat etmeliyiz. i) Matlab y gibi bir fonksiyonun varsayılan değişkenini değil t olarak kabul etmektedir.yani diferensiyel denklemimizi yazarken, serbest değişken için t kulanmalıyız. 17 dsolve komutu: t bağımsız değişkenine bağlı y gibi bir fonksiyon ve türevlerinden oluşan sembolik ifadeye karşılık gelen diferensiyel denkleminin genel ve istenirse tanımlanmış ilk değerlere karşılık gelen özel çözümlerini bulmaya yarar. Kullanımı: dsolve( diferensiyel denklem ) komutuyla yazılan diferensiyel denklemin genel çözümünü buluruz. dsolve( diferensiyel denklem, özel değer1, özel değer, ) komutuyla yazılan diferensiyel denklemin özel değer1, özel değer, özel değerlerine karşılık gelen özel çözümünü buluruz. Not 1: Sonuçların daha düzenli görüntsünü almak için, dsolve komutundan önce pretty komutunu kullanabilirsiniz. Not : Daha geniş açıklama için Matlab ın komut satırında; >>help dsolve yazıp (Enter) tuşuna basınız. Örnek 1: y -y= 3 -+8 diferensiyel denkleminin; a) Genel çözümünü bulduran, b) =1 için y= -6 değerini veren özel çözümü bulduran, c) Sonuçların ekranda düzenli görünmesini sağlayan, d) Sonucu değişkenine bağlı olarak görüntüleyen, e) Sonuc a değişkenine bağlı olarak görüntüleyen komutları yazalım. a) dsolve( t*dy-*y=t^3-*t+8 ) b) dsolve( t*dy-*y=t^3-*t+8, y(1)=-6 )

c) pretty(dsolve( t*dy-*y=t^3-*t+8, y(1)=-6 )) d) pretty(dsolve('*dy-*y=^3-*+8','')) e) pretty(dsolve('a*dy-*y=a^3-*a+8','a')) Ekranda a) nın sonucu; t^3-4+*t+t^*c1 b) nin sonucu; t^3-4+*t-5*t^ c) nin sonucu; d) nin sonucu; 3 t - 4 + t - 5 t 3-4 + + C1 e) nin sonucu; 3 a - 4 + a + a C1 biçiminde görülür. b) 1 /t - ---- t c) 1-3/7 1/t + /7 ---- t Örnek 3: Y +4y =48sin4 diferensiyel denkleminin; Örnek : y +4y +y=0 diferensiyel denkleminin; a) Genel çözümünü bulduran, b) =1 için y=1 ve = - için y= -5/4 değerini veren özel çözümünü bulduran, c) =-1 için y =1 ve = için y =0değerini veren özel çözümünü bulduran komutları yazalım. a) pretty(dsolve( t^*dy+4*t*dy+*y=0 )) b) pretty(dsolve( t^*dy+4*t*dy+*y=0, y(1)=1, y(-)=-5/4 )) c) pretty(dsolve( t^*dy+4*t*dy+*y=0, Dy(-1)=1, Dy()=0 )) Ekran Görüntüleri: a) C1 C ---- + ---- t t a) Genel çözümünü bulduran, b) =0 için y=1, = 0 için y = 0 ve =π/4 için y =-4 değerini veren özel çözümünü bulduran komutları yazalım. a) pretty(dsolve('d3y+4*dy=48*sin(4*t)')) b) pretty(dsolve('d3y+4*dy=48*sin(4*t)','y(0)=1', 'Dy(0)=1','D3y(pi/4)=-4')) Ekran Görüntüleri: a) cos( t) - 1 + C1 + C sin( t) + C3 cos( t) b) cos( t) - 1/ + 1/ sin( t) - 1/ cos( t) Faydalanılan Kaynaklar: 1. Matematik Dersleri, Prof. Dr. Lutfi BĐRAN Đstanbul Ü. Fen Fakültesi - Şirketi Mürettibiye Basımevi - Đstanbul 1970. Diferensiyel ve Đntegral Hesap, W.A. GRANVILLE - Şirketi Mürettibiye Basımevi - Đstanbul 1970 3. Diferansiyel Denklemler, Uygulamaları ve Çözüm Tekniği, Prof. Dr. Murrav R. SPIEGEL - Çağlayan Kitabevi -1975 4. http://www.ifl.k1.tr/projedosyalar/dosyalar.htm adresinde tumevarim-diziler dosyası. 5. http://www.ifl.k1.tr/projedosyalar/dosyalar.htm adresinde matlab dosyası. 18