Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması için hiçbir fedakârlıktan çekinmemelerini tavsie ederim.
u kitabın her hakkı Çap Yaınları na aittir. 6 ve 96 saılı ikir ve Sanat serleri Yasası na göre Çap Yaınları nın azılı izni olmaksızın, kitabın tamamı vea bir kısmı herhangi bir öntemle basılamaz, aınlanamaz, bilgisaarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım apılamaz. U İTP, MİLLİ ĞİTİM NLIĞI TLİM V TRİY URULU ŞNLIĞI NIN.0 TRİH V SYILI RRI İL LİRLNN ORTÖĞRTİM GOMTRİ RSİ PROGRMIN GÖR HZIRLNMIŞTIR. izgi mine İN H. Hüsein NL apak Tasarım Semih LİL www.semihdelil.com askı Tarihi asım 01 Teşekkür Tevfik GÖRGÜN, Halil IRVLİ, hmet Y, urak IRVLİ, mine HİOĞLU ve Müjgan ŞİMŞ e katkılarından dolaı teşekkür ederiz. ISN 97 60 679 7 9 İLTİŞİM ÇP YYINLRI kpınar Mahallesi 0. adde 7. Sokak / 19 Çankaa / nkara Tel: 01 76 0 9 www.capainlari.com.tr www.capainlari.com ii
ÖN SÖZ Yeni geometri müfredatının amaçlarından biri, geometri problemlerine sentetik, analitik ve vektörel açılardan bakabilme becerisini kazandırmaktır. Sentetik öntemlerle ıldızı bir türlü barışmaan bir öğrenci, soruda verilen şekli koordinat düzlemine erleştirerek sorua vektörel a da analitik açıdan da bakabilecektir. iz de bunları sağlamak amacıla a) örtgenler ve amuk b) Paralelkenar ve dikdörtgen c) şkenar dörtgen, kare ve deltoid konularını sentetik, analitik, vektörel ve dönüşümlerle olmak üzere dört ana başlık altında çok arıntılı bir şekilde ele aldık. Öğrenmei kolalaştırmak amacıla kitabımızda şu bölümler er aldı: Özet: onunun genelini kapsaan temel bilgiler Yaklaşım: arşımıza çıkan soru türlerinde sorunun çözümüne önelik kullanılacak öntemler ve teknikler irlikte Çözelim: Yaklaşımda bahsedilen özellik, öntem ve ipuçlarının kullanıldığı detalı örnek çözümleri Sıra Sizde: Yaklaşımı okuup çözümlü örneği inceledikten sonra benzer soruların daha ii kavranabilmesi için ugulama soruları Modüler Testler: onua ait bilgilerin pekiştirilebilmesi ve soru çözme becerisinin artırılması için farklı soru türleri Haata farklı pencerelerden bakmanız dileğile... YZRLR iii
İÇİNİLR şkenar örtgen Özet... 7. şkenar örtgende çı (Sentetik Yaklaşım).... şkenar örtgende Uzunluk (Sentetik Yaklaşım)... 11. şkenar örtgende lan (Sentetik Yaklaşım)... 1. şkenar örtgende nalitik Yaklaşım... 0. şkenar örtgende Vektörel Yaklaşım... önüşümlerle Geometri Özeti.... önüşümlerle şkenar örtgen... 6 Test 1 : şkenar örtgende çılar (Sentetik Yaklaşım)... Test : şkenar örtgende Uzunluk (Sentetik Yaklaşım)... 0 Test : şkenar örtgende lan (Sentetik Yaklaşım)... Test : nalitik ve Vektörel şkenar örtgen (çı, Uzunluk, lan)... Test : önüşümlerle şkenar örtgen... 6 Test 6 : şkenar örtgen arma I... Test 7 : şkenar örtgen arma II... 0 Test : şkenar örtgen arma III... are Özet.... arede çı Özellikleri (Sentetik Yaklaşım)... 6. arede Uzunluk Özellikleri (Sentetik Yaklaşım)... 60. arede lan Özellikleri (Sentetik Yaklaşım)... 7. arede nalitik Yaklaşım... 6. arede Vektörel Yaklaşım... 90. önüşümlerle are... 9 iv
Test 1 : arede çılar (Sentetik Yaklaşım)... 9 Test : arede Uzunluk (Sentetik Yaklaşım)... 96 Test : arede lan (Sentetik Yaklaşım)... 9 Test : nalitik are (çı, Uzunluk, lan)... 0 Test : Vektörel are (çı, Uzunluk, lan)... Test 6 : önüşümlerle are... Test 7 : are arma I... 6 Test : are arma II... Test 9 : are arma III... 1 Test : are arma IV... 11 eltoid Özet... 11. eltoidde çı Özellikleri (Sentetik Yaklaşım)... 116. eltoidde Uzunluk Özellikleri (Sentetik Yaklaşım)... 11. eltoidde lan Özellikleri (Sentetik Yaklaşım)... 1. eltoid nalitik Yaklaşım... 1. eltoid Vektörel Yaklaşım.... örtgenlerin Sınıflandırılması... 11 Test 1 : eltoidde çı ve Uzunluk (Sentetik Yaklaşım)... 1 Test : eltoidde lan (Sentetik Yaklaşım)... 1 Test : nalitik ve Vektörel eltoid (çı, Uzunluk, lan)... 16 Test : örtgenlerin Sınıflandırılması... 1 Test : eltoid arma I... Test 6 : are arma II... 1 v
ŞNR ÖRTGN 6
ŞNR ÖRTGN enar uzunlukları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. = = = [] // [] ve [] // [] şkenar dörtgende köşegenler birbirlerini dik olarak ortalar. [] [], = ve = şkenar dörtgende köşegenler iç açıortadır ve köşegenler çizildiğinde dört eş üçgen oluşur. ÖZT m( ) = m( ) = m( ) = m( ) m( ) = m( ) = m( ) = m( ) b b b öşegenleri dik kesişen paralelkenar bir eşkenar dörtgendir. şkenar dörtgenin bir köşesinden kenarlara çizilen üksekliklerin uzunlukları birbirine eşittir. & H 1 h H 1 & H H 1 = H h H (ş üçgenler) Paralelkenarın tüm özellikleri eşkenar dörtgen için de geçerlidir. a a a a [] // [] [] // [] m( ) = m( ) m( ) = m( ) arşılıklı açılarının ölçüleri eşit ve birbirine komşu açıların ölçüleri toplamı dir. a a a Çevre() = a = e ve = f ise e + f = a dir. a h 7
. ŞNR ÖRTGN ÇILR (SNTTİ YLŞIM) YLŞIM ir eşkenar dörtgende bir kenarı ortak eşkenar üçgen vea kare verilmişse ortak kenarlar ardımıla ikizkenar üçgen belirlenir. İRLİT ÇÖZLİM 70 eşkenar dörtgen eşkenar üçgen m( ) = 70 Yukarıdaki verilere göre, m( ) = kaç derecedir?. 1 Şekilde eşkenar dörtgen, eşkenar üçgen ise m( ) = kaç derecedir? 1 Şekilde eşkenar dörtgen, eşkenar üçgen ise m( ) = kaç derecedir? 66 7, 60 0 70 60 60 70 eşkenar dörtgen, & eşkenar üçgen olduğu için = dir. & ikizkenar üçgen olacağından m( ) = m( ) = 70 ve m( ) = 0 olur. & eşkenar üçgen ise m( ) = 60 + 0 = 0 dir. şkenar dörtgende m( ) + m( ) = olacağından + 60 + 0 = SIR SİZ.. = 0 olur. Şekilde eşkenar dörtgen, kare ise m( ) = kaç derecedir? Şekilde eşkenar dörtgen ve kare ise m( ) = kaç derecedir? 70 0
YLŞIM ir eşkenar dörtgenin iç vea dış bölgesinde eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğuna eşit bir uzunluk verilmişse eşkenar dörtgenin kenar uzunluklarının birbirine eşit olduğu bilgisi kullanılarak bulunan ikizkenar üçgen ardımı ile soru çözülebilir. İRLİT ÇÖZLİM. 70 Yukarıdaki şekilde eşkenar dörtgen ise m( ) = kaç derecedir? 70 1 1 eşkenar dörtgen ve,, doğrusal ise m( ) = kaç derecedir? eşkenar dörtgen = m( ) = 70 m( ) = 1 Yukarıdaki verilere göre, m( ) = kaç derecedir? 1.. a SIR SİZ c 0 eşkenar dörtgeninde [] köşegen ise m( ) = kaç derecedir? 70 a b 0 0 eşkenar dörtgeninde ise m( ) = kaç derecedir? b eşkenar dörtgen olduğundan = = = ve ve ikizkenar üçgenlerdir. m( ) = m( ) = a, m( ) = m( ) = b ve m( ) = c olsun dörtgeninde iç açılar toplamı azıldığında a + b + c + 70 = 60 c = 0 olur. \ 0 ( m ( ) = 1 olduğu için a + b = 1 ve a + b = 0 olur.) m( W ) = m( X ) = c + 70 = 0 + 70 = 1 dir. 0 70 9
YLŞIM İçinde açıorta bulunan eşkenar dörtgen soruları, eşkenar dörtgenin köşegenlerinin de iç açıorta olduğu düşünülerek çözülebilir. İRLİT ÇÖZLİM. eşkenar dörtgen m( ) = m( ) m( ) = Yukarıdaki verilere göre, m( ) = kaç derecedir? eşkenar dörtgeninde m( ) = kaç derecedir? eşkenar dörtgeninde m( ) = kaç derecedir? SIR SİZ 70 a a a [] iç açıorta olduğu için m ( ) = m ( ) = a olsun m( ) = m( ) = a olur. & nde (ir dış açıortaın ölçüsü kendisine komşu olmaan iki iç açının ölçüleri toplamına eşit olacağından) a + a = a = a = 0 dir. V ile W iç ters açılar olduğundan m ( ) = = a =. 0 = 0 olur... eşkenar dörtgeninde 'nin türünden eşitini bulunuz. 0 = eşkenar dörtgeninde farkı kaç derecedir?
