HİPERKOMPLEKS MANİFOLDLARIN DİFERENSİYEL GEOMETRİK ÖZELLİKLERİ. Manouchehr BEHBOUDI ASL

HİPERKOMPLEKS MANİFOLDLARIN DİFERENSİYEL GEOMETRİK ÖZELLİKLERİ Manoucheh BEHBOUDI ASL Dotoa Tez Mateat Anabl Dalı Geoet Bl Dalı Pof. D. Af SALİMOV 05 He haı alıdı

ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ HİPERKOMPLEKS MANİFOLDLARIN DİFERENSİYEL GEOMETRİK ÖZELLİKLERİ Manoucheh BEHBOUDI ASL MATEMATİK ANABİLİM DALI Geoet Bl Dalı ERZURUM 05 He haı alıdı

ÖZET Dotoa Tez HİPERKOMPLEKS MANİFOLDLARIN DİFERENSİYEL GEOMETRİK ÖZELLİKLERİ Manoucheh BEHBOUDI ASL Atatü Ünvete Fen Blle Enttüü Mateat Anabl Dalı Geoet Bl Dalı Danışan: Pof. D. Af SALİMOV Bu tezn ea aacı dfeanyellenebl anfoldla üzende değşel hpeople (özellle bople) ceblen egüle telle le tanılanan hpecople yapılaı çalışatı. Aaştıalaıızda ullanılan yönte yapıla le lşl olan ve pü tenö alanlaına uygulanan Tachbana ve Vhnev opeatölen yönted. Bu çalışada, eğl tenöü ovayant abt yapı afnolaına göe pü olan buulaız holoof afn onneyonla donatılış ntegallenebl değşel hpeople yapılaın bazı özellle ncelend. Son olaa, pü et onneyon yadııyla bople-holoof ant-hetan anfoldlaın aatezayonu veld. 05, 6 ayfa Anahta Kelele: Hpeople ve bople ceble, Holoof fonyonla, Holoof tenö ve onneyonla, Pü onneyonla, Tachbana opeatö, Ant- Hetan anfold, Noden et, Bople ant-kahle et.

ABSTRACT Ph.D. The DIFFERENTIAL GEOMETRIC PROPERTIES OF HİPERKOMPLEKS MANIFOLDS Manoucheh BEHBOUDI ASL Atatü Unvety Gaduate School of Natual and Appled Scence Depatent of Matheatc Dcplne of Geoety Supevo: Pof. D. Af SALIMOV The an pupoe of th the to tudy hypecoplex tuctue on dffeentable anfold defned by egula peentaton of coutatve hypecoplex (epcally bcoplex) algeba. The ethod ued n ou nvetgaton the ethod of Tachbana and Vhvev opeato aocated wth tuctue and appled to pue teno feld. We tudy oe popete of ntegable coutatve hypecoplex tuctue endowed wth a holoophc toon-fee affne connecton whoe cuvatue teno atfe the puty condton wth epect to the covaantly contant tuctue affno. Fnally, we gve a chaactezaton of bcoplex-holoophc ant-hetan anfold by ung pue etc connecton. 05, 6 page Keywod: Hypecoplex and bcoplex algeba, Holoophc functon, Holoophc teno and connecton, Pue connecton, Tachbana opeato, Ant- Hetan anfold, Noden et, Bcoplex ant-kahle etc.

TEŞEKKÜR Dotoa tez olaa unduğu bu çalışa Atatü Ünvete Fen Faülte Mateat Bölüü nde yapılıştı. Çalışalaıda he tülü deteğ ağlayan, hoca Sayın Pof. D. Af SALİMOV a en çten teşeüle unaı. Çalışalaıda ve tezn hazılanışında yaın lglen götep, bana yol göteen ve blglene he zaan htyaç duyacağı değel hocalaı; Sayın Pof. D. Abdullah MAĞDEN, Sayın Doç. D. Küşat AKBULUT, Sayın Doç. D. Ne CENGİZ, Sayın Doç. D. Muat İŞCAN, Sayın Doç. D. Öe TARAKÇI, Sayın Doç. D. Aydın GEZER e ve aadaşı Sayın Fuan YIDIRIM a onuz teşeüle unaı. Ayıca tez onuu T nolu Tübta poe taafından detelenş olup Tübta a onuz teşeüle unaı. Çalışalaı boyunca endnden göüş olduğu deteten ve onuz güvennden dolayı eşe teşeü etey b boç bl. Manoucheh BEHBOUDI ASL Oca, 05

İÇİNDEKİLER ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... SİMGELER DİZİNİ... v. GİRİŞ.... KURAMSAL TEMELLER... 4.. Dfeenyellenebl Manfoldla... 4.. Tenö Alanlaı... 6.3. Dfeenyellenebl Manfold Üzende Afn (Lev-Cvta) Konneyon....4. Afn Konneyonlu Uzayla... 8.5. Eğl ve Buula Tenöle....6. Konneyonlaın Dönüşüü... 4.7. Buulaı Sıfı Olan Uzayla... 7 3. MATERYAL ve YÖNTEM... 34 3.. Hpeople Ceble... 34 3.. Değşl Hpeople Ceble... 37 3.3. Holoof Fonyonla... 39 3.4. Manfoldla Üzende Cebel Yapıla... 45 3.5. İntegallenebl Regüle Yapı... 50 3.6. Afno Alanlaına Göe Pü Tenö Alanlaı... 56 3.7. Tachbana Opeatöle... 59 3.7.. (,) tpl tenö alanlaına uygulanan opeatöü... 60 3.7.. çn (,) tpl tenö alanına uygulanan opeatöü... 63 3.7.3. -fo a uygulanan opeatöü... 64 3.7.4. çn (0,) tpl tenö alanına uygulanan opeatöü... 67 3.7.5. (,) tpl tenö alanına uygulanan opeatöü... 70 3.8. Vhnev Opeatöle... 7 3.8.. 0 çn (,) tpl tenö alanına uygulanan opeatöü... 7 v

3.8.. (0,) tpl tenö alanına uygulanan opeatöü... 74 3.8.3. çn (,) tpl tenö alanına uygulanan opeatöü... 75 3.8.4. Pü onneyona uygulanan -opeatöü... 77 4. ARAŞTIRMA BULGULARI ve TARTIŞMA... 8 4.. Bople Yapıla... 8 4.. Pü Bople Konneyonla... 90 4.3. Pü Bople Konneyonlaının Buula Tenöle... 94 4.4. Pü Met Bople Konneyonla... 96 4.5. Reel Kodnat Stende A -Holoof Tenöle... 0 4.6. A -Holoof Hpeople Konneyon ve Reel Model... 04 4.7. Pü Eğl Tenölenn Bazı Özellle... 07 5. SONUÇ... KAYNAKLAR... 4 ÖZGEÇMİŞ... 7 v

SİMGELER DİZİNİ T A 4 h S C h h R N T M A n Afn Defoayon (Gele) Tenöü Bople Ceb Buula Tenöü Buulaız Afn Konneyon Cebn Yapı Sabtle Ctoffel Sebolü Eğl Tenöü nn Nenhu Tenöü M n Üzende Tanant Deet -Boyutlu Hpeople Ceb p ( M ) ( pq, ) -Tpl Tenö Modülü q n g C W n Peudo-Reannan Metğ Pü Çapı Tachbana Opeatöü Vhnev Opeatöü Weyl Uzayı X LX X X Vetö Alanına Göe Kovayant Tüev Vetö Alanına Göe Le Tüev v

. GİRİŞ Dfeenyel geoet geoet poblele, dfeenyel ve ntegal heaplaa tenlen ullanaa çözüleeye çalışan ateatğn b alt dplnd. XVII. yüzyılda otaya çıan ve güncellğn ouyan Dfeenyel geoetnn ea onuu, eğlen ve Öld uzayında yüzeylen ncelene oluştu. Dfeenyel Geoet de önel b yee ahp olan tenö avaı güncel anlada l olaa alında b fzç olan Woldea Vogt taafından 898 de ullanıldı. Tenö heaplaalaı 890 lı yıllada ıaca Rcc olaa alınan Gegoo Rcc-Cubato taafından utla dfeenyel heaplaala başlığı altında ncelend ve bu çalışala 89 yılında end taafından unuldu. Daha ona Rcc and Tullo Lev-Cvta (900) utla dfeenyel heaplaa etodlaı ve uygulaalaı adı altında çalışalaını yayıladıla. Uzayda he b notaya ıaıyla b ale veya vetöü tayn eden ale alanın veya vetö alanın genelleşş hal olan tenö alanı, anfold üzende tanılı olup anfoldun he b notaına b tenö aşılı geten b dönüşüdü. Mateatel yapılada e tenö alanı fade yene ıaca tenö ullanılı. XIX. yüzyılın onundan başlayaa boyutlu ceble genş bçde geoetde ve eante uygulanaya başlaıştı. O zaandan şdye ada ople ayıla cebnn dfeenyel geoetde uygulanaı yoğun b bçde gelşeted ve bu poble üzene ço genş b lteatü lte vadı (Yano 965). Bazı çalışalada onlu boyutlu değşel bleşel ceblen (hpeople ceblen) de dfeenyel geoetye uygulaalaı göünü (Vhnev et al. 985; Noden 960). Dfeenyellenebl anfoldla üzende çeştl geoet yapılaın ncelene oden dfeenyel geoetnn önel onulaındandı. Bunladan bazılaı afnolala tayn edlş ople, heen heen ople, heen heen poduct, bople,

