Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar

Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar Lisansüstü Ders Notları Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Harita Mühendisliği austun@selcuk.edu.tr Konya, 2016 A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 1/22

İçerik 1 Giriş Arka plan ve motivasyon Gravite alanı ve yeryuvarı sistemi 2 Bozucu Gravite Alanı ve Büyüklükleri 3 Normal gravite alanı A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 2/22

Yeryuvarının dış çekim alanı Kütle bakımından yeterince büyük gök cisimleri, dış cisimleri kendine doğru çeken çekim alanına sahiptir. Çekim gücü, çeken ve çekilen cismin kütlesel büyüklüğüne ve aralarındaki uzaklığa bağlıdır bağlıdır (Newton çekim yasası): F= G m 1m 2 l 2 e l (1.1) m 1 çeken, m 2 çekilen, l kütle merkezleri arasındaki uzaklık, e l l uzunluğu boyunca birim vektör, G evrensel (Newton) çekim sabiti m 1 >> m 2 (örneğin yeryuvarı M=m 1 ve yapay uydu m 2 = 1 ) ise, çekim ivmesi, a= GM l 2 e l= F m 2 (1.2) bu alanın (vektör) gücünü ve kaynağını (yönünü) gösteren büyüklüktür. A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 3/22

Üç boyutlu uzayda potansiyel alan Korunumlu bir kuvvet alanı olarak çekim alanı, skaler bir potansiyel alanın (V) gradyenidir: V T= a=gradv= V= x, V y, V d 2 x z (1.3) dt 2 V= V(x) uzaydaki x=(x,y,z) T noktasında a(x) çekim alanını tanımlar. Potansiyel V(x) M kütleli bir cisim tarafından birim kütleli bir cismi sonsuzdan x noktasına getirmek için yapılan iş M cisminin ağırlık merkezine göre mutlak konum A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 4/22

Dolu bir cismin potansiyeli Küresel dolu bir cismi oluşturan diferansiyel kitle elemanları m 1,m 2,... ve cismin ağırlık merkezine göre konumları x 1,x 2,... ise, dolum cismin dışında x P noktasındaki potansiyel (toplam etki); m i V(x P )=G (1.4) x P x i Sürekli bir fonksiyon olarak dolu cismin potansiyeli, dm(x Q ) V(x P )=G x P x Q = G ρ(x Q ) B x P x Q db Q (1.5) B hacim integrali ile ifade edilir.ρ(x Q ) diferansiyel kitle elemanının yoğunluğu, db Q dolu cismin hacim elemanı. i A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 5/22

Gravite (ağırlık) potansiyeli ve ivmesi Ekseni etrafındaωaçısal hızla dönen bir cisim tarafından üretilen merkezkaç potansiyeli ile birlikte P deki test cisminin potansiyeli, W(x P )=V(x P )+ 1 2 ω2 (x 2 P + y2 P ) (1.6) gravite (ağırlık) potansiyeli olarak adlandırılır. Ağırlık ivmesi ya da gravite vektörü, x P x Q g(x P )= W(x P )= G x P x Q 3ρ(x Q)dB Q +ω 2 p (1.7) B yeryuvarının çekim ve merkezkaç alanı içindeki birim ağılıklı cismin yönünü (çekül doğrultusu) ve şiddetini tanımlar. p=(x P,y P,0) T P noktasının z dönme eksenine göre konumunu gösterir. A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 6/22

Gravite alanı ve konum Konumun bir fonksiyonu olarak W= W(x)=sb. sonsuz sayıdaki kapalı eşpotansiyel yüzeylerden birini tanımlar. Gravite alanının doğal koordinatlar ile fonksiyonel ilişkisi aşağıdaki eşitliklerle verilebilir: Astronomik koordinatlar (Φ,Λ) ve çekül doğrultusu n= g cosφcosλ g = cosφ sinλ (1.8) sinφ Ortalama deniz yüzeyine karşılık gelen eşpotansiyel yüzey (jeoit), W 0 = W(x)=sb. (1.9) başlangıç alınırsa P noktasının konumu (jeopotansiyel kot cinsinden yüksekliği), C(P)=W 0 W(P) (1.10) A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 7/22

Yerin kitle yoğunluk dağılımı Kabuk Moho Üst manto Düşük-hız bölgesi Alt manto D" Katmanı Dış çekirdek Sıvı katı sınırı İç çekirdek A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 8/22

GOCE statik global jeoit modeli (ESA dan) A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 9/22

Global gravite alanı çözünürlüğü A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 10/22

Kitle taşınımı ve gravite değişimi A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 11/22

Referans sistemleri ve jeodezinin üç sac ayağı YER DÖNMESİ JEOKİNEMATİK REFERANS SİSTEMLERİ GRAVİTE ALANI A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 12/22

Çekim potansiyelinin özellikleri = = 2 Laplace operatörü (öneğin üç boyutlu uzayda), f(x,y,z)= 2 f x 2+ 2 f y 2+ 2 f z 2 (3.1) f(x, y, z) fonksiyonunun bu uzaydaki durumunu (davranışını) açıklar. Çekim potansiyeli için Laplasiyen, V= 4π Gρ (3.2) Poisson diferansiyel denklemini sağlar (tüm uzayda). Yeryuvarının dışında (ρ(p)=0) çekim potansiyeli, Laplace diferansiyel denklemini sağlar. V= 0 (3.3) A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 13/22