. ŞNR ÖRTGN UZUNLU (SNTTİ YLŞIM) YLŞIM şkenar dörtgende köşegenlerden biri verilmişse diğer köşegen çizilerek oluşturulan dik üçgende Pisagor vea Öklit teoremleri kullanılmalıdır. İRLİT ÇÖZLİM. eşkenar dörtgeninde = kaç br'dir? 6 Şekilde verilen eşkenar dörtgeninde = kaç br'dir? eşkenar dörtgen [] köşegen [ = br = br = 6 br Yukarıdaki verilere göre, = kaç birimdir? 1 7 SIR SİZ.. Şekilde verilen eşkenar dörtgeninde = kaç br'dir? 6 şkenar dörtgende [] köşgeni çizildiğinde [] [], = ve = dir. = = br ve br bulunur. & nde Pisagor Teoremi ugulandığında = + = = br dir. & 'nde Pisagor Teoremi ugulandığında ise = + = ( ) + = 1 = 1 br olur. eşkenar dörtgen ise = kaç br'dir? 11
YLŞIM şkenar dörtgende köşegenler dik kesiştiğinden, köşegenlerin kesim noktasından kenarlara dik indirilen uzunluk sorularında Öklid teoreminden ararlanılabilir. İRLİT ÇÖZLİM. 6 eşkenar dörtgeninde = kaç br'dir? 1 eşkenar dörtgen [] ve [] köşegenler [] [] = 1 br = br Yukarıdaki verilere göre, = kaç br'dir? eşkenar dörtgeninin üksekliği kaç br'dir? SIR SİZ.. 6 eşkenar dörtgen ise = kaç br'dir? eşkenar dörtgen ve [] // [] ise = kaç br'dir? 1 eşkenar dörtgen olduğundan [] [] = = br ve = br'dir. & nde Öklit Teoremi ugulandığında, =. = 1. = br olur. 9 6 1
YLŞIM şkenar dörtgende bir köşeden karşı kenara ükseklik çizildiğinde oluşan dik üçgende, eşkenar dörtgenin kenarlarının da eşit olduğu düşünülerek Pisagor teoremi ugulanır. İRLİT ÇÖZLİM. 1 eşkenar dörtgeninde = kaç br'dir? 6 eşkenar dörtgen ise = kaç br'dir? eşkenar dörtgen [] [] = = br = br Yukarıdaki verilere göre, oranı kaçtır? 6 SIR SİZ.. 6 eşkenar dörtgen ise = kaç br'dir? a a 0 = a 60 17 eşkenar dörtgeninin çevresi 6 cm ise = kaç cm'dir? a a = = a ise = = a'dır. dik üçgeninde hipotenüsün uzunluğu, [] dik kenar uzunluğunun iki katı olduğundan m( ) = 0, m ( ) = 60 ve = = (0-60 - 90 özel dik üçgeni) & 'inde Pisagor teoremi ugulandığında = + = ( = a + a = 7a = 7 a olur. una göre, = a = dir. 7 a 7 a) + (a) a olur. 1
YLŞIM şkenar dörtgenin bütün ükseklikleri birbirine eşittir. İRLİT ÇÖZLİM. L eşkenar dörtgen [L] [] M [] [] M = br M = br Yukarıdaki verilere göre, M = ML = kaç br'dir? M 7 eşkenar dörtgen olduğuna göre, M = kaç br'dir? L 1 16 eşkenar dörtgeninde = kaç br'dir? SIR SİZ L M eşkenar dörtgeninde üksekliklerin uzunlukları eşit olduğu için, = L = + = br'dir. L M = ML = = = br olur.. L eşkenar dörtgeninde L = kaç br'dir? 6. eşkenar dörtgeninde = kaç br'dir? 1
YLŞIM şkenar dörtgen sorularında da paralelkenar sorularında olduğu gibi benzerlikten sıkça ararlanılır. rıca köşegenlerin birbirini dik ortaladığı unutulmamalıdır. Soruların çözümünde hem benzerlik hem de dik üçgen özellikleri kullanılabilir. İRLİT ÇÖZLİM. eşkenar dörtgeninde oranı kaçtır? 9 6 eşkenar dörtgeninde = ise kaç br'dir? eşkenar dörtgen [] ve [] köşegen = 6 br = 9 br = Yukarıdaki verilere göre, + toplamı kaçtır? SIR SİZ.. 1 eşkenar dörtgen ise = kaç br'dir? 9 6 k k k +6 9 L eşkenar dörtgen olduğundan [] [] dir. = k ise = k ve = k = ise = + 6 olur. & & + (çı - çı - çı) & = k = k + 1 + 1 = = 1 = 6 br'dir. = & = ve & nde Pisagor teoremi ugulandığında, () = 9 + 6 9 = 1 + 6 = 1 = 1 br'dir. una göre, + = 6 + 1 br olur. Yukarıdaki şekilde eşkenar dörtgen ve,, doğrusal ise L = kaç br'dir? 1
YLŞIM çılarından biri özel açı olan (0,, 60, vb.) eşkenar dörtgen sorularında özel açılı dik üçgenlerin özellikleri kullanılmalıdır. İRLİT ÇÖZLİM a. 60 Şekilde verilen eşkenar dörtgeninin çevresi kaç birimdir? 0 7 eşkenar dörtgen ise = kaç br'dir. eşkenar dörtgen [] [] m( ) = 60 = 7 br Yukarıdaki verilere göre, = kaç br'dir? 0 SIR SİZ.. 60 Yukarıdaki şekilde eşkenar dörtgen ve,, doğrusal ise = kaç br'dir? a 60 a 0 a 7, Şekilde verilen eşkenar dörtgeninin çevresi kaç birimdir? a & bir 0 60 90 üçgeni olduğu için = a = a ve eşkenar dörtgen olduğu için = = = a ve = a dır. & nde Pisagor teoremi ugulanırsa (a) + ( a + a = a) = ( 7) 7a = a = a = br'dir. una göre, = br olur. a olur. 16
YLŞIM öşgenlerinden biri eşkenar dörtgenin dışına doğru uzatılmış sorularda diğer köşegenin çizilmesile oluşturulan dik üçgende Pisagor Teoremi ugulanır. İRLİT ÇÖZLİM. 1 1 Yukarıda verilen şekilde,, doğrusal ve eşkenar dörtgen ise = kaç br'dir? 1 16 1 0 1 Yukarıda verilen şekilde,, doğrusal ve eşkenar dörtgen ise = kaç br'dir? eşkenar dörtgen,, doğrusal m( ) = 0 = 1 br = 16 br Yukarıdaki verilere göre, = kaç br'dir? 7 6 SIR SİZ.. 1 6 6 0 6 1 1 0 Şekilde,, doğrusal ve eşkenar dörtgen ise = kaç br'dir? Yukarıda verilen şekilde,, doğrusal; eşkenar dörtgen ise = kaç br'dir? eşkenar dörtgeninde [] köşegeni çizildiğinde [] [] ve & bir 0 60 90 üçgeni olduğu için = 1 br ise = = 6 br olur. & nde Pisagor Teoremi ugulandığında = 6 + = 0 = = br olur. = = br'dir. 17
YLŞIM İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açının verildiği eşkenar dörtgende uzunluk sorularında osinüs teoremi ugulamak sorunun çözümünü kolalaştırır. İRLİT ÇÖZLİM. 1 eşkenar dörtgen ise = kaç br'dir? 9 eşkenar dörtgeninde, = ise = kaç br'dir? eşkenar dörtgen m( ) = = br = br Yukarıdaki verilere göre, = kaç br'dir? 7 7.. SIR SİZ eşkenar dörtgeninde, = ise = kaç br'dir? 60 6 eşkenar dörtgen olduğu için = = = = br ve = br'dir. m( ) = ise m ( ) = 60 & nde olur. osinüs teoremi ugulandığında = +... cos 60 = + 9. 1. 1 = 19 = 19 br olur. 7 Yukarıda verilen şekilde eşkenar dörtgen ve dik amuk ise = kaç br'dir? 1
YLŞIM Üçgen içinde verilen eşkenar dörtgen sorularında, üçgenin eşkenar dörtgen ile ortak olan köşesinden köşegen çizilir. şkenar dörtgenin köşegenleri açıorta olduğu için iç açıorta teoremi ugulanır. İRLİT ÇÖZLİM. eşkenar dörtgen = 6 cm = 7 cm = cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? üçgen eşkenar dörtgen = cm = cm = 1 cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? Şekilde eşkenar dörtgen ve = 6 cm ise & Çevre ( ) kaç cm'dir? 1 SIR SİZ.. Şekilde eşkenar dörtgen = ve = cm ise = kaç cm'dir? 1 = & = 1 eşkenar dörtgeninin [] köşegeni çizildiğinde = 11 7 = 11 = 16 cm olur. bu köşegen, üçgeninde iç açıorta olur. eşkenar dörtgen = = = 0 cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? 1 19
YLŞIM Her eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğu için paralelkenarda öğrendiğimiz uzunluk soru türlerinin tümü eşkenar dörtgen için de geçerlidir. İRLİT ÇÖZLİM. eşkenar dörtgen ve [] // [] ise = kaç br'dir? 6 eşkenar dörtgen ise = kaç br'dir? eşkenar dörtgen [] ve [] açıorta = 6 br = br Yukarıdaki verilere göre, = kaç br'dir?.. SIR SİZ 6 eşkenar dörtgen ise = kaç br'dir? 6 = 6 + = br'dir. [], []'e doğru uzatıldığında eşkenar dörtgen ise = kaç br'dir? [] ve [] açıortalar olduğu için, açısının 90 olduğu açıktır. m( ) = m( ) ve m( ) = m( ) ise ( noktası köşegenlerin kesim noktasıdır.) = = = br olur. (Muhteşem üçlü) = = = br ise = = br olur. 6 0
