Mukavemet-II. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Bölüm 9 Kirişlerin Yer Değiştirmesi Kaynak: Cisimlerin Mukavemeti, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.

9.1 Giriş Bu bölümde, kirişlerdeki yer değiştirmenin belirlenmesi ile ilgileneceğiz. Verilen bir yüklemeye maruz bir kirişin maksimum yer değiştirmesini belirlemek özel bir önem taşır. Çünkü bir kirişin tasarımında, genellikle kirişin yer değiştirmesinin izin verilebilir maksimum değeri dikkate alınır. Mesnetlerdeki tepki kuvvetlerinin sayısının bilinmeyenleri belirlemek için mevcut olan denge denklemlerinin sayısını aştığı belirsiz kirişlerin analizinde de yer değiştirme bilgisine ihtiyaç duyulur.

9.2 Enine Yüklemeye Maruz Bir Kirişin Deformasyonu Basit eğilmeye maruz bir prizmatik kiriş, bir çember yayına eğilir. Elastik bölgede, tarafsız yüzeyin eğriliği, M eğilme momenti, E elastisite modülü ve I, kesitin tarafsız eksenine göre eylemsizlik momenti olmak üzere aşağıdaki gibi yazılır.

9.2 Enine Yüklemeye Maruz Bir Kirişin Deformasyonu Bu denklem, Saint Venant ilkesi uygulanabilir olmak koşuluyla, enine yüklemeye maruz bir kiriş için de kullanılabilir. Ancak, eğilme momenti ve tarafsız yüzeyin eğriliği kesitten kesite değişir.

9.2 Enine Yüklemeye Maruz Bir Kirişin Deformasyonu M ve dolayısıyla eğrilik, kirişin iki ucunda ve E noktasında sıfırdır. A-E arasında M pozitiftir, kiriş yukarı doğru konkavdır; E-D arasında M negatiftir, kiriş aşağıya doğru konkanvdır. Eğriliğin en büyük değeri, M nin en büyük olduğu C noktasında ortaya çıkar.

9.3 Elastik Eğrinin Denklemi Elastik eğri Yukarıdaki denklem, bir kirişin ekseni üzerindeki bir Q noktasında ölçülen y yer değiştirmesiyle bu noktanın orijine olan x uzaklığı arasında bir bağıntı kurmak için kullanılabilir. Elde edilecek bağıntı, elastik eğrinin denklemidir.

9.3 Elastik Eğrinin Denklemi Bir kirişin ekseni üzerindeki bir Q noktasında ölçülen y yer değiştirmesiyle bu noktanın orijine olan x uzaklığı arasındaki bağıntı, elastik eğrinin denklemidir. EI eğilme rijitliği olarak bilinir. Prizmatik kiriş halinde sabittir.

9.3 Elastik Eğrinin Denklemi Denklemin iki yanı EI ile çarpılıp integre edilebilir. C 1 ve C 2 sabitleri, sınır koşullarından belirlenir.

9.3 Elastik Eğrinin Denklemi (a) Basit mesnetli kiriş (b) Çıkmalı kiriş Bu bölümde analizler statikçe belirli kirişlerle sınırlanacaktır. Basit mesnetli ve çıkmalı kirişlerin mesnetlerinde yer değiştirme sıfırdır. Ankastre kirişte ise A daki yer değiştirme ve eğim sıfırdır. Bu sınır koşullarından C 1 ve C 2 nin çözülebileceği iki denklem elde edilir. (c) Ankastre kiriş

Örnek 9.01 AB ankastre kirişi, düzgün kesitli olup A serbest ucunda bir P yükü taşımaktadır. Elastik eğrinin denklemi ile A daki yer değiştirmeyi ve eğimi belirleyiniz.

Örnek 9.01

Örnek 9.02 Basit mesnetli prizmatik AB kirişi, birim uzunluk başına düzgün yayılı w yükünü taşımaktadır. Elastik eğrinin denklemini ve kirişin maksimum yer değiştirmesini belirleyiniz.

Örnek 9.02

Şimdiye kadar ele alınan örneklerde kirişte eğilme momenti tek bir serbest cisim diyagramından elde edilebiliyordu. Bunun sonucunda, tüm kirişteki M yi temsil etmek için x in tek bir fonksiyonu kullanıldı. Ancak, tekil yükler, mesnetlerdeki tepkiler veya bir yayılı yükteki süreksizlikler eğilme momentinin farklı M(x) fonksiyonları ile temsil edilmesini gerektirir.