Çekim potansiyelinin özellikleri (devam) Harmonik fonksiyon f= 2 f= 0 eşitliğinin geçerli olduğu uzayda f harmoniktir denir. Tüm harmonik fonksiyonlar sonsuz kez türevlenebilen analitik fonksiyonlardır. Küresel koordinatlar cinsinden çekim potansiyelinin harmonikliği; V= 2 V 2 V r 2+ r r + 1 2 V r 2 ϑ 2+ cotϑ r 2 V ϑ + 1 2 V r 2 sin 2 ϑ λ2= 0 (3.4) Küresel cisim olarak yeryuvarı ve onun dış çekim potansiyeli, V= GM r max R n r n=0 (C nm cosmλ+s nm sin mλ)p nm (cosϑ) (3.5) m=0 n,m n küresel harmonik açınımın derece ve sırası (n max ). A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 14/22

Küresel koordinat sistemi ve metrik tensör elemanları z λ ϑ φ xφ xp xr P(ϑ,λ,r) xλ y Jakobi matris J= x ϑ y ϑ z ϑ x λ y λ z λ x r y r z r r cosϑ cosλ r sinϑ sinλ sinϑ cosλ = r cosϑ sinλ r sinϑ cosλ sinϑ sinλ r sinϑ 0 cosϑ (3.7) x ϑ,λ, r = x, y, z x=r sinϑ cosλ y=r sinϑ sinλ z=r cosϑ (3.6) Metrik tensör elemanları r 2 0 0 J T J= 0 r 2 sin 2 ϑ 0 (3.8) 0 0 1 j ϑϑ = r 2, j λλ = r 2 sin 2 ϑ, j rr = 1 (3.9) A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 15/22

Gravite vektörü (yerel gradyent vektör) P noktasında oluşan yerel astronomik koordinat sistemin eksenleri: kuzey x, doğu y ve başucu z olmak üzere V ϑ = GM r V λ = GM r N max g=grad W g= N max N V max r = GM r 2 1 W jϑϑ ϑ 1 W jλλ λ 1 W jrr r = grad V+ gradφ 1 V r ϑ = 1 V + rsinϑ λ V r 1 Φ r ϑ 1 Φ rsinϑ λ Φ r R n (C nm cos mλ+s nm sinmλ) P nm(cosϑ) r ϑ R n m( C nm sin mλ+s nm cos mλ)p nm(cosϑ) r (3.10) (3.11a) (3.11b) R n (n+1)(c nm cosmλ+s nm sin mλ)p nm(cosϑ) (3.11c) r A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 16/22

Çekim ivme vektörü V x = GM r 2 N max V y = GM N max r 2 sinϑ V z = GM r 2 V x = V x a=grad V= V y = V y = V z = V z N max 1 V r ϑ 1 V rsinϑ λ V r R n (C nm cosmλ+s nm sinmλ) P nm(cosϑ) r ϑ R r (3.12) (3.13a) R n m( C nm sinmλ+s nm cosmλ)p nm(cosϑ) (3.13b) r n (n+1)(c nm cosmλ+s nm sinmλ)p nm(cosϑ) (3.13c) A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 17/22

Çekim ivmesi tensörü Çekim ivmesinin türevleri ya da Marussi tensör elemanları, M=grad(gradV)= 2 V x 2 2 V y x 2 V z x 2 V x y 2 V y 2 2 V z y 2 V x z 2 V y z 2 V z 2 V xx V xy V xz = V yx V yy V yz (3.14) V zy V zy V zz küresel koordinatlar üzerinden türetilir: V xx = 1 1 r r V ϑϑ+ V r V yy = 1 1 r r sin 2 ϑ V λλ+ cotϑ V ϑ + V r r 1 V xy = r 2 sinϑ (V ϑλ+ cotϑv λ ) V yz = 1 V λr 1 r sinϑ r V λ V xz = 1 1 r r V ϑ V ϑr V zz = V rr (3.15) V ij = 2 V i j = 2 V j i, i,j=ϑ,λ,r veya x,y,z A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 18/22

V nin ikinci türevleri V ϑϑ = GM r V ϑλ = GM r V ϑr = GM r 2 V λλ = GM r V λr = GM r 2 V rr = GM r 3 N max N max N max N max N max R n (C nm cosmλ+ S nm sinmλ) 2 P nm (cosϑ) r ϑ 2 R n m( C nm sinmλ+ S nm cosmλ) P nm(cosϑ) r ϑ R n (n+1)(c nm cos mλ+s nm sin mλ) P nm(cosϑ) r ϑ R r N max n m 2 ( C nm cos mλ S nm sin mλ)p nm(cosϑ) (3.16a) (3.16b) (3.16c) (3.16d) R n (n+1)m( C nm sin mλ+s nm cos mλ)p nm(cosϑ) (3.16e) r R r n (n+1)(n+2)(c nm cos mλ+s nm sin mλ)p nm(cosϑ) (3.16f) A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 19/22

GOCE: Gradyometre z zz1 xz1 yz1 zy2 zx2 xy2 yy2 xx2 yx2 zx1 O GRF zy1 x xx1 yx1 zz2 xy1 yy1 y xz2 yz2 A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 20/22

Bozucu potansiyel tensör haritası 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Gradyent (Tij) E A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 21/22

Kaynaklar I A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme (v.20/12/16) 22/22