paaople ve hpeople yapıladı. Manfold üzende velş onlu ayıda (,) tpl tenö alanlaıyla yan afno alanlaıyla tanılanan yapıla bu bölüe att. yapıla, özel duuda cebel de olableted. Yan, yapı hehang bleşel, değşel ve b olan onlu boyutlu ceb (hpeople ceb) zoof tel edebleted. Cebel yapı ntegallenebl olduğunda e, bu ceb üzende nşa edlş uzaylaın, cebn teln taşıyan anfoldla le odellen veeye ân ağlayacatı. Ayıca, cebel yapının ntegallenebl olaı, eel anfolda cebel holoof anfoldlaın dâhl edlene ân ağlaatadı. 9. yüzyılın onu ve 0. yüzyılın başlaında ceb geoetde ullanılaya başlanıştı. Kople ayıla ceb dfeenyel geoetye uygulanış olup on yıllada ceb, dfeenyel geoetye uygulayan geoetcleden bazılaını (Kuchovch 97; Vhnev et al. 985; Salov 99) bçnde ıalayablz. Manfold üzende afno üe le tayn edlen cebel hpeople yapılaın ncelenene e 950 yılında başlanıştı. (Shoov 966; Vhnev 985; Salov 99,0) çalışalaında hpeople yapılaın, ceb üzende uuluş anfold le olan lşn ve holooflu poblelen nceleşled. Bu poblelen çözüünde ço önel b ye olan -opeatö teon e l olaa Tachbana (960,96)da heen heen ople yapı ve genel afno yapıı çn ullanıştı. Daha ona bu opeatöün uygulaaı le Yano (965,966,968,973), Koto (960,969), Ao (968) gb ateatçle çalışışladı. Heen heen poduct uzayla Wale (955) taafından çalışaya başlanıştı. Fua (959) heen heen poduct anfoldlada baz yapılaa göe afn onneyonlaını aaştıış ve aynı yıl Yano heen heen poduct uzayda afn onneyonlaını çalışıştı. Adat (98) heen heen poduct Reannan anfoldlaın alt anfoldlaını nceleen Mha and Ncolau (98) heen heen paacontact anfoldlaının tanant deet üzende heen heen poduct yapılaını nceleşt. Heen heen pouct uzaylaın ntegalleneblenn ve ayıştıaının gee ve yete şatlaı Salov and Behboud Al (00,0) taafından velşt.

3 Hpeople anfoldlaın özel duulaı yan paaople ve bople geoet yen oden dfeenyel geoetnn ço lgnç b onuu oluştu. (Cuceanu et al. 996; Kuchovch 97) paaople geoet üzene b delee çalışaı yapışladı. Cuceanu (005)de, anfold üzende heen heen bople yapılaına da b çalışaya başlaıştı. Hpeople anfoldlaın özellle ve -opeatöünün hpeople geoetde uygulanaı, Salov (0)den tbaen nceleeye alınıştı. Sunulan bu tezde Hpeople ceblen ve özellle Bople ceblen dfeenyel geoet özellle üzene çalışılış, nc bölüde uaal teelle olan dfeenyellenebl anfoldla ve onlaın üzende tenö alanlaı, onneyon, onneyonun eğlğ ve buulaına ye velş ayıca Reannan anfoldlaına baılıştı. Bu aaçla, çalışaızın anlaşılable çn ve onunun ınılanaı baıından nc bölüde onuuzla lgl bazı avalaın tanılaı ve özellle uaal teelle adı altında velşt. Üçüncü bölüde e hpeople ceble, değşel ceble ve bu ceble üzende -yapılaı tanılaı ve bu ceble üzende holooflu şatlaı aaştıılış ve pü tenö alanlaında uygulanan Tachbana le Vhnev opeatöle ncelenşt. Dödüncü bölüde e pü et onneyon yadııyla bople-holoof ant- Hetan anfoldlaı aateze edlşt. Ayıca, buulaız holoof afn onneyon le donatılış ntegallenebl değşel hpeople yapılaın özellle ncelenşt. Tezde ye alan onuçlaın büyü b ıı (Salov et al. 03; Behboud Al and Salov 04) çalışalaında yayınlanıştı.

4. KURAMSAL TEMELLER.. Dfeenyellenebl Manfoldla Tanı..: X Haudoff uzay ola üzee hehang b U X açı üenden V n üene tanılanan :U V hoeoofzne X de n boyutlu oodnat te veya hata, U ya e hataının oodnat oşuluğu veya oodnat bölge den ve götel. Eğe x U e U, şelnde n x x, x,..., x n n olu. Buada x,..., x eel ayılaına hataında x notaının oodnatlaı den. Tanı..: Eğe X Haudoff uzayının n-boyutlu hatalaının U bölgele bu uzayı ötee, yan X A U, ( A-ndle üe ) e X e n-boyutlu topolo anfold veya adece n-boyutlu anfold den. Tanı..3: X Haudoff uzay ve e Aşağıda şatlaı ağlayan U 0, : A, U şatını ağlayan ta ayı olun. X loal oodnatla alene X üzende C ınıfından n-boyutlu atla adı vel:

5. Loal hatalaın bölge X öte, yan X, n-boyutlu topolo anfolddu. U. Keyf, A çn U U e : U U U U dönüşüü ınıfındandı. Bu şata bazen, ve U, hatalaının C U C uzlaşaı şatı da den. u u U U u oodnatlaıdı.,,,..., n dönüşüüne e oodnatlaın dönüşüü u den. Buada, U, hataında notaının oodnatlaı, e U, hataında x notaının u x U U e bu duuda dönüşüü tanılanaaz. Anca, bu duuda dönüşüünün C ınıfından olduğu abul edlecet.. şat, dönüşülenn C ınıfından dfeoofzle olaına dent. Bu e, oodnat dönüşüünün Jaob atnn detenantının ıfıdan falı olaı deet. Tanı..4:, ve U,, C ınıfından hehang atla olun. Bu atlalaın eyf, ve U, hatalaı uzlaşış e yan, U, ve U, den. U atlalaının bleş U C C ınıfından atla e velen atlalaa den atlala Tanı..5: X Haudoff uzayı üzende C atlalaının denl ınıfına C -yapı den. C -yapıının tü C atlalaının bleşnn oluştuduğu C atlaına aal C atla adı vel.

6 X üzende atlalaının he b denl ınıfı, endnn b eleanı le fade edl. Yan, C -yapıı, onun eyf C atlaı yadııyla oluştuulabl. Buadan da X üzende he b C -yapıının bu yapıdan olan b C atla le velebleceğ onucu çıa. C 0 C -yapıya topolo yapı, C yapıya e düzgün (ooth) yapı den. Bundan ona yalnız C -yapılaa baılacatı. Tanı..6: M, ayılabl baza ahp Haudoff uzay olun. Eğe, M üzende n- boyutlu C atlalaının C yapıı velşe M uzayına n-boyutlu C ınıfından dfeenyellenebl anfold veya düzgün anfold den ve M n le götel... Tenö Alanlaı * Tanı..: B, n boyutlu eel vetö uzayı, e onun dual uzayı olun. n B n,,..., x Bn q ve B,,..., p n ovetö değşenlenn p t ( x, x,...,,,,..., ) x q eel değel fonyonunu göz önüne alalı. Eğe bu fonyon he b değşene göe lneel şatını ağlaa, fonyona ultlnee fonyon den. Meela bnc vetö değşenne göe lneel şatı, ola üzee p p p t( x y, x,..., x,,,..., ) t ( x, x,..., x,,,..., ) t( y, x,..., x,,,..., ) q q q bçnde götelebl. Bu ultlnee fonyona aşılı gelen

7 t : B B... B B... B n n n n n q p opeatöüne B n uzayında p deeceden ontavayant, q deeceden ovayant tenö adı p vel ve bu şelde tü tenölen uzayı ( B ) le götel. p0, q0 ola üzee = p+q ayıına e tenöün valentlğ, (p,q) ebolüne e tenöün tp den. (p,0) tpl tenöe ontavayant tenöle, (0,q) tpl tenölee e ovayant tenöle den. q n S B n, 0 ( ) B n uzayının bütün et tenölenn alt uzayı ola üzee hehang b g S B n tenöünü alalı. g x, y 0, y Bn (.) şatında x 0 olua, bu tatde g tenöüne egüle tenö den. (.) eştlğ oodnatlala g x y 0 bçnde yazılı. Bu eştl he y çn ağlandığından gx0,,..., n bulunu. Bu denle tenn x 0 çözüüne ahp olaı çn Detg 0 olaı gee. Buada g, g tenöüne aşılı gelen att.