. ŞNR ÖRTGN LN (SNTTİ YLŞIM) ÖZT a h a h a a a lan() = a. h şkenar dörtgensel bölgenin alanı (paralelkenarın alanında olduğu gibi) bir kenarının uzunluğu ile üksekliğinin uzunluğunun çarpılmasıla bulunur. şkenar dörtgende (paralelkenardan farklı olarak) üksekliklerin uzunluklarının anı olduğu unutulmamalıdır. lan() = a. h = a. a. sina = a. sina ütün dörtgenlerde olduğu gibi eşkenar dörtgensel bölgenin alanı da köşegen uzunlukları türünden bulunabilir. lan( ) = 1.. sin 90 \ (öşegenler dik kesiştiği için) lan() = 1. dir. a Paralelkenar için geçerli olan tüm alan özellikleri eşkenar dörtgen için de geçerlidir. 1 şkenar dörtgende iki köşegende çizildiğinde eşkenar dörtgen dört eşit alanlı üçgene arılır. S S S S S şkenar dörtgende tek köşegen çizildiğinde oluşan üçgenler eş üçgenolduğu için alanları birbirine eşittir. P eşkenar dörtgeninin iç bölgesinde herhangi bir nokta olmak üzere, S 1 S 1 + S = S + S = S S P S S lan( ) ir eşkenar dörtgensel bölgei iki eşit alanlı bölgee aıralım. S S S S S S S S S S S S S S 1
ir eşkenar dörtgensel bölgei dört eşit alanlı bölgee aıralım. eşkenar dörtgensel bölge olmak üzere noktası [] kenarı üzerinde herhangi bir nokta ise S S S S S S S S S S S S S S S S S S S eşkenar dörtgeninde ( ) ( ) ( & ) = ( & ) = = t ü r. S S S S eşkenar dörtgeninde & ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = dir. ( ) ( & ) = dir. eşkenar dörtgensel bölgesinde noktası [] köşegeni üzerinde herhangi bir nokta ise lan( & ) = lan( & ) ve & & lan( ) = lan( ) dir. S 1 S S 1 S eşkenar dörtgensel bölgesinde M noktası [] köşegeni üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere S M L S [L] // [] ve [] // [] ise (LM) = (M) dir.
YLŞIM şkenar dörtgenin alanı sorulduğunda öncelikle taban ile ükseklik çarpımından sonuca ulaşılıp ulaşılamaacağına bakılmalıdır. İRLİT ÇÖZLİM eşkenar dörtgen [] [] m( ) = = br Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç br dir? Şekilde verilen eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? 0. 1 Şekilde verilen eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? 16 SIR SİZ 60 eşkenar dörtgen olduğu için 0 = = br'dir. m( ) = ise m( ) = 60 ve m( ) = 0 olur. & 0 60 90 özel üçgeni olduğundan, = br ise = br'dir. una göre, lan() =. = br olur.. Şekilde verilen eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? 16. 1 Şekilde = ise eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir?
YLŞIM şkenar dörtgenin ükseklik uzunluklarının eşit olması, alan sorularının çözümünü kolalaştırır. şkenar dörtgenin bir köşesinden çizilen iki üksekliğin oluşturduğu üçgenler eş üçgenlerdir. İRLİT ÇÖZLİM. 1 eşkenar dörtgeninin alanını kaç br dir? 6 eşkenar dörtgen [] [] [] [] = br = 6 br Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç br dir? NOT: eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? 16 0.. eşkenar dörtgen ise & & & SIR SİZ Yukarıda verilen şekilde,, doğrusal ise eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? 6 = br olur. 6 eşkenar dörtgen olduğu için &, & ve = = br'dir. & k - k - k özel dik üçgeni olduğundan = = br lan() =. = 0 br olur. Yukarıda verilen şekilde,, doğrusal ise eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir?
YLŞIM şkenar dörtgenin arısının vea belli bir orandaki parçasının alanı bulunduktan sonra tüm alan hesaplanabilir. İRLİT ÇÖZLİM. Şekilde verilen eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? 1 1 Şekilde = ise paralelkenarının alanı kaç br dir? eşkenar dörtgen [] köşegen = [] [] = br = 1 br Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç br dir? 6 16 SIR SİZ.. G Şekilde verilen eşkenar dörtgenin alanı kaç br dir? a a 1 a = = a br olur. ([] orta taban) 9 eşkenar dörtgeninin ağırlık merkezi noktası ise lan() kaç br dir? eşkenar dörtgeninde [] köşegeni çizildiğinde [] [] ve = olduğu için & nde = br ise = br ve = 1 br ve = a br olduğu için = 1 a br'dir. = a = 1 a a = 7 br olur. lan( & ) = = 6 br dir. lan() =. & lan( ) lan() =. 6 = br olur. 16
YLŞIM ir eşkenar dörtgende herhangi bir köşegen çizildiğinde, iki eş ikizkenar üçgen oluştuğundan, ikizkenar vea eşkenar üçgende ükseklik özellikleri kullanılarak alan hesaplanabilir. ÖN İLGİ = olacak şekilde verilen ikizkenar üçgeninde, + = ' dir. H eşkenar üçgen ve P noktası eşkenar üçgenin iç bölgesinde herhangi bir nokta ise P + P + P = H 'dir. İRLİT ÇÖZLİM eşkenar dörtgen [] köşegen [] [] [] [] 6 = br 60 = 6 br m( ) = 60 Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç br dir?. eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? 16 6 eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? 6 Çap Yaınları Çap Yaınları SIR SİZ.. eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? L 60 60 6 0 1 P eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? & üçgeni = ve m( ) = 60 olduğu için bir eşkenar üçgendir. noktasından [] kenarına ükseklik çizildiğinde, ikiz kenar ve eşkenar üçgenlerin özelliklerinden dolaı L = + = + 6 = 9 br olur. & L bir 0 60 90 özel üçgeni olduğundan, L = br ve = = 6 br'dir. una göre lan() =. L = 6. 9 = br olur. 1 6
YLŞIM çılarına göre özel üçgenlere ait bilgiler (0-60 90 üçgeni, - - 90 üçgeni, 1-7 - 90 üçgeni vb.) eşkenar dörtgenin alanı bulunurken sıklıkla kullanılır. İRLİT ÇÖZLİM Yol. eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? 1 eşkenar dörtgen = br m( ) = Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç br dir? 6 1 Çap Yaınları Çap Yaınları SIR SİZ.. 0. Yol eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? 7 7 1 1 = = = br olur. lan() =. & lan( ) 60 = = = br ve m( ) = ise m( ) = 0 dir. lan() =.. sin( ) =..sin0 lan() =.. = br olur. = 6. 1 = br olur. şkenar dörtgende köşegenler çizildiğinde = = br ve & 1 7 90 özel üçgeni olduğundan eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? 7 eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? 7
YLŞIM Paralelkenarda anlatılan alanla ilgili soru türlerinin tümü eşkenar dörtgen için de geçerlidir. İRLİT ÇÖZLİM. eşkenar dörtgeninde = ve lan( & ) = cm ise lan() kaç cm dir? L S M S 1 eşkenar dörtgeninde [] kenarı, [] kenarı eşit parçaa arılmıştır. lan() = 0 cm ise S 1 S farkı kaç cm dir? eşkenar dörtgeninde = ise ( & ) oranı kaçtır? ( ) SIR SİZ.. k k k k eşkenar dörtgeninde lan( & ) = cm ise lan() kaç cm dir? kl k k k k M 0k 6 Paralelkenar sorularındaki gibi [] kenarı, [] kenarı eşit parçaa arıldığı için O(, ) = 0 ise = = 0 k olsun. = = 0k = k ve L = k olur. M & + LM & (elebek benzerliği) ve benzerlik oranı dir. una göre, M & 'nin üksekliği h ve LM & nin üksekliği h olur. lan() = 0k. 1h = 60kh = 0 kh= S k. h 1 = = kh = 6 cm S k. h kh = = = cm S 1 S = 6 = 9 cm olur. eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir?