Örnek 9.03 Gösterilen prizmatik kiriş ve yükleme için D noktasındaki eğim ve yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek 9.03 Kirişi AD ve DB parçalarına ayırmalı ve bu parçaların her biri için elastik eğriyi tanımlayan y(x) fonksiyonunu belirlemeliyiz. 1. A dan D ye (x<l/4).

Örnek 9.03 2. D den B ye (x>l/4).

Örnek 9.03 İntegrasyon Sabitlerinin Belirlenmesi.

*9.4 Elastik Eğrinin Yük Dağılımından Doğrudan Belirlenmesi Elastik eğrinin denkleminin aşağıdaki diferansiyel denklemin iki kere integre edilmesiyle elde edilebildiğini gördük. Daha önceden, bir kirişin w(x) yükünü taşıdığında, kirişin herhangi bir noktasında dm/dx=v ve dv/dx=-w olduğunu biliyoruz. EI sabit ise:

*9.4 Elastik Eğrinin Yük Dağılımından Doğrudan Belirlenmesi Denklemin her iki yanı, EI sabitiyle çarpılır ve ardından dört kere integre edilirse,

*9.4 Elastik Eğrinin Yük Dağılımından Doğrudan Belirlenmesi (a) Ankastre kiriş Dört integrasyon sabiti sınır koşullarından belirlenebilir. Burada verilen yöntem, bir yayılı yük taşıyan ankastre veya basit mesnetli kirişlerde etkin şekilde kullanılabilir. (b) Basit mesnetli kiriş

Örnek 9.04 Basit mesnetli AB prizmatik kirişi, birim uzunluk başına bir w düzgün yayılı yükünü taşımaktadır. Kirişin elastik eğrisinin denklemini ve maksimum yer değiştirmesini belirleyiniz.

Örnek 9.04

9.5 Statikçe Belirsiz Kirişler Serbest cisim diyagramından sadece üç denge denklemi yazılabildiği halde, tepkiler dört tane bilinmeyen içerir. Bu denklemlerden sadece A x belirlenebildiği için, kiriş statikçe belirsizdir. Statikçe belirsiz bir problemde, tepkiler söz konusu yapının deformasyonları göz önüne alınarak belirlenir.

9.5 Statikçe Belirsiz Kirişler Deformasyonların hesabında ortaya çıkan integral sabitleri üç denge denklemi ve yukarıdaki şekilde de verilen sınır koşullarından elde edilir.

Örnek 9.05 Gösterilen prizmatik kirişte mesnetlerdeki tepkileri belirleyiniz.

Örnek 9.05 Denge Denklemleri. Elastik Eğrinin Denklemi.

Örnek 9.05 Elastik Eğrinin Denklemi.

9.5 Statikçe Belirsiz Kirişler Sabit uç Sürtünmesiz yüzey Ele alınan önceki örnekte bir tane fazlalık tepki vardı. Karşı gelen kirişin birinci dereceden statikçe belirsiz olduğu söylenir. Kiriş mesnetlerinde iki tane fazlalık tepki bulunursa, kirişe ikinci dereceden belirsiz kiriş denir. Beş tane bilinmeyen tepki olduğu halde, sınır koşullarından dört denklem elde edilir. Beş tepkiyi ve iki integrasyon sabitini belirlemek için toplam yedi denklem vardır.

Örnek Problem 9.1 ABC çıkmalı çelik kirişi, C ucunda bir P tekil yükünü taşımaktadır. Kirişin AB kısmı için, (a) elastik eğrinin denklemini elde ediniz, (b) maksimum yer değiştirmeyi belirleyiniz, (c) aşağıda verilen değerleri kullanarak y maks değerini hesaplayınız.

Örnek Problem 9.1 Serbest Cisim Diyagramı. Elastik Eğrinin Diferansiyel Denklemi.

Örnek Problem 9.1 Sabitlerin Belirlenmesi. a. Elastik Eğrinin Denklemi.

Örnek Problem 9.1 b. AB Kısmındaki Maksimum Yer Değiştirme. dy/dx=0 ise y=y max olur. c. y maks ın Hesaplanması.

Örnek Problem 9.2 Gösterilen kiriş ve yükleme için, (a) elastik eğrinin denklemini, (b) A ucundaki eğimi, (c) maksimum yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek Problem 9.2 Elastik Eğrinin Diferansiyel Denklemi. Sınır Koşulları.

