KNC MERTEBEDEN DFERANSYEL DENKLEMLERN YEREL- OLMAYAN ve ARA-NOKTA KOULLARI LE TEMEL VE SAYISAL ÇÖZÜMLER Kamil ORUÇOLU ve Ali DNLER stanbul Teknik Üniversitesi, Matematik Bölümü, 34469 Maslak, e-osta: koruc@itu.edu.tr stanbul Teknik Üniversitesi, Mühendislik Bilimleri Bölümü, 34469 Maslak, e-osta: dinlera@itu.edu.tr ABSTRACT In this study, solution of second-order differential equations with nonlocal and intermediate-oint conditions is investigated. A new Green s functional notion is given for these roblems. Some examles are given by use of this notion. Also, for such roblems, numerical solution is investigated. ÖZET Bu çalmada, yerel-olmayan ve ara-nokta koullar ile verilmi ikindici mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümü incelendi. Böyle bir roblem için Green fonksiyoneli kavram verildi. Bu kavram kullanlarak baz örnekler verildi. Böyle roblemler için saysal çözüm yolu incelendi. Anahtar sözcükler: Green fonksiyonel ara nokta koulu, yerel olmayan koul, e roblem. AMS () konu snflandrmas: 34A3, 34B5, 34B, 45J5.. Giri Temel çözümlerin bulunmas roblemi diferansiyel denklemler teorisinde önemli bir yere sahitir. ncelenen denklemin deiken katsaylara sahi olmas ya da snr koullarnn yerel olmamas gibi durumlar temel çözümün bulunmas srasnda bir takm zorluklar ortaya çkarr. ntegral koulu ile ve/veya ara-noktalarda verilen koullar ile sunulan roblemin klasik ya da bilinen yöntemler ile temel çözümünün bulunmas mümkün deildir. Bu çalmada u() t z (), t tg (,) (.) dorusal diferansiyel denklemi
gsusds ()() z ; u( ) z, (,), (.) integral koulu ve ara-nokta koulu ile birlikte alnd. Burada sras ile z, z R ve z (t), g(t) L ( G) keyfi fonksiyonlardr. Burada L ( G ) ile inci mertebeden G aralnda integre edilebilen fonksiyonlar uzay ve R ile reel saylar uzay gösterilmektedir. Böyle bir roblemde verilen koullardan dolay temel çözüm bulunu roblemin integral gösterimi elde edilemez. Bilinen yöntemler [,,3] ancak uygun koullarn verilmesi ve denklem katsaylarnn yeterince düzgün olmas durumunda kullanlabilir. Bilinen yöntemler ksmi integrasyon formülünü kullanarak e denklem oluturma ve bu e denklem yardm ile çözümün integral gösterimini elde etmeye dayanmaktadr. Elde edilen e denklem de genelde bir diferansiyel denklem olmaktadr. Ele aldmz roblemde verilen koullarndan bir tanesi integral tili koul dieri de ara-nokta kouludur. Bu diferansiyel denklem için Green fonksiyonu (temel çözüm) bulunamaz. Bu yüzden S.S. Akhiev [4,5,6,7] tarafndan verilmi olan temel çözüm kavram kullanlarak çözümün integral gösterilimi elde edilir. Bu yöntem bilinen yöntemlerden farkl olarak yeni bir e roblem kavramn ve çözüm uzaynn özelliklerini kullanmaya dayaldr. Bu e roblem bilinenlerin aksine bir integro-cebirsel denklemler sistemi olarak elde edilir. Bu çalmada, ele aldmz roblem ve çözüm yöntemi için bir takm örnekler üzerinde uygulamalar verildi. Verilen dorusal (.) denkleminde z (t) fonksiyonu f (, tu ) eklinde dorusal olmayan bir terimle deitirilerek temel çözüm kavram aranm olsa, o zaman dorusal olmayan roblemin çözümü dorusal olmayan bir integral denklemin çözümüne indirgenebilir. Bir örnek de bu durum için sunuldu. Ayrca integral koulu ve ara-nokta koulu ile verilen bu roblemlerin saysal olarak nasl çözülebilecei gösterildi. Daha sonra ise baz örnekler üzerinde temel çözüm ile elde edilen çözüm ve saysal çözüm karlatrld. Verilen (.)-(.) roblemi Vu () t u() t z (), t tg (,) (.3) Vu g()() su s ds z, V uu( ) z, (,), (.4) eklinde yazlsn. Bu roblem i du W () W ( G) { u L( G), j,,}, i dt eklinde tanmlanan Banach uzaynda incelenir. Bu uzayda norm
u W j du dt j j L ( G), eklinde tanmlanr. E L ( G) R R eklinde bir Banach uzay göz önüne alnsn. V ( V, V, V) ve Z t z t z z () ( (),, ) olmak üzere V : W E oeratörü tanmlanr ise (.3)-(.4) roblemi oeratör formda Vu Z (.5) eklinde yazlabilir. (.5) roblemi homojen olmayan bir roblemdir. V oeratörü de W den E ye snrl bir oeratördür.. E Problem ve Green Fonksiyoneli Oeratör formda (.5) denklemi S. S. Akhiev [4] tarafndan verilmi olan temel çözüm kavramndan yararlanarak incelenir. Bu temel çözüm kavram V : W E oeratörünün gerçek V : E W oeratörü ile tanmlanr. E oeratörü bulmak için W uzaynn yasal özelliklerinden faydalanlr. Bu uzaya çözüm uzay ad verilir. Bu uzayda herhangi bir u W eleman için u(), u() deerleri ve u() t fonksiyonu bamsz elemanlardr. Yani keyfi z () ( ) t L G ve keyfi z, z saylar verildiinde bunlar için tek olan öyle u W eleman vardr ki u() z, u() zve u() t z() t olur. Bu ise W çözüm uzaynn W L ( G) R R eklinde izomorfik bir açlma sahi olduunu gösterir. V e oeratörünün açk ifadesini bulmak için f ( f( t), f, f) Eq eklinde E üzerinde tanml bir fonksiyonel ele alnr ve (.) f ( Vu) f ( V u)( t) dt f ( V u) f ( V u), u W oluturulur. (.3)-(.4) roblemindeki açk ifadeler (.) e yerletirilir ve bir takm ara hesalamalardan sonra f ( Vu) f ( t)( V u)( t) dt f ( V u) f ( V u) ( f ) u( ) d ( f) u() ( f) u() (.) ( f)( u), f E, uw, özdelii elde edilir. Burada q
( f ) f ( ) f B( ) ( ) H( ) f ( f) f A f ( f) f A f dir. Burada A g () s ds, A sg () s ds, B () g ()( s s ) d olarak tanmlanr. W uzaynda tanml olan dorusal fonksiyonellerin genel formunda (,, ) oeratörünün V oeratörünün e oeratörü olduu anlalr [4,6]. Buradan (.5) robleminin e denklemi (,, ) W olmak üzere f (.3), (.4) eklinde oeratör formunda yazlabilir. (.4) denklemi bir cebirsel denklemlerden oluan sistemdir. Bu sistem açk ekilde f ( ) f B( ) ( ) H( ) f ; f f A f ; A f eklinde yazlabilir. H(z) Heavside fonksiyonudur. Bu cebirsel denklem sistemi A A için tek bir çözüme sahitir. için tek çözüm yoktur. Dolaysyla e sistem çözülebilirlik hakknda her türlü bilgiyi vermektedir. Burada keyfi W ( G) eleman yerine özel ( t)( u) u( t), u W fonksiyoneli alnr ise (.4) veya açk ekli olan (.5) sisteminden f ( ) f B( ) ( ) H( ) f ( t) H( t) f A f t f A f eklinde denklem sistemi elde edilir. için bu sistem ta A t f() t, f ( ) H( )( ta A) f() t ( t) H( t) B( ) elde edilir. Tanm: Eer keyfi t G arametre deeri için (.6) cebirsel sisteminin çözümü olan f () t ( f (,), t f (), t f ()) t Eq elemanna V oeratörünün Green fonksiyoneli denir. Dolaysyla ele alnan roblemin çözümü için aadaki teorem verilebilir. (.5) (.6) (.7)