. L. 6. 7. eşkenar dörtgeninde =, = L ve lan(l) = 1cm ise lan() kaç cm dir? S S 1 eşkenar dörtgeninde [] kenarı, [] S kenarı 6 eşit parçaa arıldığına göre, 1 oranı S kaçtır? 16 L eşkenar dörtgeninde, [] kenarı, [] kenarı eşit parçaa arılmıştır. lan(l) = 16 cm & ise lan(l ) kaç cm dir? 0 9 6 9.. eşkenar dörtgeninde, = ise lan ( & ) oranı kaçtır? lan( ) L eşkenar dörtgeninin alanı 60cm ise lan( & ) kaç cm dir? S S 1 0 Şekilde eşkenar dörtgen ise S 1 + S kaç br dir? 1 16 9
. ŞNR ÖRTGN NLİTİ YLŞIM YLŞIM Her eşkenar dörtgen anı zamanda bir paralelkenar olduğundan eşkenar dörtgenin karşılıklı kenarlarını taşıan doğruların eğimlerinin birbirine eşit olduğu unutulmamalıdır. İRLİT ÇÖZLİM O O (0, ) (6,0) eşkenar dörtgeni ise [] kenarını taşıan doğrunun eğimi kaçtır?. eşkenar dörtgeninin köşelerinden ikisi (, 0) ve (0, ) ise [] kenarını taşıan doğrunun eğimi kaçtır? + 6=0 eşkenar dörtgen ise [] kenarını taşı- an doğrunun denklemini bulunuz. 1. 0 (0,) O (0, ) + 6=0 irim karelere arılmış analitik düzlemde verilen eşkenar dörtgeninin [] kenarını taşıan doğrunun eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? 1. ir eşkenar dörtgenin köşegenlerini taşıan doğruların eğimleri çarpımı kaçtır? ++k=0 + 6 = 0 doğrusunun eksenini kestiği nokta = 0 = 6 = (0,) dir. [] nin taşııcı doğrusu + + k = 0'dır. ( // olduğu için eğimleri eşittir.) O = O noktasının koordinatları (0, ) olur ve noktası [] nin taşııcı doğrusunun üzerinde olduğundan denklemini sağlar. + + k = 0. 0 +.( ) + k = 0 k = 6 SIR SİZ O halde, doğrunun denklemi, + + 6 = 0 olur. 1 0
YLŞIM nalitik düzlemde verilen bir eşkenar dörtgenin (paralelkenarda olduğu gibi) karşılıklı köşelerinin apsisleri toplamı, diğer karşılıklı köşelerinin apsisleri toplamına; karşılıklı köşelerinin ordinatları toplamı, diğer karşılıklı köşelerinin ordinatları toplamına eşittir. İRLİT ÇÖZLİM (, m) (, ) O (, 0) (7, 0) nalitik düzlemde verilen eşkenar dörtgeninde noktasının koordinatları toplamı kaçtır? (,) (1,a) O (1,0) O bir eşkenar dörtgen ise, noktasının koordinatları toplamı kaçtır? 17. öşelerinin koordinatları (, 0), (0, ), (m, 0), (, ) olan eşkenar dörtgeninin çevresi kaç br'dir? 0 SIR SİZ (, m) O (, 0) (, ) (7, 0) = ( 7 ) + ( 0 0) = br' dir. eşkenar dörtgen olduğu için = = br olur. = ( m 0) + ( ) = m + 9 = m = olur. una göre, + = 7 + + 0 + m = 0 + = 1 + = + = 1 tür.. (a,b) (,m) (,) (,0) O (z,t) L M N(c,d) nalitik düzlemde verilen O, O, LO ve MNO eş eşkenar dörtgenler ise + b + t + d toplamı kaçtır? 1. O eşkenar dörtgen (, 1) O Yukarıdaki verilere göre, noktasının koordinatları toplamı kaçtır? 0 1
. ŞNR ÖRTGN VTÖRL YLŞIM YLŞIM Paralelkenarda olduğu gibi eşkenar dörtgende de kenar özellikleri kullanılarak iç çarpım ve bir vektörü diğer vektörler türünden azma soruları çözülebilir. İRLİT ÇÖZLİM. b a nü n a ve b türün- Yukarıdaki verilere göre, den eşitini bulunuz. b a eşkenar dörtgen = = a = b a b eşkenar dörtgen = = ( 6, ) = (, m) Yukarıdaki verilere göre, nü bulunuz. = (, ) eşkenar dörtgen = = a = b Yukarıdaki verilere göre, nün a ve b türünden eşitini bulunuz. SIR SİZ.. a 6 eşkenar dörtgen [] [] ağırlık merkezi = 6 br = br Yukarıdaki verilere göre,, sonucu kaçtır? 6 b k m m k k una göre, = olur. a & + & (elebek benzerliği)olduğundan = + & = b + a a b = olur = k = k ve = m = m 'dir. eşkenar dörtgen = ağırlık merkezi Yukarıdaki verilere göre,, nin sonucu kaçtır? 0
YLŞIM şkenar dörtgenin alanı da (paralelkenarda olduğu gibi) vektörler ardımı ile bulunabilir. İRLİT ÇÖZLİM. eşkenar dörtgeninde [] kenarı eksenine paralel ve = ( 1, 1) ise lan() kaç br dir? 16 eşkenar dörtgeninde [] kenarı eksenine paralel = (, 1) ve = ( 17, m) ise lan() kaç br dir? = (, ) ise eşkenar dörtgeninin alanını bulunuz. HTIRLTM Çap Yaınları Çap Yaınları eşkenar.. dörtgen = (a, b) = (c, d) ise SIR SİZ (0,0) (,) (9,m) eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? (,) L (,) şkenar dörtgeni [] kenarı eksenine gelecek şekilde, analitik düzleme erleştirelim. & &, (çı - enar - çı) ise = = = = br = br = = & özel üçgen olduğu için (k - k - k) = br olur. = (, ) ve = (, 0) ise lan() =. 0. = 0 br olur. lan() = ad bc dir. eşkenar dörtgen ve orta noktalar, = ( 7, ) ve = (, m) ise taralı alan kaç br dir? 1 00
ÖNÜŞÜMLRL GOMTRİ ÖZTİ ÖZT. ÖTLM üzlemde u = PR olacak şekilde tanımlanan R noktasına, P noktasının u doğrultusunda ötelenmişi denir. R = P + u dur. Yukarıda anlatıldığı üzere düzlemde verilen bir noktanın, bir vektör doğrultusunda ötelenmişi olan noktaı bulmak için noktanın koordinatları ile vektörün koordinatları toplanır. P(a, b) noktasının u = ( c, d) doğrultusunda ötelenmişi olan nokta R = P + u = ( a, b) + ( c, d) = ( a + c, b + d) dir. b + d b P u R O a a + c P(a, b) u = (c, d) R(a + c, b + d) NOT: ir noktanın u = (, ) doğrultusunda ötelenmişini bulmak için; > 0 ise nokta birim sağa < 0 ise nokta ]] birim sola > 0 ise nokta birim ukarı < 0 ise nokta ]] birim aşağı kadırılır.. ÖNM üzlemde bir P noktasının başlangıç noktası (Orijin) etrafında a açısı kadar döndürülmesile (saat önünün tersinde) elde edilen nokta R ise R(. cosa. sina,. sina +. cosa) dır. Örneğin, düzlemde (a, b) noktasının orijin etrafında pozitif önde 60 döndürülmesile elde edilen noktanın koordinatları: (a. cos60 bsin60, a. sin60 + b. cos60 ) ise 1 1 ( a. b., a. + b. ) a b a + b (, ) olur. NOT: üzlemde P(, ) noktası orijin etrafında pozitif önde 90 döndürüldüğünde (, ) döndürüldüğünde (, ) 70 döndürüldüğünde (, ) noktaları elde edilir. (, ) (, ) (, ) P(, ) Yandaki şekilde P(, ) noktası 90, ve 70 lik dönmeleri gösterilmiştir. NOT: üzlemde bir doğru parçasına vea herhangi bir geometrik şekle dönme dönüşümü ugulandığında alnızca bir nokta değil, diğer tüm noktalar değişir. eğişmeen noktaa dönme merkezi denir. O (-, ) (- 1, 1 ). YNSIM (SİMTRİ) (, ) ( 1, 1 ) [O] [O'] [O] [O'] üzlemde bir noktasının noktasına göre simetriği ' noktası ise ' = bağıntısı kullanılır. Örneğin, düzlemde ( 1, 1 ) noktasının (, ) noktasına göre simetriği olan nokta ' = = (, ) ( 1 1 ) = ( 1, 1 ) olur. ( 1, 1 ) (, ) ( - 1, - 1 )