8 g S B n tenöü egüle tenö e g tenöüne uzayında ea tenö adı vel. Ea tenöe aşılı gelen atnn ten g ~ le göteel. Bu tadde Bn g g~ g (.) yazılı. ve uzaylaı aaında B n B n g x, ( g y ) (.3) dönüşüü, (.) eştlğne göe x g, ( y g ) (.4) olu. g S B n tenöüne aşılı gelen nvayant blnee fou g, x y g x y şelnde yazalı. Buada (.3) ve (.4) eştllen date alıa g, x y g x y x g~ olu. Yan, g ea tenöü veldğnde bz ovetö değşenlenn g ~ nvayant blnee founu buluuz. Buna göe de g ~, (,0) tpl tenöün oodnatlaıdı. Bu tenöe g tenöünün te tenöü den. Ayıca g~ g~ ~, g x g y x,, g~ y g x y g x y g y x ~g,

9 olduğundan g ~ tenöü ett. Böylece Bn uzayında g tenöü veldğnde Bn den B n a b zoofz bulunu. Buna göe vetö ve ovetöle aynılaştıılı ve aynı x ebolü le götel. Yan yazılı. Bu şlelee ndn ndle x ve yüeltle x x şlele den. Buna göe, S x, y x g x, x g x tenöü göz önüne alınıa x S g S, S g S, S g g S p p p p pq p p.... fadelenn he b S tenöünden ndlen yüeltle şle S g S, S g S, S g g S.... p p p p pq p q fadelenn he b e velş S tenöünden ndlen ndle şled. Eğe gx, y, B n uzayında (0,) tpl tenö e, he x, y Bn vetölenn ale çapıı denldğnde g tenöünün x ve y vetöle üzende z anlaşılı ve x y veya x, y bçnde götel. Yan xy g x, y g x y x y (.5) bçnde tanılanı. Eğe Detg 0 olua bu tadde (.5) ale çapıına egüle çapı den.

0 Tanı..: M C ınıfından b anfold ve T, he p M notaında tanant n, uzayı olun. M anfoldunun he p M notaına T uzayından b X vetöü n aşılı geten X vetö değel fonyonuna vetö alanı den (Salov ve Mağden 008). n p p n p f M anfoldunda b dönüşü e Xf de M n, n anfoldunda Xf p X f p le tanılanan b dönüşüdü. oşuluta b vetö alanı U M n oodnat oşuluğunu alalı. Bu X olaa yazılı. le U da loal oodnatlaa bağlıdı. Yan n x,..., x,,..., n olu. M, n C ınıfından b anfold ola üzee he Mn notaında he b (p,q) p tpl tenö çn uygun b ( ) tenö uzayı vadı. q p Tanı..3: M, ınıfından b anfold ve ( n C ), he Mn notaında p (p,q) tpl tenö uzayı olun. M anfoldunun he M notaına ( ) tenö uzayından b t p q den (Bhop and Goldbeg 968). n q tenöü aşılı geten T fonyonuna (p,q) tpl tenö alanı n q

Eğe p, q 0 e vetö alanı elde edl. Yan, (,0) tpl tenö alanı b vetö alanıdı. Eğe p q 0 e he M notaına b ale değe aşılı gel. Bu yüzden n (0,0) tpl tenö alanı eel değel b fonyondu. Eğe U M n bölgende f fonyonu C ınıfından e he xu çn df 0 ( ) x x olu. Böylece f fonyonunun dfeenyel olan df opeatöü (0,) tpl b tenö alanıdı. Hehang b notaında T tenöü et tenö e T tenö alanına et tenö alanı den. Eğe hehang b notaında T tenö alanına antet tenö alanı den. T tenöü antet tenö e T, ( p,q ) tpl tenö alanı olun.,..., p (0,) tpl tenö alanlaı ve X,..., X q vetö alanlaı ola üzee T, X,..., X T,...,, X X,..., p q p,..., q fade eel değel fonyon tanıla. Özelle alanının bleşenle x oodnatlaına göe T tenö... p q...,...,,,..., q p T T dx dx bçnde eel değel fonyonladı (Bhop and Goldbeg 968). T tenö alanının bleşenle ınıfından fonyonla e T tenö alanına ınıfındandı den. C ınıfından olan (0,) tpl tenö alanına -fo (Pfaffan fo) den. C C

(p,q) tpl T tenö alanının C ınıfından olaı çn gee ve yete şat he b,..., p T,...,, X,..., -folaı ve he b C ınıfından X,..., X vetö alanlaı çn p X q fonyonunun C ınıfından olaıdı. q Tanı..4: ( ), (0,) tpl b tenö olun. ( ) tenöünde ve ndlene göe antetl vaa ( ) tenöüne -fo veya dış fo den. B -foa dış dfeenyel uygulanıa onuçta +-fo elde edl. Yan, -fo e d ( ) M olup +-fo oluşu. Böyle + folaa ta fo den. n d d( d) 0 olaı ta folaın en önel özellğd. Yan ta folaa dış dfeenyel uygulanıa onuç ıfı olu..3. Dfeenyellenebl Manfold Üzende Afn (Lev-Cvta) Konneyon M n dfeenyellenebl anfoldunun : u u t eğ boyunca onneyon tanılanaı eğnn notalaına uygulanan vetöle aaında bağlantı oluştua ualıdı. Eğe eğnn hehang b notaında v vetöü t paaetene bağlı olaa değştçe velen onneyona göe başlangıçta le uygun alıa, bu duuda bu vetö velen onneyona göe eğ boyunca paalel aydıılış olu. Eğe onneyon dfeenyelleneble, o zaan paalel aydıayı fade eden fonyonlaı da dfeenyellenebl fonyonla olu. Eğe vetölen paalel aydıılaı halnde lnee bağılılı ounua velen onneyona afn veya lnee onneyon adı vel. v v t Afn onneyonun eğnn çeştl notalaına uygulanan vetöle aaında uygunluğu fade eden şatı, yan vetöün eğ boyunca velş afn onneyona göe

3 paalel aydıılaı şatını bulalı. loal bazını alalı ve faz edel eğnn başlangıç notaında a,,... n nn lnee bağılılığı, baz vetölen velen eğ boyunca paalel aydııla ualını fade etş olun. Keyf vetöünün velen afn onneyona göe gee ve yete şat a t eğ boyunca paalel aydıılaı çn atayılaının abt olaıdı. Bu nedenden tfade edlee v a dv d a (.6) fade yazılabl. v a eştlğnden a v (.7) eştlğ yazılı. Buada a baz vetöü olduğundan buna aşılı gelen obaz vetöü a le götel. Dolayııyla aa olu. (.7) fade (.6) eştlğnde ullanılıa dv v 0 (.8) eştlğ elde edl. (.8) denlende, a d a (.9) bçnded. (.8) şatı aydıılaı şatıdı. (.9) bçnde tanılanan (bağlantı obele) den. v vetöünün velen afn onneyona göe paalel obelene onneyon folaı

4 Teoe.3.:. Konneyon folaı bağıızdıla. a,,..., n bazının eçlşnden. Konneyon folaı, eğel oodnatlaın dönüştüüle duuunda tenö dönüşü ualına göe dönüşezle. İpat:. ve falı baza aşılı gelen onneyon folaı olun. Paalel aydıılan v vetöü çn dv v 0, (.0) dv v 0 (.) şatlaını yazablz. (.0) ve (.) şatlaından ve eyflğ şatından bulunu. v vetöünün başlangıç değenn. anfoldunda u eğel oodnatlaın değşe halnde baz vetölenn ve M n ovetölenn dönüşü ualı a A a, a A a (.) u u şelnde yazılabl. Buada, bçnded. (.) de nc eştlğn dfeenyeln alıa A u A u da da a A d a (.3) elde edl. (.9) denlende (.) nn bnc eştlğ ve (.3) eştlğ göz önüne alınıa

5 a d a A a da a A d a ve geel şleleden ona A A A da (.4) bulunu. (.4) eştlğ, onneyon folaının, tenöün oodnatlaı olaadığını göte. Şd e ovetöün eğ boyunca velen afn onneyona göe paalel aydıılaı şatını nceleyel. Tanı.3.: ovetöünün eğ boyunca paalel aydıılan eyf v vetöü üzende z bu eğ boyunca abt alıa, ovetöüne eğ boyunca velen afn onneyonuna göe paalel aydıılıştı den. Bu tanıa göe d v dv v d 0 (.5) eştlğ yazılabl. v vetöünün paalel aydıılaı şatından dv v (.6) yazılı. (.6) eştlğn (.5) fadende ullanılıa d v 0

6 eştlğ bulunu. v vetöünün eyflğnden dolayı ovetöün eğ boyunca velen afn onneyona göe paalel aydııla şatı d 0 (.7) bçnde olu. Vetöün ve ovetöün (-fo) eğ boyunca paalel aydıılaı şatını ullanaa, eğnn çeştl notalaına uygulanış eyf tpl tenöün de paalel aydıılaını veeblz. eğ boyunca p, q tpl eyf tenöün z Z t... p... q v q q... v p... p şelnde velş olun. Z fonyonunun vetö ve ovetö değşenlenn boyunca paalel aydıılaı şatlaı dahlnde dfeenyel eğ dz dt p... p q... p q v... v... t q p d v... v... q... q q... p p... p... q q v... q... t v... p d p (.8)... p... p... p... p p............ q q q...... q... q dt t t t t v q q... v p... p olaa yazılı. Bu eştlte... p... p... p... p... p p............... q q q q...... q... q t dt t t t t (.9) olaa alınıa dz p... p q t v... v...... q q p (.0) elde edl. eğ boyunca velen afn onneyona göe paalel aydıılan vetö ve ovetö değşenlenn ultlnee fonyonunun dfeenyel de değşenlen