Örnek Problem 9.2 Sınır Koşulları. a. Elastik Eğrinin Denklemi. b. A Ucundaki Eğim. c. Maksimum Yer Değiştirme.

Örnek Problem 9.3 Düzgün AB kirişi için, (a) A daki tepkiyi belirleyiniz, (b) elastik eğrinin denklemini elde ediniz, (c) A daki eğimi belirleyiniz. (Kirişin birinci dereceden statikçe belirsiz olduğuna dikkat ediniz).

Örnek Problem 9.3 Eğilme Momenti. Elastik Eğrinin Diferansiyel Denklemi. Sınır Koşulları.

Örnek Problem 9.3 a. A daki Tepki Kuvveti. İkinci denklemi L ile çarpar, elde edilen denklemden üçüncü denklemi çıkarırsak, R A yı ikinci denklemde kullanırsak, b. Elastik Eğrinin Denklemi.

Örnek Problem 9.3 c. A daki Eğim.

*9.6 Tekillik Fonksiyonlarının Kullanılması Eğilme momenti tek bir M(x) analitik fonksiyonu ile ifade edilebilirse, integrasyon yöntemi, prizmatik bir kirişte eğim ve yer değiştirmelerin belirlenmesinde etkin olarak kullanılabilir. Eğilme momentini temsil etmek için üç veya daha fazla fonksiyon gerekirse, oldukça uzun hesaplamalara yol açan ek sabitler ve karşılık olarak ek denklemler gerekir. Bu kesimde, bu hesaplamalar tekillik fonksiyonlarının kullanımı ile basitleştirilecektir.

*9.6 Tekillik Fonksiyonlarının Kullanılması köşeli parantezi x a olduğunda normal parantez () ile, x < a olduğunda sıfırla değiştirilirse, iki fonksiyon tek bir fonksiyon ile ifade edilebilir. Kesim 5.5 te açıklanan tekillik fonksiyonlarını kullanarak:

*9.6 Tekillik Fonksiyonlarının Kullanılması Önceki çözüme göre, C 3 ve C 4 ek sabitlerine ihtiyaç kalmamıştır. Ayrıca, eğim ve yer değiştirmenin D noktasında sürekli olduğunu ifade eden denklemleri yazmamıza gerek kalmamıştır.

Örnek 9.06 Gösterilen kiriş ve yükleme için, tekillik fonksiyonlarını kullanarak, (a) eğim ve yer değiştirmeyi, A mesnedine olan x uzaklığının fonksiyonları olarak ifade ediniz, (b) D orta noktasındaki yer değiştirmeyi belirleyiniz. E = 200 GPa ve I = 6.87x10-6 m 4 alınız.

Örnek 9.06

Örnek Problem 9.4 Gösterilen prizmatik kiriş ve yükleme için, (a) elastik eğrinin denklemini, (b) A daki eğimi, (c) maksimum yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek Problem 9.4 Eğilme Momenti. a. Elastik Eğrinin Denklemi.

Örnek Problem 9.4 Sınır Koşulları.

Örnek Problem 9.4 b. A daki Eğim. c. Maksimum Yer Değiştirme.

9.7 Süperpozisyon Yöntemi Bir kiriş birçok tekil ve yayılı yüke maruz kaldığı zaman, her bir yükün neden olduğu eğim ve yer değiştirmeyi ayrı ayrı hesaplamak genellikle uygun olur. Ardından süperpozisyon ilkesi uygulanarak, yüklere karşı gelen eğim ve yer değiştirme değerleri toplanır ve kombine yüklerden kaynaklanan eğim ve yer değiştirme elde edilir.

Örnek 9.07 Gösterilen kiriş ve yükleme için, kirişin eğilme rijitliği EI = 100 MN m 2 olduğuna göre, D deki eğim ve yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek 9.07 Kirişin herhangi bir noktasındaki eğim ve yer değiştirme, tekil yük ve yayılı yükün neden olduğu eğim ve yer değiştirmeler süperpoze edilerek elde edilebilir.

Örnek 9.07 Tekil yük çeyrek açıklıkta uygulandığından, Örnek 9.03 teki kiriş ve yükleme için bulunan sonuçlar kullanılabilir.