NOT: Noktanın noktaa göre simetriği, orta nokta formülü kullanılarak da bulunabilir. üzlemde alınan herhangi bir P(, ) noktasının: eksenine göre simetriği P'(, ) eksenine göre simetriği P'(, ) = doğrusuna göre simetriği P'(, ) = doğrusuna göre simetriği P'(, ) = a doğrusuna göre simetriği P'(a, ) = b doğrusuna göre simetriği P'(, b ) dir. Noktanın oğrua Göre Simetriği ( 1, 1 ) I. nalitik Yaklaşım (, ) ( 1, 1 ) noktasının a + b + c = 0 doğrusuna göre simetriğini bulmak için: i. a + b + c = 0 doğrusunun eğimi bulunur. ii. ['] nı taşıan doğrunun eğimi bulunur. (İlk doğrunun eğiminin tersinin ters işaretlisi) iii. ['] nı taşıan doğrunun denklemi azılır. iv. İlk doğru ile kesişim noktaları olan noktasının koordinatları bulunur. v. noktasının noktasına göre simetriği alınarak ' noktasının koordinatları bulunur. II. Vektörel Yaklaşım Herhangi bir d doğrusunun, doğrultman vektörü U ve üzerindeki herhangi bir nokta P olmak üzere, noktasının d doğrusuna göre simetriği < P, u > P +. u ile bulunur. < u, u > P ( 1, 1 ) (, ). HOMOTTİ ÖNÜŞÜMÜ üzlemde sabit bir nokta ve k R olmak üzere, ' = + k ( ) eşitliğini sağlaan ' noktasına, noktasının merkezli k oranlı homotetiği denir. Örneğin, ( 1, 1 ) noktasının (, ) merkezli ve k = oranlı homotetiği; ' = + k( ) ' = (, ) + ( 1, 1 ) ' = ( + 1, + 1 ) ' = ( 1, 1 ) dir. irim karelere arılmış analitik düzlemde verilen üçgeninin O merkezli ve k = oranlı homotetiği ''' üçgenidir. P ]P'] = ]P] ]P'] = ]P] [] doğru parçasının P merkezli k = oranlı homotetiği [''] dır. üzlemde bir şekle homoteti dönüşümü ugulandığında; k = 1 ise şeklin kendisi k > 1 ise şeklin k oranında büütülmüşü 0 < k < 1 ise şeklin k oranında küçültülmüşü elde edilir. üzlemde homoteti dönüşümü ugulanan bir şeklin uzunlukları, anı oranda değişir ancak açılarının ölçüleri değişmez. İlk şekil ile homotetiği benzerdir.
. ÖNÜŞÜMLRL ŞNR ÖRTGN YLŞIM üzlemde öteleme, dönme, ansıma ve homoteti dönüşümleri ile eşkenar dörtgenin özellikleri ortak düşünülerek birçok soru çözülebilir. İRLİT ÇÖZLİM ÖTLM eşkenar dörtgeninde. ÖNM irim karelere arılmış düzlemde verilen eşkenar dörtgeni ile bu eşkenar dörtgenin, ve doğrultularında ötelenmişlerini anı düzlemde gösteriniz. ğırlık merkezi orijinde ve iki köşesinin koordinatları ( 1, 0) ve (0, ) olan eşkenar dörtgeni, orijin etrafında pozitif önde 90 döndürülerek '''' eşkenar dörtgeni elde edilior. una göre '' dörtgeninin alanı kaç br dir? Üç köşesinin koordinatları (, 1), (, 1) ve (1, ) olan eşkenar dörtgeni bounca ötelendiğinde elde edilen eni eşkenar dörtgende noktasına karşılık gelen noktanın ordinatı kaçtır? SIR SİZ. II III I ^ h ^ h ^ h' dir. =, 0, = 1, ve = 1, eşkenar dörtgeni = ^, 0h doğrultusunda ötelenerek (br sağa) I nolu eşkenar dörtgen; = ^1, h doğrultusunda ötelenerek (1br sağa br ukarı) II nolu eşkenar dörtgen ve = ^1, h doğrultusunda ötelenerek (1br sağa br aşağı) III nolu eşkenar dörtgen elde edilir. ört eşkenar dörtgenin birleşmesile oluşan şekil ine bir eşkenar dörtgendir.. ğırlık merkezi orijinde olan eşkenar dörtgeninin iki köşesi ( 1, 0) ve (0, ) ise eşkenar dörtgenin diğer iki köşesi bu köşelerin orijine göre simetrikleridir. una göre ( 1, 0) noktasının orijine göre simetriği (1, 0) noktası, (0, ) noktasının orijine göre simetriği (0, ) noktasıdır. (, ) noktasının orijin etrafında pozitif önde 90 döndürülmesile elde edilen nokta (, ) ise, ( 1, 0) '(0, 1); (0, ) '(, 0), (1, 0) '(0, 1) ve (0, ) '(, 0)'dır. '' dörtgeni bir kenarı lan('') = $ = 1 br dir. O br olan kare olduğu için, irim karelere arılmış analitik düzlemde verilen O eşkenar dörtgeni orijin etrafında pozitif önde döndürüldüğünde elde edilen eni eşkenar dörtgenin ağırlık merkezinin apsisi kaçtır? 6
İRLİT ÇÖZLİM. YNSIM. şkenar dörtgenin iki köşesi ğırlık merkezinin koordinatları ( 1, 1) noktası olan eşkenar dörtgeninin iki köşesi ( 1, ) ve (, 1) ise köşesinin köşesine göre simetiği olan noktanın köşesine uzaklığı kaç br'dir?. HOMOTTİ Üç köşesinin koordinatları (, 1), (1, ) ve (, 1) olan eşkenar dörtgeninin (1, ) merkezli ve k = oranlı homotetiği alındığında elde edilen eni eşkenar dörtgenin köşelerinin koordinatlarını bulunuz. O irim karelere arılmış analitik düzlemde verilen eşkenar dörtgeninde noktasının [] kenarına göre simetriğinin ordinatı kaçtır? 1 SIR SİZ O G ( 1, ) ve (, 1) noktaları ise, ve bu noktaların G( 1, 1) noktasına göre, simetrikleridir. una göre, ( 1, 1) ve (, 1)'dir. ( 1, 1) noktasının (, 1) noktasına göre simetriği (a, b) ise orta nokta bağıntısından; 1 + a 1 + b = & a = 7 ve = 1 & b = olur. ( 7, ) noktası ile ( 1, ) noktası arasındaki uzaklık, = ` 7 1 + ` = 6 + 0 = 6b bulunur.. ^ (1, ) hj ^ h j ^ h br köşesinin koordinatları (a, b) olan eşkenar dörtgeninin karşılıklı köşelerinin apsisleri toplamı eşit olduğu için + = 1 + a a = 1 ve karşılıklı köşelerinin ordinatları toplamı eşit olduğu için 1 1 = + b b = 1 ve (1, 1) olur. dörtgeninin (1, ) merkezli ve k = oranlı homotetiği olan eşkenar dörtgenin köşelerinin koordinatları da ' = (1, ) + ((, 1) (1, )) = (1, ) + (, ) = (, ) ' = (1, ) + ((1, ) (1, )) = (1, ) + (0, ) = (1, ) ' = (1, ) + ((, 1) (1, )) = (1, ) + (, ) = (7, ) ' = (1, ) + ((1, 1) (1, )) = (1, ) + (0, 1) = (1, 0) dir.. Üç köşesinin koordinatları (, ), (, ) ve (, 0) olan eşkenar dörtgeninin, ağırlık merkezi merkezli k = oranlı homotetiği alındığında elde edilen eni eşkenar dörtgende köşesine karşılık gelen noktanın koordinatları toplamı kaçtır? 7
TST 1 : ŞNR ÖRTGN ÇILR (SNTTİ YLŞIM).. 0 eşkenar dörtgen eşkenar üçgen m( ) = 0 a Yukarıdaki verilere göre, m( ) = a kaç derecedir? ) 0 ) 0 ) ) 0 ) 0 6 eşkenar dörtgen, =,,, doğrusal ve m( ) = 6 ise m( ) = dere- cedir? ) ) ) ) 6 ) 6 a eşkenar dörtgen kare m( ) = Yukarıdaki verilere göre, m( ) = a kaç dere-.. 6. a eşkenar dörtgen kare m( ) = Yukarıdaki verilere göre, m( ) = a kaç derecedir? ) 0 ) ) 60 ) 6 ) 70 0 eşkenar dörtgen kare m( ) = 0 Yukarıdaki verilere göre, m( ) = kaç derecedir? ) ) ) 1 ) 1 ) 0 0 eşkenar dörtgen = m( ) = 0 cedir? Yukarıdaki verilere göre, m( ) kaç derecedir? ) ) 1 ) 1 ) 1 ) 0 ) 1 ) ) ) )
7. eşkenar dörtgen. 0 eşkenar dörtgen =. 9. [] köşegen [] açıorta 0 m( ) = 0 Yukarıdaki verilere göre, m( ) = derecedir? ) 9 ) 0 ) ) 1 ) 11 1 eşkenar dörtgen, =,,, doğrusal, m( ) = 1 ise m( ) = kaç dere- cedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 eşkenar dörtgen =, ve doğrusal m( ) = Yukarıdaki verilere göre, m( ) = kaç derecedir? 1 [] ve [] açıorta m( ) = 0 Yukarıdaki verilere göre, m( ) = kaç derecedir? ) ) 1 ) 11 ) ) 1 7 eşkenar dörtgen, m( ) = m( ), m( ) + m( ) = m( ), m( ) = 7 ise m( ) = kaç derecedir? ) 7 ) 90 ) 9 ) 96 ) 99 1 eşkenar dörtgen, eşkenar üçgen ve m( ) = 1 ise m( ) = kaç derecedir? ) ) 0 ) ) ) ) 0 ) ) 0 ) ) 0.... 6. 7.. 9.. 1 9