7 ultlnee fonyonu olu. O halde dz ultlnee fonyonuna bell b tenö aşılı gelecet. Bu tenöün tp p t...... q tenöünün tp le aynı olu. Koodnatlaı e p p (.9) eştlğ le velşt. tenöüne tenöünün utla dfeenyel den. t...... q t...... q Tenöün utla dfeenyelnn tanıından çıatılan onuçla şöyle fade edlebl: a. Vetöün ve ovetöün paalel aydıılaı şatlaı v 0, 0 şelnde olu. Dolayııyla eyf tpl b tenöün paalel aydıılaı şatı t... p... q 0 olaa vel. b. B tenöün utla dfeenyel ıfıa eştt, yan 0 olu. (.9) eştlğnden dolayı tenölen utla dfeenyelle çn aşağıda özellle yazablz: t. t t t, ve t aynı tpl tenöled,. t d t t, -aled, 3. A B A B A B, A ve B eyf tpl tenöled, - tenö çapıını göte. t

8 4. Tenölen etleşte, alteneleşte ve ontayon şlele utla dfeenyellee şle le şle öncel ıaı değşebl..3.. Afn onneyonlu uzayla Tanı.3..: X n dfeenyellenebl anfoldunun he b eğ boyunca afn onneyonu velş olun. Lneel şatını ağlayan anfolduna n- boyutlu afn onneyonlu uzay den. X n dfeenyellenebl Bu tanıda lneel şatı şu şelde fade edl: X n anfoldunun eyf M notaı ve bu notanın oşuluğunda eyf vetö alanlaı velş olun. Keyf v vetö alanının M notaından geçen eyf b eğ çn heaplanış utla dfeenyel, bu eğ boyunca eleente ye değşe vetöünün lnee fonyonudu, yan du v v du (.) olaa yazılı. Buada, v ye ve notaya bağlı fonyon, du e he b vetöe v teğet vetöün oodnatlaıdı. Dğe taaftan dv v du olduğundan v dv v v du v (.) olu. (.) ve (.) eştllenden v v v du (.3) fade bulunu. v, nn ve le e u len fonyonlaıdı. folaı v v v vetö alanlaının eçlşne bağlı oladığından folaı du nın lnee fonyonu olu, yan

9 (.4) du olaa yazılı. Buada atayılaı afn uzayın b notaının fonyonlaıdı. Bunlaa afn onneyonun atayılaı den. Katayılaın vele onneyonunu tayn ede. X n de afn Şd afn onneyon atayılaının dönüşü ualını veel. (.4) eştlğ ullanılaa du A du eştlğ yazılabl. Ayıca A da A A du (.5) olduğundan ve dğe taaftan A eştlğn he taafının ı dfeenyel alındığında A A A 0 A A A A A A A A 0 olu. Bu on eştl (.5) denlende ullanılıa A da A A du (.6) elde edl. (.6), (.4) ve (.4) eştlle ullanılaa onneyon atayılaının dönüşü ualı A A A A A (.7)

0 olaa vel. Buada A A bçnded. (.4) denlen ullanaa afn onneyonlu uzayda velen eyf vetö alanı çn utla dfeenyel v ( ) du (.8) v v bçnde olu. (.8) denlenn ol taafı b tenö ve vetö olduğundan paantezn çnde fade b tenöün oodnatlaı olu. Bu tenöe, velen tenöünün ovayant tüev den ve du v v v (.9) v olaa götel. Bu tüevn onucu (,) tpnde b tenödü. Benze şelde ovetö alanının ovayant tüev (.30) olu ve onuç (0,) tpl b tenödü. t...... q p (.4) eştlğnden, (p,q) tpl tenöünün utla dfeenyel t... p... q (... p t... q p......... q q p p t t du (.3)... )...... q bçnde olu. (.3) denlenn ol taafı b tenö ve du vetö olduğundan paantezn çnde fade b tenöün oodnatlaıdı. Bu tenöe, velen p t...... q tenöünün ovayant tüev den ve

... p t... q... p t... q p......... q q p p t (.3) t......... q bçnde götel. Tenöün ovayant tüev tanıından, (p,q) tpl tenöün ovayant tüev (p,q+) tpl b tenö olduğu göülü. Yan ovayant tüev, uygulanan tenöün ovayantlı eteben b atıı. Kovayant tüevn tanıından yaalanılaa aşağıda özelle yazablz:.... p... p... p... p ( t t )...... q q t... t q... q............ q... q... q. p p ( ) p t t t, F( M n ) 3.... p... q l... l p... q... p t... q l... l p... q... p... q ( t g ) g t g l... l p... q 4. Tenölen etleşte, alteneleşte ve ontayon şlele utla dfeenyellee şle le şle öncel ıaı değşebl. Afn (lnee) onneyonun nvayant tanıı aşağıda gb vel: Tanı.3..: M n anfoldu üzende ( ) 0 M n vetö alanlaının odülü ola üzee : ( ) 0 M ( ) XY X,Y n 0 M n ( ) 0 M n dönüşüü. Z f Z g Z ; fx gy X Y 0 f g 0 M n, ( ), X Y Z 0 M n,, ( ). Z fx gy Zf X f Z X Zg Y Y g Z şatlaını ağlıyoa ya afn onneyon den. Buada X ( ) : 0 M ( ) n 0 M n

dönüşüüne de X vetö alanı boyunca ovayant dfeenyellene den (Bhop and Goldbeg 968)..3.. Eğl ve buula tenöle n A afn onneyonlu uzayında f f u,..., u n dfeenyellenebl fonyonu velş olun. Bu fonyonun ta dfeenyel, yan df fdu fade, oodnatlaın dönüşüü halnde nvayant alı ve df fonyonu vetöünün lnee fonyonu olu. Bu lnee fonyona aşılı gelen ovetöün oodnatlaı du V f (.33) le götel. Bu ovetöe f fonyonunun gadent, f fonyonuna e bu ovetö alanın potanyel fonyonu den. Keyf gadent olaı çn gee ve yete şat V ovetöünün hehang b ale alanın V 0 (.34) olaıdı (Yano 968). V gadent ovetöünün ovayant tüev V V (.35) V bçnded. (.35) denlende ve ndlene göe alteneleşte şle yapılı ve (.34) eştlğ ullanılıa V S V (.36)

3 elde edl. Buada S (.37) olaa velşt. (.36) denlenn ol taafında ovayant tüev (0,) tpl tenö olduğundan S eyetle aşağı ndlene göe antet olan (,) tpl tenöün bleşenlen fade ede. Bu tenöe An uzayının buula (toon) tenöü den. An anfoldundan alınış eyf X, Y vetö alanlaı çn buula tenöünün nvayant foda yazılışı e S X, Y Y X X Y X Y, (.38) bçnded (Kobayah and Nozu 963). Buada Le paantez olup X,Y, X ve Y vetö alanlaının X, Y f X Yf YXf şelnded. Keyf v vetöünün v v ovayant tüev (,) tpl tenö belt. Bu tenöün ovayant tüev e v v v v v ( v ) ( v ) v v v v v v v v v bçnde bulunu. Bu eştlte, ndlene göe alteneleşte şle uygulanıa v R v S v (.39)

4 denle elde edl. (.39) denlende R (.40) ( ) olaa alınıştı. (.39) denlenn ol taafında te ve ağ taafında nc te tenö ve v eyf vetö olduğundan R fade (,3) tpl tenödü. Bu tenöe An uzayının Eğl tenöü veya Reannan- Chtoffel tenöü den. (.39) foülüne benze olaa aşağıda foülle yazılabl: R S, (.4) R R S, (.4)... p... q... p... q t R t... R p t...... q (.43) R t... p... q... p t q...... R S... p t... q. (.4) e ovetöünün (.4) foülüne e afnounun Rcc özdeşlğ den. Keyf X, Y, Z A n vetö alanlaı çn eğl tenöünün nvayant foda yazılışı e R X, Y Z Z Z Z X Y Y X X, Y (.44) bçnded (Kobayah and Nozu 963)..3.3. Konneyonlaın dönüşüü Keyf afn onneyonlu uzaylaın dfeoofzne baalı. Bu duuda, bu uzaylaın aşılılı notalaının oodnatlaı aynı olaca şelde uygun eğel

5 oodnat te velebl. Bu tü aşılı gete, aynı b X n dffeenyellenebl anfoldunda eyf afn onneyonun veleyle de oluştuulabl. Bu duua, onneyonlaın bnden dğene geçeye, onneyonlaın dönüştüüle veya paalel aydıa ualının dönüştüüle olaa baılabl. Aynı anfold üzende çeştl onneyonla dahl ete üündü. anfoldu üzende ve M n onneyon atayılaına ahp ve onneyonlaı velş olun. Keyf vetö alanının bu onneyonlaa göe ovayant tüevle v v v v, v v v bçnde olu. Bu eştlğ taaf taafa çıaıa v v T v (.45) eştlğ elde edl. Buada T (.46) bçnded. (.45) eştlğ le velen T, (,) tpl tenö eydana get. Bu tenöe afn defoayon (gele) tenöü den. Teoe.3.3.:, (,) tpl tenö ve e afn onneyonunun atayılaı T ola üzee (.46) eştlğ le velen atayılaı olu. atayılaı da dğe b afn onneyonun İpat: (.46) eştlğnden T yazılı. çn onneyon atayılaının dönüştüüle halnde

6 T A A A T A A (.47) olu. Buada T tenö olduğundan T A A A T (.48) eştlğn yazablz. (.48) eştlğ (.47) eştlğnde ullanılıa A A A A A olduğu bulunu. Bu e, atayılaının, onneyonlaın dönüştüüle ualına göe dönüştüğünü fade ede. Dolayııyla b afn onneyondu. Bu teoen bazı onuçlaını fade edel: Sonuç. ve afn onneyon atayılaı ola üzee he ale çn (.49) değe de b afn onneyonun atayılaıdı. İpat: (.49) eştlğ ( ) (.50) bçnde yazılabl. (.50) eştlğnn ağ taafında nc te tenö olduğundan Teoe.3. e göe afn onneyon olu. Yan falı onneyon ullanılaa yen b onneyon oluştuuluş olu.