Örnek 9.07 Düzgün yayılı yük için de 9.02 de elde edilen elastik eğrinin denklemi kullanılabilir.

Örnek 9.07 Tekil ve yayılı yüklerle üretilen eğim ve yer değiştirmeleri birleştirerek sonucu elde ederiz.

9.8 Statikçe Belirsiz Kirişlerde Süperpozisyon Uygulaması Statikçe belirsiz bir kirişin mesnetlerindeki tepkileri belirlemek için, çoğu zaman süperpozisyon yöntemini kullanmak uygun olur. Birinci dereceden belirsiz kiriş halini ele alırsak, tepkilerden birini fazlalık olarak seçeriz ve buna karşılık gelen mesnedi kaldırarak yeniden düzenleriz. Bu şekilde, fazlalık tepki diğer yüklerle birlikte, bir bilinmeyen yük olarak düşünülür. Mesnedin kaldırıldığı noktadaki eğim veya yer değiştirme, verilen yüklerin ve fazlalık tepkinin neden olduğu deformasyonların ayrı ayrı hesaplanması ve sonuçların süperpoze edilmesiyle elde edilir.

9.8 Statikçe Belirsiz Kirişlerde Süperpozisyon Uygulaması Bu otoyol üst geçidini taşıyan sürekli kiriş üç mesnede sahiptir ve dolayısıyla statikçe belirsizdir.

Örnek 9.08 Gösterilen prizmatik kiriş ve yükleme için mesnetlerdeki tepkileri belirleyiniz.

Örnek 9.08 B deki tepkiyi fazlalık olarak düşünüp, kirişi mesnetten ayırıyoruz. R B tepki kuvveti bir bilinmeyen yük olarak düşünülecek ve kirişin B deki yer değiştirmesinin sıfır olması koşulundan belirlenecektir.

Örnek 9.08 Kiriş ve Yükleme Elastik Eğri Maksimum Deplasman Uçtaki Eğim Elastik Eğrinin Denklemi

Örnek 9.08

Örnek 9.08 Alternatif Çözüm. A sabit ucunda uygulanan kuvvet çiftini fazlalık olarak düşünür ve sabit ucu bir pim ve konsolla değiştirebiliriz. M A kuvvet çifti bir bilinmeyen yük olarak kabul edilip kirişin A daki eğiminin sıfır olması gerektiği koşulundan belirlenebilir.

Örnek Problem 9.7 Gösterilen kiriş ve yükleme için, B noktasındaki eğim ve yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek Problem 9.7 Süperpozisyon İlkesi. Verilen yükleme, aşağıdaki «şekil denklem»de gösterilen yüklemeler süperpoze edilerek elde edilebilir.

Örnek Problem 9.7 Yükleme II için CB kısmında eğilme momenti sıfırdır ve dolayısıyla elastik eğri bir doğrudur.

Örnek Problem 9.7 B Noktasındaki Eğim. B Noktasındaki Yer Değiştirme.

Örnek Problem 9.8 Gösterilen düzgün kiriş ve yükleme için, (a) her bir mesnetteki tepkiyi, (b) A ucundaki eğimi belirleyiniz.

Örnek Problem 9.8 Süperpozisyon İlkesi. R B tepkisi fazlalık olarak seçilir ve bir bilinmeyen yük olarak kabul edilir. Yayılı yük ve R B tepkisinden kaynaklanan yer değiştirmeler, aşağıda gösterildiği gibi ayrı ayrı ele alınır:

Örnek Problem 9.8 Yayılı Yük. B Noktasında,

Örnek Problem 9.8 Fazlalık Tepki Yüklemesi.

Örnek Problem 9.8 a. Mesnetlerdeki Tepkiler. b. A Ucundaki Eğim.

*9.9 Moment-Alan Teoremleri Bu kesimde, kirişin belirli bir noktasındaki yer değiştirmesini ve eğimini belirlemek için elastik eğrinin geometrik özelliklerinin nasıl kullanılabileceğini öğreneceğiz. Bir binanın döşemelerini taşıyan kirişlerin yer değiştirmeleri, tasarım sürecinde dikkate alınmalıdır.

*9.9 Moment-Alan Teoremleri Birinci moment-alan teoremi. Keyfi yüklemeye maruz AB kirişi için M/EI diyagramını çizelim. Denklemin iki yanını C den D ye integre edelim: θ D/C = C ve D arasında M/EI diyagramı altında kalan alandır.