TST : ŞNR ÖRTGN UZUNLU (SNTTİ YLŞIM).. eşkenar dörtgen [] köşegen 1 1 = 1 cm = 1 cm = cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 16 ) 1 eşkenar dörtgen 1 [] köşegen [] [] 9 = 9 cm = 1 cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? ) 6 ) 9 ) ) ) 6 eşkenar dörtgen [] ve [] köşegen [] // [] = cm = cm.. 6. 1 eşkenar dörtgen [] [] = = 1 cm Yukarıdaki verilere göre, Çevre() kaç cm'dir? ) 0 ) 1 ) 16 ) 1 ) 1 eşkenar dörtgen 7 [] [] = = 7 cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? ) ) ) 1 ) 1 ) 0 eşkenar 1 dörtgen L [] [] 1 [] [] L = cm = 1cm L = 1cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? Yukarıdaki verilere göre, L = kaç cm'dir? ) ) 1 ) 1 ) 16 ) 0 ) 19 ) 0 ) 1 ) ) 0
7. eşkenar dörtgen.. 9. L [] // [] = = = cm = cm Yukarıdaki verilere göre, oranı kaçtır? ) ) ) 6 ) 7 ) 7 eşkenar dörtgen [] [] m( ) = = cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? ) ) ) ) ) 6 eşkenar dörtgen 1 [] [] = m( ) = 1 = cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? ) ) ) ) 7 ) 1 Şekilde eşkenar dörtgen;,,, doğrusal, =, m( ) = m( ), = cm ise = kaç cm'dir? ) ) ) ) ) 6 üçgen eşkenar dörtgen = cm = cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? ) ) 7 ) ) 9 ) üçgen 6 eşkenar dörtgen = cm = 6 cm = cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? ) ) ) 6 ) 6 ) 6.... 6. 7.. 9.. 1 1
TST : ŞNR ÖRTGN LN (SNTTİ YLŞIM).. eşkenar dörtgen 1 [] [] = = 1 cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) 7 ) 7 ) 96 ) 1 ) 1 1 eşkenar dörtgen [] [] [] [] = 1 cm = cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) 6 ) 600 ) 76 ) 0 ) dörtgen [] [] [] [],, doğrusal = cm = 16 cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir?.. 6. eşkenar dörtgen [] [] = = cm = cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) 16 ) 19 ) 160 ) 1 ) 1 eşkenar dörtgen 6 [] ve [] açıorta = 6 cm = cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) 7 ) ) 9 ) 96 ) 0 eşkenar dörtgen [] [] 1 [] [] = 9 cm 9 = cm = 1 cm = cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) 60 ) 6 ) 7 ) 0 ) 90 ) 60 ) 00 ) 0 ) 00 ) 600
7.. 9. eşkenar dörtgen = lan( & ) = cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) 7 ) 0 ) ) 6 ) 9 eşkenar dörtgen = & Yukarıdaki verilere göre, lan( ) lan() = 0 cm kaç cm dir? ) ) 9 ) ) 11 ) 1 eşkenar dörtgen [] [] m( ) = m( ) = cm = cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 0 ) 1. 1 eşkenar dörtgen [] // [] = m( ) = m( ) lan(( & ) = cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) 1 ) ) 6 ) 7 ) 0 9 eşkenar dörtgen [] [] = = cm = 9 cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) 9 ) 6 ) ) 9 ) 1 dörtgen [] [] eşkenar m( ) = lan( & ) Yukarıdaki verilere göre, lan( & oranı kaçtır? ) ) 1 ) ) 1 ) ).... 6. 7.. 9.. 1
TST : NLİTİ V VTÖRL ŞNR ÖRTGN (ÇI - UZUNLU - LN) (,) O nalitik düzlemde verilen O eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? ) 1 ) 0 ) ) ) 6. O nalitik düzlemde verilen eşkenar dörtgenininde, [] kenarını taşıan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) + 16 = 0 ) + 16 = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + + = 0. eşkenar dörtgeninin köşelerinden ikisi (0, ), (9, 0) ise [] kenarını taşıan doğru-.. 6. (,) (6,7) eşkenar dörtgeninde [] köşegeninin taşııcı doğrusunun eğimi kaçtır? ) 11 ) 1 ) ) 11 11 O ) 11 eşkenar dörtgen (0, ) (, ) Yukarıdaki verilere göre, noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) ) 9 ) ) 11 ) 1 O O eşkenar dörtgen, [O] [], m( O ) = m( ) ise [] kenarını taşıan doğ- nun eğimi kaçtır? runun eğimi kaçtır? ) ) 1 ) 1 ) 1 ) ) ) ) ) )
7. eşkenar. eşkenar dört-. 9. b a dörtgen = a = b Yukarıdaki verilere göre, nin a ve b türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) a + b 6 0 ) a b ) a + b ) b a ) a + b eşkenar dörtgen m( ) = 0 = 6 br Yukarıdaki verilere göre, nin sonucu kaçtır? ) ) 16 ) 1 ) 16 ) eşkenar dörtgen = ( + 1, ) Yukarıdaki verilere göre, [] kenarı eksenine paralel ise lan() kaç br dir? ) + 1 ) + ) + 1 ) ) 1 1 gen m( ) = 1 = br Yukarıdaki verilere göre,, nin sonucu kaçtır? ) 16 ) ) 6 ) ) 6 eşkenar dörtgen = ( 6, ) = (, ) Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç br dir? ) 1 ) 1 ) ) ) 0 eşkenar dörtgen ağırlık merkezi = Yukarıdaki verilere göre,, nin sonucu kaçtır? ) ) 1 ) 0 ) 1 ).... 6. 7.. 9.. 1
TST : ÖNÜŞÜMLRL ŞNR ÖRTGN ir eşkenar dörtgeninde köşesinin [] köşegenine göre ansıması aşağıdakilerden hangisidir? ) noktası ) noktası ) noktası ) noktası ) ğırlık merkezi.. L irim karelere arılmış düzlemde verilen eşkenar dörtgeninin ağırlık merkezi G noktasıdır. una göre eşkenar dörtgen G bounca ötelendiğinde noktasına karşılık gelen nokta aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) ) ) L irim karelere arılmış analitik düzlemde dört eş eşkenar dörtgenden O oluşan şekil, orijin etrafında pozitif önde en az kaç derece döndürüldüğünde, ine anı şekil ortaa çıkar?. ir eşkenar dörtgenin herhangi bir köşegenine göre simetriği alındığında elde edilen şekil aşağıdakilerden hangisidir? ) eltoid ) Paralelkenar ) İkizkenar Yamuk ) İkizkenar Üçgen ) şkenar örtgen. [], [] köşegen [] [] bb = br bb = br eşkenar dörtgeninin merkezli k = oranlı homotetiği alındığında oluşan şeklin alanı kaç br 'dir? ) 0 ) 0 ) 160 ) ) 0 6. öşe koordinatları (1, 0), (, ), (7, 0), (, ) olan eşkenar dörtgen orijin etrafında negatif önde 70 döndürüldüğünde noktasına karşılık gelen noktanın orijine uzaklığı kaç br'dir? ) 1 ) ) ) ) ) 0 ) ) 60 ) 90 ) 6