7 Özel halde alıa (.5) bulunu. onneyonuna ve onneyonlaına göe ota onneyon den. Sonuç. afn onneyonu velş olun. Bu tatde, ~ atayılaı da afn onneyon tayn ede. İpat: Buula tenöünün fade S olduğundan ~ S, ~ (.5) yazılı. Teoe.3. den dolayı ~ atayılaı b afn onneyon belt. ~ ve onneyonlaına aşılılı onneyon den..3.4. Buulaı ıfı olan uzayla Buulaız afn onneyonlu uzaylaın buula tenöü ıfıa eşt olduğundan bu uzaylaın onneyon atayılaı alt ndlene göe ett, yan

8 olu. Buulaız afn onneyonlu uzayın hehang eğel oodnat tene göe n oodnatlaı u,..., u olan O ( ) notaını alalı ve onneyon atayılaının u velş olduğu oodnat tene göe bu notada değelenn atayılaı le veldğn abul edel. Konece ebolü ola üzee u {( u u ) pq ( u p u p )( u q q u )} (.53) bçnde yen oodnatlaı tanılayalı. Bu fade u den u ne b dönüşüdü. (.53) dönüşüü dfeenyellenebld ve u oodnatlaının u oodnatlaına göe ı tüevle A p ( u p u p ), A (.54) 0 bçnde yazılı. (.54) eştlğ O notaında ve cvaında det şatını ağla. Yan, (.53) dönüşüü dfeenyellenebl anfoldun tanıında üün olan dönüşüle ınıfındandı. (.54) tüev fonyonlaı O notaında yazılıa A A, A (.55) olu. Şd e onneyon atayılaının yen oodnat tene göe O notaında değelen heaplayalı. Bunun çn (.55) ve (.7) eştlle ullanılaa l l veya

9 0 bulunu. Böylece buulaız afn uzayın he b notaında öyle b oodnat te velebl, onneyon atayılaı bu tee göe bu notada bütün değele ıfı olu. (.53) le velen oodnatlaa noal oodnat te den. Buulaız afn onneyonlu uzaylada.. R 0, R 0, 3. (Banch-Padov eştlğ), (Banch nn. özdeşlğ) R t 0 eştlle geçeld. Bu eştllen he üçünün de nvayant (tenö) aate taşıdığını date alıa, bunlaın patını noal oodnat tende ncelee yetel ve daha olaydı. Buulaız afn onneyonlu uzayda et ve egüle Bu tenöün te a ~ ola üzee, a tenöünün ovayant tüev a tenöü velş olun. a a (.56) şelnde olun. (.56) eştlğnde ndlen ye daeel olaa değştlee a a a a a a a a a a a a,., eştlle yazılı.

30 Sonuncu eştlten bnc eştl çıatılıa a a a a a a a (.57) eştlğ bulunu. (.57) eştlğnn he taafı a ~ tenöü le çapılıa a ~ a a a (.58) olu. Buada a ~ a a a (.59) şelnded. (.59) fadene a tenöünün Reannan onneyon atayılaı, Lev- Cvta onneyonu veya Chtoffel ebolü den. Buulaız afn onneyonlu uzayın onneyon atayılaı egüle ve et ve ovayant tüevle yadııyla fade edl. a tenöünün Chtoffel ebolü Tanı.3.4.: Buulaız afn onneyonlu vetöü ola üzee hac v, v,..., v n A n uzayında e... n 0 e e en, n- e e lnee bağıız vetöle üzene uulan paalelyüzün n v v... n V e... v n n (.60) olun. v, v,..., v n vetölenn paalel taşınaı onucunda V hac ounua, buulaız A n uzayına eş afn (den afn) uzay den.

3 (.60) denlenden e 0... n veya e (.6) 0... n olu. Eş afn uzayın onneyonu (.6) denleyle bellen. (.6) şatı e e... e 0... n... n n... (.6) bçnde yazılabl. n-vetöün antetlğne göe (.6) tenn bütün denlele e... n e... n... ne... 0 (.63) denlene den olu. e n e... olaa yazılıa bu duuda (.63) eştlğnden ln e (.64) yazılı. Eş afn uzay bu şat le de aateze edlebl. (.64) eştlğnde eş afn onneyonun atayılaı le bellenen toplaı gadyentd. Bu gadyentn potanyel fonyonu e ln e olu. R R l l l l (.65) tenöüne Rcc tenöü den. Eş afn onneyonu R R (.66) şatı le de aateze edlebl.

3 Buulaız afn onneyonlu uzaylada eğl tenöünün şatlaını ağladığını göz önüne alıa R ve 0 0 R R R R (.67) eştlğn yazablz. (.66) ve (.67) eştlle eş afn onneyonunun R 0 şatı le de aateze edlebleceğn göte. Tanı.3.4.: Buulaız afn onneyonlu uzayın he b notaında tanant uzayında velen et, (0,) tpl g tenöü, tanant uzayın paalel aydıılaı duuunda ounuyoa böyle uzaya et uzay den. Buada et, (0,) tpl g tenöüne et tenö den. Tanı.3.4.3: Met uzayın g et tenöü egüle e yan det 0 e uzaya g Weyl uzayı den ve W n le götel. Tanı.3.4.4: Eğe Weyl uzayı eş-afn uzay olua, bu uzaya Reannan uzayı den ve V n le götel. Reannan uzayı buulaız onneyona ahp olan uzaydı ve bu uzayın Reannan onneyonu g 0 (.68) şatı le aeteze edl. V n Reannan uzayının onneyon atayılaı

33 g g g g (.69) bçnde vel. Yan, V uzayının onneyon atayılaı g tenöünün Chtoffel n ebolleyle çaışı. (.69) atayılaıyla velen onneyona Reannan onneyonu veya Lev-Cvta onneyonu den. Dğe taaftan Reannan anfoldu üzende g 0 şatını ağlayan aa buulaı olan onneyonla da vadı. Bu tü onneyonlaa e et onneyon den. Reannan uzayında R l g R l ola üzee.. 3. R l 0 R l 0 R l 0 4. 5. R l 0 Rl R l eştlle geçeld.

34 3. MATERYAL ve YÖNTEM 3.. Hpeople Ceble A, -boyutlu bleşl ve bl b ceb ola üzee, A ceb olduğu çn aynı zaanda b vetö uzayıdı. Dolayııyla ahpt ve e A,,...,,{ e } şelnde b baza : A A A ( e, e ) e e C e dönüşüü, he bleşene göe lneed. Yuaıda dönüşü (,) tpl tenö olup, C yapı abtle e, tenöün bleşenlen belt. A cebnde bleşe şlenn tenölele fade ( e e ) e C C C e C C e e e ( e e ) C e C C C e C e şelnded. C C C C ualına cebn bleşl ola şatı den. Matle yadııyla ~ C, C C, C,..., cebnn bleşl ola şatı C C C C (3.)

35 şelnde yazılı. Buada C, C atnn tanpozunu beltp, ve ıaıyla atn atı ve ütünü göteetedle. şata dent: A cebn bleşl ola şatı aşağıda üç C C C C, (3.) CC C C, (3.3) C C C C (3.4) Eğe A ceb bleşl e, bleş ualı yapı abtle yadııyla yuaıda 4 şattan bne dent. A cebnn b eleanını e le göteel. e e den C C I ( ) (3.5) eştlğ yazılı. Buada edlee Konece deltaıdı. B elean tanıından haeet e. e e e C e e e C C I,( C I), denlele yazılı. Tanı 3..: C( A ) ve C( A ) ıaıyla C ve C atle le oluşan ceble olun. : ( ) A C A, a a e a C C( a) a a a a C a C,,...,, A, ( ) ( A ) dönüşüüne bnc çeşt egüle tel den.

36 : ( ) A C A, a a e a C C( a),,...,, A, ( ) ( A ), a a a a C a C dönüşüüne e nc çeşt egüle tel den. Yuaıda ve zoofz belt. (3.4) de tü A a C, a,..., a, atle C( A ) cebnn eeznded. Tene, C I C ullanı ve tü CC( A ) çn AC CA şatının ağlandığı abul edle, C C,,...,, atle çn, A C C A eştlğ elde edl ve on eştlğe le ontayon yapılıa A C A A, A, ( a A ) ~ A a C a C. C C a bulunu ve AC( A ) onucuna ulaşılı. Buadan aşağıda teoe elde edl: Teoe 3..: A, hehang b ( ) -at olun. AC C A,,..., olaı çn gee ve yete şat, ~ A a C olaıdı. Yan Z( C( A )) C( A ) A a C a. Buada ZCA ( ( )), C( A ) cebnn eezd.