*9.9 Moment-Alan Teoremleri Birinci moment-alan teoremi. θ D/C = C ve D arasında (M/EI) diyagramı altındaki alan Bu, birinci moment-alan teoremidir. θ D/C açısı ve M/EI diyagramı altındaki alan aynı işaretlidir. Pozitif alan (x ekseni üstünde), C den D ye doğru gittiğimizde, elastik eğrinin teğetinin saatin tersi yönünde dönmesine karşı gelir.

*9.9 Moment-Alan Teoremleri İkinci moment-alan teoremi. Elastik eğriye P ve P' noktalarında çizilen teğetlerin C den geçen düşey doğruyu kestikleri noktalar, dt uzunluklu bir doğru parçası oluşturur. t C/D, C nin D ye göre teğetsel sapması olarak adlandırılır ve CE uzunluğuna eşittir. Denklemin sağ yanı ise C ve D arasında, M/EI diyagramı altında kalan alanın C den geçen düşey eksene göre birinci momentine eşittir.

*9.9 Moment-Alan Teoremleri İkinci moment-alan teoremi. Bir alanın bir eksene göre birinci momenti, alanın, alan merkezinin söz konusu eksene olan uzaklığıyla çarpımına eşit olduğundan, ikinci moment-alan teoremi aşağıdaki gibi ifade edilebilir: C ve D arasındaki alan Buradaki alan, M/EI diyagramı altındaki alanı ve x1ise alan merkezinin C den geçen düşey eksene olan uzaklığı gösterir.

*9.9 Moment-Alan Teoremleri İkinci moment-alan teoremi. t C/D, C nin D ye göre teğetsel sapması; t D/C, D nin C ye göre teğetsel sapması; C ve D arasındaki alan C ve D arasındaki alan M/EI diyagramı altındaki alan x ekseninin üst kısmında yer alırsa, bu alanın bir düşey eksene göre birinci momenti pozitif olur.

*9.10 Ankastre Kirişlere ve Simetrik Yüklemeli Kirişlere Uygulama Birinci moment-alan teoremi, elastik eğrinin C ve D noktalarındaki teğetleri arasındaki θ D/C açısını tanımlar. θ D açısı, yani D deki eğim, ancak C deki eğim bilinirse elde edilebilir. Benzer şekilde, ikinci moment-alan teoremi, elastik eğrinin bir noktasının diğer bir noktadaki teğete olan düşey uzaklığını tanımlar. t D/C teğetsel sapması, ancak C deki teğet bilinirse, D noktasının yerini bulmamızı sağlayacaktır. İki moment-alan teoremi de, ancak elastik eğrinin belli bir referans teğeti belirlendiği takdirde, eğimlerin ve yer değiştirmelerin belirlenmesinde etkin bir şekilde kullanılabilir.

*9.10 Ankastre Kirişlere ve Simetrik Yüklemeli Kirişlere Uygulama Bir ankastre kirişte, elastik eğrinin A sabit ucundaki teğeti bilinmektedir ve referans teğeti olarak kullanılabilir. θ A = 0 olduğundan, kirişin herhangi bir D noktasındaki eğimi θ D = θ D/A olur ve birinci momentalan teoreminden elde edilebilir. D deki teğet Referans teğeti Öte yandan, D noktasının y D yer değiştirmesi, A daki yatay referans teğetinden ölçülen t D/A teğetsel sapmasına eşittir ve ikinci moment-alan teoreminden elde edilebilir.

*9.10 Ankastre Kirişlere ve Simetrik Yüklemeli Kirişlere Uygulama Simetrik yüklemeli basit mesnetli bir AB kirişinde, kirişin C merkezindeki teğet, simetriden dolayı yatay olmalıdır ve referans teğeti olarak kullanılabilir. θ C = 0 olduğundan, B mesnedindeki eğim θ B = θ B/C dir ve birinci moment-alan teoreminden elde edilebilir. y maks ise t B/C teğetsel sapmasına eşittir ve ikinci moment-alan teoreminden elde edilebilir. Ayrıca, y D = t B/C - t D/C olur. Referans teğeti Referans teğeti Yatay

Örnek 9.09 AB prizmatik ankastre kirişinin eğilme rijitliği EI = 10 MN m 2 olduğuna göre, kiriş gösterildiği gibi yüklendiğinde, B ucundaki eğimi ve yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek 9.09