Teorem: Eer (.5) roblemi en az bir f(t) Green fonksiyoneline sahi ise o zaman keyfi bir u W çözümü (.8) ut () f(, t ) z( ) d f() tz f() tz eklinde gösterilebilir. Üstelik Vu sadece sfr çözüme sahitir. sat: Yukardaki (.) özdeliinde u W fonksiyonu (.5) denkleminin çözümü gibi f E eleman da (.6) nn çözümü gibi alnrsa f ( t)( z) ( t)( u) veya q elde edilir. Açk olarak yazlr ise ut () f(, t ) z( ) d f() tz f() tz ut () ( t ) z( ) d f() t ( ) z( ) d f ( t) B( ) z ( ) d z f ( t) z f ( t) elde edilir. (.9) un çözüm olduu (.3)-(.4) de yerine yerletirilerek gösterilebilir. (.9) 3. Uygulamalar Baz basit örnekler üzerinde duralm. Örnek : u t t utdt () u(/ 3), (,) roblemini göz önüne alalm. Bu roblemde /6 olduundan tek çözüm vardr. Örnek : u sin( t), t(,) utdt () u(/ ) roblemini göz önüne alalm. Bu roblemde olduundan tek çözüm yoktur. Ancak genelletirilmi genel çözüm vardr, [4,6]. Örnek 3:, (,) 3 u u t t utdt () 3 tu() t dt
3 roblemini göz önüne alalm. z () t t u olarak tanmlayalm. Bu durumda / olduundan e denklem çözülebilir ve çözüm bir dorusal olmayan integral denklemin çözümüne indirgenir. 4. Saysal Yaklam Yerel-olmayan ve ara-nokta koullar ile sunulan dorusal diferansiyel denklemler sonlu farklar yöntemi ile ayrklatrlarak ve böylece diferansiyel denklem cebrik bir denklem sistemine dönütürülerek çözülür. Bu durumda ara-nokta koulunun dikkatli ele alnmas gerekir. ntegral koulu olmadan sonlu farklar ile elde edilen cebrik sistemde bilinmeyen says denklem saysndan fazladr. Bu sebeten integral koulu saysal integrasyon yöntemlerinden biriyle ayrklatrlarak cebrik sisteme dahil edilir. imdi Bölüm 3 de verilen Örnek roblemi üzerinde duralm. Örnek de u yerine merkezi-farklar formülü yazlrsa ve snrlar dahil N+ noktada ayrklatrma yalrsa u u u t t i N i i i ( ) i,,, elde edilir. Burada u i, ut ( i ) ye karlk gelmektedir. Açk olarak yazarsak i için u u u ( t) t i için u u u ( t) t 3 i N için u u u ( t) t N N N N (4.) olur. Burada t / N dir ve bilinmeyenler u ve u N srasyla sol ve sa snr deerlerine karlk gelir. Cebrik denklem sistemi (4.) matris formunda yazlrsa AN-,N+u=b (4.) dorusal matris sistemi oluur. Burada A N N lik katsay matrisi, u N-,N+ bilinmeyenler vektörü ve b sa taraf vektörüdür. Bu dorusal sistemi açkça yazarsak u - u ( t) t - u ( t) t - u N ( t) t N A u N-,N+ b N u