37 ~ ~ Teoe 3..: A, hehang b ( ) -at olun. A C C A,,..., olaı çn gee ve yete şat, ~ A a C olaıdı. Yan ( ( )) ( ) Z C C A a C A A a. Buada Z( C( A )) C( A ) olduğu çn C( A ) cebnn değşel olduğu göülü (Vhnev et al. 985). 3.. Değşl Hpeople Ceble Değşl hpeople ceble ele alaa ınılaa yapacağız. Bu ve bundan ona bölülede A cebnn değşl hpeople ceb olduğunu abul edeceğz. Değşl ola şatı, e e e e şatına den olan C C ( C C ), (3.6) C C C C ( C C C C ) (3.7) eştllenden b le götel. C C çn (baınız (3.)), C ( A ) = C ( A ) eştlğ yazılı. Buadan, C ( A ) ya değşl ceblen tonpoz egüle tavle den. Teoe 3.. ve Teoe 3.. den aşağıda teoe yazılı: Teoe 3..: A değşl hpeople ceb olun. Bu duuda C( A) ve C ( A), ( ) -tpnde atle cebnn aal değşl alt cebled.

38 Değşl ceble aaında önel olü Fobenu ceble oyna. abtle çn C (3.8) at egüle e, buada çn e e olaca şelde e etğne Fobenu etğ den. Buada e bazı dual bazı bulunatadı. Fobenu etğ çn C C, C C, (3.9) e e C e, e e C e, = (3.0) eştlle geçeld. Buada la, e n bleşenled. : A A otoofz çn nvolüyon beltyoa yan d e otoofzne A cebnde eşlen şle den. : x x, x A eşlen şlenn tanıından e ( e ) e,, (3.) C C, (3.) (3.3) eştlle yazılı. Buada e e şelnded. a A çn eşlen elean a a e a a e a e le vel. (3.) den, A nn olaca şelde uygun bazı vadı.

39, e,, e olun. Buada,,, şelnded. Bu duuda (3.) den e e, e e yazılı. ( e) e olduğu çn (baınız (3.3)), e e olu. Buada e, e, le gelen düzle tanılanı. Öneğn, A ( ) ople ceb e 0 ( ) 0 ve e e, e e, olu. (3.) den falı ndle çn (3.) fade yazılaa adapte oluş baza göe C 0, C 0, C C 0 eştlle bulunu. 3.3. Holoof Fonyonla A cebnde x z e değşenn alalı. Buada x (,..., ) eel değşenle ola üzee, eel değel ullanaa z A değşennn y ( x) y ( x,..., x ),,..., C -fonyonlaını w y ( x) e

40 hpeople fonyonu tanılanı. nn dfeenyelle olun. dz dx e ve dw dy e ıaıyla z ve w (z) dw w ( z) dz (3.4) le tanılı w ( z) fonyonlaı vaa w w(z) fonyonuna holoof fonyon w ( z) ye de w (z) nn tüev den. Teoe 3.3.: w w(z) hpeople fonyonunun holoof olaı çn gee ve yete şat C D DC (3.5) y Scheffe şatlaını ağlaaıdı. Buada D, y (x) nın Jaob atd x (Scheffe 893; Kuchovch 97; Vhnev et al. 985; Shoov 00). İpat: w w(z) holoof fonyon olun. w ( z) w e ola üzee (3.4) den y dw dy e dx e w~ e dx e w~ x dx C e eştlğ yazılı. Buadan y w ~ x C (3.6) elde edl. Böylece, w w(z) hpeople fonyonunun holoof fonyon olaı çn gee ve yete şat y x Jaob atnn (3.6) founda olaıdı

4 onucuna ulaşılı. (3.6) fade ) ( e le ontayon yapılıa ve (.5) buada ullanılıa y w x yan ( ) y w z e x (3.7) elde edl. (3.6), Teoe 3.3. e uygulanıa (3.6) şatının Scheffe şatına den olduğu göülü. (3.7) den, x y nın Jaob at D x x y D bleşenlene ahp olduğu göülü. Buada y D x şelnde olup D D Jaob at Scheffe şatını ağla. Buada ( ), ( ),... w z w z le ) (z w nn tüevled. Öne 3..: A ople cebde,, B baz olduğundan, (3.5) Scheffe şatı Cauchy-Reann şatına ndgenş olu. Geçeten, 0 0, 0 0 x y x y x y x y D C C C C C C C C C C

4 eştlle çn, (3.5) den z x x w y x x y x x, (, ) (, ), ola üzee y x y x y, x y x yazılı. Holoof ve analt ople fonyon avalaının bbne den oldulaı bln. Eğe w (z) yaına uvvet ele şelnde yazılable, w w(z) holoof fonyonu analtt. Genelde, hpeople fonyonla çn holoof ve analt fonyon avalaı den değld (Vhnev et al. 985; Cuceanu et al. 996). Holoof hpeople fonyonla avaı ço cebel değşenle çn genelleştlebl. z u x ( u) e, ( u,..., ) A cebnn değşenle olun. w( z,..., z ) y ( x,..., x ) e fonyonunun z,..., z değşenlenn holoof fonyonu olaı çn gee ve yete şat eyf u çn y Du, u,..., ( u) x ola üzee C D u D C şatının ağlanaıdı. u Holoof hpeople fonyonla aşağıda özelllee ahpt:. w ve w holoof fonyonla ola üzee w w holoof fonyondu ve ( w w ) w w eştlğ ağlanı.. w ve w holoof fonyonla ola üzee ww holoof fonyondu ve ( w w ) w w w w eştlğ ağlanı.

43. F ve w ıaıyla w ve z nn holoof fonyonlaı ola üzee F F( w( z)), z nn holoof fonyonu olup eştlğ geçeld. F z df dz dw dz, w çn F z df dw w İpat. (). w w w w e e w w Ce w w e çn, (3.7) den ( w w ) ( C (( w w w (( w ) e w w ) w w C ) w w ( w ( ( ( w w w w )) e )) e )) e e yazılı ve () ye benze şelde () de patlanı. () F F e, w y ( x) e, z x e olun. df dw e (3.7) den F e, w w e df F Fz e dz x F y e y x F C w C e F C w e F w e e df dw df w dw dz dw yazılı. Öne 3.3.: ( ) A,,, 0 B anon bazına ahp dual ceb olun.

44 C C C C C 0 0, C C C C C 0 0 0 eştlle ullanılaa (3.5) şatı z x x, w( z) y ( x, x ) y ( x, x ), 0 denlelenden aşağıda den şata ndgenş olu: y y y 0,. x x x Bu on denleden w( z) f ( x ) ( x f ( x ) g( x )) eştlğ yazılı. Buada w w() z, ynetc fonyon foundadı (Talantova and Shoov 975; Vhnev et al. 985). gx ( ) 0 e w z f x x f x ( ) ( ) ( ) fonyonuna f ( x ) C -foyonlaının ( ) cebne doğal genşlee den. Öne 3.3.3: Paaople cebde, () e yapı abtlenn atle A A,, e, e B doğal baz olduğundan C C 0 C C 0 C, C C 0 0 C C C şelnded. Scheffe şatlaı aşağıda paa-cauchy-reann şatlaı y y y y x x x x,, z x ex, w y ( x, x ) ey ( x, x ), e le vel (Cuceanu et al. 996; Gadea et al. 003).

45 3.4. Manfoldla Üzende Cebel Yapıla Eğe M anfoldu üzende,,... (,) tpl tenö (afno) alanlaının üe velş e bu yapıya M üzende polafno yapı (veya yapı) den ve le götel. Eğe he, anfoldun hehang b x notaının U x oşuluğunda bell b X,,..., n çatıında (genelde holono değl) abt foa ndgeneble yapıya et yapı den (Kuchovch 97). Bu duuda X,,..., n çatıına yapıına göe adapte oluş çatı den. Eğe he, dfeenyellenebl b atlaın,,..., X n holono (doğal) adapte oluş çatılaı üzende abt e, yapı ntegallenebld den. Açıça, ntegallenebl yapı he zaan ett. Te duu e yapı üzende adece bell e oşulla altında alını. Öneğn, e yan yapı b afnodan oluşuyoa ve et yapıyı ouyan M üzende, -onneyonu buulaız yan 0 e, yapı ntegallenebld (Kuchovch 97; Mağden and Salov 006). Sade et yapıla (heen heen ople, heen heen paaople yapıla v.b.) çn ntegallenebll Nenhu tenöünün ıfıa eşt olaına dent. Tanı 3.4.:, M üzende lnee onneyon olun. He çn 0 e ya yapıya göe onneyon den. Tanı 3.4.: M üzende buulaız onneyon vaa, M üzende yapıya heen heen ntegallenebld den. Buada bazı ade yapıla çn ( yapıla, egüle yapıla v..) ntegallenebll ve heen heen ntegallenebll avalaı bbne dent.