Örnek 9.09 Referans teğeti

*9.11 Parçalı Eğilme-Momenti Diyagramları Bazı durumlarda, θ D/C açısının ve t D/C teğetsel sapmasının belirlenmesi, her bir yükün etkisi bağımsız olarak hesaplandığında basitleşir. Her bir yük için ayrı bir M/EI diyagramı çizilir ve diyagramlar altındaki alanların cebirsel olarak toplanmasıyla θ D/C açısı elde edilir. Benzer şekilde, bu alanların D den geçen düşey eksene göre birinci momentleri toplanarak, t D/C teğetsel sapması elde edilir. Bu yolla çizilen bir eğilme momenti veya M/EI diyagramının parçalı çizildiği söylenir.

*9.11 Parçalı Eğilme-Momenti Diyagramları Şekil Alan Dikdörtgen Kübik Alan Üçgen Genel Alan Parabolik Alan Parçalı diyagramlardaki alanlar dikdörtgen, üçgen, parabolik alan gibi basit geometrik şekillerden oluşur.

Örnek 9.10 AB prizmatik ankastre kirişinin eğilme rijitliği EI = 10 MN m 2 olduğuna göre, kiriş gösterildiği gibi yüklendiğinde, B ucundaki eğimi ve yer değiştirmeyi parçalı eğilme-momenti diyagramını çizerek belirleyiniz.

Örnek 9.10

Örnek 9.11 Gösterilen AB prizmatik kirişi ve yükleme için, bir mesnetteki eğimi ve maksimum yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek 9.11 Referans teğeti

Örnek Problem 9.10 AD ve DB prizmatik çubukları kaynaklanarak ADB ankastre kirişi oluşturulmuştur. Kirişin AD kısmının eğilme rijitliği EI ve DB kısmınınki 2EI olduğuna göre, gösterildiği gibi yüklenen kirişin A ucundaki eğim ve yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek Problem 9.10 M/EI Diyagramı. Önce kirişin eğilme momenti diyagramını çizeriz. Ardından, kirişin her bir noktasındaki M değerini, eğilme rijitliğinin karşı gelen değeriyle bölerek M/EI diyagramını elde ederiz. Referans Teğeti. Referans teğeti

Örnek Problem 9.10 A daki Eğim. A daki Yer Değiştirme.

Örnek Problem 9.11 Gösterilen prizmatik kiriş ve yükleme için, E ucundaki eğim ve yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek Problem 9.11 M/EI Diyagramı. Serbest cisim diyagramından tepkileri belirleyip kesme kuvveti ile eğilme momenti diyagramlarını çizeriz. M nin her değerini EI ile bölerek M/EI diyagramını elde ederiz. Referans Teğeti. Referans teğeti

Örnek Problem 9.11 E deki Eğim.

Örnek Problem 9.11 E deki Yer Değiştirme.

*9.12 Yüklemesi Simetrik Olmayan Kirişlere Moment-Alan Teoremlerinin Uygulanması Bir basit mesnetli veya çıkmalı kiriş simetrik olmayan bir yük taşıdığında, teğetin yatay olduğu kiriş noktasını gözlemle belirlemek genellikle mümkün değildir. Referans teğetini, kiriş mesnetlerinden birinde seçmek genellikle en uygun olanıdır. Basit mesnetli AB kirişinin A mesnedini ele alalım. B mesnedinin A ya göre t B/A teğetsel sapmasını hesaplarız ve t B/A yı, mesnetler arasındaki L mesafesiyle bölerek bu teğetin eğimini hesaplarız. Referans teğeti

*9.12 Yüklemesi Simetrik Olmayan Kirişlere Moment-Alan Teoremlerinin Uygulanması Referans teğetinin eğimi bulunduktan sonra, kirişin herhangi bir D noktasındaki θ D eğimini belirlemek için birinci moment alan teoremi kulanılarak θ D/A elde edilir ve θ D aşağıdaki gibi hesaplanır. Referans teğeti Referans teğeti

*9.12 Yüklemesi Simetrik Olmayan Kirişlere Moment-Alan Teoremlerinin Uygulanması D nin A mesnedine göre t D/A teğetsel sapması, ikinci moment-alan teoreminden belirlenebilir. t D/A, ED doğru parçasına eşittir ve D nin referans teğetine olan düşey uzaklığını temsil eder. Öte yandan, D noktasının y D yer değiştirmesi, D nin AB yatay doğrusuna olan düşey uzaklığını temsil eder. Referans teğeti Referans teğeti