olur. Burada A katsay matrisi N N lik bir dikdörtgen matristir ve N-,N+ bilinmeyen says satr saysndan fazladr. Örnek de verilen utdt () integral koulunu (4.) dorusal sistemine dahil etmek için saysal integrasyon yöntemlerinden biriyle ayrklatrrz. Burada basitçe komozit yamuk formülü t / N için uygulanrsa t u (4.3) olur. Burada u bilinmeyenler vektörüdür. (4.3) ifadesini (4.) matris sistemiyle beraber ele alrsak, (4.) sistemine ekstra bir satr eklemi oluruz ve yeni sistemimiz açk ekilde öyle olur: u ( t) t u ( t) t u ( t) tn t t u N t t t u N b AN,N u (4.4) imdi, Örnek de verilen u(/ 3) ara-nokta koulunu yukardaki dorusal sisteme uygulayalm. u(/ 3) u( tk) uk ve k bilinsin. Bu durumda u k bilindiinden ve u lar sfrdan balayarak indislendiinden, u k 'ya karlk AN,N+ matrisinin (k+) inici sütunu gelir ve bu sütun ital edilmelidir. Bunun için A matrisi, düzeltici matris D N+,N ( k)' inci satr ile çarlr. Bu matris, (k+) inci satr sfrlardan oluan ve bu satr dndaki köegen üzerindeki elemanlar, dier elemanlar sfr olan N N lik bir dikdörtgen matristir. Ara-nokta koulu, sa taraf vektörü b yi deitirir. e k+ N N lik birim matrisin (k+) inci sütunu olsun. Bu durumda yeni sa taraf vektörü b yeni =b-u k Ae k+
olur. Burada uk bilinen ara-nokta deeridir. Böylece düzeltici matris ve yeni sa taraf vektörünü kullanarak (4.4) sistemi (AD) u = b - u Ae (4.5) eklinde N NN, çözüm k k+ N lik bir sisteme dönütürülür. Böylece çözüm u =(AD) ( b- Ae ) çözüm u k k+ olarak bulunur. Aadaki ekil de temel ve saysal çözüm karlatrld. ekil. Örnek in çözümü Örnek, integral koulu yerine iki ara-nokta koulu ile verilmi olabilirdi. Bu durumda düzeltici matris D benzer ekilde N N lik bir matris olur. Ancak bu kez sa taraf vektöründen yine benzer ekilde iki defa ara-nokta vektörü çkartlr ve çözüm sistemi elde edilir. 5. Sonuç Bu çalmada ikinci mertebeden adi türevli diferansiyel denklemlerin yerel-olmayan ve ara-nokta koullar ile çözümleri incelendi. Böyle bir roblem için yeni bir Green fonksiyoneli kavram verildi. Böylece bu ekilde sunulan denklemlerin temel çözümlerinin nasl bulunaca gösterildi. Dorusal roblemlerin saysal olarak nasl çözülecei gösterildi ve bir örnek üzerinde temel ve saysal çözümler karlatrld. Kaynaklar [] Hörmander, L., Linear Partial Differential Oerator, Sringer-Verlag, New York, (976) [] Halanay, A., Differential Equations, Academic Press, New York, (966)
[3] Stakgold, I., Green s Functions and Boundary Value Problems, Wiley Interscience, New York, (979) [4] Akhiev, S. S., Green and Generalized Green s Functionals of Local and Nonlocal Problems for Ordinary Integro-differential Equations, Acta Alicandae Mathematicae, 95, 73-93, (7) [5] Akhiev, S. S., Reresentations of the Solutions of Some Linear Oerators, Soviet Math. Dokl., (), 555-558 (98) [6] Akhiev, S. S., Oruçolu, K., Fundamental Solutions of Some Linear Oerator Equations and Alications, Acta Alicandae Mathematicae, 7, -3 () [7] Akhiev, S. S., A New Fundamental Solution Concet and Alication to Some Local and Nonlocal Problems, Bul. Tech. Univ. Istanbul, 47(3), 93-99 (994)