46 A hpeople ceb olun. Eğe heen heen hpeople yapı A zoofz vaa, yan M üzende C (3.8) şelnde e polafno yapıya M üzende heen heen hpeople yapı den. Buada afnoladı. la, e A,,..., baz eleanlaına aşılı gelen yapıal Tanı 3.4.3: atle,...,, X adapte oluş çatıına göe C 0...0 0...0 C,,..., ;,,..., n... 00... C (3.9) founa ndgeneble, M üzende heen heen hpeople yapıya egüle (veya -egüle) yapı den. Buada C C blolaının ayııdı., A nn egüle tav, e C (3.9) da C yazılıa, M üzende tanpoz egüle yapıya ahp olunu. Buadan, egüle yapılaın et yapıla olduğu onucu elde edl. Öneğn, heen heen ople ve paaople yapıla çn (3.9) şatı (3.8) şatından de çıa, yan M üzende ( boym ) heen heen ople ve paaople yapıla otoat olaa egüle yapıladı. M üzende,,, 0 şelnde yapı, I I d M ( ), 0 dual cebnn zoof

47 tavd. Faat genelde, yapı M üzende egüle olayan yapıdı (Vhnev 974, 00).,,...,, M üzende egüle yapı olun. Bu duuda (3.9) dan n, ( n boym, boya ) (3.0) yazılı. Buada, C blolaının ayııdı. Böylece, (3.0) şatı M üzende egüle yapılaın valığı çn gee şattı. Buadan ( u ) (,..., n; u,... ;,..., ) veya u, v, w,... yazılı. Başa b fadeyle, yapıal afnolaı ( -Konece deltaı) (3.) u u C v v u v oodnatlaına ahpt. X S X ( Det( S ) 0), egüle yapıına göe X adapte oluş çatıının dönüşüle olun. ( S ) ( S ) ola üzee S S ( ) ( )( )( ) (3.)

48 elde edl. Eğe X adapte oluş çatı e X X dönüşüüne uygun (aul) dönüşü den. Bu duuda X adapte oluş çatı olduğu çn (3.) den ( ) ( ) olup S S (3.3) eştlğ yazılı. Buada yazılı: S ( S ) ve ( ) şelnded. Buadan aşağıda teoe Teoe 3.4.:, M üzende egüle yapı olun. Adapte oluş çatılaın S : X X dönüşüünün uygun dönüşü olaı çn gee ve yete şat (3.3) şatının ağlanaıdı. Teoe 3.3. ve Teoe 3.4. ullanaa S atnn S C u u u (, ) (3.4) u yapıına ahp olduğu göülü. Te at çn aynı yöntele ullanılaa u u (, ) (3.5) S C u u elde edl. A cebnden u u u u u u u u S ( S ) ( e ), S ( S ) ( e ) (3.6) atle elde edl. Buadan S S I olduğu olayca patlanabl. Buada

49 e 0... 0 0... 0 ( I) 0 e... 0 0... 0 0 0... e 0 0... şelnded. (3.4) ve (3.5) den u u S S C u v C u u u u u v u v C e e e * * u u S us v eştlğ elde edl. X u X u, M üzende adapte oluş çatı ola üzee, heb X vetö alanına A cebnden oodnatlala fade u u e olan u ( u,..., ) vetö alanlaı aşılı gel. yen oodnatla elde edl. (3.4) den S e, u u u S u şelnde u u u u u Su u C le u u u u u e C e u * * u u u u e e S u eştlle yazılı.

50 alınıa, olu. a vetö alanı üzende nn et, yan X denle u u u v e a e a vc e * u v u u v a e e a e e a, şelne ndgenş olup buada u, v, a A şelnded. Buadan aşağıda teoe yazılı: Teoe 3.4.: Eğe, M üzende egüle yapı e, x M çn heb T ( M ) tanant uzayı A ceb üzende T ( A ) odülünün eel odeln belt. x u u Özel olaa, a eştlğnden alınıa u u e elde edl. 3.5. İntegallenebl Regüle - Yapı, M üzende ntegallenebl egüle yapı olun. x u x ve x u x e U ( x M ) de adapte oluş loal oodnatla olun. x yapıal afnolaı x ve x adapte oluş oodnatlaına göe (3.9) şelnde abt foa ahptle.

5 Buada x u u S x x u eştlğ geçeld. Buada S, S C, S u x, şelnde (baınız (3.4) ve (3.5)) olup, Teoe 3.4. den u ve u u C, u abt u u x x alınaa, C C u u x x eştlğ elde edl. Buada u u z x e fonyonu, u u z x e nn holoof fonyonudu. (3.7) ve (3.6) ullanılaa z z u u u x u u u u e u u Ce u e u e S u x eştlğ yazılı. Benze olaa z z u u u u S elde edl. Böylece, u x ve u x loal adapte oluş oodnatlaının oşululaının eş üzende u u u u u u u z z ( z ),( z x e, z x e ) geçş fonyonlaı holoof olu. Yan M, holoof boyutlu A - anfolddu: X ( A ). Tene, X ( A ), holoof A - anfold ola üzee A - oodnat oşululaının aaet üzende u u u z z ( z ) geçş fonyonlaı holooft. Teoe 3.3. den u ve u abt alınaa u u x x C C u u x x elde edl. Buadan eyf u ve u çn

5 u u x x u u x x u u yazılı. Buada şelnde olup, C v v ve egüle yapıdı den. yapıına ntegallenebld Buadan aşağıda teoe yazılı: Teoe 3.5.: ( ) ntegallenebl egüle yapıya ahp X A, holoof A - anfoldunun eel odel, M eel anfoldudu. M, egüle yapıya ahp eel anfold ola üzee aşağıda fadele bbne dent (Kuchovch, 970):. Regüle yapı ntegallenebld,. Regüle yapı heen heen ntegallenebld,. N 0 dı ve buada N, egüle yapı le tanılanan Nenhu- Shoov tenöüdü. Öne 3.5.: X ( ), ople analt ( -holoof) anfold olun. He X ( ) ople analt anfoldunun, M eel odel üzende doğal b heen heen ople yapı taşıdığını göteel. (,...,,,..., ) x x y y oodnat tene göe ( nn eel odel) üzende b heen heen ople yapıı,,,..., x y y x (3.7)

53 le tanılıdı. X ( ) nn hataının geçş fonyonlaı -holoof olduğundan dolayı M üzende heen heen ople yapı tanılaa çn, bu hatala vaıtaıyla M ye (3.7) founda nn heen heen ople yapıı tanfe edlecet. (3.7) le velen heen heen ople yapıının nşaından,,..., x x, y,..., y loal (holono) oodnat tene göe nn bleşenlenn abt olduğu ve nn ntegallenebl olduğu açıtı. Ayıca, heen heen ople yapıla egüled.,...,,,..., x x x x nın çn b baz olaca şelde, çn and Nozu 969). nn,..., x x ( nn eel odel) eleanlaı vadı (Kobayah,,,,...,, x x x x x x yazılıa 0... 0 0 ( ) 0 0... 0 şelnde tanılı at elde edl. Yan egüle yapıdı. Böylece X ( ) ople analt anfoldunun eel odel (3.7) le velen ntegallenebl egüle doğal heen heen ople yapıya ahp M eel anfoldudu. Öne 3.5.: Benze yöntelele, X ( A( e )) paaople (paaholoof) anfoldunun eel odel (Cuceanu et al. 996; Gadea et al. 003),

54,,,..., x y y x le velen ntegallenebl egüle doğal heen heen paaople yapıya ahp M eel anfoldudu. Buada A( e) { z : z x ey, e } şelnded. Öne 3.5.3: T( M n), M n nn tanant deet olun (Yano and Ihhaa 973). tanant deet xy, llenden oluşup buada n M n nn x M ve y T ( M ) d. ( x, y) x le tanılanan : T ( M n) M n, T( M n) den M n üzene doğal zdüşü x n belt., M n üzende oodnat dönüşüü ola üzee n ( U, x ( x,..., x )) ( U ) üzende n n (,...,,,..., ) x x x x loal oodnatlaı tanılıdı. Buada n x,..., x, x loal çatıına göe M n üzende vetö alanlaının bleşenled. Buada,..., n ve n şelnde tanılıdı. Eğe n n ( U, x ( x,..., x )) M üzende dğe b oodnat dönüşüü e, U ( ) ne göe n n ( x,..., x, x,..., x ) ndgenş (nduced) oodnatlaı elde edl. Buada dönüşü ualı x x ( x ),,..., n, x x x, n,...,n x (3.8) le vel. (3.8) n aobyen x 0 x x S,,...,n x x x x x x x

55 at le vel. S S olaca şelde 0 0 I 0 ( I, n-deeceden b att) doğal afno alanı tanılı olup : S dönüşüü, yapıına göe uygun (aul) b dönüşüdü. nn ntegallenebl ve 0 olduğu aşadı. Ayıca, R( ), 0 dual ayıla cebnn egüle tavd. Geçeten,,,..., n,,,..., n nn yene çatıına göe,,,,..., n, n çatıı alınıa, afno alanı,,,,..., n, n 0 0... 0 0 0 0 0... 0 atn belt. Yan egüled. Böylece T( M n) tanant deet üzende ( ) (Buada genelde, ( ) nn zoof telnn egüle oladığını not edel (Vhnev, 00)) dual ayıla cebnn egüle tel olan doğal ntegallenebl afno -yapıına ulaşılı. Buada, ( U ) T ( M n ) açı üende he b x, x ndgenş oodnatlaıyla X x x, 0 loal dual oodnatlaı eşleştl. (3.8) fade ullanılaa, X x x loal dual oodnatlaı X x ( x ) x ( x ( x )) (3.9) şelnde fade edl. (3.9) denlenden X değelenn, X x x nn ( ) - holoof fonyonlaı olduğu göülü (Evtuh et al. 979). Böylece, doğal