7. öşelerinin koordinatları (m, 1), (, n), (6, 1) ve (, ) olan eşkenar dörtgeninin eksenine göre ansıması alındığında, eşkenar dörtgeninin ağırlık merkezi ile elde edilen eşkenar dörtgende noktasına karşılık gelen nokta arasındaki uzaklık kaç br'dir? ) ) ) ) 1 ) 0. O ve eşkenar dörtgen, m^ X h = 1 O Yukarıdaki verilere göre, O eşkenar dörtgeni orijin etrafında pozitif önde kaç derece döndürüldüğünde [O] kenarı ekseni ile çakışır? ) ) 0 ) 70 ) 90 ) 1 9., ve eşkenar dörtgen m^ X h = m^ W h = 60 60 Yukarıdaki altıgen noktası etrafında pozitif önde döndürüldüğünde noktası hangi noktaa karşılık gelir? ) ) ) ) ). Üç köşesinin koordinatları (1, 1), (, ) ve (, ) 1 olan dörtgeni orijin etrafında pozitif önde 60 döndürüldüğünde elde edilen eşkenar dörtgende noktasına karşılık gelen noktanın koordinatları çarpımı kaçtır? ) + ) O ) ) ) irim karelere arılmış analitik düzlemde verilen eşkenar dörtgeni bounca ötelenior. una göre elde edilen eni eşkenar dörtgende noktasına karşılık gelen noktanın apsisi ile noktasına karşılık gelen noktanın ordinatı çarpımı kaçtır? ) 0 ) 16 ) 1 ) ) 0 irim karelere arılmış düzlemde sekiz eşkenar dörtgen kullanılarak oluşturulan şeklin kaç tane simetri ekseni vardır? ) ) ) ) 1 ) 16.... 6. 7.. 9.. 1 7
TST 6 : ŞNR ÖRTGN RM - I.. 7 eşkenar dörtgen =,, doğrusal m( ) = m( ) = Yukarıdaki verilere göre, farkı kaçtır? ) ) ) 1 ) 1 ) 1 eşkenar dörtgen =,, doğrusal m( ) = Yukarıdaki verilere göre, m( ) = kaç derecedir? ) ) 6 ) ) 9 ) 6 eşkenar dörtgen eşkenar üçgen m( ) = 6 Yukarıdaki verilere göre, m( ) = kaç derecedir?.. 6. 9 eşkenar dörtgen [] [] [] [] = 9 cm = cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? ) 0 ) 9 ) ) 7 ) 6 eşkenar dörtgen 1 [] [] [] [] = cm = 1 cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? ) 17 ) 16 ) 1 ) 1 ) 1 eşkenar dörtgen [] [] 6 m( ) = m( ) m( ) = m( ) = cm = 6 cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? ) ) ) 1 ) 1 ) 1 ) ) ) ) )
7.. 9. eşkenar dörtgen [] köşegen = = cm = cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? ) 7 ) ) ) ) eşkenar dörtgen [] [] = m( ) = = cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) ) 0 ) ) 0 ) 0 dörtgen eşkenar,, doğrusal = cm = cm lan( & ) = cm 9 Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) ) ) 6 ) 9 ) 1. 1 eşkenar dörtgen [] [] = lan() = cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) ) ) 0 ) 7 ) 7 eşkenar dörtgeninde,, doğrusal, = cm, = cm, = cm ise = kaç cm'dir? ) 6 ) 7 ) ) 9 ) dörtgen eşkenar,, doğrusal [] [] [] [] = br = br Yukarıdaki verilere göre,, nin sonucu kaçtır? ) 169 ) 1 ) 1 ) 11 ) 0.... 6. 7.. 9.. 1 9
TST 7 : ŞNR ÖRTGN RM - II.. eşkenar dörtgen 1 m( ) = m( ) m( ) = 1 Yukarıdaki verilere göre, m( ) = ) 11 ) 116 ) ) 1 ) 16 eşkenar dörtgen 0 eşkenar üçgen,, doğrusal m( ) = 0 Yukarıdaki verilere göre, m( ) = derecedir? ) 6 ) 70 ) 7 ) 76 ) 0 70 eşkenar dörtgen kare m( ) = 70 Yukarıdaki verilere göre, m( ) = kaç derece-. eşkenar dörtgen [] [] [] [] = cm = 1 cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? ) 16 ) 17 ) 1 ) 19 ) 0. Yukarıdaki şekilde, eşkenar dörtgen, = cm, = cm ve = 1 cm ise = kaç cm'dir? ) ) 1 ) ) ) 6. eşkenar dörtgen [] [] [] [] [L] [L] = cm L = cm dir? Yukarıdaki verilere göre L = kaç cm'dir? ) 170 ) 16 ) 160 ) 1 ) ) 9 ) ) 7 ) 6 ) 0
7.. 9. eşkenar dörtgen [] // [] m( ) = m( ) m( ) = m( ) Yukarıdaki verilere göre, Çevre() = cm ise = kaç cm'dir? ) ) ) ) ) 6 eşkenar dörtgen = lan() = 60 cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) 11 ) 1 ) 0 ) ) 7 L 60 eşkenar dörtgen, = = =, m( ) = 60, lan( L) = cm ise = kaç cm'dir?. 1 67, 6 eşkenar dörtgen [] [] [] [] m( ) = 67, = cm = 6 cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) 11 ) 1 ) 1 ) 16 ) 196 O (1,1) nalitik düzlemde verilen O eşkenar dörtgeninin alanı kaç br dir? ) 169 ) 16 ) 1 ) 1 ) 6 eşkenar dörtgen m( ) = = 6 br Yukarıdaki verilere göre,, nin sonucu kaçtır? ) 6 ) 6 ) 1 ) ) 6 ) ) 1 ) 16 ) 6 ) 6.... 6. 7.. 9.. 1 1
TST : ŞNR ÖRTGN RM - III.. 1 eşkenar dörtgen, [] [], =,,,, doğrusal, m( ) = 1 ise m( ) = kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 60 ) 7 G L Şekilde verilen altıgeni üç eş eşkenar dörtgenden oluşmaktadır. m( ) =, m() = ise + toplamı kaç derecedir? ) 70 ) 7 ) 0 ) ) 90 eşkenar dörtgeninde m( ) = m( ) = m( ) = m( ), m( ) = m( ) ise m( ) = kaç derecedir?.. 6. eşkenar dörtgen,,, doğrusal = = 1 cm 1 = cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm ' dir? ) ) 6 ) 7 ) ) 9 eşkenar dörtgen 0 [] köşegen m( ) = 0 = Yukarıdaki verilere göre, m( ) = derecedir? ) 0 ) ) 0 ) 60 ) 7 eşkenar dörtgen [] köşegen 1 0 [] [] [] [] []={} m( ) = 0 = 1 cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? ) ) 1 ) ) 1 ) ) ) ) ) )
7.. 9. 1 eşkenar dörtgen;,, doğrusal, m( ) = m( ) = m( ), = cm ve = 1 cm ise = kaç cm'dir? ) ) 9 ) ) 11 ) 1 eşkenar dörtgen ağırlık merkezi = [] [] m( ) = m( ) lan()=0cm Yukarıdaki verilere göre, lan() kaç cm dir? ) 6 ) ) ) 0 ) 7 60 6 7 L eşkenar dörtgen [L] // [] [L] // [] [L] // [] m( ) = 60 Yukarıdaki şekilde, L = cm, L = 6 cm, L = 7 cm ise lan() kaç cm dir? ) 1 ) 16 ) 16 ) 196 ) 16. 1 eşkenar dörtgen = m( ) = m( ) ()=7 cm Yukarıdaki verilere göre, lan( & ) kaç cm dir? ) 6 ) ) ) 1 ) 1 a eşkenar dörtgen [] [] = m( ) = a m( ) = b Yukarıdaki verilere göre, a ve b arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir? ) b = a ) b = a ) b = a ) b = a ) b = a O d (,) O eşkenar dörtgen (, ) Yukarıdaki verilere göre, d doğrusunun eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? ) 0 ) 6 ) 16 ) ) 1.... 6. 7.. 9.. 1
R
R ÖZT enar uzunlukları eşit olan dikdörtgene kare denir. a = = = m() W = m() W = m() X = m() X = 90 ütün kareler, anı zamanda dikdörtgen olduğu a a için, dikdörtgen için geçerli olan tüm özellikler, kare için de geçerlidir. arenin anı zamanda hem paralelkenar hem de eşkenar dörtgen olduğu unutulmamalıdır. arenin çevresi, Çevre() = a dır. arenin köşegen uzunluğu e = = = a dir. arenin kenar uzunluğu türünden alanı lan() = a dir. arenin köşegen uzunluğu türünden alanı lan() = e dir. a Çap Yaınları Çap Yaınları Çap Yaınları Çap Yaınları Çap Yaınları Çap Yaınları arenin köşegenleri birbirlerini dik ortalarlar. arenin bir köşegeni çizildiğinde, iki eş - - 90 özel dik üçgen oluşur. a a e = a a arenin iki köşegeni çizildiğinde, dört eş - - 90 özel dik üçgen oluşur. a
. R ÇI ÖZLLİLRİ (SNTTİ YLŞIM) YLŞIM arenin iç bölgesine, bir kenarı karenin bir kenarı ile çakışacak şekilde eşkenar üçgen çizilmişse eşit uzunluktaki kenarlar işaretlenerek ikizkenar üçgen bulunur. İRLİT ÇÖZLİM. kare ve eşkenar üçgen ise m( ) = kaç derecedir? 7 kare eşkenar üçgen m( ) = m( ) = Yukarıdaki verilere göre, + toplamı kaç derecedir? kare, eşkenar üçgen,,, doğrusal, m( ) = ve m( ) = ise farkı kaç derecedir? SIR SİZ.. kare, eşkenar üçgen, m( ) = ve m( ) = ise farkı kaç derecedir? 7 0 0 60 = ise bir ikizkenar üçgen olur. L kare, eşkenar üçgen ise m( L) = kaç derecedir? ikizkenar dik üçgen olduğu için, m ( ) = m ( ) = dir. m ( ) = m ( ) = 7 ve m ( ) = = 7 = 0 dir. = ( + 0 ) = bulunur. una göre, + = + 0 = 1 dir. 0 0 60 6