*9.12 Yüklemesi Simetrik Olmayan Kirişlere Moment-Alan Teoremlerinin Uygulanması y D, FD ye eşit olduğundan EF ve ED farkı olarak ifade edilebilir. AFE ve ABH benzer üçgenlerinden,

Örnek 9.12 Gösterilen prizmatik kiriş ve yükleme için, D noktasındaki eğimi ve yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek 9.12 A Mesnedindeki Referans Teğeti. Referans teğeti

Örnek 9.12 D deki Eğim. D deki Yer Değiştirme. Referans teğeti

*9.13 Maksimum Yer Değiştirme Bir basit mesnetli veya çıkmalı kiriş simetrik olmayan bir yük taşıdığında, maksimum yer değiştirme genellikle kirişin merkezinde oluşmaz. Bu durum, üzerinden araç geçen köprülerin kirişlerinde geçerlidir.

*9.13 Maksimum Yer Değiştirme Kirişin maksimum yer değiştirmesini belirlemek için, kirişin teğetinin yatay olduğu K noktasının yerini saptamalı ve bu noktadaki yer değiştirmeyi hesaplamalıyız. Analiz, mesnetlerden birindeki referans teğeti belirleyerek başlamalıdır. K noktası, birinci moment-alan teoremi kullanılarak M/EI diyagramının altındaki alandan hesaplanabilir. y maks, A ve K arasında kalan alanın A dan geçen düşey eksene göre birinci momentine eşittir. Referans teğeti

Örnek 9.13 Gösterilen prizmatik kiriş ve yükleme için, maksimum yer değiştirmeyi belirleyiniz.

Örnek 9.13 Eğimin Sıfır Olduğu K Noktasının Belirlenmesi. A daki eğimi daha önceki örneklerimizden biliyoruz.

Örnek 9.13 Maksimum Yer Değiştirme.

*9.14 Statikçe Belirsiz Kirişlerde Moment-Alan Teoremlerinin Kullanılması Kirişin iki ayrı serbest cisim diyagramı çizilir. Biri verilen yükleri ve kaldırılmamış mesnetlerdeki karşı gelen tepkileri gösterir; diğeri fazlalık tepkiyi ve aynı mesnetlerdeki karşı gelen tepkileri gösterir. İki yüklemenin her biri için bir M/EI diyagramı çizilir ve ikinci moment-alan teoremi kullanılarak istenen teğetsel sapmalar elde edilir. Sonuçlar süperpoze edilerek gerekli uygunluk koşulu ifade edilir ve fazlalık tepki belirlenir. Tepkiler belirlendikten sonra, kirişin herhangi bir noktasındaki eğim ve yer değiştirme, moment-alan yöntemleri ile elde edilebilir.

Örnek 9.14 Gösterilen prizmatik kiriş ve yükleme için, mesnetlerdeki tepkileri belirleyiniz.

Örnek 9.14 A sabit ucunda uygulanan kuvvet çiftini fazlalık olarak düşünür ve sabit ucu bir pim ve bir konsol mesnetle değiştiririz. Artık M A kuvvet çifti, bilinmeyen bir yük olarak kabul edilir ve kirişin A daki teğetinin yatay olması gerektiği koşulundan belirlenir. Bu teğet, B mesnedinden geçmelidir, t B/A =0. w ve M A nın oluşturduğu teğetsel sapmalar ayrı ayrı hesaplanır.

Örnek 9.14 Önce bilinen w yayılı yüküne maruz kirişin serbest cisim diyagramını çizer ve tepkileri belirleriz. Sonra, karşı gelen M/EI diyagramlarını çizeriz. Parabolün alanı:

Örnek 9.14 Daha sonra, bilinmeyen kuvvet çiftine maruz kirişin serbest cisim diyagramı çizilir ve tepkiler belirlenir.

Örnek Problem 9.12 Gösterilen kiriş ve yükleme için, (a) A ucundaki yer değiştirmeyi belirleyiniz, (b) aşağıdaki değerleri kullanarak y A yı hesaplanyınız.

Örnek Problem 9.12 M/EI Diyagramı. B deki Referans Teğeti. Referans teğeti

Örnek Problem 9.12 a. A Ucundaki Yer Değiştirme. b. y A nın Hesaplanması. Referans teğeti