56 ntegallenebl egüle -yapıına ahp T( M n) tanant deet, ( ) -holoof X ( ( )) n -anfoldunun eel odeld. 3.6. Afno Alanlaına Göe Pü Tenö Alanlaı M, n onlu n -boyotlu C -anfold ola üzee, ( n ) F M üzende (, ) tpl tü C -tenö alanlaının odülü ( M n) C -fonyonlaının cebd. le göteln. Buada F( M ), M n üzende n Tanı 3.6.: ( ) M n ola üzee, (, ) tpl t tenö alanı eyf X, X,..., X ( M ) ve 0,,..., ( ) çn 0 n M n t( X, X,..., X ;,,..., ) t( X, X,..., X ;,,..., ) t( X, X,..., X ;,,..., ) (,,..., ;,,..., ) t X X X t( X, X,..., X ;,,..., ) (3.30) (,,..., ;,,..., ) t X X X şatını ağlaa t tenö alanına ye göe pü tenö alanı den. Buada opeatöü nn eşlen opeatöüdü: ( )( X) ( X). x, x,..., x n, M n de loal oodnat te olun. (3.30) da X,..., X ve x x dx dx,..., alınaa, pü tenö alanlaı, ve... t... bleşenlene göe

57 t t... t t t... t (3.3).................................... le fade edl. Vetö, ovetö ve ale alanlaı pü tenö alanlaıdı. Öne 3.6.: t M n ( ) pü tenö alanı ola üzee (3.30) fade çn ( tx ) t( X ) eştlğ geçeld. Böylece, ( t) X ( t) X ( tx ) (, C c c ontayonu le tenö çapııdı) ola üzee, t M n ( ) ve ( ) M n t t (3.3) değşl ola şatını ağlaa, t ye, ye göe püdü ve tene ye, t ye göe püdü den. (3.3) den nn ve I b afno alanının pü tenö alanlaı olduğu göülü. Ayıca (3.3) den, egüle afno alanı e yan det( ) 0 e, bleşenle nn te atnn eleanlaı olan afno alanı da püdü. Öne 3.6.: g ( g ), ( ), T tanpoz at çn T g g (3.33) eştlğ geçeld. (3.3) ve (3.33) den 0 g M n ( ) tenö alanının pülü şatı g g şelnde fade edl.

58 g, Reannan etğ olduğunda g X, Y g X, Y opeatöüne elf adont den. şatını ağlayan lnee (3.30) dan, K ve L nn he (, ) tpl pü tenö alanı e, K L ve fk ( f F( M n )) nn de pü tenö alanı olduğu göülü. afno alanına göe M n üzende (, ) tpl tü pü tenö alanlaının odülü ( M ) le göteln. poztf taayıı abt ola üzee, K ve L ıaıyla n ( p, q ) ve ( p, q ) tpl pü tenö alanlaı e C...... p... p... q...... q K L ( K L ) ontayonuna ahp K ve L tenöel çapıı da yne pü tenö alanıdı. K M n ( ) ve 0 L M n ( ) ola üzee X Y 0 M n, ( ) çn C ( K L)( X, Y ) K( L( X, Y )) K( L( X, Y )) ( K L)( X, Y ) C p eştlğ yazılı. ( ) p K q M n ve L ( ) q M n nn pü çapıını ( C veya le şaetlen) tanılayaa, n Mn, 0 ( M ) ( ) det toplaını eel ayılaı üzende cebe dönüştüel:...... p... p K... L......, (, abt poztf taayı), q p q q C C... p...... p K........., (, abt poztf taayı), : (, ) ( ) L q p q K L K L q 0 p 0, p 0, 0 q 0, q 0.

59 Öneğn, ( ) 0 ve L q( Mn), q fo ola üzee L ç çapıı le C X X L X M n pü çapıı çaışı. 3.7. Tachbana Opeatöü Tanı 3.7.: ( ) M n ve n Mn, 0 ( M ) ( ), üzende tenö ceb olun. : ( M ) ( M ) dönüşüüne aşağıda şatla dahlnde M n üzende n Tachbana opeatöü den: n (a), abt atayılaa göe lneed, (b) He, çn : ( Mn) ( Mn) şelnded, C C C (c) He K, L ( M n ) çn ( K L) ( K) L K L eştlğ ağlanı, (d) L Y, Y ye göe Le tüev ola üzee eyf, ( ) çn Y ( L ) X X Y 0 M n X Y şelnded, (e) C 0 Y Y Y ola üzee, he ( ) M n ve X Y 0 M n, ( ) çn şelnded (Salov et al. 008). ( ) ( d( ı ))( X ) ( d( ı ( )))( X ) X Y Y Y ( X)( ) X( ) Y Y Tanı 3.7. n (d) şıından,, Y X Y X Y X yazılı. Hehang f, g F( M n ) çn

60,, fx gy fg X Y f Xg Y g Yf X olup Y X, X e göe lneed faat Y ye göe lnee değld. Buada,, f X, Y X, Y ( fx ) Y f X, Y fx, Y X f X Y Yf X f X Y Yf X f X Y, X gy g Y X g Y Xg Y eştlle geçeld. Bundan ona, çn Y X şaetleen ullanacağız. Y X 3.7.. (,) tpl tenö alanlaına uygulanan -opeatöü t M n ( ) ve t t olun. Hehang 3.7. n (c) eştlğ ullanılaa Y M n ( ) 0 çn ty M n ( ) 0 ve Tanı t X Y t Y X C C, ty X t X Y t Y X (3.34) elde edl. (3.34) ullanılaa, Tanı 3.7. n (d) eştlğnden, LtY t LY X t X Y ty X t Y X X, ty X, ty t X, Y t X, Y Q X, Y, t (3.35)

6 yazılı. Q ( ), t Mn tenö alanına Nenhu-Shoov tenö alanı den (Shoov 966). Buadan aşağıda teoe elde edl: Teoe 3.7.: alanıdı. t M n ( ) olun. Bu duuda t, Nenhu- Shoov tenö t t eştlğ, t olaı duuunda aşa olaa ağlandığı çn, (3.35) den X, Y LY LY X X, X X, Y X, Y X, Y N X, Y eştlğ elde edl. Buada N, nn Nenhu tenö alanıdı (Nenhu 95). Buada aşağıda teoe elde edl: Teoe 3.7.: N, nn Nenhu tenö alanı e N olu. t t, yan t M n ( ) olun. Bu duuda t b tenö alanı değld. Bu duuda, ve t nn aşağıda şelde S,t buula tenöü (Nenhu 95; Shoov 966): t t X, Y X, ty tx, Y t X, Y t X, Y X, ty tx, Y t X, Y t X, Y

6 le tanılıdı. Buada aşağıda teoe elde edl: Teoe 3.7.3:, ( ) olun. t t pülü şatını ağlaayan t t t M n fade (,)- tpl S,t tenö alanını tanıla. Buada S,t, ve t nn buula tenö alanıdı. (3.35) ve Teoe 3.7.3 den aşağıda onuç elde edl: Sonuç 3.7.: t, pülü şatın ağlaayan (,) tpl tenö alanı olun. Bu duuda S ( X, Y) Q ( X, Y) Q ( Y, X ) t t X, Y, t, t, t elde edl. Bat b heaplaayla, he t t t M n,, ( ) ve X Y 0 M n, ( ) çn, I b afno ve C Q, t X Q, t Y X Q, t X Y Y C XY, XY, Q, t t t, ( Q, t ( X, Y )) XY, t, t, t,, t Q t Q Q X, t Y, ola üzee (a) I 0, (b) ty Q, t t Y ( ), Y (c) t X Y Q X Y Q Y X Y X,,,,,, t t, t (d) Q, t t Q, t t t Q, t,

63 (e) Q, t N t Q, t eştlle elde edl. 3.7.. çn (, ) tpl tenö alanına uygulanan opeatöü * t ( M), yan ( t( Y, Y,..., Y )) t( Y, Y,..., Y ) t( Y, Y,..., Y ) olun. Tanı 3.7. n (c) ve (d) şılaı ullanılaa t X, Y, Y,..., Y t Y, Y,..., Y X t Y, Y,..., Y X,..., Y,,...,,,..., t Y Y Y Y,..., L X t Y Y L X Y (3.36) elde edl. (3.36) fade M de doğal oodnat tene göe t h t t t t... h h h h............... (3.37) bleşenlene ahpt. Özel olaa, t ( M) çn, t nn,, ve ye göe altenayonunu ullanaa t h nn, t nn pülü şatı oladan (,3)-tpl b tenö alanının bleşenle olduğu tenö heaplaalaıyla ontol edlebl (Yano and Ao 968).