YLŞIM arenin dış bölgesinde, bir kenarı karenin bir kenarı ile çakışacak şekilde eşkenar üçgen verilmişse eşit uzunluktaki kenarlar işaretlenerek ikizkenar üçgen bulunur. İRLİT ÇÖZLİM kare, eşkenar üçgen ise, m( ) = kaç derecedir? kare ve eşkenar üçgen ise m( ) = kaç derecedir? 1. kare, eşkenar üçen ise m( ) = kaç derecedir? 0 SIR SİZ kare, eşkenar üçgen ve [] ke- narı ortak ise, 1 60 1 = ve m ( ) = m ( ) = 1 olur. ikizkenar dik üçgen olduğu için, m ( ) = m ( ) = dir. una göre, m ( ) = = 1 = 0 bulunur... kare ve eşkenar üçgen ise m( ) = kaç derecedir? kare ve = ise m( ) = kaç derecedir? 7
YLŞIM arenin köşegenlerinden birine eşit uzunlukta bir doğru parçası verilmişse, diğer köşegen çizilip, oluşan ikizkenar üçgen ardımıla soru çözülür. aşka bir ifadele, soruda verilen eşit iki uzunluğu ek çizim aparak ilişkilendirmek gerekir. İRLİT ÇÖZLİM. = eşitliği a bu halile kullanılamadığı için, L a arenin [] köşegeni çizilir. = = ise bir ikizkenar üçgendir. kare, üçgen = doğrusal ise m( ) = kaç derecedir? m ( ) = m ( ) = a, a = ve a =, bulunur. m ( ) = m ( ) (iç ters açılar) ise =, bulunur. SIR SİZ. kare, = ve,, doğrusal ise m( ) = kaç derecedir? 67, kare, = ve,, doğrusal ise m( ) = kare, = ve,, doğrusal ise m( ) = 0. kare,,, doğrusal ve = ise m( ) = kaç derecedir?,
YLŞIM arenin eşit kenarlarından ikisi kullanılarak bulunan eş üçgenler ardımı ile açı soruları çözülebilir. u şekildeki sorularda a karenin köşesi dışında bir dik açı a da farklı erde eşit uzunlukta iki kenar verilir.. kare [] [],, doğrusal m( ) = Yukarıdaki verilere göre, m( ) = kaç derecedir? 70 kare,,, doğrusal ise m( ) = kaç derecedir? İRLİT ÇÖZLİM 1 kare ve,, doğrusal ise m( ) = kaç derecedir? 0 SIR SİZ.. 90 90 ikizkenar dik üçgen ise, m ( ) = m ( ) = dir. =, m ( ) = m ( ) m ( ) = m ( ) & &, ve = olur. una göre, + + = 90 ve = 1 bulunur. 6ϒ Şekilde verilen karesinde = ise m( ) = kaç derecedir? 0 karesinde,, doğrusal ve = ise m( ) = kaç derecedir? 9 0 1
. R UZUNLU ÖZLLİLRİ (SNTTİ YLŞIM) YLŞIM arenin kenar uzunlukları eşit olduğu için uzunluk sorularının birçoğu Pisagor teoremi ardımıla çözülebilir. İRLİT ÇÖZLİM. kare = cm = cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? 1 karesinde = kaç br'dir? 7 17 karesinde = kaç br'dir? 1 SIR SİZ.. a a = = cm'dir. = a olmak üzere, dik üçgeninde Pisagor Teoremi ugulandığında, ( ) = a + 16 = a +0 a = 6 cm'dir = a = 6 cm ise = cm olur. una göre, dik üçgeninde Pisagor Teoremi ugulandığında, = + = 116 ve = 9 cm bulunur. 1 karesinde = kaç br'dir? 6 karesinde = kaç br'dir? 6 1 60
gulanır. YLŞIM arede bir köşegen uzunluğu verildiğinde, diğer köşegen de çizilerek oluşan dik üçgenlerde Pisagor teoremi u- İRLİT ÇÖZLİM. kare [] köşegen = cm = cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm dir? 1 karesinde = kaç br'dir? karesinde = ise = kaç br'dir? SIR SİZ.. [] köşegeni çizildiğinde, [] [] ve = = = = + = cm olur. = cm olduğu için üçgeninde Pisagor Teoremi ugulandığında, = + = 9 cm bulunur. karesinde = kaç br'dir? + 60 karesinde = kaç br'dir? 6 61
YLŞIM arenin bir köşegeni karenin dışına doğru uzatılarak çizilmişse, diğer köşegen çizilerek oluşan dik üçgende Pisagor teoremi ugulanır. Soruu çözerken, karenin köşegenlerinin birbirlerini dik ortaladıkları unutulmamalıdır. İRLİT ÇÖZLİM. 6 0 kare,, doğrusal = 0 cm = 6 cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm'dir? 16 7 karesinde,, doğrusal ise = kaç br'dir? 0 karesinde,, doğrusal ise oranı kaçtır? 17 1 SIR SİZ.. 6 [] köşegeni çizildiğinde, [] [] ve = = = = olur. 0 = cm dik üçgeni k 1k 1k özel üçgeni olduğu için, = cm'dir. una göre, = = = 1 cm bulunur. 6 karesinde,,, doğrusal ise = kaç br'dir? 1 karesinde,, doğrusal ise Çevre() kaç br'dir? 6 6 0 6
YLŞIM arenin bir köşegeninin çizildiği sorularda, köşegen üzerine dik inilmişse, köşegen açıorta olduğundan, ikizkenar dik üçgenler oluşur. İkizkenar dik üçgeninin özellikleri sorunun çözümü kolalaştırır. İRLİT ÇÖZLİM. L kare = [L] [] [] [] L = cm = cm Yukarıdaki verilere göre, L = kaç cm'dir? L karesinde L = kaç br'dir? karesinde = kaç br'dir? 7 SIR SİZ.. L karesinde [] köşegen 6 6 olduğu için, m ( ) = m ( ) = m ( ) = ve m ( ) = m ( ) = m ( L) = dir. L = cm ise L = cm ve = = = cm ise = cm ve = = = 6 cm olur. cm ise = 1 cm bulunur. una göre, + + = 1 ise = cm dir. cm kare ve dikdörtgen ise oranı kaçtır? Çevre ( ) karesinde = kaç br'dir? 6
YLŞIM are içerisinde verilmiş ikizkenar üçgen sorularında, ikizkenar üçgenin üksekliği çizilerek Pisagor Teoremi ugulanır. (arenin bir kenarının orta noktasından çizilen dikme diğer iki köşe ile birleştirildiğinde ikizkenar üçgen oluşur.) İRLİT ÇÖZLİM. 1 kare = [] [] = = 1 cm Yukarıdaki verilere göre, Çevre() kaç cm'dir? 1 karesinde = kaç br'dir? karesinde = kaç br'dir? SIR SİZ.. 1 1 = ise = =, = = ve = = olur. üçgeninde Pisagor Teoremi ugulandığında, () + () = ( 1 ) 9 + = = = cm'dir. Çevre() =. = 16 = cm bulunur. 1 karesinde, = = ve = ise = kaç br'dir? karesinde, oranı kaçtır? 6
YLŞIM Özel dik üçgenlerin özelliklerini kullanarak, karede uzunluk soruları çözülebilir. arenin kenar uzunlukların eşit olması işimizi daha da kolalaştırır. İRLİT ÇÖZLİM. 1 60 kare = 1 cm m( ) = 60 Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm dir? karesinde = kaç br'dir? 0 1 karesinde m( ) = m( ) ise, = kaç br'dir? 1 + 6 + 6 SIR SİZ.. 0 6 1 60 6 üçgeni 0 60 90 özel üçgeni olduğu için, = 1 cm ise = 6 cm ve = = 6 cm'dir. una göre, = = = 6 6 cm bulunur. 7 0 karesinde = kaç br'dir? 9 karesinde m( ) = 11m( ) ise Çevre() kaç br'dir? 1 6
YLŞIM arenin içine çizilmiş dik üçgen, özel dik üçgen olmadığında, üçgenin hipotenüsüne ait ükseklik çizilip Öklit teoreminden soru çözülebilir. İRLİT ÇÖZLİM İRLİT ÇÖZLİM kare [] [] [] [] = cm = cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm dir?. 9 1 karesinde = kaç br'dir? karesinde = ise oranı kaçtır? 7 SIR SİZ.. 1 = = = + = cm ise = = cm dir. [] kenarı [] kenarına doğru uzatıldığında, = = cm ve = = cm olur. üçgeninde Öklit Teoremi ugulandığında, ( ) =. ( ) = 16 = ve = 6 cm bulunur. L 1 karesinde L = kaç br'dir? karesinde = ise oranı kaçtır? 1 66